תודה רבה. ערב טוב לתלמידי אשנב למתמטיקה, ברוכים הבאים לקורס וללימודים בעזרת מערכת אופק. אני בין השאר גם מרכז הקורס כך שבעצם כל הבעיות שנוראות לקורס ופחות של דבר צריכות להגיע אליי, כך שאתם מוזמנים לפנות, יש לכם את כל הפרטים שלי, אם יהיו שינויים אז אנחנו מודיע גם בעזרת... אתר הקורס שאתם מוזמנים להיכנס אליו ולעיין בה מהדברים השונים שיש שם חוץ מזה לגבי הקורס עצמו כדאי מאוד לדעת לקחת בחשבון שלמרות שמו שיכול לעטות ואומנם ישנב אבל זה ישנב רציני אנחנו הולכים לעשות מתמטיקה ברמה גבוהה, ברמה אקדמית, ולכן זה קורס קשה.
והוא רק מכין אתכם לקראת הקשיים האחרים שיבואו בקורסים שתלמדו במתמטיקה במהלך השנים, לקראת תואר במדעי המחשב או תיארים אחרים שנדשת במתמטיקה, ולכן קחו בחשבון שלא מדובר בעבודה קלה במהלך הסמסטר הזה. המטרה של הקורס היא בעיקר להרגיל אתכם לחשיבה מתמטית נכונה, להתבטאות מת מטית כהלכה ופחות או יותר להתרגל כיצד מוכיחים טענות מתמטיות. אלה הדברים העיקריים ויש יחסית, למרות שאולי לא תסכימו את זה במבט ראשון, יש יחסית מעט חומר. בקורסים הבאים יהיה גם הרבה חומר וגם הרבה מין הרוח שאנחנו ננסה ללמוד בקורס הזה.
אבל הקורס הזה בעיקר מיועד להרגיל אותנו לקראת מתמטיקה גבוהה. הלימודים שלנו באמצעות מערכת אופק, כפי שאתם רואים הם אולי קצת מנוכרים אבל אני מקווה שלא יהיו. יותר מדי מנוכרים ושאתם תשתמשו באמצעים שנאפשרים לנו התקשרות מהירה ונוחה בברך כלל אז ההתנהגות פחות או יותר צריכה להיות כמו בקיטה רגילה כולל המשמעת שאני מקווה שאתם תשמרו עליה כדי שכל אחד יוכל מלמרות יד ראש של המורה ליהנות משיעור שקט ונינוח ולא... יהיו כאלה שיאפריעו בכיתות אז חוץ מזה באמת ננסה כאמור להתנהג כמו בכיתה רגילה מישהו רוצה להצביע אז בכיתה במיני מילה תחל מלימים את היד או אומרים מילה אחת כאן צריכים פשוט להקיש צולמית תשע וזה בעצם הדבר העיקרי אלא שמה שקורה לפעמים שאולי אתם התוותם אבל כבר אין טעם שתדברו ממש אולי מישהו אחר ענה על השאלה או אתם מתחרטים אז כדי לווטל את ההצבעה, כדחו להוריד את היד פשוט תקישו סולנית חמש ואז אתם לא תופיעו כאן כמעט ואין ואני לא אפנה לכם לחינם זהו פחות או יותר מבחינה טכנית וכל מה שהיינו צריכים לדעת עכשיו אני רוצה לעבור אל החומר עצמו, ורק לפני כן אני רוצה להזכיר שמי שיש לו שאלות מעבר למה שאנחנו מספיקים לענות כאן, אז הוא מובמן, קודם כל, להתקשר אליי, מספר הטלפון שלי. מוכר בחוברת הקורס שהנרץ ככה, ואת החוברת הזאת, יש בכל המילה לגבי התנהלות הקורס, אבל חוץ מזה יכול להפנות שאלות ובקשות גם בפורום שמופיע באתר הקורס, אנחנו נשתדל לענות בהגדל.
בעניין הגשת המטלות שהוא עניין חשוב ורציני, ושימו לב אתם חייבים... להגיע למשקל של 15 נקודות הגשה אם תסתכלו על כל מטלה יש חוץ ממועד הגשה יש גם משקל מסוים אז הם צריכים להגיע למינימום 15 אם אתם עוברים את המשקל הזה אז זה רק לטובה מפני שאז מה שיקרה זה שבחישוב הסופי של הציון אנחנו משקלר רק את המטלות שעוזרות מעבר ל-15 נקודות שעוזרות לשיפור הממוצע אלה שעלולות להנמיך את הממוצע, למשל כאלה שהציון שלהם קטן מן הציון של הבחינה הסופית לא ייחשבו אוטומטית ובאופן כללי, אם הגשתי מעבר ל-15 נקודות אז הציונים הנמוכים, המטלות עם הציונים הנמוכים ביותר לא ייחשבו, אלה אם כן בכל זאת הן יכולות לשפר את המימותה. זהו פחות או יותר. אם נדרשת לכם תחייה מסוימת בהגשת מטלת זו או אחר, ואנחנו אף פעם לא נסמקח על כמה עינים, אם מישהו צריך אפילו עד שבוע מותר לכם לאחר, אנחנו לא נתייחס לזה. לא במטלות המנחה ולא במטלות המחשב.
אני אומר זאת מראש, מפני שלפעמים יש עזבלים בין ה... תאריכים של ההגשה לבין התאריכים שקבענו את המפגשים לא תמיד הדברים מסתדרים בצורה נוחה אז אני מעדיף לתת לכם את האופציה הזאת היתר שתגישו מטלות ונבטא לכם אם כן על כמה עם איחור לא נתייחס לזה החלק הראשון של הקורס שלנו צק בקבוצות לא הייתי אומר תורת הקבוצות, זו תורה גדולה וענקית קשה, אנחנו לומדים רק כמה נושאים וזה יקרה האמת בכל הקרקעים הבאים אנחנו נוגעים לנושא מתמטי מסוים טיפה לומדים ההגדרה אחת או שתיים לפעמים כמה משפטים, כמה טענות ובעיקר מנסים ליישם את הדברים שלומדים ותרגילים בעשיית הוכחות אז אני ארשום פה כמה מילים על קבוצות לא מפני שאני הולך כרגע ללמד אתכם את החומר ואני מקווה שהבנתם את רוח הדברים באוניברסיטה הפתוחה שהמצא הוא הספר אנחנו רק נישם את מה שכתוב שם וחשוב מאוד שתגיעו לכל מפגש כשכבר קראתם את היחידה הרלוונטית על פי התכנון שמופיע בחוברת הקורס בלוח הזמנים אני רק עושה פה בשם סקירה ובעיקר בהתחלת הקורס אני עושה זאת כדי שמעבר להבנת החומר גם נדע כיצד ללמוד, לקרוא בעצמנו ולהתמודד לבד עם החומר הנלמד. אז הקורס שלנו בעיקר, כפי שתראו, בהמשך הוא קורס מאוד מאוד פורמלי, הוא מאוד מתמטי, הוא מנסה להביא נימוקים לכל דבר והגדרות מביעקות לכל מושג.
אלא שדווקא המושג הראשון, מושג הקבוצה, אנחנו נצטרך לקבל אותו כמה שנקרא מושג איסוד. זאת אומרת, כמשהו שלא נגדיר עליה, ננסה להבין אינטואיטיבי. זו הסיבה ההקשותה, מאיפה שהוא צריך להתחיל. לא כל דבר ניתן להגדיר, כמו שפעם כשלמדתם מנדסת המישור, לא לימדו אתכם מה זאת נקודה או מה זה ישר, אבל עשיתם עם זה כל כך הרבה הוכחות וכל כך הרבה שיקולים לוגיים. מבלי לטעות, אז אותו דבר יקרה גם כאן זה איפשהו אנחנו חייבים להתחיל דברים שנראים לנו כמובנים אלה אנחנו נקבל אותם על עצמנו כתוב שכאלה לא תמיד זה טוב, לא תמיד זה מוביל לדברים אמיתיים לפעמים יכול הדבר הזה להוביל גם לסתירות אבל אנחנו לא נתייחס לזה בקורס שלנו אגב הגדרה במרכאות של קבוצה שאנחנו נכנסים לרסמנו היא דווקא כזאת שבמצבים מסוימים יכולה להוביל לסתירות אבל זה לא יקרה בקורס שלנו ולכן אנחנו לא ניכנס לאקסיומטיקה, לסידור הלוגי של תוארת הקבוצות שהוא כבד להבנה וקשה.
ובאמת להתמדד איתו לפני שדווקא מנסים להבין את הקבוצות בצורה אינטואיטיבית כמו שאנחנו נעשה כאן. אבל כפי שאמרתי במסגרת, מה שאנחנו נלמד לא יהיו בעיות כאלה, והמושג היסודי הזה של קבוצה, כפי שאנחנו נלמד אותו, יספיק לצורך האיסונים שיבואו בהמשך. אז מהי קבוצה?
אצלנו קבוצה אינה אלא אוסף. של איברים. ואין מגבלות. אבל מה שחשוב לנו זה שנהיה מודעים בדיוק מי הם האיברים של הקבוצה. המושג של קבוצה והמושג של איבר אנחנו לא מגדירים אלא מקבלים אותם כמובנים אליהם.
מה שחשוב זה לדעת כיצד מסמנים קבוצות. אז כשרוצים לדבר על קבוצה כללית סתם שהיא, לא יודעים עליה כלום, אנחנו נשתמש בדרך כלל באותיות גדולות. אנחנו נסמן קבוצות ב-A, B, C וכל מיני אותיות אחרות. בדרך כלל גדולות, אבל זה לא חובה.
אנחנו נשתדל פשוט להשמור על הסימון הזה כדי שהוא יזכיר לנו בקלות שהם דובר בקבוצה ולא במשהו אחר. אבל מותר לכם לסמן קבוצות גם בדברים אחרים. לעומת זאת, כשנרצה לפרט, אז בדרך כלל, כדי לפרט מהם האיברים, בקבוצה מסוימת, נאמר כמו הקבוצה A, נסמן למשל ככה. 1, 2 ו-x.
עכשיו, מה שאנחנו מבינים מזה מיד, זה ש... אנחנו מגילים איכשהו לכתיבה, ואנחנו מנחשים לפעמים דברים, אבל זה לא תמיד טוב. אבל אנחנו מבינים כאן שמדובר, כאן בקבוצה, שיש בה משום מה שלושה איברים. זאת אומרת, אוטומטית אנחנו בתור מיני אדם מחונפים, מתעלמים מן הפסיקים, מבינים שהם אמצעים להפרדה, ויש הסוגריים המסולטלים. עוזרים איך שהוא להגיד ששמנו דברים ביחד, כי זהו זה התפקיד של הצוגריים בדרך כלל, אנחנו נקרא להם בשם סומדיים, אז נסמן למשל, קח את הקבוצה שעבריה, הם 1, 2 ו-x בלבד, ושימו לב, העיקר כאן הוא שאנחנו באמת...
מודעים לכך שיש בדיוק שלושה איברים, יודעים בדיוק מי בעולם הזה שייך ומי לא. אנחנו בדרך כלל נשתמש בצימון הזה לקבוצות, ולכן, וזה חשוב מאוד כשפה פורמלית, כי בכל כשפה של מחשב אפילו, שבה אנחנו נשתמש פה ושם, אם כי לא נזמין שפה מליאה כזאת, אנחנו נכיר, נזהה קבוצה רק כשיש לה צומדה. אז גם כשאנחנו נאמר, איי, גדולה קבוצה, אנחנו מתכוונים לזה שיש שם איזשהו ייצור שיש לו צומדיים או בפנים איברים שמופרדים זה מזה בדרך כלל על ידי פסיקים.
צריך להבין שהפסיקים האלה הם לא איברים, לא יחשבו למרות שמותר לנו לפי ההגדרה, תעלי תשבינו קודם, לדבר גם על קבוצות שהאיברים שלהם הם פסיקים, אבל זה לא חכם, זה פשוט משבש לנו את החיים, כי אז לא נבין בדיוק מי זה בדיוק אמצעי. פיסוק, מי משחק תפקיד של פסיק ומי משחק תפקיד של איבר ולכן לא נהוג, לא נסמן איברים בפסיק תנצלו לחשוב מה יקרה לרשימה כזאת שבה אנחנו רואים שלושה פסיקים אז יש שם שני איברים, יש איבר אחד קשה יהיה להצחין באיברים של הקבוצה ואנחנו עלולים לייחס אותם משמעות או שתש שתי משמעיות שונות לאותה קבוצה וזה לא רצוי. והתומדיים החיצוניים, כן, הסימנים האלה, החיצוניים, אינם נחשבים, שוב, עברים בקבוצה, אלא מצביעים על כך שאנחנו מתכוונים.
לקבוצה, שבאמת הייצור המסמטי שמופיע כאן, זה קבוצה. אנחנו מצביעים על כך שמדובר בקבוצה. למה זה כל כך חשוב? אנחנו אנשים מספיק משכילים ויכולים לדבר קצת באופן חופשי.
מסתבר שהדבר הזה הוא לא טוב שאנחנו עוסקים במדע מדויק. למשל, מחשב, אנחנו ננסה להכיל אותו במידע הזה של קבוצה, וזה חשוב לפעמים לעשות זאת, אם לא נכפיל על כתיבה נכונה הוא יהיה מסכימי. הוא לא ידע קודם כל אם זאת קבוצה, אז מי שתכנת קצת יודע מה החשיבות של ההגדרה הנכונה של משתנים. משתנה קבוצה, כן, זה משתנה כזה שכל עיצור השייך לו הוא כזה שיש לו, שמתחיל בתומץ מלים ונגמר בתומץ ימלים. אם אנחנו לא נקפיד על ככה, אז המחשב לא יבין שזאת קבוצה.
ואחר כך מה שמחשב יכול לעשות כדי לגלות את האיברים פורמלית זה פשוט לחטאת. בתוך זוג הצומדיים החיצוניים ולבדוק מי בדיוק הם העיוורים. העניין הוא לא כל כך פשוט, אבל אנחנו נצליח להתמודד עם ו...
לא נכתוב תוכנית מחשב לקבוצות מאוד מסובכות עם המון המון סימנים. אבל בקבוצות שאנחנו נעסוק לא יהיה קשה להבחין בעיוורים שלהם. אז למשל, הסימון הזה, אם אני אכתוב כזה דבר, כן?
או כזה דבר, כן? כן, הסימונים הללו לא מגדירים, לא מגדירים, לא מסמנים קבוצות. וחשוב מאוד להבין, זאת אומרת, אנחנו חייבים להקפיא. עכשיו, לגבי קבוצות שהן כן כתובות כהלכה, גילוי האיברים שבקבוצה הוא בדרך כלל סיפור פשוט איכשהו, כן? אנחנו מסתדרים עם זה, אבל אני לא רוצה להיכנס כרגע לבעיות הקשות, הסבוכות יותר.
אז אם אני ארשום למשל דבר כזה, כן? אתם צריכים להבין שזה מסמן קבוצה שאיבריה הם... אולי מישהו יכול להגיד לנו, בואו ננסה לעזר בכם ולשמוע תשובות וכך נחנוך את המערכת יש לנו תשובה מנתניה בבקשה הלו? כן העברים של הקבוצה הם אחד...
1 ו1 בתחת עונדיים נכון, יופי, תודה רבה אז יש כאן שני זה גם כ-1 וחוץ מזה קבוצה נכון, אבל זה עדיין שני עברים שאחד מהם הוא המספר המקובל 1 והשני הוא בעצמו קבוצה שיש לה עבר 1 והם שני עברים מבחינתיהם שונים נתנישה 1 הזה, הסגמון הזה לא מזמן קבוצה ואילו זה זה קבוצה אני מבקש מהמתביעים האחרים, מפני שהתשובה ששמענו היא נכונה, אם אין להם הוספות או יערות או שאלות, והם מסכימים עם מה שנאמר כאן, פשוט לבטל את ההצבעה, יש הצבעות מראשון ובעתיד. פשוט תתרגלו לבטל את ההצבעה אם אין לכם משהו להוציא, כי אחרת אני חושב שיש לכם משהו לשאול, ואני פונה אליכם ואולי אתם לא מתכוונים לך. טוב, אז עכשיו אנחנו נכנית כאן עוד צימון אחד.
שהוא לא פחות חשוב ועקרוני מן הסימון של הצומדיים שעוזרים לנו לסמן קבוצות אז אני ארשום את זה כך, שאין, אני אפילו לא מאז לכתוב לי את זה הגדרה כי זה מין הסכם בינינו אז אם לקבוצה A שייך ואנחנו נשתמש במושג שייך כדי לומר שאיבר נמצא בקבוצה ואל תגידו בית משך תנסו לא להגיד נמצא כי אנחנו פה ושם כן אולי נשכח ונשתמש בזה אבל רצוי שתגידו שייך כי אז המובן יהיה בדיוק זה שאני הולך לדבר עכשיו שייך איבר X נסמן זאת על ידי X שייך ל-a כך בקיצור, כן? בפירושו, כש-x הוא אחד מעברי הקבוצה, הקבוצה יכול להיות כמה וכמה עברים, אז אנחנו נכחיד עם כן על הסימון הזה, ואם אתם רוצים להבין את ה... טכניקה של גילוי האיברים, אז היא מאוד פשוטה, אנחנו צריכים, כפי שאמרנו, לחפש בתוך הרשימה שנמצאת בין הצומדיים המסבירים את הקבוצה A כן, אני ארשום את זה כך, כלומר, X מופיע, X יכול להיות סימן, יכול להיות סדרה של סימנים, אז מופיע ברשימה שבתוך... זוג הצומדיים, המגדיר.
עכשיו, למה אמרתי זאת כך ולא התייחסתי בכלל לקבוצות אחרות? אולי אם אתם זוכרים, בספר יש עדיין משחקים, קבוצות יכולות להכריל אנשים, או כל מיני ייצורים אחרים, חיות, בתים, מדינות, זה נכון. אבל בעידן שלנו אתם יודעים שהכל בסופו של דבר הופך לאותיות למספרים מפני שזה כל בן אדם בדרך כלל אנחנו מתאים עם איזשהו מספר מספר זה אותו, זה השם שלו, מכניסים אותו למחשב ובעצם כל מה שכוללו מופיע שם לרוב אנחנו נסוג בקבוצות של מספרים ושל אותיות והכל יהיה בסופו של דבר ניתן לכתיבה כסדרה ארוכה של סימנים. וההתייחסות שלנו צריכה להיות אם כן, בהתאם, אנחנו נראה סדרה ארוכה של סימנים, אם הסדרה הזאת מתחילה בצומד ימני, צומד שמאלי נגמר בצומד ימני, ואז מידע שהכוונה היא לקבוצה, את האיזרים מחפש פשמים, כמיטב יכולתנו.
אם כי לא התאמרתי לתת לכם איזשהו אלגוריתם מלא לחיפוש, אז אני שיכול... לפעמים להסתדר כפי שאמרת אנחנו נסתדר בדוגמאות שלנו ולזה בדיוק אני מתכוון עכשיו אבל נוסיף כאן שאם x לא עבר של a של קוצה a לא שייך ל-a נסמן זאת כך וזה מין הרגל שאנחנו נאמץ ברגע שהגדרנו איזשהו סימון עם איזושהי משמעות, השלילה שלו מתקבלת על ידי העברת קו כזה, סלאש. אז עכשיו אני מבקש מכם לעזור לי לפתור שאלה אחת או שתיים מאוד פשוטות שעוסקות בדבר הזה. הנה.
יש מעט מצבים, הייתי מצפה שיהיה לכם קצת יותר אומץ אני נורא מקווה שבהמשך באמת יהיה לכם אל תפחדו כל כך, גם אם אתם אומרים לא נכון מן הטעויות שלכם כולנו לומדים ואנחנו פה בשביל ללמוד כשמי שיש לו איזה שורם יש לו משהו להגיד יכול לנס טוב, אז בינתיים אני פונה לראשון שאלה כי לקבוצה, אני רושם אפילו הסדר, אתם בדרך כלל לא תתבקשו אפילו בשאלות הפשוטות שתשאלו בעניין הזה, אבל אני משתדל לרשום כדי לתת לכם לפחות דוגמה כיצד אנחנו מנמקים דברים. אז לקבוצה הזאת יש רק שני איברים, זה וזה. 1 ו-2 וצומדיים. 2 לא שייך לה.
עכשיו, יש עוד מצביעים מנתניה ותל אביב. אם, כפי שאמרתי, יש עוד שאלות, אז תשאלו. אם לא, אז פשוט תבלו את ההסבה כדי שאני אוכל לעבור ושקט לה השאלה הבאה, עם הרגשה שכולכם הבנתם. טוב, אז יש בכל זאת מצביעים.
גם מתל אביב וגם מראשון. מראשון נשאר. טוב, אז בבקשה. אז בא מראשון.
קצר, רציתי להגיד ששתיים הוא בעצם שבר בקבוצה. שתיים שהיא בעצמה חלק מהקבוצה הקודמת. השאלה היא אם זה לא ישרח את זה תחס.
זאת שאלה טובה, כן? כי מה שאתה אומר בעצם ששתיים... זה איבר של אחד האיברים. אז להיות איבר של איבר, זה לא להיות איבר בקבוצה. ושימו לב לדבר הזה, זה נורא חשוב.
אני הולך לדבר על זה אולי טיפה, אבל יש גם הצבא מבת ים, אז בואו נשמע את השאלה משם, ומיד נשלים את ההסבר. בבקשה. הלו?
כן, בבקשה. התשובה ברורה, אבל מה שלא ב רור לי, ההוכח. מה ההוכחה? קבוצת המילים הזאת זה מוכיח? זאת אומרת, זה מפריח את הטענה?
כן. מה ההוכחה כאן? זה מה שדברנו. לא, אני הפרחתי כאן, כן?
לא יכולתי להוכיח את זה. אם אני צריך להוכיח, אז אני ארשום משפט, איזשהו משפט, שמנעמק את הדבר. זה נכון שהמושג הוכחה זה לא משהו מוגדר מראש, ואנחנו צריכים להשתנל בדרך כלל...
להיות מאוד ברורים ומאוד מדויקים בעניין הזה כפי שאמרתי גם היטב יכולתנו, זה לא כל כך פשוט לפעמים אתם תחשבו שמשהו הוכחה ותקבלו אחר כך על הראש מישהו ירשום לכם על המטעלה, זאת לא הוכחה מה הכוונה? הכוונה היא שכל דבר שאתם טוענים יהיה בפופול של דבר משהו שנובע או מאחת ההגדרות אפילו אינטואיטיביות כמו שאנחנו הבאנו עכשיו או מאחד המשפטים או הטענות שכבר הוכחנו זה הכלל, שכל דבר שאתם אומרים בסופו של דבר כל מה שכל טענה כל חוליה תהיה חלק משרשרת כזאת שמסתמכת אך ורק על הגדרות או על משפטים כרגע אין לנו משפטים אז אני משתמש רק בהגדרה היחידה המאוד מאוד בסיסית האינטואיטיבית של מושג הקבוצה ועכשיו נחזור לעניין השני, כלומר, לא יכולתי גם להוכיח וגם להפריך, הטענה, כן, מבחינתנו מופרכת. עכשיו, הערה, ושימו לב לזה, שאיבר של איבר, כן, של קבוצה A, אינו...
בהכרח איבר של אי, וזה נורא חשוב להבין, כן? זאת אומרת, אם אני מסתכל כאן, כן, בדוגמה שלנו, 2 איבר של הקבוצה 2, ו-2, וצומדיים, איבר של הקבוצה 1 ו-2. אבל, כן, אז...
אם כן, 2 הוא איבר של איבר, כן? שימו לב לשייכות כאן. אבל 2 זו איבר של הקבוצה 1 וצומדיים 2, כפי שאנחנו נימקנו קודם. מבנה שעל פי ההסכם שלנו למציאת איברים, כשאני מנסה לחשוף מהי הרשימה הפנימית הנמצאת בתוך הצומדיים הללו, אני מגלה רק את 1 וצומדיים 2. אין איברים אחרים אז עכשיו תגידו מה הטעם בה הסתכלות הפורמלית הזאת, מה בגלל הזוג הזה של הצומבם שמופיעים כאן פתאום, שתיים, שממלם מופיע שם בפנים, הוא לא נחשב איבר?
אז מסתבר שהדבר הזה הוא עקרוני וחשוב. למשל, אם אתם מדברים על קבוצה של אנשים, אז לכל אחד יש את הזכויות שלו, כפי שאתם יודעים, או אני יודע, מקבל פנסיה, או יש עליו כל מיני חובות, והקבוצה הזאת היא בסירוש קבוצה. של אנשים, נגיד כאלה שהם משלמים ארנונה.
עכשיו, לעומת זאת לכל בן אדם יש, בדרך כלל יש אוזן נגיד, כן? אז אוזן של בן אדם היא לא, למרות שהיא עבר כן? הבן אדם הוא בעצמו קבוצה של תאים, קבוצה של כל מיני גברים, אבל האוזן לא נחשבת כעבר בקבוצת האנשים ואי אפשר לבקש ממנה לשלם ארנונה. אני מקווה שאין בין התלמידים שלנו כאלה שעוברים בעיריות השונות ולא ניתן להם עכשיו כל מיני רעיונות. אבל באופן כללי זה נ ורא חשוב, כן?
וכל מיני דברים אחרים. כך שצימו לב, איבר של איבר הוא לא חייב להיות, לא נחשב איבר בקבוצה, כן? שהאיבר הגדול, כן? הקבוצה תונדיים שתיים, הנקרא שלנו, שייכת. טוב.
אז, ואגב, אני נכנסתי פה לעניין שבמחשבים הוא חשוב, מה שנקרא רשימות ותת רשימות, מה כן נחשב שם ומה לא. אז לפעמים, רשימה או תת רשימה יכולה להיות בעצמה עיוור לרשימה אחרת. כמו שעיתון הוא קבוצה של, נגיד, מאמרים. אפשר להכשיר אותו כקבוצה של מאמרים ולא כקבוצה של מילים, כשכל מאמר לעצמו הוא...
קבוצה של מילים, וכל מילה היא קבוצה של אותיוב וכך הלאה, אבל האות לא נחשבת כמאמר. כפי שמילה לא נחשבת בדרך כלל מאמר, אלא אם כן הוא מאוד קצר. עוד טענה, מקווה שהיא יותר מוצלחת, אבל אתם תחליטו. עצבא מפלביב. אני מתנצל בפני אלה שאני לא תמיד מעלה אותם, אני מנסה לפי התור לתת לכל אחד הזדמנות.
בבקשה. אני מקווה שתלנו את הקלה ונצליח לשמוע אותך. בבקשה.
לא, זה לא הולך, אני מצטער, אפשר להצביע שוב? או, עכשיו שומעים אותך, כן, בבקשה. זה לא נכון, לא, זה לא עמיס.
זה לא את? אז הטענה לא נכונה. יפה. כי צריך לכתוב אחד. לא, תתייחסי לטענה הזאת, עכשיו את מנסה לנצח טענה אחרת שהיא נכונה, אבל בואו נתייחס לטענה הכתובה.
כפי שאמרתי, לא נכונה, כן? אז לא צריך לתקן אותה. לא נכונה, כי...
כן? כי כפי שראינו... אחד זה עבר בתוך הגבוצה הגבילה. לא, לקבוצה הזאת יש רק שני איברים, כן?
לא, לקבוצה הזאת יש רק שני איברים. ואף אחד מהם הוא לא תנדב עם אחד. זה אחד ושתיים ביטולים. נכון.
כן. וזהו. תודה רבה.
אתם לא צריכים לעשות ביטול ברגע שאתם מניחים את השפופרת, הביטול נעשה אוטומטית. עכשיו, תימו לב למשהו, אולי משהו שיכול לעזור לכם, אני מקווה בפתרון שאלות. אל תתייחסו יותר מדי לאיבר המסכן הזה מצד שמאל. כי אתם נורא מייחסים לו חשיבות, אני מבין את ההרגשה הזאת שחייבים להתייחס אליו, אבל מה שחשוב בסופו של דבר זה לגלות מי הם האיברים של הקבוצה הזאת. אותו אנחנו מכירים.
הקבוצה בצד ימין, בדרך כלל היא ייצור יותר מסובך, ואנחנו צריכים להחשוף. בדיוק לדעת בדיוק מי הם העיוורים שלה. ברגע שיודעים מי הם העיוורים שלה, אז אנחנו יודעים גם...
כן, המילה הזאת שמופיעה בצד שמאל, נחשבת שם כאיבר או לא. אז במקרה שלנו זה לא קרה, כפי הקביעה, רק אחד בודד ושתיים וצומדיים, הקבוצה הזאת, הם איברים של הקבוצה. שימו לב שאיבר של קבוצה יכול להיות כל דבר, כולל קבוצה.
אבל לא כל דבר יכול להיות קבוצה. כדאי לרשום גם את זה. עבר של קבוצה יכול להיות כל מה שאנחנו רוצים, כן? כולל קבוצה. זאת אומרת, עבר בעצמו יכול להיות קבוצה, וכבר הערנו זאת קודם.
אבל, לא כל דבר הוא קבוצה, כן? למה? בפני שלגבי קבוצה הייתה לנו דרישה מפורשת, קיום צומדיים, כן?
אז חייבים צומדיים ככה, זו כזה של צומדיים, ובפנים נשים מה שאנחנו רוצים, אם רוצים. אבל בלי זה, המחשב, הקומפיילר לא יבין שזאת קבוצה, הוא יגיד מיד שזאת שקיעה, שאי אפשר להתייחס לזה. שימו לב בכל זאת להבדל בין...
מה שנחשב קבוצה לבין מה שלא יכול להיות קבוצה אצלנו. עכשיו אני רוצה לפנות אל ההגדרה הראשונה המדויקת המלאה בקורס, ונדון בה לא מעט ממי שיש לי כמה וכמה מטרות כאן להשיג יחד איתכם, אבל לפני כן יש לנו... התבאה מנתניה, בבקשה הייתי רוצה להעיר משהו כן אתה כל הזמן מתייחס לזה שמחשב יגיד שזה שגיאה?
כן עכשיו זה לא בהכרח נכון, זה תלוי מי אמר למחשב עכשיו מה לעשות? זה אפשרי ליצור... אני חושבת שזה אוטומטית.
לא, אבל אצלנו, והשפה שלנו... המחשב הוא לא הקובע אל המתכנת. נכון, ודאי. אבל המתכנת, ברגע שהבין את ההגדרה, חייב לדרוש, שנשתנה, שנחשב קבוצה, יתחיל תמיד בתומץ שמאלי, ויגמר בתומץ ימאלי, ולא לאפשר למחשב לקבל משהו אחר בתור קבוצה.
תלוי בשביל מי הקומפיילר, אבל זה לא העניין. טוב, לא, אז לא הבנתי את ההערה, אבל זאת הכוונה אצלנו. אני רק נותן לכם הדגמה, כן?
ואם הקומפיילר הוא בשביל הקורס השני ולמתמטיקה, אז הוא חייב להיות כזה, כדי להבין מה זאת קבוצה. אחרת אנחנו לא אמורים להבין זאת, וההפך, אנחנו אמורים לסול את המילה ת' קבוצה של הסימנים, סדרת הסימנים שמופיעה שם, נהיה קבוצה. טוב, עכשיו נעבור למושג האכלה, ונדבר אינכן על היחס הזה, שהוא יחס בין קבוצות, כפי שנראה בהמשך.
נדבר טיפה על אכלה בין קבוצות. אני חושב שכולכם, אני כזה כך, קראתם את ההגדרה, ובכל זאת אני רוצה לחזור עליה, כי כפי שאמרתי, יש לי כמה וכמה מטרות. הראשונה היא קודם כל שתנסחו באופן מדויק לחלוטין כל הגדרה שאתם משתמשים בה.
אז אני אתחיל כדי שנזכיר לכם למה אני מתכוון, אבל תשמח מאוד לקבל את ההשלמה. של ההגדרה הזאת באופן מדויק. אז אנחנו נאמר שקבוצה A חלקית או מוכלת לסמן בקבוצה B, ונסמן אז ככה, זה הסימון, אם.
תחשיב, אני רוצה אם כן להגביר באופן מדויק. את הסימון הזה, כן? או את מושג ההכלה.
אז מי שרוצה להשלים, אני אשמח לשמוע את ה... הגדרה שלו. אני מתכוון להגדרה פורמלית ומדויקת, לא לכל מיני סיפורים.
עכשיו, למה אני מתכוון אם כן? אתם תצטרכו כרגע לנחש, אחר כך תדעו ואני מקווה שתשתמשו בזה. מה הכוונה להגדרה פורמלית ולא ל... כל מיני סיפורי. כוונה אלה הגדרה שאני יכול אחר כך לקחת ולנצל אותה ביישומים, בהוכחות אפילו שהיא מדובר בתענות כלליות.
אנחנו נשמע אולי תשובה מתל אביב. בבקשה. עם כל האיברים של A נחולים ב-D.
שייכים. שייכים לביקר. כן.
אז זה לא רע, אבל זה לא עדיין ההגדרה הפורמלית שהתכוונתי אליה. למרות שזה בסדר מה שאמרת, הייתי רוצה משהו קטיפה יותר מדויק, שמשתמש כבר בסימונים מתמטיים ואותיות, כמה שפחות במילים. ככל שתרבו בסימנים מתמטיים ותמאיתו במילים, ככה דברים שתאמרו אותם יהיו מדויקים יותר.
אז במראשון, בבקשה. אם אבוא כל x שייך ל-a, x גם דרךך שייך ל-b. יפה. אז אם אני אשם את זה כך, לכל x שייך ל-a, מתקיים x שייך ל-b. יפה.
בזה אני אסתפק. כפי שנראה עוד מעט, אפילו זאת לא הגדרה מספיק מדויקת בשביל אלה שעוסקים בלוגיקה מתמטית אולי, אבל אנחנו נסתפק בזה אם כרצוי מאוד שנסביר כמה דברים. אפילו שזאת נראית הגדרה מאוד מאוד תמימה.
מה אנחנו רוצים להגיד כאן? שכל העברים של A שייכים ל-B. או אם תרצו B...
בולעת, כן, מכילה ברשימה שלה את כל העיוורים של... אפילו בשביל הדבר הקטן הזה אני נורא אקפזתי, ולא רק זה, אלא אני הולך להוסיף כמה יערות. רק שיש לכם, אני מבין, שאלות, אז מי שאין לו שאלות מבין המצביעים, ראשון תל אביב ובת ים שנותרו, אני מרקש פשוט שייבטלו את העצבה, ומי שרוצה עדיין לשאול שאלות, מוזמן להמשיך.
לפני קודם לבת ים, בבקשה שהסימון הוא למעשה סימון כפול מצד אחד אנחנו אומרים בעצם אנחנו אומרים ככה ש-A חלקית ל-B או A שווה ל-B זאת אומרת, אם היא חלקית ל-B אז מה שרשום למטה זה בסדר אבל אם היא שווה ל-B אז גם העיוורים של A נמצאים בתוך A זה מה שרשום לבי לומד ואז מה, ז ה לא משנה. עכשיו, הסימון הזה זה נכון שמזכיר את מה שאתה אומר, אבל אתה לא חייב להתייחס לזה כך. הסימון, הפירוש שלו כתוב כאן. זה הכל. זה שזה מזכיר לך שוויון, יופי.
ואנחנו נראה אפילו שזה נכון, כל מה שאמרת. אבל, כך בחשבון, שלא לכל אחד, לא כל אחד משתמש בסימנים שמזכירים לו משהו באופן מובהק. יש כאלה שמתעלמים מזה, יש כאלה שמדברים על החלה בדיוק כמו שאנחנו הגדרנו אותה, אבל מסמנים כך כשאנחנו בעצם ניתן לסימון הזה פירוש אחר. כך שבכל מצב שאתם לומדים, איזשהו קורס מתמטי, תהיו בטוחים שאתם מבינים את הסימנים על פי ההגדרות של המחבר. זה נורא חשוב.
לא כל הסימנים מקובלים על כולם, ולפעמים יש הבדלים, ואתם צריכים לדעת באיזה הקשר אתם עובדים. אצלנו זה כך, אבל זה... בעצם הסימון הוא לא אומר שום דבר, אלא אנחנו...
חייבים להגדיר אותו אחרי שהגדרנו אותו אנחנו יודעים בדיוק מה הכוונות שלו וזה של אחד זה מזכיר שוויון זה טוב כאן אבל לא בכל מקום לא בכל מצב אחר יש עוד הדבר מתל אביב בבקשה צריכה לוותר את זה קודם. טוב. כן, אני רוצה שתשימו לב להגדרה. המילה הכי חשובה בהגדרה הזאת, אולי זה נראה לכם מוזר, אולי לא, אבל אתם חייבים להבין זאת, זה נורא חשוב, היא המילה לכל.
היא זאת שאומרת שכל איבר של A חייב להיות איבר של B. היא לא אומרת כלום על איברים של D אגב, היא אומרת הכל על איברים של A כל איבר של A חייב להיות איבר של B. אם אחד אפילו, מבין האיברים של A, לא יקיים את הדבר הזה, אז אנחנו לא נוכל לרשום שיש החלה. שימו לב שזאת הגדרה מאוד טובענית.
היא טובעת משהו מכל האיברים של A שימו לב לזה, ושימו לב גם שכשאנחנו מדברים על X, X פועל לא שום חשיבות, X לא מסמן איבר מסוים, אלא X משחק מנשם... זה דרכית של שם כללי לכל האיברים שלי. אז אני ארשום כאן שהמילה לכל, כן? היא המילה החשובה, המשמעותית ביותר בהגדרה. בלעדיה אין משמעות למה שכתוב.
אם יש יגיד, אם יקשח להזיק, יקשח לבי. אז יכול להיות של A יש איזשהו איבר X, שקוראים לו X, והוא שייך גם ל-B. זה לא אומר שיש החלה.
או יכול להיות שיש כמה איברים של A שייכים גם ל-B. אז מה? זה עדיין לא מספיק. אם לא בדקנו את כולם, אז לא הוכחנו החלה.
ומה שתוכנית מחשב צריכה לעשות זה פשוט באמת לעבור על כל איבר ואיבר של A, ולבדש שהוא גם איבר. של בי. זה דבר ראשון.
אבל הדבר השני, שהוא קצת יותר עדין, ובדרך כלל אף אחד לא כותב אותו, אלא מבין אותו כאילו, כן, הוא נתון מראש, זה שבמילה לכל אין שום דרישה לקיום איברים באי. אני אכתוב את זה, ואחר כך ננסה להבין בדיוק למה הכוונה. אז במילה, לכל אין כל הנחה או דרישה לקיום איברים לאי.
אין דבר כזה. זאת אומרת, לא מובטח שברגע שאני אומר... כל העברים של A שייכים ל-B, אני לא אמרתי של-A יש משהו. יכול להיות בן אדם שנגיד בחשבון הבנק שלו אין אפילו שקל אחד, או בקיס שלו אין אפילו שקל אחד.
מה שאפשר להגיד אם כן, שכל שקל ששייך לו, כן, שייך גם לי. זאת אומרת שקבוצת השקלים שלו היא חלקית לקבוצת השקלים שלי. אולי זה נשמע קצת מוזר, אבל זה מאוד הגיוני וחייבים להבין זאת.
אז עדיין כל איבר של A הוא איבר של D. ועוד נדון בנושא הזה בהמשך. אז אם הייתי צריך עכשיו, כן, להגיד למחשב מה לעשות, אני לא צריך לתת לו לחפש איבר, הוא לא חייב למצוא איברים ב-A כדי לגבוה שיש אחלה, אלא אם הוא מצא איבר שלה, הוא חייב לוודא שיש גם ב-B.
ואם הוא לא מצא, הוא פשוט צריך להתעלם מזה. זה מצב שלא מחייב שום דבר, זה מצב שלא פוסל את ההגדרה שלנו. כי ההגדרה שלנו בעצם אומרת כך, ועכשיו אני ארשום את ה... הגדרה כפי שלוגיקאי היה כותב אותו. אנחנו בדרך כלל לא נעשה זאת, אבל אתם חייבים לא לשכוח את הפרט החשוב הזה.
כשאומרים לכל, לא מתכוונים בכלל לקיום איזשהו איבר באי. אז שערה נוספת היא שהניסוח המדויק של הגדרת ההכלה, הוא כזה, כן? A חלקית ל-D, אני מקצר טיפה כאן, עם לכל X, לכל X שבעולם, כל ה-Xים שתבדקו.
אם X שייך ל-A, אז X שייך גם ל-B. וזה בעצם הכוונה המפורצת שמאחורי המילה לכל. אם X שייך ל-A, אז X שייך גם ל-B. אם X לא שייך ל-A, אנחנו עזבים אותו, לא מתעניינים בו פשוט. ואם לכל X שכן שייך ל-A, מצאתי שהוא שייך ל-B, אז אנחנו נאמר שיש החלה.
מתי לא תהיה החלה אם כן? בואו ננסה... לרשום את השלילה, שלילת הגדרת ההכלה. כפי שקבענו בינינו, אנחנו נשלול את הסימון על ידי קו נטוי, כמו שעשינו קודם. אז מתי A לא חלקית ל-B?
מה צריך לקרות? פירושו. מי יכול לומר לנו?
מה זאת אומרת ש-a פתאום לא חלקיק ל-b? עכשיו אנחנו מנסים לשלול את מה שכתוב שם, את ההגדרה של ההחלה. הגדרת ההחלה אמרה שכל x ששייך ל-a, הוא שייך גם ל-b. עכשיו אנחנו מנסים לשלול. אז בא מרמת גן, בבקשה.
זה אומר שקיים לפחות דבר אחד ב-A שלא קיים ב-B. יפה, פירושו, קיים X השחל ל-A, כך ש-X עושה בדיוק ההפך מן הנדרש. אבל מספיק אחד, אם יש עוד... זה לא משנה לנו.
ברגע שמצאנו אחד כזה, אז אנחנו כבר יודעים שאין אכלה. שימו לב עוד פעם, אני לא מדבר על X סתם כך. קודם, כשדיברתי על X, הוספתי לפניו את המילה לכל X.
לא אמרתי אם X שייך ל-A, אז X שייך ל-B. גם כאן אני לא אומר אם X שייך ל-A, אז X לא שייך ל-B. אלא שקיים, יכול להיות שיש יותר, אבל יש אחד לפחות במילה קיים, הכוונה שיש לפחות X. אחד כזה שמקלקל את החגיגה.
יכול להיות שכל השערים בצד, מספיק אחד שמקלקל זאת, מפני שהדרישה להאכלה הייתה, כשאמרתי, מאוד קשוחה, מאוד קשה. דעשה משהו מכולם. ואם יש לכם אוכלוסייה ענקית של אנשים, ואתם טוענים שכולם נחמדים שם, יכול להיות שיש אלף אנשים, ויש פתאום אחד שהוא לא נחמד, אז הוא כבר סותר את הטענה, את הקבוצה הזאת של האנשים הללו היא כבר לא חלקית לקבוצת כל האנשים בעולם שהם נחמדים. רק מבין שיש אחד שכולו כזה.
שבו אני שם לב פתאום לכל מיני הצבעות אחרות של לא מבין, לא, או משהו כזה, לא יודע ממתי זה, אבל אם יש אי הבנה או שאלה, אל תתביישו לשאול. גם אני לא מבין הרבה מאוד דברים, אבל אני שואל את עצמי לפחות. אז אתם, יש לכם את מי לשאול בינתיים.
לפחות ככל שמדובר בקורס הזה, אז תרימו אצבע, כן? כלומר, סולמי תשע ותשאלו אותי כי אני לא יכול לנחש בדרך כלל איפה בדיוק היי הבנות אם יש כאלה. או בקשות אחרות, מה שתרצו.
עכשיו אנחנו נמשיך בתרגיל שלנו עם עוד טענה אחת או שניים של הוכח או הפרח. אני לא כותב זאת שוב, אבל אתם מתבקשים לזכור שזאת הכוונה בינתיים בסעיפים הבאים. אז תנסו בבקשה לחשוב אם הטענה שכתובה כאן היא נכונה או לא. שימו לב שכתבנו משהו בסעיף השני, אם שייך זה לא היה נכון. טוב, אני רואה שיש הרבה מזווים, אנחנו נשמע תשובה לראשון, בבקשה.
התענה היא נכונה כיוון שהעזר, שכל העזרים שבקבוצה האחרונית, הם נמצאים בקבוצה הימנית. שייכים. נכון. נכון מאוד.
תודה רבה. אז בדרך כלל, תענות פשוטות מן הסוג הזה שבעצם אנחנו רואים, כן? מה המסע, ורואים נכון, אני מסתפק בזה, בהסבר כזה, אבל בכל זאת, הייתי מוסיף כאן הסבר. לפעמים קצת קשה לכתיבה אבל אני ארשום אותו בכל זאת ההסבר שלקבוצה הזאת שייך רק העבר הזה, חד העבר זה שייך גם לקבוצה נימין שכבר דנו בה בעבר וגילינו שהעברים שלהם שניים 1 זה פודד ו-2 זה צומדיים. אז אם כן, כל איבר של הקבוצה המשמאל שייר גם לקבוצה מימין.
אבל שימו לב ההתייחסות שלנו עכשיו היא שונה לחלוטין מזו שהייתה קודם, ששאלנו האם משהו איבר, כן? קודם שאלנו האם צומדיים אחד איבר בקבוצה מימין, וגילינו שזה לא כך. והסיבה הייתה פשוטה, שהיחידה הזאת כמכלול, כן?
1 וצומדיים. היא באמת לא מופיעה ברשימה הפנימית לצומדיים של הקבוצה מימין. אבל עכשיו אנחנו לא שואלים זאת, אלא שואלים משהו אחר. אנחנו מסתכלים על מי שמופיע בצד שמאל כקבוצה, מי שמופיע בצד ימין כקבוצה, חושפים את העיברים של הקבוצה מצד שמאל ושואלים האם כל אחד הוא עבר של הקבוצה מימין. וזה קרה כאן, זה נכון.
אולי עוד ציפון אחד באותו... בוא תה, רוח, התשובה לי תל אביב, בבקשה. זה לא נכון כי שתיים מוצאים מצלם לא לא זאת לא הסיבה זה לא נכון כאילו את צריכה להביא משהו שקשור להגדרת האכלה כן? אז עכשיו את רצה לשלול אותה אנחנו אפילו כתבנו את השלילה נכון? השלילה הייתה שקיים איבל בקבוצה משמאל שלא קיים בקבוצה נימין.
זהו, אותו אחד שאת עצבת עליו, אבל את צריכה להגיד את זה, כן? להבליט את העובדה שהגדרת האכלה כאן הופרה. אז התשובה היא, זה לא, טענה לא נכונה, מפני ששתיים שייך לקבוצה 1-2. אבל 2 לא שייך לקבוצה 1 צומדיים 2, כפי שאנחנו כבר יודעים, מפני שהאיברים של הקבוצה הזאת, כפי שכבר אמרנו, הם רק 1 וצומדיים 2. ולכן, אני אסיס כאן עוד משהו, עוד יותר מפואר, שכתוב בשפה פורמלית, ש-1, 2, רק 2 וצומדיים. זה לא מה שמפריע, מה שמפריע זה שפשוט 2 נקי בעצמו לא מופיע כאן.
מה שכן מופיע פה זה לא מפויה, אלא מה שחסר. ומה שחסר זה אותו שתיים שכן שייך לקבוצה הניסוי. אנחנו עוד מעט נצטרך לעשות עוד הבחנה קטנה בין להיות איבר לבין להיות קבוצה חלקית. אנחנו דיברנו על שני המושגים אחר כך, אחרי שאולי נותן הפסקה, אני אתן לכם מבט קצת יותר כללי על הנושא הזה שהוא קל, אבל לפעמים מבלבל. ולפני שנצב על ההפסקה אני רוצה להתאחס אליה לשאלות שיש לכם.
אני מרגיש שיש פה שני מטדיים מראשון. אם יש כוונה לשאול משהו אז אני אשמח לשמוע. בבקשה.
תודה. לא עבד, טוב, אז יש עוד הדבר מראשון ועוד הדבר מהאלות, בבקשה לא הבנתי אתם התגבאתם שם ואתם נשמעים עכשיו בכל העולם, אני לא הבנתי מה רציתי. טוב. מי הוא מתעבר?
לא חשוב, בוא ננתק ונגמור את הסיפור. אז זה, אז וואן ראשון, בבקשה. כן, את אני קודם נדעת בנקודה של קבוצה אי למשל אין עוברים. כן עשיתי להם שאלה ברור, אם לקבוצה A אין איברים, לקבוצה B יש רשימה של איברים, A היא חלקית ל-B או שזה לא יעיר?
ודאי, ודאי נדון בזה לא מעט בהמשך אז יש עוד פעם התזווה מעילה, אתה אני מקווה שזה רציני הפעם האם אתה יכול לדבר על קבוצה ריקה? אנחנו נדבר על קבוצה הריקה, לא לדאוג, זה יבוא. טוב, אז לא נדע. לא, בבקשה. טוב, אז בכל אופן אני מצליח שייב לנוח, ובעוד קצת דקות נחזור ונדבר על דברים אחרים שנודדים לקבוצה, כולל הקבוצה הריקה.
טוב, אנחנו חוזרים. אני רק רוצה לומר כמה דברים ששכחתי בהתחלה, לפני שנמשיך בחונר עצמו. השידורים שלנו מועברים כרגע באופן ניסיוני גם ישר לאינטרנט, ואנחנו מקווים שאם הדברים הללו ישתברו ללא תקלות, אז תוכלו חלק מכם לפחות לשמוע את השידורים מהבית. מבלי שתצטרכו לבוא לכיתות אופק, זה עלול לרוקן לנו את הכיתות ויותר גרוע מזה זה אולי לא יאפשר לכם תקשורת ישירה ואופציה לשאול שאלות כמו כאן, אבל מי שאלות יהיה לו ברירה ולפעמים יכול להגיע ומעדיף לעשות זאת מן הבית, אז אנחנו נודיע אם הדבר זה אפשרי בהמשך. בינתיים אנחנו...
לא מפתיחים נראה איך הדברים מסתדרים אם נבנה את התקדות דבר נוסף שנציתי להגיד וזה לא פחות חשוב זה שאנחנו בפירוש מאמינים בחשיבות של הנוכחות במסגשים מי שחושב שעובר אחד קשה לו ולא בא לו אני מקל את עצמי כסטודן כמה שהייתי אוהב ששיעור מתפתה לו, שאני לא אלך לשיעור מסוים בכל זאת, במיוחד אתם שנמצאים יחסית רחוק, כן, לא נמצאים בקמפוס אוניברסיטאי שכל הזמן מדברים על החומר ופותרים שאלות וכן וכן הדברים אז חשוב לכם להשתתף במפגשים ואני יכול לומר בביטחון מתוך סטטיסטיקות ארוכות שנים שאנשים שמצליחים בקורסים הלא קלים הללו הם אלה שמתמידים נורא גם כשקשה להם גם כשלא לגמרי מבינים את הכל, מנסים לכתוב ולחזור בבית ולשאול שאלות באים לכל המפגשים ומשתדלים לפתור כמה שיותר שאלות גם כשלא מבינים, גם כשהמצב נראה גרוע שתדעו לכם שלפעמים שנורא משתדלים לחזור ולתרגל ולהבין אחרי שבוע שבועיים יכול להכון מהפך רציני אבל מי שמתייש מיד ומחליט שהוא לא מסוגל יכול להיות שהוא טועה עכשיו אני רוצה להמשיך, והצטרכתי לדבר על הקרוצה הריקב, אבל לפני כן יש עוד כמה דברים שרצוי שנבהיר. והמושג הבא, שהוא מאוד מאוד קרוב למושג ההכלה, זה מושג שכביכול הוא מאוד פשוט ובסיסי מושג השוויון. אז לדבר טיפה על שוויון בין קרוצות. ואני עושה זאת לא מבנה שהמושג הזה הוא לא כל כך ברור או שהוא קשה, הוא יחסית קל אחרי שהבנת מושגה אחלה להמסתבר. אבל בכל זאת, יש כמה מנהלכים לוגיים מאחוריו שרצוי מאוד להבין אותם.
אז אני אתחיל קודם כל בהגדרה. אנחנו נאמר ששתי קבוצות A ו-B הן שוות, לא הכוונה לשוות יותר או שוות פחות, אלא הכוונה לשוות ביניהן, שוות זו לזו. ונסמן, במקרה זה כך, אם. עכשיו, האם יש מישהו שיכול לתת לנו את ההגדרה המדויקת של מה צריך להיות שוויון בין כופי?
אז בני נתניה, בבקשה. שוויון בין קבוצות מתקיים אם כל עצם, אם לכל X שייך ל-A מתקיים X שייך ל-B, ומכל X שייך ל-B מתקיים X שייך ל-A, או אם שתי קבוצות שווות בעצמות שלהן ו-X. זה יש... לא, לא, לא, כל תוספת מיותרת, מה שאמרת עד עכשיו היה יותר גמור, ההמשך לא היה נכון. אז זה, עם הכוונה לעוצמות, לא מספיק שיש שוויון עוצמות, אנחנו גם לא כל כך נדבר על זה בקורס שלנו.
אבל הדבר הראשון שנאמר כאן הוא מאוד מאוד חשוב ונכון, אם לכל X השייך להם מתקיים X שייך לבי, לגמור. גם ההפך, הוא לכל x ששייך ל-b מתחיים x שייך ל-b. עכשיו, הכוונה היא פשוט באמת ששתי הקבוצות הן שוותים, יש להן בדיוק אותם העברים. לא אותו מספר של העברים, אם אין מדברים על מספר של העברים, אם כאן אנחנו בכלל נימנע מזה, אלא אותם העברים בדיוק.
הניסוח הזה מדבר על העברים. אבל אתם זוכרים שאנחנו הגדלנו גם את... מושג ההכלה והוא נראה קרוב למה שכתוב פה, כן? אתם זוכרים שכדי ש-a תהיה חלקית ל-b, צריך שכל איבר x שייך ל-a יהיה שייך ל-b. ולכן, אם אנחנו ננסה להיזכר בהגדרת ההכלה, אז ניתן לנצח את הגדרת השוויון בין קבוצות.
בלשון, כן, בלשון קבוצות ולא איברים, כן, בלשון קבוצות, אני קורא לשון הזאת, לשון גלובלית, לשון כללית יותר, כן, מדברים קצת מגבוה, במקום בלשון איברים, וזאת עושים כך. אז אני פשוט מעתיק את מה שכתבתי למעלה, אבל עכשיו אני מנסה להיזכר בהגדרת ההכלה. אז A שווה ל-B, אם, מה צריך לקרות? אם A חלקית ל-B, זה בדיוק הפירוש של העובדה של הכל איק ששייך ל-A, מתקייני שייך ל-B. ועכשיו, ההפך, שבעצם מתפרש בזה ש-B חלקית ל-A כל דבר של B שייך...
גם ל-A וגם, וזה נורא חשוב, D חלקית ל-A אלה הדרישות. עכשיו, בדרך כלל כשאנחנו מגדירים משהו, אנחנו מנסים שני דברים, כמו שעשינו גם בהחלה. להדגים מה חלות, להגדים מה זה לא.
החלה, כן, זה לנסח את השלילה. עכשיו בואו ננסה להדגים, כן, למי שיש דוגמה ששתי קבוצות שוות. מישהו יכול לתת לי דוגמה של שוויון על פי ההגדרה שהגדרנו?
עדווה מנתניה, בבקשה. קבוצה כוללת את 1 ו-2 שווה לקבוצה כוללת את 2 ו-1. יפה, אז הנה מה שרצית להגיד כאן למשל, וזאת עובדה חשובה, שבשוויון קבוצות הסדר של הרישום של העיוורים לא חשוב. עכשיו למה?
מפני שעוד פעם אתם נצאו להסתכל בהגדרה. כל עיוור של הקבוצה המצמול שייך לקבוצה מימין, וההפך. זאת אומרת שלמרות שכביכול, אם הייתי חושב, מעט, לא הרבה, כן?
איזה מין קבוצות הן קבוצות שוות? אז זה אומר, 1-2 שווה ל-1-2, אבל זה לא חוכמה גדולה. אז הנה דוגמה שמראה לנו שסדר הרישום של העיוורים הוא לא חשוב בקבוצה. אבל יותר מבין.
אני טוען שהקבוצות האלה גם כן שוות. אז אפילו אם אני חוזר, כן, אומר גם גם, ואומר עוד פעם שאחד שייך לקבוצה משמאל, זה לא אומר שיש בה שלושה עיוורים, אלא שפשוט אני כתבתי אותו עיוור פעמיים, מותר, כן? כמו שמותר לי להוציא שקל מהכיס ולהגיד, תכן הנה יש לי שקל, אני אחר כך יכול להוציא את אותו שקל מהכיס ולהגיד, הנה יש לי שקל, אבל זה לא אומר שיש לי שניים.
עדיין יש לי רק אחד, וזה בדיוק מה שקרה כאן. אז מותר לנו לחזור על הרישום, אם זה לא משעמם מישהו או אם זה לא, נראה לנו לא יעיל, מותר. עדיין הקבוצות אבל, על פי ההגדרה שהגדלנו, הן קבוצות שוות. כל העבר שאני רואה בצד שמאל, אני רואה בצד ימין וגם ה-0.
עכשיו כמה הערות שנובעות מן ההגדרה של השוויון. למרות שפי שאמרנו, אולי ההגדרה הזו נראית מאוד פשוטה, היא מאוד חשובה. דבר ראשון, מה שיוצא מן ההגדרה עצמה, שכדי, ואל תשכחו זאת, אנחנו עוד נצטרך זאת בהמשך לא מעט, כדי להוכיח שוויון קבוצות באופן כללי, כן, נגיד, באיזושהי טען. הבנה שטוענת ששתי קבוצות שבנויות אולי בדרכים שונות אין אותה אחת, אז כדי להוכיח שוויון קבוצות, חייבים להוכיח שתי החלות. כן?
של כל אחת מן הקבוצות באחרת. אם לא הוכחנו שתי החלות, לא הוכחנו שוויון. כי יכול להיות שיש החלה בכיוון אחד, אבל אין עדיין שוויון. על זה אנחנו נדבר עוד מעט.
אבל עכשיו אני רוצה לעשות תרגיל לוגי קשה. מי שמסוגל, שוב, אנחנו לא למדנו כאן לוגיקה, אנחנו מנסים ללמוד כיצד עושים דברים, וחלקם עושים מתוך ניסיון לנצל את האינטליגנציה הטבעית שלנו, ובלי כללים שמישהו צריך לכתוב. עכשיו, אם הייתם מסתכלים, אני בכוונה לא אמרתי זאת קודם, אבל אם הייתם מסתכלים על השלילה של...
מושג האכלה שהבאנו קודם, אני רק מחזיר את זה לרגע, אז זאת הייתה השלילה של לכל x ו-a מתקיים x שייך ל-b. זאת הייתה השלילה, זאת אומרת מה קרה כששללנו? המילה.
לחול, אז צריכה להיות בעצם קיים. קיים מישהו שעושה בדיוק את ההפך ממשהו צריך. אותו דבר, כן, אנחנו נעשה במקומות אחרים, אבל שוב, תוך כדי מיצול החשיבה הנכונה שלנו. מישהו רוצה לזכור בעל פשט שבשלילה קיים הופך להיות לחול, או לחול הופך להיות קיים, ואגב זה נכון אם תחשבו טיפה, מותר לו.
אבל חשוב גם להבין בדיוק למה, כן? יש סיבה פשוטה לזה. לוגיתה פסיסית שאנחנו מאמינים בה, שאנחנו מבינים אותה, בריא שאפילו מישהו יספר לנו על כך.
אז עכשיו, שתיים, אני רוצה שתנסו לשלול, וזה הרבה יותר קשה, A לא שווה ל-B. מתי שתי קבוצות הן לא שוות? נסו להחזיר לעצמכם, מול עיניכם את ה... הגדרה של השוויון, ואני רוצה דווקא את ההגדרה הראשונה, כפי ש כתבנו אותה ב-X, בלשון העברים. זאת הגדרה מאוד חשובה שמשמשת אותנו בהוכחות.
עכשיו, אני רוצה שתנסו לשלול את זה, לכתוב שלילה נכונה של כל המשפט הארוך הזה. זאת אומרת, אני רוצה עכשיו שמה שכתוב אחרי האם, לא יתקיים. מה צריך לקרות כדי שהדבר הזה לא יהיה נכון? הרי זה בדיוק יבטיח לנו תנאי הכרחי ונספיק, או אין לזה תנאי שקול, תנאי מאפיין את העובדה שאין שוויון בין שתי עקבות.
נשמע תשובה מטלוויס. בבקשה הלו? כן, בבקשה קיים עבר ב-A שהוא לא עבר ב-B או קיים עבר ב-D שהוא לא עבר ב-A יפה, טוב אני דווקא רציתי שמישהו יעשה קצת טעויות שנלמד מזה משהו, אבל מה לעשות? קיבלנו כאן תשובה נכונה להפליא, אז פיספסתי את המטרה, אבל זה טוב שמקבלים תשובות נכונות בכל אופן.
אז קיים X שייך לב, כך ש-X לא שייך לב. אם יש עוד שאלות, אני יודע שיש עוד מצביעים. מראשון ותל אביב אז בבקשה אם לא אז אנחנו רק נאמר מילה אחת או שתיים ונמשיך אז מה שכתוב פה כדי שיש איזון רוצים קודם כל אם תסתכלו שני דברים שהם קשורים במילה הקטנה הזאת מילת הקישור הזאת וו אנחנו רוצים גם את זה וגם את זה כדי שהדבר הזה לא יהיה נכון מספיק שאחד משני התנאים לא יתקיים. אז שימו לב לפירוש של המילה או לעומת המילה ו. אצלנו בקורס...
המילה או, אולי פירושה, לפחות אחד משני התנאים מתקיים. יכול להיות ששניהם, אבל אצלנו אין או כזה. אס קלוסיבי שאומר או זה או זה אלא הכוונה היא לפחות אחד, יכול להיות שרק הראשון נכון יכול להיות שרק השני נכון יכול להיות ששניים, אנחנו אומרים במצב כזה או, זה אותו או שלפעמים כדי להציר ספק כותבים אותו או וסלש ו, אבל זה האו שלנו, זה לא זה או אלפא או בטא אלא יכול להיות אלפא, יכול להיות בטא, יכול להיות שניים, זה או חלש כזה שימו לב שבשלילה, מה שקרה, אם אני אכתוב כזה דבר, נגיד שיש לי אלפא וגם בטא, שני דברים שאני רוצה אותם, בשלילה זה עבר ללא אלפא או לא בטא.
זאת אומרת, אם מישהו רצה להתיק שני דברים, הלך, אתה, ניסה וחזר ואומר לא הצלחתי, הוא מתכוון לזה שלא יציג את Alpha או לא יציג את Beta או את שניים. הכוונה שלפחות אחד מהשניים הוא לא יצליח. אותו דבר אם אני עכשיו אנסה לשלול את Alpha או Beta, זאת אומרת שזה לא נכון Alpha או Beta, כשאני רוצה את Alpha או Beta אני רוצה לפחות אחד מהשניים. אז מה יקרה לי בשלילה? מי שיכול לומר לנו מה יקרה כשנשלול משפט מן הסוג הזה?
כן שכתוב בהתחלה משפט חלקי אלפא, אחר כך המילה או ואחר כך בטא. מה הכוונה שזה לא נכון? מה השלילה של הדבר הזה?
למה זה הופך? אז באה מן נתניה. לא אלפא וגם לא בטא.
לא אלפא וגם לא בטא. בדיוק כך. זאת אומרת, שימו לב שבשלילה, גם מועבר לאו ואו מועבר לגם. אני רציתי לפחות אחד מהשניים, ואמרו, ענו לי בשלילה, לא את יקבל. זאת אומרת שאני לא יקבל לא את אלפא ולא את בטא.
אני לא יקבל אף אחד מהם. וזה מה שקרה בה... הגדרה הקודמת שלנו, אנחנו עשינו שכל x של a יהיה איבר של b, וכל x של b יהיה איבר של a כדי שיהיה שוויון. כדי שהדבר הזה לא יתקיים, אז צריך שהמשפט הראשון ישלל, או המשפט השני.
השללה אנחנו כבר מכירים, מה זאת אומרת שלא כל איבר של a שייך לבי, יש x ו-a, קיים x ו-a שהוא לא בי. או אם זה לא כך, אז בטוח קיים x ו-a. שבי שהוא כן שהוא לא שייך להם תחשבו על זה ושימו לב למשל שהקבוצה אני אתרחם כמה דוגמאות הקבוצה הזאת לא שווה לקבוצה הזאת למרות ש יש החלה.
זאת אומרת, הסימן הזה שמתקיל לכם שוויון, זה לא אומר שחייב להיות שוויון, אלא שיכול להיות. אבל זה לא אומר גם שלא ייתכן שיש שוויון בין שתי קבוצות, כמו זה, וגם החלה. אין כאן בשתי הטענות הללו שום דבר שסותר את ההגדרות, כן? 1-2 שווה ל-1-2 מפני שההגדרת השוויון מבטיחה זאת, הקבוצה 1-2 חלקית לקבוצה 1-2 שוק מפני שזאת ההגדרה של מושג האכלה.
עכשיו, רק דבר אחד לפני שנדבר קצת על הקבוצה הריקה, לא? ואת הווחקה מנספית משהירו מסוימות. נמשיך במסגש הבא, אבל נדבר טיפה על מושג שהוא קצת יותר מסובך לפעמים, זה מושג של החלה ממש.
בשוב הגדרה, אני אבקש את עזרת מי שזוכר את ההגדרה, אנחנו נאמר... כי קבוצה A חלקית ממש לקבוצה B, ונסמן אז כך, בלי עתה אותו סימן שאולי מזכיר שוויון. אבל שוב, אנחנו מגדירים עכשיו סימון חדש ומיוחד, שמדבר על החלם ממש, אם... עכשיו מי שזוכר את ההגדרה מוזמן להצביע ותעזור לנו כי אני רוצה לראות הרבה מזדהים הגדרות, שימו לב, אתם חייבים ללמוד ולזכור.
בלי זה אי אפשר לעשות שום דבר. אז נשמע אולי מוזר שאני מבקש מכם לזכור דברים, אבל שתדעו שמי שלא זוכר אותם, כנראה לא הבין אותם. עצבה מבת ים, בבקשה. כן, הגדרה היא... קיים עבר, לכל עבר x שהוא עבר ב-a, x הוא גם עבר ב-b, יפה.
אז ל-a לא שווה ל-b. למשל, נכון. אפשר לנקח זאת גם בלשון, אם כבר התחלנו אולי בלשון העברים, אז אולי נרשום זאת כך, עד הסוף, אבל זה נכון מה שאמרת, לכל x שייך להם, מתקיים x שייך ל-b. שבעצם פירושו, החלה רגילה, אבל בנוסף לזה לא רוצים שוויון.
זאת אומרת, זה קיים, זאת אומרת שהחלה השנייה אמורה לא להתקיים. וקיים x ב-b כך ש-x לא שייך להם. זאת ההגדרה האופרטיבית המעצית שברוב המקרים עוזרת לנו לסתור שאלות. בראשון קבוצות, אותם התנאים יהיו אי חלקית ממש לבי, אם. אז לרשום קבוצות, אם אני רוצה לרשום בספקו, אלענית את אותו הדבר, אז העובדה שכל איקשה שייך לאי שייך גם לבי, אנחנו מסמנים כך, על צמח ההגדרה של אחלה רגילה.
ואל תשכחו זאת, יש כאלה שחושבים שיש מסתירה בין שני התנאים. לא, אכלה ממש ואכלה רגילה, הם בסך הכל מושגים שבחלקם חופפים. כן, החלק הזה נדרש בשניהם.
אבל באכלה ממש לורשים... תנאי נוסף שלא יש שוויון, זה נושב. שבדיוק זה אומר שלא כל איבר של בי הוא גם איבר שליי.
מותר לכם להשתמש במה שאתם רוצים, תבחרו את מה שנוח לאותו מקרה. אבל אל תשכחו שחייבים תמיד לבדוק תחילה אכלה רגילה כדי להבטיח שיש אכלה ממש. זה אחד עצמם. אז אני אוסיף כאן הערה.
אם A חלקית ממש ל-B, אז בוודאי ש-A חלקית באופן רגיל ל-B. זה בטוח, לפי ההגדרה. זה דבר ראשון. שתיים, אבל אם A חלקית רגיל ל-B, לא בהכרח A..
חלקית ממש. מישהו יכול להגיד לנו למה זה לא מתחייב? למה ייתכן ש-A חלקית ל-B ולא חלקית ממש?
את באה מראשון. כן, כי יכול להיות מצב ש-A שווה ל-B. נכון.
ואז יש החלה רגילה, אבל לא תהיה... החלה ממש במקרה. טוב, בדיקה פסוטה, שאני את... אני רוצה שנבדוק לגבי קיום או אי קיום מחלה ממש אז באה מכמה וכמה מדעים אני רוצה להזמין מישהו שאולי לא הספיק להשתתף עד עכשיו בדיון אני כבר רואה שיש לנו קבוצה של מבגים קבועה וקבוצה של מתביישים קבועה טוב, אז זה בנו ראשון, בבקשה זה המשפט הנון נכון זה לא מכון שלא כלל כל לברבי לא קבער בחבוצה הימנית, הוא קיים בקבוצה השמאלית למשל? סליחה, המשפט נכון, כמובן שכל חסר ישמה מבריהם בחבוצה הימנית זה גם קיים בקבוצה השמאלית נכון זו הבנה נכונה האבר שפע משפט 2 הוא קיים בקבוצה הימנית, זה גם קיים בקבוצה השמאלית נכון עכשיו אני יכול לרשום איזשהו הסבר שנראה מכוער וארוך אבל הוא מאוד מדויק יש הכלה רגילה, ובנוסף, המספר 2 שייך, ואני אומר למי שבודק אותי את כל מה שהוא צריך, כדי להבטיח שיש הכלה ממש.
2 שייך לקבוצה הזאת, B, נהיינים, אבל 2 לא שייך לקבוצה 1. טוב, זה הבינתיים העיקר לגבי החלה ממש, ואני רוצה להצפיק בזמן שנותר, אני מקווה שבאמת יצפיק לנו אם לא, כפי שאמרתי, נמשיך את הדיון במפגש הבא, שבגלל החגים יהיה רק בעוד שבועיים, אבל מי שמתקשד ודשת המטלה, כפי שאמרתי... למרות שהמתגז שיהיה לפני הנתלה הבאה יכול לחכות אפילו עוד שבוע, זה לא סוף העולם. אני רוצה שנדבר עכשיו על נושא שהוא בהחלט קצת יותר בעייתי, הקבוצה הרקעה. יש דיון על כך גם בספר, אני אחזור על חלק מן ה... אבל מה שאנחנו עושים בשלב ראשון זה באמת לקבל כי יכול להיות שיהיו כאלה שלא יסכימו לכבוצה שללא איברים או לעוסף כזה שאין בו כלום נקרא בשם קבוצה אבל אנחנו כן נעשה זאת כי חכמים בעבר שמולב שכדאי לסמן גם כלום באפס וכל מיני דברים כאלה הכלום עכשיו, קבוצה ללא איברים זה שונה, זה לא לבלבל בינה לבין המספרים מספר 0 הם שני דברים שונים לחלוטין.
מה שנקשר ביניהם זה פשוט שבקבוצה ריקה יש 0 איברים. מישהו ספר מגלה שיש 0 איברים. אז ההגדרה היא שקבוצה ללא איברים נקראת קבוצה ריקה. אבל אם הייתי כותב, הקבוצה שבה אין שום איבר נקלט הקבוצה הריקה, אולי גם הייתם מקבלים. וזה לא בסדר כל כך.
מבנה שאולי יש כמה כאלה. אולי אפשר להבחין בין שתי קבוצות שאין בהן כלום. כנמשל, אפשר להבחין בין קבוצת החולצות ללא פסים אדומים שלופשים האנשים על הירח, לבין קבוצת החולצות ללא פסים ירוקים שלא...
איך תופשים האנשים הנמצאים כרגע על הירח? לא יודע. אז השאלה היא, אם אנחנו יכולים להוכיח לכל מי שרק ינסה להמציא לנו המצאות, שאין סיכוי שהיא ימצא שתי קבוצות רגע. עכשיו, איך אנחנו עושים זאת?
אני אעשה זאת בקצרה. לא יכול עכשיו לצערי לקיים דיון ארוך, כי הזמן קצת לוחץ, אבל אני רוצה להוביל אתכם בעזרת כמה טענות להוכחה. של הדבר הזה, וכך תראו בפעם הראשונה בעצם אולי הוכחה פורמלית, כללית, שאומרת שלא משנה איזה קבוצות ריקות תביאו, מי יביא אותן ומתי, תמיד אלה יהיו קבוצות שוות, צביעות.
אז אני אלך בדרך אחת, יכולתי ללכת בדרך נוספת, אבל שתי הדרכים כרגע הן מוכנות על ידי הטענות שהבאנו קודם, בהגדלות הקודמות, כך שאני אשתמש אולי דווקא בנימוק הקצת יותר קשה. ואני אוכל את המשפט הבא. שהוא משפט נורא חשוב. אם, נגיד, אני אקרא לה E, קבוצה ריקה, אז, וזאת הענה כללית, רצינית, חזקה, אז לכל קבוצה A, נתקיים פשוט שהיא חלקית ל-A זאת אומרת שאם E קבוצה רגע, אז E חלקית לכל קבוצה.
ככה כותב מתמטיקאי את המשפט הפשוט הזה, הוא מסרדל אותו בצורה כזאת. אומר לכל קבוצה A מתקיים E חלקית ל-A איך אפשר להוכיח את זה? אומרים לנו תוכיח.
וזה קורה לא מעט ואנחנו לא יודעים מה בכלל, מה הכוונה בהוכחה ואיך ומאיפה אנחנו נביא, מה נספר לו כדי שיהיה מבסוט, שלא יגיד שלא הבאנו הוכחה, שזאת לא הוכחה מה שכתב. אז התשובה היא תחפשו אותה תמיד במה שאמרתי קודם, שאנחנו חייבים להתעמך על הגדרות, מה לעשות. אל תחפשו דברים אחרים, אין טעם ובקורס הזה בכלל אין טעם, כן?
התחכמויות גדולות, בדרך כלל ההוכחות נגמרות בצד אחד או שניים. בתנאי שאנחנו הולכים להגדרות ולא מחפשים צערות אחרות. אז מה אני רוצה להוכיח כאן?
אתם מבינים את הטענה, מה שכתוב פה, ושלא משנה איזה קבוצה אני אבחר A, תמיד היא חלקית ל-A בעצם אני צריך להראות שיש החלה. אבל צריך להראות זאת לכל הקבוצות A שבעולם, לפעמים בעיה קשה, כן? איך אני אתמודד עם כולן?
אז הטכניקה הפשוטה היא, זה לקחת קבוצה A, סתם. שלהגיד, תביא לי קבוצה, לא משנה איזה, אני מוכיח. תביא לי אחרת, אני אעשה זאת בדרך כזאת שהיא לא משנה כל כך, לא משתנה מקבוצה לקבוצה.
מה שעשיתי לקבוצה A מסוימת, יהיה נכון לכל קבוצה A או B או C, אחרת שתזיהו, לא משנה. כי אני לא מתנה דבד, לא מבקש מהקבוצה הזאת לקיים שום דבד למעט העובדה שבאמת תהיה קבוצה. אז הנה, נבחר, נניח ש-A קבוצה. עכשיו, מה שאנחנו נעשה, נוכיח שהיא... חלקית ל-A אם אני מצליח לעשות את זה, אז כשאמרתי, הוכחתי טענה כללית, כי עשיתי זאת לכל A שאפשר.
עכשיו, איך אפשר להוכיח ש-A חלקית ל-A? מישהו יודע? אני רוצה להראות החלה.
מה שאני יודע על A, ושאין לה איברים. זה כל מה שאני יודע. ועל A, כלום. למה את העובדה שהתבוצעת? אז למה שהיא הקבוצה הזאת שהנחתי את קיומה, קבוצה ללא איברים, חייבת להיות חלקית ל...
מה הנימוק? הנימוק, שוב אמרתי לכם לפני רגע, כי אני לא רואה הרבה מצבים עכשיו, וזה מזווה בדיוק על נקודת החולשה שהדיברנו עליה קודם. אתם עכשיו צריכים להוכיח...
לזה יש הגדרה. מה ההגדרה? אם תפתחו בהגדרה תגלו גם את ההוכחה. עדווה מנתני, בבקשה. בואו נראה, ההוכחה היא שאין איקסים שמתקיים.
אה, X חלקית ל-E, ולכן בלתי אפשר... ולכן לכל X שחלקית ל-B הוא... ל-E הוא חלקי גבלי, כי אני אקסימקר.
יפה, יפה. טוב, אני נאלץ לקבל זאת, כי באמת, לא יודע אם הבנתם, אבל אנחנו דיברנו על זה קודם, אז אולי ההוכחה הזאת יראה לכם קצת לא ברורה, אבל תנסו לקבל אותה, לחשוב עליה. מה שאני אכתוב עכשיו זה ככה, לכל x השייך ל-a מתקיים כל מה שרוצים, מפני שפשוט אין x כזה, על x ששייכים ל-a אפשר להגיד כל מה שאתם רוצים, כן? כל זה שלא שייכים לי זה גם בסדר, שלא שייכים לי זה גם בסדר, מה שאתם רוצים?
מתקיים x שייך ל-a כי פשוט אין איבה x. ובמילה לכל לא הייתה כוונה לקיום, כן? אין כל דרישה לקיום x השייך. זה לא חלק מן ההוכחה, אלא רק הסבר לעצמי.
מה שכתוב פה, לוגיקה היה מקבל. אולי לכם קצת יותר קשה לקבל זאת, ואולי כדי להשתכנע נביא הוכחה נוספת, אבל זאת הוכחה קשרה. זאת אומרת, לכל X ששייך ל-E מתקיים כל דבר, זאת אומרת, פשוט אין X כזה. זאת אומרת, הטענה מתקיימת, היא נכונה באופן רק. אני יכול להגיד על כל בן אדם שנמצא על הירח, על כל בן אדם שנמצא על הירח כרגע, שהוא גנב.
תראו לי אחד שהוא לא כזה. על הערך או כל מיני דברים אחרים נעימים או לא יש עוד עצבן מרעננה? בבקשה כן, אני ביטלתי אבל אני רציתי לוקח את זה אחרת יפה, בגלל זה התקשרתי אליו כאילו ש...
כן עכשיו... לסתור את הטענה שהיא לא חלקית לאי כן כי היא לא חלקית לאי משמעה שקיים איזה שהוא X ב-E שהוא לא נמצא ב-E אבל אין שום X ב-E אז כמובן שהיא חלקית לאי נכון נכון, יפה מאוד תודה רבה עכשיו תראו פתאום אנחנו גילינו טכניקת הוכחה שעוד לא דיברנו עליה אולי ראיתם אותה בכל מיני מקומות שנראית כמין הוקוס פוקוס כזה שמאפשר לנו לעשות הוכחות בלי שום בעיה, כן? אפילו בלי להבין כל כך טוב את מה שאנחנו עושים, וזה אולי לא טוב.
אם שמעתם, הוא אמר, בואו נסתר לסתור את התענה, זה נקרא דרך השלילה, ונורא אוהבים את זה, לפעמים, במיוחד לאנשים שלא כל כך מבינים. למה כל אלה שמבינים? וזו דרך יפה ונכונה. אבל אני רוצה שתבינו את הלוגיקה הבסיסית של הדבר הזה, גם במחיר זה שאני אדבר על הקבוצה הריקה כמו שצריך בפעם הבאה. אני רוצה להוכיח...
ושימו לב, את A בחרתי, כן? ש-E חלקית ל-A ואז אני אומר לעצמי, יש פה, כן? וזה אולי נשמע מוזר, אבל תבינו שזו דרך השתילה.
יש פה שתי אופציות. או ש-E חלקית ל-A, או ש-E לא חלקית ל-A רק אחת מן השתיים יכולה להיות נכונה, כן? אז למה אומרים ככה? אז ייתכנו רק שני מצבים.
E חלקית ל-A זה דבר ראשון, ושתיים היא לא חלקית ל-A ומה עשים החכמים לפעמים? הם אומרים בואו נבדוק את הדרך השנייה, את האופציה השנייה. אם המצב הזה הוא לא בעד וחשיבון, אז רק הראשון נשאר.
וזה בדיוק כל ההיגיון שמאחורי דרך השנייה. אין פה שום ניסים ונפלאות. כן, תבינו שבעצם אתם בודקים שני מקרים.
אבל מתחתנים, בודקים את זה שאין לו סיכוי תחילה. ואז אם רואים שלזה עם סיכוי, אז נשאר רק השני. מפני שהם משלימים אחד את השני, לא יכול להיות ששניהם לא יתקיימו, או ששניהם יתקיימו. רק אחד מתקיים בטוח. אז, אבל, אם נניח, כאילו לא כתבתי פה, כן, ונמשיך ונרשום, נניח בשלילה שהיא לא חלקית ל-A, כן?
אבל... סימולה, לא צריך לזכור פה שום דבר בעל פה, אני בודק קודם את האופציה הזאת. נניח היא לא חלקית ל-A אז, לפי שלילת, כן, הגדרת ההחלה, קיים X ששייך ל-E, אפילו אני לא צריך להמשיך כאן, כי כבר קיבלתי משהו בלתי אפשרי, אבל אני אשאור, כך ש-X לא שייך ל-A אבל בואו נסתירה, T ל-E.
אז זה אומר שהאופציה הזאת פסולה, לכן נותר רק מצב מספר 1, כלומר E-C-A כפי שאמרתי, מה שעשינו כאן נכון. לכל קבוצה A ולכן הדבר הווה הוא כלל. וזה משפט נורא חשוב שאומר שהקבוצה ניקח חלקית לכל קבוצה.
אבל אני לא יודע שיש רק אחת, אני רוצה לנמק זאת. אז עכשיו, אנחנו משום מה מצוגלים לעשות את זה בקלי קלות, אם תנסו לחשוב טיפה... העובדה שקבוצה ריקה, לא משנה מי זאת, היא חלקית לכל קבוצה אפשרית, לא משנה מי זאת, זה מראה לנו בקלה קלות שיש רק קבוצה ריקה אחרת.
ואני אשם את ההוכחה, וזה נכון, יש פה טכניקה קטנה של הוכחה ש... צריכים להפנים, אבל הוכחה היא מאוד פשוטה. יש כאלה שעוד פעם יגידו, נניח, ודרך השלילה, לא צריך. אפילו כאן. אני יכול לקחת שתי, הטכניקה להוכיח שדבר מסוים הוא אחד ויחיד, ומנו, ולקחת שניים עם אותן התכונות, ולהראות שהם בעצם אותו דבר.
הנה, נניח ש-E וגם F קבוצות ריקות. אז, אני טוען ש-E חלקית ל-F. למה?
כי C, כן? כי E ריקה. אנחנו אמרנו שקבוצה ריקה חלקית לכל קבוצה אפשרית.
אבל עכשיו, כל החוכמה היא לא לשכוח שגם F קבוצה ריקה היא יכולה לשחק את אותו תפקיד ששיחקה הקבוצה ריקה מהמשפט הקודם, ולכן היא חלקית לכל קבוצה אחרת ובפרט. ועל סמך המשפט, שני הדברים הללו התקבלו על סמך המשפט קודם ועל. יש לי כבר שתי החלות, שתי החלות פלוס הגדרת השוויון. כל זה מפתיע ש-E שווה 0. שיאה הגדלת השוויון, ואין קבוצות, E שווה 0. ומכאן, כל מי שינסה להביא שתי קבוצות ריקות, להגדיר אותן איך שהוא יצא, תמיד יקבל אותו דבר, כמו שקבל מישהו אחר אולי, שניסה להגדיר קבוצה ריקה. מכאן.
שיש רק קוצה רקע אחת. זה יחידה, וזאת מבנה שכל שתיים אין שוות. בגלל זה שיש קוצה רקע אחת, אנחנו מסמנים אותה בתימון מיוחד.
רק עכשיו אנחנו יכולים לעשות זאת, כן? כי קודם לא ידענו. אם לא יודעים, לא יכולים לסמן שני דברים שונים באותו דבר, נקבל סתירה.
מסמנים אותה משום מה כך. ולא, למשל, צומדיים אין כלום או בלי כלום. הסימון המקובל הוא זה. אז הערה האחרונה היא שלפי משפט קודם, וזאת התכונה החשובה של הקורסה הריקה שהשתמשנו בה כדי להוכיח את המשפט האחרון. הקבוצה הריקה חלקית ל-A וזאת לכל קבוצה.
במפגש הבא אני עוד אמשיך עם כמה תרגילים שעוסקים בקבוצה הריקה ובנושאים אחרים שעוסקים ביחידה מספר 1 ואתם מוזמנים בהחלט לקרוא את כל היחידה הזאת כדי שנוכל... להתקדם יפה בה וגם אולי להתחיל בה לקרוא את היחידה מספר 2 שהיא לא קשה, לפחות בחלקה הראשונה אז א נחנו בינתיים נפרד כאן ונפגש בעוד שבועיים אני מאחל לכם חג שמח והרבה הצלחה בלימודים תהיי קרות תודה.