Линейная зависимость

Основной пример

• Даны 3 вектора: $V_1, V_2, V_3$
• Можно ли найти их линейную комбинацию так, чтобы сумма была равна нулю?
  • Да, тривиальное решение: $0V_1 + 0V_2 + 0V_3 = 0$

Основное определение

• Векторы $V_1, V_2, , ..., V_n$ называются линейно зависимыми, если существуют скаляры $\alpha_1, \alpha_2, , ..., \alpha_n$ (не все равны нулю) такие, что: $\alpha_1 V_1 + \alpha_2 V_2 + , ... \alpha_n V_n = 0$
• Если в любой линейной комбинации, сумма которой равна нулю, все коэффициенты равны нулю, то векторы линейно независимы

Примеры и объяснения

• Векторы, такие как $(1, 1, 0), , (0, 1, 1), (1, 0, 1)$ линейно независимы
• Чтобы проверить, являются ли векторы линейно зависимыми, решаем систему гомогенных уравнений
  • Например: для $V_1 = (1, 1, 1), , V_2 = (0, 1, 1), V_3 = (1, 0, 1)$ проверим, существуют ли $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$, не все равные нулю, такие, что: $\alpha_1 V_1 + \alpha_2 V_2 + \alpha_3 V_3 = 0$
  • Решаем уравнения и делаем выводы

Свойства линейной зависимости

1. Любое множество, содержащее нулевой вектор, линейно зависимо
2. Если векторы $V_1, ..., V_n$ линейно зависимы, то, по крайней мере, один из них является линейной комбинацией остальных
3. Если к множеству векторов добавить еще один вектор, и если исходное множество было линейно зависимым, то новое множество также будет линейно зависимым
4. Любое подмножество линейно независимого множества также является линейно независимым

Доказательство независимости

• Чтобы доказать, что множество векторов является линейно независимым, можно расположить векторы в виде строк в матрице
• Приводим матрицу к ступенчатому виду
  • Если есть нулевые строки, то векторы линейно зависимы
  • Если нулевых строк нет, то векторы линейно независимы

Математический пример

• Допустим, у нас есть векторы: $V_1 = (1, -2, 1), , V_2 = (2, 1, -1), V_3 = (7, -4, 1)$
  • Приводим их к матрице и смотрим, что получится
  • Решаем систему и делаем выводы о зависимости

Матрицы как векторы

• Также в векторных пространствах полиномов и при работе с матрицами можно проверить линейную зависимость путем выравнивания матриц в векторы
• Полиномы и матрицы можно расположить в строки и привести к ступенчатому виду

Важная теорема

• Например, если векторы в векторном пространстве линейно зависимы, то, по крайней мере, один из них является линейной комбинацией предыдущих