हेलो बच्चो कैसे हैं आप सब लोग आई हूप आप सबके सब बहुत बढ़िया होंगे बहुत मज़े में होंगे सबसे पहले स्वागत है आपका आज के सेशन में तो आज हम continuity and differentiability complete करने वाले हैं start से लेके end तक सारे important topics को हम लोग touch करने वाले हैं आज के session में पर सबसे पहले आप सबको बहुत बढ़ाईया जिन्नोंने बहुत अच्छे percentile score किया है जैमीन्स और जो बच्चे अच्छा score नहीं कर पाए हैं, तो बच्चा लोग कोई tension वाली बात नहीं है, ठीक है, ये numbers जो है, वो आपका potential decide नहीं कर रहे है, आपका potential बहुत ज़्यादा है, इन marks से, इन numbers से, अभी हम लोग bounce back करेंगे, अभी हम लोग बहुत अच्छा करने वाले हैं, अ� अब देखो आगे हम और बहुत अच्छा करेंगे, तो अभी के टाइम पे हमें अपने आपको जज नहीं करना है इन परसेंटाइल के उपर बेस्ट, मैंने बहुत सारे बच्चों को देखा है इंप्रूव करते हुए, फर्स्ट अटेम्स से सेकेंड अटेम्ट में बहुत ज� अपनी स्ट्रेटेजी में कमी रह गई होगी, अपनी मेहनत में थोड़ी बहुत कमी रह गई होगी, तो उसको हम लोग इंप्रूव करेंगे, परसेंटाइल अपना आप इंप्रूव हो जाएंगे, तो अभी के टाइम पे हमें पास्ट पे फूकस नहीं करना है, क्योंकि कई ठीक है, एक-एक second को बढ़िया से utilize करना, अभी बहुत time है अपने पास, नहीं न, second attempt तक भी time है, हम daily बहुत अच्छे से पढ़ते रहें, daily अपने present पे काम करते रहें, नहीं पास्ट के बारे में जादा सोचना है, नहीं future के बारे में जादा सोचना है, अभी अपने जो आत्म ठीक है, तो इसे के साथ चलिए शुरुवात करते हैं आज के session की, तो continuity at a point, यहां से हम लोग शुरुवात करने वाले हैं, ठीक है, a function is set to be continuous at x is equal to a, if limit of function at x approaching towards a is equal to f of a, है न, की मतलब जो function पे x is equal to a पे जो value है, वही neighborhood के उपर value है, तो आपन बोलेंगे वो function, फंक्शन कंटिन्यूस है, मतलब उसके लिमिट की वैलियो, लिमिट एक्स अप्रोचिंग टूवर्ट्स ए एफ एक्स, अगर वो एफ ऑफ एके ही इक्वल आ जाता है, तो अपन बोलेंगे फंक्शन कंटिन्यूस है, मतलब देखो लिमिट एक्सिस्ट करनी चाहिए, है न, ल इसका मतलब तो हो गया कि देखो limit exist कर गई, and that should be equal to the value of the function at a, वो f of a के equal होना चाहिए, तब अपन बोलेंगे कि function is continuous at x is equal to a, तो अगर हमें ग्राफ बनाने में उस पॉइंट के उपर pen उठाने की जरूरत ना पड़े, तो अपन बोलेंगे कि वो function continuous है उस पॉइंट पर, कि suppose ऐसा सा कोई function है, this is x is equal to a, ठीक है, this is, एक्स बराबर ए तो एक बराबर ए पर यहां पर फंक्शन कंटिनियस है नहीं पड़ी पर यहां है ना, तो यहाँ पे limit exist कर रही है, but वो f of a के equal नहीं है, या फिर function को जिस प्रकार का हुआ, कि जैसे ऐसा हो गया, ठीक है, अब यहाँ पे तो limit ही exist नहीं कर रही है, x बराबर a पे, इधर limit ही exist नहीं कर रही है, left side से जाओगे, तो कुछ और value की तरफ approach कर रहा है, right side से जाओ� मतलब graph बनाते हुए अगर मैं को pen उठाने की जरूरत पड़ रही है, तो function discontinuous है, otherwise function continuous है, यह simple सी definition रहती है, ठीक है, polynomial functions are everywhere continuous, y is equal to a की power x, exponential function है, इसका graph अपन जानता है, continuous graph रहता है, log है, log भी continuous graph है, for x greater than 0, अपनी domain के अंदर log का graph भी continuous graph है, ठीक है, modulus of x, it is a continuous function, क्योंकि y is equal to modulus of x का graph बनाते हुए, हमें कहीं पे भी pen उठाने की जरूरत नहीं पड़ रही है, greatest integer of x and fractional part of x, discontinuous होते हैं, but कहां पे, सिर्फ और सिर्फ integers पे, बाकि हर जगे वो continuous रहते हैं, integers के उपर हमें pen उठाने की जरूरत पड़ती है, ठीक है, tan x is continuous everywhere, except 2n plus 1 pi by 2, है न, तो यहां पे यह discontinuous हो जाता है tan x, ठीक है, चलिए, if gx is a continuous at x is equal to a, and fx is continuous at g of a, then f of gx is continuous at x is equal to a, तो यहाँ पे composite function के बारे में बाते चल रहे हैं, कि composite अगर दो function का है, एक function fx दे दिया, दूसर जी एक्स दे दिया, अब यहाँ पे बुला गया है, कि अगर gx continuous हो x बराबर a पे, और f continuous हो at g of a पे, तो यह f of gx function continuous हो जाएगा x बराबर a के उपर, if gx is discontinuous at x बराबर a and f of gx may or may not be discontinuous at x बराबर a, gx अगर discontinuous है यहाँ पे जो input है वो discontinuous है x बराबर a पे, तो यहाँ पे इनका composite continuous हो भी सकता है, discontinuous भी हो सकता है, depends guys, जैसे कि अगर मैं एक function लेता हूँ gx, बराबर greatest integer of x x बराबर 2 पे बात करूँ अगर मैं तुमसे पूछू को x बराबर 2 पे क्या ये continuous है क्या आप बोलोगे नहीं ये continuous क्योंकि greatest integer है it is discontinuous at x बराबर 2 एक function ले लिया मैंने signum of x fx लिया है अपने signum of x अगर मैं f of gx के बारे में बात कर रहा हूँ तो f of gx हो जाएगा कितना f of gx हो जाएगा signum of greatest integer of x greatest integer of x तो discontinuous है x बराबर 2 पे, but signum of greatest integer of x continuous हो जाएगा x बराबर 2 पे, क्योंकि 2 plus पे देखा जाए, तो ये greatest integer 2 value दे देगा, signum of 2 की value 1 हो जाएगी, 2 minus पे देखा जाए, तो greatest integer of x 1 value दे देगा, और signum of 1 भी 1 के ही equal है, तो 2 plus पे, 2 minus पे, 2 पे, तीनु पे इसकी जो value है, वो 1 ही आ रही है, तो 2 पे ये continuous function हो जाएगा. तो बात इतनी सी है कि भी आगर ये input जो है, if the input is discontinuous at something, इनपुट discontinuous है x बराबर a पे, तो ये जो f of gx हो continuous भी हो सकता है, discontinuous भी हो सकता है, depends, but देखो तीसरा point देखो, if gx is undefined, undefined ही हो x बराबर a पे, इनटा gx undefined ही हो x बराबर a पे, तो f of gx is definitely discontinuous at x बराबर a, कि suppose मैंने एंड कोई fx function ले लिया, which is 1 upon x, ठीक है, अगर मैं f of gx के बारे में बात करूँ, अब gx देखो discontinuous है बेटा, x बराबर 2 पे ये, discontinuous क्या, undefined है ये, it is not even defined at x बराबर 2, तो f of gx, f of gx is definitely discontinuous at x बराबर 2, ठीक है, तो second point और third point में difference समझ पा रहे हो न, second point के अंदर discontinuous है x बराबर a पे, और third point के अंदर gx undefined है x बराबर a पे, एक बार बटू पर जीएक्स इस नॉट इवन डिफाइंड ठीक है तो एफ ऑफ जीएक्स डिसकंटिन्यूस होगा एट एक्स इग्वल टू ए फ्लाइड इग्वल टू एफ एक्स इस सेट टू बी टू इन्टरवल के बारे में बात कर रहे हैं कि किसी इंटरवल के अंदर फंक्शन कंटिन्यूस डिसकंटिन्यूस है ना तो अगर ओपन ब्रैकेट एट उपी के बारे में बात किया जाए तो अगर फंक्शन कंटिन्यूस है एट एवरी पॉइंट बिट्वीन दे If y is equal to fx is said to be continuous, अगर close bracket के बारे में बात कर रहे हैं, close bracket a to b के बारे में बात करी जा रही है, तो अपन continuous तब बोलेंगे किसी function को in the close bracket a to b, if it is continuous in open bracket a to b, a से b के बीच में हर point के उपर continuous हो, और end points के उपर देखना ज़रा क्या है, end points पर इतनी सी बात है, कि limit x approaching towards b minus fx is equal to f of b. that is it should be left continuous at x बराबर b, है ना, x बराबर b पे left continuous होना चाहिए, right का हमको मतलब नहीं है, है ना, close bracket a to close bracket b के बारे में बात करने जा रहे हैं, तो x बराबर b पे left continuous होना चाहिए, b के right में क्या हो रहा है, हमको नहीं फरक पड़ रहा, क्योंकि हम interval close bracket a to close bracket b में ही बात कर रहे हैं, and it should be right continuous at x बराबर a, है ना, x बराबर a पे right continuous होना चाहिए, है ओके नाओ अब डिसकंटिनिटी के टाइप कौन-कौन से होते हैं पहला टाइप देखो एक तो थी रिमूवेबल टाइप ऑफ डिसकंटिनिटी एक होती रिमूवेबल टाइप ऑफ डिसकंटिनिटी ए रिमूवेबल टाइप ऑफ डिसकंटिनिटी में लिमिट ही एक्स न डाज नॉट एक्जिस्ट तो इस टाइप की डिसकंटिनिटी के अपन इन रिमूवेबल इर रिमूवेबल टाइप ऑफ डिसकंटिनिटी में लिमिट एक्जिस्ट यहां पर लिमिट एक्स अप्रोचिंग टूवर्ड्स ए एफ एक्स एक्जिस्ट यह एक्जिस्ट कर रही है यहां पर तो इरिमूवेबल में भी दू टाइप की डिसकंटिनिटी आती है, डिसकंटिनिटी आफ फर्स्ट, डिसकंटिनिटी आफ सेकंड काइंड, इसके बारे में थोड़ा समझ लेते हैं, देखो पहले तो रिमूवेबल टाइप आफ डिसकंटिनिटी, रिमूवेबल में जैसा कि But exactly a के उपर value क्या है?
Exactly a के उपर value कुछ और है, exactly a के उपर value n आ रही है, so limit exist कर रही है, but that is not equal to the value of the function at a, तो इस type की discontinuity को अपन removable, removable क्यों? क्योंकि अगर मैं थोड़ा सा change कर दू, अलका सा अगर मैंने change किया, कि अगर a के उपर value है, वो मैं define अलग कर दू, तो यह इसको continuous बनाया जा सकता है. इसको बोलेंगे isolated point discontinuity, देखो feel आ रही है न, नाम से ही समझ में आ रहा है, isolated point, यह point isolated है, okay, इधर देखो missing point discontinuity, कि limit exist कर रही है, but exactly a पे function की value नहीं define कर रखे, है न, वो अगर हम define कर दे, तो discontinuity remove हो जाएगी, ठीक है, तो इसको अपन बोलेंगे missing point discontinuity, for an example देखो यहाँ पे, कि एक function fx defined है, sin x upon x when x is not equal to 0, and when x is equal to 0, the value of the function is equal to 2, ये हमने define कर रखी है, तो अगर 0 पे मैं limit देखो ना, limit x approaching towards 0 fx, तो that is equal to 1, है न, limit x approaching towards 0 fx, वो तो exist कर रही है न, वो तो हमें पता है कि limit x approaching towards 0, sin x by x, इसकी value 1 के equal होती है, पड़ पंगा क्या हो रहा है यहाँ पे, कि x बराबर 0 पे value इसने 2 defined कर रखी है, अगर मैं हलका सा change कर दूं, कि यह value 2 ना defined करके 1 defined कर दूं, तो क्या discontinuity remove हो जाएगी क्या, बिलकुल हो जाएगी, है न, discontinuity यहाँ पे remove हो जाएगी, अगर मैंने value पे हलका सा changes किया तो, तो यह हो अब एरिमूवेबल टाइप ऑफ डिसकंटिनिटी समस्ते हैं, जहां पे लिमिट ही एक्सिस्ट नहीं कर रही हो, और लिमिट कब कब, क्या सिनारियो हो सकते हैं कि लिमिट एक्सिस्ट नहीं कर रही हो, एक तो ये सिनारियो हो सकता है, कि लेफ्ट एंड लिमिट, राइ� एफ एलेचिल एंड आरेचिल डॉज नॉट एक्सिस्ट नहीं कर रही हूं लेफ्ट एंड लिमिट राइट एंड लिमिट है ना एक्वल होना दूर की बात है यहां पर एक्सिस्ट ही नहीं कर रही है पिछले वाले केस में एक्वल नहीं थी एक्सिस्ट कर रही है ना, zero के neighborhood के अंदर क्या value कुछ है क्या, zero के neighborhood में कुछ भी value अपन नहीं बता सकते हैं ना, क्योंकि zero के neighborhood में यह sign of infinity बन जाएगा, sign of infinity की we don't know the value of sign of infinity, ठीक है, वो बात होगे, यहाँ पर भी देखे जरा, कि x less than or equal to zero के लिए तो x है, और x greater than zero के लिए 1 by x है, तो यहाँ पर तो यहाँ पर right hand limit ही exist नहीं कर रही है, तो यह भी discontinuous हो गया यहाँ पर, ठीक है, फिर आते हैं intermediate value theorem के उपर, अब, if y is equal to fx is continuous on a to b, and k is any number between f of a and f of b, then there is at least one number c, such that f of c बराबर k, बहुत ही simple सी चीज़ है, कि देखो x बराबर a पे value f of a आ रही है, x बराबर b पे value f of b आ रही है, तो बीच में कोई तो value जरूर आईगी जहांपे ये value K भी achieve कर रहा होगा there is at least one C एक तो point जरूर होगा C ही जहांपे ये value K achieve कर रहा होगा ठीक है तो ये simple सी intermediate value theorem है if fx is continuous in A to B then there is at least one value of X है ना let's call that value as C such that f of C is equal to f of A plus f of B by 2 simple सी चीज़ है यार कि suppose है अगर कोई कंटिन्यूस ग्राफ है किसी सब्सक्राइब करें और कंटिन्यूस ग्राफ और कल को पचास रुपए हो गया और कंटिन्यूस ग्राफ बीच में जंप आ गया तो मतलब इसमें बोलने में कोई बुरा ही नहीं है ना कि बीच में कि अगर A पे value F of A है, B पे value F of B है, तो A से B में कोई नो कोई पॉइंट जरूर होगा, जहांपे value F of A plus F of B by 2, उन दूनों का average भी achieve कर रहा होगा, है ना, आज 10 रुपे है, कल को 50 रुपे हो गया, तो बीच में कहीं 30 रुपे भी हुआ होगा share का price, if Fx is continuous in A to B, and if F of A into F of B is less than 0, then Fx has at least one root in A to B, है ना, A पे value, F of A, बी पे value F of B, अगर इनका product negative आ रहा है, इनका product negative कब आ सकता है, जब एक positive हो, दूसरा negative हो, तब ही product negative आएगा, कि हो सकता है F of A positive हो, F of B negative हो, या हो सकता है F of A negative हो, F of B positive हो, तो value देखो, negative से positive value जाने में, बीच में कहीं न कहीं तो value zero हुई भी होगी, है न, वही बात ब��ल रहा है कि ग्राफ अगर नेगेटिव से पॉजिटिव की तरफ जा रहा है, ये रही x-axis, अगर मैंको नेगेटिव से पॉजिटिव वैल्यू पहुँचानी है, तो बीच में कहीं न कहीं तो एक जगे पे x-axis को कट किया ही होगा, है न, कहीं न कहीं पे तो fx0 हुआ ही होगा, ठीक है, अब आ जाते हैं बात डिफरेंशिबिलिटी पे, डिफरेंशिबिलिटी right-hand derivative and left-hand derivative से, है न, उस पे बात करने से पहले, यहाँ पे एक बात समझते हैं एप वेल्यू एफ ऑफ ए है ना और किसी पॉइंट ठीक है भी है ना भी जो हमने एच डिस्टेंस पर लिया है ए से एच डिस्टेंस आगे गए हैं तो कोई पॉइंट भी हो गया तो इसका एक्स कॉर्डिनेट हो जाएगा एप लस्ट इसका वाइट कॉर्डिनेट हो जाएगा एफ ऑफ ए प्लस एच ठीक है एक पॉइंट हो गया एक ऑफ ए तूसरा पॉइंट हो गया एप लस्ट इन दूनों points को अगर मैं join करते हुए line बनाता हूँ, तो this is a secant, right?
Currently आपको ये secant की तरह दिख रही होगी, और अगर मैं ये secant की आपसे slope पूछूं की बताओ, slope क्या है ये secant की, तो secant की slope क्या बताओगे, कि y2-y1 upon x2-x1, तो y coordinate है यहाँ पे f of a plus h, यहाँ पे y coordinate है f of a, तो f of a plus h minus f of a, divided by x coordinate minus x coordinate, x coordinate यहाँ पे a plus h, यहाँ पे x coordinate a, तो a plus h में से a subtract करोगे तो denominator में क्या आजाएगा, h आजाएगा, है न, तो y2 minus y1 upon x2 minus x1, this is the slope of the secant, यह secant की slope है हमारे सामने, ठीक है, अब वहीं पर यगर मैं इस h को 0 को approach करा दो, मतलब point a, point b को बहुत करीब लेके आ जो, है न, h is approaching towards 0, तो यह secant tangent में convert हो जाएगी न, अगर ये दूनों points बहुत पास आ गए, देखो इधर ये इतना पास आ गए, h is approaching towards 0, तो this secant will convert into tangent, तो यही जो expression है, this will give us the slope of the tangent, अभी ये slope of the secant है, पर अगर मैं यहाँ पे एक limit लगा दू, limit h approaching towards 0, तो this will be the slope of the tangent, इसी को ही अपन dy by dx बोलते हैं, एना differentiation की कहानी यही से ही शुरू होती है, this is the first principle of derivatives, कि dy by dx की value क्या है, dy by dx की value हो जाएगी, f of a plus h minus f of a divide by h, where limit is h approaching towards 0, है ना, तो इसको अपन बोलते है right hand derivative at a, क्योंकि इसके just a के right में हमने point लिया है, तो this is the right hand derivative at a, so this becomes the slope of the tangent, है ना, at a from right, वहीं पे यगर slope of the tangent at a चाहिए from left, left से अगर मुझे, एंजेंट की स्लूप चाहिए तो बहुत सिंपल सी बात है कि यहां पर प्लस ही जगह पर माइनस ऐड लगा दो तो प्लस ही जगह फ़ डेश ए प्लस इट्स फॉर्मला विल बी लिमिट एच अप्रोचिंग टूबर्ड जीरो ओके एफ ऑफ ए प्लस एच minus f of a divide by h this is the right hand derivative at a यहीं भी अगर मैं h को minus h से replace कर दू हर जगे कर देना देखो उपर भी नीचे भी जहां जा h दिखाई दे रहा है उसको minus h से replace कर दो तो वो हमें मिल जाएगा left hand derivative limit h approaching towards 0 f of a minus h minus f of a, देखो यहाँ पे plus h की जगे minus h लगा दिया, denominator में भी minus h, so this is f dash a minus, यह आ गए अपने पास में left hand derivative at a, ठीक है, कि कोई point लिया है हमने x बराबर a, यह ले लेते है x axis, this is the point x बराबर a, अगर मैं इसके just right में point ले रहा हूँ न, h distance right में, ठीक है, एच डिस्टेंस राइट में पॉइंट लिया और इसको जॉइन किया, इनको जॉइन करने वाली सीकेंट की स्लूप निकाली, फिर अगर एच को जीरू को अप्रोच करा रहा हूँ, तो वो टेंजेंट की स्लूप दे देगा, है न, सीकेंट की स्लूप आ जाएगी यहाँ पे वहीं पर यगर मैं point H distance left में ले लेता हूँ, ठीक है, H distance left में ले लिया, ठीक है, तो इसका x coordinate हो जाएगा A minus H, और इसका y coordinate हो जाएगा F of A minus H, फिर से वही काम कर रहे हैं अपन, कि इधर ये tangent की slope निकाली, फिर H को 0 approach किया, तो ये, है न, secant की slope निकाली, H को 0 approach करेंगे, तो य अब differentiability की इतनी सी कहानी है कि अगर हम x बराबर a पर differentiable बोल रहे हैं किसी function को, है न, differentiable बोलने का मतलब हुआ कि इसके derivative exist कर रहा है, है न, तो differentiable तब ही बोल पाएंगे, ठीक है, कि limit x approaching towards a, f of x minus f of a upon x minus a exist, है न, यह कब exist कर पाएगा, यह limit कब exist कर पाएगी, हाँ जी, यह limit तभी exist कर पाएगी जब इसकी right hand limit, left hand limit दुनों exist कर रही हैं, क्योंकि limit की तो simple सी कहानी यही है, कि for limit to exist, the right hand limit and left hand limit has to be same, तो x approaching towards a plus, मतलब अगर x को मैं a plus h से replace करता हूँ, ठीक है, x को a plus h से replace करता हूँ, तो हमें यह right hand derivative मिल जाएगा, right, x को a plus h से replace किया, तो यही हमारे denominator में x को a plus h से replace करोगे, तो denominator में h बन जाएगा, यह हो गया right hand derivative, ठीक है, और अगर x को मैंने a minus h से replace किया है, है न, अगर x को a minus h से replace किया है, तो यह अपने को left hand derivative दे देगा, देखो x को a minus h से replace करोगे, तो यह मिलेगा, f of a minus h minus f of a, denominator में देखो, तो a minus h minus a, मतलब denominator में minus h बचेगा, तो जब right-hand derivative, left-hand derivative दुनों same हो, तब आपन बोलेंगे कि ये exist कर रहा है, तो limit this will exist if, if f-a plus पराबर f-a minus, ठीक है, मतलब right-hand derivative, left-hand derivative दुनों same हो, तब आपन बोलते हैं कि function is differentiable at that point, ऐना, right and derivative, left and derivative दोनों same हो, तबी अपन बोलेंगे function differentiable है उस point पे, और अगर दोनों same आ रहे हैं, ठीक है, right and derivative, left and derivative दोनों की value अगर same to same आ रही है, तो function का जो graph होगा न, वो smooth होगा उस point के उपर, otherwise graph के उपर एक sharpness आ जाएगी, एक sharp corner हमको दिखाई देगा, ठीक है, एक sharp edge दिखाई इस शापनेस इधर क्यों आई है, देखो ये दिख रहा है, ये तीखा सा कॉर्नर दिख रहा है, जहां सा हाथ भी कट सकता है, है न, ये तीखा सा कॉर्नर क्यों आ रहा है, क्योंकि यहाँ पर right hand derivative, left hand derivative दोनों की value same नहीं है, है न, ये बातें यहाँ पर देखो लिख रखी है, शाप कौनों दिखाई दे रहा है, देखो यहाँ पे right and derivative, कि एक है just left में अगर मैं tangent बना रहा हूँ उसकी slope, एक है just right में अगर मैं tangent बना रहा हूँ उसकी slope दूनों अलग लग है, और slope अलग लग है, slope are not same, right and derivative, left and derivative की value same नहीं है, तो यहाँ पे एक शापनेस दिखाई देगी या फिर नहीं है उस point पे अगर sharp corner है तो differentiable नहीं है अगर smooth graph है तो differentiable है ठीक clear चलिए तो right-hand derivative and left-hand derivative of fx is equal to x times modulus of x at x बराबर 0, यह हमें निकालना है, तो इसके दो तरीके होते हैं, बहुत basic सा example लिया है, जिससे कि आपको मैं दोनों तरीके दिखा पाऊंगे, क्या-क्या तरीके है इदर, है ना, तो देखो, पहला तो तरीका हो गया कि अपन right-hand derivative निकाले, limit h approaching towards 0, f of a plus h, minus f of a, divide by h, इस तरीके से निकाल रहोंगे हम right hand derivative, ठीक है, है न, this is f'a+, यह आता है अपने पास formula f'a+, correct, f'a-की जिंता मत करो, वहाँ पे h को minus h से replace कर देंगे, अब कौन से point के उपर हम देख रहे हैं, x बराबर 0 पे, मतलब मुझे f'0+, चाहिए न, f'0+, चाहिए, मतलब a की value 0 रख रहे होगे, रख दो a की value 0, तो limit h approaching towards 0, f of 0 plus h, माइनस एफ ऑफ जीरो डिवाइड बाई एच यह अपने पास सवाल है ठीक है तो एफ ऑफ एच माइनस एफ ऑफ जीरो डिवाइड बाई एच फंक्शन क्या है एफ ऑफ एक्स इस इकुल टू एक्स टाइम्स मॉडूलेस ऑफ एक्स तो एफ ऑफ एक्स कितना हो जाएगा यहाँ पे h से h cancel out भी हो गया बेटा, ठीक है, एक तो h cancel out हो गया numerator, denominator में, फिर भी एक h बच गया numerator में, और h क्योंकि 0 को जा रहा है, तो यह चीज कहां को चली जाएगी, 0 को चली जाएगी, तो यह अपने पास आ गया, right hand derivative f-0+, अगर वहीं पे मैं f-0-निकालने की कोशिश कर या फिर अगले वाले में रख दो, कि h की जगे minus h रखूँगा, तो यह बनेगा minus h into modulus of minus h divided by minus h, this is f'0 minus, ठीक है, यहाँ पे भी हमें same वही scenario दिखाई दे रहा है, कि minus h से minus h कट जाएगा, और modulus of minus h, जहाँ पे h 0 को approach कर रहा है, इसकी value भी 0 के equal ही हो जाएगी, तो f'0 plus की भी value 0 आ रही है, f'0 minus की value भी 0 आ रही है, तो दुनों की value same है, hence we can say that, कि LSD and RSD both of them are 0, hence this is differentiable at x बराबर 0, so this is one of the method, ठीक है, first principle से जा रहे हैं, but हमेशा अपने इस तरीके से नहीं जा रहे होंगे न, अपने इस shortcut तरीका अजमा रहे होंगे, shortcut तरीका क्या है, कि function define कर लो पहले तो, कि देखो fx क्या है, अगर x greater than 0 है, तो modulus positive के साथ open होके x into x, x square बना देगा, वहीं पर यह अगर x less than 0 है, तो यह modulus negative के साथ open होके, minus x square बना रहा होगा, this is our function, fx is equal to x square, and fx is equal to minus x square, ठीक है, derivative निकाल लो, f dash x की value निकाल लो यहाँ पे, तो f dash x हो गया, this is our shortcut, कि अपने क्या directly differentiate कर दिया, कि 0 के right में differentiate करोगे, f dash x की value किसके equal आ रही है, 2x के equal आ रही है, when x is greater than or equal to 0, minus 2x, x square का differentiation जानते हैं अपन, है न, for x less than 0, अब देखो, f dash 0 plus देखोगे, है न, f dash 0 plus, ठीक है, यहाँ पर अगर x 0 को approach करेगा, तो भी यह value 0 को ही जा रही है, and f dash 0 minus, है न, 0 minus पर भी यह value 0 को ही जा रही है, तो f dash 0 plus, f dash 0 minus, दोनों की value same आ गई, तो इधर से भी अपन left hand derivative, right hand derivative निकाल बट ये shortcut हमेशा काम नहीं कर रहा होगा, ऐसे कई cases होंगे जहांपे this shortcut does not work, ठीक है, तो वो मैं आपको cases बताना चाहता हूँ, कि भी या कहांपे, है न, shortcut नहीं काम कर रहा होगा, now shortcut does not work always, there are few exceptions, there are two cases where you should not use this shortcut, कि directly अपने differentiate करके देख ले, ये shortcut हर जगे नहीं काम कर रहा होता है, कौन से scenario में, देखो पहला scenario तो वो, जहांपे function continuous ही ना हो, आप direct shortcut लगाने बैठ गए, function continuous ही नहीं था, है न, यहाँपे देखो x greater than or equal to 2 पे value और x less than 2 पे value ही अलग-अलग है, f of 2 plus, है न, यहाँपे अगर मैं f of 2 plus की value देखूं, कि 2 के right के अंदर यह function की value हो गई, 2q plus 3, है न, तो 8 plus 3 कितना, 11 हो गया, और f of 2 minus क 12-2, that will be 10, so f of 2 plus f of 2 minus, दोनों की values ही अलग-अलग है, function continuous ही नहीं है, अगर function continuous ही नहीं है तो ये differentiable तो बिलकुल ही नहीं होगा, तोंकि differentiability की बात अपन बाद में कर रहे होते हैं, पहले continuity की बात कर रहे होते हैं, कि function continuous है कि नहीं है, डिफरेंशिबिलिटी क्या हो गया, वो तो smoothness का test हो गया डिफरेंशिबिलिटी, तो smoothness के बारे में तो आप तब बता रहे होंगे ग्राफ की, जब वो ग्राफ continuous तो हो पहले है, differentiable था कि नहीं था, एना क्या smooth था कि sharp corner था, पर यहां पर तो यह फंक्शन कंटिनिस है नहीं है तो डिफरेंशिबल तो बिल्कुल ही नहीं होगा तो यहां पर अगर मैं डायरेक्टली चॉटकट लगा रहा होता तो गलती हो जाती यह डायरेक्टली चॉटकट कि आपको गलत आंसर दे देता कि सब्सक्राइब को वह कि ऐसा सा चल रहा है फिर बाद में एक गैप आ गया और फिर वापस सी तो देखो यहां पर राइट एंड एरिवेटिव जस्ट लेफ्ट में टेंजेंट ड्रॉप करो राइट में टेंजेंट ड्रॉप करो टेंजेंट पैलल आ रही है बट यहां पर क्या डिफरेंशिबल पहले पाएंगे कि आपन डिफरेंशिबल नहीं पहले पाएंगे क्योंकि यहां पर डिसकंटिनियस है ठीक है तो डिफरेंशिबल है ना यहां पर अगर आप डायरेक्टली कमेंट कर रहे होंगे एफ डेश एक्स तो एफ डेश एक्स आ जाएगा इस फॉर एक्स ग्रेटर देना और एक्वल टू एंड इस फॉर एक्स लेस्ट देन टू तो इधर अगर मैं एप डेस्ट टू प्लस के बारे में बात कर रहा हूं ठीक है यहां पर एक एक्स को टू अप्रोच करूंगा तो थ्री इंटू फॉर कितना टूबल बन जाएगा और इधर भी एप डेस्ट टू माइनस यहां पर एक्स है तो हमेशा जब भी हम डिफरेंशिबिलिटी चेक कर रहे होंगे शॉर्टकट वाले मैथड से एन फर्स्ट प्रिंसिपल से डिफरेंशिबिलिटी वाले मैथड से कर रहे हैं डायरेक्ट शॉर्टकट वाले मैथड से अगर आप डिफरेंशिबिलिटी जहां पे, देखो x बराबर 0 पे function अलग से defined है, कि not equal to 0 पे तो function यह है, उसके neighborhood में values यह है, but x बराबर 0 पे function अलग से defined है, तो इस scenario के अंदर, अगर आप से पूछा जाए कि बताओ, x बराबर 0 पे differentiable है कि नहीं है, कि whether it is differentiable at x is equal to 0 or not, तो either अपनी shortcut apply नहीं कर रहोंगे, फर्स्ट प्रिंसिपल आफ डेरिवेटिव से ही जाने का है, है ना, इस वाले सिनेरियो में फर्स्ट प्रिंसिपल आफ डेरिवेटिव से जाना है, और इस वाले क्वेश्चन को मैं अलग से डिसकस करता हूँ अभी, इसके सारे केसिस, सारे सिनेरियो अपन डिसकस कर लेते है ठीक है कि fx is equal to x की power p into sin of 1 by x, where x not equal to 0, and at x is equal to 0, its value is 0, तो fx is continuous at x is equal to 0, for p greater than 0, यहाँ पे अगर यह x की power जो है न, positive है अगर x की power, तो यह continuous हो जाएगा, है न, कोई भी positive power ले लो, जैसे 0.5 ले लिया, या 1 ले लिया, या 2 ले लिया, 3 ले लिया, है न, किसी भी positive power पे यह continuous तो है ही, क्योंकि अगर suppose मैंने p की value 0.5 लिया, या फिर p की value suppose 1 ही ले लिया मैंने, तो अब यहाँ पर 0 plus पे देखोगे, तो 0 plus पे यह x 0 का approach करा देगा, sign of 1 by x infinity, देखो, 1 by x यहाँ पर infinity को जाएगा, पर 1 by x है किसमे, sign के अंदर है, sign के अंदर अगर infinity दे रहे हैं, तो sign values तो लेगा minus 1 ऐसा तो है नहीं कि sin of infinity चला जाएगा, ऐसा तो है नहीं, तो 0 into infinity वाला scenario तो नहीं है, देखो अगर 0 into sin of infinity दे रखा हो ना, तो वो 0 ही होता है बेटा, simple सी बात है, तो यहाँ पर अगर p positive number है, यह power जो है वो positive है, तो यह चीज 0 को जा रही है, 0 into sin of infinity 0 चला जाएगा, बस negative नही तो basically वो हो जाएगा 1 upon x, 1 upon x मतलब हो गया 0 अब denominator में आ गया, है न, कि 1 upon 0 हो जाएगा, 1 upon 0 into sine of infinity, वो फिर undefined हो गया, ठीक है, क्योंकि sine of infinity तो finite value है, minus 1 से 1 के बीच की कोई न कोई finite value आएगी, divided by 0, ओके, तो ये चीज तो infinity ले जाएगी, तो ये not defined हो जाएगा, है न, तो अगर p greater than 0 है, तब तो ये continuous है, और अगर p की value 1 से बड़ी कुछ भी आ जाती है, है न, 1.2, 1.3, 2, 3, है न, अगर ये power 1 से बड़ी है, तो ये differentiable भी हो जाएगा, देखिए, इसके differentiability कैसे check करेंगे, है है ना, which is f of h minus f of 0 divided by h limit is h approaching towards 0, this is f dash 0 plus, correct okay, अब f of h की value क्या हो जाएगी कि x की जग़े पर h रख दो, f of x is this तो f of h will be h की power p into sin of 1 by h, ठीक है, that is f of h, minus f of 0 f of 0 की value तो 0 है ही डिवाइड बाई हेच लिमिट इज एच अप्रोचिंग टूवर्ड जीरो तो दिस इस गाइस एफ डेस जीरो प्लस यह प्लस आ गया लिमिट यहां पर एच की पावर में है ना न्यूमरेटर में एच की पावर कितनी है पी डिनोमिनेटर में एच की पावर कितनी है तो यह बनेगा limit h approaching towards 0 h raised to the power p minus 1 into sine of 1 by h यह बन रहा है this is f dash 0 plus f dash 0 plus की value यह आ रही है और f dash 0 plus देखो defined होने वाला है अगर यह जो power है h की है ना क्योंकि यहाँ पे h 0 को जा रहा है और यह जो 0 की power है यह positive होनी चाहिए negative नहीं होनी चाहिए क्योंकि अगर ये 0 की power negative हो गये, मतलब 0 denominator में आ गया है न, वो फिर defined होगा न, तो इधर ये p minus 1, है न, ये जो power है p minus 1, that should be greater than 0, है न, power positive हो, so p should be greater than 1, तो वही बात बोली है कि अगर p greater than 1 है, तो differentiable भी हो जाएगा, तो f dash 0 plus की value आ जाएगी, है न, if p is greater than 1, ठीक है, if p greater than 1, तो f'0 plus की value 0 ही आ जाएगी, अगर p greater than 1 हुआ तो यह 0 into sin of infinity 0 बना देगा, और वही f'0 minus, and similarly, f'0 minus, 0 minus में देखो, simply h की जगह minus h रख रहे होंगे, इतना ही तो फरक पड़ रहा है, h यहाँ पे भी 0 का approach कर रहा है, तो f'0 minus की value भी 0 ही आ जाएगी, तो f'0 plus की, f'0 minus दोनों की value 0 आ रही है, if this power is greater than 1. ओके, तो if p is greater than 1, then it is differentiable also, ठीक है, मतलब अगर x की power 1.5 कर दी मैंने यहाँ पे, तो this function is a differentiable function, ठीक है, power should be greater than 1 for it to be differentiable, है न, simple है, चलिए, अब देखो आगे बात करते हैं, if fx is differentiable and gx is not differentiable at x बराबर a, then fx plus gx is always non-differentiable at x बराबर a, दो function, एक function मैं differentiable लिया, दूसरा non-differentiable ले लिया, तो उसका summation या उसका subtraction non-differentiable होगा, एक differentiable और एक non-differentiable को add कर दिया जाए, तो वो non-differentiable आने वाला है, ठीक है, बट अगर मैं दो non-differentiable function को add करूँ, है न, तो अपन कुछ भी नहीं हो सकता है, दो non-differentiable function का summation, differentiable भी हो सकता है non-differentiable भी हो सकता है, ठीक है तो differentiable functions का summation, of course, that is going to be differentiable, है ना बेटा, so nothing can be said about their product and division, मतलब एक differentiable और एक non-differentiable functions का product, उनका division, उसके बारे में कुछ नहीं बोल सकते, वो function to function depend करता है, ठीक है, product of two non-differentiable functions can be differentiable, है ना, तो non-differentiable function का product differentiable हो सकता है, उनका sum भी differentiable हो सकता है, okay, अब अगर interval के बारे में बात करें, तो fx is said to be differentiable in a to b, if it's differentiable for all x belonging to a to b, a से b के बीच में, अगर हर point में differentiable है, तो function भी differentiable कहा जाएगा, ठीक है, fx is said to be, अगर मैं close bracket के बारे में बात कर रहा हूँ, close bracket a to b के बारे में, differentiable तभी बोला जाएगा, जब उसके बीच में तो हो ही differentiable, right and derivative exist करना चाहिए at x बराबर एपे, एंड लेफ्ट एंड डेरिवेटिव एक्सिस्ट करना चाहिए एट एक्स बराबर बीप है ना कि एसे बीच में बात कर रहा हूं तो रा right hand derivative exist कर रहा हो a पे, and left hand derivative exist कर रहा हो b पे, बस इतनी simple सी बाते हैं, अब इस type के अगर function आता है, अब ये graphical questions हो जाते हैं, कि maximum of x, x cube है न, इसकी differentiability बतानी है, minus 1 से 2 के interval के अंदर, तो ये थोड़े graphical questions बन जाते हैं, तो इसके अंदर अपन क्या करेंगे, कि y is equal to x, and y is equal to x cube, वाइज इकुल टू एक्स का ग्राफ ना लो वाइज इकुल टू एक्स क्यूब का ग्राफ ना लो तो वाइज इकुल टू एक्स का ग्राफ तो वाइज इकुल टू एक्स क्यूब का ग्राफ ना लो तो वाइज इकुल टू एक्स क्यूब का ग्राफ ना लो कहां पे meet करेंगे ये दोनों graph, ये x बराबर 1 पे, 1 पे क्योंकि दोनों की value same आ जाती है, and minus 1 पे, यहां पे ये दोनों meet करने वाले हैं, ठीक है, हमें minus 1 से 2 close bracket के interval में बताना है, कि कितने point पे non-differentiable है, कहां पे ये non-differentiable आ रहा है, तो इन दोनों में से maximum चाहिए, maximum मतलब माइनस वन के लेफ्ट में क्या हो रहा है हमको इससे मतलब नहीं है ठीक है क्योंकि क्लोज ब्रैकेट माइनस वन टू क्लोज ब्रैकेट टू इसी इंटरवल में बताना है तो माइनस वन के लेफ्ट का तो मैंने ग्राफ हटाई दिया है तो माइनस वन से ही चालू कर रहा हूं पहले ऊपर कौन है पहले ऊपर है यह पिंक वाला ग्राफ तो उसके ऊपर मैंने बना है कि दिस इज आर फाइनल ग्राफ ठीक है इधर तक यह जीत रहा है इधर तक यह ऊपर है उसके बाद में यल्लो वाला ग्राफ ऊपर है उसके बाद मैं यहाँ पर देखो चीजे चीज हुई ना हराद बदल गया यहाँ पर यह यलो वाला ग्राफ उपर आ गया तो इदर तो देखो एक्स क्यूब वाला ग्राफ है उसके बाद मैं ग्राफ बदला वाई इस इकूल टू एक्स वाला ग्राफ आ गया तो यह माइनस वन से और यहाँ पर करीबन एक्स बराबर टू इदर के एक्स बराबर टू होगा यहां पर यह वाला ग्राफ उठा दिया ठीक है तो दिस इज आर फाइनल ग्राफ यह हमारे पास पाइट ग्राफ आ गया अब इस ग्राफ को देखकर आप बताओ कि कहां-कहां पर इस ग्राफ ने चीजें बदली है ठीक है कहां-कहां पर बदलाव आया है इस ग्राफ में तो जिधर-जिधर अपने को शार्प कॉर्न कि एक तो हमें x बराबर 0 पे sharp corner दिखाई दे रहा है, है न, कि x बराबर 0 पे एक sharp corner, यहां तक x cube का graph है, फिर y is equal to x line चालो हो गए, है न, इधर तक y is equal to x cube, फिर y is equal to x line, तो इधर एक sharp corner हमें देखने को मिलेगा, तो x बराबर 0, तो x बराबर 0 पे यह non-differentiable हो गया, कि 1 से पहले तक तो y is equal to x line है, उसके बाद y is equal to x cube curve आ चुका है, तो x बराबर 1, ये दो points ऐसे हो गए, जहांपे ये non-differentiable हो गया, non-differentiable, इस interval में, in this interval, these are the two points where it is non-differentiable, ठीक है, minus 1 के left में अगर maximum वाला graph बनाएंगे, तो यहाँ पे भी एक sharp corner अपने को दिख जाएगा, but क्योंकि देखो close bracket minus 1 है न, close bracket minus 1 है, तो minus 1 के left में क्या है, वो हमें क्या फरक पढ़ रहा है, right derivative exist कर रहा है न, minus 1 के, तो minus 1 का right derivative exist कर रहा है, बस simple, तो x बराबर 0 and x बराबर 1, these are the only two points in this interval, where it is non-differentiable, तो बस इतनी इसी बात है थी, इसी के साथ हम लोगों ने आज continuity and differentiability के सारे important points cover कर लिये हैं, continuity बहुत ही simple सा topic है, उसमें कोई बड़ी बात नहीं है, differentiability में थोड़ी graphical knowledge आ जाती है, कई बार हम question graph के मदद से कर रहे होते हैं, कि एक बार graph देख लो, graph के अंदर कहां पे sharp corners दिखा ही दे रहे हैं, जैसे modulus of x क तो इस तरीके से graphical questions बन जाते हैं, differentiability पे, तो वो graphical questions आप लोग जरूर attempt करिए, theory वाला part जो है, हमने differentiability का वो हमने cover कर दिया है, ठीक है, so now you can practice the questions on it, thank you everyone for being a part of this session, see you in the next one, till then take care, टाटा, बाइ बाइ, have a great day.