हेलो बच्चों आज का हमारा जो अगला टॉपिक है वह है मैथमाटिकल टूल और उसके अंदर पढ़ेंगे हम डिफरेंशेशन और कई दिन से बच्चे हमसे बोलने की कानोमेटिक पर मोशन इन वन डामेंशन पर वीडियो बनाओ डिफरेंशेशन इंटीग्रेशन वीडियो बनाने के लिए रिक्वेस्ट कर रहे थे बिल्कुल भी निराश ना हो क्योंकि मोशन वंडी में आपको इन टॉपिक्स की जरूरत पड़ेगी पर मैं यह नहीं कह रहा कि मोशन वंडी या टाइमिटिक्स के टॉपिक्स में अलग से पढ़ाऊंगा नहीं कि आप बहुत बहुत गुणारी, बहुत बहुत अप्रेणून, बहुत बहुत गुणारी, बहुत बहुत गुणारी कैसे हैं आप लोग और कैसा लग रहा हूँ मैं बढ़िया तो आते हैं वापस टॉपिक पे, मजे में मस्ती में बैठिये, कॉपी पेन निकाल लिजे और पढ़ाई करते हैं यहाँ पे ले लिया y, यहाँ पे ले लिया x, और मैंने एक line खीच दी, मैं पूछूं इस line की slope क्या है, तो यह जो angle होता है बच्चों theta, इसका जो tan theta होता है, उसको हम बोलते है slope, कोई भी line positive x axis से जो angle बनाती है, उस angle का tan theta को हम बोलते है slope, ठीक है, तो यह इसका हो गया slope, जै समझाता हूँ बात को माल लो मैंने एक ग्राफ बनाया y वर्सेस x का कुछ ऐसा ग्राफ तो कैसा भी हो सकता है straight line भी हो सकता है, curve भी हो सकता है अब मैं पूछूँ इस ग्राफ की slope क्या है तो यार इस ग्राफ की slope अगर यहाँ पे देखनी है तो इस point पे एक tangent बनाओ यह एंगल देखो कितना है थीटा फिर मैंने कहा यहाँ पे स्लोप कितनी है तो यहाँ पे एक टेंजन्ड बनाओ अब यह एंगल देखो इससे ज़ादा तो यह थीटा वन तो यह थीटा टू तो आप देख रहे हो कि इस वाले ग्राफ की जो स्लोप है वो स्लोप कॉंस्टेंट है जो एंगल है वो चेंज नहीं हो रहा और इस वाले ग्राफ की जो स्लोप है उसको आप देखो तो वेरिबिल है ठीक है वो चेंज हो रही है differentiation integration मैस का टॉपिक है तो जब आप मैस पर पढ़ोगे मैस के टीजर से पढ़ोगे तो वो बहुत डिटेल में बताएगा मैं सिर्फ उसकी वो बातें बताऊंगा बच्चों जो important है जो हम गम टाइम में कवर कर सके हो और जो हमारे physics के syllabus में आती है जो थीटा है वो लगातार चेंज हो रहा है मैंने कहा यहाँ पे स्लोप बनाओ तो आपने टेंजन बनाया एंगल बनाया यहाँ पे स्लोप बताओ मैंने टेंजन बनाया एंगल बनाया यहाँ पे स्लोप बताओ टेंजन बनाया एंगल बनाया तो आप देखो इनी स्लोप की थियोरी के बीच में कहीं न कहीं डिफरेंशेशन की थियोरी का जन्म होगा क्या use है और differentiation कैसे आया और क्या है ठीक है चले पहला वाला graph मैं फिर से बना रहा हूँ और उसको फिर से समझाता हूँ आपको तो मैंने यहाँ पर graph बना लिया ये y और ये x मैंने कहा इस graph की slope बताईए तो आप कुछ नहीं करोगे यहाँ पर एक line खीच लो बोलो ये angle theta है अ� और एक point कहीं यहाँ पर ले लेते हैं, इस point को मैंने बोल दिया first point, इसको बोल दिया second point, इस point पर जो x है उसको बोला x1, y को बोला y1, यहाँ पर x को बोला x2, y को बोला y2, और मैंने यहाँ से एक perpendicular किरा के इस करहा से एक triangle complete कर लिया, बहुत बढ़िया, मेरे पास triangle बन चुका ह कि यह नियुक्त है थीटा अब बच्चों मुझे यह बताओ कि यह लेंथ कितनी होगी इस पॉइंट का कॉर्डिनेट कितना है वाइड तो यह होगी वाइड और यह लेंथ कितनी होगी इस पॉइंट का कॉर्डिनेट कितना है वाइड तो यह कितनी होगी वाइड वाइड वाइड इस point का coordinate कितना है x1 और यहां से यहां तक का पूरा distance कितना होगा इस point का coordinate है x2 यह है पूरा x2 देखो यह point कितनी कितनी दूर है x2 यह point कितनी दूर है x1 तो मैं पूछू यह कितना बड़ा होगा तो आप बोल दोगे x2-x1 अब आप से मैं पूछू tan theta क्या होगा तो perpendicular upon base मतलब y2-y1 upon x2-x1 slope का formula पढ़ा है कि न पढ़ा है slope का formula y2-y1 upon x2-x1 यह आपको slope का formula पढ़ाया जाता था किस तरह से आया मैंने आपको समझाया slope tan theta होता है दो points लिए x1y1 x2y2 फिर मैंने कहा यह length कितनी है y1 यह length y2 यहां तक कितना है x1 यहां तक कितना है x2 यह यह आइए दूसरा ग्राफ की पॉलम देखते हैं तो बच्चों ये रहा दूसरा वाला ग्राफ Y Versus X ऐसे बना लिया अब बच्चों इस ग्राफ में हमने कहा आप स्लोब बताईए तो आपने यहाँ पे टेंजन्ट बनाया और ये बनाया एंगल थीटा फिर आपने यहाँ पे टेंजेंट बनाया, और यह बनाया एंगल थीटा, और दोनों ही एंगल देखो, चेंज हो गए, यह छोटा एंगल है, यह बड़ा एंगल है, यानि इस ग्राफ्ट में दिक्कत क्या है, इस ग्राफ्ट की स्लोप कैसी है, वेरिबल है, मतलब इस ग्रा� मैं बोलूं यहां की स्लोप, यहां की स्लोप, यहां की स्लोप, हर पॉइंट की स्लोप क्या होगी? अलग-अलग, पिछली बार हर पॉइंट की स्लोप क्या थी? सेम थी, अब अलग-अलग हर पॉइंट की स्लोप है तो हम कैसे करें, कैसे करें, तो यह बना, थोड़ा और कर्व ले लेते हैं, यह बना, हमने यहाँ पे यह बनाया, एंग्ल थीटा वन तो यहां तक गया एंग्ल चेंज चेंज लगातार एंग्ल चेंज हो रहा है तो हमने कहा ऐसा करते हैं भाई साहब हम फिर से दो पॉइंट ले लेते हैं जैसे पिछले वाले मिलिया था तो हमने एक पॉइंट यहां पर हो गया एक्स टू कॉमा वाइड यह एक्स वन दूर है एक्स टू दूर है यह वाइड उपर यह वाइड उपर है ठीक है फिर ध्यान देखो इसको काटती भी चले जाएगी, प्रॉब्लम तो यह हो गए, कि आपने वो triangle तो complete कर लिया, आपने इसको बोल दिया यह कितना आ जाएगा, y2-y1, इसको भी बोल दिया x2-x1, प्रॉब्लम यह है कि यह जो line बनाओगे, यह काटती भी चले जाएगी, tangent बनेगी यह वन पॉइंट को यहां से हटा कर अ कि वन पॉइंट को यहां से हटा कर तो कि एकदम बगल में ले आओ यह वन यह चूट अब देखो जो टेंजेंट बनाओगे वह काम कर जाएगा अगर यहां टू को ले आता है तो उठाकर यहां ले आता है यह टू यह वन अब देखो जो टेंजेंट बनाओगे वह काम कर जाएगा बहुत लोग मतलब यह वन यह टू यह वन यह टू यह वन यह टू अब इसको तो ये point 1 और ये point 2 इतनी close ले आओ दो point को कि जो tangent बने वो दोनों को touch करता हुआ जाए और cross करता हुआ ना जाए अच्छा इस case में ये length कितनी होगी y2-y1 और ये कितनी होगी x2-x1 और ये angle theta पर अब बात ये है कि 1 और 2 इतने समीप आ गए हैं इतने close आ गए हैं तो इतने close आ गए हैं 1 और 2 कि y2 minus y1 करीब करीब कितना हो जाएगा 0 क्योंकि 1 और 2 इकदमी close हो गए हैं तो जो y1 की value है वह y2 की value है जो x1 की value है x2 इस तरह से x2 minus x1 भी करीब करीब कितना हो जाएगा देखना होगा जी तो यह करीब-करीब जी रोहोंगे एक्जैक्टली जी रोह नहीं होंगे ऐसी फिजिक्स में क्वांटिटी जो करीब-करीब जी रोहों बहुत छोटी हो एक्स टू माइनेस एक्स विश्वेष्ट टू जी रोह ऐसी क्वांटिटी को फिजिक्स हम बोलते हैं डी एक्स छोटा सा डिस्टेंस यानि इसको एक्स टू माइनेस एक्स विजय का बोल देंगे डी एक्स इसी जैसे वाइट माइनेस वाइट वन को हम बोल देंगे डी वाइट अब यहां से देखो टेंट यह लोग की वैल्यू कितनी हो जाएगी तो या tan theta की value कितनी हो जाएगी perpendicular upon base मतलब dy बटे d theta perpendicular by base मतलब dy बटे d theta तो ये जरवत थी differentiation की ऐसा graph जिसकी slope change हो रही हो उसकी slope किसी point पे अगर निकालनी है किसी point पे अगर निकालनी है तो उसका formula बनेगा dy by dx perpendicular upon base जैसे मैं बोलता कि अगर आप स्लोक यहां से लेके यहां तक बताओ तो possibility नहीं था 1 और 2 को लेके, क्योंकि आप यह जो line बता रहे हो, यह तो touch करते ही भी नहीं जा रही है, अब आप यहां से कैसे triangle बनाओगे, यह line तो ऐसे निकल जा रही है, तो अगर triangle complete करना है तो 1 और 2 को बहुत-बहुत close लाएंगे, इतना close लाएंगे, इतना close लाएंगे कि y2-y1 की value 0, x2-x1 की value 0, तो ऐसी चूटी सी value x2-x1 की, चोटी सी साइड बनेगी ये चोटी सी साइड बहुत चोटी सी साइड इस साइड को हम बोलते हैं डी एक्स इसलिए ये चोटी सी लेंग को हम बोलते हैं डी वाल वन टू के एकदम क्लोज आया है पर टू पे चढ़ा नहीं है वन एंड टू आर वेरी वेरी क्लोज बट न� बहुत बहुत है पर अभी भी एक पॉइंट नहीं है इतने क्लोस ले आओ कि जो पेंजेंट बने वह दोनों के लिए कॉमन हो जाए काटता हुआ ना जाए टेस्ट करता हुआ जाए तो ऐसे ग्राफ की स्लोक होती है डिवाइड एडिएक्स तो डिवाइड एडिएक्स का काम क्या है डिवाइड एडिएक्स लोग होती है खत्म बात डिवाइड एडिएक्स इस दस वर्सेज एक्स आपसे यह बात याद रखनी है आपको डिवाइब एडिएक्स क्या है डिवाइब एडिएक्स इस दस लोग डिवाइब एडिएक्स आपका शो ऑफ ग्राफ और वाइबर सेट एक्स ठीक है डिवाइब एडिएक्स इस दस लोग ऑफ ग्राफ ऑफ वाइबर सेट एक्स ठीक है कुछ नहीं लिखना था सिफ्ट लिखना था डिवाइब एस एस आफ टो ऑफ ग्राफ और वाई वर्सेस एक्स अब इसको एक चीज और बोलते हैं क्या बोलते हैं अच्छा ध्यान से देखो डिवाइब एस आया कहां से मतलब किस जगह से आया एक्स डिवाइब एक्स आया कहां से तो मेरे ख्याल तो यहां से आया है वाइट माइनस y1 upon x2 minus x1, किसकी value थी? tan theta की, फिर हमने बोला ये दो point बहुत close आ गए, तो हमने y2 minus y1 की चेकर लगा dy x2 minus x1 की चेकर लिखा dx इतने close आ गए कि ये इतना चोटा हो गया कि इसको हमने dx मतलब बहुत चोटा, dy मतलब बहुत चोटा, अच्छा अब अगर देखो हम ये भी तो कह सकते हैं, it is the rate of change of y with respect to x, भाई ये क्या होता है, इसका change with respect to this, so dy by dx can also be said rate of change of y, विद रिस्पेक्ट टू एक्स एक्स के रिस्पेक्ट में वाइट कैसे चेंज हो रहा भाई यह क्या होगा रेट ऑफ चेंज ऑफ वाइट विद रिस्पेक्ट टू एक्स है नहीं हम लोग पर इनको क्या बोलते हैं तरफ को क्या बोलते हैं हम लोग पावर को क्या बोलते हैं पार क्या होता है रेट ऑफ वर्थ पर यूनिट टाइम रेट ऑफ वर्थ तो रेट ऑफ चेंज y versus x, तो ये बात आपकी दिमाख में जानी चाहिए, भले भी पिछली बात है कि दिमाख में नहीं गई है, तो कोई दिक्कत नहीं है, कोई दुबिधा नहीं है, क पर अगर ये बात नहीं आएगी तो आगे की बात समझ में नहीं आएगी ये बात आपको दिमाग में पक्के से समझ नहीं है कि डिवाई बाई डिएक्स रेट और चेंज और वाई विथ रिस्पेक्ट टू एक्स और डिवाई बाई डिएक्स इकोज टू स्लोव ग्राफ और वाई वर्सेस एक्स ठीक है अच्छा, definition आया कहां से कैसे निकालते हैं, यह जो formula मैं बता रहा हूँ, यह math में आप first rule से निकालोगे, जो कि first principle हम आपको यहाँ पर नहीं पढ़ाएंगे, math का part है, so इस आई चीज़े math की part है, यहाँ पर हम सिर्फ उतना ही पढ़ाएंगे जितना हमें physics में इसका use है, मालो मतलब इस ग्राफ की फिर समझा देता हूं स्लोक कितनी होगी जीरो इस ग्राफ की स्लोक कितनी होगी जीरो मतलब टैन थीटा की वैल्यू कितनी होगी जीरो मतलब थीटा कितना होगा जीरो जब थीटा जीरो होता है टैन थीटा जीरो इसको इस ग्राफ की slope बताओ मुझे slope क्या होता है tan of theta ये ग्राफ कितना angle बना रहा है 0 degree तो tan 0, tan 0 का answer 0 इसलिए dy by dx की value 0 feel भी है साथ में dy by dx 0 क्यों आया क्यों आया क्यों कि इस ग्राफ की slope 0 है तो इस तरह से आपको कुछ formula याद करने होंगे y is equals to वेरी इंपोर्टेंट, इसे वेरी इंपोर्टेंट, y is equals to x to the power n, इसका differentiation करोगे, dy by dx आएगा, n x की power n minus 1, x की power n, differentiation करोगे, n x की power n minus 1, Example, y is equals to x cube, dy by dx करोगे, तो 3 बाहर आएगा, x की power लिखोगे आप, 3 minus 1, मतलब 3x square, जैसे मैं लिखूं y is equals to x की power 6, तो dy by dx करोगे, तो 6 बाहर आएगा, x की power एक कम हो जाएगी, मतलब 5, जैसे मैं लिखूं y is equals to x की power, half, तो dy by dx करोगे, तो power बाहर आ जाएगी, और x की power हो जाएगी half minus 1, जो भी power लिखियो, उसमें से 1 minus कर दो, तो half, x की power कितनी हो जाएगी, minus half, जैसे हमारे पास लिखा है, y is is equal to under root x ठीक है तो इसको हम क्या लिख सकते हैं y is equal to x की power 1 by 2 अब बताओ dy by dx तो जो पार लिखी है उसको बाहर ले आओ और x के उपर जो पार है minus 1 कर दो तो कितना हो जाएगा half एक्स की पार माइनस हाफ ठीक है तो इस तरह से आपको सॉल्व करना है वाइज इक्वल्स टू एक्स की पावर एन वाले सवाल और यह आते भी हैं बड़े इंपोर्टेंट है जैसे मानों लिखा है वाइज इक्वल्स टू वन अपन एक्स क्यूब रूट 1 upon x का cube root तो इसको आप क्या लिख सकते हो y is equals to 1 upon x की पार 1 by 3, cube root का मतलब होता है 1 by 3, अब इसको उपर ले आओ तो x की पार कितना हो जाएगा minus 1 by 3, अब आप निकाल सकते हो dy by dx is equals to minus 1 by 3 x की पार minus 1 by 3 minus 1 ठीक है तो पार में एक माइनस करना है और जो पार है उसको आगे लाना है ये y is equals to x की power n का differentiation होगा जैसे लिखा हो y is equals to x square ये तो आपको याद हो जाना चाहिए तो dy by dx के लिए जाना होगा कितना हो जाएगा जल्दी से बोलो तू बाहर आएगा एक्स की पावर एक कम वाइज इक्पॉल्स टू एक्स क्यूब तो डी वाइड एक्स कितना हो जाएगा थ्री बाहर आ जाएगा एक्स की पावर एक कम हो जाएगी वाइज इक्पॉल्स टू सो ओन एंड सो ओन एंड सो ओन ठीक है अगला अच्छा बच्चों, मान लो लिखा है, तीसा रूल मैं जानबूच के बना रहा हूँ, अल्थो ये रूल एक्जिस्ट नहीं करता, y is equals to x लिखा है, तो क्या होगा, dy by dx is equals to, इसकी पावर कितनी है, 1, 1, x की पावर 1 minus 0, जीरो ऐसे लिख सकते हैं यह वाइज इक्वल्स टू एक्स की पावर एन का केस बना सकते हैं पार बाहर आगे एक्स की पावर एक कम कर दी वन माइनस जीरो नहीं वन माइनस वन तो एक्स की पार जीरो एक्स पार जीरो इस वन तो तुम सीधा याद करो कि वाइज इक्वल्स टू एक्स का डीवाइड एक्स वन आता है ठीक है अच्छा, चौथा रून सुनो, मानो लिखा है y is equals to 5x3, अब आपसे पूछता है dy by dx, तो इस 5 को मत छेड़ो, इसके साथ वही काम करो, 3 बाहर आ जाएगा, x की power 3 minus 1, मतलब 2, 5, 3 जा, 15x2, मानो लिखा है y is equals to 2x की power 5, 2 को as it is लिखे रहन दो, अब ये 5 बाहर आएगा, x की power 5 पार 4 मानू लिखा है y is equals to 3 x तो 3 को मत छेड़ो और y is equals to x का differentiation कितना है 1 into 1 answer आ जाएगा 3 मानू लिखा है y is equals to 5 divide by x तो हम लिख सकते है 5 x की पार minus 1 अब 5 minus 1 इधर आ जाएगा और x की पार minus 1 minus 1 तो minus 5 x की पार minus 2 समझ में आ रहा है x की पार minus 1 मतलब constant को नहीं छेड़ता लिखा रहे हैं तो माइनस वन बाहर लाए एक्सी पार माइनस वन और माइनस वन तो मेरे क्याल से बाद भी आपको क्लियर हो गई होगी अच्छा इसी तरह से बच्चों कई फॉर्मले है मैंने आपको दो तीन इंपोर्टेंट पाइट फॉर्मले ला दिए जो सबसे यादा यूज होते हैं सबसे यादा इस्तेमाल होते हैं ठीक है काफी इंफॉर्मेशन है इसमें लगेगा और मैथ पढ़नी पड़ेगी और उसके लिए एक्जाम में डिराइफ करना पड़ेगा लास्ट में याद करना पड़ेगा तो इससे अच्छा भी याद कर लेते हैं तो हम नेक्स्ट रूल पर आते हैं रूल नंबर फोर या फाइब जो भी बनता है कमेंट करके मेर तो दिवाई बाई दी एक्स इस एक्वल्स टू वन बाई एक्स नेक्स रूल इफ वाई इस एक्वल्स टू इफ वाई इस एक्वेल्स टू ए टू दी पावर एक्स देन डी वाइड एक्स इस एक्वेल्स टू एकी पार एक्स लॉग ए अब यही तीन फॉर्मले बच्चे सबसे अधार भूलते हैं क्योंकि कंफ्यूजिंग से है तो नोट्स में चले जाए याद हो जाएं तो नहीं इसका एग्जांपल देता हूं इसे एक्जांपल है वाई इस इक्वल्स टू फॉर टू भी पार एक्स तो हम लिखेंगे पूर्व की पार एक्स लॉग फॉर वाई इस इक्वल्स टू 2 to the power x, तो हम इसका differentiation करेंगे, dy by dx, कितना आ जाएगा, 2 to the power x, log 2, ठीक है, तो एकी power x लिख लो, और साथ में उसका log लिख लो, ठीक है, actually यहाँ पे भी यही हुआ है, देखो E की पार X, A की पार X, अगर ध्यान से देखो तो E की पार X, log E to the base E, कितना हो जाएगा, 1, इसलिए यहाँ पे यही लिखा, E की पार X हो या A की पार X हो, साथ में log A लिखना था, यहाँ पे log E लिखते, log E की value 1 होती है, ठीक है, नेक्स फॉर्मला हमारे पास है y is equals to cos x, तो बच्चों dy by dx आएगा हमारे पास minus sin x, ठीक है, तो आप ऐसा रखना कि sin अच्छा-अच्छा, cos गंड़ा-गंड़ा, तो sin का cos आता है positive, कॉस गंदा गंदा है तो कॉस का साइन आता है नेगेटिव, एक तो दोनों चेंज होते हैं, साइन से क्या आता है कॉस, कॉस से क्या आता है साइन, साइन अच्छा अच्छा है तो पॉजिटिव देगा, कॉस गंदा गंदा है तो नेगेटिव देगा, नेक्स्ट है हमारा बच्चों टैन एक्स का डिफरेंशेशन जब करते हो डिवाइब एडिएस पांसर आता है सेक्स क्वेर एक्स प्लस के साथ टैन एक्स का डिफरेंशेशन सेक्स क्वेर एक्स नेक्स बच्चों हमारे पास आ जाएगा वाई इस एक्वल्स टू साइन कॉस्ट एंड क्यों बचा सेक्स तो डिवाइब एडिएस आ जाएगा अ कि सेक्स टैन एक्स अच्छा ठीक है फिर हमारे पास बच्चों बचा, y is equals to cosec x, तो dy by dx आ जाएगा, अब जरह इस pattern को ध्यान से देखो, sec x से क्या बना, sec x tan x बना, sec x क्या बना, sec x tan x, तो cosec x से बनेगा, कोशिक एक्स और कौन बचा कॉटेक्स अब से कोवला अच्छा होता है तो अच्छा दिया कोशिक वाला गंदा होता है तो नेगेटिव दिया लास्ट हमारे पास क्या बचा कॉटेक्स नंबर ट्विल्फ वाइज इक्वल्स टू कॉटेक्स तो बच्चों डी तो यह बड़ी एक्स बन जाएगा हमारा को सेक्स क्वेट्स जैसे टैनिक से क्या बना सेक्स क्वेट्स वैसे कोटेक्स से क्या बनेगा को सेक्स क्वेट्स अच्छा तैन अच्छा ता पॉजिटिव पर गंदा है तो नेगेटिव तो आप कमेंट लिखोगे कि तो बताओ याद करना पड़ेगा, लिखना पड़ेगा, नोट करना पड़ेगा, पड़ना पड़ेगा, मेहनत करनी पड़ेगी, तभी paper निकलेगा, तभी completion निकलेगा, तो ये सारे आपको differentiation के formulae याद करने पड़ेगे, ठीक है, starting कुछ formulae easy-easy बताए, फिर ये बताए, एक बाद जल x का e की power x रहेगा, फिर आया log x का 1 by x रहेगा, फिर e की power x का e की power x log x रहेगा, log a रहेगा, sin x का cos x, cos x का minus sin x, ठीक है, tan x का sec square x, अब क्या बचा सेकेक्स सेकेक्स का सेकेक्स टैन एक्स सेकेक्स का सेकेक्स टैन एक्स अब जैसे सेकेक्स है वैसे को सेकेक्स है सेकेक्स का सेकेक्स टैन एक्स तो को सेकेक्स कोटेक्स सेकेक्स अच्छा अच्छा पॉजिटिव को सेकेक्स गंदा गंदा नेगे� जैसे tan x का sex square x है वैसे cortex का cosec square x है tan x अच्छा अच्छा positive cortex गंदा गंदा minus cosec square x तो ये सारे formula हो गए ऐसा करते हैं विश्वे कुछ question करते हैं देखते हैं आपको कितने formulas याद रहे ठीक है कुछ सवाल यहां पर हम लाइन से लगाते हैं और आप देखते हैं आप कितने सवाल इसमें सवाल कर पाते हैं हमारे लिए तो कुछ सवाल करते हैं तो कुछ नमबर वन है हमारे पास y is equals to 2xq कुछ नमबर तू है हमारे पास y is equals to e की पावर x प्रेशन बटन हमारे पास वाई इस इक्वल्स टू पोसेक एक्स प्रेशन बटन हमारे पास वाई इस इक्वल्स टू टैन एक्स प्रेशन बटन हमारे पास वाई इस इक्वल्स टू ट्री टू दी पार एक्स प्रेशन बटन 6 हमारे पास वाई इक्वल्स टू टू एक्स प्रेशन बटन थे माइ पास वाई इस इक्वल्स टू पॉट एक्स अब आप देखिए कि आप इन सबके आंसर अपने आप लिख पा रहे हैं पॉचिन बटन थे माइ पास वाई इस इक्वल्स टू लॉग एक्स पॉचिन बटन थे माइ पास वाई इस इक्वल्स टू ट्वेल्फ चलिए आ� तुम सबका क्या निकालेंगे अभी यहाँ dy बटे dx निकालेंगे ठीक है dy बटे dx सबका निकालेंगे तो बच्चो 2 को as it is रख दो अब x3 का 3 बाहर आएगा और पार 1 कम हो जाएगी तो x2 तो 2 3 जा 6 x2 e की power x का differentiation e की power x अब cosec x का कैसे याद करें तो sec x का याद है क्या sec x tan x तो cosec x का क्या हो जाएगा cosec x कॉर्ट x और कैसा? नेगेटिव क्योंकि सेक्वाला पॉजिटिव टैन एक्स का क्या होता है?
टैन एक्स का होता है सेक्वाला स्क्वेर एक्स टैन एक्स कैसा देता है? पॉजिटिव थ्री की पावर एक्स का? थ्री की पावर एक्स लॉग थ्री टू एक्स तो टू को एजिटिज रखो और एक्स का डिफिनिशेशन कितना बताया है मैंने? वन तो कितना आ जाएगा? टू जब भी टू एक्स लिखा हो तो आंसर जो कॉंस्टेंट है वही आएगा साइन एक्स का डिफिनिशेशन कॉस एक्स का डिफिनिशेशन कि चाहिए साइन अच्छा अच्छा तो अंसर पॉजिटिव पॉजिटिव यहां पर आते हैं इन सब का डिवाइड एक्स निकालते हैं चलिए सेटिव का क्या बनेगा सेटिव का बनेगा सेटिव टैन एक्स कैसा पॉजिटिव अब देखो सेटिव से क्या बना सेटिव टैन एक्स और को से किसे के बना को से के इस पॉजिटिव पॉजिटिव गंदा तो नियुक्त कॉट एक्स का क्या बनेगा को पॉटेक्स का बनेगा टैन एक्स क्या बना था सेक्स क्वेर एक्स तो पॉटेक्स का बन जाएगा अ कोसेक स्क्वेर एक्स कैसा?
नेगेटिव लॉग एक्स का क्या होता है? वन बाई एक्स वाई इक्वल्स टुटेल का? जीरो क्योंकि ये क्या है? कॉंस्टेंट कॉंस्टेंट का डिफरेंशेशन? जीरो तो बच्चों ये कुछ बहुत ही बेसिक तो इन फॉर्मलेस को आप याद करने और उसके बाद मेरे साथ बोले अभी तो चाप्टर शुरू हुआ है बच्चों हाँ अजय को आ रहा है बढ़िया लग रहा है खुशी हो रही है किसने कहा था क्लास लेवन पर साइंस लेने को उसको धूड़ तो नहीं रहे हो अगल अगल मेरी यह तो फीट देंगे तू ने मेरे को बोला साइंस ले नहीं है तो अभी तो शुरू है तो इतनी चीज ने आपने नोट कर लिए उसको आप रिवाइस करेंगे दिमे-दिमे याद हो जाएगी तो यह फॉ पर करते रहें ऐसा नहीं है कि मैंने पहली बार लेवन फॉर्मले पड़े वह सारे मुझे पहली बार याद हो गए इस टाइम याद होते हैं ठीक है तरह से पकड़ते जाना है ठीक है कुछ बेसिकल से प्राग्न कुछ क्वेश्चन देखते आप करते ही होगे एक बड़ा ही बढ़िया क्वेश्चन दे रहा हूं मैं आपको मान लो लिखा है मान लो लिखा है कि पार एक्स यह मानू लिखा है y is equal to x square और मैं आपसे कुछूँ dy बटे dx की value कितनी होगी तो आप बोलोगे कि 2 बाहर आजाएगा x की power एक कम हो जाएगी x की power n का differentiation क्या बताया हमने आपको n बाहर आजाएगा x की power n से 1 कम हो जाएगी तो 2 बाहरा x की power 1 कम हो गई मालों मैं आपसे पूछूँ dy बटे dt कितना होगा तो आप बोलो के ये कैसा सवाल है ये कैसी बात कर रहा है ये मैं आपसे पूछूँ dy बटे dr कितना होगा अब y x square है, अगर r और x में कोई relation नहीं है, तो r को x square एक constant quantity दिखेगी, r को दिखेगा कि x square हम पर depend नहीं करता, तो dy by dr की value कितनी हो जाएगी, 0, तो concept समझेगी, समझना है जैसे मान लो मैं लिखूं वाइज इक्वल्स टू साइन थीटा और आपसे पूछूं बीवाई बटे डी थीटा कितना है तो वैरिबल देखो यह वाला से है अब साइड इटा का डिफरेंटेशन कितना लिखोगे और साथ में प्लस पर मान लो मैं पूछू वाइज इक्वल्स टू साइन थीटा लिखकर कि डी वाइब बटे डी एक्स कितना होगा तो आप बोलों कि जी रोग अगर एक्स और थीटा में कोई रिलेशन नहीं है तो एक्स को साइन थीटा कैसा दिखेगा कॉन्सटेंट थीटा कैसा दिखेगा तो कॉन्सटेंट टेक्वेशन बड़ी इंपोर्टेंट बात बच्चे क्या करते हैं डी वाइब एक्स में भी कॉस्ट नहीं यह आते हैं वाइज इक्वल्स टू मानो चेंज करूं वैरिबल चलो एस इक्वल्स टू मानो लिखा है टी क्यूब और आपसे पूछा बीएस बटे डीएस बटे डीटी कितना है तो देखो वैसा ही है यह यह हुआ यह एक्स हुआ डीएस बटे डीटी तो कितना हो जाएगा अभी वेलिबल सही है तो थ्री बाहर आ जाएगा टीपी पार एक कम हो जाएगी टी स्क्वेद पर अगर मैं आपसे पूछता डीएस बटे डीएक्स कितना है तो आपको देखना है कि उसी वेलिबल के टम में डिफरेंशेट किया भी है या कुछ और पूछा है इस बात को ध्यान रखना कि अच्छे आपको ऐसे ही मिलेंगे जहां यहाँ पे ये सब पाते भी आपसे खेली जाएगी तो बच्चों ये तो बहुत बेसिक बाते हुए डिफरेंशेशन की अब हम आज के आज ही के लेक्चर में आपसे बात करेंगे एलजेब्रा औफ डिफरेंशेशन पे एलजेब्रा औफ डिफरेंशेशन algebra of differentiation algebra of differentiation मतलब कि differentiation में जोड घटाने को कैसे deal करना है माल लिए हमारे पास question लिखा है मैं question के तुरी समझाओंगा क्योंकि theory तो पढ़ने से यहाँ पर कोई फायदा होगा नहीं माल लिए हमारे पास question लिखा है y is equal to x square plus 5x और हमसे कहा कि आप divide by dx निकालो, तो आप tension मत लेना, दोनों को अलग अलग differentiate कर देना, tension मत लेना, दोनों को अलग अलग differentiate कर देना, x square का differentiation, 2 बाहर आएगा, x की power 1, 5x का differentiation, 5, क्योंकि x का differentiation, 1 होता है, कई बार बताया है y is equal to x की power 1 अब बताओ dy by dx क्या बनेगा 1 बाहर आएगा x की power 1 minus 1 1 minus 1 0 x की power 0 is 1 तो कुछ नहीं करना है addition में दोनों को अलग अलग differentiate चलो question करो एक तो y is equal to x cube plus e की power x plus log x plus cos x चलो differentiate करो अब इसमें आपको याद करने वाली चीज़ें हैं, तो इसलिए मैं रिवाइस करा रहा हूँ, डी वाई बे डी एक्स, एक्स क्यूब का डिफरेंशेशन, थ्री बाहर आएगा, और पार एक कम हो जाएगी, ई की पार एक्स का, ई की पार एक्स, लॉग एक्स का, वन बाई एक तो आप लगा दो डी वाई बटे डी एक्स इसे equals to 2 बाहर आ जाएगा 6 2's are 12 एक्स की पार 1 कम हो जाएगी तो 2 minus 1 1 plus 1 upon under root x अब इसको मैं ऐसा लिख सकता हूँ 1 upon root x को 1 upon x की पार half और इसको उपर ले आओंगा तो क्या बन जाएगा x की पार minus 1 by 2 तो x की पार minus 1 by 2 के लिए minus 1 by 2 बाहर आया x की पार minus 1 by 2 minus 1 तो कितनी हो जाएगी minus 1 by 2 minus 1 minus 3 by 2, तो कितना हम लिख सकते हैं, minus half into x की power, minus 3 by 2, फिर plus 2 की power x, तो 2 की power x, log 2, यह e की power x जैसा है, e की power x, log e, और log e कितना बनता है, 2 की power x, log 2, cos x का differentiation, sin x, cos x गंदा गंदा, तो साथ में minus, तो यह ता हमारा addition हो, या subtraction हो, अलग अलग terms को अलग अलग differentiate करना है, juice पी बानू, carom rambanू, बन जानी life बहुत बढ़िया, अब आए algebra of differentiation में हम multiplication पे जो की सवाल सबसे आदा मिलेगा आपको माललों हमसे question दे रखा है कि y is equals to e की power x, x square को आप differentiate करिए, दोनों term multiply हो रखे हैं, ठीक है, यहाँ change कर लेते हैं y is equals to x sin x को आप differentiate करिए, चलिए लेने का है अब आपको एक्स का डिफरेंटेशन पता है वन साइन एक्स का पता है कॉस एक्स यह दोनों मिला दिया है तो क्या तो बच्चों इसको हम बोलते हैं यूवी मेथड नोट में उताल ले यूवी मेथड तो हम बोलेंगे वाई इस इक्वल्स टू यूवी अब यूवी मेथड का तरीका क्या है दीवाई मटरी एक्स इक्वल्स टू यूवी मटरी एक्स प्लस वीडियो मटरी एक्स मतलब पहले U को बाहर करो और V को differentiate करो, फिर V को बाहर करो और U को differentiate करो, एग्जाम्पल पर समझाते हैं, dy बटे dx, पहले x को बाहर लिख लो और sin x को differentiate करो, कितना आएगा?
cos x plus अब sin x को बाहर करो और x को differentiate करो कितना आएगा u v method अगला question लेते है y is equal to x square e की power x हमें निकालना है दोनों में से किसी एक को बाहर ले लो किसी को भी ले सकते हैं तो मैंने एक्स स्क्वेयर को बाहर ले लिया और एक पार एक्स का डिफरेंटेशन कितना होता है एक पार एक्स प्लस अब इस बार किसको बाहर ले एकी पार एक्स को बाहर लिया एक्स स्क्वेयर को डिफरेंटेशन करो एक्स का डिफरेंटेशन क्या होगा टू एक्स की पार वन बाहर आएगा इसका मुझे देश देवान से चलो अगला कोशिश कर दिखाओ वाई इज इक्वल्स टू वाई इज इक्वल्स टू कॉसेक्स into log x, cos x into log x, तो dy बटे dx is equals to, cos x को बाहर कर लिया, log x का differentiation 1 by x, plus, इस बार log x को बाहर कर लिया, cos x का differentiation sin x, और कैसा, minus, तो आगे answer, तो हो गया, 1 by x cos x minus log x into sin x, तो ये हमारा बाहर कर लिया, तो ये हमारा बाहर कर लिया, कौन सा method है? UV method पहले एक को बाहर निकालो, दूसरे को differentiate करो, फिर दूसरे को बाहर निकालो पहले को differentiate करो, इसको हम बोलते हैं UV method of multiplication या product method of differentiation पता नहीं, क्या क्या नाम है? दिया रखे हैं दुनिया ने सवाल सॉल्व हो जाए अपना काम बन जाए अपना पेपर निकल जाए अपना कंसर्ट समझ में आ जाए तुझको इतना ही काती है जैसे माल लो हम अगला सवाल ले लेते हैं यही पे एक और सवाल कर लो चलो करके दिखाओ दो नंबर तो होगा न ठीक है, तो क्या किया, dy by dx is equals to, x cube को बाहर ले लिया, sin x का differentiation cos x, plus, इस बार sin x को बाहर ले लिया, अब x cube का differentiation 3x square, आगे answer, तो ये हमारा था, uv method of multiplication, एक को बाहर रखो, दूसरे को differentiate करो, दूसरे को बाहर रखो, पहले को differentiate करो, अच्छा, अब बच्चों बात करते हैं y is equals to sin x बटे x की माली जैसा सवाल आ जाए sin x बटे x इसको हम बलते हैं बच्चों u बराबरी बाबर वी मेथड, यू बटे वी मेथड, तो कई बच्चे इसने दिमाग लगा रहे हैं कि सर एक स्कूप पर ले जाएंगे, एक पी पार माइनस वन लिख लेंगे, और यू वी मेथड से काम बन जाएगा, बहुत बढ़िया बन तो जाएगा, पर मालो नीचे वाले एक्स्� minus u dv बटे dx, note करना पड़ेगा यह formula is by, definitely note करना पड़ेगा ठीक है, इतना intelligent, इतना मेधावी, इतना तेज, इतना खुंखार, इतना हुशियार, कोई नहीं है y is equal to u बटे v है तो dy बटे dx क्या हो जाएगा, नीचे कर लो v का square ठीक है, फिर v बाहर, du बटे dx, इसको differentiate करो, उपर वाले को, minus, उपर वाला बाहर, और नीचे वाले को differentiate, तो इसमें एक बात याद रखनी, नीचे वाले का square करना है, फिर नीचे वाले को बाहर करके, उपर वाले को differentiate, बस इतना याद रखो, इसके बाद minus लगाना है, confusion यही, यही होता है कि किसको रखें किसको रखें एग्जाम्पिल लेते हैं यह एग्जाम्पिल आउसॉल पर डी वाई बटे डी एक्स तो नीचे वाले को स्क्वार कर लिया एक्स स्क्वार अब एक्स को बाहर लो और साइन एक्स को डिफिनिशेट करो अब साइन एक्स को बाहर लो अगला कोशिश लो खुद से करो वाई इस इक्कॉल्स टू या एक्वेस्ट टू एक्स स्क्वेयर प्लस वन डिवाइडेड वाई डिवाइडेड वाई एक्स क्यूब ठीक है चला ऐसा सवाल मिल गया हमको अब इसमें कई टर्म्स है इसमें तुम वह नहीं कर सकते कि ऊपर लेकर माइनस करें या जो भी है आइए स्टार्ट करें डी वाई बटेडी एक्स तो नीचे वाले का स्क्वेयर करो तो एक्स क्यूब का स्क्वेयर करेंगे तो एक्स की पावर सिक्स फिर यहां लेकर एक्स क्यूब और इसको डिफरेंशिएट करो पूरे पर पूरे पर एक्स क्वेश्चन टू बाहर आएगा टू एक्स 1 का differentiation 0 क्योंकि constant है भाई फिर लगेगा minus अब इस पूरे को, ये पूरा क्या है तुमारा, यू, और ये क्या है, वी, तो तुमने लिखा वी का स्क्वेर, फिर वी को बाहर लिया, और ये क्या किया, डी यू बाई डी एक्स, इसको डिफरेंशेट करोगे, तो एक्स स्क्वेर का डिफरेंशेशन टू एक्स, वन का डि इसको solve कर लेंगे जो भी आएगा वही answer होगा बोले समझ में आ रहा है चली एक और सवाल करिए इसी पे वी बटे यू मेथड पे एक सवाल और करिए ठीक है थोड़ा सा वी बटे यू यू बटे वी सबको थोड़ा से दिक्कत होता है इसमें ठीक तो y is equals to y is equals to x square plus x cube प्लस टू एक्स डिवाइडेड वाई डिवाइडेड वाई साइन एक्स चलिए यहां भी चेंज कर लेते हैं यहां लेते हैं एक्स ठीक है मेरे पास यह सवाल है आइए सबसे पहले हम क्या करना है वी का स्क्वेर करना है यह रहा थी और यह पूरा क्या बन गया मेरा यू तो डिवाइड बटेड डिएक्स तो वी का स्क्वेर किया तो एक्स स्क्वेर अब फिर वी को बाहर रखा इसको differentiate करेंगे पूरे को x square का differentiation 2x x cube का differentiation 3x square 2x का differentiation 2 क्योंकि x का differentiation 1 होता है minus लगाएगा फिर क्या करना है u को बाहर करना है मतलब इस पूरे को बाहर करना है x square plus x cube plus 2x को बाहर किया u को बाहर करना है और dv by dx यानि इसको differentiate करना है तो x का definition कितना होगा 1 अब इसको आप solve कर लेंगे and that will be the answer तो ये था बच्चों, U बटे V method, V को square करो, फिर V को उपर रखो, DU by DX, फिर minus U, DB by DX, तो ये कुछ rules थे, जिनकी है मदद से, हम differentiation के अच्छे question को solve कर सकते हैं, बढ़िया बढ़िया सवाल निप्ता सकते हैं, अब बच्चों, differentiation में एक concept और रह गया हमारा, तो मैं तो चाहूँ� कर दिया जाए क्या कहते हैं आप यही तो बात है आप कुछ कहते नहीं और मैं कहता रहता हूं ठीक है तो चलिए खत्म कर देते हैं एक कंसेप्ट और हमारा लास्ट कंसेप्ट जो हमारे डिफिनेशन में बच गया है वह है चेन रूल और दो कंसेप्ट बहुत देश देता हूं कहीं खत्म नहीं होता चेन चेन रूल और डिफरेंशेशन यह क्या है सवाल समझ में आएगा मालों मैं तुम इस क्वेश्चन दे दूं वाइड इफेक्ट्स टू अंडर रूट एक्स स्क्वेयर प्लस वन अब इसको आप कैसे डिफरेंशिएट करोगे अब बोलो कैसे करोगे इसको डिफरेंशिएट अब दिमाग लग रहा है यार यह कैसे हो सकता है अगर मैं लिखता y is equal to x square plus 1, तुम तुरिंट डिफरेंशियेट करके मुझे को आंसर बता लेते, x square का डिफरेंशियेशन, 2x, 1 का डिफरेंशियेशन, 0 आंसर आगता है, और इसके उपर root भी लगा है भाई साहब, अब क्या करें, अब क्या करें, chain rule, अब क्या करें, अब क्य आप चाहते थे इसके अंदर x होता तो काम बन जाता, अगर इस root के अंदर x होता तो काम बन जाता, माल लोग लिखा होता y is equal to under root x तो काम बन जाता, आप क्या करते हैं, आप लिखते हैं x की पार 1 by 2 फिर dy by dx निकाल लेते हैं बड़ा सांथा है half x की पार half minus 1 तो आप चाहते थे इसके अंदर x लिखा हो पर इसके अंदर लिखा था x square plus 1 ठीक है तो आप अपने दिमाग में imagine करो कि इसके अंदर x ही लिखा है अब डिफरेंट शेट कर दो तो आप मानोगे कि x2 plus 1 की पार कितनी है आप लिखी हैं तो आप half को बाहर ले आओ x2 plus 1 को as it is रहन दो क्योंकि ये x है अब उपपर लिखोगे half minus 1 ठीक है, इसके बाद chain rule है, मतलब chain की तरह चलना है, इसके बाद इस अंदर वाले term को differentiate कर दो, अंदर वाले term को, क्योंकि यह x है नहीं, तुमने सोचा यह x है, पर यह x है नहीं, तो इसको differentiate कर दो, तो x square plus 1 का differentiation, x square का 2x, 1 का 0, and this is the answer.
एक example all लेते हैं इसी बात को समझाने के लिए मान दो लिका है y is equals to e की power 2x e की power x का answer क्या आएगा? e की power x आएगा कि नहीं? अभी क्या लिख किया आगया है E की पावर 2X? तो DY by DX अब आप चाहोगे कि 2X की जगा दिमाग में अपने इमेजिन कर लो कि X ही लिखा है दिमाग में अपने इमेजिन कर लो कि X ही लिखा है तो DY by DX क्या होगा? E की पावर 2X भाई जो चीज है वही आई की अब जाके इस अंदर वाले X को 2x के definition कितना होगा?
एक और example लेते हैं, दीमे दीमे समझ में आएगा y is equals to मालू लिखा है sin x square सबसे बढ़ीन सवाल होते हैं sin x square तो बच्चो यहाँ बात यह थी कि आप चाह रहे थे कि sin x लिखा हो, sin x square नहीं आप ये चाहे रहे थे कि sin x लिखा होता तो आप dy by dx cos x लिख देते काम खतम हो जाता है तो ठीक है अपने मन में आप imagine कर लो कि ये sin x square नहीं sin x है तो dy by dx कितना हो जाएगा cos इसको आपने x माना है यह आपका x है इस टाइम अब अंदर जाके इस अपने बड़े वाले x जो तुमने दिमाग में इमेजिन किया है उसको डिफिनिशेप कर द��� x square का डिफिनिशेशन कितना होगा 2x तो आंसर हो जाएगा 2x into cos x square जैसे इसका एक और सवाल ले ले पता नहीं स्कूल में इसको कैसे पढ़ाया गया टीचर ने, मैं जानता हूँ वो टी लेके, ऐसे देखें, ऐसे पढ़ाएं, पता नहीं क्यों इस तरह से पढ़ा रहे हैं टीचर, मुझे समझ में नहीं आ रहा है, जब आपको बच्चों को शॉर्ट कट बताना चाहिए, तो ठीक है, खुब variation ला रहा हूँ, log 3x square, तो क्या करेंगे अपने, dy by dx, अब तुम दिमाग में imagine कर रहे थे कि इसकी जगह पूरे की जगह क्या होता, x, तो log x का differentiation तो हमें पता है, log x का differentiation होता है, 1 by x, तो तुम लिख लो, 1 upon 3x square, और फिर इस 3x2 को differentiate कर दो क्योंकि ये बड़ा वाला x तुमने माना है इसको differentiate कर दो तो 3x2 के differentiation 2 बाहर आएगा और x की पार 1 तो ठीक उजा कितना हो गया 6x बटे 3x2 1x से x मर गया चेन रूल कि आप अंदर जा जा कर जा जा कर डिफरेंशिएट करते जाओ मतलब मतलब जैसे यह सवाल ले लो एक और सवाल से ही समझ में आएगा बच्चों वाई इज इक्वल्स टू माली लिखा है कॉस एक्स स्क्वेर नस्टू एक्स प्लस फॉर हमसे कहा डिवाइड एक्स निकालो आपको कैसी दुविधा है अगर कॉसेक्स लिखकर देता तो काम बन जाता है तब आप क्या लिख देते माइनस साइन एक्स आप अभी भी करो इस पूरे को मान लो एक्स तो आप लिखोगे माइनस साइन एक्स स्क्वेयर प्लस टू एक्स प्लस फॉर अब इस बड़े वाले एक्स को डिफरेंशिएट करके मुल्टिप्लाई कर दो तो और 4 constant है तो 0, तो final answer will be minus, 2x plus 2, multiplied by sin, x square plus 2x plus 4, ठीक है, जैसे मालों एक question वाल लेते हैं, y is equals to, y is equals to, y is equals to y is equals to y is equals to y is equals to 1 upon under root x square plus x plus 1 अब यह अगर 1 by 1 की under root x होता, 1 by 1 की under root x होता, तो आप आसानी solve कर सकते हैं, देखो इसको आप पहले भी क्या लिख लो, इसको आप लिख लो y is equal to x square plus x plus 1 की power minus 1 by 2, लिख सकते हैं कि नहीं, पक्का बोलो लिख सकते हैं कि नहीं, यह power half है, उपर जाके minus half, अब आप मान लो इस माइनस हाफ बाहर आएगा, x square plus x plus 1, power कितनी हो जाएगी, माइनस हाफ, माइनस 1, माइनस हाफ बाहर आया, इस पूरे को x माल लिया न, तो x की पार माइनस हाफ, तो माइनस हाफ, x की पार माइनस हाफ, माइनस 1 भाई x की पार n का differentiation क्या है n x की पार n minus 1 वही लगा दिया बहुत बढ़ी है अब इस आपको इसको पुरे ने आप पुरे को आपने x वाना है तो अब इसको उठा के differentiate कर दो तो x square का differentiation 2x x का differentiation 1 वन का definition 0 और multiply कर दो अब ये मत तोचना है ये divide हो रहा था तो इसको नीचे divide ना ना ना जो भी चीज़ है उसको differentiate करके multiply करना है सोचना नहीं है जो भी चीज़ है उसको differentiate करके जो भी चीज़ है उसको differentiate करके multiply करना है मतलब अंदर जाओ cos x का definition minus sin x और फिर उस चीज़ को differentiate कर दो तो एक्स की पार minus half होता minus half, x की power minus half, minus one, और फिर इस चीज़ को उठा के, differentiate कर दो, इसको बोलते है, chain rule, ठीक है, इसका जो traditional तरीका है, school में पढ़ाने का, वो है कि पहले t मानो, फिर dy by dt निकालो, इतना समय नहीं है हमारे पास, ठीक है, हम y is equals to sine of e की power 2x हमारे पास सवाल ऐसा आ गया y is equal to sine of e की power 2x अब दो तीन function मिले हुए हैं तो dy by dx is equal to आप चाह रहे थे ये पूरा x होता तो मान लो तो sine का differentiation हो जाएगा cos e की power 2x अब इसको अंदर वाले को differentiate करो क्योंकि यह x है नहीं पूरा यह तो e की पार्ट 2x है तो e की पार्ट 2x का differentiation क्या होगा e की पार्ट 2x का differentiation होगा e की पार्ट 2x इसमें भी आपने सोचा कि यह e की पार्ट x होता तब ही तो e की पार्ट 2x होगा पावर x आता, पर असल में क्या है e की पावर 2x, तो e की पावर 2x आया, अब 2x का differentiation क्या होगा, 2, so this will be the answer, तो बच्चों इस तरह से chain rule में अंदर जाते हैं, although यह last वाला सवाल मैंने थोड़ा सा बढ़ा दिया, बढ़ता जाएगा practice के साथ सद, इस तरह के सवाल आपके chain rule of differentiation म चैनल को लें और आपको प्रभाविक निर्भाव करें और आपको प्रभाविक निर्भाव करें और आपको प्रभाविक निर्भाव करें और आपको प्रभाविक निर्भाव करें और आपको प्रभाविक निर्� मालो बच्चों y is equals to कोई function लिखा है x square plus x plus 1 कोई भी function है ठीक है या x square minus x plus 1 कोई भी function है मैंने निखाला dy by dx कितना होगा 2x minus 1 x का definition 1 और 1 का definition 0 मैंने कहा dy by dx की value कहाँ पर 0 है, dy by dx की value कहाँ पर 0 है, तो 2x minus 1 की value 0 रखी, 2x is equals to 1, x की value 1 by 2, बच्चों अगर dy by dx 0 है, ये मान लो कोई function है, ये मालनो कोई function है मुझे ये बताओ कहाँ पे dy by dx 0 है अगर आप भूल गए हो बातें तो असलियत में dy by dx क्या था slope भूल गए क्या dy by dx क्या था slope और slope का मतलब क्या था time खीटा दिवाई बाई दी एक जीरो है, मतलब स्लोब जीरो है, मतलब टैन थीटा जीरो है, मतलब थीटा जीरो है, मुझे ये बताओ किस जगह पर दिवाई बाई दी एक जीरो हो सकता है, यहाँ पर, न, यहाँ पर, न, यहाँ पर, यस, ये वो जगह है जहाँ पर दिवाई बाई वह कैसा बने हो डिजांटल इस वेरी वेरी इंपोर्टेंट होरिजांटल टेंजेंट का मतलब ही होता है कि डिवाइड एक जीवन अब बताओ कहां पर स्लोप जीवन दिख रही कहां पर टेंजेंट होरिजांटल है एक इस जगह पर यहां पर बन रहा है तो यहां पर डिवाइड बाई डीएक्स की वैल्यू कितनी है जीवन या तो यहां पर मतलब जिस जगह पर वाइटी वैल्यू सबसे ज्यादा है या जिस जगह पर वाइटी वैल्यू सबसे कम देखो इस जगह पर ध्यान से देखो तो वाइटी वैल्यू कैसी है minimum इस जगह पर देखो तो y की value कैसी है maximum तो जहाँ पे y minimum होता है या जहाँ पे y maximum होता है वहाँ पे dy by dx 0 होता है यह concept भी अपने दिमाग में डाल लो कि जहाँ पे y की value maximum होगी या जहाँ पे y की value minimum होगी वहाँ पे dy by dx 0 मतलब x is equal to half रखने पे या तो y की value maximum आएगी या तो y की value minimum आएगी कि मतलब अगर हमें कोई बोलता है कि आप बताओ कि वह कहां पर मैक्सिमा या मैक्सिमम अभी समझ लो या वह कहां पर मिनिमम हो रहा है तो आप डीवाई बाइट डीएक्स इज इक्वेज्ड टू जीरो करके चेक कर लेना एक्स की वह वैल्यू मिल जाएगी एक्स की एक्स की x की वो value मिल जाएगी जिस पे या तो y maximum होगा, या तो y minimum होगा, आपके दिमाग में सवाल है, मुझे पता है कि कैसे पता चलेगा कब maximum, कब minimum, तो टुकडे टुकडे करके रोटियां खाओ, दिमेंदेंगे, भी में समझ में आएगा यह भी बात बताई जाएगी अभी मैंने इतना बताया कि dy by dx 0 का मतलब होता है कि tangent जो बनेगा वो horizontal मतलब y maximum या जब y minimum तब dy by dx 0 अगर अगर हम से पूछता कि ये ग्राफ, ये function, ये expression कहाँ पे maximum होगा, तो आप बोलोगे ये x is equal to half पे या तो maximum होगा, या तो minimum होगा, उस जगह पे maximum minimum होता है जहाँ पे dy by dx की value कितनी आजाए, 0 आजाए, ठीक है, कर लेते हैं जितसे पता चल जाए कि maximum minimum कैसे पता चलता है, तो माल लिज़े हमें दे रखा है y is equal to x cube बटे 3 plus 5x, x2 बटेटू प्लस 6x हमसे कहा है आप x की वो values बताइए जिन पे y की value या तो maximum है या तो minimum है और आप exactly बताइए भाईया कि x की किस value पे y maximum है x की किस value पे y minimum है दोनों पूछ लिया आप exact कहा पे x की value पे y maximum कहा पे minimum तो maximum minimum का सवाल आते ही पहले आप dy by dx को कितना कर दो zero कर दो तो इसको आप differentiate करोगे, x3 by 3 का differentiation होगा, 1 by 3 as it is लिखा रहेगा, constant है, x3 by 3, x की power 1 कम हो जाएगी, x2, plus 5 by 2 को as it is लिखा रहें दो, x2 का differentiation होगा, 2, x की power 1, 6x में 6 as it is लिखा रहेगा, प्रश्निशन होता है 1 and this will be equal to 0 3 ने 3 को मारा, 2 ने 2 को मारा तो बचा x square plus 5x plus 6 is equal to 0 so this is a quadratic equation so x square plus क्या लिख लें 2x plus 3x plus 6 is equal to 0 लिख सकते हैं, 2, 3 जा 6 यहां से x common, x plus 2 plus 3 common, x plus 2 is equal to 0 x plus 2 common लिया कि क्या बचा एक्स प्लस ट्रिंग इस इक्वल्स टू जीरो है है तो यहां से कह सकते हैं इधर कि एक्स प्लस टू इज जीरो और एक्स प्लस ट्रिंग जीरो तो यह तो एक्स की वैल्यू माइनस टू है या तो एक्स की वैल्यू माइनस टू है तो एक्स इक्वल्स टू माइनस टू पर मैक्सिमा या मिनिमम होगा एक्स इक्वल्स टू माइनस टू पर मैक्स एक्स की उन वैलू पे मैक्सिमा मिनिमा होता है जिनके लिए डी वाइड एक्स की वैलू जीवर तो क्या करो डिफरेंशेट और डिवाइव एक्स को जीवर रखा डिवाइव एक्स जीवर देखा एक्स की दो वैलू पर डिवाइव एक्स जीवर हो रहा है माइनस टू पर माइनस टू पर तब हम पता चलना है कि किस पर मैक्सिमम किस पर मिनिमम तो अब मैं लास्ट आपको रूल बता रहा हूं नोट करना पड़ेगा यह भी डी वाई बाई डी एक्स इस इक्वेल्स टू जीरो का दो मतलब होता है या तो मैक्सिमम वैल्यू है या तो मिनिमम वैल्यू है चेक करने के लिए आप निकालो डी टू वाई बाई डी एक्स स्क्वेर अब ये क्या चीज है सर इसको फिर से differentiate कर दो dy by dx को फिर से differentiate कर दो ये जो भी answer आया है ये क्या है what is all this this is dy by dx dy by dx को फिर से differentiate कर दो x के respect में और check करो कि value positive y या negative y positive y की तो minimum होगा negative y की तो maximum होगा बड़ा छोटा सा रूल है इसको आप डब्बे में बनाये हैं आप कॉपी में उताल लें क्या करना है पहले divide by dx को 0 करना है उससे x की values आएंगी अब चेक करना है कि वो maximum की value है कि minimum की मैक्सिमम की वैलू है की? मिनिमम की तो आप क्या निकाल लो? D2Y by DX2 मतलब इसको फिरिस से डिफरेंशिट कर दो फिरिस से डिफरेंशिट कर दो किसके रिस्टेक्ट में?
X के रिस्टेक्ट में अब चेक कर लो कि इसकी वैलू पॉजिटिव है की? नेगेटिव है नतीजा आपके सामने हो तो हमारे पास दो values हैं, x-2 है या x-3 है, यही लिख लेते हैं, या तो x की value minus 2 है, या तो x की value minus 3 है, dy by dx की value हमें मिल चुकी है, which is x square plus 5x plus 6, यहां तो differentiate करोगे, यह किया हुआ था हमने, dy by dx की value आई है, x square plus 5x plus 6, अब आप क्या करोगे, इसको फिर से differentiate कर दो x के respect में, यानि dy by dx को, फिर से डिफरेंशिएट कर दिया विद रिस्पेक्ट टू एक्स इस पूरी क्वांटिटी को फिर से डिफरेंशिएट कर दिया विद रिस्पेक्ट टू एक्स डी यानि इसका डिफरेंशेशन विद रिस्पेक्ट टू एक्स तो डी दो बार हो गया तो क्या जाएगा डी टू वाइट और नीचे क्या डी एक्स स्क्वेर लिखने का तरीका है यानि डी वाइट एक्स को दूसरी बार जब x2 का differentiation 2x पक्का है सबको 5x का differentiation plus 5 6 का differentiation 0 तो d2y by dx2 की जो value है वो है 2x plus 5 अब d2y by dx2 अगर positive है तो minimum अगर negative है तो maximum कहाँ पे x की values पे x की दो values चेक करनी है minus 2 यहाँ पे रखो एक बार minus 2 एक बार minus 3 दोनों रखके आए चेक करते हैं एक बार x की value minus 2, x की value minus 3, minus 2 रखा, minus 2, तो किसकी value चेक करनी है, d2y बटे dx square, तो 2 into minus 2 plus 5, minus 4 plus 5, कितना असर आया, 1 मतलब d2y by dx2 कैसा है? positive, मतलब यहाँ पे क्या है? minimum, यहाँ minimum, तो x is equals to minus 2 पे, y की value कैसी होने वाली है?
minimum, क्या इसके perfect सबूत मिल चुके हैं बिल्कुल? पहला सबूत था, dy by dx की value कितनी है? 0, कब? जब x की value minus 2 है, दूसरा, d2y by dx2 की value कैसी आ रही है?
positive, positive मतलब? minimum यहाँ पे आओ, d2y by dx square की value चेक करो, x is equal to minus 3 पे, तो 2 into minus 3 plus 5, minus 6 plus 5, answer आया minus 1, मतलब d2y by dx square negative, मतलब ये कैसी value है, maximum, तो y की value maximum हो रही है, कब x is equal to minus 3 के लिए सबूप क्या है dy by dx कितना आ रहा 0 और d2y by dx square कैसा आ रहा कैसा आ रहा कैसा आ रहा कैसा आ रहा negative तो negative पे maximum positive पे minimum तो मेरे ख्याल से आज की class में हमने कई दे सारे concept पढ़ लिया अब आपको जरुवत होगी इन concepts को revise करने के लिए साथ में kinematics भी चलेगा all the very best पढ़ाई करते रहिये