वेक्टर और उनके प्रकार

Overview

यह व्याख्यान वेक्टर और उनके गणितीय संचालन, विभिन्न प्रकार के वेक्टर, गति के नियम, तथा उनसे संबंधित ग्राफिकल निरूपण को संक्षेप में समझाता है।

वेक्टर और स्केलर राशियाँ

• स्केलर राशियाँ: केवल परिमाण (magnitude) होती है, दिशा नहीं (जैसे: द्रव्यमान, लम्बाई, धारा)।
• वेक्टर राशियाँ: परिमाण और दिशा दोनों होती हैं (जैसे: विस्थापन, वेग, बल)।
• डिस्प्लेसमेंट: वस्तु के आरंभिक एवं अंतिम स्थिति के बीच सबसे छोटा मार्ग।
• स्केलर के उदाहरण: लम्बाई, द्रव्यमान, कार्य, धारा।

वेक्टर के प्रकार

• समान वेक्टर: जिनका परिमाण व दिशा समान हो।
• ऋणात्मक वेक्टर: परिमाण समान, दिशा विपरीत।
• को-प्लानर वेक्टर: एक ही तल में स्थित वेक्टर।
• को-लिनियर वेक्टर: एक ही रेखा पर स्थित वेक्टर।
• यूनिट वेक्टर: जिसका परिमाण 1 होता है, i, j, k द्वारा दर्शाया जाता है।
• शून्य वेक्टर (null vector): जिसका परिमाण शून्य होता है।

वेक्टर जोड़ एवं घटाना

• त्रिभुज नियम: यदि दो वेक्टर एक बिंदु से क्रम से लगाए जाएँ, तो तीसरा पक्ष उनका परिणामी वेक्टर होता है।
• पैरेललोग्राम नियम: दो वेक्टर के समानार्द्ध रेखाएँ खींच, विकर्ण से परिणामी वेक्टर ज्ञात होता है।
• पॉलीगन नियम: कई वेक्टर को क्रम से जोड़ने पर अंतिम बिंदु को प्रथम से जोड़ने वाला वेक्टर उनका योग है।
• वेक्टर का घटाना: एक वेक्टर की दिशा उलटकर जोड़ने पर अन्तर वेक्टर (B - A) मिलता है।

वेक्टर के घटक

• किसी वेक्टर को उसके दो लम्बवत घटकों Fx = Fcosθ, Fy = Fsinθ में विभाजित किया जा सकता है।
• कुल वेक्टर: F = iFx + jFy
• परिणामी दिशा: tanθ = Fy/Fx

वेक्टर गुणन

• स्केलर (डॉट) गुणन: A·B = |A||B|cosθ, परिणाम स्केलर होता है।
• वेक्टर (क्रॉस) गुणन: A×B = |A||B|sinθ n̂, परिणाम एक नया वेक्टर।
• क्रॉस गुणन का भौतिक अर्थ: दो वेक्टर द्वारा बनता समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल।

गति का वर्णन

• स्थान स्थिरता: जब वस्तु की स्थिति को कोई प्रेक्षक न देखे तो स्थिर; अन्यथा गतिक।
• दूरी: वस्तु द्वारा तय वास्तविक मार्ग; यह स्केलर है।
• विस्थापन: सबसे छोटा मार्ग; यह वेक्टर है।
• औसत वेग: विस्थापन/समय, वेक्टर राशी।
• औसत गति: कुल दूरी/समय, स्केलर राशी।
• क्षणिक वेग: v = dR/dt; किसी क्षण का वेग।
• क्षणिक त्वरन: a = dv/dt; क्षणिक समय में वेग का परिवर्तन।

ग्राफिक प्रतिनिधित्व

• विस्थापन-समय ग्राफ: ग्राफ का ढलान (slope) = वेग।
• वेग-समय ग्राफ: ढलान = त्वरन; ग्राफ के नीचे का क्षेत्र = तय दूरी।
• समान त्वरण के लिए: S = ut + ½ at²

Key Terms & Definitions

• वेक्टर — वह राशि जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।
• स्केलर — वह राशि जिसमें केवल परिमाण होता है।
• यूनिट वेक्टर — परिमाण 1 वाला वेक्टर, केवल दिशा को दर्शाता है।
• डॉट (Scalar) गुणन — दो वेक्टर का स्केलर गुणन, परिणाम स्केलर।
• क्रॉस (Vector) गुणन — दो वेक्टर का वेक्टर गुणन, परिणाम वेक्टर।
• डिस्प्लेसमेंट — आरंभिक से अंतिम स्थिति का सबसे छोटा सीधा मार्ग।
• त्वरण (Acceleration) — वेग में समय के साथ होने वाला परिवर्तन।

Action Items / Next Steps

• त्रिभुज एवं पैरेललोग्राम विधि के सवाल हल करें।
• वेक्टर के डॉट और क्रॉस गुणन के उदाहरण हल करें।
• ग्राफिक प्रश्नों के लिए विस्थापन-समय व वेग-समय ग्राफ बनाएं।
• अगला पाठ: एकसमान गति एवं गैर-एकसमान गति के समीकरणों का अभ्यास।