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स्ट्रेट लाइन्स के महत्वपूर्ण नोट्स

दो पॉइंट से जो एक सेगमेंट बनती है उसको आप अगर इनफिनीटली एक्सटेंड कर देते हैं बोथ साइड्स पे तो उसको बोला जाता है स्ट्रेट लाइन उसका x कोऑर्डिनेट क्या हो जाएगा 1 * -3 + 3 * 1 / 1 + 3 t इस ट्रायंगल में हम लिख सकते हैं y2 - y1 / x2 - x1 अगर अल्फा की वैल्यू नेगेटिव आई है यानी कि दोनों के बीच में ऑप्ट्यूमरा सिंपल सवाल था एक रफ डायग्राम एक रफ डायग्राम आपको पूरा हिंट दे देगा पूरा मेथड बता देगा कि क्या करना है आपको हेलो बच्चा लोग कैसे हैं आप सब लोग आशा करता हूं आप सबका दिन अच्छा जा रहा होगा और आपने पुराना लेक्चर देख लिया होगा अब हम आ गए हैं अपने बहुत ही इंपॉर्टेंट लेक्चर पे जिसका नाम है स्ट्रेट लाइंस ये एक बहुत बड़ा चैप्टर भी है और आपके कोनिक सेक्शन के लिए बेस भी बनाता है अगर हम इसमें स्ट्रांग होंगे तभी कोनिक सेक्शन में हम अच्छे से और कर पाएंगे ठीक है तो ये लेक्चर काफी बड़ा होने वाला है तो शुरू से एंड तक बने रहिएगा हम सब कुछ कवर करने वाले हैं जैसे हर लेक्चर में हमने कवर किया है अगर मैं पोर्शन की बात करूं तो सीबीएससी ने एनसीआरटी ने इसमें कुछ ज्यादा डिलीट पार्ट नहीं किया है तो लगभग पूरा का पूरा चैप्टर जो आपकी एनसीआरटी में स्कूल बुक में वो पूरा का पूरा चैप्टर यहां पे आएगा तो उसी तरीके से मैंने पूरी की पूरी स्लाइड और पीपीटी आपके लिए डिजाइन करी है तो सब कुछ कवर किया जाएगा फ्रॉम बेसिक से लेके आपका मिसलेनियस एक्सरसाइज तक तो चलिए जल्दी से स्टार्ट करते हैं उससे पहले पिछली क्लास में हमने क्या किया था बेटा सीक्वेंस एंड सीरीज फिनिश किया था वो भी एक काफी इंपोर्टेंट चैप्टर है लेकिन सिर्फ एपी और जीपी इनके फॉर्मूले दो-दो जो फ उसके ऊपर पूरा का पूरा चैप्टर डिपेंड करता था सीक्वेंसेस पढ़ी थी एरिथ मेे प्रोग्रेशन ज्योमेट्री प्रोग्रेशन और लास्ट में एरिथ रिलेशन बिटवीन ए एंड जीए तो हमने देखा था रिलेशन क्या था कि ए इज ऑलवेज ग्रेटर दन g एनी कि चाहे दो नंबर हो चाहे तीन नंबर हो चाहे n नंबर्स हो उनका एरिथ मेे मीन हमेशा उनके ज्योमेट्री मीन से बड़ा होगा यह सब चीजें हमने कवर करी थी चलिए आज के इस लेक्चर में हम क्या क्या कवर करने वाले हैं सबसे पहले स्लोप ऑफ द स्ट्रेट लाइन कि भाई स्ट्रेट लाइन की स्लोप क्या होती है डिफरेंट फॉर्म्स ऑफ स्ट्रेट लाइन फिर जनरल इक्वेशन ऑफ स्ट्रेट लाइन और सम फॉर्मूले इन स्ट्रेट लाइन स्टैंडर्ड फॉर्मूले जो हैं वो हमको तो ये सारी चीज हम लोग कवर करने वाले हैं एक-एक करके सब कुछ कवर करेंगे चलिए स्टार्ट करते हैं सबसे पहले बेसिक्स भाई स्ट्रेट लाइन है क्या सर ये कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री से आता है कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री जो हमने 9 10थ में करी है कि सर ये ऐसे कार्टीजन प्लेन है ये एक्स एक्सिस है ये वा एक्सिस है यहां पे ये प्लस होती है ये माइनस होती है यहां पे प्वा होती है - y होती है तो अगर मैं इस कोऑर्डिनेट प्लेन में दो पॉइंट ले लूं कोई भी दो पॉइंट ले लूं x1 y1 और x2 y2 ठीक है तो इन दो पॉइंट से पास करने वाली कितनी लाइन होगी मतलब इन दोनों पॉइंट्स को अगर मैंने जॉइन कर लिया और फिर इसको इंफिनिट इसली एक्सटेंड कर दिया दोनों साइड से तो अब यह जो बन रही है इसको बोला जाता है स्ट्रेट लाइन सिंपल शब्दों में दो पॉइंट से जो एक सेगमेंट बनती है उसको आप अगर इनफिनीटली एक्सटेंड कर देते हैं बोथ साइड साइड्स पे तो उसको बोला जाता है स्ट्रेट लाइन उसको बोला जाता है स्ट्रेट लाइन तो यानी कि जो हमारा बेस है वो एक कार्टीजन सिस्टम से ही आता है तो चलिए पहले कुछ क्वेश्चंस कर लेते हैं जो कार्टीजन सिस्टम पे बेस्ड थे जैसे कि सेक्शन फॉर्मूला डिस्टेंस फॉर्मूला क्योंकि इनका यूसेज बाद में स्ट्रेट लाइन के क्वेश्चन करते वक्त अप्लाई होगा ठीक है तो वही चीज है द पाथ ट्रेस बाय अ पॉइंट ऑन अ कांस्टेंट डायरेक्शन एंड एंडलेसली मैंने इंफिनिट सली बोला डेफिनेशन में एंडलेसली इन इट्स अपोज ट डायरेक्शन इज नोन एज अ स्ट्रेट लाइन इन इट्स अपोजिट डायरेक्शन इज नोन एज अ स्ट्रेट लाइन यह होता है अब सबसे पहले कुछ कार्टीजन फॉर्मूले जो आपको खुद प पहले से ही पता है डिस्टेंस फॉर्मूला सर अगर दो पॉइंट है x1 y1 x2 y2 तो डिस्टेंस फॉर्मूला क्या होता है डिफरेंस ऑफ एब ससा का स्क्वायर प्लस डिफरेंस ऑफ ऑर्डिनेट का स्क्वायर का अंडर रूट यह आपका कहलाता है डिस्टेंस फार्मूला ठीक है जैसे कि फाइंड द डिस्टेंस बिटवीन p एंड x वन p क इज पैरेलल टू वा एक्सिस p क इज पैरेलल टू वा एक्सिस यानी कि अगर यह है आपकी वा एक्सिस तो अगर कोई पॉइंट यहां पर है p x1 y1 और अगर दूसरा पॉइंट है q x2 y2 अब इस केस में क्या हो रहा है यह पैरेलल है सर ये वा एक्सिस के पैरेलल है तो वा एक्सिस के पैरेलल की वजह से यह जो डिस्टेंस है वो सेम होगा यह जो डिस्टेंस है वो सेम होगा यानी कि यहां पे आप बोल सकते हो x1 और x2 दोनों क्या होंगे इक्वल हो जाएंगे तो फर्स्ट केस में x1 = x2 है तो जब मैं मोड y1 माइवा 2 यहां से आ जाएगा मोड क्योंकि स्क्वायर रूट के बाहर जब भी कोई चीज आएगी बेटा आपको लेना है मॉडल ऑफ दैट वैल्यू आपको लेना है मॉडल ऑफ दैट वैल्यू नेक्स्ट है प क इ पैरेलल टू एक्स एक्सिस सर अब सेकंड केस में वह एक्स एक्सिस के पैरेलल हो जा रहा है यानी कि अब अगर प यहां पर है एक्सव वाव और q यहां पर है x2 वाट तब इस केस में यह डिस्ट सेम है सर थ्रू आउट तो यहां पे y1 = y2 हो जाएगा यहां पे y1 = y2 हो जाएगा तो इसका मतलब है जब हम p क सॉल्व करेंगे x1 - x2 काल स्क्वा प् y1 - y2 का स्क्वा अब ये जीरो हो जाएगा और आंसर आ जाएगा मड x1 - x2 या x2 - x1 कुछ भी आप ले लीजिए आपको पॉजिटिव लेनी है क्योंकि डिस्टेंस कभी नेगेटिव नहीं हो सकता का तो ये दो चीजें आपको याद रखनी है समझनी है कि सर कौन सा डिस्टेंस आपका कॉमन हो रहा है या इक्वल हो रहा है उसके हिसाब से आपको आगे का पार्ट करना है ठीक है नेक्स्ट फाइंड अ पॉइंट ऑन द x एक्सिस व्हिच इज इक्वि डिस्टेंस फ्रॉम द पॉइंट दिस एंड दिस चलिए इसको a ले लेते हैं इसको p ले लेते हैं अब अगर कोऑर्डिनेट की आपको थोड़ी सी नॉलेज है याद होगा अगर कोई भी पॉइंट x एक्सिस पे है तो उसका सर y कोऑर्डिनेट जीरो हो जाएगा उसका वा कोऑर्डिनेट जीरो हो जाएगा चलो इसको ले लेते हैं p x 0 अब इक्वि डिस्टेंस है यानी कि प = pb-2 प् 0 - 6 का स्क्वा पब के केस में x - 3 का स्क्वा प् 0 - 4 का स्क्वायर चलिए एक्सपेंड कर देते हैं x स् प् 49 - 27 14x + 36 और यहां पे x स् + 9 - 2 3 6x + 6 देखो x स् x स् कैंसिल हो जाएगा अब 14x को उधर ले जाएंगे तो 14 - 6 8x बचेगा बाकी सबको अब यहां पर लाना है तो सर 9 प् 16 25 25 इधर आ जाएगा तो 25 माइनस होगा तो स यहां पर 24 बचेगा तो 24 प् 36 आपका ये बन जाएगा 40 प् 20 60 बन जाएगा 40 प् 60 मतलब कि सर 16 गया तो 20 और फिर ना गया तो 20 में से 9 गया तो 11 तो 50 हां 60 तो सर x की वैल्यू आ जाएगी 60/8 यानी कि 2 फो 2 30 15/2 यानी कि पॉइंट आपका क्या बन जाएगा सर पॉइंट x 0 अब आपका बन जा जाएगा पॉ 15/2 0 इस तरीके से सॉल्व होगा ठीक है बेसिक चीजें जस्ट रिकॉल के लिए आपके रिकॉल के लिए कोऑर्डिनेट सिस्टम में क्या-क्या हमें करना है तो एकदम बेसिक क्वेश्चन नहीं है अच्छे क्वेश्चंस है ठीक है चलिए नेक्स्ट आते हैं विदाउट यूजिंग पाइथागोरस थ्योरम शो दैट द पॉइंट दिस दिस एंड दिस आर द वर्टिसेज ऑफ अ राइट एंगल ट्रायंगल आर द वर्टिसेज ऑफ अ राइट एंगल अब पाइथागोरस थ्योरम है तो पाइथागोरस थ्योरम विदाउट यूजिंग तो ये हम लोग स्लोप के मेथड से सॉल्व कर सकते हैं स्लोप अभी हम पढ़ेंगे तो स्लोप के मेथड से हम सॉल्व कर सकते हैं नहीं तो पाइथागोरस थ्योरम से आप इसको इजली सॉल्व कर सकते हो कि सर सम ऑफ स्क्वायर ऑफ टू साइड इक्वल्स टू द थर्ड साइड तो यहां पे हमें स्लोप मेथड यूज करनी है तो जब हम स्लोप मेथड पढ़ लेंगे तब इस क्वेश्चन पे वापस आएंगे बेटा तब इस क्वेश्चन पे वापस आएंगे ठीक है नेक्स्ट विदाउट यूजिंग डिस्टेंस फॉर्मूला शो दैट द पॉइंट दिस दिस मतलब ये ऐसे है दिस एंड दिस आर द वर्टिसेज ऑफ ए पैरेललोग्राम तो इस टाइप के क्वेश्चन आपके स्लोप बेस्ड क्वेश्चंस हैं इस टाइप के क्वेश्चंस आपके स्लोप बेस्ड क्वेश्चंस हैं क्योंकि यहां पे साफ बोल दिया कि सफ को डिस्टेंस फॉर्मूला यूज नहीं करना है तो पैरेललोग्राम का मतलब क्या है सर अपोजिट साइड्स पैरेलल है अपोजिट साइड्स पैरेलल है तो ये दोनों क्वेश्चन जब हम लोग स्लोप कर लेंगे मैं आपको वही दिखाना चाह रहा था यहां पे कि अगर कुछ क्वेश्चंस होते हैं जहां पे आप डिस्टेंस फॉर्मूला यूज़ क्योंकि पैरेललोग्राम के हम क्या करते हैं सर अपोजिट साइड्स इक्वल होंगे डिस्टेंस फॉर्मूला में और डायगोनल इक्वल नहीं होंगे वो था डिस्टेंस मेथड ठीक है वो था डिस्टेंस मेथड पर आपको डिस्टेंस मेथड यूज़ नहीं करना है तो इस केस में हमको स्लोप मेथड यूज़ करना है तो जैसे ही हम स्लोप कर लेंगे तो वापस इन दोनों क्वेश्चंस पे आएंगे अब देखिए द वैल्यू ऑफ़ y इज इफ द डिस्टेंस बिटवीन पॉइंट दिस एंड दिस इज 10 यूनिट्स तो अब यह सर आपका डिस्टेंस फॉर्मूला बेस्ड है कि दी हुई है 10 तो प क कितना होता है सर यहां पर हो जाएगा 10 माइ 2 का होल स्क्वायर प्लस वा माइनस ऑफ माइनस प् 3 का होल स्क्वायर इक्व 10 तोब रूट हटाने के लिए स्क्वायर करना पड़ेगा 10 माइ 2 8 8 का स्क्वायर 64 प्वा स्क्वायर प्लस कितना हो जाएगा सर ये प् 9 प् 2 3 6वा इ 100 तो सबको मतलब सबको इधर लेके आ जाओ तो ये हो जाएगा y स् + 6y 64 + 9 ये आपका बन जाएगा 73 और 73 में 100 अगर माइनस कर दोगे तो आएगा 27 ये आ जाएगा - 27 सर 9 और 3 दिख रहा है तो y स् + 9y - 3y - 27 तो y + 9 और यहां पे आ जाएगा y - 3 तो y की वैल्यू आ जाएगी -9 या 3 -9 या 3 -9 तो है नहीं 3 है तो आपका आंसर हो जाएगा ए ऑप्शन आपका आंसर हो जाएगा ए ऑप्शन देख लीजिए इस तरीके से आप लोग सॉल्व करेंगे इस तरीके से आप लोग सॉल्व करेंगे ठीक है बेटा चलिए अब सेक्शन फार्मूला एक और चीज थी सेक्शन फॉर्मूला अगर इसको मैं एक ब्रीफ पॉइंट में आपको समझा दूं एक पॉइंट होता था p q एक पॉइंट होता था q तो अगर एक पॉइंट है r जो इसको m n रेशियो में इंटरनली बाईसेक्ट बाईसेक्ट नहीं इंटरनली डिवाइड कर रहा है तो सेक्शन फॉर्मूला क्या हो जाता था m * x2 + nx1 मतलब यहां पे p को लिया गया है x1 y1 और q को लिया गया है x2 y2 तो यहां पे आंसर क्या हो जाएगा mx2 + nx1 / m + n m2 प् n1 बा m प् इस तरीके से यह सॉल्व होगा वहीं पर अगर एक्सटर्नल डिवीजन होता है तो बीच में बस माइनस साइन आ जाता था बीच में बस माइनस साइन आ जाता था ठीक है इसकी एप्लीकेशन आप देखेंगे जब क्वेश्चन आएंगे तो इसलिए अभी यह बेसिक करना बहुत जरूरी है बच्चे भूल जाते तो एक रिवीजन पार्ट हो रहा है आपके लिए ठीक है वहीं पर फिर मिड पॉइंट क्या हो जाता था क्योंकि 1:1 हो जाएगा तो x1 प् x2 बाट y1 प्वा 2/2 चलिए कुछ क्वेश्च करते हैं जैसे कि द कोऑर्डिनेट्स ऑफ द पॉइंट च डिवाइड्स द लाइन सेगमेंट जॉइनिंग दिस एंड दिस इंटरनली इन द रेशो 13 आर गिवन बाय सिंपल फार्मूला बेस्ड है सर ए दिया हुआ है आपको वमा -3 और बी दिया हुआ है आपको -3 9 और रेशो में डिवाइड कर रहा है 1:3 तो आपका जो कोऑर्डिनेट है उसका एक्स कोऑर्डिनेट क्या हो जाएगा 1 * -3 प् 3 * 1 बा 1+ 3 तो सर -3 और -3 तो 0 हो गया सर ये आ गया 0 तो जीरो सिर्फ एक ही ऑप्शन में है तो वो आपका आंसर हो जाएगा नहीं तो आप वेरीफाई कर सकते हो y भी ले लेते हैं y * 9 9 प् 3 * -3 बा 1+ 3 सर 3 3 9 9 - 9 ये भी 0 तो यहां से आ गया 0 0 यहां से आ गया 0 0 इस तरीके से फॉर्मूला एप्लीकेशन जस्ट हम फर्मूला याद कर रहे हैं बेटा और कुछ नहीं ठीक है एक और पॉइंट द कोडिनेट ऑफ द पॉइंट वि डिवाइड एक्सटर्नली द लाइन 6-3 और -3 9 इन द रेशो 13 अब एक्सटर्नली कर रहा है तो सर फार्मूला में क्या आएगा 1 * -3 माइनस आ जाएगा और यहां पर 3 * 6 बा 1-3 तो सर ये -3 है और 3 सि 18 -3 और माइ 18 - 21 बा -2 यानी कि 21/2 यानी कि 21/2 डिवाइड्स एक्सटर्नली इन द लाइन 6 -3 एंड -3 9 तो 1 * -3 माइनस 3 * 6 सो 18 और 3 21 होता है और 1-3 तो सर -2 सो 21/2 और y हो जाएगा आपका y हो जाएगा आपका 1 * 9 - 3 * 3 तो सर अगेन -9 बाय 1-3 तो सर यह हो जाएगा 9 प् 9 18 बाय -2 यानी कि -9 तो सर -9 आपके एक ही ऑप्शन में है तो यहां पर कुछ मतलब मिस प्रिंट हो सकता है तो आप इसको सुधार लेंगे यह हो जाएगा 21/2 -9 ठीक है तो इस तरीके से फार्मूला एकदम सही है सर कुछ कैलकुलेशन में मिस्टेक है या कुछ मिस प्रिंट होगा आप देख लीजिएगा मतलब ये इसी तरीके से होगा तो हम यहां पे सिर्फ फार्मूला अप्लाई करना सीख रहे हैं एक्सटर्नल होगा तो आप देख सकते हैं एक्सटर्नल होता है तो बीच में बस माइनस साइन आ जाता है ठीक है और इंटरनल होता है तो प्लस साइन रहता है ठीक है क्लियर है चलिए अब एक बहुत ही इंपॉर्टेंट प्रॉपर्टी बोल लीजिए या एक चीज़ बोल लीजिए एरिया ऑफ़ ट्रायंगल एरिया ऑफ़ ट्रायंगल a c हुज वर्टिसेज आर a b एंड c इज़ गिवन बाय डेल्टा 1/2 x1 y2 - y3 + x2 y3 - y1 + x3 y1 - y2 याद करने का तरीका क्या है बेटा 1 2 3 तो अब यही ऑर्डर होना चाहिए तो x2 आया तो 2 के बाद 3 3 के बाद 1 फिर थ आ गया तो 3 के बाद 1 1 के बाद टू ऑर्डर हमेशा 1 2 3 में रहता है बच्चे हमेशा पूछते हैं सर याद कैसे करें तो वही याद करने का तरीका है बेटा x1 तो 1 2 3 तो y में आएगा y2 - y3 फिर ू लिया तो y3 - y1 x3 लिया y1 - y2 का मोड क्योंकि एरिया कभी नेगेटिव नहीं हो सकता तो यह आपका फॉर्मूला हो जाता है नोट द पॉइंट ए बी सी आर कोलिनियर इफ एरिया इज जीरो अगर आपका एरिया जीरो आ जाए यानी कि वोह स्ट्रेट लाइन में यानी कि वो स्ट्रेट लाइन में है इसको लिखने का एक और मेथड है अगर आपको डिटरमिनेट आता है तो x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y31 ये तो अगर डिटरमिनेट आता है तो आप वो करिए नहीं तो यह क्योंकि डिटर्मिननेंट 12थ में पढ़ा जाता है तो हम यही फार्मूला यूज करते हैं बेटा हम लोग यही फार्मूला यूज करते हैं ठीक है तो एज अ फॉर्मूला बस इसको याद रखना है आपको एरिया ऑफ द ट्रायंगल एरिया ऑफ द ट्रायंगल चलिए क्वेश्चन करके देखते हैं ड्रॉ क्वाड्रीलेटरल इन द कार्टीजन प्लेन हुज वर्टिस आर दिस दिस दिस एंड दिस एंड आल्सो फाइंड इट्स एरिया और उसका हमें एरिया भी चाहिए तो आपको अगर ऐसा आएगा तो आप रफ डायग्राम बना सकते हो -4 5 -4 और 5 ले लीजिए तो ये एक पॉइंट हो जाएगा ठीक है फिर बी है 07 यानी जीमा से यह आपका बी पॉइंट हो जाएगा ठीक है फिर है 5 माइनस फ तो सर फ यहां पर और माइनस फ यहां पर यह हो जाएगा आपका सी 5 कमा माइनस फ और माइ 4 माइट तो यहां पर आ जाएगा आपका डी -4 -2 तो बच्चे मेरे से पूछते हैं सर ए सी भी लिख सकते हैं क्या नहीं जो ऑर्डर दिया है बच्चे हमेशा गलती कहां पर करती और आंसर गलत क्यों होता है वह ऑर्डर चेंज कर देते हैं जिस ऑर्डर में पॉइंट्स दिए आपको वही ऑर्डर में लेना है ए बी सीडी आप इसमें इंटरचेंज नहीं कर सकते तो यानी कि मेरा क्वाड्रीलेटरल ऐसा कुछ बनेगा ए सॉरी ए फिर bcd4 दो ट्रायंगल है एक ट्रायंगल दो ट्रायंगल तो यानी कि सर हम एक ट्रायंगल का एरिया निकाले प्लस दूसरे ट्रायंगल का एरिया कर दें तो हमें एरिया ऑफ क्वाड्रीलेटरल मिल जाएगा तो कभी भी एग्जाम में अगर एरिया ऑफ क्वाड्रीलेटरल पूछ रहा है तो आप दो ट्रायंगल बनाकर उसका एरिया निकालेंगे दो ट्रायंगल बना के एरिया निकालेंगे तो चलिए पहला ट्रायंगल आप ले लेते हैं ए बी और सी ट्रायंगल ए सी तो इसके कोऑर्डिनेट्स क्या-क्या है बेटा ऑर्डर में आप लिखेंगे माइनस 4 5 दूसरा है 07 और तीसरा है 5 माइन फ तो जब एरिया हम निकालेंगे तो वो हो जाएगा हाफ एक्सव तो ये आपका x1 वाव है x2 वाट है एकस3 y3 है ठीक है तो y2 माइनस y3 ये हुआ + x2 फिर x2 के बाद y3 - y1 फिर x3 तो y1 माइनस y2 इस तरीके से फर्मूला लगेगा देख लो x1 x2 x3 y2 y3 y3 y1 और फिर आपका y1 और y2 ये आ गया अब सॉल्व कर दीजिए हाफ -4 7 प् 5 12 ये जीरो ही रहेगा 0 इनटू कुछ भी जीरो होता है 5 - 7 -2 तो ये आ जाएगा माइ 10 तो हाफ सर -48 और -10 माइ 58 का मोड ठीक है 48 और 10 58 तो से डिवाइड कर देंगे मोड 58 बाट य आपका बन जाएगा 29 यह बन जाएगा आपका 29 यह आ गया एक ट्रायंगल का एरिया यहीं पर अब आप दूसरे ट्रायंगल का एरिया निकालेंगे ए बी और ए सी और डी ए सी और डी ट्रायंगल ए सी और डी तो यहां पर ए आपका है कितना 4 फ सी कितना है आपका 5 माइ और डी कितना है आपका -4 -2 तो जब हम यहां पर एरिया निकालो तो एरिया आपका हो जाएगा हाफ मॉड्यूस ऑफ x1 x2 और x3 -5 प् 2 फिर x2 5 आ जाएगा x2 आने के बाद y3 माइन वाव फिर एकस3 और एकस3 आने के बाद आ जाएगा आपका वाव और वाट इस तरीके से सॉल्व करेंगे हाफ मोड ऑफ -5 प् 2 सर -3 हो जाएगा तो माइन 12 -2 -5 माइन से तो माइन 35 और फिर 5 प् 5 10 माइन 4 य आ जाएगा तो सर आंसर कित हो जाएगा सर 40 और 30 70 75 85 87/2 तो एरिया आ जाएगा आपका 87/2 तो टोटल एरिया ऑफ क्वाड्रीलेटरल ए बी सीडी ये हो जाएगा 29 प् 87 बा 2 यानी कि 58 ् 87 बा 2 तो 8 प् 7 15 1 9 प् 5 145 बाट स्क्वायर यूनिट्स 145 बाट स्क्वायर यूनिट इस तरीके से यह सॉल्व होगा इस तरीके से यह सॉल्व होगा ठीक है बेटा तो इस तरीके से हम इसको सॉल्व करेंगे चलिए आगे बढ़ते हैं अब हम आ जाते हैं मेन चैप्टर पे अभी तक हमने क्या किया कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री को हमने देखा डिस्टेंस फॉर्मूला सेक्शन फॉर्मूला और एरिया ऑफ ट्रायंगल और हमने क्या देखा एरिया ऑफ ट्रायंगल तो एरिया ऑफ ट्रायंगल आपका इंपॉर्टेंट पार्ट है वहां से क्वेश्चन आ सकता है भूलिए का मत क्वाड्रीलेटरल का एरिया आ जाए तो दो ट्रायंगल बना के आप डिवाइड कर दीजिए और एक-एक करके निकाल लीजिए उसी में कई बार क्वेश्चन आता है कि k की वैल्यू निकालो या किसी कांस्टेंट की वैल्यू निकालो तो उस टाइप के क्वेश्चन भी भी होते हैं नेक्स्ट अब आ जाते हैं मेन चैप्टर हमारा स्टार्ट होता है स्ट्रेट लाइन का स्लोप ऑफ द स्ट्रेट लाइन या ग्रेडिएंट भी बोला जाता है स्लोप और ग्रेडिएंट ऑफ ए लाइन तो स्लोप क्या होती है सर सपोज करो यह एक लाइन है सपोज करो ये यह एक लाइन है सपोज करिए आपकी यह एक लाइन है ऐसे तो सर स्लोप क्या होती है द टेंज ऑफ द एंगल मेड बाय द लाइन विथ पॉजिटिव डायरेक्शन ऑफ एक्स एक्सिस विथ पॉजिटिव डायरेक्शन ऑफ एक्स एक्सिस विथ पॉजिटिव डायरेक्शन ऑफ एकस एक्सिस मतलब हर बार जब आप पॉजिटिव डायरेक्शन के साथ जब लाइन के साथ एंगल लेंगे सपोज करो यह थीटा है यहां पे ये थीटा है यहां पे ये थीटा है तो स्लोप जो m से हम डिनोट करते हैं वो कहलाता है t थीटा व कहलाता है t थीटा सो टेंज ऑफ द एंगल मेड बाय द लाइन विद द पॉजिटिव डायरेक्शन ऑफ x एक्सिस मतलब x के पॉजिटिव साइड से जो एंगल बनेगा वो एंगल कहलाएगा मतलब स्लोप एंगल और स्लोप की वैल्यू क्या कहलाए कीी m की वैल्यू क्या कहलाए कीी t ऑफ थीटा m की वैल्यू क्या कह लाएगी t ऑफ थीटा आप लोग देख सकते हैं बहुत ही इंपॉर्टेंट सवाल है बहुत ही इंपॉर्टेंट सवाल है ठीक है तो यही चीज यहां पर नोट्स में आपके लिए मैंने लिखवा लिख दी है इफ थीटा इज द इंक्लिनेशन ऑफ द नॉन वर्टिकल लाइन देन m = 10 थीटा इज कॉल्ड द स्लोप और ग्रेडिएंट ऑफ द लाइन थीटा इज मेजर्ड फ्रॉम पॉजिटिव एक्स एक्सिस एंड इट्स टेकन एज पॉजिटिव और नेगेटिव अकॉर्डिंग टू इट इज मेजर्ड इन एंटीक्लॉक वाइज और एंटी और क्लॉक वाइज डायरेक्शन ठीक है देखो हमेशा हम क्या हो रहे हैं एंटी क्लॉक वाइज काउंट कर रहे हैं हमेशा हम क्या कर रहे हैं एंटीक्लॉक वाइज काउंट कर रहे हैं तो यानी कि अगर कोई लाइन है जो परपेंडिकुलर है एक एक्सिस के तो उसके लिए ये एंगल हो जाएगा 90 डिग्री तो t 90 कितना होता है सर इनफिनिटी होता है सॉरी 1/0 यानी कि इनफिनिटी तो अगर एक लाइन है जो परपेंडिकुलर है एक्स एक्सिस के उसकी स्लोप क्या होगी इनफिनिटी हो जाएगी और अगर कोई लाइन है जो पैरेलल है एक्स एक्सिस के तो वहां पे थीटा जीरो लेंगे या पाई लेंगे तो दोनों ही केस में आपका स्लोप क्या हो जाएगा जीरो हो जाएगा दोनों ही केस में आपका स्लोप क्या हो जाएगा जीरो हो जाएगा तो अगर कोई लाइन एक्स एक्सिस के पैरेलल है उसकी स्लोप जीरो कहलाए गी और अगर कोई लाइन वा एक्सिस के पैरेलल है उसकी स्लोप इंफाइटिंग ठीक है नोट पॉइंट्स द इंक्लिनेशन ऑफ ए लाइन पैरेलल टू एक्स एक्सिस और हॉरिजॉन्टल लाइन इ 0 डिग्री जो मैंने अभी बताया हेंस स्लोप ऑफ द लाइन पैरेलल टू एक्स एक्सिस इज जीरो अभी मैंने आपको एक्सप्लेन करके बताया द इंक्लिनेशन ऑफ द लाइन पैरेलल टू y एक्सिस और ऑफ वर्टिकल लाइन इज 90 डिग्री हेंस स्लोप ऑफ द लाइन परपेंडिकुलर वा एक्सिस इज नॉट डिफाइंड इनफिनिटी बोल लो या नॉट डिफाइंड बोल लो मतलब सिर्फ और सिर्फ एक कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री है जहां पे हम इनफिनिटी को 1 बा 0 या नॉट डिफाइंड लेते हैं और क्रॉस मल्टीप्लाई करते हैं सिर्फ और सिर्फ कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री में और कहीं पे भी नहीं ठीक है तो सर अब अगर दो पॉइंट दे दिया अब अगर आपको दो पॉइंट दे दिया कि सर स्लोप ए ऑफ द नॉन वर्टिकल लाइन पासिंग थ्रू टू पॉइंट्स आपके दो पॉइंट दे दिया तो वह होता है y2 - y1 बा x2 - एक्सव पॉइंट फॉम यह कहलाता है आपका पॉइंट फॉर्म कैसे आप देख सकते हैं सपोज करते हैं सर यह हमारी एक स्ट्रेट लाइन है ठीक है यह हमारी एक स्ट्रेट लाइन यह पॉइंट हो गया x1 वाव यह पॉइंट हो गया एक्सट वाटू ठीक है तो ऐसे करके हम बना सकते हैं अब अगर यह एंगल थीटा है तो यह एंगल मतलब कि आपका यह एंगल थीटा है तो अब यह कैलकुलेट करने के लिए हम क्या करेंगे यह एंगल जो आपका थीटा है तो इंटीरियर एंगल आपका यह क्या हो जाएगा 90 माइनस थीटा सम ऑफ इंटीरियर अपोजिट मतलब कि इसको और अच्छे से अगर मैं बनाना चाहूं ये ऐसे आप ले लीजिए ये हो गया तो ये एंगल थीटा है ठीक है तो अगर यह पॉइंट है x1 वाव यह पॉइंट है x2 वाट तो यहां से परपेंडिकुलर ड्रॉप कर दीजिए यहां से भी परपेंडिकुलर यह यहां से और यह यहां से ठीक है तो अगर ये एंगल थीटा है तो ये एंगल भी थीटा होगा ये एंगल थीटा है तो ये एंगल भी थीटा होगा अब आप देखिए यह जो डिस्टेंस है यह डिस्टेंस यह डिस्टेंस क्या कहलाएगा सर यह कहलाएगा x2 - x1 और ये डिस्टेंस कहलाएगा y2 - y1 ठीक है ना सर ये पूरा y2 है इतना y1 है तो ये डिस्टेंस कहलाएगा y2 - y1 वैसे ये डिस्टेंस कहलाएगा x2 - x1 तो यहां पे t थीटा इस ट्रायंगल में हम लिख सकते हैं y2 - y1 बा x2 - x1 इस तरीके से प्रूफ होता है कि अगर दो पॉइंट गिवन है उस लाइन पे तो उसकी स्लोप क्या हो जाएगी y2 - y1 / x2 - x1 यह मैंने आपको डिराइवर करके बता दिया सिंपल सा चीज है सर ठीक है तो हम यह दो चीजें याद रखनी क्योंकि हर बार वहां पे आपको यह नहीं देगा कि एंगल क्या दिया हुआ है अगर पॉइंट्स देगा तो हम पॉइंट फॉर्म से स्लोप निकाल सकते हैं हम पॉइंट स्लोप से पॉइंट फॉर्म से स्लोप निकाल सकते हैं ठीक है जैसे कि फाइंड द स्लोप ऑफ़ ए लाइन व्हिच पासेस थ्रू ओरिजिन एंड द मिड पॉइंट ऑफ ऑ द लाइन सेगमेंट जॉइनिंग द पॉइंट्स p एंड बी यानी एक लाइन ओरिजिन से तो पास कर ही रही है अब जो दूसरा पॉइंट है वो इन दोनों का मिड पॉइंट है तो अगर सेक्शन फॉर्मूला नहीं आता तो आप मिड पॉइंट नहीं निकाल सकते तो इसीलिए हमें वहां पे कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री पढ़नी पड़ती है बेटा तो सर इस दोनों का मिड पॉइंट क्या होगा मिड पॉइंट 0 + 8/2 -4 + 0/2 यानी कि 4 - 2 तो दूसरा पॉइंट हो जाएगा 4 -2 तो अब इस लाइन की स्लोप क्या हो जाएगी y2 - y1 बा x2 - x1 यानी - 2/4 यानी - 1/2 ये आपका आंसर हो गया सर यह आपका आंसर हो गया इस तरीके से तो सेक्शन फॉर्मूला डिस्टेंस फॉर्मूला इसकी एप्लीकेशन क्वेश्चंस में आएगी तो इसलिए वो फॉर्मूले बेसिक फॉर्मूले आपको याद रखने जरूरी है फाइंड द स्लोप ऑफ द लाइन व्हिच मेक्स एन एंगल ऑफ 30 डिग्री विद द पॉजिटिव डायरेक्शन ऑफ वा एक्सिस मेजर्ड एंटीक्लॉक वाइज सर अ पॉजिटिव डायरेक्शन ऑफ वा एक्सिस के साथ बात हो रही है ठीक है तो यानी कि अब ऐसे केस में एंटीक्लॉक वाइज आपका इस साइड होगा क्लॉक वाइज आपका इस साइड होगा तो यानी कि यहां से मेजर किया गया है तो कोई भी लाइन ऐसी लाइन बोली जा रही है कोई भी लाइन ऐसी लाइन बोली जा रही है तो 30 डिग्री ये मेजर कर रहा है ठीक है वो क्या कर रहा है 30 डिग्री मेजर कर रहा है तो सर अब यह 30 है तो यह एंगल को मैं क्या बोल सकता हूं 120° बोल सकता हूं इस एंगल को मैं सॉरी 150° 150° बोल सकता हूं क्योंकि ये सेमी सर्कल बनाएगा तो सर यह अपने आप 30° हो जाएगा यह 90 है तो यह 60° हो जाएगा और यह एंगल आपका बन जाएगा 120° तो यानी कि जो 910 की आपकी एंगल वाली प्रॉपर्टीज थी वह लगा लगा के मुझे सिर्फ y एक्सिस का दिया था मैंने x एक्सिस के साथ निकाल लिया मैंने एक्स एक्सिस का एंगल निकाल लिया इस तरीके से आपको देखना है तो अब मेरा जो स्लोप है वो कितना हो जाएगा स्लोप हो जाएगा न ऑफ 120 डिग्री तो न 120 कितना होता है बेटा माइनस 10 60 होता है यानी कि माइनस √3 यह आपका आंसर हो जाएगा माइनस √3 तो इस तरीके से यह सॉल्व होगा इस तरीके से यह सॉल्व चलिए नेक्स्ट अ लाइन पासेस थ्रू दिस एंड दिस इफ स्लोप ऑफ़ द लाइन इज m शो दैट तो सर स्लोप की वैल्यू दी हुई है तो हमें पता है कि स्लो स्लोप क्या होता है अ k - y1 बा h - x1 ये होता है तो क्रॉस मल्टीप्लाई कर दो तो m * h - x1 = k - y1 सर यही तो प्रूफ करना था तो आप लिखेंगे हेंस प्रूव्ड हम लिख देंगे हेंस प्रूव्ड ठीक है अब कंडीशन फॉर पैरेललिज्म एंड परपेंडिकुलेरिटी मतलब अगर दो लाइंस पैरेलल है या परपेंडिकुलर है तब हम स्लोप की मदद से हम क्या करते हैं लेट n1 एंड एलटू बी द टू लाइंस हुज स्लोप्स आर m1 एंड m2 रिस्पेक्टिवली देन अगर दो लाइन पैरेलल है तो उनकी स्लोप हमेशा इक्वल होगी अगर दो लाइंस पैरेलल है तो उनकी स्लोप हमेशा क्या होगी बेटा इक्वल होगी वहीं पर अगर दो लाइन परपेंडिकुलर है तो उनकी स्लोप हमेशा क्या होगी -1 तो उनकी स्लोप हमेशा क्या होगी -1 ठीक है तो यह दो रिजल्ट एकदम फुल प्रूफ रिजल्ट है जो आपको याद रखने हैं और जो आपको समझने हैं कि सर अगर दो लाइन पैरेलल है तो उनकी स्लोप इक्वल होगी और अगर दो लाइन परपेंडिकुलर है तो उनका प्रोडक्ट होगा -1 अब वो जो दो क्वेश्चन थे सर जो हमने स्टार्टिंग में छोड़े थे जहां पर था कि डिस्टेंस फार्मूला आपको नहीं अप्लाई करना है तब हम इस मेथड से अब सॉल्व कर सकते हैं जैसे कि ये विदाउट यूजिंग पाइथागोरस थ्योरम शो दैट द पॉइंट्स इसको मान लेते हैं सर a इसको मान लेते हैं बी इसको मान लेते हैं c आर द वर्टिसेज ऑफ ए राइट एंगल ट्रायंगल आर द वर्टिस ऑफ ए राइट एंगल ट्रायंगल और इसको c मान लेते हैं आर द वर्टिस ऑफ ए राइट एंगल तो सर ऐसे कोई भी दो लाइन होंगी जिनका जो दोनों आपस में परपेंडिकुलर होगी तो उनका स्लोप का प्रोडक्ट क्या होना चाहिए -1 तो ऐसे क्वेश्चन में आप क्या करेंगे पेयर वाइज आप स्लोप निकालेंगे पेयर वाइज आप लोग स्लोप निकालेंगे जैसे कि ए है तो पहले तो स्लोप ऑफ ए निकाल लीजिए तो ये क्या हो जाएगा सर 5 - 4 3 - 4 तो 5 - 4 1 3 - 4 -1 ये -1 हो जाएगा स्लोप ऑफ bcc950 -3 तो ये हो जाएगा सर -6 बाय -4 यानी कि 3/2 अब स्लोप ऑफ ए निकाल लीजिए तोय क्या हो जाएगा सर 4 माइनस ऑफ माइव 4 माइनस ऑफ माइव तो सर य हो जाएगा वन तो क्लियर मुझे दिख रहा है आप लिखेंगे सिंस स्लोप ऑफ ए इन स्लोप ऑफ ए इक्टू -1 हेस ए बी इज परपेंडिकुलर टू ए और जो भी पॉइंट कॉमन पॉइंट होगा उसी पर आपका 90 डिग्री होगा एंड एंगल ए इज 90 डिग्री तो स्लोप मेथड से बिना पाइथागोरस थ्योरम यूज किए या डिस्टेंस फार्मूला यूज किए इस तरीके से हम लोग क्या कर सकते हैं हम लोग निकाल सकते हैं एंगल की वैल्यू या प्रूफ कर सकते हैं कि यह मतलब आपका राइट एंगल ट्रायंगल है ठीक है देख लो समझ लो बहुत ही इंपॉर्टेंट सवाल है ठीक है नेक्स्ट इसी में सर विदाउट यूजिंग डिस्टेंस फर्मूला शो दैट ए बी सी और डी आर द वर्टिस ऑफ पैरेललोग्राम तो सर पैरेललोग्राम में दो साइड्स क्या होती है अपोजिट साइड्स पैरेलल होती है तो यहां पर भी आप लोग क्या निकालेंगे स्लोप ऑफ ए तो हो जाएगा 0 माइनस ऑफ -1 4 माइन ऑफ -2 तो 1/6 आ गया स्लोप ऑफ bc3 - 0 3 - 4 तो 3 बा -1 -3 स्लोप ऑफ सडी स्लोप ऑफ सडी तो ये कितना हो जाएगा सर 2 - 3 बा -3 -3 सो -1 बा -6 यानी कि 1/6 और स्लोप ऑफ ए तो स्लोप ऑफ ए कितना हो जाएगा बेटा ये हो जाएगा माइव -2 डिवाइडेड बाय -2 माइनस 3 माइट माइनस ऑफ माइनस प् 3 तो सर यह आ रहा है आपका -3 बाव यानी कि -3 तो हम लोग देख सकते हैं कि सिंस स्लोप ऑफ ए इ इक्वल टू स्लोप ऑफ सीडी एंड स्लोप ऑफ बीसी इ इ टू स्लोप ऑफ एडी सो यहां से आ जाएगा ए पैरेलल्स टू सीडी और यहां से आ जाएगा b स पैरेलल्स टू एडी तो सिंस अपोजिट साइड्स आर पैरेलल सो द क्वाड्रीलेटरल इज अ पैरेललोग्राम सो अ क्वाड्रीलेटरल इज अ पैरेललोग्राम तो यह एप्लीकेशन होती है कि अगर आपकी दो स्लोप्स इक्वल है या परपेंडिकुलर है तो उसका रिजल्ट कैसे आपको यूज हो करना है ठीक है आशा करता हूं समझ में आ गया होगा और आप इजली इसको अब सॉल्व कर पाएंगे चलिए और क्वेश्चंस देखते हैं और क्वेश्चंस देखते हैं तो यह दो रिजल्ट इसलिए बहुत इंपॉर्टेंट है इन दोनों की एप्लीकेशन मैंने आपको बता दी अब आता है सबसे इंपॉर्टेंट पार्ट एंगल बिटवीन टू लाइंस एंगल बिटवीन टू लाइंस सपोज करो एक लाइन है ए1 एक लाइन है l2 ए1 ए2 तो इसकी स्लोप का एंगल मान लेते हैं थ और इसका स्लोप का एंगल मान लेते हैं थट तो सर यह एक अल्फा है और यह भी एक अल्फा है एंगल बिटवीन द लाइंस तो सर एक एक्यूट एंगल बनाएगा और एक ट्यूस एंगल बनाएगा तो सर हमने पढ़ा था जूनियर क्लासेस में कि सम ऑफ इंटीरियर एंगल्स इज इक्वल टू सम ऑफ एक्सटीरियर अपोजिट एंगल यानी कि यहां पर मैं लिख सकता हूं अल्फा प्स थव इक्व थट तो अल्फा हो गया आपका थट माइन थव तो अगर मैंने न लगा दिया बोथ साइड तो ट्रिग्नोमेट्री में हमने फार्मूला पढ़ा था यह हो जाएगा t माइ 10 बी बा 1 प् t t बी सर न ऑफ एंगल क्या होता है स्लोप ही होता है सो m2 - m1 1 प् m1 m2 अब ये मैंने मोड क्यों ले लिया अगर आपको एक्यूट एंगल चाहिए आप मॉडल वैल्यू लेंगे क्योंकि सर न अल्फा की वैल्यू एक्यूट कब होगी जब वो पॉजिटिव होगी और नेगेटिव हो जाएगी यानी कि ऑट वैल्यू लेंगे तो अगर आपको ट्यूस एंगल निकालने बोल रहा है तो आप नेगेटिव वैल्यू लेंगे और अगर एक्यूट वैल्यू बोल रहा है तो आप उसकी पॉजिटिव वैल्यू लेंगे तो इस तरीके से आपका फार्मूला जनरेट हो जाता है एंगल बिटवीन टू लाइंस एंगल बिटवीन टू लाइंस ठीक है वही चीज यहां पे है सर सेम डायग्राम तरीके से बताया गया है सो t अफ = m2 - m1 / 1+ m1 m2 वयर 1+ m1 m2 इज नॉट इक्वल टू 0 क्योंकि अगर ये रो हो गया यानी कि लाइन परपेंडिकुलर है क्योंकि m1 m2 -1 यानी कि परपेंडिकुलर लाइंस है ठीक है चलिए केस वन इफ t अल्फा इज ग्रेटर दन 0 देन अल्फा इज द एक्यूट एंगल बिटवीन टू लाइंस एंड बीटा इज द ऑट एंगल केस टू इफ t अल्फा इज लेस दन 0 देन न देन अल्फा इज द ट्यूस एंगल बिटवीन टू लाइंस एंड बीटा इज द एक्यूट एंगल यह यहां पे अल्फा और बीटा की बात हो रही है सर ठीक है वही चीज मैंने आपको बोली कि अगर आप नेगेटिव वैल्यू लेंगे तो वो उसकी ऑट एंगल होगी और पॉजिटिव वैल्यू लेंगे तो वो उसकी एक्यूट वैल्यू होगी ठीक है कोलिनियर ऑफ थ्री पॉइंट्स थ्री पॉइंट्स ए बी स इन अ प्लेन आर सेड टू बी कोलिनियर इफ स्लोप ऑफ ए इक्वल्स टू स्लोप ऑफ एंगल बिटवीन द एक्स एक्सिस एंड द लाइन फाइन नहीं लाइन जॉइनिंग द पॉइंट्स दिस एंड दिस तो सबसे पहले तो ये लाइन मतलब इस एकस एक्सिस एक्स एक्सिस की स्लोप क्या होगी बेटा जीरो हो जाएगी एक्स एक्सिस स्लोप क्या कहलाए कीी जीरो कहलाए गी क्योंकि वो एकस एक्सिस के पैरेलल है और m2 आपका ये दोनों लाइन का स्लोप ये कितना हो जाएगा पॉइंट फॉर्म में -2 - ऑफ -1 और फिर 4 -3 तो सर -2 प्व -1 हो गया और 4-3 1 यानी कि माइव तो दोनों आ गया तो न अल्फा इ इक्वल टू मोड ऑफ m2 माइन ए1 1 प् एव ए2 तो m2 कितना है -1 -0 1 प् माइव इन 0 तो सर ये तो जीरो हो गया 1 बाव यानी कि वन ठीक है द एंगल बिटवीन एक्स एक्सिस एंड द लाइन जॉइनिंग तो अल्फा आपका हो जाएगा 45 डिग्री अल्फा आपका हो जाएगा 45 डिग्री अब यहां पर आप यह भी देख सकते हो कि इसीलिए हमने तो मॉडल वैल्यू ले ली ठीक है अगर मैं मॉडल वैल्यू नहीं लेता तो यह आपका बनता ऐसे तरीके से आप करते तो ये आपका बनता -1 -0 बाय 1 प् 0 यानी कि -1 तो अल्फा की वैल्यू नेगेटिव आई अगर अल्फा की वैल्यू नेगेटिव आई है यानी कि दोनों के बीच में ऑब्स एंगल यानी कि दोनों के बीच में ट्यूस एंगल है तो न अल्फा इक्ट -1 यानी कि 10 135 डिग्री तो अल्फा की वैल्यू हो जाएगी 135 डिग्री अल्फा की वैल्यू हो जाएगी 135 डिग्री इस तरीके से आपको वैल्यू निकालनी है अगर यह पॉजिटिव आएगी यानी कि वह एक्यूट एंगल है अगर यह नेगेटिव आएगी यानी कि वह ट्यूस एंगल है ठीक है आशा करता हूं यहां तक समझ में आ रहा होगा और क्वेश्चन करते हैं द बेस ऑफ एन इक्वि ट्रायंगल विथ साइड 2a लाइज अलोंग द y एक्सिस सच दैट द मिड पॉइंट ऑफ़ द बेस इज एट द ओरिजिन ठीक है मिड पॉइंट बेस का मिड पॉइंट यहां पे है विथ साइड 2a यानी कि यह लेंथ a होगी और ये लेंथ a होगी तो ये आपकी साइड हो गई सर और मिड पॉइंट है 0 0 ये हो जाएगा 0 ए ये पॉइंट हो जाएगा 0 - ए ठीक है फाइंड वर्टिसेज ऑफ द ट्रायंगल तो आपको अब इस ट्रायंगल का वर्टिस लेना है तो सर इसका जब हम ट्रायंगल बनाएंगे वो कुछ ऐसा ही होगा क्यों क्योंकि सर ये 60 है ये 60 डिग्री है है यह भी 60 डिग्री है अब उस एंगल को भी 60 डिग्री होना है उस एंगल को भी 60 डिग्री होना है तो तभी पॉसिबल है जब व एक्स एक्सिस पर मीट करेगा जब वो एक्स एक्सिस पे मीट करेगा ठीक है तो अब हम क्या कर सकते हैं कि अब आपका यह जो पॉइंट है यह पॉइंट क्या कहलाएगा अब आपका यह लेंथ यह a है यह लेंथ हमें पता नहीं है यह साइड लेंथ है स साइड लेंथ ये भी 2a होगी ये भी होगी ठीक है तो यह जो कोऑर्डिनेट है यह पता लगाने के लिए इसको मान लेते हैं एक तो पाइथागोरस थोरम आप लगा सकते हो पाइथागोरस थोरम क्या हो जाएगा a स्क प् एक् स् = 4a स् तो x स् इ इक्ट 3a स्क्वा तो एक इ √3 ए एक इ √3 तो ये जो कोऑर्डिनेट है वो हो जाएगा √3 0 √3 ए 0 तो आपके तीन वर्टिसेज क्या कहलाएंगे 0 ए अ 0 - ए एंड √3 ए 0 इस तरीके से कहलाएंगे इस तरीके से कहलाएंगे ठीक है क्योंकि लेंथ इक्वल होती है बेटा तो लेंथ इक्वल है तो ये दोनों ट्रायंगल क्या होने चाहिए क्रुएट होने चाहिए वो तभी कांग्रे जब ये x एक्सिस पे लाई करेगा यह कॉमन लाइन फिर यह दोनों 60 और यह दोनों साइड इक्वल ठीक है चलिए नेक्स्ट बढ़ते हैं फाइंड द वैल्यू ऑफ x फॉर व्हिच द पॉइंट दिस दिस दिस आर कोलिनियर तो सर कोलिनियर है यानी कि इसकी स्लोप और इसकी स्लोप इक्वल होगी ठीक है इसको मान लेते हैं a b और c तो स्लोप ऑफ ए इ टू स्लोप ऑफ bcc950 बाय 4-2 और यहां पर 1 माइनस ऑफ माइव 2 माइ एक तो 2 बाट माइ एक 4 बाट हो जाएगा 2 वट टू कैंसिल तो 2 माइ एक् इव एक = 1 तो एकस की वैल्यू आ गई तो आपको चीज याद रखनी है कोडिनेट ज्योमेट्री में होता क्या है बेटा आपको चीजें याद बहुत करनी पड़ती है आप याद रखेंगे चीजें फॉर्मूले वगैरह तो आप इ उसको सॉल्व कर पाएंगे नहीं तो आपको दिक्कत आएगी ठीक है नेक्स्ट द स्लोप ऑफ द लाइन इज डबल ऑफ द स्लोप ऑफ अनदर लाइन तो एक लाइन की स्लोप है l1 की स्लोप ले लेते हैं m तो l2 की स्लोप हो जाएगी 2m इफ टेंज ऑफ द एंगल बिटवीन देम इज 1/3 फाइंड द स्लोप ऑफ द लाइन मतलब उन दोनों के बीच का एंगल है कितना बेटा 1/3 t अल्फा 1/3 सर पॉजिटिव है यानी कि जो वैल्यू आनी चाहिए वो क्या आनी चाहिए पॉजिटिव आनी चाहिए तो यहां पर जब मैं फर्मूला लगाऊंगा तो आपको मोड लेना है तब आपको मोड लेना है यानी कि m2 माइ एव बाव प् m1 ए2 क्यों क्योंकि दोनों के बीच का एंगल पॉजिटिव है तो आपको मोड वैल्यू निकालनी है तो अब यह हो जाएगा 1/3 इक्टू 2m माइन एव प् 2m मॉडल यह हो जाएगा तो यह हो जाएगा सर ए बाव प्स 2 ए स्क्वा मॉड्यूस इक्वल 1/3 तो मोड होने का सर घाटा नुकसान कुछ भी नहीं है बस आपको दो केस लेने हैं एक केस लेंगे मोड हटा दो 1 प् 2 ए स्क इव बा 3 पॉजिटिव मोड हटा दो इक्व टू माइव बा 3 ठीक है पर सर यही वैल्यू तो आपकी है तो ये वैल्यू हमको नहीं लेनी है वैसे क्योंकि हमें सिर्फ पॉजिटिव वैल्यू लेनी है चलो अब इसको सॉल्व करो 3m = 1 प् 2m स् तो 2m स् - 3m + 1 तो 2m स् - 2m - m + 1 तो 2m - 1 * m - 1 ये हो जाएगी सर तो m की वैल्यू आ गई हाफ और वन हाफ और वन देखो एक स्लोप अगर हाफ है दूसरी अपने आप क्या हो जाएगी वन हो जाएगी तो ये आपका आंसर हो जाएगा ये आपका आंसर हो जाएगा तो इस तरीके से आपको सॉल्व करना है आपको खुद समझना है कि सर दोनों के बीच का एंगल पॉजिटिव दिया है तो हमें मॉड्यूस वैल्यू लेनी है दोनों के बीच का एंगल नेगेटिव दिया है तो हमको नेगेटिव वैल्यू लेनी है ठीक है चलिए नेक्स्ट इफ थ्री पॉइंट्स लाई ऑन द लाइन शो दैट दिस इक्वल टू 1 सर यह दोनों एक ही लाइन पे लाय करते हैं तो यानी कि वही चीज़ हो गई सर यह a है यह b है यह c है तो स्लोप ऑफ abc1 क्या हो जाएगा k - b बा 0 - a तो b / a - h = k - b / - a क्रॉस मल्टीप्लाई कर दो - ab-ba - h k अ + hb1 तो प्लस चीज़ें एक साथ चाहिए तो h k = a + अब इस h के से डिवाइड कर दो तो ए बा एच के प्स h ब बा एच के तो सर के के कैंसिल हो गया एच एच कैंसिल हो गया तो हमें क्या मिला ए बा ए प् बी बा के = 1 लीजिए सर इस तरीके से यह हो गया तो यह सब चीजें जब तक आप सॉल्व नहीं करोगे एक बार आपको दिमाग में नहीं आएगा कि कैसे इसका आंसर लाना है कि कैसे इसका आंसर लाना है तो इसलिए क्वेश्चन जरूर सॉल्व करिए देखिए क्या उसमें करना पड़ा किस तरीके से करना पड़ा मेथड सेम है सर एक स्टेप के बाद सारा आपका कैलकुलेशन स्किल है कि आप कितने अच्छे मैथ्स में और आपको कितना आता है तभी आप इसको आंसर तक ला पाएंगे तो आप लिखेंगे हेंस प्रूव्ड आप लिखेंगे लास्ट में हेंस प्रूड ठीक है बेटा चलिए नेक्स्ट द स्लोप ऑफ दैट लाइन वि पासेस थ्रू द पॉइंट दिस एंड दिस एकदम सिंपल सा क्वेश्चन है वन मार्कर में कभी भी आ सकता है तो सर स्लोप क्या हो जाएगी 2 ए2 - 2 ए1 y2 - y1 बाय at2 स् - ए1 स्क्वा 2a कॉमन लिया t2 - t1 a कॉमन लिया t2 - t1 * t2 + t1 हो जाएगा क्योंकि a स् - b स् है a ए कैंसिल ये ये कैंसिल आंसर है 2 अप t2 प् t1 2 अप t2 प् t1 तो सर स्लोप में तीन चीजें हैं जो आपको याद रखनी है पहली चीज उसका फार्मूला क्या होता है y2 - y1 बा x2 - x1 दूसरा अगर पैरेलल है तो इक्वल होंगी स्लोप परपेंडिकुलर है तो m1 m2 -1 होगा तीसरा अगर उनके बीच का एंगल न अल्फा की वैल्यू m1 - m2 या m2 - m1 बा 1 प् m1 m2 ये तीन चीजों पे यह वाला पार्ट डिपेंड करता है तो आशा करता हूं अब यहां तक स्लोप के लिए जितने भी क्वेश्चन थे हमने सब कवर कि अच्छे से एक और क्वेश्चन द एंगल बिटवीन द लाइंस दिस एंड दिस इज तो सर अब इसके बीच में एंगल आपको पता करना है तो अभी हमने ये नहीं जाना है कि सर कि अगर ये दिया हुआ है तो स्लोप क्या होती है तो एक लाइन होती है y = mx-2 तो उस फॉर्म में है ये लाइन तो ये आपकी एक स्लोप हो गई m ये आपकी एक स्लोप हो गई m2 अभी के लिए बाकी हम पढ़ेंगे ही तो यहां पर यह हो गया m1 और m2 मतलब एक लाइन अगर दि है तो वहां से स्लोप कैसे एक्सट्रैक्ट करते हैं व भी हम पढ़ेंगे अभी के लिए आप यह मान के रखिए यह वाला फॉर्म है ठीक है तो यह आपकी वैल्यूज है तो सर न अल्फा क्या हो जाएगा 2 प् √3 माइ 2 - √3 1 प् 2 प् √3 * 2 - √3 तो सर 2 और टू कैंसिल हो जाएगा 2 √3 आएगा 1 + 4 - 3 आ जाएगा 2 * 2 4 4 - 3 तो सर 4 - 3 ये हो जाएगा 1 तो 2 √3 बा 2 √3 तो सर t अल्फा पॉजिटिव आया तो यानी कि अल्फा हो जाएगा 60 डिग्री अल्फा हो जाएगा 60 डिग्री पर पॉजिटिव नहीं आया तो यानी कि हम इसकी नेगेटिव वैल्यू लेंगे तो आंसर हो जाए 120 डिग्री आंसर हो जाएगा 120 डिग्री क्योंकि सर आपको दो वैल्यूज लेनी है बाय चांस 60 नहीं दिया है तो यानी कि पॉजिटिव नहीं दिया तो आपको बीटा आंसर भी हो सकता है तो न अल्फा यह है तो दोनों के बीच में ट्यूस एंगल तो 60 नहीं है ऑप्शन में ठीक है तो यानी कि उसके ट्यूस एंगल की बात हो रही है तो ट्यूस एंगल क्या हो जाएगा 180 माइ 60 आपका 120 डिग्री तो इसलिए एक इंपोर्टेंट सवाल हो जाता है कि कई बार सर हमने तो फर्मूला सही लगाया सब कुछ किया लेकिन हमें यह आया तो इसलिए वो केस मैंने पढ़ाया था कि अगर सर t अल्फा की वैल्यू पॉजिटिव आए तो आपकी जो न बीटा है ऑट एंगल है वो क्या हो जाएगी उसकी माइनस तो - √3 कब देगा 120 डिग्री पे देगा तो पॉजिटिव नहीं थी तो हमने नेगेटिव वैल्यू को टिक कर दिया दोनों में से एक जरूर देगा दोनों नहीं देगा दोनों में से एक जरूर देगा चलिए अब हम स्टार्ट करते हैं अपना फॉर्म्स ऑफ स्ट्रेट लाइन यहां तक था एंगल बिटवीन लाइंस मतलब सिर्फ और सिर्फ स्लोप के ऊपर जो पार्ट डिपेंडेंट था फर्स्ट पार्ट अभी तक सिर्फ हमने फर्स्ट पार्ट किया जो स्लोप पर डिपेंडेंट था अब आ जाते हैं वेरियस फॉर्म्स ऑफ द इक्वेशन ऑफ द लाइन हमारे पास मेनली सिक्स फॉर्म्स है पर आपको सिर्फ मेजर्ली फाइव फॉर्म्स पर ही फोकस करना है तो होता क्या है कि क्वेश्चन में ना ये नहीं देगा आप ये फॉर्म से आंसर निकालो आपको कुछ कुछ बिट्स एंड पीसे में वहां पर इंफॉर्मेशन देगा तो आपको रिलाइज करना है कि कौन सा फॉर्म लगाएं जिससे हमारा आंसर आ जाएगा आपको यह पता लगाना है कि कौन सा फॉर्म लगाए जिससे आंसर आ जाएगा ठीक है तो वह पांच फॉर्म्स एकएक करके हम पढ़ेंगे सबसे पहले इक्वेशन ऑफ द एक्स एक्सिस सर एक्स एक्सिस की इक्वेशन क्या होती है सिंस ऑर्डिनेट ऑफ एनी पॉइंट ऑन द एक्स एक्सिस इ जीरो हेंस द इक्वेशन ऑफ एक्स एक्सिस इज y इ 0 भाई सर एक्स एक्सिस पर सारे y के कोऑर्डिनेट जीरो है तो इसलिए इसकी इक्वेशन हो जाती है y इ 0 सिमिलरली y एक्सिस की इक्वेशन क्या हो जाती है x = 0 यह दो चीजें आपको पहले समझ के रखनी है कि सर एक्स एक्सिस की इक्वेशन क्या होगी वा एक्सिस की इक्वेशन क्या होगी अपोजिट जीरो हो जाता है एक्स एक्सिस पर वा जीरो हो जाता है वा एक्सिस पर एक्स 0 हो जाता है वा एक्सिस पर x0 हो जाता है ठीक है नेक्स्ट इक्वेशन ऑफ द लाइन पैरेलल टू एक्स एक्सिस अब सर पैरेलल है एक्स एक्सिस के पर वो कुछ डिस्टेंस पर होगा सी यूनिट प वो कुछ डिस्टेंस पे होगा c यूनिट पे तो अब जब सपोज करो पैरेलल है यानी कि ये तो ये y इक्व टू कांस्टेंट कहलाए गी ये लाइन क्या कहलाए गी y इ टू कांस्टेंट कहलाए कीी मतलब जो भी वो वैल्यू होगी यहां पे y 0 था तो y = 0 वन हो जाएगा तो y = 1 2 है तो y = 2 तो इसीलिए सिंस वो स्लोप पैरेलल है स्लोप इक्वल है तो जैसे ही x एक्सस इक्वल मतलब x एक्सिस के पैरेलल कोई लाइन होगी वो कह लाएगी y इक्व टू कांस्टेंट y इक्व टू कांस्टेंट वही चीज है लेट लाइन पैरेलल टू द एक्स एक्सिस एंड एट डिस्टेंस सी फ्रॉम इट सो द ऑर्डिनेट ऑफ एनी पॉइंट p ऑन द लाइन ए इ सी हेंस द इक्वेशन ऑफ द लाइन पैरेलल टू एक्स एक्सिस इज ऑफ द फॉर्म y इ सी वो क्या हो जाएगा y इ c के बराबर हो जाएगा नेक्स्ट इक्वेशन ऑफ द लाइन पैरेलल टू वा एक्सिस अब वा एक्सिस पे है तो वो कह लाएगी x इक्व d यानी कि x इक्व टू कांस्टेंट जिस भी डिस्टेंस प होगा तो पहली चार इवे एक्स एक्सिस की इक्वेशन वा एक्सिस की इक्वेशन एक्स एक्सिस के पैरेलल कोई लाइन है और वा एक्सिस के पैरेलल कोई लाइन है यह चार चीज आपको समझ के रखनी है यह चार चीज आपको समझ के रखनी है ठीक है चलो अब सबसे पहले आता है स्लोप इंटरसेप्ट फॉर्म यह आपकी पहली फॉम स्लोप इंटरसेप्ट फॉम इसमें क्या होता है आपको लाइन की स्लोप दे देगा और वा इंटरसेप्ट दे देगा वा इंटरसेप्ट दे देगा सी अब सर य वा इंटरसेप्ट क्या होता है सपोज करो लाइन यह है सपोज करो लाइन यह है सपोज करो लाइन यह तो ओरिजिन से जहां पर वह पहली बार वा को कट कर रहा है यह लेंथ को सी बोला जाता है यह लेंथ को सी बोला जाता है ओरिजिन से जहां पर वो वा एक्सिस को पहली बार कट कर रहा है उसको सी बोला जा जाता है यहां पर सर ओरिजिन पे ही है तो यहां पर सी की वैल्यू जीरो हो जाएगी यहां पर सी की वैल्यू जीरो हो जाएगी तो वा इंटरसेप्ट जब भी स्लोप इंटरसेप्ट बोला जाता है जो सी वैल्यू है वो क्या है ओरिजिन से लाइन जहां पर भी वा एक्सिस को पहली बार कट कर रही है उसको बोला जाता है वा इंटरसेप्ट ठीक है बेटा तो जब ये दो इंफॉर्मेशन गिवन है तो आपकी लाइन की इक्वेशन हो जाती है y = = mx3 इस तरीके से यह सॉल्व होगा इस तरीके से यह आपको याद रखनी है तो अगर दो इंफॉर्मेशन गिवन है स्लोप और y इंटरसेप्ट तो लाइन की इक्वेशन कह लाएगी y = mx3 ठीक है वही चीज है द इक्वेशन ऑफ द स्ट्रेट लाइन वेयर स्लोप इज m एंड व्हिच कट्स एन इंटरसेप्ट c ऑन द y एक्सिस चच आईई व्हिच पासेस थ्रू 0 c इज y = mx0 नोट इफ द लाइन पासेस थ्रू द ओरिजिन देन स इ जीरो ये वाला केस ये वाला केस पासेस थ्रू द ओरिजिन ठीक है एंड हेंस द इक्वेशन विल बिकम y = mx2 y = mx1 है पॉइंट स्लोप फॉर्म सेकंड फॉर्म है आपका पॉइंट स्लोप फॉर्म यानी कि इक्वेशन ऑफ द स्ट्रेट लाइन अब आपको एक स्लोप दे देगा m और एक पासिंग पॉइंट दे देगा x1 वाव एक पासिंग पॉइंट दे देगा x1 वाव तो आपकी इक्वेशन बन जाती है y - y1 = m इन एक - x1 कैसे सर सपोज करो y इ m एक प् स था ठीक है अब दूसरी इक्वेशन क्या हो गई अब m1 मतलब x1 y1 इसको सेटिस्फाई करेगा लाइन प है तो y1 = mx1 + c दोनों को सबै कर दो तो सर c और c कैंसिल हो गया y - y1 = m * x - x1 इस तरीके से आपकी इक्वेशन आ गई देख लीजिए तो यह सेकंड फॉर्म है इसको बोला जाता है पॉइंट स्लोप फॉर्म यानी कि एक पॉइंट गिवन है आपका ठीक है और एक आपका पॉइंट गिवन है और आपको स्लोप गिवन है यह दो चीज गिवन है यह दो चीज गिवन है ठीक है चलिए आगे बढ़ते हैं टू पॉइंट फॉम अब सर आपको दो पॉइंट दे दिया तो दो पॉइंट दे दिया तो हमारी जो पहले वाली फॉर्म थी सेकंड फॉर्म y-1 इ m इन एक् एक्व तो वहां पर ए की वैल्यू रख दो m की वैल्यू क्या है y2 माइ y1 बा x2 - एक्सव तो ये आपकी बन जाती है टू पॉइंट फॉर्म ये आपकी बन जाती है टू पॉइंट फॉर्म तो पहले थ्री फॉर्म्स बहुत सिंपल स्लोप इंटरसेप्ट पॉइंट स्लोप फॉर्म एंड टू पॉइंट फॉर्म ये आपके बन गए पहले तीन फॉर्म अब आ जाते हैं फोर्थ फॉर्म पे इंटरसेप्ट फॉर्म इंटरसेप्ट फॉर्म का मतलब क्या हुआ सर कि कोई भी एक लाइन है वह एक्स एक्सिस पर ए इंटरसेप्ट बना रही है यानी कि वह उसको ए 0 से पास कर रही है और वा एक्सिस पर बी इंटरसेक्ट बना रही है यानी कि उसको वा मतलब जीरो बी से पास कर रही है तो दो पॉइंट मिल गए आपको तो आप जब टू पॉइंट फॉर्म में इसको पुट अप करेंगे तो सॉल्व करने के बाद आपकी लाइन बन जाएगी एक्स बा ए प्वा बाय बी इक्व एक्स बा ए प्वा बाय बी इक्व यानी कि थर्ड फॉर्म में जब आप यह दो पॉइंट्स पुट अप करोगे तो आपको यह आंसर आ जाएगा तो आपको ये आंसर आ जाएगा ठीक है बेटा चलिए यह है आपका इंटरसेप्ट फॉर्म अब सबसे इंपॉर्टेंट फिफ्थ फॉर्म और थोड़ी सी मुश्किल यह आपकी फोर्थ फॉर्म थी और थोड़ी सी मुश्किल नॉर्मल फॉर्म अब इसमें क्या बोल रहा है सर ध्यान से देखना सर एक लाइन गिवन है पर इस लाइन के बारे में कुछ भी नहीं गिवन इस लाइन के बारे में कुछ भी नहीं दिया हुआ बस बोल रहा है सर कि ओरिजिन से अगर इस पर परपेंडिकुलर मैं डालता हूं तो उसकी लेंथ है p और यह एक्स एक्सिस के साथ अल्फा एंगल बना रहा है ये दो चीज गिवन है ओरिजिन से अगर इस लाइन पर मैंने परपेंडिकुलर डाला उसकी लेंथ है प और यह जो एंगल बना रहा है यह है अल्फा तो सर अब इसको सॉल्व कैसे करते हैं ठीक है इसको ले लेते हैं ए और इस लेंथ को ले लेते हैं बी सर ये हाइपोटेन्यूज कॉस अल्फा हो जाएगा आपका a बा प तो ए की वैल्यू हो जाएगी p कॉस अल्फा वैसे ही इस ट्रायंगल में यह 90 है यह हो जाएगा 90 माइनस अल्फा तो यह बन जाएगा अल्फा अब यह परपेंडिकुलर है और यह हाइपोटेन्यूज है ठीक है तो साइन अल्फा आपका क्या बन जाएगा बेटा साइन अल्फा बन जाएगा यह उसके सामने आपका पर परपेंडिकुलर है ये 90 माइन अल्फा है तो ये बन जाएगा p बाय p बाय बी ये बन जाएगा p बा बी बन जाएगा ठीक है 90 के सामने हाइपोटेन्यूज 90 के सामने हाइपोटेन्यूज अरे तो यहां प भी सर उल्टा हो गया सॉरी तो कस अल्फा आपका बन जाएगा p बा ए प बा ए ये हाइपोटेन्यूज प की वैल्यू हो जाएगी सॉरी प की नहीं ए की वैल्यू हो जाएगी प बाय कॉस अल्फा वैसे यहां पर बी की वैल्यू हो जाएगी प बाय साइन अल्फा तो ऐसे ए और बी आ गया और अभी हमने पढ़ा था कि इंटरसेक्ट फॉर्म क्या होता है एक्स बा ए प्वा बा बी इव और ए क्या है सर ए निकला प बाय कॉस अल्फा और बी क्या निकला सर प बाय साइन अल्फा सर ये ऊपर चला गया x कॉस अल्फा बाय p प्स वा साइन अल्फा बा p = 1 p उधर चला गया x कॉस अल्फा प्वा साइ अल्फा = p ये आपका आंसर हो जाएगा तो अब ये जो लाइन है अल्फा एंगल किसका एंगल है वो जो परपेंडिकुलर है वो एकस एक्सिस के साथ बना रहा है वो एंगल है और p क्या है लेंथ ऑफ परपेंडिकुलर फ्रॉम ओरिजिन टू द लाइन तो अगर यह दो इंफॉर्मेशन गिवन है तब भी आप इक्वेशन ऑफ लाइन लिख सकते हैं वह मैं प्रूफ करके आपको बता चुका हूं एक्स कॉस अल्फा प्वा साइन अल्फा इक्वल टू प सबसे डिफिकल्ट फॉर्म है आप बोल लीजिए पर इंपॉर्टेंट फॉर्म है ठीक है तो इस चीज को भी आपको ध्यान में रखना है इस चीज को भी आपको ध्यान में रखना है चलिए आगे बढ़ते हैं तो वही चीज है सर द इक्वेशन ऑ स्ट्रेट लाइन अपॉन व्हिच द लेंथ ऑफ़ द परपेंडिकुलर फ्रॉम ओरिजिन इज p एंड दिस नॉर्मल मेक्स एन एंगल अल्फा विद द पॉजिटिव डायरेक्शन ऑफ़ एक् एक्सिस इज दिस x क अफ + y सा अफ = p ठीक है नेक्स्ट यह आपकी सिक्स्थ फॉर्म है जो कि थोड़ी सी कम यूज़ होती है डिस्टेंस फॉर्म और पैरामेट्रिक फॉर्म और सिमिट्रिक फॉर्म डिस्टेंस फॉर्म और पैरामेट्रिक फॉर्म और सिमिट्रिक फॉर्म द इवे अब इसमें होता क्या है सर सपोज करो एक लाइन यह एक इसका स्लोप एंगल है थीटा यह पॉइंट है मान लो x1 वाव अब आपको एक दूसरा पॉइंट चाहिए एक्सवा और इन दोनों के बीच का डिस्टेंस है r इन दोनों के बीच का डिस्टेंस है r ठीक है एक पॉइंट है जहां से लाइन पास कर रही है जिसका स्लोप एंगल है थ दूसरा पॉइंट है एक्सवा तो यह एक्स की वैल्यू क्या हो जाती है बेटा यह हो जाती है एक्व प्स आ कॉस थीटा और वा की वैल्यू हो जाती है वाव प्स आ साइन थीटा तो एक्स माइन एक्सव बाय कॉस थीटा इक्ट आवा माइनस वाव बाय साइन थीटा इक्व आ तो जब इसको समेशन किया गया मतलब एक साथ लिखा गया तो ये बन गया तो कभी भी क्वेश्चन में अगर आप बोल रहा है कि एक पॉइंट से दूसरा पॉइंट निकालना है जो बीच का डिस्टेंस आपको गिवन है तब हम ये डिस्टेंस फॉर्म या पैरामेट्रिक फॉर्म यूज करते हैं तब हम ये डिस्टेंस फॉर्म या पैरामेट्रिक फॉर्म यूज करते हैं ठीक है तो यह होता है आपका सिक्स फॉर्म्स तो यहां पे एक-एक करके मैंने आपको सिक्स फॉर्म्स बता दी हैं ये छह की छह फॉर्म बेटा आपको याद रखनी है छह की छह फॉर्म आपको याद रखनी है अब जब हम क्वेश्चंस करेंगे तो हम वहां पे चीजें निकालेंगे कि क्या-क्या चीज गिवन है सर और फिर दिमाग में आपको सोचना है कि कौन सी पांच फॉर्म में से फॉर्म यूज करें जिससे हमको लाइन की इक्वेशन आ जाए जिससे हमको लाइन की इक्वेशन आ जाए चलिए क्वेश्चन से स्टार्ट करते हैं फाइंड द इक्वेशन ऑफ द लाइन पासिंग थ्रू दिस पॉइंट विथ स्लोप सर एक स्लोप दिया हुआ है और एक पासिंग पॉइंट दिया हुआ है -4 3 यानी कि x1 y1 तो सर ये पॉइंट स्लोप फॉर्म लगाएंगे तो इक्वेशन ऑफ द लाइन आप लिखेंगे इक्वेशन ऑफ लाइन वा माइनस वाव इ ए इन एक्स माइ एक्सव सब्सीट्यूट कर दीजिए वा माइनस वाव हाफ एक्स माइन एक्सव सर ऐसे नहीं छोड़ना अब आपको सॉल्व करना है सॉल्व इन द सेंस सबको एक साइड पर लाकर रखना है तो यह हो जाएगा 2 वा माइन 2 3 6 एक्स प् 4 सबको एक साइड ले जाओ तो - 2y + 10 = 0 ये कहलाती है जनरल इक्वेशन ऑफ लाइन तो कभी भी लाइन का क्वेश्चन आता है आपको इस फॉर्म में लाके छोड़ना है तब वो फाइनल आंसर कहलाएगा अगर आप यहीं पर छोड़ देंगे तो आपका हाफ से एक मार्क कट हो सकता है स्कूल एग्जाम में हाफ से एक मार्क कट हो सकता है यहां तक लाके आपको छोड़ना है ठीक है नेक्स्ट पासिंग थ्रू 0 0 विथ स्लोप m तो सर पासिंग पॉइंट दे दिया तो y - y1 = m * x - x1 तो y - 0m * x - 0 y = m एक आपकी लाइन की इक्वेशन बन जाएगी y इ mx1 पासिंग थ्रू दिस एंड इंक्लाइंड विद द एक्स एक्सिस एट एन एंगल ऑफ 75 डिग्री सर अगर एक लाइन 75 डिग्री से इंक्लाइंड है एक्स एक्सिस पे तो उसका स्लोप क्या हो जाएगा 1075 उसका स्लोप क्या हो जाएगा 1075 पर सर 10 75 कैसे निकाले तो यहीं पर ट्रिग्नोमेट्री काम आएगा आपको 10 45 प्स 3 डिग्री तो यानी की न 45 प्लस न 31 माइनस 45 न 30 न 30 कितना होता है बेटा / रव माइनस 1 बा √3 तो जब एलसीएम लेंगे तो √3 प्व अब आपको इसको रशन इज भी करना है तो रशन करेंगे तो हो जाएगा 3+ 1 प् 2 √3 और नीचे हो जाएगा 3-1 तो 4 प् √3 2 से डिवाइड होगा तो 2 प् √3 तो आंसर आ जाएगा 2 प् √3 स्लोप आ गई पॉइंट आ गया लाइन की इक्वेशन होगी - y1 m न एक - एक्सव तोवा - 2 √3 इक्टू ए कितना है 2 प् √3 इन एकस माइ एक्सव तोवा माइन √3 अब य हो जाएगा 2 प् √3 एक माइनस टू 4 माइनस √3 तो √3 रथ कैंसिल 2 प् रथ एकस माइवा माइ 4 = 0 तरीके से तो मैथ्स इसलिए डिफिकल्ट कहलाता है क्योंकि सर पुरानी पढ़ी हुई चीजें भी नए चैप्टर में इस्तेमाल हो सकती है तो अगर बच्चे को ट्रिग्नोमेट्री नहीं आता व यहीं पर आके छोड़ देगा यहां पर ए की जगह पर 1075 लिख देगा तो उसको आंसर पूरे नहीं मिलेंगे तो इसीलिए सारे चैप्टर बहुत जरूरी हो जाते हैं ठीक है नेक्स्ट इंटरसेक्ट द एक्स एक्सिस एट अ डिस्टेंस थ्र यूनिट्स टू द लेफ्ट ऑफ ओरिजिन विद स्लोप -2 सर स्लोप दिया हुआ है -2 ठीक है स्लोप दिया हुआ है -2 अब लाइन इंटरसेक्ट इंग द एक्स एक्सिस एट अ डिस्टेंस ऑफ थ्री यूनिट्स टू द लेफ्ट ऑफ ओरिजिन ये राइट है सर ये लेफ्ट है थ्र तो यानी कि जीरो सॉरी जीरो नहीं यह हो जाएगा -3 0 उस लाइन पर कट कर रही है सर मतलब चाहे वो ऐसी हो ऐसी हो कुछ भी हो वो एक्स एक्सिस को थ्री यूनिट्स लेफ्ट साइड में कट कर रही है तो यानी पॉइंट हो जाएगा -30 तो सर पॉइंट मिल गया -30 स्लोप मिल गई माइट तो लाइन की इक्वेशन क्या हो जाएगी वा मानवाव ये आपकी स्लोप इक्वेशन हो जाएगी सॉल्व कर दीजिए तोवा माइनस 0 माइट एक्स माइनस ऑफ माइन 3 -2 एक्स माइन 6 सबको इधर लेके आ जाते हैं 2x प्वा प् 6 = 0 इक्वल टू 0 क्लियर है चलिए नेक्स्ट इंटरसेक्ट द वा एक्सिस एट डिस्टेंस ऑफ टू यूनिट्स अब द ओरिजिन यानी कि सी की वैल्यू टू है सर एंड मेकिंग एन एंगल ऑफ 30 डिग्री विद पॉजिटिव डायरेक्शन ऑफ एक्स एक्सिस यानी कि m की वैल्यू क्या हो जाएगी बेटा 10 30 डिग्री तो t 30 यानी कि 1 बाय √3 तो आपको अब स्लोप दिया है इंटरसेप्ट दिया है तो इक्वेशन हो जाएगी y = mx3 तो y इ = 1 / √3 x + 2 ठीक है तो अब एलसीएम भी आप ले सकते हो √3 y = x + 23 या x - √3 + 2 ro3 = 0 तो ध्यान से क्वेश्चन पढ़ के आपको इंफॉर्मेशन एक्स्टेक्स्ट आउट करनी है और इंफॉर्मेशन एक्सट्रैक्ट होने के बाद आपको पुट अप कर देना है ठीक है चलिए नेक्स्ट पासिंग थ्रू द पॉइंट सर दो पॉइंट दे दिया यह है x1 वाव मान लो यह x2 वाट मान लो तो इक्वेशन क्या है y माइवा 1 इक्टू y2 - y1 बा x2 - एक्सव एक - x1 ये है तो चलिए y - y1 -4 -1 और फिर 2 माइनस ऑफ -1 ये हो जाएगा इन x - x1 ये हो जाएगा y -1 ये हो जाएगा - 5/3 एक प् 1 तो 3y - 3 = - 5x - 5 5x + 3y और ये उधर आके आ जाएगा + 2 इक्वल टू 0 ये आपकी इक्वेशन बन जाएगी ये आपकी इक्वेशन बन जाएगी अब कई बार बच्चे डरते हैं कि सर हमारी जो फाइनल इक्वेशन आई वो सही है कि नहीं कैसे पता कर सकते हैं क्या कहीं ना कहीं कुछ पॉइंट दिया होगा सर जैसे पुराने वाले क्वेश्चंस में भी कहीं ना कहीं कुछ पॉइंट दिया था उस पॉइंट को इसमें पुट अप करके चेक कर लो जैसे -1 1 -5 + 3 प् सर जीरो करेक्ट है सर -4 5 टू 10 3 फो -1 10 प् 2 12 माइ 12 0 तो आपको आंसर पता चल जाएगा कि आपकी लाइन की इक्वेशन सही आई है आपकी लाइन की इक्वेशन सही आई है ठीक है चलिए नेक्स्ट परपेंडिकुलर डिस्टेंस फ्रॉम द ओरिजिन इज फ सर य तो नॉर्मल फॉर्म आ गया ओरिजिन इ फ तो प की वैल्यू दी हुई है फ एंड द एंगल मेड बाय द परपेंडिकुलर विथ पॉजिटिव एक्स एक्सिस डि मतलब डायरेक्ट क्वेश्चन दे दिया सर अल्फा दे दिया और p दे दिया तो आप इक्वेशन क्या लिखेंगे x कस अल्फ प्वा सा अफ = p यानी कि x क 30 प्वा सा 30 = 5 अब सर क 30 कितना होता है सर क 30 होता है 1 बा √3 बा 2 प् sin3 होता है 1/2 तो 2 को उधर ले जाओ √3 एक प्वा = 2 5 10 ये आपका आंसर हो जाएगा ये आपका आंसर हो जाएगा ठीक है नेक्स्ट द वर्टिस ऑफ ए ट्रायंगल प क आर आर दिस दिस एंड दिस फाइंड द इक्वेशन ऑफ द मीडियन अब देखिए मतलब इवॉल्वमेंट आएगी बाकी सब चीजों की भी पहले तो एक ट्रायंगल बना लीजिए कभी भी कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री में अगर आप एक रफ डायग्राम बना लेंगे तो आपको फायदा होगा फाइंड द इक्वेशन ऑफ द मीडियन थ्रू द वर्टेक्स आर तो सर आर से मीडियन बनाया तो मीडियन करता क्या है सर वो सामने वाली साइड को बाईसेक्ट कर देता है सामने वाली साइड को बाईसेक्ट कर देता है तो यह पॉइंट क्या होगा सर प और क का मिड पॉइंट प और क का मिड पॉइंट तो 2 माइन 2 0 1 प् 3 4 बाट 2 तो पॉइंट आ गया पॉइंट आ गया और आर पॉइंट गिवन है 4 फ तो हमें तो मीडियन की इक्वेशन चाहिए तो दो पॉइंट आ गए ना सर जैसे ही दो पॉइंट आ गए तो इसीलिए आपको पांच फॉर्म में से फिर रिकॉल करना है कि कौन सा फॉर्म यूज करें जिससे हमारा आंसर आ जाए तो सर टू पॉइंट फॉर्म यूज करेंगे एक पॉइंट है 45 एक पॉइंट है 0 2 तो y - y1 इसको ले लेते हैं x1 y1 इसको ले लेते हैं x2 y2 इक्वल टू 5-2 बा 4 0 इन एक्स माइनस एक्सव तोवा माइनस 2 3/4 इन एक्स तो फवा माइनस फटू 8 3 एक्स तो 3 एक्स माइन फवा प् 8 इ 0 य आपका आंसर हो जाएगा यह आपका आंसर हो जाएगा ठीक है चलिए नेक्स्ट फाइंड द इक्वेशन ऑफ द लाइन पासिंग थ्रू दिस एंड परपेंडिकुलर टू द लाइन थ्रू द पॉइंट दिस एंड दिस तो सर एक पासिंग पॉइंट गिवन है और स्लोप बोल रहा है परपेंडिकुलर ये लाइन के पहले चलो इस लाइन का स्लोप निकाल लेते हैं इस लाइन का स्लोप निकाल लेते हैं तोय क्या हो जाएगा 6 माइन 5 और -3 -2 यही होगा सर तो ये हो जाएगा 1 बाय माइन 5 यह बन जाएगा सर अब जो लाइन की इक्वेशन हमें चाहिए वो इसके परपेंडिकुलर है यानी कि m * m ए -1 यानी कि - 1/5 * ml-1 तो लाइन की स्लोप कितनी हो जाएगी सर फाइव हो जाएगी लाइन की स्लोप कितनी हो जाएगी फाइव तो सर अब एक पॉइंट दे दिया आपको x1 y1 -3 5 और स्लोप दे दिया 5 तो इक्वेशन क्या हो जाएगी y - y1 = m * x - x1 सब सूट कर दीजिए y - 5 = 5 एक - x1 ये हो जाएगा तो y - 5 5 * एक प् 3 तो 5x प् 5 3 15 सबको उधर लेके चले जाओ 5x माइवा प् 20 = 0 5x माइवा प् 20 = 0 इस तरीके से आप ये सॉल्व करेंगे तो हर चीज आपको गिवन होगी और जो चैप्टर में आपने पहले पढ़ा है स्लोप के रिजल्ट परपेंडिकुलर रिजल्ट पैरेलल रिजल्ट व सब कहीं ना कहीं काम आएगा वह सब आपको याद रखना है चलिए और क्वेश्चन करते हैं बहुत सारे क्वेश्चन करेंगे बेटा मतलब जितने क्वेश्चन अवेलेबल थे एनसीआरटी में मिसलेनियस में सब इंक्लूड कर दिए जिससे आपको पूरा रिवीजन हो जाए अच्छे से फाइंड द इक्वेशन ऑफ़ द लाइन दैट कट्स ऑफ इक्वल इंटरसेप्ट्स ऑन द कोऑर्डिनेट एक्सिस एंड पासेस थ्रू द पॉइंट 2 3 अच्छा सर मतलब अगर ए और एक्स कोऑर्डिनेट को अगर ए ले लिया एक्स इंटरसेप्ट को ए ले लिया y इंटरसेप्ट को इंटरसेप्ट को बी ले लिया तो इक्वेशन होती है x बा ए प्वा बा ब = 1 बट कंडीशन में क्या गिवन है कि a इ बी इक्वल इंटरसेप्ट तो इसका मतलब क्या होगा x प्वा इ ए लिख सकता हूं अब सर यह लाइन पास कर रहा है थ से तो थ इसको सेटिस्फाई करेगा तो 2 प् 3 = ए ए की वैल्यू हो गई बेटा फ अगर कोई पॉइंट ला लाइन पर है तो वह पॉइंट इसको सेटिस्फाई करेगा तो सर अब ए आ गया तो इक्वेशन क्या बन जाएगी एकस प्वा x प्वा इक्ट 5 ये आपका आंसर हो गया सर देख लीजिए अच्छा क्वेश्चन है सिंपल है ठीक है नेक्स्ट फाइंड द इक्वेशन ऑफ द लाइन पासिंग थ्रू द पॉइंट टूटू एंड कटिंग ऑफ इंटरसेप्ट ऑन द एक्सिस हु सम इ ना सर पिछले वाला जैसे ही है अब यहां पर बोल रहा है ए प् बी की वैल्यू बेटा ना है तो ए को मैं 9 माइन बी लिख सकता हूं तो मेरी इक्वेशन है x / a + y / b = 1 सर 2 2 इसको सेटिस्फाई कर रहा है तो 2 बा a + 2 / b = 1 तो सर पर a की जगह प मैं 9 - b लिख सकता हूं 2 / 9 - b + 2 / b = 1 अब एक ही बचा वेरिएबल b तो सॉल्व कर दो एलसीएम लेंगे तो 9 - b * b तो 2b + 2 * 9 8 - 2b = 1 2 बी 2 बी कैंसिल हो जाएगा क्रॉस मल्टीप्लाई 18 = 9b - बी स्क तो बी स्क - 9b प् 18 इ 0 तो सर यह क्या बन जाएगा 6 और 3 बी स् - 6b - 3b + 18 = 0 तो बी माइ 6 इन बी माइ 3 तो सर बी की वैल्यू हो जाएगी 3 और 6 बी की वैल्यू हो जाएगी 3 और स तो सर ए की वैल्यू क्या हो जाएगी अगर मैंने बी को ले लिया 3 तो ए की वैल्यू है 9 माइन 3 6 और अगर बी को ले लिया 6 तो ए की वैल्यू है 9 माइ 6 3 ठीक है तो यानी कि आपके पास दो डिफरेंट इक्वेशन हो जाएगी या तो एक्स बा 6 प्वा बाय 3 इव और एक्स बाय 3 प्वा बाय 6 इ तो दो आंसर्स भी आ सकते हैं बेटा कोई उसमें डिफिकल्ट वाला पार्ट नहीं है यह क्वेश्चन काफी अच्छा क्वेश्चन है जरूर देखिए अपने नोट्स में रखिए ठीक है अपने नोट्स में रखिए चलिए नेक्स्ट फाइंड इक्वेशन ऑफ द लाइन थ्रू द पॉइंट 02 मेकिंग एन एंगल 2 पाई बा 3 विद द पॉजिटिव एक्स एक्सिस तो सर स्लोप कितना हो जाएगा 10 2 पाई बा 3 यानी कि सर 120 माइनस √3 और एक पासिंग पॉइंट दिया हुआ है 02 तो x1 वाव भी दिया हुआ है आल्सो अब इसका इक्वेशन निकालना है तो सर इक्वेशन क्या हो जाएगा y - 2 = -3x - 0 तो y - 2 - √3 x तो √3 x + y - 2 = 0 ये इक्वेशन हो गया आल्सो फाइंड द इक्वेशन ऑफ द लाइन पैरेलल टू इट एंड क्रॉसिंग द y एक्सिस एट अ डिस्टेंस ऑफ टू यूनिट्स बिलो द ओरिजिन सर यह है अबोव द ओरिजिन बिलो द ओरिजिन टू यूनिट्स यानी कि अब इसका जो वा इंटरसेप्ट है वह क्या हो जाएगा माइट हो जाएगा वा इंटरसेप्ट क्या हो जाएगा माइट या यह पासिंग पॉइंट हो जाएगा 0 माइट यह पासिंग पॉइंट हो जाएगा रो माइट अब पैरेलल है सर तो इस लाइन की स्लोप m1 इ ए2 होगा माइनस रथ आपकी स्लोप हो जाएगी दूसरी लाइन की तो इक्वेशन अब क्या लिखेंगे y प् 2 = टू - √3 एक - 0 तोवा प् 2 = - √3 एक √3 एक प्वा प् 2 = 0 अब अगर आप इन दोनों को कंपेयर करो यहां पर कंपेयर वाला पॉइंट आता है सर √3 एक प्वा √3 एक प्वा यानी कि अगर दो लाइन पैरेलल है तो उनके एक्स और वा के कफिट एकदम सेम होंगे उनके एक्स और वा के कॉफिश एकदम सेम होंगे सिर्फ और सिर्फ कांस्टेंट टर्म चेंज होगा सिर्फ और सिर्फ कांस्टेंट टर्म चेंज होगा तो यहां से एक नोट पॉइंट बना लेना बेटा इफ a एक् प् बीवा ् c = टू 0 सो लाइन पैरेलल टू अबब लाइन इज a एक्स प् बीवा प् सीड इक्व 0 मतलब यह दोनों पार्ट सेम रहेगा सिर्फ कांस्टेंट चेंज होगी अगर कोई लाइन आपको पैरेलल लाइन लिखनी है तो अगर कोई लाइन आपको पैरेलल लाइन लिखनी है तो सिंपल तो काफी एक इंपॉर्टेंट सवाल है जरूर अपने नोट्स में रखिएगा चलिए आगे बढ़ते हैं द परपेंडिकुलर फ्रॉम द ओरिजिन टू अ लाइन मीट्स इट एट द पॉइंट माइनस 2 ना सर ओरिजिन से एक परपेंडिकुलर ड्रॉप किया वह इसको माइनस ना से मीट कर रहा है तो सर यह हम डिस्टेंस प की वैल्यू निकाल सकते हैं कितना हो जाएगा ना का स्क्वायर 81 माइट का स्क्वायर 4 यानी कि रट या यानी की र 85 p की वैल्यू आ गई फाइंड द इक्वेशन ऑफ द लाइन बस अब इतना चीज दिया हुआ है सर अब अगर अल्फा दिया होता तब तो आप डायरेक्टली निकाल सकते थे खाली प दिया है सर तो यानी कि इक्वेशन हो जाएगी x कॉस अल्फा प्लस वा साइन अल्फ इक्ट र 85 ये हो जाएगी पर सर ये जो माइट 9 है वो इस लाइन पर ही लाई कर रहा है ना तो ये -2 9 इसको सेटिस्फाई कर यानी कि मैं लिख सकता हूं माइट कॉस अल्फा प्लस ना साइन अल्फा इक्वल टू रट 85 यह लिख सकता हूं सर रट 85 अब सर आपको बस कॉस अल्फा और साइन अल्फा निकालना है सर कैसे निकालेंगे तो और कोई मेथड यहां पर आ सकती है क्या सर तो इस लाइन की स्लोप भी तो आ जाएगी सर हम क्यों मतलब इतना हम सोच रहे हैं छोड़िए इतना इसको करने की जरूरत ही नहीं है अब दो पॉइंट दिए हैं तो इस लाइन का स्लोप कितना हो जाएगा t अल्फा कितना हो जाएगा सर न अल्फा हो जाएगा 9 - 0 बा -2 - 0 मींस - 9/2 तो न अल्फा की वैल्यू क्या होगी बेटा टू पॉइंट फॉर्म से - 9/2 पर हमें तो सिर्फ क और सा चाहिए सर तो कॉस अल्फा कॉस अल्फा आप निकाल सकते हो कॉस अल्फा आपका कितना हो जाएगा सर परपेंडिकुलर बा बेस तो 8185 तो यह बन जाएगा सर 9 बा 85 यानी कि सॉरी तो यह बन जाएगा न अल्फा नेगेटिव है सर न अल्फा नेगेटिव है यानी कि सेकंड क्वाड्रेंट में है तो कॉस भी नेगेटिव लेंगे तो बेस बाय हाइपोटेन्यूज और sin90 r85 c al9 / √8 sin15 √8 उधर ले जाओ -2 एक्स प्स 9वा इक्वल टू 85 या तो माइनस कमन कर दो तो 2 एक्स माइनस 9वा प् 85 इ 0 यह आपकी इक्वेशन कहलाए यह आपकी इक्वेशन कहलाए गी देख लीजिए तो सर दो पॉइंट दे दिए थे तो उस से हमने लेंथ निकाल ली और स्लोप निकाल ली न अल्फा बस तो ये भी एक काफी अच्छा क्वेश्चन है मैंने आपको पहले ही बोला था कि नॉर्मल फॉर्म सबसे डिफिकल्ट फॉर्म है उसके ऊपर क्वेश्चन भी डिफिकल्ट बनते हैं तो यह सब चीजों को थोड़ा सा आपको अच्छे से देख के रखना है ठीक है नेक्स्ट अब ये देखिए सर एक टाइप का आपका ये क्या बोलेंगे वर्ड प्रॉब्लम द लेंथ एल ऑफ ए कॉपर रॉड इज अ लीनियर फंक्शन ऑफ इट्स सेल्सियस टेंपरेचर इन एन एक्सपेरिमेंट इफ ए इज दिस वन सी इज दिस एंड एल इज दिस वन सी इज दिस एक्सप्रेस एल इन टर्म्स ऑफ सी आपको एल को सी के टर्म्स में एक्सप्रेस करना है सर लेंथ ऑफ ए कॉपर रॉड इज अ लीनियर फंक्शन ऑफ इट्स सेल्सियस मतलब कि सेल्सियस जैसे चेंज होगा लेंथ तो वा इज अ फंक्शन आप बोल सकते हो यानी कि आप ये बोल सकते हो y = m एक प् सी में अब ये जो y है वो हो जाएगा ए ए सेल्सियस प्लस सम कांस्टेंट आप इसको छोटा सी ले लो हम यह बोल सकते हैं हम यह बोल सकते हैं तो सर अब आपको ए और सी चाहिए अब आपको ए और सी चाहिए क्योंकि लीनियर फंक्शन जब भी आप बोल रहे तो उसको आप उसको इसी फॉर्म में लिखोगे y = इसी फॉर्म में लिखोगे तो उसके लिए दो पॉइंट दिए हैं सर कि सर जब l ये है तो c ये होगा जब ए ये है तो c ये होगा एक्सप्रेस ए इन टर्म्स ऑफ c तो दो इक्वेशन दो वेरिएबल आ जाएगा बेटा आपका दो इक्वेशन दो वेरिएबल आ जाएगा अ क्या कर सकते हैं l इ इक्वल टू या तो टू पॉइंट फॉर्म कर दो इतने की भी जरूरत नहीं है आप अब दो पॉइंट दिए हैं एक पॉइंट है 20 12494 2 और दूसरा पॉइंट है आपका 110 12514 तो टू पॉइंट फॉर्म अब मतलब कि y की जगह पर आ जाएगा l माइनस एक पॉइंट ले लेंगे 12494 2 = टू 12514 - 12494 डिवाइड बा 110 - 20 x - 20 ये आ जाएगा सर और x की जगह पर आ जाएगा सी x की जगह प आ जाएगा स देख लीजिए क्योंकि दो कोऑर्डिनेट्स दिए थे तो अब लीनियर फंक्शन जो यह था वो एक्ट करेगा l = m * स प् c तो जब दो पॉइंट दिए हैं तो वो सॉल्व करने के बाद ऐसा ही दिखेगा तो ये हो जाएगा सर l - 12.9 4 2 * 110 - 20 90 अब सर ये करिए ये कितना हो जाएगा 1 25.1 341 4.94 2 तो सर 2 13 में से 4 गया 9 वन तो हो गया था 0 तो सर 0 में से 10 गया तो वन तो ये बच जाएगा अ वन और यहां पे 0 0 0 तो 00 192 00 192 यानी कि 192 बा 1000 भी आप लिख सकते हो इन सी माइन 20 ठीक है या आप इसको 90 नीचे ही ले जाओ क्योंकि हमें एल के फॉर्म में चाहिए सो l इक्टू 12494 प्लस 0.12 बा 90 इन सी माइ 20 हमें सॉल्व करने नहीं बोल रहा है हमें बोल रहा है बस एक फंक्शन निकालिए एक्सप्रेस एल इन टर्म्स ऑफ सी अब देखिए एल इन टर्म्स ऑफ सी आ गया है एल इन टर्म्स ऑफ सी आ गया तो यह बहुत इंपॉर्टेंट सवाल है ठीक है क्वेश्चन में चीजें कुछ और दी हुई थी लेकिन व स्ट्रेट लाइन का ही पार्ट था लेकिन वो स्ट्रेट लाइन का ही पार्ट था तो आशा करता हूं यह पार्ट समझ में आ गया होगा आशा करता हूं यह पार्ट समझ में आ गया होगा चलिए आगे बढ़ते हैं प बी इज द मिड पॉइंट ऑफ द लाइन सेगमेंट बिटवीन द एक्सिस शो दैट द इक्वेशन ऑफ द लाइन इज दिस अब ऐसे टाइप के क्वेश्चन में ना आपको डायग्राम काफी हेल्प करेंगे यह क्या बोल रहा है इट्स अ लाइन सेगमेंट बिटवीन द एक्सस a बी इज द मिड पॉइंट ऑफ द लाइन सेगमेंट बिटवीन द एक्सस मान लेते हैं ये था कैपिटल ए 0 और ये है 0 कपि बी तो इक्वेशन ऑफ लाइन क्या हो जाएगी x / a + y / b = 1 ये आपकी इक्वेशन होगी इंटरसेप्ट फॉर्म में तो सर यहां से मुझे ये पता चल रहा है कि a क्या हो जाएगा 0 प् a बा 2 यानी कि कैपिटल ए की वैल्यू हो गई ट और वैसे ही 0 प्लस कैपिटल बी बाटू आपका बी होगा तो कैपिटल बी की वैल्यू हो जाएगी 2 बी अब सर कैपिटल ए कैपिटल बी हमने लिया था लेकिन एमा बी गिवन था तो यहां पर बस हम क्या करेंगे कैपिटल ए को रिप्लेस कर देंगे और कैपिटल बी को रिप्लेस कर देंगे तो सर यहां से क्या आ गया टू को उधर ले गए तो x बा ए प्वा बा बी = 2 ये आपका आंसर बन गया यह आपका आंसर बन गया ठीक है क्लियर है चलिए आगे बढ़ते हैं पॉइंट दिस डिवाइड द लाइन सेगमेंट बिटवीन द एक्सिस इन द रेश टू फाइंड द इक्वेशन ऑफ द लाइन सर सेम टाइप है पहले मिड पॉइंट था अब यह जो आर है वो इसको ट में हमेशा कभी भी अगर मतलब यहां पर कंफ्यूजन क्या हो है ना हमेशा एक्स पार्ट को पहले लिखा जाता है तो आ यहां पर है सर मतलब आ यहां पर है यहां पर नहीं है क्यों क्योंकि 1:2 1 2 ट ऐसे नहीं लेंगे हमेशा एक्स के नियरेस्ट हो को वन लिया जाएगा हमेशा ये एक्स एक्सिस इवा एक्सिस का डिनोटेशन होता है हमेशा याद रखिएगा तो अगर यह है ए 0 ये है 0 बी और का कोडिनेट है एमा के तो यहां से यह चीज आ जाएगी कि एच की वैल्यू क्या हो जाएगी बेटा तो 2 इन ए प्लस न इनटू 0 बाय 1 प् 2 तो यहां से यह आ जाएगा की 2a इ 3 ए ए की वैल्यू हो जाएगी 3 ए बाटू वहीं पर ये ट है तो k हो जाएगा 2 * 0 + 1 * h बा 1 + 2 3 तो h की वैल्यू हो जाएगी सॉरी h नहीं b तो b की वैल्यू हो जाएगी 3h अब सर लाइन की इक्वेशन क्या है x / a + y / b = 1 तो x / a a क्या है 3h / 2 y / b तो b क्या है बी है 3 ए इक्व तो सर सॉरी 3 के अरे यार यह है 3 के यह हो जाएगा 3 के तो सर ी को उधर ले गए तो यह हो गया 2 एक्स बाय ए प्लस वा बा के इ 3 वा बाय के इ 3 इस तरीके से तो गलती कहां होती है सेक्शन फॉर्मूला में बच्चे जल्दबाजी में ट ले लेते हैं तो बेटा य जो हमेशा रहता है यह एक्स के साइड पर वन और फिर टू मतलब जो भी पहला टर्म है व एक्स के साइड पर रहेगा इस चीज को आपको याद रखना है इस चीज को आपको याद रखना है चलिए देख रहे हैं आप हम लोग कितने सारे क्वेश्चन कर रहे हैं हर एक टाइप के क्वेश्चन कवर अप करेंगे बाय यूजिंग द कांसेप्ट ऑफ इक्वेशन ऑफ द लाइन प्रूव दैट द थ्री पॉइंट्स आर कोलिनियर तो इस मेथड में आप क्या करेंगे कोई भी दो पॉइंट को लेके आप लाइन की इक्वेशन लिखेंगे चलिए दो पॉइंट ले लेते हैं 3 0 और -2 -2 तो इक्वेशन क्या हो जाएगी y - y1 = -2 - 0 -2 -3 * x - 3 तो y = -2 बा -5 तो 5वा = 2x - 6 2x - 5वा - 6 = 0 2x - 5वा - 6 = 0 अब इक्वेशन आ गई तो सर अगर यह तीनों पॉइंट कोलिनियर है तो 8 2 विल सेटिस्फाई लाइन इक्वेशन 2 एक - 5वा -6 = 0 सब्सीट्यूट कर दो 2 * 8 - 5 * 2 - 6 16 - 10 0 हेंस प्रूव्ड हेंस प्रूव्ड दैट यह तीनों पॉइंट्स कोलिनियर है तो लाइन मेथड क्या बोलता है कोलिनियर के लिए आप दो पॉइंट्स को यूज करके इक्वेशन बनाओ तीसरा पॉइंट उसके अंदर पुट अप कर दो अगर वो उसको सेटिस्फाई कर रहा है यानी कि वो कोलिनियर है यानी कि वोह कोलिनियर है ठीक है चलिए नेक्स्ट पे आते हैं द इक्वेशन ऑफ द लाइंस पैरेलल टू x एक्सिस एंड पासिंग थ्रू द पॉइंट दिस सर कोई भी लाइन अगर x एक्सिस के पैरेलल है तो वो कह लाएगी y = कांस्टेंट और वो उस पॉइंट से पास कर रहा है यानी कि k की वैल्यू यानी कि 5 = k तो लाइन बन जाएगी y = k = 5 यानी कि डी ऑप्शन सिंपल यानी कि डी ऑप्शन नेक्स्ट द इक्वेशन ऑफ द लाइन दिस एंड स्लोप तो सर यह आप लोग के लिए होमवर्क है बहुत ही सिंपल है ऐसे क्वेश्चन हाफ मार्क्स वन मार्क में आ सकते हैं तो आप इसको सॉल्व कर सकते हो द इक्वेशन ऑ द लाइन पासिंग थ्रू दिस पॉइंट एंड परपेंडिकुलर टू द लाइन और सर इस लाइन के परपेंडिकुलर है तो अभी हम पढ़ेंगे अगले पार्ट में कि एक लाइन से इंफॉर्मेशन कैसे निकाले अभी के लिए x प्वा + 1 = 0 तो y को सर सबसे इजी फॉर्म होती है y = mx1 जगह पर है बाकी सब उधर है ले गए तो अब अगर मैं कंपेयर करूं तो m की वैल्यू हो जाएगी -1 m की वैल्यू हो जाएगी -1 तो कभी भी एक जनरल इक्वेशन दी हुई है आप उससे स्लोप की वैल्यू इस तरीके से निकाल सकते हो अब सर स्लोप की वैल्यू आ गई पर वो बोल रहा है परपेंडिकुलर तो m * m ए -1 होगा तो -1 * स्लोप तो लाइन की स्लोप कितनी हो जाएगी वन तो सर पासिंग पॉइंट है 1 2 और स्लोप है वन तो इक्वेशन क्या हो जाएगी y - y1 1 * x - x1 तो y - 2 = x - 1 एकस माइवा प्व इक्ट 0 एक्स माइवा प्व इ 0 इस तरीके से यह सॉल्व होगा ठीक है नेक्स्ट द इक्वेशन ऑफ द लाइन परपेंडिकुलर टू द लाइन दिस एंड पासिंग थ्रू द पॉइंट तो सर जो मेथड मैंने वहां पर बताया उसी को यूज करके आप इसको सॉल्व करिएगा आपके लिए ये होमवर्क हो जाएगा द इक्वेशन ऑ द लाइन पासिंग थ्रू द पॉइंट सर ये टू पॉइंट है तो मैं इसलिए यह सब होमवर्क दे रहा हूं क्योंकि इस टाइप के क्वेश्चन हम कर चुके हैं और यहां पर ऑप्शन है तो आपको सहूलियत हो जाएगी कि क्या है बेटा मैथ्स में चाहे आप 100 क्वेश्चन सॉल्व होते हुए देख लो कोई टीचर आपके लिए सॉल्व कर रहा है या कोई बच्चा सॉल्व कर रहा है लेकिन जब तक आप खुद सॉल्व नहीं करोगे और आंसर एकदम मैच नहीं कर लोगे तब तक वो कांसेप्ट दिमाग में नहीं आएगा तो इसलिए खुद से सॉल्व करने के लिए मैंने काफ सारे क्वेश्चन आपके लिए रखे हैं इफ द लाइन पासेस थ्रू दिस पॉइंट एंड दिस पॉइंट देन a बी सर दो इक्वेशन दो वेरिएबल आ जाएंगे तो पहले 2 -3 को सेटिस्फाई कर दो तो सर ये क्या हो जाएगा 2 बा a - 3 बा b = 1 फिर 4 -5 को सेटिस्फाई कर दो 4 बा a -5 बा v = 1 सर इस लाइन को टू से मल्टीप्लाई करते हैं * 2 तो 4 बा ए - 6 बा बी = 2 और यह है 4 बा ए - 5 बा बी = 1 सबक्स यह क्या हो जाएगा 5 बा बी माइ 6 बा बी तो यह हो जाएगा -1 बा बी तो बी की वैल्यू हो जाएगी -1 अब इस बी की वैल्यू को किसी भी एक इक्वेशन में सब्सीट्यूट कर दो 4 बा ए प् 5 1 4 बा a = -4 तो a की वैल्यू हो जाएगी -1 तो सर ए आ गया बी आ गया तो a बी आपका क्या हो जाएगा -1 कॉमा -1 दोनों ही -1 डी ऑप्शन इस तरीके से आप ये सॉल्व करोगे तो कोई भी पॉइंट अगर लाइन पर लाई कर रहा है तो वो उसको सेटिस्फाई करेगा दैट्ची चलिए इफ द कोऑर्डिनेट ऑफ द मिडल पॉइंट ऑफ द पोर्शन ऑफ द लाइन इंटरसेप्टेड बिटवीन द कोडिनेट एक्सिस इ टू देन द इक्वेशन ऑफ द लाइन सेम क्वेश्चन हम कर चुके हैं बेटा मिडल पॉइंट मतलब यह जो पोर्शन है इसको हम ए0 लेते हैं रोमा बी लेते हैं इसका मिडल पॉइंट गिवन है तो अगेन सेम मेथड से आप इसको सॉल्व करिएगा ठीक है तो सर वो था फॉर्म्स ऑफ स्ट्रेट लाइन हमने पांच मेजर्ली पांच फॉर्म है छठा फॉर्म मैंने आपको बोला था कि एनसीआरटी में उतना यूज नहीं है तो कितने सारे हमने क्वेश्चन किए हर टाइप के क्वेश्चन कर दिए जितने आपके एनसीआरटी में भी अवेलेबल है व सब कर दिए तो आपको वह सारी यूज करते हुए मैंने लास्ट में कुछ होमवर्क भी छोड़े हैं जिससे जो हमने क्वेश्चन किया आप उसको बेस बनाते हुए वो क्वेश्चन को सॉल्व करके देखिएगा तब आपका कॉन्फिडेंस और हाई होगा अब आते हैं हम लोग अपने नेक्स्ट पार्ट प जनरल इक्वेशन ऑफ ए लाइन सर अभी जैसे लास्ट के एक दो क्वेश्चन में हमने देखा कि कुछ निकालना था हमें स्लोप की वैल्यू निकालनी है कभी कभार इंटरसेप्ट की निकालने बोल देगा तब आप एक लाइन की इक्वेशन दी हुई तो आप क्या करोगे नॉर्मल फॉर्म में खासकर क्या करोगे तो बेसिकली पांच में से तीन फॉर्म में आप कन्वर्ट कर सकते हो एक है स्लोप इंटरसेप्ट एक है इंटरसेप्ट फॉर्म एक है नॉर्मल फॉर्म तो वही चीज अब हम सीखेंगे कि अगर एक जनरल इक्वेशन दी हुई है तो उसको हम बाकी तीन फॉर्म में कैसे कन्वर्ट करें और इंफॉर्मेशन कैसे करें जैसे कि एनी इक्वेशन ऑफ द फॉर्म a एक + b + c वेयर ए बी c आर रियल कांस्टेंट सच दैट a एंड b आर नॉट साइमल नियस ज़ीरो इज कॉल्ड जनरल इक्वेशन ऑफ द लाइन इसलिए मैंने आपको बोला था कि कभी भी अगर एक लाइन का फाइनल इक्वेशन आप लिखते हो तो आपको ये जनरल इक्वेशन में कन्वर्ट करके लिखना है सब चीजें एक साइड पे तभी आपको आंसर मिलेगा क्योंकि जनरल इक्वेशन ही आपकी फाइनल आंसर कहलाती है नाउ रिडक्शन ऑफ द जनरल इक्वेशन ऑफ़ द स्टैंडर्ड फॉर्म पहला स्लोप इंटरसे मैं कभी नहीं बोलूंगा कि आप ऐसे फॉर्मूले याद करो मैं कभी नहीं बोल रहा सर मैं एक मेथड आपको बस बता रहा हूं कि ए एक्स प् बीवा प् स इ 0 लाइन है इसको हमें इस फॉर्म में लिखना है इ m प् सी तो मैं क्यों फॉर्मूले याद करूंगा जब मुझे मेथड बहुत सिंपल सा है सर यहां पर वा अकेला है तो उसको एक साइड पर अकेला करके बाकी सबको दूसरी दिशा में भेज देते हैं पर सर वा अकेला होना चाहिए तो बी को डिवाइड कर दो तोवा हो जाएगा इइ ए बाय बी एक्स माइ सी बा बी तो ऑटोमेटिक यह आपका ए बन जाएगा और यह आपका इंटरसेप्ट सी बन जाएगा तो मैं क्यों यह फॉर्मूले याद करो बुक्स वगैरह में दिए हैं पर क्वेश्चन सॉल्व करते वत ऐसा नहीं बोलेगा कि आप फार्मूला यूज करो उनको बस आंसर से मतलब है तो आप इस तरीके से करके आंसर निकाल सकते हो इस तरीके से करके आंसर निकाल सकते हो बाकी अगर किसी को फार्मूला याद करने में आसानी है तो फार्मूला हो जाएगा m इ माइ ए बा बी स इ माइ सी बा बी ठीक है सेकंड रिडक्शन इन इंटरसेप्ट फॉर्म तो सर इंटरसेप्ट फॉर्म में क्या था ए एक्स प् बीवा प् सी = 0 उसको एकस बा ए प्वा बा बी इव में चेंज करना तो सर य व होना चाहिए तो इस केस में हम क्या करते हैं कांस्टेंट को उधर ले जाते हैं अब सर वन के लिए इस माइन सी नव है तो माइन सी से डिवाइड कर दो माइनस सी से डिवाइड कर दो तो एक्स हो जाएगा माइनस सी बाय ए और वा हो जाएगा माइनस सी बाय बी यह हो जाएगा तो सर यह आपका एक इंटरसेप्ट हो गया ये आपका दूसरा इंटरसेप्ट हो गया तो अगेन फर्मूला याद रख ना हो तो ए हो गया माइ सी बा एवा हो गया माइन सी बा सेकंड मेथड सर सबसे इजी मेथड बताता हूं सेकंड मेथड फॉर एक्स इंटरसेप्ट अगर आपको एक्स का इंटरसेप्ट चाहिए पुट y इ 0 वा को जीरो पुट अप कर दो सर तो क्या बन जाएगा a एक प् c = 0 एक आ जाएगा - सी बा ए देख लो सर सेम है वैसे ही फॉर y इंटरसेप्ट पुट x = 0 x को 0 कर दो तो ये हो जाएगा b + c तो y की वैल्यू - c / b देख लो इस तरीके से यह हो गया तो अगर खाली इंटरसेप्ट भी निकालना था तो सर जो भी इंटरसेप्ट निकालना है उसके अपोजिट को ज़ीरो कर दो लाइन में तो जो भी वैल्यू आएगी वह आपकी इंटरसेप्ट वैल्यू हो जाएगी तो इंटरसेक्ट फॉर्म में फिर आप लिख पाओगे दो मेथड मैंने आपको बता दिए है और तीसरा है फार्मूला याद कर लो डायरेक्टली तो जो भी आपको सूटेबल लगे वह आप कर लीजिएगा जो भी आपको सूटेबल लगे वह आप कर लीजिएगा ठीक है क्लियर है चलिए नेक्स्ट रिडक्शन टू द नॉर्मल फॉर्म ये सबसे डिफिकल्ट भी है और एक अच्छा इंपॉर्टेंट पार्ट भी है a एक्स प् बीवा प् सी = 0 ये है तो सर फॉर्म क्या होता है एक्स कॉस अल्फा प्वा साइन अल्फा इ p प होता है लेंथ ऑफ परपेंडिकुलर तो यह कभी नेगेटिव नहीं हो सकता तो बच्चे सोचते हैं a एक् प् बीवा इ माइ सी सर नॉर्मल फॉर्म हो गया बट यहां पर ये याद रखिए कि कॉस अल्फा और साइन अल्फ अ दोनों ही -1 से व के बीच में होने चाहिए उससे बड़ी वैल्यू होगी तो सर आप कैसे ले सकते हो नहीं ले सकते तो तीन तीन क्राइटेरिया है तो पहले तो सर सी नेगेटिव होना चाहिए तो माइनस को इधर ले जाओ तो - ए एक् माइ बीवा इ सी अब ये पॉजिटिव अब ये पॉजिटिव है लेकिन अभी ये जहां पर जो वैल्यूज है यह हो सकता है कि ये बड़ी हो वन से यह भी हो सकता है बड़ी हो वन से तो इस केस में हम क्या करते हैं रूट ओवर ए स्क्वा प्स बी स्क्वा से डिवाइड कर देते हैं थ्रू आउट यानी कि माइनस ए बाय रूट ओवर ए स्क्वा प्स बी स्क एक्स माइनस बीवा रूट ओवर ए स्क्वा प्स बी स्क्वा इक्ट सी बाय रूट ओवर ए स्क्वा प्स बी स्क यह आपकी इक्वेशन बन जाएगी यह आपकी इक्वेशन बन जाएगी अब यह p है सर यह तो श्यर है कि अब ये p है पर अब यहां पे सर यह पॉजिटिव और नेगेटिव डिपेंड करेगा कॉस की वैल्यूज पे कॉस की वैल्यूज पे क्वाड्रेंट पे क्योंकि ऐसा क्वाड्रेंट होना चाहिए कि जब दोनों एक ही जैसा रिजल्ट दे दोनों एक ही जैसा रिजल्ट दे तो यहां पर आप यह बोल सकते हो कि कॉस अल्फा हो जाएगा - ए बाय रूट ओवर ए स्क प् बी स्क और साइन अल्फा हो जाएगा आपका माइनस बी बाय रूट ओवर ए स्क्वा प्स बी स्क तो इतना कुछ करना पड़ता है इस फॉर्म में पहले सी को उधर लेके गए माइनस को इधर लेके आ गए और रूट अंडर ए स्क प् बी स्क से डिवाइड कर दिया तब जाके सर नॉर्मल फॉर्म में कन्वर्ट होता है तब जाके यह नॉर्मल फॉर्म में कन्वर्ट होता है ठीक है देखिए सर सेम चीज है प्लस और माइनस है वही चीज मैं आपको बताया वो डिपेंड करेगा आपका एंगल पे जब क्वेश्चन में करेंगे तब मैं इसको और ब्रीफ एक्सप्लेन करूंगा ठीक है पर p प्लस और - c मतलब c की वैल्यू के ऊपर डिपेंड करता है इसको क्वेश्चन से जब समझेंगे तो और अच्छे समझ में आएगा चलिए अब क्वेश्चन करते हैं और समझते हैं जो चीजें हमने पढ़ी उसको अप्लाई कैसे करना है रिड्यूस द फॉलोइंग इक्वेशन इन टू स्लोप इंटरसेप्ट फॉर्म एंड फाइंड देर स्लोप्स एंड द y इंटरसेप्ट चलिए एक-एक करके सॉल्व करते हैं पहला वाला x + 7y = 0 तो सर मैं फार्मूला याद नहीं कर रहा हूं मैं अभी भी 7वा - x + 0 तो y हो जाएगा - 1/7 एक + 0 मैं हमेशा फॉर्म में कन्वर्ट कर रहा हूं तो सर स्लोप हो जाएगी - 1/7 और c की वैल्यू हो जाएगी 0 सिंपल ठीक है सर और दोबारा करते हैं सर सेकंड सेकंड है 6x प् 3 वा माइ 5 इ 0 तो 3 वा इ माइन 6 एक् प् 5वा इ माइन 6/3 एक्स प् 5/3 वा इट 3 व ू सो -2 एक्स प् 5 बा तो स्लोप हो जाएगा माइट सी हो जाएगा 5 बा 3 य हो गया अब थर्ड वा इक्टू 0 ये हो जाएगा y इट 0 तो सर यहां पर सभी कुछ जीरो है तो स्लोप मतलब स्लोप यहां पर क्या हो जाएगी जीरो और सी इंटरसेप्ट भी हो जाएगा जीरो इस तरीके से सिंपल सर कोई फर्मूला यूज नहीं कुछ नहीं आपको बस रिड्यूस करने बोल रहा तो ये नहीं बोल रहा आप फार्मूला अप्लाई करो वो फार्मूला भी यहीं से आया था चलिए नेक्स्ट रिड्यूस द फॉलोइंग इक्वेशन इनटू इंटरसेप्ट फॉर्म एंड फाइंड देर इंटरसेप्ट ऑन द एक्सेस यह भी सर इसमें हमने क्या सीखा था 3x प् 2y इक्व 12 कांस्टेंट टर्म को उधर ले जाओ और फिर डिवाइड कर दो तो 3 एक बा 12 प् 2y बा 12 इव तो 3 व फो 2 व सि तो आपके इंटरसेप्ट हो जाएंगे 4 और 6 सेकंड 4 एक् माइन 3 वा इ 6 6 से डिवाइड करेंगे 4x बा 6 प्लस माइनस 3 इनवा बाय 6 य हो जाएगा तो एक्स बाय 6 बाय 4 प्वा बाय 6 बाय -3 इव तो सर ए की वैल्यू हो गई 3/2 और बी की वैल्यू हो गई -2 ये हो जाएगा फिर थर्ड है 3y प् 2 = 0 तो 3y = -2 ठीक है या y 3y बाय -2 = 1 तो 0 एक प्वा बाय - 2/3 = 1 तो x इंटरसेप्ट है आपका 0 ठीक है और वा इंटरसेप्ट है -2 बा 3 इस तरीके से यह सॉल्व हो रहा है इस तरीके से यह सॉल्व हो रहा है तो खाली इंटरसेप्ट निकालने बोलता तो मैंने एक और मेथड बताया था कि आप बस उसके अपोजिट को जीरो कर दो एक्स को जीरो कर दो वा को जीरो कर दो तो आपको आंसर आ जाएगा आपको आंसर आ जाएगा नेक्स्ट रिड्यूस द फॉलोइंग इक्वेशन इनटू नॉर्मल फॉर्म फाइंड देर परपेंडिकुलर डि सेंसेस फ्रॉम द ओरिजिन एंड एंगल बिटवीन परपेंडिकुलर एंड द पॉजिटिव एक्स एक्सिस ये चीज अब देखिए सर पहला क्वेश्चन है x - √3 y = -8 तो सर माइनस को पहले इधर लाएंगे तो - x + √3 y = 8 ठीक है तो सर 1 √3 तो हो ही नहीं सकता सा और क तो यहां पे अब रूट अंडर -1 का स्क्वा x का कॉफिश एंट प्स √3 का स्क्वायर यानी कि 3 प्व 4 2 तो ट से आप सब जगह पर डिवाइड कर दोगे तो -1 बाट एक् प् 3/2 वा इ 4 तो सर अब आपका प जो है वह तो फोर हो गया यह कंफर्म है प आपका फोर हो गया अब यहां पर देखो कॉस अल्फा माइनस हाफ और साइन अल्फा √3 बाट तो तो साइन अल्फा पॉजिटिव कहां होता है फर्स्ट और सेकंड क्वाड्रेंट में कॉस अल्फा नेगेटिव कहां होता है सर सेकंड और थर्ड क्वाड्रेंट में तो अब आप देखेंगे कि कॉमन क्वाड्रेंट कौन सा है तो सर दोनों में कॉमन क्वाड्रेंट है सेकंड क्वाड्रेंट यानी कि अल्फा की वैल्यू सेकंड क्वाड्रेंट की हमें लेनी है तो साइन अल्फा इक्व √3 बा 2 को सेकंड क्वाड्रेंट में हम साइन 2 पाई बा 3 लिख सकते हैं पा पा बा 3 तो अल्फा हो जाएगा 2 पाई बाय 3 इस तरीके से य सॉल्व होगा तो इक्वेशन आपकी बन जाएगी एक्स कॉस ू पाई बाय 3 प्वा साइन 2 पाई बाय 3 इ 4 इसलिए मैंने आपको बोला था कि जब क्वेश्चन करेंगे तब मैं आपको अच्छे से समझाऊ पहले हमने वही किया कांस्टेंट को उधर लेकर गए माइनस साइन को उधर लेकर चले गए अब एक्स के कफिट का स्क्वायर प्लस वा कफिट के स्क्वायर के रूट से डिवाइड करती है तो प तो आपका डायरेक्टली आ गया एक्स ये वाय तो ओबवियसली दोनों दो दो क्वाड्रेंट में प्लस या माइनस होते हैं फिर आप देखेंगे कॉमन क्वाड्रेंट कौन सा है तो कॉमन क्वाड्रेंट के हिसाब से आप एंगल की वैल्यू निकालेंगे अब ट्रिग्नोमेट्री काम करेगा यहां प इस तरीके से नॉर्मल फॉर्म को सॉल्व किया जाता है एक और क्वेश्चन करके देखते हैं तब चीजें और क्लियर हो जाए एक माइवा = 4 सर √ अंडर 1 का स्क्वा + 1 का स्क्वा √2 तो √2 से डिवाइड कर दो तो x बा √2 - y / √2 = 4/2 4 बा √2 हो जाएगा 2 √2 4 √2 हो जाएगा 2 बा 2 √2 तो सर p हो गया आपका 2 √2 p हो गया आपका 2 √2 यहां पे क अल्फा है 1 / √2 सा अल्फा है -1 बा √2 सर साइन नेगेटिव कहां होता है थर्ड और फोर्थ क्वाड्रेंट में कॉस पॉजिटिव कहां होता है फर्स्ट और फोर्थ क्वाड्रेंट में तो यानी कि अल्फा बिलोंग टू फोर्थ क्वाड्रेंट अल्फा बिलोंग टू फोर्थ क्वाड्रेंट फोर्थ क्वाड्रेंट में अल्फा बिलोंग करता है तो सर फोर्थ क्वाड्रेंट में वैल्यू क्या होती है तो 2 पाई - पाई बा 4 तो अल्फा हो जाएगा 2 पाई - पाई बा यानी कि फटू 8 7 पाई बाय फ इस तरीके से सॉल्व होगा सर देख लीजिए इस तरीके से यह सॉल्व होगा तो नॉर्मल फॉर्म बहुत इंपॉर्टेंट फॉर्म है आशा करता हूं दोनों क्वेश्चन समझ में आ गया होगा हर बार यही चीज करनी है प निकलने के बाद आपको क्वाड्रेंट देखना है कि क्या क्वाड्रेंट है कैसे है उसके बाद इसको सॉल्व कर देना है ठीक है चलिए इफ द नॉर्मल फॉर्म ऑफ दिस इज दिस देन प एंड ओमेगा तो सर जो मेथड मैंने वहां सिखाई उसी मेथड को यूज करके आपको यह सॉल्व करना है जब तक आप खुद सॉल्व नहीं करोगे आपको बेसिकली एंगल निकालना और प निकालना है ठीक है तो आपको नहीं समझ में आएगा द ट्रांसफॉर्म द इक्वेशन ऑफ द लाइन दिस टू स्लोप इंटरसेप्ट फॉर्म देन द स्लोप एंड वा इंटरसेप्ट विल बी अभी मैंने वहां पर करके बताया ये अब आप खुद करके देखेंगे फाइंड इक्वेशन अब देखो वो दो क्वेश्चन मैंने होमवर्क दे दिए ठीक है ना क्योंकि वैसे क्वेश्चन हमने वहां प सॉल्व कर लिए थे फाइंड इक्वेशन ऑफ द लाइन पैरेलल टू दिस लाइन एंड पासिंग थ्रू द पॉइंट सर तभी मैंने आपको सिखाया था कि अगर ऐसा कुछ है तो इसकी लाइन की इक्वेशन क्या हो जाएगी 3x - 4y प् कांस्टेंट इ 0 सिंपल पैरेलल लाइन डायरेक्टली आप लिख सकते हो बस कांस्टेंट हटा के अब इस कांस्टेंट को फाइंड आउट करने के लिए क्या बोल रहा है य इसको सेटिस्फाई कर रहा है तो 3 इन -2 -4 इन 3 प् स इ 0 सो -6 -1 तो सर सी की वैल्यू क्या हो जाएगी 18 सी की वैल्यू क्या हो जाएगी प् 18 तो इक्वेशन क्या आ जाएगी 3x - 4y प् 18 = 0 सिंपल ठीक है नेक्स्ट फाइंड इक्वेशन द लाइन परपेंडिकुलर टू दिस लाइन एंड हैविंग एक्स इंटरसेप्ट 3 सर एक्स इंटरसेप्ट 3 का मतलब क्या हुआ वह 0 से पास कर रही है पर स्लोप नहीं पता पर अभी तो हमने सीखा सर स्लोप कैसे निकालते हैं तो य हो जाएगा 7वा इ एक्स प् 5वा हो जाएगा एकस बा से प् 5/7 तो स्लोप आ जाएगी 1 बा से अब सर लाइन की स्लोप इसके परपेंडिकुलर है तो m ए इन ए -1 होगा तो m ए इन 1/7 तो स्लोप ऑफ लाइन हो जाएगी -7 सर स्लोप आ गया पॉइंट गिवन है इक्वेशन बन जाएगा y - y1 इक्वल टू स्लोप x - x1 तो -7 एक प् 21 तो 7x प्वा = 21 7 एक्स प्वा इ 21 इस तरीके से ये सॉल्व होगा ठीक है नेक्स्ट फाइंड एंगल बिटवीन द लाइंस सर एक क्वेश्चन वहां पर भी आया था तो मैंने सिखाया बोला था कि जब लाइन आ जाएगी तब और हम सीख जाएंगे कि कैसे तो एंगल बिटवीन के लिए आपको दोनों की स्लोप चाहिए तो अब यहां से आपको दोनों का स्लोप निकालना है सर स्लोप कैसे निकलेगा वा इ - √3 एक प् 1 और यहां पर रथवा = - x+ 1 तोवा = - √3 एक प्ववा = -1 बा √3 एक प्व बा √3 तो एक स्लोप हो गया - √3 एक स्लोप हो गया -1 बा √3 तो न अल्फ न अल्फा कितना हो जाएगा सर - √3 माइनस बा रथ डिवाइड बाव प्लस माइनस रथ इन माइव बाय रथ तो सर जब एलसीएम लेंगे यह हो जाएगा -3 प्व ठीक है ना माइनस √3 प्व बाय रथ डिवाइडेड बाय यहां पर रथ रथ कैंसिल हो गया और यह हो जाएगा माइनस माइनस प्लस तो 2 सो माइट -3 प्व माइट तो टू कैंसल सर -1 बा √3 आपका एंगल आ गया तो सर नेगेटिव है नेगेटिव है यानी कि ट्यूस एंगल ऑब्स एंगल यानी कि सेकंड क्वाड्रेंट तो अल्फा हो जाएगा पाई माइनस पाई बा 6 यानी कि 5 पाई बा 6 क्योंकि सर फर्स्ट क्वाड्रेंट में पाई बा 3 कब होता है फर्स्ट क्वाड्रेंट में पाई बा 3 आपका मतलब पाई बा 6 आपको / √3 देता है तो सेकंड क्वाड्रेंट में यही क्या हो जाएगा पाई माइन पा बा 6 यानी कि 5 पाई बा 6 यानी कि 5 पा बा चलिए नेक्स्ट द लाइन थ्रू द पॉइंट दिस एंड दिस इंटरसेक्ट द लाइन दिस एट राइट एंगल फाइंड द वैल्यू ऑफ h सर राइट एंगल पर कर रहे यानी कि दोनों परपेंडिकुलर है इसका स्लोप निकालते हैं सर 9वा इ 7x माइ 19 वा हो जाएगा 7 बा 9x - 19/9 तो इसका स्लोप आया 7/9 अब इसका स्लोप देख लो m2 सर m2 कितना हो जाएगा 1-3 बाय 4-h -2 बा 4 माइ ए तो सर m1 इन ए2 माइव के बराबर होता है तो 7/9 इन -2 बा 4 माइन ए इक्व माइव तो माइनस माइनस प्लस 7 टू 14 इक्वल टू उर चला जाएगा बेटा 9 4 36 - 9h तो 9h हो जाएगा 36 - 14 32 और सॉरी फोर हो जाएगा 32 और 10 चला जाएगा 22 तो h की वैल्यू हो जाएगी 22/9 ये हो जाएगी h की वैल्यू 22/9 इस तरीके से ये सॉल्व होगा सिंपल 1 - 3 4 - h तो -2 बा तो माइनस माइनस प्लस हो गया इस तरीके से सॉल्व हो जाएगा सिंपल तो अब इंफॉर्मेशन निकालनी है लाइन गिवन है लाइन गिवन है तो उससे इंफॉर्मेशन निकाल के जो भी क्वेश्चन में सॉल्व करने बोला आप सॉल्व कर देंगे आप उसको सॉल्व कर देंगे ठीक है तो यह था सर जनरल इक्वेशन जनरल इक्वेशन का बस काम क्या है कि आपको इंफॉर्मेशन निकालनी है लाइन दी हुई है तो उससे इंफॉर्मेशन निकालनी है जिससे आप क्वेश्चन में सॉल्व कर सको क्योंकि हम कुछ मिसलेनियस क्वेश्चन करेंगे तब आपको पता चलेगा कि कैसे वहां से इंफॉर्मेशन बहुत जरूरी होती है अब हम आ गए अपने लास्ट पार्ट पर कुछ फॉर्मूले इन द स्ट्रेट लाइन कुछ फॉर्मूले इन द स्ट्रेट लाइन इसके बाद कुछ मिसलेनियस प्रॉब्लम्स भी करेंगे तो डि सबसे पहला फार्मूला है डिस्टेंस ऑफ ए पॉइंट फ्रॉम अ लाइन यह स्टैंडर्ड फॉर्मूले आपको याद रखने हैं एक लाइन है सर a एक् प् बीवा प् सी एक पॉइंट है x1 वाव तो इसका यहां से परपेंडिकुलर डिस्टेंस क्या क्या होगा सर वो डिस्टेंस हो जाता है पॉइंट को इक्वेशन में पुट अप कर दो ए एक्सव प् बी वाव प् सी बाय रूट ओवर ए स्क प् बी स्क मॉडल इसलिए क्योंकि डिस्टेंस कभी नेगेटिव नहीं हो सकता डिस्टेंस कभी नेगेटिव नहीं हो सकता वही चीज सर यहां पर एक्सप्लेन की गई है ठीक है लेंथ ऑफ द परपेंडिकुलर फ्रॉम द ओरिजिन तो सर ये जीरो जीरो हो जाएगा तो मोड सी बा ये हो जाता है मोड बा ये हो जाता है बहुत इंपॉर्टेंट फार्मूला है ठीक है नेक्स्ट डिस्टेंस बिटवीन टू पैरेलल लाइंस अब देखो एक लाइन यह है एक लाइन ये है सिर्फ कांस्टेंट टर्म्स डिफरेंट है जैसा मैंने आपको सिखाया सिर्फ कांस्टेंट टर्म डिफरेंट है तो उनके बीच का डिस्टेंस क्या हो जाता है c2 - स1 बाय रूट ओवर ए स्क प् बी स्क ये हो जाता है डिस्टेंस बिटवीन टू पैरेलल लाइंस यही दो फार्मूले आपकी एक्सरसाइज में गिवन है जो आपको याद रखने हैं चलिए क्वेश्चन करके देखते हैं फाइंड द डिस्टेंस ऑफ द पॉइंट फ्रॉम दिस लाइन सर पहले तोय स्टैंडर्ड फॉर्म में नहीं है इसको स्टैंडर्ड फॉर्म में कन्वर्ट कर लीजिए ये हो जाएगा 12 एक 12 सि 72 5वा माइ 52 10 तो 12 एक्स माइ 5वा प् 82 = 0 सर डिस्टेंस कितना हो जाएगा इस पॉइंट से उसमें करो तो माइनस 12 - 5 प् 82 रट ओवर 144 प् 25 तो सर यह कितना चला जाएगा 2 गया 80 70 65 और यहां पे आ जाएगा 12 69 यानी कि 13 और 13 5 65 होता है बेटा सो 13 व 5 तो आपका परपेंडिकुलर डिस्टेंस हो गया फ यूनिट बहुत सिंपल क्वेश्चन है फार्मूला बेस्ड है यह टोटल पार्ट फार्मूला बेस है फर्मूला याद रखना है अप्लाई करना है अब कैलकुलेशन तो यार इतने बड़े हो चुके हो कि प्लस माइनस इंटू करना आता ही है ठीक है ना चलिए नेक्स्ट फाइंड द पॉइंट ऑन द एक्स एक्सिस हुज डिस्टेंस फ्रॉम दिस लाइन आर फोर यूनिटस सर एक्स एक्सिस पर कोई भी पॉइंट क्या ले सकते हैं x1 0 ले सकते हैं द डिस्टेंस फ्रॉम दिस लाइन यानी कि फोर यूनिट तो 4 इक्वल टू मोड ऑफ अब इसका डिस्टेंस तो एक्सव बा 3 प् 0 माइव बाय रूट ओवर 1/3 का स्क्वायर प्सव बा फ का स्क्वायर यह लिख सकते हैं सर नहीं तो आप वहां से भी सॉल्व कर सकते हो मतलब एक मेथड तो य थोड़ा लेंथी हो जाएगा उससे अच्छा आप यहीं पर एलसीएम ले लो तो सर यह क्या हो जाएगा 4 एक प् 3 वा इ 12 ये हो जाएगा अब जब मैं करूंगा तो 4 इक्व टू 4 एक प् 0 माइ 12 रूट ओवर 4 स्क प् 3 स् सर 16 प् 9 25 तो 5 आ जाएगा तो 5 फो 20 इ मोड ऑफ 4 एक्व माइ 12 य मोड आपको नहीं हटाना है बेटा अब मोड को सॉल्व करने के लिए मैंने आपको बोला था कि दो केस लेंगे एक केस लेंगे प् 4 एक्व माइ 12 = 20 दूसरा केस आप लोगे माइनस इ -20 तो 4 x1 = 32 तो x1 की वैल्यू हो जाएगी 8 यहां पर 4 एक्व = -8 x1 की वैल्यू हो जाएगी - 88/4 - 2 तो यह आपकी आंसर हो जाएगा ध्यान से देख लीजिए कि क्यों हमने वह नहीं किया और क्यों स्टैंडर्ड फॉर्म में करना जरूरी होता है समझ में आ रहा है क्यों स्टैंडर्ड फॉर्म में करना जरूरी होता है ठीक है चलिए आगे बढ़ते हैं फाइंड द डिस्टेंस बिटवीन पैरेलल लाइंस सर देखो यह और यह सेम है तो डिस्टेंस क्या हो जाएगा कांस्टेंट टर्म्स का डिफरेंस डिवाइडेड बाय 8 का स्क्वायर प्लस 15 का स्क्वायर सॉल्व कर दीजिए आंसर आ जाएगा सिंपल है ठीक है फाइंड द डिस्टेंस बिटवीन पैरेलल लाइंस तो यहां पर भी आपको देख सकते हो कि एक्स और वा का कफिट एल है तो डिस्टेंस सेम होगा सर की प माइनस ऑफ माइनस प्लस आ डिवाइडेड बाय रूट अंडर एल स्क्वा प्स एल स्क्वायर यह हो जाएगा बस फार्मूला बेस्ड फर्मूला की एप्लीकेशन है कुछ भी नहीं तो सर थ्योरी पार्ट अब आपका कंप्लीट होता है मैं दोबारा रिवाइज करता हूं पहले हमने किया था स्लोप मतलब कार्टीजन वो डिस्टेंस फॉर्मूला सेक्शन फॉर्मूला के बाद स्लोप उसमें दो-तीन चीजें देखी थी फिर फॉर्म्स ऑफ स्ट्रेट लाइन उसके अंदर पांच मेजर फॉर्म्स थे और तीसरा था फिर जनरल इक्वेशन जनरल इक्वेशन के अंदर कैसे उसको हम बाकी तीन फॉर्म में कन्वर्ट कर सकते हैं और फिर लास्ट में हमने देखा था यह आपका कुछ स्टैंडर्ड फॉर्मूले डि परपेंडिकुलर डिस्टेंस फॉर्मूला और पैरेलल लाइंस के बीच का इतने फॉर्मूला के बाद अब कुछ मिसलेनियस एक्सरसाइज के क्वेश्चन ये मिसलेनियस एक्सरसाइज के क्वेश्चन है जिसमें सब कुछ मिक्स है क्वेश्चन टफ होते हैं चार मार्क पांच मार्क छ मार्क के लिए सब पूछे जा सकते हैं तो इसलिए मैंने हमेशा मैंने किया है इंक्लूड अपने मतलब लेक्चर में जिससे बच्चे मतलब एक एज तक पूरा प्रिपेयर कर पाए तोब कुछ एक क्वेश्चन वो करते हैं तो फिर यह चैप्टर आपका अच्छे से कंप्लीट हो जाएगा चलिए सबसे पहले टू लाइंस पासिंग थ्रू द पॉइंट दिस इंटरसेक्ट ईच अदर एट एन एंगल ऑफ 60 डिग्री मतलब दो लाइन पास कर रही है इस पॉइंट पॉट से 2 3 से दोनों इंटरसेक्ट कर रही है एट एन एंगल ऑफ 60 डिग्री इफ स्लोप ऑफ वन लाइन इ टू फाइंड इक्वेशन ऑफ द अदर लाइन देखो एक लाइन की स्लोप दी हुई है टू m1 ले लेते हैं m2 हमें पता नहीं है m2 हमें पता नहीं है पर दोनों के बीच का एंगल दिया हुआ 60 डिग्री यानी कि 10 60 सर अब 10 60 तो पॉजिटिव वैल्यू है t 60 पॉजिटिव है तो अब जब भी आप मोड फार्मूला लगाएंगे तो मोड लगाना जरूरी है m2 - m1 m1 है 2 m1 है 2 बाय 1 प् 2 ए2 ये हो जाएगा सर तो t 60 तो √3 होता है सर दोबारा रूट आ गया अब रूट आ गया यानी कि आपको दो केस लेने हैं सर m2 - 2/1 प् 2 m2 = √3 m2 -2 बा 1 प् 2 ए2 इ माइनर एक एक करके सॉल्व करेंगे ए2 माइनस 2 रट 3 प् रथ ए2 इसको इधर लेकर आ जाओ और तो ए2 कॉमन लिया 1 माइनस रथ इक्व रथ प् 2 तो ए2 की वैल्यू हो जाएगी रथ प् 2 बाव माइनस र वही पर यहां पर m2 -2 - √3 -2 √3 ए2 तो m2 कॉमन लिया 1 प् √3 1 प् √3 = 2 माइनस √3 तो m2 हो जाएगा 2 माइन √3 बाव प् √3 यह हो जाएगा सर तो स्लोप या तो यह होगी सर या तो यह होगी दो स्लोप आ गई पासेस थ्रू द पॉइंट पासिंग पॉइंट दिया हुआ है तो इक्वेशन क्या हो जाएगा y माइवा 1 = m इन एक् माइ एक्सव जो कि ू है देखो सारी चीज यूज हो गई एंगल वाली भी और फिर लाइन वाली भी तो आपकी दो इक्वेशन बन जाएगी एक होगी y माइ 3 इक्टू 2 प् √3 बाव माइ √3 इन x-2 दूसरी हो जाएगी माइनस 3 इक्वल टू 2 माइनस रव प्स रथ इनू एक्स माइन यह दो आंसर हो गए अब इसके बाद आप सिंपलीफाई कर सकते हो मेरे को बस सिखाना है कि आपको क्रैक कैसे करना है क्वेश्चन क्वेश्चन आया एग्जाम में तो आप उसको कैसे इजली सॉल्व कर सकते हो ठीक है चलिए नेक्स्ट फाइंड द इक्वेशन ऑफ द राइट बाइस क्टर ऑफ द लाइन सेगमेंट जॉइनिंग द पॉइंट सर रफ डायग्राम बनाएंगे तो यह है 3 फ माइनस वट राइट बाईसेक्टर क्या होता है सर एक तो 90 डिग्री होगा और व उसको बाईसेक्ट करेगा तो यह जो पॉइंट है व इन दोनों का मिड पॉइंट हो जाएगा तो 3 माइव 2 बाटू 1 और 4 प् 2 6 6 बाटू 3 तो सर मिड पॉइंट आ गया थ मिड पॉइंट आ गया थ अब इस लाइन को स्लोप को ए ले लेते हैं इसको ए ले लेते हैं अब परपेंडिकुलर तो माइनस व होगा तो सर पहले तो ए ए क्या हो जाएगा 2 माइन 4 माइव माइन 3 तो माइट बाय माइनस फ हाफ तो अब ए इन ए ए माइव के बराबर होना चाहिए तो ए एल हो जाएगा माइनस तो सर पॉइंट आ गया स्लोप आ गया क्या हो जाएगी y माइ 3 इ -2 इन एक् माइव सिंपल सर तो पढ़ के आपको जो जो अप्लाई आप कर सकते हो इस इसलिए मिसलेनियस एक्सरसाइज में सब चीज यूज आती है और वो आपको करनी भी चाहिए जिससे आपको पता चलेगा कि थ्योरी क्योंकि एक्सरसाइज में क्या है कि जो बस ऊपर पढ़ा वही यूज होगा लेकिन मिसलेनियस एक्सरसाइज में जितना आपने पूरे चैप्टर में पढ़ा वो सब यूज होगा तो पूरा आपके कांसेप्ट क्लियर हो जाएंगे ठीक है येय आपका ये क्वेश्चन है नेक्स्ट फाइंड द कोऑर्डिनेट्स ऑफ द फूट ऑफ परपेंडिकुलर फ्रॉम द पॉइंट टू द लाइन ये एक अच्छा क्वेश्चन है अच्छा फाइव मार्कर क्वेश्चन है इसी में इमेज भी पूछ सकता है तो मैं दोनों को कैसे करते हैं एक एक ही क्वेश्चन बता दूंगा -13 एक पॉइंट है सर एक लाइन है 3x - 4y -1 यहां से एक परपेंडिकुलर अगर ड्रॉप किया तो ये कहलाता है फूट यह कहलाता है फूट चलो इसको ले लेते हैं h के थोड़ी देर के लिए इसको ले लेते हैं h के तो सर आपको अब h और के को सॉल्व करना है तो सर बहुत सारे मेथड है सॉल्व करने के लिए सबसे आसान मेथड सर यह स्लोप ऑफ परपेंडिकुलर ले लेते हैं यह स्लोप ऑफ लाइन ले लेते हैं तो यहां से 4y = 3x - 16 y = 3/4 एक - 16 तो यहां से स्लोप ऑफ लाइन क्या आ गई 3/4 स्लोप ऑफ परपेंडिकुलर क्या हो जाएगा बेटा वो हो जाएगा के -3 बाय ए प्व अब सर दोनों का परपेंडिकुलर तो वन होगा m ए इन ए प इ माइव हो जाएगा यानी कि 3/4 इन के -3 बाय h प्व इ माइव तो 3 के इइ 3 3 9 माइनस 4 ए माइनस 4 तो 4 ए 4 ए प्लस 3 के 4 ए प्स 3 के -9 प् 4 माइन 5 इ 0 इक्वेशन वन हो गई आपकी इक्वेशन वन हो गई दूसरा सर ए के इसको सेटिस्फाई करेगा क्योंकि इस लाइन पर लाई करता है तो इसके अंदर मैं पुट अप करूं तो सर ये क्या मेरा आ रहा है 3h - 4k - 16 = 0 ये इक्वेशन ट हो गई सर दो इक्वेशन दो वेरिएबल h के आपका आ जाएगा h के आपका आ जाएगा सर क्या करें 3 फर से मल्टीप्लाई करो तो सर यह हो जाएगा 16h प् 4 3 12k - 4 5 20 और यहां पे 3 से मल्टीप्लाई कर दो 3 * 3 9h 12k - 30 और 18 48 ऐड कर देंगे 16 + 9 25h - ऐड कर देंगे तो 50 68 तो h की वैल्यू हो जाएगी 68 / 25 अब इस h की वैल्यू को किसी भी एक इक्वेशन में डाल दो तो आपको k की वैल्यू आ जाएगी इस तरीके से आपका फूट आ जाएगा इस तरीके से आपका फूट ऑफ परपेंडिकुलर आ जाएगा अब इसी में अगर इमेज पूछता सपोज करो एच ड के ड इमेज पूछता तो सर य जो फूट है वह इसका और इसका मिड पॉइंट होता तो आपको यह मिल गया फूट मिल गया अब मिड पॉइंट फॉर्म लगा के इमेज निकाल लोगे तो एक ही क्वेश्चन से दो अलग-अलग क्वेश्चन सॉल्व हो गए बहुत इंपॉर्टेंट क्वेश्चन है बेटा जरूर रखिएगा आपके स्कूल एग्जाम में पूछा जा सकता है फोर मार्कर फाइव मार्कर में ठीक है फोर मार्कर फाइव मार्कर में पूछा जा सकता है चलिए आगे बढ़ते हैं द परपेंडिकुलर फ्रॉम द ओरिजिन टू द लाइन मीट्स इट एट द पॉइंट माइनस वट फाइंड द वैल्यूज ऑफ ए एंड सी चलिए कोई भी एक लाइन है बोल रहा है y = mx0 0 से इस पे परपेंडिकुलर जॉइन किया गया मीट्स इट एट द पॉइंट -1 2 सर वो -1 2 पे जाके मीट किया ठीक है देन फाइंड द वैल्यू ऑफ m एंड सी तो सर बहुत सिंपल सा चीज है -1 2 इसको सेटिस्फाई करेगा यानी कि 2 इक्व टू ए प्लस सी ठीक है ना तो सी माइनस ए की वैल्यू हो गई ू इक्वेशन न दूसरा चीज सर यह परपेंडिकुलर है तो इसका स्लोप और इस लाइन का स्लोप का प्रोडक्ट मानव होगा तो ए अच्छा य ए दिया ही हुआ है इसका तो ए इनटू यह स्लोप कितना हो जाएगा सर 2 माइनस 0 माइव माइन 0 माइव हो जाए तो m * -2 -1 स्लोप हो जाएगा बेटा आपका कितना m की वैल्यू हो जाएगी 1/2 तो m की वैल्यू आ गई यहां पर डाल दो c हो जाएगा 2 प् m तो 2+ 1/2 2 टू 4 4+ 1 5/2 लो सर कितना सिंपल सवाल था एक रफ डायग्राम एक रफ डायग्राम आपको पूरा हिंट दे देगा पूरा मेथड बता देगा कि क्या करना है आपको कि आपको क्या करना है आशा करता हूं समझ में आ रहा है चलिए नेक्स्ट इफ प एंड q आर द लेंथ ऑफ परपेंडिकुलर फ्रॉम द ओरिजिन टू द लाइंस दिस एंड दिस रिस्पेक्टिवली प्रूव दैट चलो सर यह तो डायरेक्ट फार्मूला बेस्ड क्वेश्चन है p की वैल्यू क्या हो जाएगी ओरिजिन से पहली लाइन पे तो सर ये हो जाएगी 0 माइ के कॉस 2 थीटा डिवाइडेड बाय कॉस स्क्वायर थीटा प्स साइन स्क्वायर थीटा और q की वैल्यू हो जाएगी 00 माइनस के रूट ओवर स स्क्वायर थीटा प्लस कोकें स्क्वायर थीटा ये हो जाएगी सर यह तो वन होता है तो यहां से मुझे आया p इक्टू के कॉस 2 थीटा q की बात करें तो सर 1 बाय कसव बाय साइन तो सर ये ऊपर जाके बन जाएगा माइनस के साइन थीटा कॉस थीटा साइन स्क्वा थीटा प् कस थव रूट ऑफ साइन स्क्वायर रूट ऑफ कॉस स्क्वायर तो सर इसको मैं ऐसे भी लिख सकता हूं q इक्वल टू के बाटू साइनट थीटा ठीक है तो अब हमको क्या बोल रहा है p स्क प् 4q स्क्वा इक्ट के स्क्वा तो चलो एलएचएस ले लेते हैं तो p स्क्वा क्या होगा के स्क्वा कॉस स्क्वायर 2 थीटा 4 इन q स्क्वायर कितना हो जाएगा के स्क्वा बाय 4 साइन स्क्वायर 2 थीटा 4 फोर कैंसिल के स्क्वा कॉमन लिया तो कॉस स्क्वाट थीटा प्लस साइन स्क्वाट थीटा जो कि वन के बराबर होता है तो आ जाएगा के स्क यानी कि आर एच एस यानी कि आर एचएस देख लीजिए ठीक है क्लियर है आशा करता हूं समझ में आ रहा है कोई दिक्कत नहीं होगी यहां तक नेक्स्ट इन द ट्रायंगल ए बी सी विथ वर्टिस दिस दिस एंड दिस फाइंड द इक्वेशन ऑफ फाइंड द इक्वेशन एंड लेंथ ऑफ एल्टीट्यूड फ्रॉम द वर्टेक्स ए एल्टीट्यूड सर एल्टीट्यूड क्या होता है अगर यह a है b है c है a से अगर मैं परपेंडिकुलर ड्रॉप करूं तो यह होता है एल्टीट्यूड यह होता है एल्टीट्यूड तो सर a पॉइंट मुझे गिवन है इसका स्लोप मुझे नहीं पता स्लोप ऑफ bcc950 इक्वेशन आ जाएगी सिंपल सर देख लीजिए तो स्लोप ऑफ बीसी यह हो जाएगा 2 माइनस ऑफ माइनस व और फिर न माइनस ऑफ 4 इनटू स्लोप ऑफ एल तो 3 बाय माइन 3 माइव तो ए एल हो जाएगा प्लव लीजिए तो इक्वेशन ऑफ एल्टीट्यूड एल्टीट्यूड तो ये क्या हो जाएगी y - 3 = 1 * x-2 तो सर x माइवा प् 1 = 0 x माइवा प् 3-2 1 = 0 ये इक्वेशन आ गई अब लेंथ बोल रहा है सर फाइंड द इक्वेशन लेंथ लेंथ क्या सर परपेंडिकुलर डिस्टेंस फार्मूला b स के लिए पहले आप बसी निकालिए फिर परपेंडिकुलर डिस्टेंस फार्मूला आप लगा दीजिए सेकंड पार्ट मैं आपके लिए छोड़ रहा हूं ठीक है चलिए नेक्स्ट इफ p इज द लेंथ ऑफ परपेंडिकुलर फ्रॉम ओरिजिन टू द लाइन हुज इंटरसेप्ट ऑन द एक्सिस आर ए एंड बी सर वो लाइन हो जाएगी x बा ए प्वा बा बी = 1 तो p हो जाएगा रूट ओवर -1 बा 1 बा ए स् + 1 बा ब स् स्क्वायर कर दो बोथ साइड तो p स् = 1 / 1 / a स् + 1 / b स् सर क्रॉस मल्टीप्लाई 1 बा a स् + 1 / b स् = 1 / p स् हेंस प्रूव्ड सिंपल सर तो सच में सिंपल है थोड़ा सा बड़ा है क्योंकि फॉर्मूले वगैरह ज्यादा है तो आपको इतना सॉल्व करने के बाद समझ में आ जाना चाहिए और आप इजली सॉल्व कर पाओगे आप इजली सॉल्व कर पाओगे ठीक है चलिए और क्वेश्चन देखते हैं फाइंड द वैल्यू ऑफ थीटा एंड p इफ द इक्वेशन इज द नॉर्मल फॉर्म ऑफ दिस लाइन चलिए वहां पर मैंने आपको दो होमवर्क दिया था यहां पर एक चीज मैं सॉल्व करके बता देता हूं आपको √3 एक प्वा = -2 माइनस को इधर ट्रांसफर कर दो बेटा -3x - y = 2 अब सर रूट अंडर - √3 का स्क्वा 3 प् 1 यानी कि 4 यानी कि 2 तो टू से डिवाइड कर दो - √3 बा 2x - y / 2 = 2/2 1 तो p की वैल्यू तो हो गई वन अब क थीटा - √3 बा 2 है सा थीटा - 1/2 है सर साइन नेगेटिव कब होता है थर्ड और फोर्थ में कस नेगेटिव कब होता है थर्ड और फोर्थ में तो सर कॉमन सॉरी थर्ड एंड सेकंड में तो कॉमन क्वाड्रेंट कौन सा है थर्ड क्वाड्रेंट है तो जैसे ही कॉमन क्वाड्रेंट आ गया अब मुझे चाहिए थर्ड क्ड थर्ड कोडिनेट होता है पाई प्स थीटा तो थीटा हो जाएगा 1/2 कब देता है सर साइन 30 डिग्री पे तो पाई प्स पाई बा 6 यानी कि 7 पाई बा 6 तो आपके प की वैल्यू हो गई वन और थीटा की वैल्यू हो गई 7 पा बा 6 तो क्वाड्रेंट का जजमेंट जरूरी है तभी आप परफेक्ट वैल्यू निकाल पाओगे क्वाड्रेंट का जजमेंट बहुत जरूरी है ठीक है क्लियर है चलिए नेक्स्ट फाइंड द इक्वेशन ऑफ द लाइंस विच कट ऑफ इंटरसेप्ट्स ऑन द एक्सिस हुज सम एंड प्रोडक्ट आर न एंड माइन स रिस्पेक्टिवली आपको सम दिया हुआ है वन ए प् बी दिया हुआ है व एंड प्रोडक्ट यानी की ए की वैल्यू दी हुई है माइन स तो सर सिंपल है यहां से ए को मैं 1 माइन बी लिख सकता हूं सब्सीट्यूट कर दीजिए 1 माइ बी इन बी ठीक है तो बी माइनस बी स्क इ माइन 6 तो बी स्क माइनस बी माइन 6 तो बी स्क माइ 3 बी प् 2 बी तो बी माइन 3 इन बी माइ 3 इन बी प् 2 तो सर बी की वैल्यू हो गई 3 या माइनस 3 या माइट तो सर अगर बी 3 है तो ए हो जाएगा 1 माइन 3 माइट और अगर बी माइट है तो ए हो जाएगा न प् 3 तो ओवरल इंटरसेप्ट आएंगे 3 और माइट 3 और माइट इस तरीके से सॉल्व होना था सिंपल इसमें स्ट्रेट लाइन का कुछ भी यूज नहीं हुआ पहली बात स्ट्रेट लाइन की कोई मेथड यूज नहीं हुई है नेक्स्ट व्ट आर द पॉइंट्स ऑन द वा एक्सिस स डिस्टेंस फ्रॉम द लाइन दिस इज फोर यूनिट्स तो सर वा एक्सिस पर कोई भी पॉइंट हम ले सकते हैं 0 वाव अब इसका डिस्टेंस पहले तो इसको सर स्टैंडर्ड फॉर्म में कन्वर्ट कर लो तो 4 एक प् 3y इ 12 तो ऐसे ही सेम क्वेश्चन वहां पर भी था वहां पर एक्स से पूछा था तो 4 इटू 0 3 वाव माइ 12 बा रूट अंडर 5 क्योंकि 16 प् 9 25 तो 5 फो 20 इक्टू मोड ऑफ 3/1 माइ 12 तो दो केस लेंगे इक्व टू 20 एंड 3 वाव माइन 12 इ माइ 20 तो 3 वाव 12 प् 20 32 तो वाव हो जाएगा 32/3 3 वाव माइन 8 तो वाव इ -8 बा 3 इस तरीके से यह सॉल्व होगा आशा करता हूं सब चीजें समझ में आ गई होंगी ठीक है नेक्स्ट फाइंड द इक्वेशन ऑफ द लाइन पैरेलल टू वा एक्सिस एंड ड्रॉन थ्रू द पॉइंट ऑफ इंटरसेक्शन ऑफ द लाइंस दिस एंड दिस सर कभी भी इंटरसेक्शन ऑफ द लाइन बोल रहा है आपको दोनों को सॉल्व करना है सॉल्व करके जो पॉइंट होगा वही आपका इंटरसेक्शन पॉइंट होता है ठीक है वही आपका इंटरसेक्शन पॉइंट होता है तो आप सॉल्व कर सकते हैं ्र से मल्टीप्लाई कर दो तो 3x - 21 वा प् 15 = 0 3x प्वा = 0 सबै कर देंगे - 22y प् 15 = 0 = 15/2 आ जाएगा इतना डिफिकल्ट वैल्यू आया है अब इसको यहां पर सब्सीट्यूट कर दीजिए तो 3x इक्टू माइवा तो 3x = - 15/2 एकस हो जाएगा - 5/2 3 1 5 तो पासिंग पॉइंट आ गया फाइंड द इक्वेशन पैरेलल टू वा एक्सिस सर पैरेलल टू वा एक्सिस क्या होता है उसका स्लोप हो जाता है / 0 उसका स्लोप हो जाता है न बा 0 या तो लाइन कहलाती है x इटू कांस्टेंट तो लाइन होगी x इट कांस्टेंट तो सर य जो लाइन है वह इसी पॉइंट से पास करेगी यानी कि आपका कांस्टेंट हो जाएगा -5 बा 22 सो इक्वेशन ऑफ लाइन हो जाएगी x = -5 बा 22 या 22x + 5 = 0 तो इसीलिए हर एक चीज जो हमने पढ़ी कि सर इक्वेशन पैरेलल टू एक्स एक्सिस इक्वेशन परपेंडिकुलर टू मतलब पैरेलल टू y एक्सिस वो सब चीज देखो कहीं ना कहीं काम जरूर आएगी बेटा नहीं तो कंफ्यूज हो जाओगे यहां पे आने के बाद अरे सर y एक्सिस पे अब इंफिनिटी ले नॉट डिफाइंड ले कैसे सॉल्व करें तो हर एक चीज जो पढ़ाई गई है वो आपको कहीं ना कहीं बेटा काम आएगी वो आपको कहीं ना कहीं काम आएगी चलिए और क्वेश्चन करते हैं फाइंड द एरिया ऑफ़ द ट्रायंगल फॉर्म्ड बाय द लाइंस दिस दिस एंड दिस ठीक है x - k भी दिया हुआ है x - k = 0 y - x = 0 x + y = 0 तो सर यहां से आ गया x = y यहां से आ गया x = - y तो इन दोनों का इंटरसेक्शन पॉइंट है बेटा 0 0 अब यहां से आ गया x इ के तो अगर मैं x इक्वा में डाल रहा हूं तो पॉइंट हो जाएगा के के और अगर मैं x इक्व माइवा में डाल रहा हूं तोवा हो जाएगा माइन एक्स तो केमा माइनस के तो हमारे तीन पॉइंट क्या हो जाएंगे केमा के के माइनस के और 0 0 तो कभी भी तीन लाइन आ जाए और फिर एरिया निकालने बोल रहा है आपको दो दो को सॉल्व करना है दो को सॉल्व किया पॉइंट आया दो को सॉल्व किया पॉइंट आया दो को सॉल्व किया पॉइंट आया पॉइंट आने के बाद एरिया ऑफ ट्रायंगल क्या था हाफ अब सर आप इसको ले लीजिए ये x1 y1 x2 y2 x3 y3 ठीक है तो x1 है हमारा के अब - के - 0 तो - के बचा फिर x2 है फिर से के अब y3 है 0 माइनस के फिर लास्ट वाला है जीरो तो जीरो का जीरो तो जीरो ही होता है सर तो हाफ माइनस के स्क्वा माइनस के स्क्वा यही बचा सर तो यह हो जाएगा हाफ इनटू 2k स्क्वा यानी कि के स्क्वा तो एरिया ऑफ ट्रायंगल आपका बन जाएगा के स्क्वायर तो देखो मिसलेनियस कितना इंपॉर्टेंट है एरिया ऑफ ट्रायंगल भी आ गया जितने आपने कुछ भी पढ़ा है वो सब चीज कवर अप होता जाएगा तो मिसलेनियस जरूर करना चाहिए डिफिकल्ट क्वेश्चन भी होते हैं और अच्छे क्वेश्चन भी होते हैं ठीक है नेक्स्ट फाइंड द वैल्यू ऑफ p सो दैट द थ्री लाइंस दिस दिस एंड दिस मे इंटरसेक्ट एट वन पॉइंट इसको हम दूसरी भाषा में कॉन्करेंट भी बोलते हैं तो सर हम क्या करेंगे सर यह और यह जिस पॉइंट से पास कर रहे हैं उसी पॉइंट से वो भी पास होना चाहिए तो आप इन दोनों को लेके इंटरसेक्शन पॉइंट निकालो इन दोनों को लेके इंटरसेक्शन पॉइंट निकालो 3x प्वा माइ 2 = 0 2x माइवा - 3 = 0 ड कर देते हैं ये कैंसिल हो जाएगा 5x = 5 एक = 1 अब येवन किसी भी इक्वेशन में डाल दो तो 3 प्वा इटवा इ माइव तो ू डालता तो ू और से माइन माइन तो पॉइंट आ गया आपका नमा माइनस अब इसको भी सेटिस्फाई करना चाहिए क्योंकि बोल इंटरसेक्ट एट वन पॉइंट तो ल दो तो प माइट माइन 3 इ 0 प इ 5 प इ 5 इस तरीके से यह सॉल्व होता है ठीक है क्लियर है चलिए नेक्स्ट इन वट रेशो द लाइन जॉइनिंग दिस एंड दिस इज डिवाइडेड बाय द लाइन वो लाइन उसको सर डिवाइड कर रही है पर किस रेशो में पता नहीं तो सर जभी भी रेश पता नहीं होता है तो हम क्या लेते हैं लडा 1 लेते हैं लव लेते हैं ठीक है तो x मेरा क्या हो जाएगा 5 लडा माइव बाय लडा प्व और वा मेरा क्या हो जाएगा 7 लडा प्व बा लडा प्व ये इंटरसेक्शन पॉइंट आ गया तो यह पॉइंट सर उसको सेटिस्फाई करना चाहिए तो इसको सब्सीट्यूट कर दीजिए 5 लडा -1 बा लडा प् 1 प् 7 लडा प् 1 बा लडा प् 1 = 4 तो लडा प्व 5 प् 7 12 लडा न और वन कैंसिल हो जाएगा इक्वल टू 4 4 व 3 सो 3 लडा इ लडा पव 2 लडा = 1 लडा = 1/2 सर रेश क्या हो जाएगा 1:2 आपका रेशो हो जाएगा इस तरीके से ट आपका रेशो हो जाएगा ठीक है चलिए नेक्स्ट फाइंड द डिस्टेंस ऑफ दिस लाइन फ्रॉम दिस पॉइंट अलोंग द लाइन सरय परपेंडिकुलर नहीं पूछ रहा है फाइंड द डिस्टेंस ऑफ दिस लाइन मतलब 4 एक् प् 7वा प् 5 इ 0 ट सर इस पॉइंट का इससे हमें डिस्टेंस पता करना है सर वो तो बहुत सिंपल था पर बोल रहा है अलोंग द लाइन कोई एक लाइन होगी यानी कि 2x माइवा इ 0 इसके अलोंग मतलब कि यह डिस्टेंस पूछा जा रहा है यह डिस्टेंस नहीं पूछा जा रहा है तो यह बहुत अच्छा क्वेश्चन है आपकी एनसीईआरटी का मिसलेनियस का जो आपको जरूर करना चाहिए तो सर अब इसको कैसे सॉल्व करें हम यह इंटरसेक्शन पॉइंट निकालेंगे कैसे सर ये दोनों लाइन पैरेलल होगी क्योंकि अलोंग बोल रहा है तो यहां से स्लोप अगर आप देखो तो स्लोप है टू स्लोप आपकी हो गई टू और पॉइंट आपका टू है तो इस लाइन की इक्वेशन क्या हो जाएगी y - 2 = 2 * x-1 तो y - 2 2x - 2 तो y = 2x लो सर वो आपकी वही लाइन आपकी लाइन हो गई y = 2x तो सर अब ये y इ 2x इसको यहां पर जाके कट करेगी तो उसका इंटरसेक्शन पॉइंट निकाल सकते हैं इस वैल्यू को इसमें पुट अप कर दो 4x प् 7 * 2x 7 टू 14 14 प् 4 18x = -5 x = - 5/1 तो y आपका हो जाएगा माइनस 5 बाना से मल्टीप्लाई कर दो तो सर यह पॉइंट आ गया तो सर अब आपको डिस्टेंस चाहिए तो व जो डिस्टेंस है वह क्या हो जाएगा रूट अंडर डिस्टेंस फर्मूला लगा देंगे तो सर न प्लस 5 बा 18 का स्क्वायर प्लस ट प्स 5 बाना का स्क्वायर का अंडर रूट सिंपल अलोंग द लाइन मेजर्ड अलोंग द लाइन अब आप उसको सॉल्व कर सकते हो उतना पार्ट मैं आपके लिए छोड़ रहा हूं तो क्वेश्चन को समझना जरूरी है फाइंड द डिस्टेंस ऑफ दिस लाइन फ्रॉम दिस पॉइंट अलोंग द लाइन अलोंग द लाइन तो आपको यह डिस्टेंस पता कर तो आप ये इंटरसेक्शन पॉइंट निकालेंगे लाइन का इक्वेशन करके और फिर डिस्टेंस फार्मूला से डिस्टेंस निकालेंगे डिस्टेंस फार्मूला से डिस्टेंस निकालेंगे तो एक अच्छा क्वेश्चन है ठीक है नेक्स्ट फाइंड द इमेज ऑफ द पॉइंट विद रिस्पेक्ट टू द लाइन एजूमिन द लाइन टू बी अ प्लेन मिरर सर इमेज के लिए मैंने आपको वो फूट वाला क्वेश्चन किया था तो यह मैं चाहता हूं आप खुद करके देखिएगा सर कांसेप्ट बता देता हूं लाइन दी हुई है x प् 3y = 7 3 8 का इमेज चाहिए h के तो यहां पे एमा बी फूट होगा तो पहले आप एमा बी निकालेंगे परपेंडिकुलर करके सेटिस्फाई करके और फिर इसको मिड पॉइंट बना के एच के निकल जाएगा यह मैं आपके लिए छोड़ रहा हूं तो यही था सर तो कुछ एक होमवर्क क्वेश्चन मैंने आपके लिए चुन के रखे हैं जिससे आप प्रैक्टिस कर सके यह देखिए शॉर्ट आंसर टाइप के क्वेश्चन है आप फोटो ले सकते हैं कुछ भी ले सकते हैं फिर यह वाला पार्ट है वेरी शॉर्ट था यह शॉर्ट है लॉन्ग आंसर बहुत जरूरी है सर जरूर करके देखिएगा और जो लास्ट में मैंने मिस लेजस कराया वो भी करिएगा ठीक है तो यहां पे यह चैप्टर कंप्लीट होता है मैंने जो होमवर्क दिया है सर जरूर करिएगा उस टाइप के क्वेश्चन सारे सॉल्व हो चुके हैं लेक्चर में लेक्चर देखते देखते आपको प्रैक्टिस में आ जाएगा तो आप वो प्रैक्टिस करेंगे मतलब जो क्वेश्चन मैंने होमवर्क दिए हैं तो आपका पूरा कांसेप्ट क्लियर हो जाएगा तो यह था स्ट्रेट लाइन यह बहुत ही जरूरी और बड़ा चैप्टर है इसको आप कर लेंगे तो कोनिक सेक्शन आपके लिए इजी होगा तो मिलते हैं नेक्स्ट क्लास में तब तक पढ़ते रहिए सॉल्व करते रहिए पीडब्ल्यू की पूरी आपके साथ है थैंक यू