बरनौली डिफरेंशियल इक्वेशन

परिचय

• अन्य नाम: Reducible to Linear Differential Equation
• फॉर्म: \frac{dy}{dx} + P y = k y^n

पहचान और परिवर्तन

1. न्यूमेरिकल को इस फॉर्म में पहचानना: \frac{dy}{dx} + P y = k y^n
2. इस फॉर्म को लीनियर डिफरेंशियल इक्वेशन में बदलना

प्रक्रिया

चरण 1: पहचान

• यदि न्यूमेरिकल में y^n का टर्म है, तो यह बरनौली डिफरेंशियल इक्वेशन है।
• उदाहरण: \frac{dy}{dx} + 2y = y^2

चरण 2: विभाजन

• दोनों साइड y^n से डिवाइड करें
• उदाहरण: \frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx} + \frac{2}{y} = 1

चरण 3: परिवर्तन लागू करना

• मान लें: \frac{1}{y} = v
• इससे मूल इक्वेशन में परिवर्तन करें।

चरण 4: डेरिवेटिव निकालें

• \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(1/v) = -\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dx}

चरण 5: नई इक्वेशन में डालें

• \frac{d}{dx}(-v^{-1}) = -v^{-2} \frac{dv}{dx} को डालें
• उदाहरण: -v^{-2} \frac{dv}{dx} + 2v = 1 \Rightarrow - \frac{dv}{dx} + 2 = 1

चरण 6: समाकलन कारक (Integration Factor) निकालें

• IF = e^{\int P dx}
• उदाहरण: P = -2 , तो IF = e^{-2x}

चरण 7: सॉल्व करना

• फाइनल सॉल्यूशन: v IF = \int k IF dx + C
• देसीकेटेड इंटीग्रेशन द्वारा अंतिम उत्तर प्राप्त करें।

उदाहरण न्यूमेरिकल

• \frac{dy}{dx} + 2y = y^2
• प्रक्रिया स्टेप्स को फॉलो करें और सॉल्यूशन निकालें।
• अंततः: y = \frac{1}{2x} + C

निष्कर्ष

• सभी न्यूमेरिकल को स्टेप बाय स्टेप फॉलो करें
• हार्ड वर्क और प्रैक्टिस महत्वपूर्ण है।