Bases de la cinématique

Overview

Ce cours présente les bases de la cinématique, en abordant la position, la vitesse et l'accélération dans différents systèmes de coordonnées : cartésien, cylindrique, sphérique et le repère de Frénet.

Notions de Base en Cinématique

• Un référentiel d'étude se compose d'un solide de référence et d'un repère temporel.
• La position d’un point M est décrite par le vecteur position par rapport à une origine fixe.
• La vitesse moyenne se calcule par V = D/Δt ; la vitesse instantanée est la dérivée du vecteur position.
• L’accélération est la dérivée temporelle du vecteur vitesse, soit la dérivée seconde du vecteur position.

Repère Cartésien

• Trois axes orthogonaux X, Y, Z, avec vecteurs unitaires ex, ey, ez.
• Vecteur position : OM = x·ex + y·ey + z·ez.
• Norme de OM : √(x² + y² + z²).
• Vecteur vitesse : V = ẋ·ex + ẏ·ey + ż·ez (le point indique la dérivée par rapport au temps).
• Accélération : a = ẍ·ex + ÿ·ey + z̈·ez.

Repère Cylindrique

• Position : OM = r·er + z·ez, où er dépend de l’angle θ.
• Projection de er : er = cosθ·ex + sinθ·ey ; eθ = -sinθ·ex + cosθ·ey.
• Dérivée temporelle de er : d(er)/dt = θ̇·eθ.
• Vitesse : V = ż·ez + ṙ·er + r·θ̇·eθ.
• Accélération : a = (r̈ – r·θ̇²)·er + (r·θ̈ + 2·ṙ·θ̇)·eθ + z̈·ez.

Repère Sphérique

• Position : OM = r·er, avec er dépendant de θ (par rapport à z) et φ (dans le plan xy).
• Projection : er = cosθ·ez + sinθ·eoh (eoh dirigé selon φ).
• Dérivée temporelle de er : d(er)/dt = θ̇·eθ + sinθ·φ̇·eφ.
• Vitesse : V = ṙ·er + r·θ̇·eθ + r·sinθ·φ̇·eφ.
• L’accélération en coordonnées sphériques n’est pas au programme de prépa.

Repère de Frénet

• Origine mobile liée au point M sur la trajectoire.
• Vecteur tangent t, orienté dans le sens du mouvement ; vecteur normal n, vers le centre de courbure.
• Vitesse : V = v·t, avec v = r·θ̇.
• Accélération : a = dv/dt·t + v²/r·n.

Key Terms & Definitions

• Référentiel — Ensemble définissant l'origine, les axes et le temps pour décrire un mouvement.
• Vecteur position (OM) — Indique où se trouve un point à un instant donné.
• Vecteur vitesse — Dérivée temporelle du vecteur position.
• Vecteur accélération — Dérivée temporelle du vecteur vitesse.
• Vecteurs unitaires — Vecteurs de norme 1 définissant les directions des axes.

Action Items / Next Steps

• Revoir les projections et dérivations dans les différents repères.
• S’exercer sur la dérivation de vecteurs unitaires dépendant d’angles (θ, φ).
• Préparer les exercices sur la mécanique du point en vue de la prochaine session.