हाँ जी क्या हाल चाल है आप सभी के मेरा नाम है शोबित तिरवान और आज की इस वीडियो में हम बात करने वाले हैं आपके क्लास 9 पर क्वेश्चन की प्रैक्टिस अगर करनी है तो कॉपी पैन लेकर बैठ जाओ अभी बता रहा हूं ठीक है मेरी जानता इसी जोश के साथ इसी मोटिवेशन के साथ आज की इस वीडियो की शुरुआत करते हैं आज की इस वीडियो का श्री प्रैक्टिस करते हैं एम जो है हमारा वह हमेशा सौ बटा सौ रहेगा इससे नीचे सोचना भी मत गलती से भी मत साथ मैं concept भी बताओंगा तो ज्यादा tension लेने की load लेने की जरूरत नहीं है शुरुवात करते हैं, शी गनेश करते हैं आज के इस lecture का सबसे पहला question Is 4x2 plus 3x की power में 7 by 3 upon में cube root of x a polynomial? क्या ये एक polynomial है? क्या दिया है मैं? हमें दिया है 4x2 plus 3x की power में 7 by 3 upon में cube root of x हमसे पूछा है क्या ये polynomial है या नहीं है? कैसे पता करते हैं कोई polynomial है या नहीं है, मैं साइड में आपको कौन सा भी बताता रहूंगा कैसे पता करें, कैसे पता करें polynomial है या नहीं कैसे पता करें कि polynomial है या नहीं, simple हमें ये देखना है कि जो variables हैं इसके अंदर, variable क्या होता है मेरी जान x, y, z ये सब जो होते हैं variable की जो power है वो हमेशा whole number होनी चाहिए अगर variable की power में whole number दिख रहा है तो polynomial है, नहीं दिख रहा है तो polynomial नहीं है समझ गए, easy peasy, variable की power में whole number होने चाहिए, whole number क्या होते हैं वाइया, whole number होते हैं 0, 1, 2, 3, 4 and so on, यहाँ पे अगर हम देखें इस question में है, तो इस question में हमें दिख रहा है, x की power में 7 by 3, यह तो whole number नहीं है, cube root of x मतलब क्या होता है, वाइया देखो, root x होता है x की power में 1 by 2, cube root of x होता है x की power में 1 by 3, अगर x 5 है ऐसे, तो x की power में 1 by 5, जो भी होता है यहाँ पे 1 by कर देते हैं, तो यहाँ पे हम देख रहे हैं, यह लिखा है x की पावर में 1 by 3, तो यह भी whole number नहीं है, तो मतलब यह polynomial नहीं है, ऐसी गलती मत करना मेरी जान, क्यों?
क्योंकि जब भी तुम्हें इस तरह का question आए, तो समझ जाना कुछ googly है, direct देखते ही answer मत दो, पहले इ एक formula में पता है x की पार में a अपन में x की पार में b अगर हो तो होता है x की पार में a-b तो हम क्या कर देंगे x की पार में 7x3-1x3 तो यह बन रहा है 4x2 plus 3x अपन में ratio ले तो यहाँ पे हमें दिख रहा है variable की power में whole number है, तो yes, it's a polynomial, तो बस सबसे जादा गलती बच्चे क्या करते हैं, question देखा, अच्छा whole number नहीं है, polynomial लिया वाइं, मज़े आगे, ऐसा नहीं है, अच्छे से, पहले इसको reduced form में लेकर आओ, अगर solve हो सकता है, तो solve करो, कि हाँ यार, variable की power में whole number है, तो इसे हम polynomial कह देंगे, ठीक है? तो caution उपर बड़ा लिख लो caution इसका ध्यान रखना है आगे बड़े next question पर अगर हम जाएं तो next question पूछ रहे है for this एक हमें ये दे रखा है हमें बताना है degree of polynomial क्या है linear quadratic क्या होता है monomial binomial है coefficient क्या है constant term क्या है ये सारी चीज़ें degree of polynomial का मतलब होता है degree of polynomial का मतलब होता है variable की highest power variable की आई एस्ट पावर मालो तुमसे पूछ लिया जैसे मैं आपको बताऊं एक्स की पावर में फॉर प्लस एक्स क्यों प्लस एक्स की पावर में सेवन हमसे पूछे इस पॉलिनॉमियल की डिग्री क्या है तो डिग्री मतलब वेरियेबल की कौन सी आई एस्ट पावर एवेलेब उन्हें different तरीकों से लोगों ने बाट दिया, on the basis of degree बाटा, और on the basis of number of terms बाटा, number of terms मतलब जैसे इसमें देखें तो, एक, दो, तीन, तीन terms हैं, प्लस माइनस से जो differentiate होते हैं तरम्स कहते हैं, जैसे तुमसे पूछू 3x2 plus 2 में कितनी terms हैं, तो एक दो, दो terms हैं, तो number of terms के हिसाब से बाटा और degree के हिसाब से बाटा, उन्होंने कहा कि अगर भाई साब number of terms एक हैं, तो कहे देंगे monomial, अगर number of terms दो हैं, तो कहे द मैं आपको जल्द जल्दी recap करवा रहा हूँ, ठीक है, पढ़ना है अच्छे से, तो मैंने कहा है lecture में, क्योंकि यहाँ पर हम questions practice करने आया है, यह मस्त मैं आपको recap करवा रहा हूँ, तो polynomial को terms के basis पे, अगर एक term है, monomial, दो term है, binomial, तीन term है, trinomial, जैसे यहाँ पर हम देखें, तो कह देंगे क्या? degree 1 है तो कह देंगे linear polynomial, degree 2 है तो कह देंगे quadratic polynomial, degree अगर 3 है तो कह देंगे cubic polynomial, तो यहाँ पर अगर हम देखें तो highest power कौन सी available है? 2, तो degree क्या है? 2, अगर degree 2 है तो इसे कह देंगे by quadratic polynomial, degree 2 है तो quadratic polynomial कह देंगे, तो अगर तुमसे पूछ ले terms के basis पर बताओ, त क्या मेरी बात समझ में आ रही है, इसमें degree 7 है, तो उसका कुछ नाम होता होगा, इतना हमारा syllabus में नहीं है, हमारे को सिर्फ तीन चीज़ याद रखनी है, तो ये एक बहुत चोटा सा चार्ट है, अगर आपको skin shot लेना, आप skin shot ले सकते हो, ये बहुत basic concept है, इसके उपर, मतल हम क्या करेंगे इसमें हम यह करेंगे कि इसको डिफरेंट में बात लेंगे यह जो एलसीम है इसके नीचे भी ले लो इसके नीचे भी अलग-अलग ले लो तो 6X की पार में 1 by 2 upon में X की पार में 1 by 2 एलसीम बात लिया और X की पार में 3 by 2 upon में X की पार में 1 by 2 ऐसे 2 by 2, 1 होता है, यह बन गया 6 plus x, तो यह जो बड़ा सा polynomial हमें दिख रहा था, यह बड़ी सी जो चीज दिख रही थी, यह इतनी सी बन गई, यह गया बन गई, 6 plus x बन गई, ठीक है न, LCM बस दोनों में ले दिया, तो यह minus हो गया, ठीक है, तो हमारा अब जो final है, वो है 6 plus x, पहला, degree क्या है, एक्स की आईएस पावर क्या है वन ही तो है एक ही पावर है तो डिग्री क्या होगी वन होगी तो डिग्री अब दिपॉलिनोमियल इस वन लीनियर है क्वाड्रिटिक है क्यूबिक है वह डिग्री वन है तो लीनियर है मैंने भी बताया ना देखो डिग्री अगर वन है तो लीनियर है बहुत बढ़िया जी लीनियर पता चल गया लीनियर है तो मोनोमियल बाइनोमियल ट्राइनोमियल है कितनी टाइम है 12 दो टाइम्स है तो टाइम्स को क्या करते हैं दो कि बाय नॉमियल एक्स का कोफीशेंट का मतलब क्या होता है मेरे जान कोफीशेंट का मतलब क्या होता है कोफीशेंट मतलब क्या चिपका हुआ है एक्स के साथ क्या चिपका हुआ कोफीशेंट ऑफ एक्स क्या है वन है जैसे मैं तुमसे पूछूं 6x स्क्वेयर प्लस फॉर वाइट तो इसमें कोफीशेंट ऑफ x बताओ और coefficient of y बताओ, जल्दी से, x square, coefficient of x square बताओ और coefficient of y बताओ, तो x square के साथ क्या चिपका हुआ है, 6 के साथ क्या चिपका हुआ है, y के साथ क्या चिपका हुआ है, 4 चिपका हुआ है, वापस एक और question, minus 6x plus 3y minus z, तो x का y का और z का coefficient बताओ, x के साथ क्या चिपका हुआ तो इस तरह से हम coefficient बता देते हैं, easy peasy है, कोई बड़ी चीज़ नहीं है, constant term, constant मतलब, constant मतलब जिसके साथ कोई variable ��हीं है, 6, एक constant term है, तो इतना easy peasy सा ये question था, आगे अगर हम बड़े, if fy हमें दे रखा है, एक f दे रखा है, function दे रखा है y में, y की हमसे बोल रहा है f of root 2 बताओ, मतलब इस polynomial की value बताओ root 2 पे, यह value of polynomial का सवाल है, हमसे f y दे रखा है और हमसे f of root 2 पूछा है, तो y की जगह क्या लिख दिया, root 2 लिख दिया, जो भी यहाँ पे bracket में लिखेगा न, यहाँ पे y है, यहाँ पे root 2 लिख दिया, तो जहाँ y दिख रहे हैं, वहाँ root 2 लिख दो, सबसे असान concept है, जहाँ y ल तो वाई की जगह पूरा एक्स वाई हैगा, मतलब एक्स वाई की पावर में फोर, प्लस थ्री इंटू एक्स वाई का स्क्वेर, प्लस रूट टू इंटू एक्स वाई, बिलकुल दिमाग ही नहीं लगाना, जो अंदर लिखा है, वाई की जगह चेप दो, वाई की जगह चे माइनस टू मैं बस तुम्हें इतना बताना चाहा रहा हूं कि जो भी लिखा होगा वह सेम चीज चेप दो तो क्या लिखा हुआ है लिखा है तो रूट चेप दो तो रूट टू की पावर में फॉर प्लस थ्री इंटू रूट टू का होल स्क्वेर प्लस रूट टू इंटू रूट टू माइनस टू तो रूट टू की पावर फॉर रूट टू क्या होता है रूट टू का मतलब होता है टू की पावर में वन तो 2 2sा 4, तो मतलब ये बन गया 2 square, प्लस 2 से 2 गया, तो 3 into 2, 6, तो 2 square होता है, 2 square होता है 4 plus 6, it equal to 10, तो बस जो अंदर दिया है, वो सेम छेप दो, ये होता है value of polynomial, important चीज़ है, बहुत असान चीज़ है, पर बच्चे पता नहीं क्यों confused होते हैं, x y की पारमे 4 plus 3 x y का holes, बहुत असान concept है, Find the zeros of polynomial, zeros of polynomial का मतलब क्या होता है?
Zeros का मतलब क्या होता है? Zeros का मतलब पूरे polynomial को equal to zero कर दो, जो x की value है वो answer. क्या बोल दिया शोबित भे आपने? मैंने ये बोला, zeros of polynomial का मतलब ये होता है, जब भी तुम्हे zeros of polynomial बोल दे, तो उस polynomial को equal to zero कर दो, जो भी x की value है वो answer.
जैसे मैं इसे बोल दिया, x-4 एक polynomial है x में. पॉलिनॉमियल इन एक्स जो है वह एक्स माइनस फोर मेरे से बोल दे जीरो बताओ तो कुछ नहीं एक्स माइनस फोर को जीरो कर दो एक्स की वैल्यू फोर आ गई यही आंसर मेरे से बोल दिया एक्स माइनस टू का जीरो बताओ तो इसको इकुल टू जीरो करो एक x-3 तो हमें क्या करना है px को बस 0 करना है 0 पूछा है px को 0 कर दो तो मतलब x x2 x-3 को 0 कर दो 3 terms का multiplication 0 याद रखना हमेशा जीवन में जब भी terms multiply हो रही है और उनका product जो है वो 0 आ रहा है multiply होके 0 आ रहा है तो इस case में क्या करते है तीनों को 0 कर देते हैं x को भी 0 कर दो दूसरे वाली term को भी 0 कर दो और तीसरे वाली term को भी 0 कर दो जब भी, मालो तुमसे बोल दिया जाए, x into y equal to 0 है, तो इसका answer जब भी निकालोगे, तो x को भी 0 कर दो, y को भी 0 कर दो, terms का multiplication अगर 0 है, तो तीनो terms को 0 कर दो, 3 है, 4 है, 10 है, सब हम क्या कर देंगे, individually 0 कर देंगे, तो हमने x equal to 0 एक ही answer आया, x equal to minus 2 एक ही answer आया, और x की value आगे ये तीनो जो है, ये तीनो, ये तीनो are the zeros of polynomial, 0, minus 2, 3 are the zeros of this polynomial, easy peasy, तो zeros निकालना है, बस equal to 0 करो, जो x की value है, वह answer, next अगर हम बढ़े, find the remainder, देखो, बहुत important concept, मैं तुम्हें पहले यहाँ पर बता दू, दो concept होते हैं, एक होता है आपका remainder theorem, एक होता है आपका रिमेंडर थियोरम यह बच्चों को बहुत कंफीजन होती है पांच मिनट पर ध्यान से सुन लेना सारी कंफीजन डूर कर दूंगा और दूसरा होता है आपका फैक्टर थियोरम एक होता है रिमेंडर थियोरम और एक होता है फैक्टर थियोरम दोनों ध्यान से सुनना बहुत असान भाषा में समझा दूंगा बहुत असान भाषा में रिमेंडर थियोरम का मतलब क्या होता ध्यान से समझना हमसे बोला गया है divide 4x square minus 3x plus 2 by x minus 2 एंड फाइंड रिमेंडर ना फाइंड रिमेंडर या डिवाइड भी छोड़ो हमसे सीधा बोल दिया जाए फाइंड रिमेंडर वेन फाइंड जगह छोटी बढ़ गई फाइंड रिमेंडर वेन दिस इस डिवाइड बाई एक्स माइनस टू तो हमने क् x-2 से डिवाइड कर रहे हैं, तो बताओ remainder क्या होगा, तो या तो हम वो long division method करें बड़ा सा, या फिर हम remainder theorem का use करें, remainder theorem ये कहती है, कि अगर इसको इससे डिवाइड कर रहे हो, क्या, 4x2-3x2 को डिवाइड कर रहे हो x-2 से, तो जो remainder होगा, वो होगा, इस polynomial इन x को divide कर रहे हो x-2 से, है न, इस polynomial को x-2 से divide कर रहे हो, दो polynomial को divide कर रहे हो, तो जो remainder होगा, उसको निकालने का simple सा तरीका है, जिससे divide कर रहे हो, पहले इसको बगल में 0 कर दो, x-2 को 0 कर दिया, तो x के value 2 आ गई, तो जो remainder होगा, वो होगा p of 2, जो remainder होगा, इसको इससे डिवाइड कर रहा हूँ इस पूरे polynomial को इस वाले polynomial से डिवाइड कर रहा हूँ तो पहले इसको बगल में 0 कर दिया है एक्स की value निकाल ली बगल में 0 करके एक्स की value निकाल ली एक्स की value आगे 2 तो जो remainder होगा वो होगा इस polynomial की value at 2 इस polynomial की value at 2 ये px है तो p2 निकाल दो वो या ��ंसर होगा तो p2 क्या होगा तो 4 x 2 का square minus 3 x 2 plus 2 तो 4 x 2 का square, 2 का square होता 4, 4 x 4 तो 16, minus 6, plus 2, तो हो गया 16 में से 6 है, 10, 10 plus 2, 12, तो ये क्या है, ये ही हमारा remainder है, तो जब भी remainder निकालना है, तो क्या करो, जिससे डिवाइट कर रहे हो, बगल में 0 कर दो, और P of this is the answer, जैसे, मैं आ� कि find the remainder when y cube plus y square minus 2y plus 5 is divided by y minus 5, y minus 5 से divide कर रहे हैं ऐसे, y minus 5 से, तो एक polynomial है किस में है, polynomial in y है, polynomial, p का मतलब polynomial और bracket में लिखता है किस में है, तो polynomial in y है, इसको हम इससे divide कर रहे हैं, तो remainder बताओ, हमसे क्या पूछ रहे है, remainder बताओ, हमसे पूछ रहे है, find the remainder, तो remainder क्या होगा इसको बगल में 0 कर दो, y-5 को 0 कर दिया, तो y की value 5 आगी, तो remainder होगा p of 5, निकाल लो p of 5, y की जगे 5 रख दो अर जगे, जो भी है bracket में वो रख दो, तो 5 का square-2 into 5, plus 5, यह मारा answer होगा, solve कर लेना, समझ गए, यह बहुत असान था remainder theorem, confuse मत ओना, remainder theorem मतलब simple बोल रहा है, बस remainder निकाल दो, remainder theorem का मतलब, बस remainder निकाल दो, इसके आगे कुछ नहीं कह रहा remainder theorem, इसके आगे कुछ नहीं कह रही remainder theorem, अब हम आते हैं factor theorem में, factor theorem क्या कहता है, factor का मतलब क्या होता है, factor का मतलब, factor का मतलब कि माल लो अगर 4 वो, 2 is the factor of 8, क्या 2 8 का factor है, factor का मतलब क्या होता है, कि अगर मैं 8 को 2 से डिवाइड करूँगा तो 2 4 जा 8, remainder 0 आएगा factor का मतलब क्या होता है? पूरा डिवाइड कर दिया, factor का मतलब पूरा डिवाइड कर देगा पूरा डिवाइड कर देगा यही होता है factor का मतलब पूरा डिवाइड का मतलब क्या होता है? remainder 0 हो जाएगा और remainder का मतलब क्या होता है?
बाई वापस confusion नहीं, बिल्कुल confusion नहीं, क्या बोला है, factor का मतलब होता है पूरा divide कर देगा, पूरा divide मतलब remainder को zero कर देगा, अरे remainder को zero कर देगा, अच्छा मेरी जान एक बात बताना, अगर 4x square minus 3x plus 2 इसको divide कर दिया हमने x minus 2 से, है न, हमें बोल रहा है, हमें हमसे बोल दिया x-2 हमें नहीं पता है या नहीं है या मैं और असान सा कोई question ले लो तो मालो 4x2-16-या plus हम ले लें इसमें 3x है ना और माइनस कर देंगे यहां पर 22 है और मैं बोल रहा है एक्स माइनस टू इस दिफेक्टर फैक्टर का मतलब क्या होता है फैक्टर मतलब पूरा डिवाइड कर देगा मतलब जब इसको इससे डिवाइड करेंगे मालों पॉलिनॉमियल एक्स है तो हम इस पॉलिनॉमियल हम इस पॉलिनॉमियल को जब डिवाइड करेंगे x-2 से, तो factor का मतलब क्या है, ये इसका factor है, question में बोल दिया ये इसका factor है, जैसे बोल दिया न, 2 is the factor of 8, तो ऐसे ही बोल दिया कि ये is the factor of this, x-2 is the factor of this, तो मतलब जब x-2 से इसको डिवाइड करेंगे, तो remainder 0 आएगा, और remainder क्या होता है, वाई remainder theorem हमें तो कुछ नहीं पहले इसको बगल में 0 कर दिया, x-2 equal to 0 का x-2 equal to 2 आ गई, तो remainder जो होता है, वो होता है p of 2, और अगर यह इसका factor है, तो remainder 0 है, तो p of 2 equal to 0, यह हमारा factor theorem है, confusion नहीं हो रही है, बिल्कुल नहीं हो रही अगर इसको इससे डिवाइड करा तो remainder यह होगा, बस इतना समझ में आ गया, इसको इससे डिवाइड करा तो remainder यह होगा, इतना समझ में आ गया, factor theorem कहती है कि अगर यह इसका factor है तो remainder जीरो होगा, factor theorem तो बहुत इतना कहती है कि remainder जीरो होगा, पर हमने factor theorem में अगर remainder theorem में mix कर दें तो हम समझ में आ गया, remainder क्या होता, remainder होता पी आफ टू तो पी आफ टू जीरो होगा, तो remainder theorem सिर्फ हमें remainder निकालने के लिए help करती है, कि फैक्टर थिवरम में थोड़ा सा रिमेंडर थिवरम का काम आता है कहां काम आता है जब वह कहते हैं रिमेंडर जीरो है हमने का रिमेंडर जीरो है तो रिमेंडर जीरो है मतलब पी ऑफ टू जीरो है अरे समझ में आ रही है पर remainder होता क्या है, वो हमने पिछली theorem से use कर लिया, कि remainder का मतलब तो P2 होता है, मतलब P2 ही 0 है, अरे समझ में आया, तो मैं basically जो तुम्हें बताना चाहता हूँ, question करेंगे तो बहुत अच्छे समझ में आयागा, देखो, factor theorem क्या क और remainder क्या होता है इसको बगल में 0 करा तो x की value a i मतलब p of a 0 होगा ठेक है यह होता है factor theorem का एक part इसका converse भी true है converse क्या true है कि if pa is equal to 0 अगर pa 0 है then x minus a is the factor तो x minus a जो होगा वो factor होगा यह तो तुम्हें समझ में आ गया question करेंगा और अच्छे समझ में आएगा इतना basic समझ में आ कि अगर divide करेंगे तो remainder 0 होगा, और remainder कैसे निकालते हैं, वो हमने remainder theorem से सीखा है, क्या, कैसे निकालते remainder, पी ये जो होगा, वो ही remainder होगा, question करेंगे और अच्छे समझ में आएगा, मैं तुम्हें concept समझाना चाहता हूँ, question अगर मैं यहाँ पर देखूं, if x-2k is factor of this, क्या, x-2k is factor of, is factor of fx, यह इसका factor है, कि फैक्टर का मतलब क्या होता है रिमेंडर जीरो फैक्टर थ्यौरम से में यह पता है कि फैक्टर का मतलब होता है रिमेंडर जीरो और रिमेंडर का मतलब क्या होता है वह रिमेंडर थ्यौरम निकाल लिया कि अगर हमने एफेक्स को इससे डिवाइड करा तो रिमेंडर क्या होगा यहां तक फैक्टर थ्यौरम कथा इसको बगल में 0 कर दिया, x-2k बराबर 0, तो x की value 2k, तो f of 2k जो है, ये हमारा क्या होगा, 0 होगा, remainder 0 है, तो मतलब f of 2k 0, क्योंकि remainder जो होता है, वो हम ऐसे निकालते हैं, remainder निकालने का क्या तरीका है, बगल में 0 करा, रख दिया, तो ये है, मतलब ये minus 6 बराबर 0 कर दो, है ना, तो 5 into 2 cube is 8k cube, minus 10 into 4k cube, है ना, कि माइनस थ्री टू जस्ट के माइनस के बराबर जीरो यार है 85040 के क्यूब माइनस 40 के क्यूब माइनस 6 के माइनस 6 बराबर जीरो ठीक है जी 40 के क्यूब गया तो माइनस 6 के बराबर 6 आया यह माइनस इधर जाएगा माइनस वन तो के बराबर आगे माइनस वन के की वेल्यू आगे माइनस वन इसे कहते हैं फैक्टर थ्यूरम फैक्टर बाई remainder theorem जीरो होता है, remainder क्या होता है, ये होता है, तो मतलब ये भी जीरो होगा, ये ही है factor theorem, तो जब भी तुम्हें बोला जाए ये इसका factor है, तो remainder जीरो कर दो, और remainder कैसे निकालोगे, तो तुम्हें पता है, f of 2 के जो होगा, वो remainder होगा, तो वो जीरो, हमें x plus 1 जो है इन में से कौन से polynomial का factor है factor का मतलब factor का मतलब कि अगर divide कर दे तो remainder 0 आ जाए divide कर दे तो remainder 0 आ जाए और remainder कैसे निकालेंगे remainder कैसे निकालेंगे p of क्या होगा remainder का मतलब क्या होता है इसको 0 कर दिया बगल में x plus 1 बराबर 0 कर दिया तो x की value minus 1 आई तो हमें p of minus 1 देखना है जिसका भी p of minus 1 0 आ जाए वो answer होगा मतलब हम sum में x की जगे minus 1 रखेंगे जो भी पूरा डिवाइड हो जाएगा वो answer होगा, जो भी पूरा 0 कर देगा वो answer होगा, तो सम में x की जगह minus 1 रख दें, तो इसमें भी x की जगह minus 1 रख दें, minus 1 का whole cube plus minus 1 का whole square minus of minus 1 plus 1, तो यह हो गया है minus 1 का whole cube is minus 1, odd power है तो same रहेगी, even power है तो sign change जाएगा, minus होता है plus 1 plus 1, जिसमें भी 0 आजा है वो answer होगा, तो इसमें देखें तो minus 1 की power 4 plus minus 1 का whole cube plus minus 1 का whole square plus 1, तो minus 1 की power 4 is 1, even power है तो 1 रहेगा, odd power है तो minus 1 हो जाएगा, even power है तो plus 1 रहेगा plus 1, यहाँ पे भी सिर्फ 2 बच रहा है, यहाँ पे अगर हम देखें तो minus 1 की power में 3 plus minus 1 क�� power 2 plus minus 1 plus 1, तो odd power है तो plus 1, minus 1, plus 1, minus 1 सारे 0 हो गए, तो b is the correct answer, easy peasy है, हमें बताना था कि x plus 1 किसका factor है, तो x plus 1 को 0 कर दिया, x की value minus 1 आई, तो हमें बस यह देखना है कि p of minus 1 किसमें 0 है, अनलब जिसमें remainder 0 हो जाएगा वो answer, remainder 0 करना था, remainder क्या होता है, p of minus 1, तो बस वो check करना था, ज अब बोत x-2 and x-1 by 2 are the factor of this, then show that p-r is 0. वो p equal to r, यह हमें show करना है. क्या बोला है? यह भी इसका factor, और यह भी इसका factor. मतलब इन दोनों से जब इसे divide कर रहे हैं, तो remainder 0 आ रहा है.
तो remainder कैसे निकालते हैं? x-2 को 0 करा, तो x की value आ गई 2. तो x की value 2 आ गई है, तो पहले f of 2 0 कर देते हैं. बाइ ये इसका factor है, मतलब जब इसको इससे divide करेंगे तो remainder 0 आएगा, और remainder क्या होता है, इसको 0 कर दिया बगल में तो x के विलेट हूँ, तो मतलब remainder जो है वो है f of 2, तो f of 2 0 कर दिया, तो f of 2 0 करें, तो p into 2 का whole square plus 5 into 2 plus r बराबर 0 कर दिया, simple जो भी factor है उसको उसमें बर दो और equal to 0 कर दो, अगर जादा नहीं समझ में आ रहा हूँ, मैं बिल्कुल easy प्राशा में समझा रहा हूँ, जादा अगर देखो conceptual अगर तुम्हें चीज़े समझ में आ रही है, तो क्या होगा MCQs हो गए, Assertion Reason हो गए, वो सारी चीज़े भी तुम्हें अच्छे समझ में आएंगी, बट अगर मालो इन केस तुम्हें नहीं समझ में आ रहा, तो मैं तुम्हें यह बता रहा हूँ, यह इसका factor है न, तो इसको बगल में 0 कर दो, इसमें put कर दो और equal to 0 कर दो लिख लो के जो मैं बोल रहा हूँ, धियान से सुनना, ये इसका factor है, तो इसमें से x की value निकाल लो, क्या बोल रहा हूँ मैं देखो, बिल्कुल मैं अगर तुम्हें concept नहीं समझ में आ रहा है, तो मैं तुम्हें बिल्कुल working principle बता रहा हूँ, x की value निकालो, य दूसरा step उस x की value को polynomial में रखे एक्कोल टू जीरो कर दो तो मैंने कहा रहा है एक्स की वैल्यू टू रख दी इसमें और एक्कोल टू जीरो कर दिया इस पॉलिनॉमियल में एक्स की जगह टू रख की इक्कोल टू जीरो कर दी बस ये दो स्टेप है एक्स की वैल्यू निकालो पॉलिनॉमियल में रख की इक्कोल टू जीरो कर दो ये होता है फैक्टर थियोरम ये ही करा है अभी तक हमने देखो क्या करा हमने भी एक्स क x की value को निकाल के polynomial में रख दी और equal to 0 कर दिया यह answer तो x की value निकालो polynomial में रख के equal to 0 कर दो x की फिर से बोल रहो चार बार बोल रहो अगर नहीं समझ में आ रहा है मैं बिल्कुल working principle बता रहा हूँ तुम्हें दो step है x की value निकालो polynomial में रख के equal to 0 कर दो x की value निकालो polynomial में रख के equal to 0 कर दी x की value निकालो polynomial में रख के जो जीरो दे रही है वही answer एक्स की वेल्यू निकाली एक्स की वेल्यू टू आई पॉलिनॉमियल में रखे इक्वल टू जीरो कर दिया इसमें से भी यही करेंगे हां मालो यह भी इसका फैक्टर है यह इसका फैक्टर है मतलब क्या करेंगे हम एक्स की वेल्यू निकालेंगे तो एक्स की वेल्यू पॉलिनॉमियल में रखेंगे तो पॉलिनॉमियल में रख देंगे तो पी ऑफ वन बाई टू काउल स्क्वेर प्लस फाइव इंटू वन बाई टू प्लस आर बराबर जीरो कर दो तो दोनों को जीरो कर दिया यहां पर भी जीरो कर 10 plus r बराबर 0, यह आ रहा है यहाँ पे, पहला आ रहा है, 4p plus 10 plus r 0, और यहाँ से हम देखें तो, p by 4 plus 5 by 2 plus r बराबर 0, पूरा LCM ले लेगा हम 4, तो p plus, यहाँ पे LCM लेंगे तो 5, यह 2 है, तो 2, 2 is a 4, 5, 2 is a 10, plus 1, 4 is a 4, 4 into r, 4r, equal to 0, यह एक और जाके 0 हो जाएगा, तो p plus 10 plus है और यह दूसरी क्वेश्चन इन दोनों से पीएर की वेल्यू निकालनी है कैसे निकालोगे एलिमिनेशन लगा दे है रेली मिनट लगा दे क्या एलिमिनेशन लगा दे क्या यह पता है क्या RHS 0 इसका भी RHS 0 तो both are equal तो both equal कर दिया तो 4P plus 10 plus R बराबर P by 4 plus 5 by 2 plus R कर दिया R से R गया तो यहाँ से हम देखें P को एक साथ ले तो 4P minus P by 4 equal to 5 by 2 minus 10 LCM ले 4 तो उपर बन रहा है 16P minus P equal to यहाँ भी LCM ले 2 तो 5 minus 20 2 2's are 4 होता है, तो यहाँ से हम देखे 16P minus P is 15P, यह 2 इदर जाएगा, यहाँ पे बन रहा है minus 15, minus 15 into 2 is minus 30, तो 15 दूनी 30, तो P की value आ गए minus 2, P की value आ गए minus 2, P जो है वो minus 2 आ गया, P minus 2 है इसमें रख दो, यह इसमें रख दो, P की value minus 2 रख दी, तो 4 into minus 2 plus 10 plus r equal to 0, तो minus 8 plus 10 plus r equal to 0, तो, 2 plus r equal to 0, तो यहां से भी हम देख रहे हैं, r की value भी minus 2, तो p भी minus 2, r भी minus 2, therefore, p equal to r, दोनो minus 2 है, दोनो minus 2 है, तो p बराबर r, भाईया बहुत बारी question करवा दी, बारी नहीं है, बारी नहीं है, steps हैं बस, steps हैं, कुछ नहीं, देखो, देखो मेरी जान, ये इसका factor था, x की value निकाली, put कर दी, ये equation बनी, ये भी इसका factor था, तो x की value निकाली, इसमें put करी, एक equation बनी, ये दोनों 0 के बराबर हैं, ये भी 0 के बराबर, तो दोनों को बराबर कर दिया, दोनों का LHS बराबर करे, इसका LHS और इ इस p की value को किसी में भी रख दो, 1 में रख दो, 2 में रख दो, तो मैंने 1 में रखा, p की जगे minus 2, तो r भी minus 2 आ गया, p और r दोनों minus 2, p equal to r, next question पे अगर हम बढ़े, तो next question, ये इसकी जो आपको pdf होगी, ये telegram में मिल जाएगी, इसकी पूरी की पूरी session की pdf, तो उसकी tension मत तो positive integer क्या होते है 1, 2, 3, 4 और कौन से होंगे, 1, 3, 5, 7, 9 and so on, ये सारे होंगे, और positive वाले, positive वाले इधर ले लिया हमने, ये इसका factor है, तो factor है मतलब, इसको, इसमें से x की value निकाली, तो x की value minus a, वो इसमें put कर दो, और equal to 0 कर दो, तो x की value minus a की power में n, plus a की power में n, equal to 0 कर दो, है ना, तो हमें ये देखन हमें देखना है ये इसका, हमें क्या पताने कि odd positive integer n, तो n की जो values हैं, वो ये सारी होंगी, तो ये 0 होगा, ध्यान से देखना, question में बोल रहा है ये इसका factor है, तो मैंने क्या करा, x की value उठाके इसमें रख दी, तो x की value minus a है, इसमें रख दी, अब ये कब 0 रखता है गैसे मान लो एंड वेल्यू वन है तो माइनस एक पार में वन प्लस एक पार में वन इसको खोलें तो माइनस एक प्लस एक जीरो एंड की वेल्यू अगर टू है जो कि एक इवन नंबर है इवन में क्या होगा माइनस एक प्लस a क्यूब हो गया, ये भी हमारा 0 आ गया, तो हम ये देख रहे हैं, जब भी n odd है, odd positive, positive odd है, तो we can observe, ऐसे लिख दोगे, बस नीचे, कुछ नहीं करना, बस नीचे लिख देना है, we can observe, then that, when n is positive odd integer, then only this polynomial is equal to 0, then only this is equal to 0, therefore हम ये कह देंगे, कि खाली positive odd integers पे ही, ये इ क्योंकि सिर्फ positive ordinate integers पे ये 0 बन रहा है, even वाले पे तो, even वाले पे क्या हो रहा है, even वाले पे तो ये non-0 बन रहा है, तो ये हमें बस लिख के बताना है, और कोई बड़ी चीज नहीं है, next, factorize करना है, factorize जो है, ये हम quadratic में भी सीखते हैं, यहाँ पे भी मैं आपको पता देत ऐसे दो number पी और क्यू में तोड़ना है such that उनका जो sum है वो तो यही आजाए minus 7 ही आजाए और उनका जो product है वो क्या है 1 into 12 constant into x square का हो गया 12 तो हमें ऐसे दो number चाहिए जिनको sum करके क्योंकि इसे को split कर रहे हो तो वापस तो यही बनना चाहिए तो sum करके तो minus 7 ही बने पर multiply करके उन दो नमबर के 12 बन जाए तो 12 multiply करके कौन-कौन से number से बनेगा ऐसा करते हैं 12 को factor कर लेते हैं, तो 2 6 जा 12, 2 3 जा 6, 3 जा 3, club कर लो, 2 4 और ये बचा 3, 4 और 3, अगर हम 4 3 जा करें तो 12 बनता है बहुत बढ़िया, और 4 और 3 को अगर हम add करें तो 7 भी बन जाएगा, तो बहुत बढ़िया, तो जो दो number हैं, वो है 4x और 3x, यहाँ पे 12x2 ऐस तो plus 4x plus 3x plus 7x बन जाएगा, तो plus तो नहीं रख सकते, तो दोनों को minus करेंगे, तो minus 4x minus 7x है, minus 4x minus 3x है, minus 7x, अब देखो इसमें से क्या common मिल सकता है, 4x common मिल सकता है, तो अंदर क्या बचा, 3x बचा, 4, 3, 12 होता है, तो 4x common ले लिया, 1x गया, और 4 common क्या, 4, 3, 12 और 1x बचा, तो minus 1, यहां से सिर्फ minus 1 common ले सकते हैं, माइनस कॉमल लेंगे अंदर का साइन चेंज होगा तो अंदर भी बनेगा 3x-1 ये हमारा ऐसा बन गया तो जब भी तुम इस तरह से फैक्टराइज करोगे न मेरी जान तो क्या होगा कि ये जो है न ये दोनों जो चीज़ें है ये सेम बनेगी क्यों सेम बनेगी क्योंकि अभ इस पूरे पू महेश वांट्स टू पेंट अवार ऑफिस रूम कोई एक वॉल है जिससे उन्हें पेंट करना है इन डिसाइड टू पेंट द वॉल है कोई तो मालो एक रेक्टेंगलर वॉल ह नहीं है ना एक रेक्टैंग्लर वॉल होगी ना बना दूं तो इस तरह की हमारी एक वॉल होगी महेश भाई की यह महेश भाई की वॉल है इस आईट टो पेंट वॉल इन टू कलर पिंक एंड वाइट डिवाइड डायगनली तो डायगनली उसने पिंक और वाइट कलर में बची भी आदी जगह में वो पिंक कर रहा है इस तरह से डाइगनल यूज ने डिवाइड कर दिया कलर्स को आदी जगह पर पिंक आदी जगह पर वाइट ठीक है जी लेंथ एंड ब्रेंथ आप द वॉल आर एक्स प्लस फॉर लेंथ जो है वह एक्स प्लस फॉर है और ब्रेट के थ्री एक्स प्लस टू पर एक्स स्क्वेयर प्लस थ्री एक्स यह में डाइग्नल की लेंथ दिए बहुत बढ़िया जी एरिया आफ द वॉल इस देश पॉलिनॉमियल एरिया क्या होता है एरिया आफ रेक्टेंगल क्या होता है लेंट इंटूब्रेट लेंट क्या है एक्स प्लस फॉर इंटूब्रेट क्या है तीए प्लस 4 इंटू 3X इस, 4 तीजा, 12X, प्लस 4 इंटू 2 इस 8, तो यहाँ से यह बन रहा है, 3X स्क्वेर प्लस 14X प्लस 8, तो यहाँ पे हम देख रहे हैं, X की IS पावर जो है वो 2 है, तो degree 2 है, degree 2 मतलब quadratic, area क्या है, area है X प्लस 4 इंटू 3X प्लस 2, B is the answer, 0 of the polynomial this is, 0 निकालना है, मतलब x की ऐसी क्या value है जिस पे 0 हो जाए, x बराबर 4 मतलब x-4 बराबर 0 करतो तो x की value 4, तो x बराबर 4 ही तो 0 है, ये तो बहुत ही असान सा सवाल था, 0 मतलब जिस पे बराबर हो जाए, तो x बराबर 4 का 0 हो जाए, तो खुद ही बोल रखा x बराबर 4, तो x बराबर 4 ही 0 है, रेक्टेंगल के क्या डाइमेंशन से एक्स प्लस फूर और थ्री एक्स प्लस टू यह क्या क्य कितना कम करें थोड़ा सा उल्टा अंस प्रेशन है मेरे को लग रहा है यहां पर जो है ना यहां पर लिखना होगा क्वेश्चन होगा कि फॉर दिस लेंथ शुट बिडीज बाय होगा ब्रेट्स रिड्यूस को यह पाएगी बई यहाँ 3x प्लस 2 बलेंगे, जब ही तो square क्या होता है, दोनों sides बराबर, तो अगर यह 3x प्लस 2 है, तो यह भी 3x प्लस 2 होना चाहिए, मेरे को लग रहा है question सही था, sorry, question सही था, यह rectangle कुछ इस तरह का है, x प्लस 4 और 3x प्लस 2 यह है न, यह x 3x plus 2 तो बड़ा है ना, x plus 4 से, अब पता नहीं x की value, x की value जो भी होगी, positive होगी most probably, हमें बोला है breath को कितना reduce करें, तो हमें अब square बनाना है, इस rectangle को square में convert करना है, तो यह rectangle ऐसा है, तो इसको square के लिए कुछ ऐसा बनाना पड़ेगा, अगर यहाँ x plus 4 है, तो यहाँ भी x plus 4 च तो square कैसे बनता है जितनी length उतनी breadth तो हमें यह x plus 4 है तो इतना भी x plus 4 चाहिए तो breadth को कितना कम कर रहे हम इतना कम कर रहे हैं पहले इतनी थी अब इतनी कर दी तो कितनी कम करी इसमें से यह minus कर दो तो मतलब 3x plus 2 यह जो पूरी थी 3x plus 2 में से x plus 4 minus कर दो तो यह length तो 3x प्लस 2 में से x प्लस 4 माइनस कर दिया, 3x प्लस 2 माइनस x और माइनस 4, तो 3x माइनस x इस 2x, प्लस 2 माइनस 4 is माइनस 2, तो 2 कॉमल ले और x माइनस 1, तो 2 इंटू x माइनस 1 is the answer, ये हमारा answer रहेगा, ठीक है जी, 2 इंटू x माइनस 1, हमें स्क्वेर बनाना था तो हमें इतनी सी दिवार चीए थी, ये फाल्तू थी, तो जो फाल्तू है वो ही pink क्या है, भाई area जो pink paint हो रहा है, वो क्या होगा area जो pink paint हो रहा है, हमें वो बताना है, यह वाला area बताना है, इस pink का area बताना है, इस pink का area, तो यह क्या है, यह एक तरह से triangle है यह क्या है, यह एक तरह का triangle है कुछ ऐसा triangle है यह तो, जिसकी यह जो है, यह हमें दे रखिया 3x पुलस 2, और यह जो दे रखा है triangle का area क्या होता है, half into base into height base क्या है half into base क्या है?
3x plus 2, height क्या है? x plus 4, तो half into 3x plus 2 into x plus 4 यह answer है, क्या? half into 3x plus 2 into x plus 4 यह answer है, तो half into x की जगे क्या रखना है? 2 रखना है, तो 3 to the 6th plus 2, और 2 plus 4 is 6, तो half into 6 plus 2 होते हैं, 8 into 6, तो 2, 3 is a 6, 8, 3 is a 24, 24 is the answer.
तो बस area of triangle निकालना था, half into base into height लगा दिया, easy peasy है, बस इसमें यह वाला question थोड़ा सा दिमाग वाला है, कि जिसमें हमें square बनाना है, तो square बनाना तो मैं बता दिया है कैसे बनाना है, ठीक है मेरी जान, आगे बड़े, evaluate this by using our suitable identities, अब देखो, इस chapter में identities के उपर भर के questions हैं तो इसलिए सबसे पहली चीज़ है तुम्हें identities आनी चाहिए जो ये है इनका एक बार पहले screenshot ले लो ये identities सबसे जादा important है ये सारी identities तुम्हें आनी चाहिए इन में से maximum तुम्हें आती है जो नहीं आती है मैं बताता हूँ देखो a plus b का whole square x plus y का whole square आता है a square plus b square plus 2a भी आता है a minus b का whole square is a square plus b square minus 2a भी ये भी आता है a square minus b square जो होता है a plus b into a minus b ये भी आता है एक नई चीज़ आती है x plus a into x plus b ये एक नया फॉर्मुला है, क्या? कि x प्लस a इंटू x प्लस b जो होता है, वो होता है x स्क्वेर प्लस a प्लस b x प्लस a b ये एक नया फॉर्मुला तुम्हारे सामने आया, x प्लस a इंटू x प्लस b जो होता है, वो होता है x स्क्वेर प्लस a प्लस b x प्लस a b इसके उपर जो questions तुमसे पूछे जाते हैं, वो ऐसे पूछे जाते हैं, देखो, हमसे पूछ लिया जाएगा, find 105 इंटू 106 without multiplying directly डायरेक्ट मुल्टिप्लाइन नहीं करना विडाउट डायरेक्टली मुल्टिप्लाइन हमसे इसकी वैल्यू पूछ ली तो हमसे इसकी वैल्यू पूछ ली 105 इंटू 106 विदाउट डायरेक्टली मुल्टिप्लाइन कैसे करें� यह क्या है, यह बन गया इस तरह से देखो, x प्लस a इंटू x प्लस b, कुछ ऐसा बन गया, इसका formula क्या होता है, x स्क्वेर प्लस a प्लस b x प्लस a b, तो x क्या है, x सेम होना चाहिए, दोनों तरफ सेम होना चाहिए, हमें सेम ही दिख रहा है, बहुत बढ़िया, तो x की value 100 है, प्लस एंटू बीज फाइव इंटू सिक्स तो सौंखा स्क्वेयर इस एक दो तीन चार प्लस सिक्स पाइव पांच और छह ग्यारा सौंख प्लस सिक्स पाइव थर्टी तो बस इनको मिटिप्लाइड इनको सबको एड करेंगे तो 3011 यह अंसर है हमारा इन तीनों दूसरी है a plus b plus c का whole square, ठीक है, क्या है, x plus y plus z, तीन चीजों का whole square, दो का तो याद है तुम्हें, a plus b का whole square, a minus b का whole square, दो का तो याद है, पर तीन आ जा तो क्या होता है, होता है x square plus y square plus z square plus x y, वो, plus 2xy plus 2yz plus 2xz, यह होता है तीन चीजों का sum, देखो इसके उपर एक question बत पहले एक question कर लें फिर इसके बाद मैं बताता हूँ देखो जैसे एक question हमें बोल दे 3x-2y-z का whole square निकालो यह हमसे पूछ लिया क्वेश्चन में तो यह क्या है एक्स प्लस वाइट या फिर ए प्लस बी प्लस इकाउंट स्क्वेयर है ए प्लस बी प्लस इकाउंट स्क्वेयर है तो इसका फॉर्मला होता है एस क्वेश्चन प्लस बी स्क्वेयर प्लस सी स्क्वेयर प्लस टू ए बी प्लस टू बी सी प्लस टू सी यह होता है तो बस जब भी इस तरह के क्वेश्चन करो ना तो यहां पर हम देख रहे हैं जो है वह पूरा का पूरा थी एक्स है यह पूरा का पूरा तो थी एक्स है बी जो है वो पूरा का पूरा minus 2y है सी जो है वो पूरा का पूरा z है सी जो है वो पूरा का पूरा z है तो बस ABC मिल गए इसे यहाँ पट कर दो तो A की value रख दो 3x का whole square B की value रख दो minus 2y का whole square plus C की value रख दो z square plus 2 into AB तो A है 3x B है minus 2y plus 2 into BC minus 2y into z प्लस 2 इंटू C ए, C क्या है, Z इंटू A क्या है, 3X, सॉल्व कर दो आंसर होगा, तो अगर इस तरह से लिखा हुआ है, X O, तुमारे compressed form में लिखा हुआ है, तो expand करके लिख सकते हो, बाई compressed form में लिखा हुआ है, A प्लस B का, प्लस C का, उस square के form में लिखा हुआ है, तो पूरा expand कर सकते हो, पर अगर expanded form में लिखा हुआ है, तो क्या उसे compressed कर दोगे, बाई दोनों तरफ से बराबर होती है न ताली दोनों आदर रखते हैं ना मेरी जान ऐसा लिखा है तो ऐसा लिख सकते हो और अगर ऐसा लिखा है तो क्या इसको कंप्रेस करके वैसा वापस लिख सकते हो कंप्रेस करके वापस ऐसा लिख सकते हो ये है जो थोड़ा सा दिमाग वाली चीज होती है 9Z का स्क्वेर है 9 किसका होल स्क्वेर होता है 9 किसका स्क्वेर होता है 3 का तो यह एक तरह से हम यह 3Z का whole square लिखा हुआ है, X तो ऐसे कैसा लिखा था, Y ऐसे कैसा लिखा था, और 3Z का whole square जो होता है वो 9Z square बनेगा, अपनी सहूलियत के लिए मैंने ऐसे लिख दिया, प्लस 2XY बिल्कुल सही है इस तरह से लिखा जाएगा, प्लस 2XY बिल्कुल सही है यहां 3Z है, प्लस 2X3Z, और A पहली टर्म X, तो 3, 2, 6 है, यही है, तो बहुत बढ़िया, तो मतलब इस तरह से यह लिखा हुआ है, इसको मैंने इस तरह से लिख दिया, अपनी साउलियत के लिए, जिससे मेरे को यह आसानी बड़े, तो मेरे को दिख दिया, पहली X है, दूसरी Y है, और तीसरी 3Z है, बैक प्रेस करके हमने देख लिया वेरिफाई हो रहा है तो यही आंसर होगा यह सारे क्वेश्चन जो है ना मैं बताता हूं तुम्हें यहां पर आकर चीजें मुश्किल लगने शुरू हो जाती हैं यहां पर आकर चीजें मुश्किल लगने शुरू हो जाती हैं क्यों पूरी की पूरी exercise जो है वो पूरी practice करने वाली बात है तो इसमें practice जरूर करना अच्छे से यहाँ पे कोई teacher तुम्हें नहीं बता सकता कि ये question है direct आएगा क्योंकि इसमें सारे के सारे formula है तो ये formula जो है मैंने तुम्हारे सामने लिख दिये 101 का whole square निकालना है using suitable identity 100 प्लस 1 A प्लस B का whole square is A square प्लस बी स्क्वायर प्लस टू इंटू ए इंटू बी तो यह हो गया सौ का स्क्वायर यह प्लस वन प्लस दोस्तों तो यह बन गया दोस्तों एक लास्ट में और यह जीरो वन दस अजार दोस्तों एक यह आंसर है ठीक है यह तो इजी पीजी था अगला ए प्लस बी का 3AB into A plus B यह होता है A plus B का whole cube और A minus B का whole cube क्या होता है A cube minus B cube minus 3AB into A minus B सब में यहाँ सारा minus minus में सारे minus और plus में सारे plus बस यह याद रखो उसके बाद तो क्या है बस अंदर multiply करा है तुम सोचो के बईया एक यह है और करके एक और अंदर multiply करेंगे तो 3XY into X 3X square Y 3XY into Y 3XY square तो यह याद करने की ज़रूरत नहीं है यह तो इससे ही बन जाएगा ठीक है तो यह और यह है एप्लस बी और एमाइनस बी के होल क्य एडेंटिटीज ठीक है मेरी जान ठीक है तो यह दो एडेंटिटीज हम याद रखनी है यह वाली और यह वाली इसी से बाकी भी बन जाती है कैसी बाकी मैं आपको एक एक्सांपल बताता हूं देखो यह तो तुम्हें होल क्यूब याद है ना एप्लस भी का होल क्यूब याद है तुमसे पूछ ले अगर तुमसे पूछ ले एक यूप्लस भी क्यूब बताओ वह जैसे एक मैं तुमसे बूच रहू हूँ x2 plus y2 इसकी value बताओ भाई whole square तो याद है formula पर इसका formula क्या होगा इसका formula इसी में से बन जाता है मेरी जान कैसे देखो x2 plus y2 चीज़े ना तो minus गे plus 2xy को इदर ले जाओ तो plus 2xy इदर जाके minus 2xy बन जाएगा तो हमें जो x2 plus y2 चीज़े ता वो बन जाएगा x plus y का whole square minus 2xy बस इस 2xy को उठा के इदर ले गए तो x plus y का whole square minus 2xy किसके बराबर हो जाएगा, x square plus y square के, similarly a cube plus b cube चाहिए, तो a cube plus b cube सिर्फ इतना चाहिए, इसकी जरूरत नहीं है, तो इसको उठा के दर पैक दो, तो ये क्या होगा, a plus b का whole cube तो था ही यहाँ पे side में, और ये इदर और आ गया, minus 3ab into a plus b और आ गया, similarly मैं तुमसे पूछू, a cube minus b cube बताओ, तो a cube minus b cube कैसे निगालोगे, बाई सिर्फ इतने की जरूरत है, तो इसके उठा के दर पैक दो, तो यहाँ पे A-B का hole cube तो था ही, साथ में और क्या चुबक गया, minus 3AB into A-B इदर जाएगा, तो plus 3AB into A-B बन जाएगा, तो बस यह है कि यह दो formula याद रखो, formula सिर्फ यह याद रखने हैं, जो यहाँ लिखे हैं मैंने, इनी में से जो है और बन गए, ठीक है, A plus B का hole cube खोलना है, जिसमें A जो है, compare करके 2x मिल रहा है और b जो है compare करके 5y मिल रहा है a plus b का whole cube क्या होता है whole cube का तो बहुत असान है a cube plus b cube plus 3ab into a plus b a और b की value पता चल गई है उठा के put कर दो a की जगे 2x रख दो तो 2x का whole cube plus b की जगे 5y रख दो तो 5y का whole cube plus 3 into 2x into 5y into 2x plus 5y ये answer है हमारा बस compare करो और answer निकालो अब last आता है तुम्हारा formula ये वाला, last formula आता है तुम्हारा ये वाला, last formula क्या कहता है, last formula कहता है x cube plus y cube plus z cube minus 3xy जो है, वो होगा x plus y plus z into x square plus y square plus z square minus xy minus yz minus zx, बहुत असान है, मैं बताता हूँ, मैं ABC में बताता हूँ, ABC में ज़्यादा अच्छे से आता रहता है, देखो, a cube plus b x a2 plus b2 plus c2 minus ab minus bc minus c एक बार लिखो, दो बार लिखो, तीन बार लिखो, चार बार लिखो, याद हो जाएगा चार बार लिखते ही मेरे जान याद हो जाता है देखो, जैसे तीन का sum, हमें a plus b plus c का whole square वाला एक formula याद करा था ऐसी एक cube वाला formula है, कि तीन का cube कहीं पर लिखा जाएगा, aq plus bq plus cq minus 3abc into a plus b plus c, ये क्या होगा इस पूरे का formula होता है a plus b plus c into a square plus b square plus c square minus a b minus b c minus c है ठीक है इसी के उपर एक question है जैसे ये देखो find the value of x cube plus y cube plus z cube minus 3xyz if this and this is equal to 0 this and this are given तो पहले तो इसका formula बताओ क्या होता है a cube plus b cube plus c cube minus 3abc is x plus y plus z into x square plus y square plus z square माइनस xy, minus yz, minus xz, हमें given क्या है, x2 plus y2 plus z2 83 दिया है, यह हमें 83 दिया है, ठीक है, और हमें x plus y plus z की value 1 दिया है, ठीक है, यह हमें 83 दिया है, और यह हमें 1 दिया है, तो यह 1 लिख दिया हमने, ठीक है, और इसके बाद, हमें यहाँ पे दिया है 83, पर हमें x ये कैसे निकालेंगे, ये निकालेंगे लिए हमें में दिमाग लगाना पड़ेगा, क्या दिमाग लगाना पड़ेगा हमें ये चाहिए, ये तो गिवन नहीं ह��, तो हमें जो गिवन है उसी में से कुछ values करेंगे, देखो, जब भी कुछ समझ में नही प्लस टू वाइजेड प्लस टू एक्स जेड अभी याद करा था थोड़ी दिर पहले यह ना ए प्लस बी प्लस सी कोट करके आए इसका बीच को प्लस तो हमने इस तरह से यहां पर लिख दिया, x2 plus y2 plus z2 plus 2xy plus 2yz plus 2xz, इस तरह से लिख दिया, इसकी value में पता है, x2 plus y2 plus z2 plus 83 होती है, प्लस इस पूरे में से 2 common ले लो, यह equal to 1 चल रहा था, इसमें 2 common ले लो, तो xy plus yz plus xz जो है, यह आ गया 1, ठीक है, 83 जर चल जाएगा, तो 1 minus 83 is minus 82, equal to 2 into xy plus yz plus xz, 2 से 82 गया तो 2 4 जाए 2 बन जाए 2, तो x y plus y z plus x z जो है यह आगया minus 41 के बराबर, है ना, तो यहाँ पर 1 into 1 से जो भी multiply होगा वैसे ही रहेगा, 83, minus common ले लें तो अंदर के sign change हो जाएंगे, x y plus y z plus x z, ठीक है, minus common लेते हैं तो अंदर के sign change हो जाते हैं, पूरे में से बाहर minus common ले x y plus ये मिट कैसे गया, x z जो है ये आ गया minus 41 के पराबर, तो ये पूरा minus 41 यहाँ रख देंगे, तो minus 41 रख दिया, तो 83 plus 41 अब is the answer, 4 और 8, 4, 12, 124 is the answer, तो बस कई बार क्या होगा न, तुम्हें दिया जाएगा, पर तुम्हें एक थोड़ा सा दिमाग वाल लगाना है, कि ये फिर तुम गया ना और थोड़ी सी practice करोगे तो और अच्छे समझ में आएगा last question मैं तुम्हें बताने जा रहा हूँ देखो अभी हमने एक formula पढ़ा मैं तुम्हें question बताता हूँ formula समझाता हूँ तुम समझ जाओगे बहुत आसान है कुछ नहीं है हमने अभी एक formula पढ़ा a cube plus b cube plus c cube minus 3 a b c ये किसके बराबर है a plus b plus c into a square plus b square plus c square minus a b minus b c minus c a के बराबर यह इसके बराबर है, मान लो, A plus B plus C का sum 0 हो जाए, तो 0 into यह पूरा 0 हो गया, तो यह LHS तो पूरी की पूरी 0 हो गई, RHS तो पूरी की पूरी, अरे चल जा, RHS तो पूरी की पूरी 0 हो गई, बच्ची सिर्फ यह AQ plus BQ, plus c cube minus 3 abc यह बच गया तो यह equal to 0 हो तो इसको इधर ले जाए तो बन जाएगा a cube plus b cube plus c cube जो है वो 3 abc के बराबर हो जाएगा a cube plus b cube plus c cube जो है वो 3 abc के बराबर हो जाएगा तो यही हमसे पूछा है कि अगर a plus b plus c 0 है तो a cube plus b cube plus c cube क्या होगा तो अगर यह a plus b plus c 0 हो गया तो a cube plus b cube plus c cube किसके बराबर है 3 abc के बराबर यह is the answer ठीक है इसी concept पे question आता है वो question मैं तुम्हें बता देता हूँ फिर हम आज ही इस class को समाद करते हैं question क्या आता है find the value of 1 cube plus 2 cube plus minus 3 का whole cube यह हमसे पूछ रहे हैं 1 cube plus 2 cube plus minus 3 का whole cube इसकी value पूछ रहे हैं यह वैसे तो तुम निकाल सकते हो मैं इसको और बड़ा भी कर सकते थे हम हम क्या कर सकते हैं ना इसे, हाँ, इसे हम ऐसे कर सकते हैं, देखो जैसे, 51 का hole cube, यह तो तुम बताई दोगे यार, पिछले बारा तो बहुत असान ले लिया, 51 का hole cube plus 49 का hole cube plus minus 100 का hole cube, यह हमसे पूछा है, without directly finding, without directly using cube, हमें इसका answer बताना है, कैसे बताएंगे, a cube plus b cube plus c cube की value निक और तीनों का अगर हम sum कर दें, a plus b plus c कर दें, तो 51 plus 49 minus 100 हो जाएगा, 51 plus 49, 100 minus 100 हो जाएगा, 0 के बराबर, है ना? तो हम ये देख रहे हैं, a plus b plus c जो है, 0 के बराबर है, और अभी हमने एक चीज़ देखी, कि अगर a plus b plus c 0 के बराबर है, अगर a plus b plus c 0 के बराबर है, तो a cube plus b cube plus c cube जो होता है, वो 3abc के बराबर होगा, तो मतलब, a cube plus b cube plus c cube जो होगा, वो 3ab, इंटू सी के बराबर होगा, ये हमारा आंसर है, तो हमें इस तरह के क्विश्चन तुम्हें NCERT में देखने को मिलेंगे, है ना, क्विश्चन एग्जाम में भी आ जाते हैं कि बताओ इसकी वेल्यू क्या है विदाउट डिरेक्टली यूजिंग क्यूब, तो हम सिंपल कुछ ठीक है तब तक के लिए भाई पढ़ना है फोटोड़ना है कहर मिला दिन बाय टेक केयर गुड नाइट है ना अगला जो चैप्टर तो उसके इंपोर्टेंट क्वेश्चन पर जल्दी लेकर आ रहा हूं बाय जाओ पढ़ लो पढ�