निरंतरता और विभाज्यता (Continuity and Differentiability)

परिचय

• सभी छात्रों का स्वागत।
• जिन्होंने अच्छे प्रतिशत अंक प्राप्त किए, उन्हें बधाई।
• चिंतित होने की कोई आवश्यकता नहीं, अंक आपकी क्षमता को निर्धारित नहीं करते।
• वर्तमान पर ध्यान केंद्रित करें और आगे बढ़ें।

निरंतरता (Continuity)

• निरंतरता की परिभाषा:

  • यदि एक कार्य x = a पर निरंतर है, तो limit f(x) as x approaches a = f(a) होनी चाहिए।
  • ग्राफ पर पेन उठाने की आवश्यकता नहीं होनी चाहिए।

• निरंतर कार्य:

  • बहुपद (Polynomial) कार्य हर जगह निरंतर होते हैं।
  • अभाज्य कार्य (Exponential functions) निरंतर होते हैं।
  • लॉग (Logarithm) भी निरंतर है, जब x > 0।
  • |x| (Modulus) निरंतर कार्य है।

• अविराम कार्य:

  • सबसे बड़ा पूर्णांक (Greatest Integer) और अंशांश (Fractional Part) कार्य केवल पूर्णांकों पर अविराम होते हैं।
  • टैन (tan) x हर जगह निरंतर है, केवल 2n+1π/2 पर अविराम है।

संयोजी कार्य (Composite Functions)

• यदि g(x) निरंतर है x = a पर और f(g(a)) निरंतर है, तो f(g(x)) भी निरंतर है।
• यदि g(x) अविराम है x = a पर, तो f(g(x)) निरंतर या अविराम हो सकता है।
• यदि g(x) x = a पर असंगठित है, तो f(g(x)) हमेशा अविराम होगा।

अविरामता के प्रकार

1. हटाने योग्य अविरामता (Removable Discontinuity):

   • जहां limit अस्तित्व में है लेकिन कार्य का मान निरंतर नहीं है।
   • उदाहरण: f(x) = sin(x)/x जब x ≠ 0, और 0 पर 2।

2. अविरामता के पहले और दूसरे प्रकार:

   • पहले प्रकार: limit अस्तित्व में नहीं है।
   • दूसरे प्रकार: left-hand limit और right-hand limit अलग-अलग हैं।

मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय (Intermediate Value Theorem)

• यदि f(x) निरंतर है [a, b] पर और k f(a) और f(b) के बीच में है, तो कम से कम एक c ऐसा होगा कि f(c) = k।

विभाज्यता (Differentiability)

• विभाज्यता की परिभाषा:

  • कार्य f(x) differentiable है, यदि इसके dervatives exist करते हैं, विशेषकर:

    limit as h approaches 0 [(f(a+h) - f(a)) / h]
  • यदि राइट-हैंड और लेफ्ट-हैंड डेरिवेटिव्स समान हैं, तो कार्य differentiable है।

• ग्राफिकल दृष्टिकोण:

  • यदि ग्राफ पर कोई तेज़ कोना (sharp corner) है, तो कार्य differentiable नहीं है।

विशिष्ट बातें

• यदि f(x) differentiable है और g(x) differentiable नहीं है, तो f(x) + g(x) भी अविराम होगा।
• यदि दोनों कार्यों का उत्पाद है तो कुछ भी नहीं कहा जा सकता।
• एक कार्य को [a, b] में differentiable कहा जाएगा यदि वह हर b के लिए differentiable है।

निष्कर्ष

• निरंतरता और विभाज्यता के महत्वपूर्ण बिंदुओं पर चर्चा की गई।
• छात्रों को ग्राफिकल प्रश्नों का अभ्यास करने की सलाह।
• धन्यवाद। अगले सत्र में फिर मिलेंगे।