Notatki z wykładu na temat całek nieoznaczonych

Wprowadzenie

• Temat wykładu: całki nieoznaczone
• Cel: wprowadzenie do podstawowych pojęć i metod liczenia całek.

Czym jest całka nieoznaczona?

• Całka nieoznaczona to operacja, która pozwala znaleźć funkcję, której pochodna daje daną funkcję.
• Oznaczenie: ( \int f(x)dx )

Przykład: Całka z ( x^2 dx )

• Szukamy funkcji, której pochodna daje ( x^2 )
• Funkcja: ( \frac{1}{3}x^3 + c )
  • Pochodna: ( 3 \cdot \frac{1}{3}x^3 = x^2 )

Przykład: Całka z ( 5x^7 dx )

• Możemy wyciągnąć stałą przed całkę: ( 5 \int x^7 dx )
• Wynik: ( 5 \cdot \frac{1}{8}x^8 + c = \frac{5}{8}x^8 + c )

Wzór ogólny dla całek nieoznaczonych

• Dla dowolnej funkcji postaci ( x^n ):
  [ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c , (n \neq -1) ]
• Dla ( n = -1 ):
  [ \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + c ]

Przykład: Całka z ( x^{-1} dx )

• Pochodna jakiej funkcji daje ( \frac{1}{x} )?
  • Odpowiedź: ( \ln|x| + c )

Przykład: Całka z ( \frac{x^2 + x^7}{x^3} dx )

• Rozdzielamy na prostsze całki:
  [ \int \left( \frac{1}{x} + x^4 \right) dx ]
• Wynik:
  [ \ln|x| + \frac{1}{5}x^5 + c ]

Przykład: Całka z ( 5 + 7x^{-1/4} dx )

• Rozdzielamy na dwie całki:
  [ \int 5 dx + 7 \int x^{-1/4} dx ]
• Wynik:
  [ 5x + \frac{28}{3}x^{3/4} + c ]

Całki funkcji trygonometrycznych

• ( \int \cos(x) dx = \sin(x) + c )
• ( \int \sin(x) dx = -\cos(x) + c )

Podsumowanie

• Kluczowe wzory do zapamiętania:
  • Dla funkcji potęgowych: ( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c )
  • Dla funkcji ( \frac{1}{x} ): ( \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + c )
• W każdym wyniku dodajemy stałą ( c ).

Zakończenie

• W przyszłości kolejne materiały dotyczące trudniejszych całek.