Hejsa, i den her video vil jeg bevise top-punks formelen for angrebsplanoer. Den ser sådan her ud. Den siger jo, at hvis vi har et angrebsplano, som er på den her form her, og hvor vi selvfølgelig har defineret diskriminanten som b i anden minus 4 gange a gange c, så er toppunktet for, hvad hedder det, for parablen, den er givet ved minus b over 2a kommer minus d, altså diskriminanten, over 4a.
Godt. Så det kommer der bevis for. Men først kommer der lige en tegning her.
Yes. Fordi det er jo Det der er en parabel, så grafen får et andengrebspronomen. Og toppunktet er jo det sted her.
Der. Hvis det nu er en glad parabel, så er det det laveste sted. Hvis det er en superparabel, så vil det være det højeste, så vil det være maksimum. Godt. Og det som beviset udnytter her, det er at sådan en parabel er simmetrisk.
Den har en symmetriakse, som går her. Der. Og toppunktet må jo nødvendigvis ligge på den symmetriakse. Godt.
Så hvis nu kalder X, hvad hedder det, nej, vi kalder den XT her, for X-koordinaten til toppunktet, den må ligge på den. Og det, at denne parablen her, den er symmetrisk, det betyder, at hvis vi går et lille stykke ud, hvad hedder det, til... til højre her, og op og finder den tilsvarende y-værdi, så vil det være det samme som hvis vi går lige et stykke til venstre og går op og finder den tilsvarende y-værdi. Så med andre ord her, hvis jeg nu bevæger mig en lille størrelse h, Den der vej finder jeg en x, fordi den hedder xt. t plus h, og den har et punkt deroppe, og så kunne jeg jo så flyde, ja fuck, sådan her, og tilsvare den anden vej, og så få et punkt herovre, som hedder xt minus h, og hvis jeg så går op og finder de to punkter her på grafen, så vil de altså have samme y-værdi.
Sådan der. Så med andre ord, funktionsværdien af xt minus h, det må være talt i med funktionsværdien af xt plus h. Godt.
Så ideen i beviset er, at jeg kan løse den der linje og isolere xt, og så skulle jeg gerne komme frem til, at den er minus b over 2a. Og det fede ved det her bevis er, at det er ikke nok ved, at jeg så får vist, at topbundets eksklinat er minus b over 2a. Jeg får faktisk også vist det her med, at parablen er symmetrisk.
fordi vi skal nu have vist Hvis vi skal vise, at den her ligning her ikke afhænger af h, så er den ligegyldigt, hvor langt vi bærer os ud og fra. Så har den samme højde, så er den symmetrisk. Så det er virkelig de to ting, man får bevist på én gang.
Godt. Så jeg prøver at se, om jeg isolerer xt i den der. Så det vi har gjort, det er, at vi har taget xt minus h og sat den ind på x'es plads.
Så skal vi selvfølgelig også gøre det her. F af xt minus h er altså det samme som a gange xt minus h i anden, fordi det er jo det her, og så kommer der et plus, og så b gange xt minus h, så fik vi det der stykke der, og så var det plus c til sidst. Og så kommer der det lige tegn derfra, og så skal vi gøre det samme, hvor vi sætter xt plus h ind, Tak. så det vil sige, at det er a gange xt plus h i anden, og så plus b gange xt plus h, og så plus c til sidst.
Godt nok. Så nu fik jeg den her ligning skrevet ud. Det var den symboliske måde, det er sådan i praksis. Det er faktisk det, vi mener med. Godt.
Så skal vi se, om vi kan få isoleret xt i den her. Det første vi gør, er at vi skal her ophæve de her parenteser her. Der er nogle parenteser, som er anden, og der skal vi bruge kvadratsætningerne til dem. Måske kunne jeg lige sætte dem ganske kortskribeligt op her, kvadratsætningerne.
Vi har jo en sådan... Hvis vi har a plus b i anden, så er det samme som a i anden plus... b i anden plus 2ab, og så har vi en anden kvadratsætning, som hedder a minus b i anden, og det er jo det samme som a i anden plus b i anden minus 2ab.
Godt, så dem skal vi bruge. Så den første her, der står så xt minus h i anden, så det er en anden kvadratsætning. Sådan her.
Ups, der er det lidt. Ja, og a'et her, det holder vi lige udenfor. Så hvad hedder det?
Så når vi bare bruger kvadratsætning på den, så får vi altså først det første led her i anden, xt i anden, og så plus det andet led i anden, og så er det mi. Minus 2 gange det første led, gange det andet led. Sådan der.
Så har vi den der, den gør ikke noget ved det, den er bare stået. B gange xt minus h. De her serier her, de kan gå ud med hinanden med det samme, for det er større at se på begge sider, så det trækker frem.
Så herovre igen bruger vi kvadratsætningen på den her parentes, men det er så den første kvadratsætning. Så skal vi sætte ordet her, og a'et venter vi lige med, så det holder vi lige udenfor. Så vi tager xt i anden plus h i anden, og så bliver det jo plus 2 gange xt gange h. Godt, og det er jo så det der, og så den der, den lader vi også bare stå, som den er, plus b gange xt plus h, sådan, yes, godt, så har jeg...
Så har vi igen nogle parentheser her, der ganger vi ind i parentheserne. Så hvad hedder det? Så a vil gange på alle de led her, så der kommer til at stå a gange xt i anden plus a gange h i anden minus...
og det er jo så a gange 2 xt gange h, jeg skriver det som 2a xt h, og herovre, der bliver b gange 1, så det er b gange xt, og b gange minus h, det vil sige minus bh, og a gange xt i anden, og a gange h i anden. Og så er den her a gange 2xth, og igen skriver jeg det som 2axth, fordi faktorens orden er jo ligegyldig. Ja, og så er det til sidst den her b gange...
gange xt plus b gange h. Nå, der blev en hel del, der skulle skrives op her. Så nu er lige enkeltet ved at være lidt langt og ulovs guld. Men nu er der heldigvis en hel del, der forsvinder, fordi vi kan se, der står a gange xt i anden, og det gør, at det er en hel del, der skal skrives op her.
Det gør der også der, så vi trækker a gange xt anden fra på bx'et i lighedstegn. Der står a gange h i anden, det gør der også der, det kan vi også trække fra. Så står der b gange xt, og her står også b gange xt, så vi kan også trække b gange xt fra på bx'et i lighedstegn.
Så lad os bare lige skrive det op, vi har tilbage her. Vi har altså den her Minus 2 A x t h og den her er minus b h. Herovre har vi plus 2a xt h og plus b h.
Så nu begynder det at være lidt mere opfyldt. Så vi skal isolere xt stadigvæk. Den har vi på begge sider af ligestegnet, så derfor prøver vi lige at samle det lidt her. Så det jeg gør, det er, at jeg lægger b h til på begge sider af ligestegnet, så jeg trækker 2a xt h fra på begge sider af ligestegnet. Så hvis jeg nu trækker 2a, altså den der fra på begge sider af ligestegnet, så er der først trukket 2 fra, så er der pludselig trukket 4 fra nu.
Minus 4axth. Sådan der. Og så lægger vi bh til på begge sider af ligestegnet, så det vil sige, at der var en i forvejen, så nu er det lige pludselig 2bh.
Yes, så nu er vi der næsten, fordi, hvad hedder det, nu har vi xt stående der, og den står kun der, der er bare lige ganget med minus 4ah, så vi skal dividere med minus 4ah på begge sider af ligestegnet. Så står der xt lige med 2bh, divideret med minus 4a. H.
Yes. Så nu er den isoleret. Nu skal vi bare lige se, om vi kan forkorte det her lidt. Og det kan vi jo, fordi der er ganget med H og divideret med H, så det går ud med hinanden.
Og her er ganget med 2, altså ganget med 4, men 2 går op i 4, så det vil sige, at vi kan også forkorte med 2 her. Godt, og så er minuset der, det må vi jo stille, hvor vi vil heldigvis i sådan en bryg der, hvis der kun er et minus. Så det vil sige, at her forsvinder to-tallet af h'et, der er bare b tilbage, og der bliver forkortet med 2, så der er 2a der.
Yes. Så xt er lige med minus b over 2a. Godt.
Det er dog det, der er slut. Så nu kom vi igennem det. Og som sagt, vi har fundet ud af, at den afhænger ikke af h', så igen, så har vi ikke kun bevist det her med. Faktisk har jeg lige fået bevist, at den er symmetrisk kraft. Ja, så meget lykker den end, og den kan man jo selvfølgelig også godt bevise. Og det er ikke så svært, hvis man er god til at reducere, så er det nemt, hvis man er dårlig til at reducere, så er det lidt omfattende.
Det er det her foran. Jeg visker lige det her ud, og så prøver jeg lige at bevise den der også. Så vi har jo vores funktion af a x i anden plus b x plus c. Og vi har det punkt der, toppunktet, og nu har vi fundet x-koordinaten. Og for at finde den tilsvarende y-koordinat i den, så er det simpelthen bare at sætte x-koordinaten ind. og så udregne, så får vi y-koordinaten.
Så mandover, så tager vi bare den her og indtænder på x'es plads, og så vil vi gerne få, at det er lige med minus d over 4a. Så det prøver vi her. f af minus b over 2a. Godt nok.
Det svarer altså til at sætte minus b over 2a ind på x'es plads. Så a gange, og så skal vi lige have faldet en parenthes her, minus b over 2a, og det skal jo i anden, og så plus b gange x, som igen er minus b over 2a, og så plus c til sidst. Tak. Ja, godt nok.
Så det her skal vi lige have reduceret lidt, for det skal jo helst komme til at ligne det her. Altså, det er jo y-kornalen her, men den skal jo reduceres til det her. Så først skal vi lige, den der brøk her, den skal vi lige have i anden. Så måden man sætter en brøk i anden på, det er jo, hvis det tæller i anden og nævner i anden.
Godt, så hvad hedder det? Så minus b gange minus b, det er altså b i anden. Og 2A 1x2A Det er 4a i anden. Ja.
Der. Og så har vi den der. Den kan vi godt lide at ophæve med det samme, den parentes her.
Vi tager b og ganger med minus b. Det giver så minus b i anden. Og så minuset, det sætter vi lige herud, tror jeg.
Så minus... B i anden og 2A. Og så har vi C'et der.
Yes. Godt. Så vi ganger den her op i tilladen. Og så samtidig forkorter vi lige lidt her, fordi hvis vi nu ganger den på der, så kommer det til at stå a gange b i anden. Men hernede har vi også divideret med a i anden, og vi har divideret med a to gange.
Så når vi ganger den op, så går den ud med det ene a herude, så det vi har tilbage egentlig, det er b i anden over 4a. Yes. om Her har vi en bryg.
Den bryg forlænger jeg lige med 2. Så gange med 2 både tæller og nævner. Sådan der. Og der har vi C. Og C er jo i princippet også en bryg, fordi vi kan skrive C divideret med 1. Så den bryg kan jeg også forlænge.
Og det gør jeg med 4a. Så det tager sig C og gange med 2. ganger den med 4a, 4ac, og dividerer med 4a i baggrunden. Yes. Ja, og det fede ved det, det er, at nu har vi tre brygger med en fælles nævner, så dem kan vi sætte på fælles brygstreg. Så der kommer til at stå b i anden minus 2b i anden.
Plus 4ac, divideret med 4a. Og b i anden minus 2b i anden, det er så bare minus 1b i anden. 4ac over 4a.
Og prøv lige at se, den her, den ligner jo faktisk vores diskriminant her. Der er bare lige noget med nogle foretegn. Minus b plus... plus 4ac, der skulle have været plus b'en minus 4ac. Så det kan vi løse ved at sætte et minus udenfor en parenthes.
Så det vil sige, at i parenthesen kommer det til at stå plus b'en minus 4ac over 4a. Og den her, nu står den fuldstændig som diskriminanten heroppe, så det bliver altså minus diskriminanten over 4a. Ja, der står ikke 49, der står 4a. Godt, og det der var jo lige præcis det, det skulle give. Så nu fik vi bevist både eksklinaten og y-klinaten.
Yes, godt, tak fordi I så med.