Toppunktsformel for andengradspolynomier

Overview

I denne lektion blev toppunktsformlen for andengradspolynomier (parabler) bevist, inkl. både x- og y-koordinat for toppunktet, samt grafens symmetri.

Toppunktsformlen for andengradspolynomier

• Et andengradspolynomium har formen ( f(x) = ax^2 + bx + c ).
• Diskriminanten defineres som ( d = b^2 - 4ac ).
• Toppunktets x-koordinat er ( x_t = -b/(2a) ).
• Toppunktets y-koordinat er ( y_t = -d/(4a) ).

Bevis og symmetri

• Parablens graf er symmetrisk omkring en lodret symmetriakse gennem toppunktet.
• Hvis man bevæger sig et stykke h til højre og venstre fra toppunktets x-værdi, fås samme y-værdi.
• Ligningen ( f(x_t - h) = f(x_t + h) ) bruges til at bevise symmetrien og x-koordinaten.
• Udvikling med kvadratsætninger og reduktion fører til ( x_t = -b/(2a) ).
• Udtrykket for y-koordinaten findes ved indsættelse af ( x_t ) i funktionen og reduktion til ( y_t = -d/(4a) ).

Kvadratsætninger (benyttet i beviset)

• ( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 )
• ( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 )

Key Terms & Definitions

• Andengradspolynomium — En funktion af typen ( f(x) = ax^2 + bx + c ).
• Diskriminant — Udtrykket ( d = b^2 - 4ac ) benyttet til analyse af parablens rødder og toppunkt.
• Toppunkt — Punktet på parablens graf med enten maksimum eller minimum.
• Symmetriakse — Den lodrette linje gennem toppunktet, hvor parablen er spejlet.

Action Items / Next Steps

• Øv at udregne toppunkt for forskellige andengradspolynomier.
• Læs om hvordan diskriminanten bruges til at bestemme rødder.