Bonjour à tous, bienvenue au cours sur la continuité. La continuité, c'est une propriété des fonctions qui est très très très importante et qui va revenir énormément dans le cours et principalement à l'intégrale, donc c'est super important de bien la comprendre. Donc c'est quoi une fonction continue ? Je vais en dessiner une, vous êtes prêts ?
Bon, je te laisse la gamme effacée, ça n'a pas vraiment marché. Brise 2, ah voilà. Donc c'est ça une fonction continue.
Grosso modo, on peut y aller en résumant, en disant que c'est une fonction que je peux dessiner. sans lever mon crayon. Puisque j'ai dessiné cette fonction-là sans lever mon crayon, on dit que cette fonction-là est continue.
Maintenant, ça, ce n'est pas une belle propriété mathématique, ça, de dire sans lever mon crayon. Ce n'est pas vraiment bien formulé. Donc, ce qu'on va faire présentement, on va essayer de rechercher une définition plus mathématique de ce concept-là. Pour faire ça, on va regarder des exemples.
On va aller chercher qu'est-ce qui fait qu'il ne marche pas dans chacun des exemples. On va aussi trouver une propriété mathématique qui peut expliquer le problème. Et après, on va pouvoir résumer en disant, une façon continue, c'est... telle telle telle propriété. Donc premier exemple qu'on va aller voir, la fonction qui est ici qui est clairement discontinue.
Donc qu'est-ce qui fait que la fonction ici elle est clairement discontinue ? Mais c'est le saut qui est là. Puisque j'ai un saut clairement quand je l'ai dessiné, il a fallu que je lève mon crayon. Mais grosso modo, ce que je vois moi qui fait que je suis discontinue ici, c'est que le comportement à gauche du point 1 et à droite du point 1 n'est pas le même. Donc en langage mathématique, la limite à gauche de 1 Donc si j'appelle la fonction ici f de x, ici c'est 1, et la limite à droite de f de x, ici c'est 2. Et clairement, ces deux valeurs-là ne sont pas égales.
Et puisque ces valeurs ne sont pas égales, ça veut dire qu'il y a un saut dans ma fonction. Maintenant, si ma limite à gauche égale ma limite à droite, est-ce que ça veut dire maintenant que ma fonction est continue à ce point-là ? Et la réponse est non. Pourquoi ? Voici le prochain exemple.
Au point 1, ici, clairement, ma limite à gauche égale ma limite à droite. Dans ce cas-là, la limite quand x est envers 1 de ma fonction, la limite, elle est aussi de 1, parce que quand je me rapproche de 1 de par la gauche ou de par la droite, bien, ça vaut 1, donc ma limite tout court vaut 1. Mais, ma valeur en f de 2, donc au point, donc en f de 1, en fait, ma valeur en f de 1, Ça vaut 2. Effectivement, 1 ça vaut 2. Et clairement, ici, il est fallu que je lève mon crayon pour dessiner cette fonction-là, donc elle n'est pas continue. Donc, en plus, pour être continue, la raison qui fait que c'est pas continue ici, c'est que ma limite n'égale pas la valeur de ma fonction. Donc, tout ça pour vous dire, pour être continue, il faut que, oui, ma limite à gauche égale ma limite à droite, mais il faut aussi que le point, grosso modo, que le point soit dans le trou.
Donc, il faut que... soit égale à la valeur de ma fonction. Donc si ma limite est égale à la valeur de ma fonction, si le point est dans le trou, alors je vais être continu en ce point-là. Et pour avoir une fonction qui est continue, donc continue en tout point, c'est important dans ce cas-là que la limite à gauche égale la limite à droite égale la valeur de la fonction pour tous les points du domaine. Donc si cette définition-là est satisfaisante pour tous les points du domaine, c'est ce qu'on appelle une fonction continue.
Donc grosso modo, est-ce que la fonction ici... Elle est continue. On va aller voir ça. Comment savoir si une fonction est continue ou pas ? Bien, peu importe le point que je vais remplacer là-dedans, il va avoir une valeur de sortie.
Si je mets 1 là-dedans, si je la remplace, il va avoir une valeur de sortie. Je vais être continu dans ce point-là. Le seul endroit où j'ai une chance de ne pas être continu, c'est à la division par 0. Effectivement, ici, j'ai une division par 0. Et on avait vu que la division par 0, ça ne faisait pas partie du domaine.
Donc, si je regarde ma division par 0, pas 6, mais en 3, comme ça. Si je regarde ma division par 0 ici, donc si je regarde quand 3 est égal à 2x, donc quand 3 demi est égal à x, cette valeur-là ne peut pas faire partie du domaine. Donc, quand je calcule f de 3 demi, ça, ça ne va pas exister.
Donc, ça, ça n'existe pas, parce que j'ai une division par 0 à ce point-là. Si ça n'existe pas, Si ça n'existe pas, donc dans la partie ici, je vais avoir avec un n'existe pas donc ma fonction ne peut pas être continue. Puisque j'ai une division par 0 en 3 demi, ma fonction ici ne peut pas être continue. Donc, est-ce que la fonction est continue ici ? Et la réponse est non, parce qu'en 3 demi, ma fonction n'est pas définie.
J'aurais pu aller agréger la limite à gauche et la limite à droite. J'aurais conclu que ma limite à gauche n'égale pas ma limite à droite. Ça aurait été tout à fait correct pour justifier que ce n'est pas continu, mais juste ici, le fait que ma fonction n'est pas définie.
Excusez-moi, ma souris est quand même beaucoup trop rapide. Donc juste ici, le fait que ça ne soit pas continu, bien, que ça n'existe pas, ça fait que ce n'est pas continu. L'exemple qui est ici, est-ce que ça c'est continu ? Ben, ah ben, parfait, j'ai une division ici, donc c'est sûrement pas continu, le prof nous a dit ça tantôt. Donc ici, j'ai une belle division par 0, allons le regarder, 2x est égal à 2, donc en x est égal à 1, parfait, donc je suis pas continu parce qu'en x est égal à 1, j'ai une division par 0. Ouais, mais attendez, où est-ce qu'il se trouve 1 ?
Si je calcule f de 1, il est où ? Il est en bas ! et dans la partie du bas.
Puis ça, c'est bien défini. Ça va me donner 7. Donc le 1 ici, ce n'est pas un problème. Oui, j'ai une division par 0 ici quand x est égal à 1, mais 1 se produit en bas. Ça ne fait pas un problème.
L'autre endroit où je peux avoir un problème avec ma continuité, c'est où ? C'est sur le saut ici. Peut-être que sur le saut, peut-être que ça va faire un cas comme ça, ou peut-être que par magie, ma fonction...
va changer, mais les deux branches restent collées. Pour le savoir, je n'ai pas le choix, je vais devoir aller voir ma limite à gauche et ma limite à droite sur le bout, sur moins 1, pour m'assurer que je sois continu. On va aller voir en moins 1, et on va aller voir aussi en moins 1 moins, et en moins 1 plus.
Moins 1 plus. Donc en moins 1 moins, je suis en haut, donc ça va faire... la limite quand x tend vers moins 1 moins de 4x sur 2x moins 2. Si je mets moins 1 là-dedans, ça va me donner 4 fois moins 1 sur 2 fois moins 1 moins 2. 4 fois moins 1, ça va me donner moins 4. Moins 2, moins 2, ça va me donner moins 4 aussi.
Ça va me donner 1. Remarquez, je n'ai pas remplacé mon petit moins dans ma fonction parce que ça n'allait pas faire 0, ça n'allait pas faire des divisions par 0, donc ça ne m'intéressait pas de savoir le signe. Maintenant, à moins 1+, je suis dans la partie 3x plus 4, donc c'est la limite quand x tend vers moins 1+, mais là, parce que je suis à plus, je suis dans 3x plus 4, je vais mettre mon moins 1 là-dedans. 3x plus 4, j'ai dit.
Donc, ça va me donner... 3 fois moins 1 plus 4, ce qui va me donner aussi 1. Donc ma limite à gauche égale ma limite à droite. On va aller voir aussi au point f de moins 1. f de moins 1, je suis dans la partie du bas, donc ça va me donner 3 fois moins 1 plus 4, ce qui va me donner aussi 1. Donc ma limite à gauche égale ma limite à droite égale ma fonction. Donc, la limite quand x est envers moins 1 de ma fonction est égale à f de moins 1 qui est égale à 1. Puisque ça c'est égal, on va conclure que la fonction est continue. Donc, la fonction est continue parce que ma limite à gauche égale ma limite à droite sur les bornes.
La division par 0 ici, elle m'importe peu. parce qu'elle ne se produit pas dans l'intervalle ici. Et après, peu importe les valeurs que je vais remplacer là-dedans, ça va marcher. Je n'aurai pas de problème dans mon domaine.
Donc, dans ce cas-là, on dit que la fonction, elle est continue. Grosso modo, toutes les fonctions qu'on connaît dans la vie sont à peu près toutes continues. Donc, toutes les fonctions polyloméales, exponentielles, logarithmiques, les trigons inverses, les racines, sincos, c'est continu. Les fonctions qui ne sont pas continues qu'on travaille avec. Quand on a des divisions par 0, toutes les fonctions où on a des divisions, 1 sur x, 1 sur x², toutes les hyperboles, la fonction tangente n'est pas continue à cause des asymptotes, parce que c'est sin sur cos pour une division.
Les fonctions séquentes, les fonctions conséquentes, parce que ça revient à être des divisions. Donc les fonctions conséquentes, ça revient à être des divisions, 1 sur sin, 1 sur cos. Ces fonctions-là ne sont pas continues.
Mais toutes les fonctions que j'ai nommées en haut, elles le sont. Une belle propriété des fonctions continues, si vous additionnez deux fonctions continues, ça reste continue. Si vous soustrayez deux fonctions continues, ça reste continue.
Si vous multipliez deux fonctions continues, ça reste continue. Si vous multipliez par une constante une fonction continue, ça reste continue. Puis si vous divisez deux fonctions, ça reste continue à moins qu'une des deux fonctions et une division par zéro. Donc, grosso modo, dans l'idée, toutes les fonctions sont continues.
À moins que vous ayez des divisions par zéro, ou, l'autre cas, c'est des fonctions par morceaux. Si vous avez un saut avec une fonction par morceaux, ça se peut que ça ne soit pas continué aussi. Donc, si un jour, dans un exercice, dans un examen, je vous demande si une fonction est continue ou pas, il faut aller voir au division par zéro, et si c'est une part morceau, aller voir sur l'échangement de morceau, justement, comment ça se passe. Est-ce que ça saute de façon continue ? Est-ce qu'il y a un saut ou est-ce qu'il n'y a pas de saut ?
Donc, c'est ça les propriétés des fonctions continues. C'est comme ça qu'on vérifie. Pourquoi c'est important la propriété des fonctions continues ? Parce que c'est agréable d'avoir une fonction qui ne saute pas bizarrement.
Une fonction qui a plein de sauts comme ça, et qui se met à sauter de même, c'est particulièrement difficile, pas le fun à travailler. On aime avoir une fonction qui se comporte toujours de la même façon, et qui n'a pas de surprise, qui n'a pas de saut géant. C'est toujours plus simple à manipuler. On verra plus loin avec le calcul différentiel qu'avoir une fonction continue.
C'est primordial pour pouvoir dériver. On fera ça un peu plus loin quand on va parler de dérivé, puis calcul différentiel, puis pendre de droite tangente. Donc, je termine la vidéo là-dessus. Allez faire vos exercices, posez-moi des questions en classe, posez-moi des questions par team, prenez rendez-vous avec moi, je suis là pour vous aider, n'hésitez pas, c'est ma job, ça me fait un immense plaisir quand vous m'appelez de vous voir. J'ai des contacts sociaux, vous comprenez mieux, ça me fait plaisir.
Là-dessus, je vous dis à la prochaine et on se voit dans une autre vidéo. Au revoir.