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रिलेशन और फंक्शन का संक्षिप्त अवलोकन

हाई गाइस, मेरा नाम है relation और मैं हूँ function और जब हम दोनों एक साथ मिल जाते हैं तो दुनिया हमें बुलाती है relation and function तो पहले मेरी बारी क्योंकि आपकी पहली exercise रिलेशन के उपर based है और उसके बाद मेरी क्योंकि आपकी 1.2 exercise function के उपर based है So, my name is Relation and to be very honest ये word आपने बहुत बार सुना हैं Relation means simple रिष्टा और रिष्टे तो कई तरह के होते हैं माबाब का रिष्टा, husband-wife का रिष्टा, भाई-बहन का रिष्टा, यारी-दोस्ती का रिष्टा और एक रिष्टा रिश्ता जो हमारे बीच में है टीचर और स्टूटेंट का रिश्ता तो इस तरह से कई सारे रिश्ते इस दुनिया में मौजूद है लेकिन एक बात ऐसी है जो कि सभी रिश्तों के अंदर को मन है वह बात यह है कि किसी भी रिश्ते के एक्जिस्टेंस के लिए कम से कम बात होना जरूरी है भाई और बहन का रिष्टा टीचर और स्टूडेंट का रिष्टा तो कम से कब दो लोग तो होने ही चाहिए और दूसरी कॉमन बात यह है कि हर रिलेशन के लिए कोई ना कोई कंडीशन होती है मैं आपको पढ़ा रहा हूं यह जो है वह जरूर लगती है अब आजाओ मैच की दुनिया में और यहां पर भी यही कॉनसेप्ट यूज होने वाला है एक्सांपल आपको समझाता हूं दो सेट मैंने आपके लिए लिए हैं सेट ए और सेट बी इनके अंदर elements आपको दिखाई दे रहे हैं सेट ए के अंदर है 1, 2, 3 और बी के अंदर है 4, 5, 6 अब 11th क्लास में आपने Cartesian product निकाला था एक रोस भी निकालते थे न आप सेट का बहुत आसान था कि हर एक element को हर एक element के साथ लिख देना जैसे कि यहाँ पर अगर मैं इस A और B का निकालू Cartesian product तो यह आएगा कि हर एक element को 1 को 4, 5, 6 के साथ लिख दिया फिर 2 को 4, 5, 6 के साथ लिख दिया फिर 3 को 4, 5, 6 के साथ लिख दिया तो यह इसका पूरा कार्टिशियन प्रोडक्ट निकल के आ गया, अब relation, relation का मतलब है कोई condition आपको दी जाएगी, और आपको यह check करना पड़ेगा, कि उस condition के according relation बन रहा है या नहीं बन रहा, उस condition के according कोई ना कोई element set में से मैं ले पा रहा हूँ या नहीं ले पा रहा, example से समझाता हूँ यह भी, और अच्छे से समझ में आएगी बात, अब यहाँ पर हमें condition दी गई relation बनाने की, कि relation बनाओ, ए और बी element होने चाहिए, such that, किस तरीके, दिखें से कि एपिलेस भी सेवन के इक्वल है अब नजर मारो यह आपका इनका सेट का कार्डिशन प्रोडक्ट निकल किया आ गया अब यहां पर कहां-कहां पर एपिलेस भी सेवन हो रहा है देखो आप यहां पर 601 यहां सेवन होगा ठीक है जी फाइव टू यहां सेवन होगा और कहां होगा थी और फोर पर सेवन होगा यहां तीन जंगा तीन एलिमेंट हमें मिल गए जहां पर यह सेवन बन रहा है अब रिलेशन के अकॉर्डिंग यह आपका सेट बना है इस कंडीशन के अकॉर्डिंग अब ध्यान देने लेने वाली बात कि जो आपका रिलेशन का सेट बनेगा वह हमेशा सबसेट होगा आपके मैन सेट का बई हमारे मैन सेट और भी इनका यह कार्टिशन प्रोडक्ट है तो यह हमेशा इसका सबसेट होगा मतलब इसमें जो एलिमेंट आएंगे वह मैन सेट के के अंदर से ही लिए गए हैं तो यह बात ध्यान रखना कि जो रिलेशन नया बनता है वह हमेशा सबसेट होता है मैन जो हमारे हमारा सेट है अब यहां पर ध्यान देने वाली कुछ बात है कई बार ऐसा भी हो सकता है कि आपको एक ऐसा रिलेशन देना बनाने को दिया जाए कि जिसके अंदर कोई भी एलिमेंट सिलेक्ट ना हो पाए या कुछ भी एलिमेंट नहीं आ जाएगा तो उस सेट को हम नाम देते हैं एमटी सेट इसका भी एग्जांपल समझो चीजें क्रिस्टल क्लियर हो जाएंगी अब according relation बनाई है, condition क्या है कि element हमें a और b लेने है such that इस तरीके से कि a गुणा b, a into b वो more than equal to 20 होनी चाहिए मतलब जब हम इन elements के अंदर x और y जो आपके domain और range होते हैं या a और b के जगा पर जो number रिखे हुए हैं अगर हम उनकी multiply कराएं या 20 से ज्यादा आए अब आप नजर मारिये 4 एकम 4, 5 एकम 5, 6 एकम 6 4 दुनी 8, 5 दुनी 10, 6 दुनी 12 4 दुनी 12 3, 5, 15, 6, 3, 18 20 से ज्यादा या 20 तो किसी में भी नहीं आ रहा इट मीन्स इस relation के according यहाँ पर से कोई सा भी element हम नहीं ले पाएंगे तो यह relation हमारा कहलाएगा empty relation तो यहाँ पर हम कहे सकते हैं कि R हमारा क्या है? फाई है मतलब empty relation है इसी तरीके से एक दूसरी type बन जाएगी universal relation की जिसके अंदर से सारे element यह जो हैं भागते हुए चले आएंगे शामिल हो जाएंगे एग्जाम्पल से समझाता हूँ यह हमें relation की condition दी गई है कि A और B का relation में आना है such that B minus A अगर हम B मेंसे A को minus करें तो वो more than 0 होना चाहिए मतलब अगर हम बाद वाले मेंसे पहले वाला minus करें मतलब हम range मेंसे domain को minus करें तो 0 से ज़्यादा आना चाहिए अब आप देखो किस किस में 0 से ज़्यादा आ रहे है अब अगर आप नजर मारें ये आपका A है ये आपका B है हर एक element के अंदर 3 जीरो से ज़्यादा है बिलकुल है पाँच में से एक जाएगा चार बचेगा चार जीरो से जाधा है बिल्कुल है इस तरीके से आप अगर अब किसी में से सब में माइनस करके देख लो छे में से तीन माइनस करूँगा तीन बचेगा तीन जीरो से जाधा है बिल्कुल है इट मेंस जब मैं इसका रिलेशन बनाऊंगा यह सारे के सारे एलिमेंट जो हैं तो जब सारे के सारे एलिमेंट आ जाएं तो वो कौन सा होता है Universal Relation और ये सब सेट भी होगा इसका क्यूं क्यूंकि इसी के एलिमेंट इसके अंदर यूज हुए हैं सु क्लास ट्वेल्थ में मेजरली आपको तीन टाइप के रिलेशन समझने हैं तो पहला टाइप है आपका रिफ्लेक्सिव रिलेशन शीशे में जी हाँ जैसे कि आप यहाँ पर मेरी रिफ्लेक्शन देख सकते ही अब रिफ्लेक्शन मतलब हूबहू as it is जैसे की मैं यहाँ पर हूँ वैसे ही मैं यहाँ पर हूँ तो ऐसा ही relation जिसके अंदर क्या हो जो element हो वो same हो मतलब की जो set के अंदर element आए वो बिलकुल as it is हूबहू आए 1 है तो 1 1 2 है तो 2 2 3 है तो 3 3 4 है तो 4 4 x है तो x x b है तो b b c है तो c c d है तो d d समझ जाओ इससे ज़्यादा Flexive relation मैंने आपको समझा दिया कि जहांपर आपका A और A मतलब आपका X और Y दोनों ही जगा same element, domain और range दोनों ही जगा same element हमें मिल जाए. एक्जामपल लिखित में भी देख लिजिए, हमें एक set दिया गया है A जिसके अंदर element है 1, 2, 3, अगर हम इसी set का Cartesian product निकालेंगे इसी से, तो भाईया 1, 2, 3 की ही multiply 1, 2, 3 में होगी, मतलब हर एक element को हर एक element के साथ में लिखना पड़ेगा, जैसे मैंने यहाँ पर लिख गया, फिर 31 के साथ, 32 के साथ, 33 के साथ, यह सारा इसका Cartesian product आ गया, अब मैंने क्या बताया, Reflexive relation मतलब, ऐसा relation जिसके अंदर, जो set के अंदर, जो आपके element हो, वो same हो, x और y की ज़्यागा, same element मिल जाए, तो कितनी ज़्यागा मिल रहा है, 11, 22, और 33, तो यह तीन element मैंने उठा लिये, तो यह मेरा एक relation बन गया, तो इस relation को मैं कहे दूँगा, कि यह एक Reflexive relation है, सवाल exercise में आएंगे आपको कुछ set दिये गए होंगे आपको उसकी set building form या roster form पहले सोचनी पड़ेगी दी गए होगी तो बहुत अच्छी बात है उसमें आपको सोचना है देखना है और बताना है कि set की कुछ condition दी जाएगी relation की बनाने की और फिर बताओ क्या ये relation कौन सा है क् सिमिट्रिकल वर्ड बना है सिमिट्री से और ये वर्ड आपने जरूर सुना होगा बच्पन के छोटी क्लासिस के अंदर आपने सिमिट्रिकल शेप्स भी पढ़ी होंगी जिसका मतलब होता है कि अगर हम किसी शेप को बिल्कुल बीचो बीच में से आधा आधा डिवाइड कर बीचों बीच में इस तरीके से यह शीषा रख देता हूं यह मिरर प्लेस कर दिया तो भी यह शेप हमें पूरी की पूरी नजर आ रही है इसको हम कहते हैं सिमिट्रिकल शेप ऐसी ही बहुत सारे मॉनुमेंट्स हैं हमारे देश-भारत में जो बिर्कुल सिमिट्रिकल है आप दिल्ली का हिमायो टॉम देख लीजिए आप आग्रा का ताजमहल देख लीजिए या फिर आप मैसूर का हिंदू टेंपल देख लीजिए यह सब सिमिट्रिकल है तो अब समझते हैं सिमिट्रिकल रिलेशन क्या होता है मेरे प्यारे बच्चों एक ऐसा रिलेशन जिसके अंदर जो एलिमेंट्स हैं हैं वह इस तरह से है कि उनके अंदर कोई सिमिट्री बन रही है मिसाल से समझाता हूं बहुत अच्छे से बात समझ में आएगी जैसे कि यहां पर यह शेप है इसके इस पॉइंट को मैंने वन नाम दे दिया और इन दोनों पॉइंट को मैंने टू नाम दे दिया सेकंड नाम दे दिया अब अगर मैं इसको सिमिट्री के तोर पर एक मिरर यहां पर लगाकर देखने की कोशिश करूं तो यहां पर मैं क्या पाह रहा हूं यह फर्स्ट है यह पहले है यह सेकंड है यह बाद में है लेकिन इस मिरर के अंदर सेकंड वाला पहले आ रहा है और वस्ट वाला बाद में जा रहा है तो यही होता है symmetrical relation जिसके अंदर जो elements हैं वो क्या है बई पहले वाला बाद में आ रहा है और बाद वाला पहले आ रहा है मतलब element का जो order है वो reverse हो गया ऐसे ही relation को हम symmetrical relation बोलेंगे, अब मान लेते हैं कि हमें किसी relation के लिए कोई condition दी गई, जैसे कि मैंने आपको बता रखा है कि relation के लिए कोई condition दी गई होगी, अब उस condition के according ना ये element हमें मिल गए, 1, 2 मिल गया और 2, 1 भी मिल गया, जो भी condition दी गई होगी, तो ऐसा relation जिसके अंदर होना चाहिए एबी है तो भी एबी होना चाहिए पी क्यों है तो क्यों पी भी होना चाहिए तो ऐसे ही रिलेशन होंगे सिमेट्रिकल रिलेशन आइए जो एग्जांपल में आपको लेते हुए चल रहा हूं उसी एग्जांपल से इसको और क्लियर कर देता इफ एवन एटू ब्लॉंग्स टू आर अगर एवन एटू एक आर रिलेशन से ब्लॉंग्स करते हैं उससे तालुक रखते हैं तो फिर A2, A1 को भी belongs करना चाहिए R से, मतलब उसी relation के अंदर A2, A1 भी हो रहा चाहिए, मतलब वही बात A1, A2 है, तो A2, A1 भी होना चाहिए, ऐसे ही relation को हम बोलते हैं, symmetric relation, जहाँ पर A1, A2 किस में हैं, वो किसी set A के अंदर हैं, यहाँ पर example हमारे चल रहा था, set A हमारे पास हमें दिख रहा है ठीक है जी और क्या है अगर वन और थ्री है तो थ्री वन भी दिख रहा है अगर टू और थ्री है तो थ्री टू भी दिख रहा है तो ये एलिमेंट हमने एक जगह पर रखती है अब ये जो रिलेशन बन गया क्योंकि इसके अंदर वन टू है तो टू वन भ हो गया आपकी बुक में या आपके एकजाम में ऐसा ही सवाल आपको दिये जाएंगे करने के लिए कि आपको पहले तो एक सेट दिया गया होगा फिर कोई condition दिगई होगी कि इस condition के according आप relation बनाएगे फिर जब आप relation बनाएगे उसमें जो भी element आएगे फिर आपको वो check करना पड़ेगा कि क्या वो element reflexive relation बना रहे हैं क्या वो symmetric relation बना रहे हैं क्या वो तीसरी type जो है transitive relation वो बना रहे हैं या नहीं यह आपको बताना है तो आईए इसकी फटा फट से तीसरी type भी समझ लेते हैं जिसका नाम है transitive relation फिर हम इसके बाद exercise start करें My third type is transitive relation, बहुत आसान है, देखो यहाँ पर लिखा हुआ है, कि अगर किसी relation के अंदर, मतलब जो भी हमें set दे रखा है, उसके elements जो हैं, उसमें से हमने कोई relation बनाया, अगर उस relation में ऐसे element आ जाएं कि A1, A2 भी हमें उस relation के अंदर मिल जाएं, ठीक है जी और हमें A2, A3 भी उस relation के अंदर मिल जाए ये दोनों के साथ साथ अगर हमें A1 और A3 भी उसी relation में मिल जाए तो ऐसा ही relation कहलाएगा transitive relation जहाँ पर A1, A2 हो फिर A2 और A3 हो तो A1 और A3 भी साथ में होने चाहिए, अगर ऐसा है तो वो transitive relation है, example से आपको समझाता हूँ, clear हो जाएगा, यहाँ पर जैसे कि दे रखा है, set हमारे पास A है, वो ही example जो हम लेते हो चल रहे हैं शुरू से, 1, 2, 3, कार्टिशिन product आपका यह पूरा हो गया, अब हमें कोई condition द 23 और element आगे आपका 13 अब अगर आप यहाँ पे नजर मारे हमारे पास 12 आया 23 आया और 13 भी आ गया मतलब अगर मैं इसको A1 और इसको मैं A2 बोलू तो A1 A2 हमारे पास है ठीक है जी A1, A2 है और A2 और A3 हमारे पास है तो यहाँ पर A1 और A3 भी आ गया अगर ऐसी condition आ जाए मतलब इन दोनों के अंदर एक common है उस common को हटा के हमें बाकी के दोनों अलग से एक element के अंदर मिल जाएं एक bracket के अंदर मिल जाएं तो यह बन जाएगा transitive element यही बात हमसे कही गई यह कि अगर relation के अंदर A1, A2 है और A2 और A3 है अगर A1, A2 है और A2 और A3 है तो A1, A3 भी होना चाहिए जो कि यहाँ पर है ठीक है जी 1, 2, 2, 3 तो 1 और 3 भी अलग से अगर हमें कहीं देखने को मिल रहे हैं तो transitive relation कहला आएगा तो यह relation अब बन जाता है एक transitive relation तो यहाँ पर आपने मेरे यानि relation के तीनों types बहुत अच्छे तर समझ लिये example के साथ अब जाते हैं शो गाइस कैसा लगा आपको रिलेशन से मिलकर हूं अमीद करता हूँ कि बहुत मज़ा आया होगा तो आईए स्टार्ट करते हैं अब एक्सरसाइज 1.1 और ये पूरी की पूरी रिलेशन के उपर बेज रहे हैं फटा फट से इसके कुछ कुछ्चन देख लेजिए उसके बाद आपको मिलवाओंगा मैं फंक्शन से इस exercise के अंदर हर एक सवाल में यही करना है, क्या करना है, आपको कुछ sets दिये गए हैं, और आपको कुछ relation बनाने हैं, condition दी गई हैं अलग-अलग, जैसे कि इस relation को बनाने की यह condition दी गई है, यहां relation को बनाने की यह condition दी गई है, दी गई है और यहाँ relation को बनाने की यह condition दी गई है इनके according relation बन जाएगा फिर आपको यह बताना है कि यह जो relation यह जो रिष्टा बना है यह क्या है क्या यह reflexive है क्या यह symmetric है या फिर यह transitive है यह आपको बताना है तीनों टाइप आपको बहुत अच्छे से clear हैं तो आईए फटापट से try करते हैं इसका option number third में आपको करवाने जा रहा हूँ कैसे होगा आईए इसको option relation R in the set A, हमें एक set A दे रखा है, जिसके अंदर ये सारे के सारे element है, relation R हमें बनाना है, और किस तर���के से बनाना है, condition क्या है ये, relation की condition ये है, कि x, y हमें जो element लेने है, वो such that, इस तरीके से लेने है, कि y is divisible by x, कि y जो है, वो x से divisible हो जाए, x से divide हो जाए, x से भाग हो जाए, है यह पहले वाले से क्या होना चाहिए डिवाइड होना चाहिए भाग होना चाहिए ऐसे ऐसे एलिमेंट समय इस रिलेशन के अंदर रखने हैं तो आइए कैसे इस रिलेशन को बनाएंगे तो सबसे पहले यह सेट दे रखा है आपको ए अगर आप इसका कार्टिशियन प्रो� 3456 तो इन हर एक एलिमेंट को हर एक एलिमेंट के साथ लिखेंगे तो इनका कार्टिशन प्रोडक्ट निकल किया आएगा तो फटाफट से उसको आप निकाल लीजिए मैं भी यहां पर निकाल लेता हूं फिर बनाएंगे रिलेशन तो यह निकल गया तो यह आगे कार्टिशन प्रोडक्ट यहां पर अब इसको चाहे तो आप लिख सकते हैं या माइंड में भी सोच सकते हैं मैंने लिखा इसलिए ताकि आपको चीजें क्रिस्टल क्लियर में दिखा सकूं यह देखो यहां से बनाया है रिलेशन ठीक है तो कार्ट तो हर एक element को हर एक element के साथ लिख दिया, 1 को सब के साथ लिख दिया, 1, 2, 3, 4, 5, 6, पि 2 को भी सब के साथ लिख दिया, 3 को सब के साथ लिख दिया, 4 को सब के साथ लिख दिया, एसी 5 और 6 को भी सब के साथ लिख दिया, अब आईए, reflexive के लिए, तो relation क्या बनेगा, x और y लेना है, यह जो हमें a और b डिस्कॉम मानते हैं, y is divisible by x, कि y जो है, x से divisible हो जाए, अब reflexive की, कि अगर हम बात करें यहाँ पर सबसे पहले relation बनाएंगे चलिए बना लेते हैं फटा फट से तो क्या करना है reflexive में क्या होता है सेम element होते हैं 112233445566 इस तरीके से होते हैं तो क्या ऐसे कुछ element आपको दिख रहे हैं बिलकुल दिख रहे हैं आपको ये सब देखिए 11223345566 तो गया, 3, 3 हो गया, 4, 4 हो गया, 5, 5 हो गया, ठीक है जी, और आपका क्या हो गया, last one is 6 and 6 हो गया, ये मैंने लिख तो दिये, लेकिन क्या ये relation की condition भी follow हो रही है नहीं हो रही, ये भी जो देखना पड़ेगा आपको, जैसे कि y is divisible by x के बाद क्या ये 4, 4 से divide होता है, होता है 4 x 4, एक बार divide होता है, क्या 3, 3 से divide होता है, होता है 3 x 3, क्या क्या 6, 6 से divide होता है?

बिल्कुल होता है, 6, 1, 0, 6, क्या 5, 5 से divide होता है? अरे होता तो है, 5 एकम 5, तो it means, ये सारे के सारे elements ऐसे हैं, जिसके अंदर, ये वाला relation की condition भी follow हो रही है, कि बाद वाला, पहले वाले से divide होता है, और ये सब इसी के अंदर से लिये गए हैं, इसी का subset हैं, क्या ये relation, जो इस condition के according ये बना है, क्या ये एक reflexive relation है, है जी हाँ यही तो होता है reflexive relation जिसमें हमें element a और a एक से से हो तो 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 6, yes it is a reflexive relation आप लिख देंगे कि therefore it is a reflexive यहे एक reflexive relation है ठीक है जी इस तरीके से आपने देखकर पहचान लिया तो आईए बारी है अगला type चेक करने की जो की है symmetric आपको पता है कि अग तो 2-1 भी होना चाहिए और ये relation की condition प्रदेशन भी फोलो हो रही है दोनों बातों का ध्यान लग रहा है मैं रिल और हमें जो पूछा गया है वो तो आईए symmetric के according पहले इस condition के according देखते हैं कौन-कौन से element हमारे set के अंदर या relation के अंदर आएंगे y is divisible by x अगर हम symmetric को ध्यान में रखते हुए देखें symmetry क्या कहती है symmetry कहती है बईया अगर 1,2 है तो 2,1 भी होना चाहिए और example लूँ let's suppose मैं यहाँ पर example लेता हूँ किसका मैं यहाँ पर लेता हूँ 3 और 5 का 3 5 है और हमें 5 3 भी दिख रहा है तो यह बात भी सही है 3 5 है तो 5 3 भी दिख रहा है यहाँ से भी हम इसको symmetrical बोल सकते हैं लेकिन अगर मैं relation की condition के according रखूं देखूं तो क्या बात हमारी यह भी हमें देखना पड़ेगा for example अगर मैं यहाँ पर देखूं क्या है y is divisible by x कि बाद वाला पहले वाले से डिवाइड होना चाहिए अब यहाँ पर अगर आप देखें यहाँ पर तो ऐसा कुछ भी नहीं हो रहा यहाँ पर तो ऐसा कुछ भी नहीं हो रहा बाद वाला 3 है 5 से पूरा पूरा डिवाइड नहीं हो सकता बाद वाला 5 है 3 से पूरा पूरा डिवाइड नहीं हो सकता यहाँ पर बाद वाला 2 है फ़स गए जी हाँ इट मीन्स यह नहीं मिल पा रहे हमें इसे लिख तो देंगे बहुत सारे हैं लिखने को बहुत कुछ है आप यहां पर एक और चार ले सकते हैं तो आपको चार एक भी नज़र आ रहा है कहने को सिमेट्रिकल हो सकते हैं लेकिन कंडिशन देखो वाई इजी डिविजिबल बाई ए ला लें उसमें यह कंडीशन एक एलिमेंट के अंदर या एक ब्रेकिट वाले सेट के अंदर अ नहीं फॉलो हो रही तो इट मींस यहां पर यह जो रिलेशन हमारा बनेगा यह सिमेट्रिक नहीं बन पाएगा जी हां क्योंकि सिमेट्रिक की पहचान के लिए दो एलिमेंट तो मिल सकते हैं लेकिन कंडीशन हमारी रिलेशन की फॉलो नहीं राइड हो रहा है 236 तो हम कहेंगे वह टू सिक्स जो है वो तो belongs to R, वो तो relation के according belong कर रहा है, relation जैसा जैसा हमसे कह रहा है, वेसा वेसा काम कर रहा है, but, but क्या, but अगर हम इसकी symmetry देखें, जो की क्या होगी, जो की 6, 2 होगी, अब ये 2, 6 से divide नहीं होगा, point में ही answer आता चला जाएगा, ठीक है जी, तो it means क्या है, यहाँ पर हमें बात स इसके ऊपर काम नहीं कर रही तो इसीलिए ये क्या हो जाएगा therefore it is not सिमेट्रिक तो आप लिख देंगे सिंपल देरफोर इट इज या दिज रिलेशन इज नॉट क्या है नॉट सिमेट्रिकल या सिमेट्रिक ठीक है नॉट सिमेट्रिक यह आपको इसमें करना था उम्मीद करता हूं बहुत आसानी से आपको बात समझ में आ गई होगी अब इसक relation हमारा बना है उस relation के अंदर हमें क्या क्या मिल जाए सेट में हमें 1 2 मिल जाए और हमें 2 3 मिल जाए तो 1 3 भी मिलना चाहिए अगर A1 A2 मिल रहा है और A2 A3 मिल रहा है तो A1 A3 भी होना चाहिए अब आइए देखते हैं और हमें relation की condition को भी ध्यान लगना है एक example के लिए एक example क relation बना है इसके अंदर मैंने 1 2 ले लिया 1 2 ही मैंने क्यों लिया वो इसलिए लिया क्योंकि relation क्या है y is divisible by x बाद वाला पहले वाल से divide होना चाहिए तो यहाँ पर 2 एक से divide हो सकता है ठीक है एक दूनी दो होते हैं मैंने यह उठा लिया अब 1 2 उठाया तो दूसरा जो मैं उठाओंगा अब 2 के साथ मैं ऐसा number देखूँगा जो की divide होता हो तो 1 2 आप टू फोर उठा लीजिए ठीक है आप टू सिक्स भी ले सकते हैं तो यहाँ पर टू फोर मैंने यहाँ पर ले लिया इस तरीके से क्यों बाद वाला पहले वाले से डिवाइड हो रहा है यही तो हमारा रिलेशन कह रहा है इसलिए मैंने टू फोर उठा लिया अब देखि और 2 4 है तो 1 4 भी होना चाहिए तो 1 4 भी होना चाहिए यही है transitive relation तो यहाँ पर हमने नजर मारी क्या 1 4 है हमारे पास ये रहा और 1 4 में भी क्या ये condition relation वाली apply हो रही है कि बाद वाला पहले वाले से divide हो रहा है एक चोक 4 होते हैं 1 4 जार 4 होते हैं तो yes it means हमने देख लिया बहीया A1 और A2 ठीक है, A2 और A3, तो हमें A1 और A3 भी मिल रहा है, उसी relation के अंदर, तो yes, it means it is transitive, ये transitive है, अभी मैंने example कहा था कि आप चाहें जो 2, 6 भी उठा सकते हैं, अगर आप यहाँ पर 2, 6 उठा लेते, तो फिर क्या बनता, तो यहाँ पर आपका फिर 1, 6 बनता, तो आपके अपने डिपेंड करता है कि आप क्या उठाते हैं जो मैंने आपको समझाने के लिए उठाए हैं उनके अकोडिंग के transitive जो है वो proof हो चुका है तो therefore आप लिख देंगे, तो therefore, therefore क्या? It is transitive, यह जो है, वो transitive भी है, तो ऐसे आपको हर एक सवाल में करना है, अब बात समझ में आ गई, आपको सवाल आपको अलग-अलग तरीके से दे जाएंगे, कहीं पर आपको set दे रखा होगा, कहीं पर आपको set भी बनाना पड़ सकता है, कहीं आपको relation पहले से दे रखा होगा, कहीं आपको relation की condition दे रखे होगी, पहले relation बनाना पड़ेगा, और आपको यही चेक करना है, क्या symmetric है, क्या reflexive है, क्या transitive है, कहीं-कहीं पे show करना पड़ेगा, कि show करो यह वारा relation symmetric है, अब शो करने के लिए क्या वही बात है आपको symmetric वाली condition के according चीजे ढूंढा लो अगर ये चीजे मिल गई तो भाईया हो गया proof कि ये symmetric है simple as that ऐसे आपको इसको करना है question number 2, 3 and 4 पे नजर मारते हैं तो यहाँ पर दूसरा सवाल है show that कि साबित करना है आपको क्या साबित करना है the relation are in the set are of real numbers एक set है real numbers का वास्तविक संखियाओं का एक set है उसके अंदर हमें relation बनाना है relation की condition ये दी गई है हमें क्या साबित करना है कि इस condition के according जो relation बनेगा वो ना तो reflexive है, ना ही symmetric है और ना ही transitive है, मतलब वो symmetric भी नहीं है, transitive भी नहीं है, reflexive भी नहीं है, यह आपको साबित करना है, ठीक है जी, ऐसे ही third देखिए, check whether the relation are defined in the set, आपको एक set दिया गया है, एक relation की condition दी गई है, आपको यह बताना है कि यह reflexive है, symmetric है या transitive है, अगला question देख लो, show that the relation आर आपको एक relation दिया गया है ये condition है बताना है कि ये reflexive है transitive है लेकिन symmetric नहीं है ये साबित करना है मतलब ये ढूंढना है अगर ये है तो है नहीं है तो नहीं है तो मैंने क्या बताया हर एक सवाल में आपको यही काम करना है बस तो जितनी practice आप कर लोगे उतने ही माहिर आप आप खुद से अभी लगे हाथो मजबूत concept दिबाग में बेड़ जाएगा क्वेश्चन number 2 देखते हैं, तो अगर मैं set of R, मतलब real number का एक set बनाऊं, अब अगर आप एक set बनाएंगे, relation बनाएंगे, ठीक है, real numbers का, तो real number में तो सारे number आते हैं, positive, negative, rational, irrational, even, odd, सब कुछ आता है, तो इसके अंदर अगर मैं बात करूँ, तो भाईया जी, zero भी आ जाएग आ जाएगा और क्या आ जाएगा आपके बटे वाले सारे नंबर साजेंगे जैसे कि वन बाई टू हो गया वन बाई थी हो गया वन बाई फोर हो गया और क्या जाएगा सारे के सारे इर्रेशनल नंबर आ जाएगा रूट वाले रूट थी हो गया रूट फाइव हो गया तो भाई या बहुत कुछ इसके अंदर आ जाएगा क्योंकि रियल नंबर का एक चैट बनाना है तो रियल नंबर में जीरो भी पॉजिटिव सेट के अंदर दखल होगा अब relation की अगर हम बात करें तो relation पे जरा नजर मारो relation की condition क्या है condition यह है कि a और b आपको निकालने है such that इस तरीके से कि a जो है वो less than or equal to b square होना चाहिए less than or equal to b square होना चाहिए अगर मैं इसको reflexive के लिए चेक करूँ ठीक है जी आए सबसे पहले हम reflexive के लिए इसको चेक कर लेते हैं कि हमें यह साबित करना है कि यह reflexive नहीं है नहीं है तो इसका मतलब हमें 112233 इस टाइप की चीज़ें नहीं मिलेंगी यही तो बात है जब तो नहीं होगा तो आइए चेक कर लेते हैं रिफ्लेक्सिव तो अगर मैं ट्राइ करूं कि आइए किस से मैं साबित ना कर सकूं देखिए अगर मैं यहाँ पर इस 1 by 2 को लेता ह� एक्स की जगा पर या मैंने एकी जगा पर वन बाई टू लिया है तो बी की जगा पर वी वन बाई टू होना चाहिए ठीक है जी यही तो कहता है हमारा रिफ्लेक्सिव रिलेशन के ए ए बी बी सी सी बड़ा बर होना चाहिए बट अगर मैं इस कंडीशन को ध्यान में रखूं ठीक है जी और ए क्या है ए है हमारा एक बटा दो तो यहाँ पर या अब ये देखिए ये कहराई कि जो एक बटा दो है ये less than or equal to एक बटा चार है तो ये बात तो गलत साबित हो गई कैसे ये कहराई कि एक बटा दो बटा दो का मतलब होता है मेरे प्यारे बच्चो किसी चीज का आधा जैसे कि ये एक चोकलेट थी मैंने इसका आधा बीच में से कर दिया तो ये हो गया आपका एक बटा दो और एक बटा चार का मतलब होता है कि किसी चीज के चार बराबर हिस्से तो एक तो चार बराबर इस्सो में से एक हिस्सा ले लिया तो ये एक हिस्सा ले लिया मैंने ठीक है ये हो गया आपका एक बड़ा चार और ये आपका हो गया एक बड़ा दो कि दो चीजों में से एक हिस्सा लिया चार हिस्सो में से एक हिस्सा लिया अब ये हमसे कह रहा है कि एक बड़ा दो जो है वो छोटा है एक बड़ा चार से नहीं जी तो गलत बात है नहीं एक बड़ा दो हाफ हाफ ज्यादा पोर्शन होता है, one by fourth, चोथा ही हिस्सा, ये कम होता है, quarter मक्खन कम होता है, आदे मक्खन के टिक्की ज्यादा होती है, समझ में आ रही है बात, तो ये बात यहाँ पे गलत साबित हो गई तो इसी लिए ये क्या है ये आपका reflexive नहीं है, ठीक है, ऐसे आपको इसको साबित करना है अब आए साबित कर देते हैं कि ये symmetric भी नहीं होगा, कैसे, आए देखते हैं, if we take अगर हम ले, ठीक है, अगर हम क्या ले, हम यहाँ पर real number कुछ भी ले सकते हैं, मैंने आप यहां पर वन और टू का जोड़ा बना लिये भाईया, let's suppose ए जो है वो वन है और बी जो है वो टू है, तो symmetric के according अगर वन टू होना चाहिए relation में, तो भाईया टू वन भी होना चाहिए, ठीक है, यही तो है symmetric का relation, अब इसको मैं गलत साबित करना है, कैसे करेंगे, relation की condition को ध्यान में रखते वे, condition कह रही है कि a जो है वो less than या equal to होना चाहिए b के square के, तो अगर मैं इस वाले के अंदर जोड़े में देखूं भाईया एग, a जो हमारा है वन, तो वन का तो वन रहेगा, अब अगर मैं यहाँ पर, यहाँ पर देखो b का square, b की जगह पर 2 का square क्या होता है, 4 होता है, तो यह हो रहा है 4, तो यहाँ पर यह इसका मतलब है कि 1 जो है वो 4 से छोटा है या बरहबर है, तो बात तो ठीक है, 4 से 1 जो है वो छोटा होता है, तो छोटे की condition fulfill होती है, लेकिन अब इसके साथ के इस जोड जो है वो छोटा है बराबर एक के तो क्या मेरे बच्चों नंबर टू नंबर एक से छोटा हो सकता है क्या नहीं हो सकता नंबर टू तो एक से बड़ा होता है तो इसका मतलब इस वाले जोड़े के लिए यह बात या यह जोड़ा हमारे relation की condition में ही नहीं आ रहा तो इसका मतल� तो हम नहीं रख सकते ना क्योंकि relation की condition में यह fit नहीं बैठ रहा तो यह इसको नहीं रख सकते तो इसकी बतला वन टू ही रहेगा इसका जो टू वन है वह हम नहीं ले पाएंगे तो जब नहीं ले पाएंगे तो खाली वन टू अकेला रह जाएगा तो इसी लिए यह सिमेट्रिक नहीं साबित हो पाएगा जी हां ऐसे आपको चीजें समझनी हैं साबित करनी है लिखनी है इसी 3 number का जोड़ा बनाओ तो वो transitive be proved आराम से हो जाएगा, question number 8 देखेंगे, यहाँ पर थोड़े सी नई चीज़े आपको मैं सिखाऊंगा, लिखा हुआ है कि show date, यह साबित करो, the relation are in the set A, हमें एक set A दे रखा है, इसके अंदर elements है, 1, 2, 3, 4, 5, हमें इसमें से कुछ relation बनाना है, और relation बनाने की जो condition है, कि A-B का जो modulus है, वो even होना चाहिए, ये करना है कि वो जो relation है वो equivalence relation है अब ये तो नई चीज आ गई मैंने आपको empty relation बताया universal बताया ठीक है ये तीनों बताया reflective, symmetric, transitive ये equivalence क्या हो गया कौन सा आ गया समझ लो कुछ नया नहीं है बहुत आसान है अगर कोई relation जो भी relation हमने बनाया है अगर वो relation reflexive भी हो symmetric भी हो और transitive भी हो अगर कोई relation ये तीनों ही हो जाए मतलब वो symmetric है reflexive और transitive हो जाए तो इसी को हम बोल देते है equivalence relation समझ में आगे बात?

तो कोई भी relation जिसमें तीनों condition fulfill हो रहे होगी वो ही equivalence होगा, तो it means यह है कि यह जो हमें relation बनाना है इस condition के according, यह हमें बताना है कि यह equivalence है, तो इसका मतलब यह reflexive भी होगा, ये symmetric भी होगा और ये transitive भी होगा, करना है हमें दिखाना है ये, तो आईए पता करते हैं, तो सबसे पहले relation की condition के according हम elements को लिखना शुरू करेंगे, कि क्या-क्या elements हमें मिलेंगे, अब condition है कि A और B हमें लेने हैं, element के अंदर और इस तरीके से लेने है such that a-b का modulus is even a-b का जो modulus आना चाहिए वो even आना चाहिए अब 1 से start हम करेंगे set के अंदर पहले element है 1 अगर मैं a की जगह एक लूँ और b की जगह भी एक लूँ तो हमें मिल जाएगा a और b 1 और 1 लेकिन देखो क्या अगर हम 1-1 का modulus खोले तो क्या वो even होगा अब 1 में से बन जाएगा तो 0 बचता है और 0 का modulus भी आपको 0 जीरो ही मिलेगा अब जीरो को यहां पर हम एक इवन नंबर कंसीडर करेंगे क्योंकि इवन नंबर की प्रॉपर्टी जीरो के ऊपर फॉलो होती है जी हां इसलिए जीरो जो है वह एक इवन नंबर आ रहा है वन माइनस वन करके अगर हम एम माइनस भी करें तो एवं यह हमारा एक एलेमेंट हम इस तरीके से मिल जाएगा अब वन को टू के साथ रखे देखो अगर यहां पर तो भी यह मॉडल बनाएगा और वन तो एक और नंबर होता है इट मीन्स इसके हिसाब से कंडिशन हमारे रिलेशन की फुलफिल नहीं हो रहे है तो ये हम नहीं लेंगे तो ऐसे आपको सोचना है कि हम कौन कौन से एलिमेंट या नंबर ले जो हमारी कंडिशन को रिलेशन की फुलफिल करता चले और वो इवन भी आए कंडिशन भी और हमारा जो हमसे पूछा गया है वो भी इस तरीके से तो वन वन हो जाएगा अब आपको हर एक रखे सोचने की जरूरत नहीं है अब आप ये दिमाग में सोच सकते हैं कैसे आपको सिर्फ 2 लाना है, मतलब उनका difference even number आन चाहिए, 2 आजा, 4 आजा, 6 आजा, आप देखिए आप, 1, 1 का आगिया, 1, 2 का नहीं आया, 1 और 3 का, अगर मैं 1 में से 3 minus करूँगा, ठीक है, minus के 2 आएंगे, modulus है, तो minus का positive बन जाएगा, तो 2 मिलेगा, मुझे 1 और 3 का difference, ठीक है, करो पाज में से एक जाएगा तो चार बचेगा हां जी हो सकता है ठीक है अगर मैं वन में से फाइब माइनस करूं मॉडिलेस के अंदर तो माइनस का फॉर आएगा मॉडिलेस खुलेगा तो यह पॉजिटिव फॉर जाएगा फॉर एक एवन नंबर है तो यह बस यह होगा तो इस तरीके से मुझे यह मिल गए तो बस आपको यह सोचना है कि अगर प्लस या माइनस का दो या चार या देखा कि उनके 2 में से 1 माइनस करूँगा तो 1 बचेगा तो वो even होता है even नहीं होता है odd होता है तो ये नहीं लेंगे हम तो हम क्या लेंगे फिर 2 और 2 को ले लेंगे क्योंकि 2 में से 2 माइनस करेंगे तो 0 आएगा और 0 को हम even number यहाँ पर consider कर रहे हैं आईए जी 2 और 3 का आए और 2 लेंगे, नहीं लेंगे, 3 और 3 लेंगे, बिल्कुल लेंगे, क्योंकि 3 में 3 minus करने पर 0 मिलेगा, और 0 एवं number consider किया जाएगा, इस तरीके से 3 का हो गया, 3 और 4 लेंगे, नहीं लेंगे, 1 बच रहा है, 3 और 5 लेंगे, बिल्कुल लेंगे, difference 2 आता है, तो 3 और 5 हमें मिल जाएगा, तो ऐसे आपको सोच लेना है, पटा पट सोचो, 4 और 1 का, 4 में से जाएगा, 3 बचेगा, नहीं, 4 और 2 का, बिल्कुल, ठीक है, जिस तर 4 और 2 आजाएगा, 4 और 3 नहीं आएगा, फिर 4 और 4 आजाएगा, और 4 और 5 भी नहीं आएगा, क बच रहा है जो कि ओड होता है मैं इवन डिफरेंस देखना है इवन डिफरेंस हमको देखना है तो चार की होगा सारे पांच में से जाएगा चार बचेगा हां जी पांच और एक से बन जाएगा ठीक है पांच और दो से बन जाएगा पांच में से दू जाएगा तीन नहीं बनेगा लेकिन पांच और तीन का बन जाएगा क्योंकि पांच में से जब हम तीन माइनस करेंगे तो बनेगा फिर पांच और पांच का बन जाएगा तो इस तरीके से यह सारे हमें एलिमेंट्स मिल जाते हैं एकॉर्डिंग रिलेशन चुब तो बात हमें रिलेशन में बताई गए उसके हिसाब से सब मिल गए अब चेक करो रिफ्लेक्सिव है सिमेट्रिक है ट्रांस ट्रांस है या नहीं वह बल्कि होना चाहिए तीनों यह साबित करना है शो करना है रिफ्लेक्सिव की कंडीशन आपको देखा है वह देख रहा है ठीक है दिख रहा है दिख रहा है दिख रहा है दिख रहा है तो यह तो आप यहां पर लिख देंगे कि आप यहां पर लिख देंगे क्यों कि आप फिर कुछ भी के वन और 12 और टू ठीक है इस तरीके से थे रिए and 3, 4 and 5 फूर फाइव एंड फाइव टीव फूर एंड फूर तीन लिख दो कि काफी मैं सारे लिख रहा हूं आपके लिए यह सारे ब्लॉंग्स टू आर यह हमारे इसी रिलेशन से ब्लॉंग्स कर रहे हैं इसी स रखते हैं तो इट मीड देरफोर इट इज रिफ्लेक्सिव इट इज रिफ्लेक्सिव यह लोगी रिफ्लेक्सिव तो हमने यह साबित कर दिया है चलो जी सिमिट्रिक में आ जाओ पता है ना सिमिट्रिक का एवं एटू तो एटू एवं भी होना चाहिए 12 है तो टू वन भी होना चाहिए अब देख लो 13 है तो थी वन भी होना चाहिए क्या थी वन है बिल्कुल है यह रहा तो आप लिख देंगे क्योंकि यहां पर वन थी भी है और थी वन भी है और दोनों के अंदर रिलेशन की कंडीशन फॉल हो रही है एक तो दोनों में होनी चाहिए तो इस तरीके से एक और एग्जांपल ले लो तो यह रहा है तो यह सब किस से बिलॉंग तो आप हमारे रिलेशन से ही बिलॉंग कर रहे हैं तो इसीलिए भाईया ये लो जी देरफोर इट इज सिमेट्रिक ठीक है ये यह आपका symmetric भी proof हो चुका है, देखा कितना आसान है चीज़े, बस आपको सिर्फ सोचने का सारा खेल है, condition समझ गए, लिख लिया, तो चीज़े आपके सामने है, for transitive, transitive का आपको पता है कि बही या अगर एक और दो हैं, और दो और तीन हैं, तो एक और तीन भी होना चाहिए के साथ तो हमें एक और सीधी मिलना चाहिए तो यहां पर आप देखेंगे तीन के साथ कुछ और आप ले सकते हैं तीन के साथ एक तो हम नहीं लेंगे एक साथ में ही तीन भी नहीं लेंगे सेम है पांच ले लीजिए तो तीन और पांच अब एक यह भी तीनों ही relation के अंदर आ रहे हैं, belongs to are, relations से ही यह belongs करते हैं, तो इसलिए यह transitive भी proof हो गया, it is transitive, ठीक है जी, यह transitive भी है, अब देखे मैंने आपको क्या बताया, क्यूंकि यह जो relation है, यह symmetric भी है, यह reflexive भी है, यह transitive भी है, तो therefore it is an equivalence relation, ठीक है, हम लिखेंगे क्यू एक्विवेलेंस रिलेशन ऐसे आपको करना था अगली चीज लंबा सावारी एक चीज हमारी यहां पर हो चुकी है अगली चीज हमसे पूछी है शो देट ऑल द एलिमेंट्स वन टू थी वन थी फाइव आर रिलेटेड टू इच अदर यह सावित करो कि यह जो एलिमेंट है वन थी फाइव वन थी और फाइव यह आपस में रिलेटेड है दूसरे से आपस में किसी और से नहीं आपस में एंड ऑल द एलिमेंट्स ऑफ 24 यह जो 24 है यह भी आपस में रिलेटिड है दूसरे से बट बट नो एलिमेंट ओं 135 इज रिलेटिड टू एलिमेंट ऑफ 24 लेकिन 135 के एलिमेंट और इनका एलिमेंट का आपस में कोई तालूग कोई रिष्टा नहीं है साबित करना है कैसे करेंगे देखिए यह आपस में तृष्टा है किस तरह से समझाता हूं देखिए अगर आप 13 का डिफरेंस निकालेंगे ठीक है तीन और एक का डालेंगे तो कितना है आपका थ्री माइनस वन आपका टू आएगा ठीक है आप आप और थ्री का निकाल लीजिए 5-3 कितना आएगा आपका टू आएगा आप 5 और 1 का निकाल लेजिए, 5 minus 1 कितना आएगा, आपका 4 आएगा, तो हम इनका तीनों का आपस में कुछ भी रिष्टा करें, कुछ भी difference देखें, वो difference हर बारी में एक even number हमें मिल रहा है, क्या मिल रहा है, even number, तो आपस में ये related हैं, ठीक है, ऐसी तरीके से यहाँ पर दे� अगर हम इनके element को आपस में करके देखें, आप 1 का 2 में difference करेंगे, 2 minus 1, तो क्या आएगा? 1, odd number आएगा, आप 3 का 4 में करेंगे, 4 minus 3, तो क्या आएगा? 1 आएगा, आप 5 minus 4 करेंगे, तो क्या आएगा? 1 आएगा, तो अगर हम इनको आपस में एक दूसरे से मिला के देखें, तो यह हमेशा odd आ रहा है, तो यह बात ऐसे proof आपको कर देनी है, कि 1, 3, 5 are related to each other, 1, 3, 5 के जो elements आपस में related हैं, हैं क्योंकि उनका डिफरेंस हमेशा एक इवन नंबर आ रहा है इसी तरीके से टू और फोर भी आपस में खुद में ही रिलेटिड है क्योंकि इनका भी डिफरेंस हमें इवन मिल रहा है लेकिन इन दोनों एलिमेंट्स का पेर एक दूसरे से रिलेटिड नहीं है क्यों नहीं है क्योंकि देव आर नॉट रिलेटिड क्योंकि यह रिलेटिड नहीं है अगर इनको यह elements को आपस में minus के difference करके देखें, तो वो क्या आ रहा है, तो वो आपका odd आ रहा है, यही बात आपको proof करनी थी, यहाँ पर जो लिखा हुआ है, ठीक है जी, एक दुसरे से related है, but element of 135 is related to element of 24, यह element आपस में, related नहीं है हमने proof कर दिया था दोनों चीजे यहाँ पर हमने तीनों चीजे ही proof कर दिया equivalence के लिए और जो हमसे पूछता वो ऐसे proof कर दिया मैंने क्या बताया आपको हर एक सवाल में आपको यही करना है relation की condition दी गई है उसके according elements निकालो उसमें से इसे पर देखो रिप्लेक्सिव कौन से सिमेट्री कौन से ट्रांजिटिव कौन से बाकी के क्वेश्चन मैं आपके ऊपर छोड़ रहा हूं प्लीज प्लीज जरूर ट्राइड करना कोई क्वेश्चन में डाउट आता है यह मेरी इंस्टाग्राम आईडी है और यह हमारे देखते हैं फंक्शन से बंदा जीता था खुल के तेरी गली में आया भूल के जी चंगा बाला सी में पुट गया वह मैं तो आ गया आ मिल गई फुरसा था आपको relation समझने से बना लिए अच्छे से रिष्टे अब जरा function को भी समझ लो क्यूंकि जी हाँ मैं हूँ function बहीया मैं भी ना एक type का relation ही हूँ लेकिन हम जरा थोड़े से special type के relation हैं जी हाँ क्या specialty है मेरी बताता हूँ तो भीया दुनिया की सबसे आसान भाषा में समझो function क्या होता है जी हाँ वो relation जिसमें domain repeat ना हो रहा हो वो फंक्शन बन जाता है जी हाँ relation पढ़ लिये न अच्छे से उसमें elements लिखे होते हैं कुछ उसमें कुछ domain और range होता है तो अगर domain repeat नहीं हो रहा एक relation के अंदर तो वो function बन जाएगा कैसे बन जाएगा अभी बताता हूँ ना आपको देखते रहो क्यों भड़क रहे हो देखो ये एक relation है ठीक है जी मैंने लिखा 1, A, 2, B, 3, C ये एक relation है अब इसमें अगर आप देखें ये जो 1 और A है ठीक है जी ये 1 और A इसको आप X या Y बोल देते हो A या B बोल देते हो या ये आपका होता है domain ये भी आपको बता है और ये आपका होता है क्या range ठीक है ये भ मैंने क्या बोला है कि ऐसा relation जिसमें domain repeat ना हो रहा हूँ, वो function बन जाता है, तो यहाँ पर आप देखिए न, यहाँ पर domain है 1, यहाँ पर domain है 2, यहाँ पर domain है 3, तो हर element में हर बार domain अलग-अलग आ रहा है, तो it means यह वाला relation जो है, अब इसको हम function बोल देंगे, जी हाँ, simple as that, को हमने y मान लिया जो पहले set के अंदर है 1, 2 और 3 तो यहाँ पर लिख दो ना 1, 2 and 3 कितनी आसान बात है इसका मैंने एक set बना दिया y set के अंदर है a, b और c तो यहाँ पर मैं लिख दूँगा a, b और c यह set इसका भी बंद हो गया है अब किस तरह से relation बना है यहाँ 1 का relation बना है a से, 2 का बना है b से, और 3 का बना है c से, इस तरीके से बन गया ठीक है जी इतनी बात हमको समझ में आती है अब मैं क्या कह रहा हूं function आपको पता है इसमें domain repeat ना हो रहा है और अगर आपको 11th class में function की definition याद हो तो उसमें भी यही लिखा हुआ था कि in every element अगर every element जितने भी हमारे element हैं उसके अंदर जो domain है उसकी एक ही image बन रही हो जी हाँ range जो होती ह ठीक है जी इसको image भी बोलते हैं इसको आप pre-image भी बोलते हैं ये pre-image होता है अगर आपको याद होगा और ये आपका image होता है तो according to your definition in the book of NCERT उसमें यही लिखी हुई थी अगर आपको याद हो कि अगर हर एक element के अंदर domain की एक ही image बन रही होगी जी हाँ एक ही इमेज जैसे की वन की यहाँ पर सिर्फ ए बन रही है सिर्फ एक सिंगल यूनिक इमेज टू की यहाँ पर सिर्फ और सिर्फ बी बन रही है थीरी की यहाँ पर सिर्फ और सिर्फ सी बन रही है एक सिंगल यूनिक इमेज तो इसलिए इस रिलेशन को हम फंक्शन और इसे 1 की image b भी बन जाती, क्या बन जाती, b भी बन जाती, ये लो जी मैंने बना दिया, 1 की image को b भी बना दिया, वो थिरी की c है, अब क्या ये function होगा, नहीं जी, अब ये function नहीं होगा, अब function बिगड़ चुका है, क्यूंकि अगर आप इसको element की form में लिखेंगे तो कैसे लिखा जाएगा, तो ये कुछ इस प्रकार लिखा जाएगा कि 1 की A के साथ जोड़ा बनेगा, ठीक है जी, 1 और A का, वो 1 का ही B के साथ भी बनेगा, और 1 का ही B के साथ भी बनेगा, और फिर theory का C के साथ बन जाएगा, नहीं होगा तो domain repeat नहीं होना चाहिए अब यहाँ पर आप देखेंगे भाईया domain यहाँ पर भी one है domain यहाँ पर भी one है तो domain इस वाले relation के अंदर repeat हो गया है तो इसलिए ये function नहीं होगा इसको हम function नहीं बूलेंगे समझ में आगा ये बात तो function ध्यान रखना है आपको जिसके अंदर domain repeat ना हो रहा हो वो function का मतलब ही क्या होता है कि भाईया एक चिस्से एक काम हो जाए ठीक है जी मैं एक बटन दबाओं AC बंद हो जाए एक बटन दबाओं ऐसी मेरा ओन हो जाए एक बटन दबाने से टेंप्रेचर कम हो जाए एक बटन दबाने से बढ़ जाए अब अगर एक ही बटन से दो-दो काम होने लगे एक ही बटन से वह यह टेंप्रेचर भी बढ़ रहा है और एक ही बटन से कुछ और भी काम हो रहा ह तो कह देंगे ना वह रिमोड खराब हो गया ऐसी का सर्विस वाले को बिलाओ दिक्कत हो गई तो फंक्शन बिगड़ जाएगा तो ऐसे आप समझ सकते हैं रियल लाइफ के एक्जांपल लेकर कि एक बटन से एक ही तो काम होना चाहिए ठीक है आवाज बढ़ानी बटन दबाया आवाज बढ़ गई लेकिन उसी बटन से चैनल भी चेंज हो रहा है टीवी का अरे भी हमें तो बढ़ानी थी चैनल को चेंज हो गय कि सबसे आगे बात ऐसे करना है तो हर एक इनपुट का एक आउटपूट होना चाहिए जब तो हम कहेंगे चैनल बदलना है बटन दबाया चैनल बदल गया ओन करना है बटन दबाया ओन हो गया वॉल्यूम डिक्रीज करनी है बटन दबाया कंडिशन में सही फंक्शन कर रहा है ऐसा आप इसको सोच सकते हो तो यह था फंक्शन का बैसिक कॉनसेप्ट तो भाईया बात दिए पहले क्रोनोलॉजी समझो रिलेशन में आपने उसके टाइप पढ़े अब मैं भी एक type का relation हूँ, एक special type का, ठीक है, तो relation के कुछ types, और relation में ही आ रहा हूँ, मैं यानि function, अब function के भी कुछ types होते हैं, जी हाँ, और इसके आपको यहाँ पे दिखाई दे रहा है कि मैंने इस पूरे के पूरे board को 4 हिस्सों में तोड़ लिया है, तो इसका क्या मतल� होते हैं कौन-कौन से होते हैं फटा-फट से एक करके आपको समझाता हूं तो पहला मेरा टाइप है वन-वन या जिसको आप इंजेक्टिव भी बोल सकते हो यह दोनों एक ही है नाम से ही कॉनसेप्ट समझ लो ना 1111 मतलब एक का एक रिजल्ट एक बटन से एक काम जहां हो रहा हो वो वन वन फंक्शन होता है जैसे यहां पर एग्जांपल के लिए मैंने आपको दिखा भी दिया है लेकिन इससे पहले सब चीजों को एक बार खोल के अलग से लिख लो ताकि concept crystal clear हो जाए तो यहां पर यह एक set x है यह एक set y 2 का function जा रहा है, B तक और 3 का function जा रहा है, C तक, ठीक है जी, यह इनकी आपस में connectivity है, अब domain क्या होता है, यह जिसको आप pre-image बोलते हैं, क्या होता है, पहला set है, हमारा set x या set a, जो भी आप इसको बोल सकते हो, उसके element, तो set x के अंदर यहाँ पर क्या क्या है, 1, 2 and 3, तो यह होते हैं आपके domain, co-domain क्या होता है, co-domain होता है set B या set Y के सारे element जिससे रिष्टा या function बना हो या ना बना हो सब के सब ही यहाँ पर आ जाएंगे जैसे कि D से किसी का भी कोई function नहीं बन पाया है तो यहाँ पर सब को count करेंगे co-domain के अंदर तो A, B, C and D यह आ गए अब range क्या होती है आपको पता है कि जहां तक तो यहाँ पर ranges या image क्या हो जाएगी आपके पास A हो जाएगी, B हो जाएगी, C हो जाएगी क्योंकि 1 की image A है, 2nd की image B है और 3rd की image C है इस button से यह काम हो रहा है, इस button से यह काम हो रहा है और इस button से यह काम हो रहा है यह बटन बेकार है खाली डर में बटन है ठीक है जी ऐसे आप इसको समझ सकते हो अब ध्यान रखने की एक बात यह कि यह जो रेंज आती है हमेशा या जो इमेज आती है यह हमेशा लेज देन और इक्वल टू कोडोमेन होगी या सबसे और इक्वल टू कोडोमेन होगी मतलब को डोमेन में से ही तो बनेगी मतलब यह जो हमारे काम हो रहे हैं इनके अंदर से ही तो काम होगा इससे बाहर से तो कुछ हो नहीं सकता यह सारे काम हो सकते हैं तो हमेशा रेंज होगी वह इन सब के अंदर से यह सारे के या फिर कोई ना कोई सा खाले भी रह सकता है जिससे यहाँ पर D रहे गया तो यहाँ पर इसको हम क्या कहेंगे यह ध्यान रखना है आपको कि यहाँ पर range जो होगी वो हमेशा इसके अंदर से ही बनेगी सारी की बन सकती है या इसके अंदर से कुछ की बनेगी अब one one function को कैसे कर देंगे कि अगर ये हो जाएगा तो वो function 1 1 होगा करके भी आपको दिखाऊंगा अभी या फिर x बराबर y के नहीं आएगा तो function for x भी function for y के बराबर नहीं रहेगा तो फिर भी ये 1 1 साबित हो जाएगा तो इसके example से भी अब आपको समझा देता हूँ दमा सकते हैं एक दबाने से यह आ रहा है ऐसे ही फंक्शन फॉर अगर हम टू देखें फंक्शन फॉर टू देखें तो उससे क्या काम हो रहा है उससे भी काम हो रहा है बीर जल्ट आ रहा है फिर उसकी में भी बन रही है तो एक फंक्शन की एक फंक्शन की वन फंक्शन की एमेज बनी दो की बी बनी अब हमें क्या कंडीशन देखिए यह देखना है या यह देखना है अब अगर मैं यहां पर इसके अकॉर्डिंग दोनों फंक्शन को बराबर रखूं फंक्शन फॉर वन और फंक्शन फॉर टू बराबर रखूं तो यहां पर इसकी वेल्यू ए आ रही है और इसकी value भी आ रही है जो की बराबर नहीं है जो की same या equal नहीं है तो इसका मतलब मैं कर दूँगा not equal to या इसका मतलब क्या हो गया इसका मतलब यह हो गया भाईया function for x और function for y जो है वो बराबर नहीं आए और जब ये बराबर नहीं आए तो it means ये function केसा है? one one function है यहाँ सो तो हम देखके बता सकते हैं एक से एक काम हो रहा है one one one one one one लेकिन लिखेंगे इसको ऐसे इस तरीके से तो ये इसका एक example है एक दूसरा example भी ले लो दूसरे तरीके से आपको समझा देता हूँ अब एक और set मैंने यहाँ पर लिया ठीक है एक x का set है एक y का set है अब यहाँ पर आप function देखिए अगर मैं function for 2 देखूँ function for 2 2 से क्या function हो रहा है बाईया, B आ रहा है, या फिर इसकी image भी बन रही है, तो 2 की image बन गई B, इसी तरीके से, अगर मैं इसकी देखूं, 4 की देखूं, function for 4 में यहाँ पर लगाओं, function for 4, तो 4 से भी क्या हो रहा है, इसकी भी image बन रही है, तो यहाँ पर भी यह B आ रहा है, अब अगर मैं दोनों functions को equal रखूं, function for 2 and 4, B equal to B, it means क्या हुआ, it means यह वाली condition fulfill हो गई, कि एक function for x का, इसका एक फंक्शन फंक्शन पर वाइट एक फंक्शन के बराबर है या एक शुरू बराबर है जो कि यहां पर हमें दिखते हैं तो इसीलिए भी यह क्या होगा यह भी एक वन वन फंक्शन होगा मतलब हर एक ही हर एक अलग-अलग इमेज बन रही है आप देख सकते हैं एक का एक सही रिष्टा है मतलब वन का एस है तो एक सही तो इसका रिष्टा है एक सही तो इमेज बन रही है एक इमेज बन रही है टू की भी बन रही है एक ही तो बन रही है थीरी की ए बन रही है थीरी की एक ही तो बन रही है पर रखना है कि इनकी दोना बन जाए इनकी एक ही एक बननी चाहिए जैसे कि let's suppose ये ऐसा ना होकर कैसा होता ये कुछ इस तरह से होता ये कुछ है ऐसे होता कि एक ही एक से बन रही है इसकी one की एसे बन रही है और इसी वन की अगर हम एक image बना जाते है कि इसी की b से भी बन रही है तो अब ये वन वन नहीं होता क्यों नहीं होता क्योंकि एक की एक से नहीं बन रही अब इसी वन का a से बन रहा है देखो इसको लिखोगे तो कैसे लिखोगे ऐसे तो लिखोगे वन और a फिर फिर आप लिखोगे 1 और b, फिर आप लिखोगे 4 और b, 4 की भी b से बन रही है, तो मैंने शुरू में क्या बताया आपको, कि भाईया function क्या होता है, कौन हूं में, वो ऐसा relation जिसमें domain repeat नहीं होना चाहिए, और यहाँ पर आप देखिए, यह पहला वाला domain होता है, जो की repeat होता repeat हो चुका है समझ में आगे बात अब मुझे कुछ और कहने की जरूरत ही नहीं है तो इसीलिए यह फिर फंक्शन नहीं होगा तो पहली बात यह आपको समझ में आ गई पहला टाइप इसका है वन वन फंक्शन माई सेकंड टाइप इस मैनी वन फंक्शन नाम से ही समझ लो मैनी वन मैनी वन बहुत सारे एक मतलब एक से ज्यादा या बहुत सारे डोमेनों का जब एक ही इमेज बने ठीक है बहुत सारे डोमेनों की एक ही रेंज हो तो मैनी वन फंक्शन फंक्शन जैसा यहां पर एग्जांपल समझा देता हूं इस वन की इमेज ए बन रही है ठीक है जी टू की इमेज को मैं सी बना देता हूं और इस थीरी की मेज को भी मैं ए बना देता हूं तो इस वन की भी ए बनी थीरी की भी ए बनी मैंनी वन सिंपल ऐस देट इसको अगर आप लिखेंगे इस रिलेशन को तो किस तरह से लिखा जाएगा यह रिलेशन को इस तरीके से लिखा जाएगा वन की ए में बनी तो वन और ए चलो जी टू का सीमित बन गया तो 2 और C चलो जी 3 की भी A में बनी तो 3 और A तो ये बन जाएगा इसका relation अब क्या ये एक function है पहले तो मुझे यह बताओ बिल्कुल है domain repeat नहीं हो रहा यहाँ पर domain 1 है यहाँ पर 2 है यहाँ पर 3 है domain अलग अलग है अब देखिए यहाँ पर जो है image आप देखें इसकी भी a बनी और इसकी भी a बनी तो यहाँ पर इसी का मतलब है many one के जब एक ही ठीक है image बने एक से ज्यादा domain होगी तो simple as that many one देख के आप समझ जाओगे लिखोगे ही न relation तो आपको दिख जाएगा कि वो function है या नहीं और फिर function है तो वो कौन वह वह देखकर या बताएगा मैं थर्ड टाइप इज ऑन टू या सर्जेक्टिव भी आप इसको कह सकते हो इसके भी नाम से समझ लो ना ऑन टू ऑन वर्ड एज़ प्रीपोजिशन इंग्लिश में आप यूज करते हो ना कि जब कोई चीज किसी आपको ऊपर दिखानी हो इनको इन वालों को यह डोमेन घेर लें जहां पर सारे के सारे को डोमेन बिजी हो जाएं या इंगेज हो जाएं मतलब इन सब को घेर लिया गया कोई सा भी काम खाली नहीं होना चाहिए जैसे कि यहाँ पर एक से काम हो गया यह ठीक है जी दो से यह काम हो रहा है थी से यह काम हो रहा है वह फोर से काम हो रहा है तो यह सारे के सारे जो हैं घिर गए कोई सा भी खाली नहीं रहा डोमेन क्यों में ठीक है आपको ध्यान नखना है तो ऐसे फंक्शन को ऑन बोलते हैं सिंपल भाष में हमें लिख दिया है कि जब सारे कोडोमेन बिजी या एंगेज हो जाएं या फिर सभी की एक प्रीमेज होनी चाहिए सिंपल एसड मतलब इन सभी की जितने भी आपके यह कोडोमेन सबकी एक प्रीमेज होनी चाहिए एक प्रीमेज है वन बी की प्रीमेज है टू सी की प्रीमेज है थ्री डी की प्रीमेज है फोर तो सबकी एक प्रीमेज है कोई सा खाली नहीं बेटा हुआ तो ऐसे ही function को आप बोल देंगे onto या subjective एक example और ज़िता हूँ यहाँ पर जैसे कि 1 का relation बन रहा है A से ठीक है 2 का बन रहा है B से और 3 का ही B से बन रहा है अगर मैं यहाँ पर देखूँ अब यहाँ पर भाईया C खाली रह गया और हमने क्या कहाई जब सारे ठीक है अभी हम इसको मैं नहीं बन कह सकते हैं क्यों क्योंकि भाई इसका भी यह काम इसका भी यह काम एक से ज्यादा का एक काम तो मैंने वन तो बट ऑन टू कब होगा जब सारे एंगेज होंगे जब हम इसको भी से एंगेज करा देंगे अब इन सब की एक एक पिरी इमेज है सी की फोर बी की टू और थीरी एक एवन तो यह सारे के सारे एंगेज हो गए तो अब यह बन गया क्या ऑन टू ऐसे आपको इसको ध्यान रखना है, तो आराम से relation को देख कर diagram बना कर आप समझ जाओगे, सवालों में यही तो करना पड़ेगा आपको, आपको एक function दिया जाएगा, एक relation दिया जाएगा, function दिया जाएगा, आपसे पुछ यह कौन सा है यह 11 है ठीक है यह आपका इंजेक्टिव है यह आपका सरजेक्टिव है यह आपका मेनी वन है इस तरीके से आपसे पूछे जाएंगे और मेरे चोथे टाइप का नाम है बाय जेक्टिव बाय साइकल में दो टाइर होते हैं इसी बाय जेक्टिव में दो कोई ना ठीक है जी एक का एक से रिष्टा एक का एक से रिष्टा एक का एक से रिष्टा यह हो जाता है वन वन लेकिन ऑन टू भी होना चाहिए ऑन टू की क्या कंडिशन है ऑन टू की कंडिशन अभी तो आपने पढ़ी है क्या कि वह यह सारे के सारे हमारे कोडो में एंगेज होने च नहीं कह देंगे लेकिन जब हम इसको भी इससे link करा देंगे इसका भी इससे के रिष्टा बना देंगे आप देखिए ये वन वन भी ह अलग-अलग एक-एक image बन रही है, यह on2 भी है, सारे के, सारे code domain हमारे busy हो गए, तो जब कोई ऐसा function जो की 11 भी हो और on2 भी है, तो वहीया वो क्या है, वो फिर by adjective है, simple as that, देख के ही answer आप बता दोगे, example के लिए एक और ले लेता हूँ, एक set है हमारे पास, ए जिसके अंदर element है, 3, 4 and 5, एक set है हमारे पास भी, जिसके अंदर element है, x, y और z, अब 3 का, x से relation है और 5 का y से relation है अब यहाँ पर हम देखेंगे क्या देखेंगे इस z का तो रिष्टा नहीं है z का रिष्टा नहीं बन रहा तो भाईया फिर यह on to तो नहीं हो पाएगा क्योंकि सारे के सारे domain जो हैं वो होने चाहिए engage तो जब हम इसको भी engage करें करेंगे अब हमने देखा कि यह सारे के सारे एंगेज हो गए तो यह ऑन टू भी है वह सबकी एक यूनिक इमेज बन रही है सबका एक इमेज बन रही है ऐसा नहीं है कि दो से एक काम हो दूसरे एक से दो काम हो रहे हो इसका अलग है इसकी में जला गई इसकी में जला गई तीनों के अलग-अलग में तो यह वन भी है तो अगर यह ऑन टू भी है तो यह वन भी है तो अब यह बन गया क्या बाई जैक ये चारिज की मेजर टाइप थी मेरी अब आपने पढ़ लिया है मेरे बारे में तो मैं तो चला मैंने अपने बारे में आपको अच्छे से बता दिया है कि वहीया मैं क्या हू� मैं क्यों हूं मेरी कितने टाइप हैं कौन-कौन सी है उनके एग्जामपल भी दे दिए अब मैं जा रहा हूं आपके डिजर्सर आएंगे आपको सवाल कराएंगे आपको अच्छे से और समझाएंगे कि कैसे इन टाइप का सवालों में यूज करना है और कैसे आपको लिखना है वह जरूरी है कि लिखने के ही आपको एग्जाम में मार्क्स मिलने वाले तो चलो जी मैं चला आप मिलना आप सर से तो यह अपनी मुलकात आपकी फंक्शन के साथ आज शुरुआत करते एक्सरसाइज की वन पर पहला सवाल इंपोर्टेंट यहां पर लिखाओ आई चोड़ date यह साबित करो कि यह जो function हमें दिया गया है r star से r star तक जो जा रहा है जिसको defined by function 4x is equal to 1 by x जिसको 1 by x से defined किया जा रहा है आपको साबित करना है कि यह function 1 1 है और on 2 है समझ में आगे बात मतलब एक का एक से और on 2 मतलब सब को घेर रखा है ऐसे आपको सोचना है where r star is the set of all non-zero real numbers अब यह r star क्या बला है यह जो r आर स्टार है इसके में डेफिनेशन दिगाई है कि यह जो आर स्टार सेट की बात हो रही है यह क्या है इसके अंदर क्या आएंगे इसके अंदर आएंगे सारे ओल नोन जीरो रियल नंबर सारे रियल नंबर आएंगे नोन जीरो जो कि जीरो नहीं तब जीरो नहीं आएगा जीरो को छोड़कर सारे रियल नंबर डाल दो अब रियल नंबर में तो सारे नंबर आते थे वन और पॉजिटिव ठीक है नेगेटिव और आपके रेशनल नंबर रिवरेशनल नंबर सब कुछ इसके अंदर आ जाता है तो यहां पर इसका मतलब सारे नंबर इसके अंदर मिल जाएंगे सिर्फ 0 नहीं मिलेगा, 0 को छोड़कर बागी, 1 होगा, 2 होगा, minus का भी 3 होगा, कुछ बटे वाले number आपके होंगे, 1 by 3 होगा, 1 by 2 होगा, root वाले भी होंगे, इस तरके से सब कुछ होगा, अब ये रिष्टा इस तरके से, अब अच्छा इधर है, तो भाईये जो दूसरा वाला r star से लेकर आ गया अब function क्या लगाना है function लगाना है 1 by x का इसका मतलब क्या है इसका मतलब यह है कि वहीया उल्टा कर देना है हमें function x के लिए 1 by x मतलब उल्टा हो गया रहसी प्रोकल हो गया अब अगर मैं 1 का उल्टा देखूं 1 का 1 by x करेंगे तो 1 का तो 1 ही आएगा तो मैं यह कह सकता हूँ कि वहीया जी क्या हो गया यह कि 1 का यह आगया अगर मैं मुझे 1 मिलेगा ऐसे ही अगर मैं 2 पे लगाओं तो 2 पे function मिलेगा मुझे क्या मिलेगा 1 by 2 मिलेगा इसका उल्टा होके ठीक है जैसे कि 1 by x के अगर लगाएंगे हम तो इसका में मिल जाएगा 1 by 2 जो किस के अंदर आएगा ठीक है जी ऐसे ही minus के 3 पे लगाओंगा तो मुझे म देखने को मिल जाएगी तो इट मीन्स येस ये आपका वन वन होगा इतनी बाद आपको समझ में आ गई ये ठीक है वन बाई टू का उल्टा करोगे तो आपको यहाँ पर ये टू मिल जाएगा तो सबका एक यूनिक इमेज है सबका वन वन हर एक का हर एक इमेज मिल रहा है हर एक का एक काम हो रहा है यहाँ पर तो इट मीन्स येस ये क्या है ये वन वन तो है ये हमने समझ लिया अभी आपको आ गया यह 11 है अब on 2 के लिए क्या है on 2 का भी समझ लो फिर लिख के दोनों एक साथ सिखा दूँगा on 2 में क्या बताया कि सारे के सारे जो नंबर हैं वो क्या है जो भी यहाँ पर result आ रहे हैं वो सब घिरे होने चाहिए मतलब उन सब की यहाँ पर एक pre-image होनी चाहिए अब यहाँ पर अगर मैं देखूं मैं क्या देखूं मैं भाईया 1 by 2 को उल्टा करूं तो 1 by 2 की 1 by 3 का भी यहाँ पर 3 मिल जाएगा रूप 2 को अल्टा करूँ, 1 by root 2 मिल जाएगा मुझे, यहाँ पर हो सकता है, कि यह real number में सब कुछ हो सकते हैं, तो yes, it means, जितने भी यहाँ पर हमारे पास digits या number होंगे, real number, उन सब का तालूग यहाँ पर होगा, मतलब अगर हम उनको उल्टा सीधा करें, तो यहाँ पर जो number म बहुत सारे अनगिनत नंबर हैं हाँ तो तो हम यहाँ पर कोई ऐसे random नंबर नहीं उठाएंगे हम इन नंबर को कुछ मान लेंगे क्या मानेंगे देखिए मैं मान लेता हूँ let x1 एक नंबर को मैंने x1 मान लिया और एक नंबर को मैंने x2 मान लिया let x1 एक्स टू बिलॉग्स टू आर स्टार यह हमारे इस आर स्टार से बिलॉग करते हैं कोई भी नंबर हो सकते हैं वन टू थ्री ले सकते लेकिन बहुत सारे कितने ले हमें तो पता नहीं है तो मैंने रैंडम आलिए एक्स वन हमारे इसके अंदर और एक्स टू आर स्ट अगर मैं function लगा रहा हूँ x1 के लिए तो क्या आएगा बाईया उल्टा कर देना है 1 by x कर देना x का तो ये कितना हो जाएगा ये आपका 1 by x1 हो जाएगा अगर मैं function लगाऊं दिया गया x2 में तो भीया क्या है 1 by x function है तो ये आपका 1 by x2 हो जाएगा अब 1 by x1 की condition आप याद करो फटा फट ये इसलिए तो बताई थी आपको अगर आपको 1 by x1 प्रूफ करना है तो 1 by x1 के लिए आपको आपको क्या करना पड़ेगा पता है ना आपको क्या कंडीशन आपको दी गई थी वह कंडीशन यहां पर आपको लिख देनी है जैसे कि मैं यहां पर आपके लिए पहले क्या करता हूं कंडीशन अलग से लिख देता हूं कंडीशन आपको सिंपल से पता थी कि भाईया फंक्शन जो है एक्स जो है वह बराबर होना च और x बराबर y होना चाहिए अगर ये condition है तो भाईया जी बल्ले बल्ले है ये आपका 1,1 हो जाएगा तो यहाँ पर हम देखते हैं 1 by x रखा मैंने यहाँ पर x1 ठीक है जी 1 by x2 रखा मैंने यहाँ पर यहाँ पर cross multiply करी, cross multiply करूँगा, x1 की 1 में होगी, x2 की 1 में होगी, तो यह आपका आ जाएगा x1 equal to x2, ठीक है जी, तो यहाँ पर हमने क्या पाया, yes, बराबर आ रहे हैं, ठीक है, जब हम x और y मानते थे इस set को, तो हमारा x और y element होते थे, लेकिन अभी हमने x1 और x2 माना है, अब on2 को कैसे लिखा जाएगा समझा तो मैंने आपको दिया कि भाईया हर एक number की यहाँ पर एक pre-image है अब इसको लिखना कैसे है उसके लिए आपको एक चीज करनी पड़ेगी देखो ऐसे समझो ये वाला अगर set को मैं इस तरीके से मानो इस set को अगर मैं x consider करूँ इस set को मैं y consider करूँ x में कुछ function लगा ठीके x में कुछ function लगा और वो function लिखने के बाद मुझे y मिल गया तो it means मैं y equal to fx लिख सकता हूँ तो इसी चीज़ से आपको on to को शुरुवात करनी है हर एक सवाल में तो आप यही मानेंगे क्या मानेंगे आप यहाँ पर मानेंगे कि let मैंने माना let y equal to function for x यह इसके बराबर है अब fx की value हमें दे रखी है function for x की value है 1 by x तो यहाँ पर y is equal to मैं कर दूँगा 1 by x मतलब y जो है 1 by x के equal है अब यह यहाँ पर हमें पता है कि हर एक element का जो भी यहाँ पर आ रहा है अगर हम उसका उल्टा करने तो यहाँ पर हमें कुछ मिलता है ठीक है कुछ ना कुछ हमें मिल रहा है उसकी प्रीमेट यहाँ पर मिल रही है तो it means क्या लिखेंगे हम यहाँ पर लिखेंगे यही reason कि for every for every y is equal to 1 some element, कुछ ना कुछ element यहाँ पर आपको जरूर मिलेगा, तो आप यही चीज़ यहाँ पर लिख देंगे, कि there are या there is some element, कोई ना कोई element जो है, वो जरूर और जरूर मौजूद है, वो present है, कहाँ पर element in x ठीक है जो belongs to r हो रहा है जो भी real इसके अंदर real number के अंदर ही आएगा तो therefore therefore क्या बस हो गया it is on to function ये आपका एक on to function है मतलब जो बात हमने यहाँ notice करी थी कि यहाँ पर की हर एक की एक pre image यहाँ पर है तो वही हम यहाँ पर लिख देंगे for every y is equal to 1 by x जो की belongs to r कर रहा है आएगा इसका एक ना एक element यहाँ पर जरूर मिल जाएगा उससे related तो यह चीज़ हमने लिख दी और यह आपको proof हो गया ऐसे ही आपको अलग-अलग questions के अंदर ढूंढना है पहले समझ लो, समझ गए, बाद में उसको लिख लो इससे आपका concept clear होगा, समझो यहाँ पर इतनी बात पुरी हो गई अब हमें से पुछा है कि is the result true?

क्या result हमारा सही साबित होगा? मतलब जो result अभी हाया है हमारा कि भाईया यह आपका 11 भी है और on 2 भी है क्या यही result है? result आएगा अगर हम क्या करें if the domain r star is replaced by n अगर हम इस domain को यह जो हमारा पहला वाला set होता है इसको हम क्या करते हैं इसको हम लंबर ना कहे कर यह अब बन जाए क्या एक नैचुरल नंबर ठीक है बाय एंड मतलब नैचुरल नंबर प्रकृतिक संख्या अगर यह बन जाए प्रकृतिक संख्या वन से स्टार्ट होती है तो वन टू थीरी फॉर और इस तरीके से कि इनफाइनली जाएगी अब यह आपका सेट है अगर यह कह रहा है कि अगर हम डोमेन को चेंज कर दें इसके बजाएं यह और हमारा को डोमेन हमारा सेम रहे को डोमेन हमारा सेम रहे तो क्योंकि तब भी यही बातें होंगी आइए अब देखते हैं तो अगर हम वन वन के लिए देखिए x, 1 का उल्टा, 1 आएगा, 2 का उल्टा, 1 by 2 जो यहाँ होगा, 3 का उल्टा, 1 by 3 जो यहाँ होगा, 4 का उल्टा, 1 by 4 जो वहाँ होगा, तो yes, हर एक की, एक यहाँ पर image बन रही है, हर एक का, एक से यहाँ पर काम कर रहा है function, हर एक button से, एक ही काम हो रहा है तो इट मीन्स येस ये वन वन होगा समझ में आ गई बात अब ऑन टू होगा या नहीं होगा देखो ऑन टू में क्या है कि यहाँ पर जो भी नंबर आएगा उसका यहाँ पर लिंक होना चाहिए उसका लिंक होना चाहिए लेकिन अगर अगर मैं यहाँ पर देखूं, भाईया, यहाँ पर तो root 2 भी आता है, तो root 2 को अगर मैं उल्टा करूँ, तो 1 by root 2, 1 by root 2 तो natural number में नहीं होता, समझ में आ रही है बात, ऐसे ही, real number में negative number भी आते हैं, उसका उल्टा negative भी होगा, लेकिन यहाँ पर हम natural number में negative भी नहीं ले सकते ह दे दूंगा तो यह चीजें आपको सोचनी अगर यह आपने ऐसा सोच लिया समझ लो सारे सवाल आपको हलवा लगेंगे कोशिए नंबर टू करते हैं और इसके अंदर पांच ऑप्शन तो प्रैक्टिस आपकी बहुत अच्छी हो जाएगी आप करो प्रैक्टिस इतने सवाल करोगे उतने ही आसान लगेंगे और आसान है भी मुश्चिल नहीं है इतने सोचने का सारा खेले देखिए अंदर हमें क्या फंक्शन दिया गया है फंक्शन हमारा गया है नैचुरल लंबर से नैचुरल लंबर तक इसको समझो इसका मतलब यह है कि यहां पर एक नैचुरल लंबर का हमारे पास सेट था अब प्रकृतिक संघ है नैचुरल लंबर वन से टाट होती है तो वन टू थीरी फॉर एंड सो ऑन टू इनफिनिटी जैसे चलती रहेंगी टेक आउंटिंग अब यह सेट जो हमारा फंक्शन है वह नैचुरल लंबर से नैचुरल लंबर पर ही गया है मतलब जो बाद वाला सेट है वह भी हमारा नैचुरल लंबर पर आही है तो उसमें वन टू 2 3 4 5 इस तरह से कहानी हमारी चलती रहेगी यह गया है फंक्शन क्या लगा है फंक्शन पर नजर मारो फंक्शन लगा है इसके अंदर x के स्क्वेयर का फंक्शन क्या लगा है x के स्क्वेयर का मतलब यहां पर चीजें उनका स्क्वेयर होकर यहां पर कुछ हमें मिला ऐसे आपको सोचना है तो अब स्क्वेयर करो अगर आप वन का स्क्वेयर तरीके से 4 का square करेंगे, तो 16 भी इसके अंदर होगा, मतलब क्या है, मतलब यह कि हर एक, क्या, हर एक का हर एक element दिख रहा है, मतलब 1, 1, हर एक का हर एक से रिष्टा है, समझ में आ गई बात, तो it means हम यह कह सकते हैं कि यहाँ पर जो function है, वो कैसा है, वो 1, 1 है, क्यूंकि हर ए अरे एलिमेंट की इधर एक एक प्री इमेज होनी चाहिए मतलब ये सारे के सारे घिरे होने चाहिए किसी ना किसी से इनका लिंक होना चाहिए अब अगर आप रजार मारें ठीक है यहाँ पर हमने स्क्वेर करा है तो जाहिर से बात है इधर जब हम बापिस आएंगे तो हम क्य आपको चाहिए अगर आप टू का करेंगे तो पॉइंट में आपको चाहिए और पॉइंट वाले नंबर यहां पर तो नहीं है यहां पर तो नैचुरल नंबर है वन टू थी फॉर फाइव इट मींस यहां पर यह टू हो गया यह थ्री हो गया सिक्स हो गया फाइव हो गया इनकी कोई प्रीमेज यहां पर मौजूद नहीं है तो इट मींस सबके सब घिरे हुए नहीं है तो इट मींस यह ऑन टू नहीं होगा ऑन टू नहीं होगा वन वन होगा तो ऐसे हमने डायग्राम बनाकर समझ लिया है समझ में आ गई गई बात on to नहीं होगा 11 होगा अब इसको लिखना कैसे है वो है main thing number इसके नहीं मिलेंगे यह आप ना भी लिखे तो कोई दिक्कत नहीं है examiner को मतलब है इससे तो लिखना कैसे है आएए अब यहाँ पर बहुत सारे number है natural number 1,2,3,4,5 कितने इनको x1 और x2 के तोर पर कि let x1 and x2 belongs to natural number कि मैंने इन numbers में से ना कोई कोई से भी दो नंबर है, एक मैंने x1 ले लिया, एक मैंने x2 ले लिया, और ये दोनों natural number से belongs करते हैं, इतनी बाद आपको समझ में आ गई, अब अगर मैं x1 के उपर function लगाओं, x1 के उपर function लगाओं, तो function क्या है, x का square है, तो x1 का square हो जाएगा, ठीक है, जैसे x1 के जगह ह चमच में आगे बात अगर मैं x2 के ऊपर फंक्शन लगाओं तो x2 के ऊपर फंक्शन लगेगा तो x2 का square हो जाएगा ठीक है अब 1 1 की condition याद करो condition क्या है condition यह है कि वहीया function for x1 बराबर होना चाहिए function for x2 के condition यह होती है तो x1 का क्या है x1 का square है यह क्या है x2 का square है यहाँ से positive है इसलिए मैं इनको काट सकता हूँ तो x1 बराबर x2 इस तरीके से आ जाएगा और जब ये condition मुझे मिल जाएगी तो it means yes it is 11 function ये 11 function है ऐसे हमने इसको लिखना है ये तरीका है square से square इसलिए काटा है क्योंके दोनों ही natural number है positive में ही answer आएगा जब इनको हम खोलेंगे इसी वरासे मैंने उड़ा दिये है तो ये one one ऐसे आपको लिखे करना है अब आईए on to कैसे लिखना है वो भी आपको बता देता हूँ अब ये on to नहीं है subjective नहीं है ये हमें पता है समझिए ये हमारे पास y मानते हैं x में कुछ function लगा कुछ function मतलब y हमें कब मिल रहा है function लगाने पर इसका मतलब y को हम कैसे रखेंगे fx एक्स के इक्वल रखेंगे यह आपका ओन टू में तरीका होता है लिखने का मैंने आपको बता रखा है पहले भी तो इसका मतलब कैसे लिखा जाएगा हम ऐसे लिखेंगे लेट वाई जो हमें मिला है वो फंक्शन लगाने पर मिला है एक्स के अंदर तो वाई इस इक्वल ट अब अगर मैं y की जगा कुछ value put करूँ, let put 3, ठीक है, 3 belongs to natural number, अब मैंने y की जगा पर 3 put करा, ठीक है, जो कि एक natural number से belong करता है, 3 एक natural number है, तो हमें यहाँ पर मिल जाएगा root 3 का y x के अंदर, मतलब यह है कहने का, अगर मैं, इस तरीके से यह element है न आपके दोनों, यह आपका x कोई नंबर ऐसा होगा जो नेचुरल नंबर हो यहां पर अब रूट थी तो हमारा पॉइंट में आंसर है वह तो यहां पर नहीं है मौजूद तो इसका मतलब क्या है इसका मतलब यहीं लिख देंगे यहां पर कि भाइया हमारे एक्स के अंदर कोई भी ऐसा एलिमेंट नहीं है जो कि इससे बुलाउंग करता हो किससे एंस यानि नेचुरल नंबर से बुलाउंग करता हो तो जब ऐसा कोई होगा, onto नहीं होगा, तो वो ही चीज मैंने यहाँ पर लिख दे कि x जो हमें root 3 मिलेगा, मतलब यहाँ पर जो 3 था, उसके बज़क जो root लगाया, function वापिस हमने यहाँ पर देखा, तो वो तो natural number से belong नहीं करेगा, ठीक है, उसकी value natural number में नहीं आईगी, so there is no element in x, x के अंदर कोई भी ऐसा element नहीं है, जो की natural number से belong कर रहा हो, root 3 निकालने पर, तो भाईया, 4y is equal to 3, जब हम y को 3 रख रहे हैं तो कुछ भी यहाँ पर हमें ऐसा element नहीं मिल रहा है, तो इसलिए यह not onto होगा, या पिर subjective नहीं होगा, ऐसे आपको इसको कर लेना है, तो एक सवाल मैंने कराया, एक option और कराता हूँ, बाकी option आप इसके जरूर try करो अभी, सारे ही same है, तकरीबन x square, x cube ऐसे ही है, function हमें given है, क्या मतलब हुआ, तो वह इसका मतलब फंक्शन जा रहा है इंटीजर से इंटीजर तक मतलब इधर हमारे पास जो एक इसको मानते हैं तो यह हमारे पास सेट है यह वाला लोग सेट है यह किसका है इंटीजर्स का है इंटीजर्स जैट के लिए यूज होता है तो आप सकते हैं ठीक है और जीरो भी हो सकता है और आपके वन टू थ्री यह आपके चलते रहेंगे इस तरीके से वन थ्री फोर जो भी ऐसी जाएंगे यह वह सब है और यह फंक्शन गया है ठीक है गया है जो रिजल्ट result हमें मिल रही है जो images हमें मिल रही है वो भी सारी किसकी मिल रही है वो भी सब integers की मिल रही है वो उसमें भी integers आएंगे आपके positive integers हो गए negative integers होगा 0 हो गया 1 हो गया 2 हो गया minus का 3 हो गया plus minus के numbers और आपका 0 यही आपका चलने वाला है और function है क्या function लग रहा है function लग रहा है आपका x का cube मतलब जब हम यहां के number के ऊपर उनका cube कर रहे हैं तो हमें इधर कोई ना कोई value मिल रही है यह बात हमसे कही गई है आइए चेक करते हैं क्या यह मिल रही है या नहीं मिल रही है लेगे तो देखिए अगर मैं पॉजिटिव कोई नंबर लेट्स अपोस्ट मैंने लिया थी ले लिया मैंने अब तीरी का क्यों लिया होगा तीन दिया नोदिया 27 यहां पर थी है तो क 27 भी इसमें होगा क्योंकि ये भी एक integer है ठीक है positive integer है 27 तो it means अगर मैं यहाँ पर 3 के ऊपर function लगा रहा हूँ x cube का तो मुझे यहाँ पर 27 मिल रहा है क्या कुछ और मिल सकता है 27 के अलावा जब मैं 3 पर लगा हूँ नहीं क्योंकि 3 का cube 27 ही होता है ऐसे ही अगर मैं 1 पे लगाओं तो 1 का cube क्या होगा पर 1 का cube तो 1 ही रहेगा तो इसका भी मुझे एक यहाँ पर element मिल जाता है ठीक है इसका भी किसी एक से ही रिष्टा है relation है जुड़ा हुआ है ऐसे ही मैं किसी भी positive integer का लूँगा तो उसका कुछ ना कुछ positive पॉजिटिव इंटीजर मुझे देखने को मिलेगा ऐसे में किसी नेगेटिव इंटीजर का लूप लेट्स अपोस मैंने माइनस के टू का लिया अब माइनस के टू का जब मैं क्यों करूंगा तो भाग्या क्या होगा माइनस टू इंटू माइनस टू इंटू माइनस इधर माइनस का एड मिलेगा तो माइनस का एड भी इसके अंदर मौजूद होगा ठीक है नेगेटिव इंटीजर के अंतर इट मींस हर एलिमेंट का उधर हर एक एलिमेंट से किसी ना किसी एक एलिमेंट से कुछ सुविश्ता है कनेक्शन है इट मींस एक एक से रिश्ता है तो इट मींस यह यह वन होगा या यह क्या होगा यह आपका इंजेक्टिव होगा तो इंजेक्टिविटी इसकी टेस्ट हो गई कि यह यह होगा आपका इंजेक्टिव ऐसे आपको इसको सोचना है यह आपने सोच ले समझ लीजिए यह आपके लिए लेट एक्स वन एंड एक्स टू आवं कौन से लिमिट रहे बहुत सारे ना इंटिरियर्स तो बहुत सारे, कौन से पर try करें, तो आप उनको x1 और x2 माल लो, let x1 and x2 belongs to z, वो z से तालूप रखते हैं, belong करते हैं, तो अगर हम x1 के ऊपर function लगाएंगे, तो भाईया x1 का cube आजाएगा, क्यूंकि cube करना है हमें x का function, हमारा यही कह रहा है, ऐसे ही अगर हम 4x1 बराबर होना चाहिए function 4x2 के हमने इनको बराबर रख दिया x1 का function क्या है x1 का function है x1 cube x2 का function क्या है x2 cube दोनों का cube आपस में cancel out हो जाएगा तो x1 बराबर x2 बचेगा तो भाईया जी जब x1 बराबर x2 आ जाए तो it means yes it is injective ये injective है या फिर ये क्या है ये आपका 1-1 है 1-1 चेक हो गया समझ भी लिया लिखने का तरीका भी सिख लिया on 2 सोचो on 2 में क्या होता है कि इधर वाले की हर एक की एक pre image होना चाहिए सारे के सारे घिरे होने चाहिए इधर सब की कोई ना कोई pre image हमें मिलनी चाहिए अब अगर आप देखें क्या देखें अगर आप देखें let's suppose यहाँ पे कोई ना कोई positive integer हम लेते हैं यहाँ पे हमने ले लिया, चलो हमने क्या ले लिया, हमने कुछ ऐसा ले लाओं, जिससे आपको मैं अच्छे समझा पाऊंगा, मैंने 8 ले लिया, let's suppose, ठीक है, अभी समझाने के लिए ले लाओं, मैंने positive का 8 लिया, positive का 8, एक positive integer है, ठीक है, अब यहाँ पर cube हो रहा है, तो जब मैं वाप सर्जेक्टिव भी हो सकता है लेकिन जरा रुको सबर करो अब देखो ना यहाँ पर अगर मैं यहाँ पर let's suppose 5 ले लूँ अब हम वापिस देखेंगे इधर आके तो 5 का cube root तो भाईया point में कुछ होगा integer नहीं है ठीक है root 3 ले लूँ cube root 3 नहीं मिलेगा ठीक है तो इसका मतलब क बेंटो की जब यहां से यहां पर कोई प्रीमेज नहीं है तो इट मीन्स यह ऑन टू नहीं होगा बस ऐसे आपको सोचना है अगर आपने यह सोच लिया तो आपका काम हो गया तो सर्जेक्टिव का तरीका मैंने आपको बता रखा है कि भाई फंक्शन की जगह पर theory रखा, तो there is no element in x, तो जब भी यहाँ पर theory रखा, अब वापि जाओंगा, तो cube था, तो cube root निकलेगा, लेकिन root का, जब इसका theory का, जब मैंने cube root निकाला, तो मुझे इधर x के अंदर कुछ भी element नहीं मिला, यही बात मैंने लिख दी, कि there is no element in x, x के अंदर कोई element नहीं है, जब मैं theory का cube root निकाला हूँ, तो वो interior से belong नहीं करता, therefore function is not subjective, ऐसे ही आपको जाना भी जरूरी है वह लिखने का तरीका सीखना भी जरूरी है तो मैं चाहा रहा हूं फटाफट से मैं ज्यादा से ज्यादा सवाल आपके लिए कंपाइल कर दूं आइए और सवाल देखते हैं greatest integer function एक हमें function दिया गया है जो की r से r मतलब real number से real number तक ही जा रहा है मतलब की अगर यहाँ पर x और y है यहाँ पर इसके element है यह real number होंगे और यह जो function के बाद हमें मिल रही है images यह भी real number होंगी इतनी बात तो हमें आसान इसे समझ में आने लगी है अब हमें function दिया गया है given by function for x is equal to एक्स ठीक है ब्रेकेट के अंदर एक्स है अब प्रूफ क्या करना है इस नाइदर वन वन ना तो यह वन वन है और ना ही यह ऑन टू है यह आपको प्रूफ करना है मतलब वन वन भी नहीं है और ऑन टू भी नहीं है यह प्रूफ करना है अब यह एक्स जो है इसका मतलब क्या इंटीजर यह एक नया वर्ड इसका कॉन्सेप्ट समझो पहले कि यह क्या है क्या मतलब है इसका देखिए ग्रेटेस्ट इंटीजर का मतलब है यह जो एक्स है एक्स जो है वो क्या है लेस्ड और इक्वल टू मतलब वो छोटा है या बराबर है किसके ग्रेटर ग्रेटेस्ट है वो कौन से हमें लेने है वो हमें यहाँ पर लेने है relation मतलब जो गया है वो r से r तक गया है real number से real number तक गया है अब अगर मैं कोई real number यहाँ पर लिखूं ठीक है मैंने यहाँ पर let's suppose लिखा 2.3 ठीक है यह मैंने यहाँ पर number लिखा अब इस से just पहले just छोटा आपको integer सोचना है 2.3 से just पहले जस्ट छोटा जो integer होगा वो क्या होगा वो आपका 2 होगा ठीक है क्योंकि integers क्या होते है positive integer होंगे positive 1, positive 2, positive 3, 4, 5 इस तरह चलेगा तो इससे just पहले इससे just चोटा less than greatest integer जो सबसे बड़ा हो इससे पहले 1 भी तो एक integer है लेकिन नहीं 1 तो चोटा है सबसे बड़ा और पहले यह आपको लेना है तो 2.3 से just पहले 2.3 आपका कहीं यहाँ पर है अगर number line पर तो इससे just पहले क्या होगा 2 होगा ठीक है जी फिर और बहुत पहले 1 होगा तो सबसे पास का सबसे छोटा उससे जस्ट पहले सबसे बड़ा कौन सा में इंटीजर दिखाई दे रहा है वह होता है ग्रेटेस्ट इंटीजर टू पॉइंट थे लिखा तू होगा ऐसे अगर मैं टू पॉइंट सेवन ले लूं तो उसका क्या होगा उसका भी टू होगा ठीक है ऐसा मत सोचना कि पॉइंट सेवन हो गया तो थी के साथ नज़दीक हो गया तो हम थी ले लेंगे नहीं नहीं हमें तो लेस्ट देन लेना है ना कम वाला लेना है तो हमेशा हम पीछे ही देखेंगे तो इसका भी आपका टू होगा 5.8 की बात करूं तो क्या होगा 5 होगा तो integer देखना है बास समझ में आ गई बिल्कुल आ गई होगी तो यह था greatest integer का concept अब सवाल करते हैं आईए तो function कहां से कहां तक गया है function आपका गया है real number से real number तक मतलब यहां से यहाँ पर सब real number हैं इसके अंदर वास्तविक संख्या हैं और यहाँ पर भी सब वास्तविक संख्या x1 and x2 belongs to R, belongs to R, R سے belongs करते हैं x1 and x2, अब x1 and x2 के ज़िंगा आप कोई भी दो values ले सकते हैं, फिलाल मैं function लगाता हूँ तो function आपका लगेगा x1 के लिए लगेगा, तो आपका क्या हो जाएगा, आपका x1 आजाएगा इस तरीके से, चलिए जी लग गया, x2 के लिए मैं function लगा साबित करना तो मानना पड़ेगा अब यहां पर मैंने ले लिया जा ले लिया आप इसको चाहते हैं पर लिख सकते हैं कि लेट एक्स वन बी एक्सवन को मैंने ले लिया टू पॉइंट थे ले लिया एंड एक्स टू बी मैंने इसको ले लिया टू पॉइंट सेवन इनको मैंने इस तरीके से ले लिया अब यहां पर अगर हम क्या करें अगर हम यह करें कि इनका फंक्शन लगा ले देखिए फंक्शन जाएगा 2.3 2.3 अब देखो इसका मुझे greatest integer देखना है यह तो लिखना है मैं कि x जो है ना यह function क्या है यह greatest integer ही है less than equal to x तो इसका greatest integer मुझे मिलेगा यहाँ पर 2 ऐसे ही अगर मैं function for x2 लगाओंगा और इसके अंदर function लगाओंगा इसका greatest integer मुझे मिलेगा 2 अब आप देखिए इसकी और इसकी तो same image बन गई मतलब इसकी image और इसकी image same लेकिन यह वन वन तो नहीं रहा क्यों वन वन में क्या होता है हर एक की एक अलग यूनिक इमेज बनेगी लेकिन यहां पर दो नंबर कि एक image बन रही ह��, अगर मैं 2 का ही कुछ और लेने पॉइंट वाला, उसकी भी 2 ही बनेगी, तो इसका मतलब क्या है कि यहाँ पर हम देख रहे हैं, कि 2.3 and 2.7 जो यह हमने लिए है, वो जब हमने इन पर function लगाया, उसके according क्या हुआ have same image, have same image, इनकी तो same image बन गई, जो की 2 है, और same image बन गई, तो इस means यह फिर 1-1 नहीं रहे तो therefore इटे इज नोड आ वन वन फंक्शन ठीक है यह वन वन फंक्शन नहीं है ऐसे आपको इसको साबित करना है क्योंकि सेम इमेज बन गई सेम इमेज नहीं होनी चाहिए ठीक है वन वन प्रूफ हो गया अपला क्या करना है आपको अब नाइटर ओन टू अब ओन टू कैसे प्रू रहते कि भाईया यहां के जो नंबर का हमें उधर कोई इंटीजर मिला है ग्रेट इंटीजर या नहीं मिल रहा वह हमें यहां पर हमने देख लिया था लेकिन आप आप एक बात सोचिए अगर मैं यहां पर लिखूं लेट सपोस 8.5 ठीक है अब मैं यहां से पीछे की तरफ ये किसी का greatest integer हो सकता है आप सोचिए क्या ये number या कोई भी point वाला number किसी का greatest integer हो सकता है क्या नहीं हो सकता क्यूं क्यूंकि greatest integer तो आपके integer आपको पता है या तो negative values होंगी minus 1, minus 2, minus 3, minus 4, minus 5 वाली या आपकी positive value होंगी plus 1, plus 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ये point वाला number तो integer नहीं हो सकता मतलब अगर यहाँ पर कोई real number में point का number है तो वो तो किसी का भी greatest integer हो सकता है नहीं है इसका मतलब उसकी हमें यहां पर इधर कोई भी प्रीमेज नहीं मिलेगी मतलब इसका या किसी भी पॉइंट वाले नंबर का यहां पर कोई कनेक्शन नहीं है यह खाली पड़े हैं पॉइंट वाले नंबर और हमें पता है ओन टू के लिए क्या चाहिए यह नंबर इधर वाले खाली नहीं होने चाहिए सारे के सारे कोडो में एंगेज या बिजी होने चाहिए मैंने आपको यह बात समझाई थी जब पॉइंट वाले नंबर यहां पर फिरी है वो किसी से भी एंगेज या बिजी नहीं है इट मीन्स यह ओन टू नहीं हो� आ गई ऐसे आपको इसको लिखना है समझ तो गए लिखना आपके लिए ऐसे है मैंने लिख दिया है आप सारे नंबर पर तो चेक नहीं करोगे एक नंबर को साइड पॉइंट वाला उठाओ उसके थे रूप सावित कर दो जैसे मैंने यहाँ पर आपके लिख दिया आपकी आ पूर्ण थी हो गया फॉर पूर्ण सेवन हो गया अगर वह इधर है तो खाली पड़े रहेंगे उनका इधर कोई भी नहीं मिलेगा इधर होते तो मिल जाता जैसे कि हमें पता है हमने यहां पर देख लिया है लेकिन फिर वह अलग चीज हो जाएगी तो बेट रही है क्योंकि यह एक्स है यह हमेशा एक इंटीजर ही होना चाहिए और यहां पर इंटीजर हमें कोई नहीं मिलेगा तो इसलिए क्या है यह जो फंक्शन है आपका यह फंक्शन है function is not on to यह आपका on to नहीं होगा क्योंकि इधर जो point वाले हैं उनकी हमें इधर किसी से भी वो link नहीं हो रहा है मतलब वह किसी के भी greatest integer नहीं है इसलिए link नहीं हो रहा है ऐसे आपको इस नाइदर वन वन और ओन टू, ना तो ये वन वन है ना ही ये ओन टू है, ये आपको साबित करना है, एक condition दिखे गई है, where modulus x is x, modulus x की value positive का x आएगा, जब हमारा x जो है positive है, और modulus x is minus x, if x is negative, अगर x हमारा negative का है तो modulus x की value minus में आएगी, यह बात हमसे कही गई है, अब यही सवाल को हम पकड़ सकते हैं देखा रहा है तो, बहीया modulus खुलने पर value हमेशा positive ही होती है, negative नहीं होती है, आपको पता है कि अगर हम 1 का modulus खुलेंगे तो भी 1 आएगा, minus के 1 का modulus खुलेंगे तब बराबर रखो, modulus x1 बराबर x2 हो जाएगा, अब इनकी ज़िंगा हम कुछ value रखके देखते हैं, अगर मैंने x1 की ज़िंगा 1 रखा, x2 की ज़िंगा minus का 1 रखा, तो वहीया, function x1 आ जाएगा 1, और 1 का modulus खुलेगा, तो 1 ही आएगा, x2 की ज़िंगा मैंने minus का 1 रखा, minus का 1 का modulus यूंकी इस वन का जो एलिमेंट है वो क्या है सेम इमेज दोनों बना रहे हैं वन की इसलिए ये वन वन है वन वन नहीं है ठीक है नोट वन वन इसलिए वन वन ये नहीं है अब आईए आगे देखते हैं अब क्या है ओन टू के लिए वाई को फंक्शन के बराबर रखा जाता है वा function क्या है मॉडूलस एक्स है वह जिन्हारा माइनस का फाइव अब माइनस का फाइव रखा तो माइनस का फाइव इक्वल टू मॉडूलस एक्स हो गया मतलब यह कह रहा है कि मॉडूलस एक्स की वेल्यू माइनस के फाइव है लेकिन हम पता है कि मॉडूलस की वेल्य� खुलके यह बात हमने आपके लिख दी which is not possible मतलब modulus x minus 5 नहीं हो सकता which is not possible क्यों क्योंकि modulus always gives the positive value modulus हमेशा positive value हमें देगा तो इसलिए यह on to भी नहीं है ऐसे आपको इसको करना था लिख लेना फटाफट मैंने आपको समझा दिया है क्योंकि आसान सा आईए बढ़ते हैं अगले सवाल की तरफ चीज एक नई function के बारे में सवाल आ सकता है show that the signum function function क्या है रियल लंबर से रियल लं� सिगिनम फंक्शन है यह, अब इस सिगिनम फंक्शन की क्या बात है, कौन सा फंक्शन होता है, समझाता हूँ, देखिए फंक्शन का मतलब आपको पता है, basic मतलब कि कोई काम हो रहा है, मतलब हमने कोई input दिया है, हमने कोई button दबाया है, और उससे कोई output निकल के आ गया है, उस भी positive value रखें कुछ भी, positive का कुछ भी रखें 1 रखें, 2 रखें, 3, 4, 5, 3, 5, 6, 70, बड़े सी, बड़ा, शोड़े, शोड़े नमबर रखें positive का रखें, लेकिन उसका output सिर्फ हमें positive का 1 मिलें, जी हाँ, मतलब कोई सा भी positive का button दवा लो 1 निकल के आएगा, ऐसे function को हम बोलेंगे, signum function, और भी चीज़े हैं, अगर हम input में 0 रखें, तो 0 रखने ��र हमें output में सिर्फ और सिर्फ 0 मिलेगा, ठीक है ऐसे ही, अगर हम input इंपूट दे एनी निगेटिव नंबर कुछ भी निगेटिव नंबर हो सकता है कुछ भी माइनस वन माइनस टू माइनस का 25 कुछ भी निगेटिव रखें उसका आउटपुट हमें सिर्फ मिलेगा माइनस का वन जी हां यह सिगनम फंक्शन बिल्कुल मेरे शॉट ना मिले सिर्फ वन मिले पॉजिटिव का जी रखने पर जीरो मिले और एनी निगेटिव इंटेजर या निगेटिव नंबर रियल रखने के बार हमें minus का 1 ही मिले तो ऐसे function को हम बोलते हैं कौन सा function? सिगनम function समझ में आ गई बात? अब आइए इसको diagram बना के भी मैं आपको समझा देता हूँ जैसे की real number से real number तक हमारा जो set गया है और सिगनम function इसके अंदर लग रहा है सिगनम function लग रहा है यहाँ पर let's suppose मैंने positive की कोई वेल्यू रखी मैंने 1 रखा, मैंने 2 रखा, मैंने 3 रखा, मैंने 4 रखा, मैंने 5 रखा ठीक है?

कुछ भी value रखने पर हमें इदर क्या मिलेगा हमें सिर्फ वन मिलेगा positive का मतलब इसकी image भी यही बनेगी इसकी image भी यही बनेगी इसकी image भी यही बनेगी इसकी image भी यही बनेगी इसकी image भी यही बनेगी इनके अलावा जितने भी positive के आ जाएंगे हजारों लाखों के इतने भी आ जाएंगे सब की कोई भी negative का number रखता हूँ, मैं minus का 1 रखता हूँ, मैं minus का 2 रखता हूँ, minus का 3, minus का 4, कुछ भी रखता हूँ, सब की value, सब का मुझे image जो है एक ही मिलेगी, जो की क्या है, minus की 1 है, तो इस तरीके से इसका diagram बनेगा, अगर हम बना कर देखना चाहें तो, तो आपको पता है कि अब ये 1, 1 नहीं है क्योंकि यहाँ पर हमें same image मिल रही है, बहुत सारे elements की, इसलिए ये नहीं होगा, यही हमें सावित करना है कि ना तो ये 1, 1 है, ये सावित करो, ना ये on 2 है, ये सावित करो तो समझ में आ गया, सिगनम function क्या होता है, इसको मैंने आपको दिखा के भी समझा दिया, अब चीज़े आपको clear हैं, आईए अब लिखने वाला काम करते हैं, कैसे इसको लिखा जाएगा, लिखने का तरीका वही है, कितनी बार आप लिख चुके हो, आपको अब red भी गया हो� पर खोलूंगा तो 2 हमारा एक positive number है और positive है तो फिर positive का 1 ही आएगा कुछ भी positive का हो तो यहाँ पर भी 1 मिल रहा है यहाँ भी 1 मिल रहा है तो it means क्या हो गया it means वही बात लिखनी है कि as two elements have same image जब हमने देखा कि बईया 1 की भी 1 image बन रही है 2 की भी 1 image बन रही है 3 होता हो उसकी दिया function हमारा ये रहा पूरा जो हमें यहाँ पर दिया गया है, तो function की ज़ंगा मैंने यह लिख दिया, अब देखिए, y की ज़ंगा अगर मैं 3 रखता हूँ, अगर मैं y की ज़ंगा 3 रखता हूँ, let's suppose इधर देखो, यहाँ पर diagram समझो, यह x है, यह y है, यहाँ पर मैं 3 रखता हूँ, तो क्या, यहाँ कोई भी ऐसा number इधर नहीं है जिसका जो result आये वो 3 है मतलब 3 से इधर कोई belong नहीं करता तो जब 3 से यहाँ पर कोई belong नहीं करता तो it means क्या? it means यह on 2 भी नहीं है तो as y is equal to 3 is not an image मतलब y जो है 3 रखने पर यह किसी की भी image नहीं है x में से not on 2 है ऐसे आपको इसको लिखके कर लेना है question number 6 बहुत हलवा सवाल है फटापट से पर सब्सक्राइब करने के लिए समझा रहा हूं अगला सवाल इंपोर्टेंट वह ध्यान से देखना फिर सवाल है कि लेट ए एमेट एलीमेंट है वन टू थ्री बी हमें एक सेट दिया गया एलीमेंट फूर फाइव सिक्स एंड सेवन और यह फंक्शन चोड़ फंक्शन एड से बी तक गया है शो देट फंक्शन इज वन वन वन फंक्शन साबित करो तो यह फंक्शन एड टू बी गया है क्या है? 1, 4, 2, 5, 3, 6 1, 4, 2, 5, 3, 6, अब 1, 1 साबित करना है 1, 1 में क्या है? पता है आपको 1, 1, हर एक unique की हर एक unique image बनेगी, मतलब हर एक element की हर एक element से एक अलग रिष्टा होगा, तो यहाँ पर देखिए, 1 का 4 से रिष्टा है 2 का 5 से रिष्टा है, 3 का 6 से मतलब हर एक element का, हर एक element से unique रिष्टा है, किसी का किसी से same image नहीं बन रही है, 1 की 4 बन रही है 2 की 5, 3 की 6, सब की एक unique image है यही बात हम लिख देंगे, as every element of A has a unique image in B जब A की हर एक element की, B की element की एलिमेंट के अंदर यूनिक इमेज बन रही है फंक्शन इस वनवन सिंपल चुड़ा सवाल था एक नंबर में आ सकता है कर लेना अगला सवाल देखो कोशिश नंबर 8 आपकी बुका में करवा रहा हूं बाकी कोशिश साहब ट्राइड करना अपने हाथ से आपसे बुने लगेंगे अब यहां पर सवाल देखिए अच्छा सवाल है लेट ए एंड बी बी सेट्स ए और बी सेट्स है आपको समझाने 2 ठीक है जी यह सेट के एलिमेंट है एक दूसरा सेट है भी जिसके अंदर मैंने एलिमेंट मान लिये क्या है 3 and 4 उसके एलिमेंट है ऐसा आप इसको समझ लो अब यहाँ पर function जो है वो है a into b to b to a मतलब a cross b से b cross a तक गया तो पहले मैं इनका a cross b निकाल लेता हूँ आए एक रोस भी निकाल लेंगे तो 1 3 आ जाएगा फिर 1 को 4 के साथ लिख दो 1 4 आ जाएगा फिर 2 को 3 के साथ लिख दो 2 3 आ जाएगे और फिर 2 2 को 4 के साथ लिख दो, 2, 4 आ जाएंगे, तो यह आ गया A cross B या A into B, अब B into A भी निकाल लो, ठीक है, इसका उल्टा भी निकाल लो, तो B cross A भी निकाल लेते हैं, क्योंकि वो भी हमें दिया गया है सवाल में, अब B cross A का मतलब पहले B के element, तो 3, 1 के साथ आ जाएगा, ठीक है cross b है यह b cross a है function जो गया है वो a into b से b into a गया है मतलब a into b यह रहा हमारा उसके element अब यहाँ पर लिख देते हैं क्या क्या element है आपके 1 3 है आपका 1 4 है आपका 2 3 है और आपका 2 4 है यह आपके element गया है और यह है आपका b into a या b cross a 3 और 1 आ रहा है 3 and 1 3 और 2 आ रहा है 4 और 1 आ रहा है रहा है और फॉर और टू आ रहा है यह एलिमेंट आ गए अब फंक्शन क्या है एंटू बी से बी टू ए या एक रोच ऐसे बी क्रोस ए तक अब यह फंक्शन यहां से यहां तक चला गया मतलब इन से यह हमें मिला ऐसे आप समझो ठीक है जी चलिए और क्या है इस तरीके से कि फंक्शन ए भी जो है वह बीए हो जाता है मतलब जब हम ए भी बीए हो जाता है मतलब इनकी पोजिशन चेंज हो जाती है अब ऐसा कुछ यहां पर हमें दिख रहा है या नहीं दिख रहा यह हमें देखना है और हमें सावित करना है कि यह बाईजेक यह वन वन भी है और यह ऑन टू भी है जब दोनों हो जाएं मतलब यह वन वन भी है ठीक है जी और यह ऑन टू भी है दोनों जब हो जाएं तो बाय एक्टिव होता है अब देखिए कैसे होका देखिए फंक्शन कैसा गया आपका एबी से बी हो गया मतलब वन थीरी से थीरी और 2 4 का 4 2 दिख रहा है, हाँ जी दिख रहा है, अब यहाँ पर हमने देखा सब के उल्टे फंक्शन यहाँ पर मिल गए, A B का B यह इस तरह से मिल रहा है, अब देखिए, हर एक एलिमेंट की इधर एक यूनिक इमेज बन रही है, हर एक एलिमेंट का सिर्फ एक ही एलिमेंट ओन टू के पहचान क्या है कि सारे कोडो में बिजीया एंगेज होने चाहिए अब यहाँ पर देखिए हर एक की यहाँ पर एक प्री इमेज है 3-1 की प्री इमेज 1-3 है, 3-2 की 2-3 है, 4-2 की 2-4 है, 4-1 की 1-4 है सब की प्री इमेज भी दिख रही है, इसका मतलब या आपका ऑन टू भी है समझ में आगा ही बात यह तो मैंने आपको प्रैक्टिकली करके दिखा दिया अब लिखने का सारा खेल लिखने के आपको मार्क्स मिलेंगे इसके मार्क्स मिलेंगे लिखना कैसे वह आपको पता है कि वह यह एक एक एक एक टू इस तरह साथ मान किसको मानेंगे, दो को आप मानेंगे, वो लिखेंगे, तो आईए अब मैं वो सब आपको लिखके समझा जाता हूँ, लास्ट कॉशिन ओफ दा वीडियो का अब आप लिखने का तरीका सीख लीजिये, तरीका मैंने आपको बता रखा है, कई सवालों में एक बार और देखो, जो एबी और सीडी है यह एक रोस बी से तालूक रखते हैं उससे यह रिलेट करते हैं बिलॉक करते हैं जहां पर एंड सी एवर सी जो है वह क्या है एवर सी देखिए आप ए और सी यह तो सेट एक ही पहले वाले की जगह पर इसका मतलब सेट ऐसे बिलॉक कर समय लगते हैं यह बिलॉक एक रखते हैं और बी ओर डी यह बाद में है तो यह दूसरे वाला सेट इसीडी का जो है वह डीसी बन जाएगा क्योंकि यह हमें से कहा गया यह function कैसा कर देना है मैं उल्टा कर देना है तो जब मैंने दोनों function को बराबर रखा जैसा मुझसे कहा गया था मैंने वैसा कर दिया उल्टा कर दिया तो यहाँ पर जब हमने comparison किया तो मैंने देखा B इदर शुरू में इदर D शुरू में मतलब B और D ही एक set में आ जाते हैं ऐसे ही A इदर बाद में C इदर बाद में तो A और C बराबर हो जाते हैं same value है same जगह पर यह पाए जाते हैं एबी बराबर हो गया CDK मतलब एबी जो है वो CDK equal आ गया है और जब ये function हमारे equal हमें मिल जाएंगे क्योंकि इसका उल्टा BA का AB हो जाएगा और DC का CD कर देंगे हम इस तरीके से ये पलट दिया तो ये बराबर हो गया तो हमारा function 11 proof हो गया जो कि मैंने आपको पहले समझाने के हमारी क्लियर प्रूफ हो गई अब देखिए अगली चीज ऑन टू प्रूफ करना है तो फाइल को फंक्शन के बराबर हमने रखा फंक्शन इसको टू वाइट फंक्शन हमारा है क्या एफ एबी बराबर बीए तो एफ एबी बराबर बीए है अब यहां तो देखिए ए जो है वह ऐसे बिलॉक होता है मतलब सेट एसे पहले वाले से और भी वाद बाले से फंक्शन में देखो ए जो है यह हमारा सेट एक होगा ठीक है पहले तो पहले वाले सेट में होगा भी हमारा बाद में है तो बाद for every BA belongs to B जब हम इसमें B में देख रहे हैं B set के अंदर BA के लिए यहाँ पर A set के अंदर A भी मौजूद है समझ में आ रही है बात कि हर एक इसका हर एक इसका जो हमारे पर code ओबेन है उसका एक यहाँ पर हमें pre-image मिल रही है कि 31 के लिए 13 मौजूद है 42 के लिए 24 मौजूद है यही बात हमने आप लिखित में लिये कि BA के लिए A भी मौजूद है तो इसका मतलब जब B A के लिए A B मौझूद है तो इस तरीके से C A के लिए A C B होगा इसी तरीके से जब भाईया हर एक element के लिए जब उसका उल्टा available है मौझूद है तो ये क्या है ये आपका on to हो जाएगा तो ऐसे आपको इनको लिखना है में तरीका आपका ये है लिखने वो आपको ऐसे लिखना है तो यह था relation and function के बारे में मोटी-मोटी चीजें जो मैंने आपको बताएं सबसे पहले इस वीडियो मैंने आपको relation और function से मिलवाया ठीक है उन्होंने खुद आपको concept बताएं कि relation क्या होता है कितने उसके type होते हैं बहुत अच्छे थे समझाया function क् सीख लिए हैं बच्चे हु� आपके लिए हैं आपको प्रेक्टिस करनी पड़ेगी क्योंकि जब आप सवाल सॉल्व करेंगे जब आपको सवालों को सॉल्व करना आएगा सिर्फ देखने से नहीं आती मैथ करने से आती है इसलिए आप भी ट्राइड करना और जो सवाल में डाउट हो वीडियो को पहुंचाए उनको बताइए उनको अपडेट कीजिए ताकि यह आपकी छुट्टी बुली है इसलिए आप मेरे साथ अच्छे से अपनी क्लास ट्वेल्थ को तैयार कर लें बहुत जल्द लोटूंगा एक और नई वीड