Cours sur la Continuité des Fonctions

Introduction

• La continuité est une propriété essentielle des fonctions.
• Importance cruciale pour comprendre l'intégrale.

Définition Intuitive

• Une fonction continue peut être dessinée sans lever le crayon.
• Cette définition est simpliste et non mathématique.

Recherche d'une Définition Mathématique

• Analyser des exemples pour comprendre les discontinuités.
• Exemple 1 : Fonction avec un saut
  • Comportement différent à gauche et à droite d'un point (x=1).
  • Limite à gauche ≠ limite à droite : il y a un saut.
• Exemple 2 : Fonction avec un point de discontinuité
  • Limite à gauche = limite à droite, mais ≠ valeur de la fonction en ce point.
  • La fonction n'est pas continue car la limite ne correspond pas à la valeur de la fonction.

Conditions pour la Continuité

• La limite à gauche doit égaler la limite à droite ET la valeur de la fonction en ce point.
• Pour être continue sur tout le domaine, cette condition doit être vraie pour tous les points.

Exemple de Vérification de Continuité

• Vérification de l'absence de division par zéro dans le domaine.
• Considérer les limites à chaque point potentiel de discontinuité.
• Une fonction est continue si les conditions de continuité sont respectées.

Propriétés des Fonctions Continues

• Opérations sur les Fonctions Continues :
  • Somme, soustraction, multiplication ou multiplication par une constante conserve la continuité.
  • Division conserve la continuité sauf si division par zéro.
• Exemples de Fonctions Continues :
  • Fonctions polynomiales, exponentielles, logarithmiques, trigonométriques, racines, etc.
• Fonctions Non-Continues :
  • Division par zéro, fonctions hyperboliques, tangente, secante, etc.

Vérification de la Continuité

• Examiner les points de division par zéro ou les points de changement dans les fonctions par morceaux.
• Vérifier la continuité au niveau des sauts et des changements de morceaux.

Conclusion

• La continuité assure une manipulation et un calcul différentiel plus simples.
• Favorise la prévisibilité et l'absence de sauts imprévus dans le comportement des fonctions.
• Essentielle pour le calcul différentiel et la dérivation.

Remarques Finales

• Exercer et poser des questions pour mieux comprendre.
• Importance de la continuité pour les mathématiques avancées.