[Musique] dans cette vidéo on va parler de cinématique et en plus particulier on va rappeler certaines notions liées au référentiel d'observation au vecteur position au vecteur vitesse et accélération mais surtout on va exprimer ces vecteurs dans des repère cartésien cylindrique ou sphérique cette vidéo sur la cinématique est la première vidéo d'une plus longue série sur la mécanique newtonienne en particulier la mécanique du point si ce genre de vidéo vous plaît n'hésitez pas à vous abonner à activer la cloche et à mettre un pouce en l'air n'hésitez pas aussi à me faire part dans les commentaires des domaines sur lesquels vous souhaitez avoir plus d'informations maintenant que tout ça est dit faites chauffer vos stylo et c'est parti voici un point matériel qui se balade sur votre écran nous souhaitons faire l'étude du mouvement de ce point pour ce faire il nous faut un solide de référence dans notre cas le plus simple est de définir votre écran comme le solide de référence de l'étude du mouvement du point M ensuite il nous faut un repère temporel dans notre cas nous utiliserons le repère temporel de la vidéo un solide de référence plus un repère temporel définit un référentiel maintenant qu'on a choisi un référentiel dans notre cas l'écran sur lequel vous regardez cette vidéo il faut pouvoir repérer la position du point M par rapport à ce référentiel on choisit alors une origine un point zéro la position du point M par rapport au point 0 fixe dans notre référentiel c'est-à-dire fixe sur notre écran à un instant donné et défini par le vecteur position la norme du vecteur position s'exprime en mètre et le vecteur position peut varier dans le temps le vecteur vitesse est issu de la variation du vecteur position mais pour mieux comprendre faisons un petit rappel sur ce que représente la vitesse la vitesse d'un point matériel correspond au rapport de la distance que parcourt ce point sur le temps pendant laquel elle a parcour d'où l'expression V é= à D sur Delta t cependant cette expression représente la vitesse moyenne pendant un intervalle de temps Delta t si nous souhaitons avoir la vitesse instantanée il nous faut réduire cette distance et cet intervalle de temps on peut donc obtenir la vitesse instantanée en faisant le rapport de la variation élémentaire de position domom sur la variation élémentaire de temps DT on obtient donc la relation la vitesse d'un point matériel est égale à la dérivée temporelle de son vecteur position l'accélération quant à elle est issue de la variation de la vitesse ainsi le vecteur accélération est égal à la dérivée temporelle du vecteur vitesse c'est donc la dérivée seconde du vecteur position commençons par le repère le plus simple le repère cartesien on commence par tracer nos trois axes X Y et Z une fois qu'on a tracé nos trois axes qui sont orortogonaux entre eux on trace nos vecteurs unitaires unitaires car leur norme vaut 1 et ces vecteurs forment un repère orthonormé car ils sont orthogonaux entre eux en plus d'être normés c'estàdire de norme 1 ensuite on place notre point M dont on peut projeter ses coordonnées sur les axes X Y et Z ensuite on peut définir ce que représente notre vecteur position om qui dans notre cas est égal à X FO le vecteur unitaire ex + y fo le vecteur unitaire E + Z FO le vecteur unitaire ez maintenant qu'on a fait ça on peut spécifier sa norme en l'occurence ici c'est un Pythagore iser la dimension 3 c'est-à-dire la racine carrée de la somme des coordonnées au carré maintenant que c'est fait on peut parler de la vitesse comme je vous l'ai dit précédemment dans notre cas la vitesse sera égale à la dérivée du vecteur position on peut donc injecter notre expression de OM et ici par linéarité de l'opération dérivée on peut faire la somme des dérivées qui à chaque fois sont des produits X X X c'est le produit de la coordonnée x fois le vecteur unitaire ex donc lorsqu'on dérivera on dérivera à chaque fois d'abord le premier terme sans dériver le second puis on dérivera le second terme sans dériver le premier ici ce qu'il faut bien comprendre c'est que nos vecteurs unitaires sont constants ainsi ils ne dépendent pas du temps comme nos vecteurs ne dépendent pas du temps leur dérivée temporelle est évidemment nul ainsi on peut injecter à chaque fois ceci dans nos expressions pour déterminer la coordonnée de notre vecteur vitesse les coordonnées pardon de notre vecteur vitesse qui sont x point x e X Y x ey + Z point x e Z en loquurance ce qu'on appelle x point ou y point c'est simplement la dérivée temporelle de notre coordonnée on peut à présent s'attaquer au vecteur accélération qui est la dérivée du vecteur vitesse c'est-à-dire la dérivée seconde du vecteur position dans notre cas encore une fois on injecte notre expression on fait la dérivée de la Somme en se souvenant bien que les vecteurs unitaires ici lorsqu'on les dérive par rapport au temps cela nous donne 0 cela nous donne un vecteur nul et donc ici on peut obtenir le vecteur accélération qui sera égal à X point x x + y x ey + Z point FO e Z on peut s'attaquer à présent un mode de projection légèrement plus compliqué le repère cylindrique en l'occurrence on commence par tracer nos trois axes X Y et Z on place notre origine et on peut placer notre point M ici la particularité de ce repérage de ce mode de repérage et qu'il dépendra d'un angle thêta en l'occurrence notre V VUR om dépendra du vecteur er qui dépend de thêta qui est repéré par l'angle thêta on peut placer aussi notre vecteur unitaire e thêta qui fait un angle de pi/ 2 par rapport à E et notre vecteur Z en l'occurrence ici le vecteur OM est égal à r fois le vecteur unitaire er plus Z fois le vecteur unitaire ez on peut parler du vecteur vitesse qui est la dérivée du vecteur position on peut injecter notre expression que nous venons trouver on dérivera la somme on fera la somme des dérivées et ici on va décomposer en deux termes notre premier terme c'est le plus simple on l'a déterminé avant c'est le produit Z point x ez + Z FO la dérivée du vecteur unitaire ez comme on l'a dit précédemment est nul car on dérive un vecteur unitaire qui est constant dans le temps on peut à présent s'occuper de la deuxième partie en l'occurrence ici on aura tout d'abord le produit r x er qu'on dériera comme précédemment c'est-à-dire r point fois le vecteur unitaire er plus r fois la dérivée du vecteur er mais ici notre vecteur er n'est pas nul comme précédemment parce qu'il est variable dans le temps en effet il dépend de thêta et thêta varie dans le temps donc idé va être de se poser la question comment on peut trouver la dérivée du vecteur pour déterminer la dérivée de ce vecteur er on va faire un petit schéma et on va prendre un peu d'auteur on va se placer au-dessus de notre schéma on trace nos nos axes X Y et nos vecteurs unitaires E x ey on place notre vecteur er et E thêta et notre angle thêta dans notre cas on peut ensuite maintenant qu'on a fait ce schéma faire une figure de projection pour projeter er dans notre base o E x ey en l'occurrence la composante selon Z est nulle donc on aura simplement du er qui sera égal à Cos thêta x ex + sinus thêta X Y et on peut s'intéresser à e thêta projeté dans la base o E x ey ici comme on a thêta + pi/ 2 on peut simplement injecter+ pi/ 2 dans notre expression de R et on trouve donc par propriété des fonctions cosinus et sinus que E thta est ég à in sinus thêta x ex + cosinus thêta x ey si jamais vous n'avez plus toutes ces formules en tête vous pouvez évidemment faire un schéma ici on peut refaire une figure de projection en plaçant notre vecteur e thêta et on peut s'amuser à le projeter en l'occurrence ici e thêta sera égal à moin sinus thêta x ex plus cosinus thta x ey si jamais vous êtes pas à l'aise sur les projections j'ai fait une vidéo dessus maintenant que c'est fait on va dériver er par rapport au temps en l'occurence lorsqu'on dérive r par rapport au temps on peut multiplier en haut et en bas par D thêta ce qui nous fait donc le produit de thêta point c'est-à-dire la dérivée temporelle de l'angle thêta multiplié par la dérivé du vecteur er par rapport à l'angle thêta et ici ça revient simplement à dérivver fonctions cosinus que nous avons on dérivera donc COS thêta X e x puis on dérivera sinus thêta x ey en se remémoront bien que évidemment comme ex et y ne dépendent pas de thêta leur dérivée par rapport à thêta est nulle et magie magxe on retrouve l'expression de e thêta ainsi la dérivée du vecteur er la dérivée temporelle du vecteur er est égale à thêta point FO e thêta on peut donc en revenir à notre vecteur vitesse on rappelle le vecteur position et que le vecteur vitesse et la dérivée de ce vecteur position dans notre cas comme on l'a précisé précédemment on l'avait séparé en deux termes avec notre premier terme qui sera égal à Z point x ez plus la dérivée du produit r x er c'est-à-dire+ r point FO le vecteur er plus r FO la dérivée du vecteur er comme déterminé précédemment et on injecte l'expression qu'on a obtenue ce qui nous fait que le vecteur vitesse est égal à Z point x ez + R point x er + R thêta point FO le vecteur e thêta on peut à présent s'attaquer au vecteur accélération dans notre cas on dérivera le vecteur vitesse que nous venons d'établir c'est-à-dire on dérivera la somme de ces composantes et ici cela nous donnera une somme de trois produits qu'on dérive un par qu'on va donc décomposer en TR termes on commence par notre première composante qui est le produit Z point FO ez qu'on dérive par rapport au temps c'està-dire on dérive tout d'abord Z point mtipli par ez et on fait du Z multipli par la dérivée du vecteur ez qui est nul vous l'urez compris ce qui nous fait donc la dérivée seconde Z point M par le vecteur Z dans notre deuxème cas on dérive le produit r point FO er encore une fois on aura donc du R point point x er + R point FO la dérivée du vecteur er la dérivée du vecteur er vous l'avez compris on injecte l'expression qu'on avait détaillée précédemment c'est-à-dire thêta point x e thêta et finalement notre troisème composante qui est un produit de trois termes sera donc égal à r point thêta point x e thêta + R thêta point point FO e thêta+ r thêta point fois la dérivée du vecteur e thêta comme vous l'aurez compris lorsqu'on dérivera notre vecteur e thêta comme E thêta fait un angle de pi/ 2 par rapport au vecteur Mo er la dérivée du vecteur e thêta sera égal à thêta point fois le vecteur Mo er et donc on a du R point thêta point FO le vecteur e thêta + R thêta point point FO le vecteur e thêta plus attention r thêta Point Carré multiplié par le vecteur Mo er et on peut factoriser les termes multipliant le vecteur e thêta ainsi si on réinjecte tout ce qu'on a trouvé on trouvera donc que le vecteur accélération est égal à r point point- R thêta car FO er + R thêta point point + 2 thêta point R point multiplié par le vecteur e thêta + Z e Z c'est un petit peu compliqué mais on peut si on est rigoureux s'en sortir très bien à présent on s'attaque à du lourd on s'attaque au repère sphérique dans notre cas on place nos trois axes X Y Z notre point M et notre origine lorsque l'on tracera notre vecteur om celui-ci sera dirigé par un vecteur er qui dépendra d'un angle thêta qui n'est pas le même thêta que précédemment l'angle thêta est par rapport à l'axe Z ensuite si on projette le vecteur om dans le plan oxy on aura le vecteur oh qui cette fois-ci sera dirigé par l'angle Phi d'où la représentation du vecteur e thêta et E Phi qui vont nous aider à déterminer le vecteur vitesse si on écrit donc le vecteur om celui-ci sera simplement égal à r fois le vecteur er cependant là où ça se corse c'est si nous parlons du vecteur vitesse dans notre cas ça sera égal à la dérivée du vecteur position évidemment et comme on a un produit ce sera égal à r point fois le vecteur er + R FO la dérivée du vecteur er sauf que dans notre cas c'est pas comme précédemment où la dérivée temporelle du vecteur er était égale à thêta point x e thêta c'est plus compliqué que cela et l'idée va être de se poser la question ici que vaut la dérivée du vecteur er pour déterminer ce fameux vecteur en vitesse on va introduire un vecteur unitaire qui sera le vecteur eoh eoh correspond au vecteur qui est égal à oh sur la norme de oh donc ici on se doute bien que la norme de eoh vaut 1 mais eoh est repéré par l'angle Phi ensuite on va regarder ce qui se passe dans le plan ohz et on l'utilise comme figure de projection pour projeter notre vecteur er dans la base o eoh ez on place bien notre angle thêta et on peut commencer la projection en l'occurence ici er est égal à cosinus thêta X e Z + sinus thêta X eoh à présent on peut s'intéresser à la dérivée temporelle du vecteur unitaire eoh qui comme dans le cas précédent en détaillant moins vaut F point fois le vecteur e Phi parce que eoh et E Phi ont un angle de pi/ 2 orienté positivement l'un par rapport à l'autre maintenant qu'on a effectué cette projection on peut enfin dériver notre vecteur er par rapport au temps dans notre cas on va donc injecter l'expression que nous venons de trouver grâce à notre projection et nous pouvons faire la dérivée de la somme de nos termes ce qui nous fera du moin thêta point sinus thêta porté par ez plus cosinus thêta multiplié par la dérivée temporelle du vecteur unitaire ez qui encore une fois est nul on l'a bien compris maintenant puis on aura du thêta point cosinus thêta multiplié par vecteur eoh plus sinus thêta multiplié par la dérivée temporelle du vecteur eoh ce qui nous fait du PI Point E Phi car on le rappelle encore une fois la dérivée est temporelle du vecteur ohoh est égal à Phi Point E Phi comme on avait fait pour la démonstration avec la dérivée du vecteur r dans le cas d'un repère cylindrique on peut factoriser notre expression par thêta point ce qui nous fait du thêta point facteur de moin sinus thêta e Z + cosinus thêta eoh plus sinus thêta mtipli par Phi Point E et maintenant on peut se demander si ce vecteur n'est pas issu de la projection d'un vecteur connu bon spoiler alerte c'est le cas et dans notre cas c'est le vecteur e thêta alors pour se faire on va faire un petit schéma et on va regarder ce qui se passe dans le plan Ohm en l'occurrence ici donc SP oh et mon axe Z je replace mon vecteur om avec mon angle thêta orienté et je place mes vecteurs unitaires e thêta et er maintenant que c'est fait je peux faire une figure de projection pour projeter mon vecteur e thêta dans la base o eoh ez je vous conseille de tracer les vecteurs er et E thêta pour être en mesure de vérifier la cohérence de votre figure de projection et en l'occurrence ici quand je projette sur la direction de eoh on a un sens positif et on trouvera du COS thêtaoh et sur l'axe ez on aura donc du moins sinus thêta ez et comme par hasard on retrouve le vecteur qu'on avait trouvé précédemment et on peut revenir à la dérivée temporelle de notre vecteur er on rappelle l'expression de e thêta qu'on vient de trouver et en fait on remarque que toute notre expression COS thêta eh moin sinus thêta e Z est égale au vecteur e thta qu'on injecte donc dans notre expression ce qui nous fait la dérivée temporelle du vecteur er qui est égale à thêta Point E thêta plus sinus thêta Phi Point E Phi c'est un petit peu compliqué à faire mais si on pose bien les choses ça peut se faire totalement bien maintenant que c'est fait on peut faire un petit résumé on a notre vecteur om qui vaut r x er notre vitesse comme on l'avait précisé est égale à dérivée de ce vecteur c'est-à-dire r pointer + R x la dérivée du vecteur er et en l'occurrence on vient de trouver que la dérivée temporelle du vecteur er est égale à thêta Point E thêta plus sinus thêta Phi point ei et donc on peut injecter cette nouvelle expression dans notre expression de la vitesse pour trouver une expression finale qui dans notre cas vaudra r pointer + R Thê Point E thêta plus attention r sinus thêta Phi Point E phi et on vient d'exprimer l'expression de notre vitesse en coordonnée sphérique à présent on peut s'intéresser à l'accélération qui est donc la dérivée de ce vecteur la dérivée temporelle du vecteur stop on s'arrête là en l'occurrence dans notre cas on va pas aller plus loin et si jamais vous êtes en classe préparatoire sachez que l'accélération en coordonné sphérique n'est pas au programme le repère de freiner est un système de coordonnées dont l'origine est mobile lié à la position du point M qui se déplace sur une trajectoire il se déplace avec le point M tout au long de son mouvement le repère de freiner est défini par trois choses 1 une origine mobile qui est liée au point M en l'occurrence on fera l'approximation à tout instant d'une trajectoire circulaire du point M ensuite le repère de freiner est défini par un vecteur unitaire t tangant à la trajectoire du point mobile et orienté dans le sens du mouvement ensuite le repère de freiner est défini par un vecteur unitaire N qui est perpendiculaire à la trajectoire du point mobile et qui est orienté vers le centre de la trajectoire circulaire on va à présent définir vecteur vitesse dans le cadre de notre repère de freiner c'est assez simple c'est égal à V x t o V la norme de notre vecteur vitesse ici dans notre cas V est ég à r th point ça veut dire que thêta point est égal à V sur R on peut à présent s'intéresser au vecteur accélération on va dériver le vecteur V x t c'estàdire le vecteur vitesse en looccurence cela nous fait DV sur DT le vecteur t + V FO la dérivée temporelle de T en l'occurence la dérivée temporelle de T comme on l'a vu précédemment pour e thêta et E sera égal à thêta point FO n or thêta point est égal à v/ r donc on peut trouver une expression notre accélération qui vaut dv/ DT x t + V car sur R x N