אוקיי, עכשיו אנחנו נלמד על נושא שנקרא תלות לינארית. תראו, נניח שאני לוקח שלושה וקטורים, סתם, Vn1, וקטורים, אני מתכוון, עברים במרחב וקטורי. האם אתם יכולים למצוא צירוף לינארי שלהם שייתן אפס? למשל איזה?
0 כפול הראשון, 0 כפול הראשון. כן, ודאי, 0 Vn1 ועוד 0 Vn2 ועוד 0 Vn3 שווה ל-0. שאלתם שכל שניים יהיו אחר כך. לא, אני לא יודע אם זה המינוס של זה. לא חושב.
5 פעם עם זה, פחות 8 פעם עם זה, פחות 8, הם לא אותו דבר. אז זה לא חוכמה. השאלה היא, עכשיו אני שואל שיהיה אחרת. יש פה Vn1, Vn2, Vn3. האם אתה מוכן למצוא צירוף לינארי של שלושתם, שייתן אפס, אבל שהמקדים לא כולם יהיו, אולי החלק כן יהיו, אבל לא כל המקדים יהיו אפס?
אם זה ייתן למה? אם תהיה 1 ו-2 ו-3, איך אפשר לעשות את זה? או כן או לא אני אומר, תלוי מהם Vn1, מה זה Vn2, מה זה Vn3, לא תמיד אפשר לעשות את זה.
אם אחד מהם וקטור ה-0. אם אחד מהם וקטור ה-0 זה כן, אבל אני אומר סתם באופן כללי. אם אחד מהם הוא וקטור ה-0 ודאי, אז עליו אתה יכול לשים איזה מקדם שאתה רוצה, ועל אחרים, קדמים אחרים.
אז עכשיו, אין תשובה חד דרכית לשאלה, זה תלוי מי הם ה-Vn1, Vn2, Vn3. אם אני אתן לכם Vn1, Vn2, Vn3, אתם יכולים לנסות. פשוט שמים פה Alpha 1, פה Alpha 2 ופה Alpha 3, כותבים 0 ואווים נתונים. אתם יכולים לפתור פה משוואות, יש לכם 3 משוואות עם מספר נעלמים כמספר הרכיבים ב-v ואתם יכולים לראות אם יש alpha1, alpha2. נגיד ש-a1 זה 1, 4, 6, 8 וזה 9, 1, 4, 6 וזה 1, 1, 1, 1. תעשו פה alpha1, פה alpha2, פה alpha3, תכתבו שזה 0, 0, 0, 0 ותפתרו את המשוואות.
אם יהיה פתרון יופי, אם לא יהיה פתרון אז אי אפשר לכתוב. זאת אומרת אם יהיה רק הפתרון הטריזורי, אני תכף אעשה את זה באופן רשמי. עכשיו אנחנו הולכים להגדיר הגדרה.
יש לי v מרחב אקטורי, v1, v2 עד vn עברים ב-v. אנחנו קוראים ל-v1, v2 עד vn כנורים לינארית, אם קיימים סקלרים, Alpha 1, Alpha 2, Alpha n, עכשיו לא סתם סקלרים, אני לא רוצה שכולם יהיו אפסים, לא כולם אפס, כך ש-Alpha 1, Vn1, ועוד Alpha 2 Vn2 עד Alpha N, VnN שווה ל-0. זאת אומרת אם אני יכול למצוא צירוף לינארי, של אחיו רשק שווה ל-0, אבל שהמקדמים לא כולם יהיו 0, אולי חלק כן, חלק לא. עכשיו, מה זאת אומרת שהן בלתי תלויים לינארית?
זאת אומרת שאי אפשר למצוא, שכל פעם שאתם כותבים פה דבר כזה ויוצא 0, בהכרח כל המקדמים הם 0, נכון? זה פירושו בלתי תלויים, שאי אפשר למצוא כאלה שהן לא 0. אני רוצה לכתוב את זה. Vn1, Vn2 עד Vnn, נקראים בלתי תלויים לינארית.
אם צירוף לינארי כזה, Alpha 1, Vn1, Alpha 2, Vn2, עד Alpha n, Vnn, שווה ל-0, גורר שכל ה-Alpha יהיה מ-0. אוקיי? נראה דוגמה. האם החברה האלה Vn1, 1, 1, 0, Vn2, 0, 1, 1, Vn3, 0, מה חסר לנו פה, 1, 0, 1, 1, 1, תלויים לינארית? כן.
בסקי תלויים לינארית אין מה. אם צירוף לינארי כזה, אם הצירוף הלינארי, אם זה גורר את זה, תמחק את המילה הזאת, בסדר? אם זה גורר בהכרח את זה. אם כל צירוף לינארי כזה גורר את זה.
כי אם הייתם מצליחים למצוא כאלה כשלא אפס אז גם יהיו תלויים. אוקיי? עכשיו, לשאול על אלה. אז שוב, לבטור את השאלה אנחנו יודעים. השאלה האם קיימים?
האם יש? זה מערכת משמעות, בדיוק. וזה תלוי בפתרונות שלו.
של מערכת המשוואות. כל מה שאני אומר הוא שמערכת המשוואות הזו תמיד יש לה פתרון, אבל יכול להיות שהוא רק פתרון טריוויאלי. כי המערכת, איזה מערכת זאת?
הומוגנית. כך ש-Alpha 1 Vn1 זו על Alpha 2 Vn2. אם זה פתרון טריוויאלי אז הוא עוד... אז הם בלתי תלויים, כן. אתה לא יכול למצוא מספרים ממש.
עכשיו מה כתוב פה? כתוב פה Alpha 1, 1, 1, 0, ועוד Alpha 2, 0, 1, 1, ועוד Alpha 3, 1, 0, 1. ואני רוצה, אני שואל האם זה יכול להיות 0, 0, 0 וAlpha אם לא כולם 0. אז אני קורא פה את המשמעות, הרכיב הראשון של הדבר הזה זה Alpha 1 ועוד Alpha 3, נכון? אני מחבר פה, אני מכפיל את המטריצות האלה, את הוקטורים, מכפיל כל אחד מאלי ב-Alpha 1, כל אחד מאלי ב-Alpha 2, כל אחד מאלי ב-Alpha 3, מחבר, אז אני מקבל פה Alpha 1 ועוד 0, Alpha 2 ועוד Alpha 3. עכשיו יש לנו Alpha 1 ועוד Alpha 2, והרכיב הראשון של הדבר הזה זה Alpha 1 ועוד Alpha 3. זה א-2 ועוד א-3, אז יש לי פה מערכת משוואות פשוטה.
אם ה-EF נותן וקטורים יותר מסובך, אם המערכת הייתה יותר מסובכת, אבל כאן אנחנו רואים מיד שכולן צריכים להיות אפס, נכון? כי כתוב פה ככה, Alpha 1 צריך להיות שווה ל-Alpha 3, נכון? Alpha 1 צריך להיות שווה גם ל-Alpha 2. וה-Alpha 2 צריך להיות שווה ל-Alpha 3, נכון?
אז תסתכלו, מה נובע משני אלה? אני לא פותר את זה בשיטארינג, אתם יכולים לדרג את זה. משני אלה נובע שאלפא 1 שווה לאלפא 2, נכון?
כי בשני הם מינוס אלפא 3. ופה כתוב שאלפא 1 שווה למינוס אלפא 2. אז האם יכול להיות ש-α1 שווה גם ל... זאת אומרת, α1 שווה ל-α2 שווה למינוס α2, זה גורר ש-α1 שווה ל-α2 שווה ל-0, אם α2 זה 0, אז גם α3 הוא 0. שוב, פתרתי את זה בעל פה, אתם יכולים בהחלט לקחת את המטריצה 101, 110, 011, לדרג ולראות שהדרגה שלה היא 3. לכן, תלויים, לכן הן בלתי תלויים לינארית. עכשיו ככה אני אכתוב את זה. אנחנו רואים שלומר אם משהו תלוי לנערית או לא תלוי לנערית, זה כרוך בפטירת מערכת משוואות הומוגנית. במידה ויש פתרון טריוויאלי למערכת, אז זה בלתי תלוי.
במידה ואתם מוצאים פתרון נוסף לטריוויאלי, אז אתם יכולים למצוא אלפיים כאלה. אבל יש כמובן אינסוף אלפיים, כי במערכת הומוגנית או שיש פתרון אחד, או שיש אינסוף. אוקיי. עכשיו מה שאנחנו נרצה זה, אחרי איזה משפט מכין, אני רוצה להראות לכם שיטה קצת יותר פשוטה, לבדוק אם וקטרולוגים תלויים לינארית או לא.
קצת יותר, לא הרבה. אוקיי. לפני המשפט אני רוצה לומר לכם למה קוראים להם תלויים או בלתי תלויים. תסתכלו לרגע על כזה דבר, למשל, 3 פעמים Vn1 ועוד 4 פעמים Vn2.
פחות 5 פעמים Vn3 ועוד 0 פעמים Vn4 ועוד 3 פעמים Vn5 ועוד 0 פעמים Vn6 שווה ל-0. הוקטורים האלה Vn1, Vn2, Vn3, Vn4, Vn5, Vn6 הם וקטורים תלויים לינארית, נכון? אוקיי, נניח שמצאתי כאלה מספרים, אני לא אומר לכם מי הווקטורים, אבל אם יש לכם צירוף כזה, אלה ווקטורים תלויים לינארי.
עכשיו, תיקחו למשל את ה-Vn2 הזה. אתם יכולים לכתוב את Vn2 כצירוף לינארי של האחרים, נכון? זה שווה למינוס...
אתם יכולים לקחת את Vn2 לצד הזה, ולחלק ב-4, נכון? ואז אתם מקבלים ש-Vn2 הוא צירוף לינארי של Vn1, Vn3, Vn4, Vn5 ו-Vn6. זאת אומרת מה הפירוש שהווקטורים הם תלויים לינארי?
זאת אומרת שאחד מהם הוא צרוף לינארי של האחרים, זאת אומרת הוא כבר נקבע על ידי האחרים. הם לא יכולים כל אחד לעשות מה שהם רוצים. יש איזה קשר ביניהם, הם תלויים. זה לא שהם תלויים בצוואר, הם תלויים במובן שיש להם... עכשיו, האם כל אחד מה...
האם את v1 אני יכול לכתוב כצירוף לינארי של האחרים? כן. האם את v4 אני יכול לכתוב כצירוף לינארי של האחרים? לא, כי כשאני מעביר אותו, אני לא יכול לחלק ב-0. זאת אומרת, כל אחד שמופיע עליו מקדם שונה מ-0 הוא צירוף לינארי של האחרים, נכון?
עכשיו, השאלה הבאה שאני שואל אתכם, האם אתם רואים פה מישהו שהוא צירוף לינארי לא סתם של האחרים, אלא רק אלה שבאים לפניו במספור הזה? תראו, Vn2 הוא צירוף לינארי של חבר'ה שבאים אחריו גם. יש פה מישהו שהוא צירוף לינארי רק של אלה שבאים לפניו?
Vn5. Vn5, זה נכון? זה כשמעבירים אותו הוא צירוף לינארי של כל... את זה אני לא צריך לכתוב. טוב, v5 הוא צירוף לינארי של זה, זה, זה וזה, זה אני לא יכול לחטוב בכלל, נכון?
עכשיו, זה המשפט שאני רוצה להוכיח תכף, שאומר גם אם וקטורים הם תלויים לינארית, אז יש אחד מהם שהוא צירוף לינארי של הקודמים שלו. זה ברור. אוקיי, והוכחה היא ברורה.
האחרון שיש לו מקדם לא אפס. אני לא אמרתי שזה קשה. זה אפילו ברור, נכון.
אבל זה משפט שאנחנו נצטרך להשתמש בו. עכשיו עוד ש... לקראת מה אנחנו חותרים, אוקיי? יש לנו מרחב אקטורי, מרחב אקטורי יש המון המון איברים. אני לא יכול לכתוב את כולם.
אוקיי? יש אינסוף בדרך כלל. אני רוצה איזושהי קבוצה מצומצמת של איברים במרחב שבעזרת סירופים מיניאריים ש...
אני אקבל את כולם. למשל, אם אתם מסתכלים על שני החבר'ה האלה, ב-R2 אנחנו יודעים שזה פורס את כל R2. ואם אני לוקח את כל החבר'ה האלה, אני לוקח את שלושת החבר'ה האלה, באר 3, אלה פורסים את אר 3. כל דבר באר 3 זה משהו כפול זה ועוד משהו כפול זה ועוד משהו כפול זה.
אבל אולי באר, אולי אפשר להסתפק בפחות משלושה, אולי באר 3 יש שני חבר'ה, אולי אפשר כל דבר באר 3 לכתוב בעזרת 5, 6, מינוס 9 ו4, 1, 8, אני לא יודע. אני רוצה בכל מרחב אקטורי, זאת אומרת אני יודע אבל אני אגיד לכם את זה רק ביום ראשון. אני רוצה בכל מרחב אקטורי למצוא קבוצה שפורסת אבל הכי קטנה שאני יכול.
ואז אני יודע שבעזרתה אני יכול לכתוב את כל העברים במרחב. ובזה משתמשים בהרבה מאוד מקומות. אתם תלמדו בשבועות דיפרנציאלות באיזשהו שלב. למשל, אני רוצה לתת לכם חוונה דוגמה לא מאלגברה.
מה זה משוואה דיפרנציאלית? משוואה דיפרנציאלית זה משוואה שהנעלם שלה זה לא מספר אלא פונקציה. הנה אני שואל אתכם שאלה, האם אתם מכירים פונקציה Y ששווה לנגזרת שלה? אי בחזקת X למשל, אוקיי? או חמש פעמים אי בחזקת X.
אז זאת משוואה דיפרנציאל, יש פה משוואה, נעלם הוא Y, אבל זה פונקציה. אני יכול לשאול אתכם שאלות יותר מסובכות, האם אתם מכירים פונקציה כך שהנגזרת השקל, ועוד 8 פעמים אני אגזר את השנייה פחות 9 פעמים, אני אגזר את הראשונה ועוד y שווה למשהו, לא יודע, נגיד ל-0. עכשיו יש מקצוע שנקרא משוואות דיפרנציאלית שמתעסק בזה, בדברים האלה.
החוק השני של ניוטרון זה משוואה דיפרנציאלית. מה אומר החוק השני של ניוטרון? שהמסה כפול התאוצה זה הכוח, נכון? עכשיו תאוצה, אתם רגילים שתאוצה זה מספר, זה חמש. אבל אם תסתכלו פעם על האוטו שלכם, אף פעם התאוצה היא לא חמש.
תאוצה זה השינוי של המהירות. כולם מסכימים שמהירות משתנה וקוראים לזה תאוצה. התאוצה גם כן משתנה. בתיכון לומדים את תנועה שוות תאוצה, אבל בעצם התאוצה, המהירות, אם אתם כשאתם לוקחים את הדרך, המהירות זה הנגזרת של הדרך.
אוקיי? זה השינוי בדרך, זו אתם תלמדו. והתאוצה זה הנגזרת השנייה של הדרך. נגזרת אומרת לנו שינוי. שינוי בדרך, ביחידת זמן, זה המהירות.
שינוי במהירות, ביחידת זמן, זה התאוצה. זה הנגזרת השנייה. שוב, הנגזרת זה שינוי ביחידת זמן במקרה הזה.
עושים נגזרת שלישית, מקבלים את השינוי בתאוצה ביחידת זמן. בכל אופן, החוק השני של ניוטון אומר, אם תסתכלו בספרים, אומר, זה אומר שזה שווה לזה. משוואה דיפרנציאלית.
אוקיי, עכשיו, כשפותרים משוואות דיפרנציאליות, מפרידים שוב פעם בין משוואות הומוגניות למשוואות לא הומוגניות, וגם שם המשוואות ההומוגניות, הפתרונות, זה יוצא תת מרחב. ואז אנחנו רוצים למצוא, יש אין סוף פתרונות למשוואה הזאת. ואני רוצה למצוא...
אני לא יכול לרשום אין סוף משוואת, אז אני מחפש פתרונות בסיסיים, פתרונות שבעזרתם אפשר לרשום את כל האחרים. למשל, נגיד ש-e בחזקת 4x ו-e בחזקת מינוס, אני סתם זורק מספרים פה, וסינוס x, פותרים את זה, נגיד שמצאתי שלוש פונקציות שפותר, אני לא אומר שזה פותר את זה, זה יהיה נס גדול אם אחד מהם יפתור את זה, הכל זרקתי סתם מהשארול, אבל נניח שאני מצליח למצוא שלוש פונקציות שפותרות את זה, אבל לא סתם שלוש פונקציות, שלוש כאלה שפורסות את כל הפתרונות, זאת אומרת שכל פתרון אחר זה משהו כפול זה ועוד משהו כפול זה ועוד משהו כפול זה, אז יש לי שיטה יעילה לכתוב את הפתרונות. אוקיי, אז זה מה שאנחנו מחפשים עכשיו, במרחב אקטורי, למצוא מספר מצומצם של איברים שפורסים את המרחב.
אז עכשיו אנחנו הולכים לרשום משפט. אוקיי, אז יש לי Vn מרחב אקטורי, ו-B תת קבוצה. Vn1, Vn2, עם עד Vnn.
קבוצה, אתם יודעים מה, לא נכתוב את זה ככה. יש לנו מרחב אקטורי. אחד, קודם כל, כל קבוצת איברים שמכילה את ה-0 היא תלויה לינארית. זה מה שאמרת לי קודם, נכון?
בדוגמאות. אם בין אחר, אם בקבוצה יש 0, אז הקבוצה תלויה לינארית. אוקיי?
שתיים. אם v1, v2 עד vn תלויים לינארית, אז אחד ה-v'הוא צירוף לינארי של האחרים. לפחות אחד מהם אני אכתוב, בסדר? אז לפחות אחד מהביעיים הוא צירוף לינארי של האחרים.
VnI עם קטנים. זה החבר'ה שרשמתי פה. יש לי פה קבוצה של חבר'ה תלויים לינארית, Vn1 עד Vnn.
ואני אומר, אם הם תלויים לינארית, אז אחד מהם הוא צירוף לינארי של האחרים. VnI זה שם כללי לכל החבר'ה. מספר 4 אומר כמעט את אותו דבר. 3, תודה. אם Vn1, Vn2 עד Vnn תלויים לינארית, אז אחד מהם, אחד מהוויהים, הוא צירוף לינארי של קודמיו.
כמובן אם אני מוכיח את זה אני לא צריך להוכיח את 2. כי אם יש מישהו שצרוף לי ניארית קודם ובין השאר צרוף לי ניארית לאחרים. עכשיו, החלק הבא אומר שאם יש לכם קבוצה תלויה לינארית ואתם מוסיפים לה עוד דברים, גם הקבוצה החדשה היא תלויה לינארית. אוקיי?
קבוצה שמכילה קבוצה... תלויה לינארית, גם היא תלויה לינארית. וזה די ברור, כי אם יש לכם חבר'ה שיש כל מיני מקדמים והצירוף הוא אפס, כל מה שתוסיפו, אתם יכולים להוסיף עם מקדמים אפס.
נכון? הדרישה היא בתלות, זה בשבילך שאחד מהמקדמים, לפחות אחד מהמקדמים יהיה שונה מאפס, ויש לכם כבר את האחד הזה. כן. לברס 22, אם Vn1 עד Vn8, הוא, כל העברים בעצם עובדים על נאריש.
למה אתה אומר לפחות אחד מה-Vn הוא צירוף לנאריש אחר? כל אחד מהם בעצם הוא צירוף ל... לא, לא כל אחד מהם.
לא כל אחד מהם הוא צירוף לנאריש לאחרים. תיקח את Vn4 למשל, ובכוונה החלפתי פה אחד עם אפס. כל אחד שהמקדם שלו שונא. לא רציתי לכתוב את זה במשפט אז למה לא לכתוב? כל איבר שמקדם שם, מקדם שמשמאל?
כי זה מסבך את המשפט וזה כל מה... תראה, משפטים רושמים כי משתמשים בהם אחר כך וזה הניסוח שאנחנו נשתמש בו אחר כך אתה צודק כל אחד שהמקדם שלו שונה מ-0, סוג כזה. עכשיו, 5 הוא כמו 4, רק ככה, ההפך.
תת קבוצה של קבוצה בלתי תלויה לינארית גם היא, בלתי תלויה לינארית. ושש לאחרון... מדבר על סוג מסוים של איברים. אם אתם לוקחים מטריץ המדורגת, אז השורות השונות מאפס שלה הן בלתי תלויות.
אוקיי? שורות שונות מאפס של מטריץ המדורגת הן בלתי תלויות לניארת. אוקיי. עכשיו אנחנו רוצים להוכיח את המשפט הזה.
את כל החלקים שלו, חוץ מכמובן חלק 2, שאני לא צריך להוכיח, כי אם אני אוכיח את 3, זה מקרה פרטי שלו. אז יש לנו פה איזה חבר'ה, יש לנו איזה קבוצה כזאת, Vn1, Vn2, נגיד ש-Vn3 הוא 0. v4 עד vn, ואני רוצה להראות לכם שהקבוצה הזו תלויה לינארית, אוקיי? אז אני צריך להראות לכם צירוף לינארי שבו לא כל מקדמים הם 0, ושהתוצאה תצא 0. אז אני כותב 0 פעמים v1 ועוד 0 פעמים v2, עכשיו פה אני אכתוב מקדם איזה שאני רוצה.
איזה אתם רוצים? 7. 7, זה בתנאי שאנחנו מדברים על שדות נורמליים, שדות... 0 Vn3, מה זה בא?
כאן? אני אומר, אני לוקח, אוקיי, Vn3 אני לוקח אותו בתור 0. יש לי פה רשימה, v1, v2 וv3 הוא 0. אם אתה לא אוהב ככה, אז הנה הקבוצה ונניח שv3 הוא 0. בסדר? בסדר. זאת ההנחה כאן. אנחנו רוצים להוכיח שקבוצה שמכילה את ה-0 היא תלויה.
אז פשוט ל-0 שמים מקדם שונה מ-0, ויש לנו פה צירוף הינארי שלא כלום מקדמים זה 0. אז כמובן, אתם יכולים להגיד שזה צחוק, אז תצחוקו. תשחקו, זאת אומרת אין, זה קל. מה כן. אוקיי, מספר 2 זה נובע מ-3, אז עכשיו ניקח את 3. אוקיי, אז נתון לנו ש-Alpha 1 Vn1 ועוד Alpha 2 Vn2 ועוד Alpha n Vnn שווה ל-0, ואני רוצה למצוא פה אחד שהוא צירוף מנהל של הקודמים שלנו. אז כמובן אנחנו תמיד נקפוץ על האחרון, אבל אני לא בטוח, יכול להיות ש-Alpha N הוא 0. אז אני אקח אינדקס כזה, אני אתחיל לחפש מפה חבר'ה, עד שאני אתפוס את הראשון השונה מ-0, אוקיי?
שוב, כל פעם שקשה לכם לקרוא הוכחה כזאת, תיקחו דוגמה, כמו שעשיתי פה. הוא עובר, הוא יודע, הוא יודע לאן אני רוצה לעבור, הוא עובר לפני שאני מספיק לבקש. אוקיי, תודה. אוקיי.
עכשיו, אז אני כותב ככה, יאה ק', הגדול ביותר, כך ש-Alpha k שווה ל-0, שונה מ-0. אוקיי? יש לי צירוף ניאלי, יכול להיות שמקום מסוים כולם 0, יכול להיות שלא, יכול להיות שה-k וה-n זה אותו דבר.
אז מה הצירוף שלי? אז הצירוף הוא כזה, Alpha 1 v1 ועוד Alpha 2 v2 עד Alpha k vk שווה ל-0. נכון?
קודם היה לי עד n, אבל בחרתי k כזה, כך שכל אלה שבאים אחר כך הם אפסים. נכון? אז אני לא צריך לכתוב אותם. שוב אני אומר, יכול להיות שה-k וה-m זה אותו דבר. עכשיו אני יכול לכתוב שלמה שווה vk, vk שווה למינוס alpha 1 חלקי alpha k v1, ועוד מינוס alpha 2 alpha k v2 עד מינוס, מה היה האחרון פה?
alpha k minus 1 חלקי alpha k, VnK במינוס 1, זה יהיה שווה ל-VnK. אז הנה, יש לנו פה מישהו שהוא צירוף לינארי של קודמיו. בדרך כלל אנחנו לא נצטרף את העובדה הזאת, נצטרך שאחד מהם הוא צירוף לינארי של האחרים. יש משפט אחד, שהוא אולי המשפט הכי חשוב שאנחנו מוכיחים בקורס הזה, שזה יהיה ביום ראשון, שצריכים בשבילו את העובדה שיש אחד שהוא צירוף לינארי של הקודמים שלו.
אוקיי? אז זה מספר 3. עכשיו מספר 4, נניח שהחברה האלה, Vn1, Vn2, Vnn הם תלויים לנארית. ונוסיף אחד, אני, עומם כתוב שכל קבוצה יותר גדולה, אני מוסיף 20 אז זה יהיה תלוי, ואני נוסיף אחד, אוקיי? ונוסיף, נוסיף אחד, נגיד Vnn פלוס 1. אז אני טוען שגם Vn1 עד Vnn פלוס 1 הם תלויים לנארית. כי מה זאת אומרת ש-v1, v2 עד vn הם תלויים לינארית?
זה אומר, אני יודע, יודעים שיש אלפאים, זה ש-v1, v2 עד vn הם תלויים לינארית, זאת אומרת שיש אלפאים, כך שזה אפס ולא כל האלפאים הם אפס, ולא כל האלפאים. שווים ל-0. עכשיו, מה שאני רוצה להראות, שגם אם אני מוסיף את Vnn פלוס 1, עדיין המצב הזה נכון.
זאת אומרת, אני מסתכל עכשיו על Alpha 1 Vn1, ועוד Alpha 2 Vn2, עד Alpha n Vnn, ואני רוצה פה להוסיף... איזושהי כפולה של vn פלוס 1, בתנאי שזה יישאר 0, אז מה זה מכפיל את ה vn פלוס 1? ב-0. ב-0. האם זה מקלקל את העובדה שהם בלתי תלויים?
לא. לא, עדיין יש לי פה מקדמים ולא כולם 0, כי אחד מאלה היה לו 0. שוב, לא כל ה-Alpha-i עם 0. אוקיי. עכשיו אנחנו עוברים לחמש.
אמרתי קודם שחמש זה בדיוק כמו ארבע. כי מה כתוב חמש? יש לי קבוצה בלתי תלויה.
אני מסתכל על תת קבוצה. אני טוען שגם היא בלתי תלויה. כי אם היא הייתה תלויה, גם הגדולה הייתה תלויה, נכון? נגיד זה עוד פעם.
יש לכם פה קבוצה בלתי תלויה. אני מסתכל בפנים על תת קבוצה, אני טוען שגם זאת בלתי תלויה, כי אם זאת הייתה תלויה, לפי R גם זאת הייתה תלויה, נכון? בואו נכתוב את זה. אם B...
קבוצה בלתי תלויה ניארית ו-C תת קבוצה, אז C גם בלתי תלויה, כי אם C תלויה, אם C הייתה תלויה נכתוב, לפי 4, גם בי הייתה תלויה. כמובן זה בניגוד לא נתון. אוקיי, עכשיו אנחנו עוברים למספר 6. שוושה שיתן לנו דרך טובה מאוד לבדוק מתי הוקטורים תנועים או לא. נניח שיהיו לכם חמישה וקטורים, בער משהו, ותצדרו אותם בשורות. תיקחו מטריצה של הוקטורים האלה שורות שלה, ותדרגו.
נניח שיצא שורת אפסים. אם יצא שורת אפסים, תזכרו קודם מה זה פעולות לשורות. פעולות לשורות זה צירופים לינאריים.
אם יצא שורת אפסים באיזשהו מקום, סימן שאחת השורות הייתה צירוף לינארי של האחרים, נכון? בסך הכל זה מה שאנחנו עושים בפעולות לשורות, לוקחים את זה. פחות חמש פעמים זה, אחר כך זה ועוד שמונה פעמים זה. אז אם שורה אחת היא תפסה, זאת אומרת שאחת השורות היא צירוף, כל שורה שמתפסת היא צירוף ניארי של האחרות. זאת אומרת, אם איזושהי שורה מתפסת, החבר'ה הם תלויים.
מה שלא מתפס, הם בלתי תלויים, זה מה שכתוב פה. החלק הלא, תפס זה בלתי תלוי. עכשיו בואו נוכיח את זה. עכשיו אני רוצה, זה אני לא נותן ממש הוכחה, אלא כמעט הוכחה, אני לא רוצה להתעסק באינדקסים.
בואו ניקח דוגמה, אוקיי? ניקח מטריצה מדורגת, 1, אולי אפילו ניקח אותה עם אותיות, a1, a2, a3, a4, 0, 0, b1, b2, 2, 0, 0, 0, c1. אוקיי, אני לא כותב פה שורות אפסים כי זה לא נותן לי שום דבר. אני רוצה להראות שהחברה האלה בלתי תלויות, שהשורות פה בלתי תלויות. אם הייתי כותב פה שורת אפסים, אז עדיין הייתי צריך להוכיח ששלושת אלה בלתי תלויות, כי המשפט אומר שאני מסתכל רק על השורות השונות מלפס.
עכשיו אני אראה לכם שהן בלתי תלויות ואז תראו גם את ההוכחה הכללית מזה. תראו מה קורה פה. אני שואל, האם קיימים, האם יש, אלפא 1, Alpha 2, Alpha 3, כך ש-Alpha 1 פעמים השורה הראשונה A1, A2, A3, A4 ועוד Alpha 2, 0, 0, B1. B2 ועוד, Alpha 3, 0, 0, 0, C1, שווה ל-0, 0, 0, 0. האם יכול להיות שאחד מאלה יצא 0?
אז שוב, יש לי פה לחבר וקטורים ואני אחבר אותם. הרכיב הראשון של הסכום, בעגף הזה, זה Alpha 1A1 ועוד, וזהו. נכון? אז יש לנו Alpha 1A1 וזהו. מה הרכיב השני?
Alpha 1A2 וזהו, נכון? כי באחרים יש 0. כאן, תמיד אם המטריצה מדורגת פה יופיע Alpha 1, A1 וזהו, כי זאת היא שורה ראשונה, בשורה הבאה תמיד יופיע פה 0. נכון? זה לא הכרחי, זה לא תמיד מופיע בכל דבר מדורג. אבל עכשיו נסתכל על העבר הבא. יש לנו Alpha 1, A3 ועוד מה?
ועוד Alpha 2, B1, נכון? א'2, B1. עכשיו, האם אני צריך להסתכל הלאה?
תראו, ב'1, ב'הופיע עכשיו רק, נכון? נכון ש-C לא יהיה פה? מפני שזאת היא השורה השנייה.
בשורה השלישית במקום הזה עומד 0, בגלל שהמטריצה מדורגת. לפחות לא אתם רואים את זה פה. עכשיו מה עם האחרון?
Alpha 1 A4 ועוד Alpha 2 B2 ועוד Alpha 3 C1 וזה צריך להיות שווה, ל-0,0,0,0 ואני מניח פה שכל ה-A'ים וה-B'ים וה-C'ים הם לא 0 אוקיי? כי אחרת אני לא רואה את הדירוג אוקיי? אנחנו מניחים שה-A'ים שונים מ-0 ה-B'ים שונים מ-0 וה-C'ים שונים מ-0 אחרת אני לא רואה בדיוק איפה המדרגות כמובן זה מצליח לכתוב C'ים שונה מ-0 יש רק אחד כזה אוקיי עכשיו מה כתוב פה? כתוב פה Alpha שווה ל-0, זו המשמעה הראשונה נכון? זה אומר לנו ש-Alpha1 זה 0, נכון?
כי A1 הוא לא 0. עכשיו, זה אותו דבר, עכשיו יש לנו ככה, Alpha 1 A3 ועוד Alpha 2 B1 שווה ל-0, נכון? אבל זה כבר 0, כי ראינו ש-A1, Alpha 1 הוא 0. אז מה נשאר לנו? ש-Alpha 2 B1 שווה ל-0, זה אומר שגם Alpha 2 הוא 0. ואז אני מסתכל על המשוואה האחרונה שאומרת לי שזה 0, אבל אני כבר יודע שזה 0 וזה 0. זאת אומרת, אייש לנו ככה, Alpha 1, A4, ועוד Alpha 2, B2, ועוד Alpha 2, א'3 C1 שווה ל-0, אבל זה כבר ידוע לנו שהוא 0, זה כבר ידוע לנו שהוא 0, ולכן אני מקבל שא'3 C1 שווה ל-0, זאת אומרת שא'3 זה 0. וזה תמיד יהיה מטריץ המדורגת, כי מה קורה פה? כשאנחנו רושמים את מערכת המשוואות, אז המשוואה הראשונה היא תמיד...
רק עם נעלם אחד. מופיע רק נעלם אחד. כי את ה-Alpha 1A1 אנחנו מקבלים מהשורה הראשונה, את הנעלם השני אני מקבל מהשורה השנייה, אבל פה תמיד מופיע אפס. אך גם בשלב מסוים יופיע עוד נעלם, אבל יופיע רק אחד. לא יופיעו שניים, גם זה וגם זה, כי פה יש אפס.
זאת אומרת, כל פעם יופיע... יצוץ נעלם אחד בלבד. וככה, כמובן שאנחנו יודעים שהראשון הוא, יש לי בהתחלה צירוף לינארי רק של הראשון, אז הנעלם הראשון הוא אפס. אחר כך יש לי צירוף לינארי רק של שניים, וכמובן שהראשון הוא אפס, גם השני הוא אפס. אז כך שזה תמיד יצא, בגלל הדרוג שהדברים האלה זה אפס.
עכשיו אני רוצה להראות לכם איזה דוגמה או שניים. האם החבר'ה האלה שנרוצים אותם עכשיו, Vn1, 1 מינוס 2, 1. 2, 1 מינוס 1. ו-7 מינוס 4, 1. תלויים לינארית. שוב, יכולנו לפתור את השאלה היום גם בלי המשפט הקודם, ולא בהרבה יותר מאמץ, זאת אומרת, פשוט לפתור משוואות. אבל עכשיו מה שאנחנו עושים, אני לוקח את שלושת הוקטורים האלה, מסתדר אותם בשורות, 1, מינוס 2, 1, את v2 אני כותב מתחתיו 2, 1, מינוס 1. ואת v3 אני כותב עוד מתחתיו 1, מינוס 1, 1. ואני אדרק את המטריצה הזאת. ועכשיו אני אסתכל מה קורה, אם איזושהי שורה תתאפס, אז הם תלויים כי אחד מהם הוא צירוף לינארי של האחרים.
אם אף שורה לא תתאפס, אז אני יודע שהם בלתי תלויים. מה? כן, אבל יותר קל לכתוב את אלה, אתה צודק.
תודה. נראה, יש חידות גפורים כאלה. תוסיף ארבע גפורים וזה יצא זה.
בסדר, תודה. כמובן גם לא כתבתי שזה Vn2 וגם לא כתבתי שזה Vn3. אז בואו נדרג את זה. כמובן נניח שייצא ששורה אחת יתאפס, אז בשיטה הזאת אנחנו לא נדע מי זה אלפא 1, אלפא 2, אלפא 3, אלא אם כן ממש נפתור את המשוואות. אנחנו רק יודעים אם הם תלויים או לא.
אוקיי? אז אנחנו עושים את הפעולות הרגילות, אני עושה זה פחות פעמיים זה וזה פחות שבע פעמים זה, אני לא רושם את זה. 1 מינוס 2, 1 זה 0, כאן יש לנו 5, מינוס 1 פחות 2 זה מינוס 3, זה פחות 7 פעמים זה זה 0, מינוס 4 זה עוד 14, נכון? זה 10, 1 פחות 7 זה מינוס 6. אז אתם רואים ששתי השורות האלה הן תלויות, נכון? זה פחות פעמיים זה, זה כפול מזה בדיוק, אז אנחנו מקבלים פה 0, 0, 0, זאת אומרת, v1, v2, v3 תלויים לניארית.
אוקיי, עכשיו זה לכאורה נראה שזה נכון רק עבור מציעה עם וקטורים תלויים או בלתי תלויים, וקטורים ב-R3, ב-R4, וקטורים שאפשר לסגר אותם בשורות. אבל יש לנו עוד כל מיני מרחבים וקטורים, פולינומים, מטריצות, מה עושים אז? אז אני רוצה לשאול את אותה שאלה, זו עוד דוגמה. יש לי, אני לוקח בתור Vn את R222 ואני לוקח שלושה חברה, A ששווה ל-1111, B ששווה ל-1001, ו-C ששווה ל-1100.
אלה שלוש מטריצות במרחב הווקטורי שלנו, ואני רוצה לדעת האם הם תלויים, תלויות או לא תלויות. עכשיו, כמובן אנחנו יכולים לפתור את זה בלי שום בעיה, לכתוב פה Alpha 1, פה Alpha 2, פה Alpha 3, ולפתור משמעות ולראות אם Alpha 1, Alpha 2, Alpha 3 הם בסדר. עכשיו, אני אתחיל לפתור ככה, אבל בשלב מסוים אני אפסיק.
ואני אראה לכם דרך קצת יותר פשוטה, רק בגלל שאני מראה לכם שתי דרכים זה יראה יותר עור. אוקיי? תראו איך אנחנו הולכים בשיטה הרגילה.
אני שואל, האם יש Alpha 1, Alpha 2, Alpha 3, לא כולם 0, כך ש-Alpha 1 פעמים זה. ועוד Alpha 2 פעמים זה ועוד Alpha 3 פעמים זה שווה לזה. נכון?
זאת השאלה שלנו בעצם. זאת אומרת, מה השאלה שלנו? האם...
יש פתרון לא טריוויאלי לאיזה מערכת משוואות אני מסתכל על הרכיב הראשון פה. מה זה הרכיב 1-1 בצד הזה? Alpha 1 ועוד Alpha 2 ועוד Alpha 3, נכון? Alpha 1 ועוד Alpha 2 ועוד Alpha 3, וזה צריך להיות שווה? כמה משוואות יהיו לי?
ומה מתאים לעבר 2, 2? Alpha 1 ועוד Alpha 2. זאת השאלה, האם יש פתרון לא טריוויאלי למערכת העוד? אם יש פתרון לא טריוויאלי, אז הם תלויים לינארית.
אם אין פתרון היחידי או הטריוויאלי, אז הם בלתי תלויים לינארית. עכשיו, זה קל מאוד לפתור את זה, קל מאוד לראות ש-α1 הוא 0, לכן גם α2 ו-a3 הוא 0. אבל אני לא רוצה לפתור את זה ככה. אוקיי?
אני אשתרל לכם שאלה אחרת עכשיו. אני מסתכל על המטריצות האלה. ומיישר אותם.
אני כותב, אני מסתכל, במקום a1, אני מסתכל על הוקטור, זה לא, על הוקטור הזה, 1, 1, 1, 1. במקום a2, אני מסתכל על הוקטור, אני לוקח את השורה הראשונה קודם, 1, 0, ואת השורה השנייה אחר כך, 0, 1. אין a2. אז אל תגיד מה זה, תגיד, זה a b d c, אתה צודק. תודה.
אז מה זה c? איך אני מיישר את c? 1, 1, 1, 1, 0, 0. עכשיו נניח שהשאלה שלי לא הייתה אם a, b וc תלויים לינארית, אלא האם שלושת אלה תלויים לינארית. האם אלו תלויים לינארית?
מה הייתי צריך לעשות? הייתי צריך... השאלה היא האם קיימים, האם יש שוב Alpha 1, Alpha 2, Alpha 3, לא כולם 0, כך שAlpha ועוד Alpha 2 1 0 0 1 ועוד Alpha 3 1 1 0 0 שווה ל-0 0 0 0. זאת הייתה השאלה אם הייתי שואל אותה על המטריצת המיושרות.
אין, אני לא כותב את המטריצת המיושרות, מילה מטריצה מיישרת, כי אין מושג כזה. אבל מה שאני טוען הוא, איזה מערך משוואות אני מקבל מפה? אני טוען שזה בדיוק אותו דבר. כי בסך הכל, איך קיבלנו את המשוואות?
כל משוואה התקבלה ממקום מסוים, נכון? ובמקומים פה, במקום ללכת על שתי שורות, פועלים אותו דבר. זאת אומרת, יש לי פה המשוואה הראשונה, אלפא 1 שווה ל-0, אחר כך המשוואה השנייה, סליחה, המשוואה הראשונה זה אלפא 1, ועוד אלפא 2 ועוד אלפא 3 שווה ל-0, המשוואה השנייה זה אלפא 1 שווה ל-0, המשוואה השלישית זה Alpha 1 ועוד Alpha 3 שווה ל-0, והמשוואה האחרונה זה Alpha 1 ועוד Alpha 2 שווה ל-0. זאת אומרת, כשאנחנו הולכים לבדוק האם המטריצות A, B ו-C הן תלויות או לא תלויות, זה בדיוק כמו לבדוק אם הווקטורים שאני מתקבל בהם הם תלויים או לא תלויים, נכון?
אז אני יכול בראש, הנה עכשיו אנחנו נפתור את התרגיל, עד עכשיו על ה... כאילו ניתוח של מה שעשינו. לאישור הזה אנחנו ניתן פעם שם, אני מקווה שנגיע לזה. עכשיו נפתור את פתרון התרגיל. אני לוקח את ה-A, את ה-B ואת ה-C, אני מיישר אותם, 1, 1, 1, 1, זה מתאים ל-A, זה מתאים ל-B וזה מתאים ל-C ואני בודק ואני מדרג את זה.
אוקיי? אם מתברר שהשלושת אלה תלויים גם מטריצות תלויות, אם מתברר שהשלושת אלה בלתי תלויים גם מטריצות בלתי תלויות, כי ראינו שהשאלה בדבר תלות המטריצות ותלות הוקטורים שאני מקבל מהם זה אותה שאלה. אז עכשיו אנחנו 1, 1, 1, 1, זה פחות זה זה 0, מינוס 1, מינוס 1, 0, וזה פחות זה זה 0, 0, מינוס 1, מינוס 1. זה כבר מדורג, נכון?
אוקיי, אז זאת מטריטה מדורגת, כפי שאמרנו, יש פה שורות אפסים, אין. כיוון שאין שורות אפסים אז a, b וc הם בלתי תלויות לינארית. אוקיי, תודה.