W tym nagraniu wideo powiemy sobie, jak liczyć takie najprostsze całki nieoznaczone. To będzie taka najważniejsza, podstawowa wiedza dla osób, które pierwszy raz spotykają się z całkami na bazie tej wiedzy. Potem będziemy mogli liczyć trudniejsze przykłady.
Tutaj powiemy sobie, czym tak naprawdę jest całka nieoznaczona, jakie są jej podstawy, z czego ona się wzięła, no i jak liczyć takie najprostsze przypadki. To przede wszystkim. Weźmy może właśnie, zacznijmy od jakiegoś konkretnego przykładu, weźmy całkę z jakiegoś prostego wyrażenia, na przykład x kwadrat dx.
Taki jest zapis symboliczny całki. Na początku otwieramy go takim symbolem całki i zawsze na końcu piszemy dx, o ile oczywiście całka jest z funkcji, której argumentem jest x. No i żeby policzyć taką całkę, to będziemy szukali wyrażenia, z którego jakbyśmy policzyli pochodną, to otrzymamy x kwadrat.
Czyli zastanawiamy się, jaką funkcję wpisać w nawias, jak policzymy pochodną z tej funkcji, żeby wyszło nam x kwadrat. Co możemy tutaj wpisać? Żeby po zróżniczkowaniu, czyli policzeniu pochodnej, z jakiegoś wyrażenia powstało x kwadrat, no to tu na pewno musi być x w wyższej potędze. W potędze o 1 większej.
czyli potędze trzeciej. Jeśli policzymy pochodną z x do trzeciej, to oczywiście wyjdzie nam x kwadrat, ale jeszcze ze współczynnikiem liczbowym 3. Żeby się pozbyć tego współczynnika liczbowego, no to musimy tu pomnożyć przez odwrotność wykładnika. Wtedy jeżeli byśmy policzyli taką pochodną, no to otrzymamy współczynnik liczbowy 1 trzecia razy pochodna z x do trzeciej, czyli 3x kwadrat.
Trójki się skrócą i otrzymamy po prostu x kwadrat. Także to jest bardzo dobry przykład funkcji, z której jak policzymy pochodną, to otrzymamy x kwadrat. No ale oczywiście nie jedyny. Jeżeli byśmy wzięli taki przykład, 1 trzecia x do trzeciej plus 7 i policzyli z tego pochodną, no to oczywiście pochodna z 1 trzecia x do trzeciej to będzie tak jak tu policzyliśmy x kwadrat, a pochodna z 7 to 0, czyli nadal x kwadrat. Czyli pisząc ogólnie, jeżeli byśmy wzięli 1 trzecia x do trzeciej plus dowolna stała liczba, oznaczmy ją literką c, tak się ją najczęściej oznacza i policzyli z tego pochodną, to otrzymamy x kwadrat.
Czyli odpowiedzią do tego, z jakiej funkcji, jak policzymy pochodną, to otrzymamy x kwadrat, czyli inaczej mówiąc, ile wynosi całka z x kwadrat, to będzie taka funkcja, takie wyrażenie. czyli 1 trzecia x do trzeciej plus c. Weźmy jakiś inny przykład, żeby sobie utrwalić tę regułę.
Na przykład całka z 5x do 7 dx. Jak to będzie tutaj? Za każdym razem, jeżeli się pojawia pod całką mnożenie i wśród czynników wymnożonych pojawia się jakaś liczba, stała, konkretna liczba rzeczywista, to ją możemy wyciągnąć przed całkiem.
Czyli możemy napisać, że to jest 5 całek z x do 7 dx, czyli to się równa 5 razy ile? No szukamy x w potędze wyższej. W takiej, w której jak policzymy pochodną, to otrzymamy x do 7, to oczywiście jest x w potędze 8. No i musimy jeszcze dopisać tą odwrotność wykładnika, czyli 1 ósma. Tak samo jak to zrobiliśmy tutaj. Jak policzymy z tego pochodną, to ósemka spadnie przed x z jedną ósmą, wymnoży się i da 1, czyli otrzymamy po prostu 5 razy x w potędze siódmej.
To co chcemy. No i koniecznie jeszcze musimy dodać dowolną stałą, czyli plus c. Generalnie ten wzór, którym tutaj się posługujemy, możemy...
uogólnić, no i zapisać właśnie jako wzór. Zapiszmy sobie to, bo to jest bardzo ważna rzecz. Z tego najczęściej się korzysta podczas liczenia całek nieoznaczonych, w ogóle wszelkich całek, że całka z wyrażenia postaci x do n tej dx to się równa.
No i ile? Musi być x w potędze o 1 większej, czyli x w potędze n plus pierwszej. Przed x musi być odwrotność tego wykładnika, który spada.
podczas liczenia pochodnej przed x, żeby się zniosły te liczby, czyli 1 dzielone przez n plus 1. No i do całości jeszcze dodajemy c. Taki jest wzór i on działa dla n różnych od. Minus 1. Chodzi o to, żeby tu się nie pojawiło x do minus pierwszej.
Co by się stało, gdyby tu było x do minus pierwszej? Zróbmy może taki trzeci przykład. On będzie zdecydowanie trudniejszy od tych poprzednich. Do nich za chwilę wrócimy, ale rozpatrzmy tę sytuację. x do minus pierwszej dx to się równa.
No i gdybyśmy chcieli tutaj odpalić ten sam wzór, czyli wziąć x, w potędze o 1 większej. Minus 1 plus 1 to 0. Tu byśmy wzięli odwrotność naszego wykładnika, czyli 1 przez 0, no to widzimy, że otrzymaliśmy jakiś bardzo brzydki napis. x podnoszony do potęgi zerowej, to już jest niebezpieczna sytuacja. Tu jeszcze dzielenie przez 0, absolutnie tak nie może być.
Musimy zatem znaleźć funkcję, która jeżeli policzymy z niej pochodną, da nam wyrażenie 1 przez x. No i możemy pamiętać z lekcji o pochodnych, jak się uczyliśmy liczenia pochodnych różnych funkcji, że jest taka funkcja, z której jak policzymy pochodną, to da nam 1 przez x i jest to logarytm naturalny z x. Czyli w tym przypadku to będzie ln x, oczywiście jeszcze wszystko plus c. No i do tego logarytmu musimy dodać tutaj jeszcze jedną rzecz. Ta nasza funkcja 1 przez x to jest funkcja homograficzna określona na całej dziedzinie poza zerem.
Tak samo logarytm jest określony poza zerem, ale tylko dla x-ów dodatnich. Żeby był określony również dla x-ów ujemnych, to możemy tutaj dodać moduł z x. Logarytm z modułu x będzie już określony dla wszystkich x-ów poza zerem, tak samo jak 1 przez x.
Czyli generalnie jest taki wzór. Jego również możemy sobie wypisać całka z 1 przez x, albo inaczej mówiąc całka z x do minus pierwszej. dx to się równa logarytm naturalny z modułu x plus c.
No i to jest drugi taki przydatny wzór, który nam uzupełnia ten pierwszy wzór. Ten wzór mamy określony dla n różnych od minus 1, no a dla n równego minus 1 mamy taką sytuację. Czyli mając te dwa wzory wyczerpujemy wszystkie możliwości takich, można powiedzieć, funkcji potęgowych x do jakiejś potęgi. Znając te wzory.
Możemy liczyć wszystkie całki takiej postaci. No dobrze, no to zróbmy sobie czwarty przykład. Załóżmy coś takiego. Całka niech będzie z x w potędze drugiej plus x w potędze siódmej i wszystko podzielić na x w potędze trzeciej dx. Jak z czymś takim sobie radzimy?
No, zamieniamy na takie prostsze sytuacje, jakie umiemy liczyć. Jak to zamienić? Oczywiście dzielimy. x do kwadratu przez x do trzeciej to będzie 1 przez x. Plus x do siódmej podzielić na x do trzeciej to będzie x do czwartej.
No i ze wszystkiego piszemy jeszcze tak jak poprzednio dx. No i w takiej sytuacji, gdy mamy dodawanie dwóch wyrażeń i całkę z tego, możemy to rozbić na sumę dwóch całek. Czyli to będzie całka z 1 przez x i jeszcze raz dx plus całka z tego wyrażenia, czyli x do czwartej dx. To się równa. Ile to jest całka z 1 przez x?
To my wiemy. No to jest żywcem nasz wzór. No to napiszemy logarytm z modułu z x plus c plus jeszcze całka z x do czwartej. Bardzo prosta sytuacja. Jedne z najprostszych całek liczymy tym wzorem, czyli to będzie x do piątej.
I tutaj jeszcze współczynnik liczbowy, który jest odwrotnością, czyli 1 przez 5. No i mamy policzoną tę całkę, jeszcze plus stała, czyli plus c. Zauważcie, że tutaj w dwóch miejscach napisałem tu plus c. Oczywiście nie ma takiej konieczności. Jeżeli liczymy kilka całek i je sumujemy, to wystarczy napisać plus jedna stała.
Ta stała to jest stała ogólna suma dwóch takich literek C, C plus C. To nadal jest jakaś stała. Wystarczy napisać tylko jedno C.
Nie ma potrzeby pisać go w kilku miejscach. No to załóżmy, że skreślimy to C. No i teraz również jest dobry wzór.
Ta poprzednia sytuacja też byłaby dobra, gdybyśmy napisali plus C1, tutaj plus C2. To nawet może byłoby bardziej profesjonalnie. No ale praktyka jest taka, żeby pisać wzory w jak najprostszej postaci.
Im mniej literek, tym lepiej. Wystarczy w zupełności napisać w tym przypadku logarytm naturalny z modułu x plus 1 piąta x do piątej plus c. No dobrze, no to z tych całych elementarnych zróbmy jeszcze jeden przykład. Weźmy całkę, może z czegoś takiego mniej typowego, na przykład weźmy tak, 5 plus, załóżmy, x do minus 1 czwartej dx.
Jak obliczyć coś takiego? Teoretycznie prostsza sytuacja od tych poprzednich, gdzie występowały logarytmy. No ale żebyśmy się nie przestraszyli, jak otrzymamy całkę z liczby stałej, żebyśmy też to umieli policzyć, może nawet tu sobie jeszcze dopiszmy 7x do potęgi minus 1 czwarta, żeby było bardziej skomplikowane. Pierwsze, co robimy w takiej sytuacji, to oczywiście rozbijamy na dwie prostsze całki. Żeby sobie uprościć sytuację, całka z 5dx plus jeszcze całka z tego wyrażenia 7, jako liczbę stałą możemy wyciągnąć przed...
pod całkę, no i pod całką zostanie tylko ten x w potędze minus 1 czwarta dx. No i teraz liczymy każdą z tych całek z osobna. Jak policzyć całkę z funkcji stałej?
No tutaj oczywiście moglibyśmy sobie tak wyobrazić, że mamy tutaj 5 razy x w potędze zerowej. x do zerowej to 1, czyli po prostu 5. Oczywiście to jest takie trochę na wyrost, takie... no nieformalne, nieoficjalne, lepiej tak na to nie patrzeć. No to jest po prostu funkcja stała, nie x do zerowej, ale takie spojrzenie może nam trochę ułatwić skorzystanie z tego wzoru. Jeżeli 0 zwiększymy o 1, no to oczywiście otrzymamy x w potędze pierwszej, czyli to będzie po prostu x w potędze pierwszej.
Nie piszę tej jedynki, zazwyczaj się jej nie pisze, po prostu x. No i tutaj liczba stała, ta która była, czyli po prostu 5. Pochodna z 5x to oczywiście 5, taka najprostsza pochodna. Nie możemy tylko się tego przestraszyć, że postawili nam tutaj liczbę stałą bez x, nadal możemy skorzystać z tego wzoru właśnie albo tak sobie wyobrażając, albo po prostu przypominając sobie, że pochodna funkcji liniowej to jest po prostu liczba stała. Czyli 5x plus jeszcze jakieś c, ale na razie go nie będę pisał tak jak tutaj, żeby nie zaciemniać sytuacji. Policzymy tą drugą całkę i dopiero na końcu napiszemy plus C, czyli piszemy plus 7 razy, no i całka z x do potęgi minus 1 czwarta.
No to to będzie x w potędze o 1 większej. Minus 1 czwarta plus 1 to jest 3 czwarte. No i przed x musi stanąć odwrotność tego wykładnika, czyli 4 trzecie.
No już nie będę tutaj tego wymnażał. Mamy ładnie policzoną całkę, tu można byłoby tylko trochę ją uprościć. Zapiszmy jeszcze plus c i mamy gotowy wynik naszej całki. Czyli jak widzicie, takie proste wyrażenia z x w różnych potęgach.
Bardzo łatwo się liczy tym wzorem. Jeżeli pojawi się x w potędze minus pierwszej, albo jakaś taka wariacja tego przypadku, czyli 1 przez x, 2 przez x, 10 przez x, no to wtedy taką dziesiątkę wyciągamy przed... że pod całką zostaje nam 1 przez x i stosujemy ten wzór. Tymi dwoma wzorami takie różne przypadki, czy to funkcji wymiernych, czy wielomianowych, czy takich potęgowych już z brzydkimi wykładnikami, bardzo łatwo liczymy. Ponieważ w tym filmiku chciałem pokazać kilka takich podstawowych przykładów, to może jeszcze zróbmy dwa zupełnie inne przykłady, takie zahaczające od całki z funkcji trudniejszych, trygonometrycznych.
Też warto znać te wzory. Wiemy już, że całka z jakiejś funkcji to jest funkcja, z której jak policzymy pochodną, to otrzymamy tę funkcję, która stoi pod całką. No i mając tę wiedzę, bardzo łatwo możemy liczyć całki takich prostych funkcji trygonometrycznych.
Na przykład całka z cos x dx, no to ile to będzie? Z czego jak policzymy pochodną, to otrzymamy cos? No oczywiście, jeżeli policzymy go z sinusa, czyli to będzie po prostu sinus x. Pochodna z sinusa to kosinus, czyli całka z kosinusa to sinus, plus jeszcze dowolna stała c. No i bardzo podobnie będzie wyglądała sytuacja z sinusem.
Jeżeli chcemy policzyć całkę z sinusa x dx, no to wtedy otrzymamy co? Z czego jak policzymy pochodną, to otrzymamy sinus? No oczywiście z kosinusa. cos x liczymy pochodną, to otrzymujemy, co prawda nie sinus, a minus sinus, dlatego tu musimy uważać i pamiętać o tym i postawić jeszcze tu przed wynikiem minus, dopiero.
Pochodna z minus cosinusa x daje plus sinus x. Pochodna z samego cosinusa dałaby nam minus sinus, a nie o to nam chodzi, dlatego tutaj musi być ten minus. No i jeszcze plus stała c. Także całki z takich prostych funkcji trygonometrycznych również łatwo się liczy. To są takie podstawowe wzory, tak jak te dwa, które stosujemy przy liczeniu całek z funkcji trygonometrycznych z bardziej zaawansowanych wzorów.
No ale ponieważ ten filmik ma traktować o takich podstawowych wzorach, podstawowych całkach, taki elementarz całek nieoznaczonych, no to już nie będziemy wchodzili w te trudniejsze przykłady trygonometryczne. Najważniejsze z tego filmiku jest, abyście zapamiętali jak się liczy takie proste całki wielomianowe, czyli ten wzór, takie ogólniejsze sytuacje potęgowe z funkcjami wymiernymi, że to można upraszczać w ten sposób. Bez względu na wykładnik, nawet jak brzydki, w postaci minus 1 czwarty albo jeszcze brzydszy, no to wzór działa tak samo. Zwiększamy wykładnik o 1, to co otrzymamy w odwrotności spada przed x. Liczby stałe spod całki zawsze można wyciągnąć przed całkiem, czyli jeżeli byśmy mieli całkę z 7x w jakiejś potędze, no to tą siódemkę wyciągamy przed całkiem.
Bardzo łatwo się to liczy. No i jeszcze na koniec do każdego wyniku całkowania. w całce nieoznaczonej dodajemy stałą c, ponieważ ona przy liczeniu pochodnej nic nie zmienia.
Jakąkolwiek liczbę stałą byśmy nie dopisali, to pochodna z tej liczby stałej to zawsze 0, czyli zawsze wypada to pisać przy liczeniu całek nieoznaczonych. Także to byłoby na tyle w tym nagraniu. Dziękuję Wam za uwagę.
Po więcej trudnych przykładów zapraszam na stronę. Będę w najbliższym czasie dodawał właśnie materiały z liczenia całek, stopniowo coraz trudniejszych. Także myślę, że każdy znajdzie coś dla siebie.
Dziękuję za uwagę i do usłyszenia.