बरनौली डिफरेंशियल इक्वेशन

परिचय

• अन्य नाम: Reducible to Linear Differential Equation
• फॉर्म: $$ \frac{dy}{dx} + P y = k y^n $$

पहचान और परिवर्तन

1. न्यूमेरिकल को इस फॉर्म में पहचानना: $$ \frac{dy}{dx} + P y = k y^n $$
2. इस फॉर्म को लीनियर डिफरेंशियल इक्वेशन में बदलना

प्रक्रिया

चरण 1: पहचान

• यदि न्यूमेरिकल में $$ y^n $$ का टर्म है, तो यह बरनौली डिफरेंशियल इक्वेशन है।
• उदाहरण: $$ \frac{dy}{dx} + 2y = y^2 $$

चरण 2: विभाजन

• दोनों साइड $$ y^n $$ से डिवाइड करें
• उदाहरण: $$ \frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx} + \frac{2}{y} = 1 $$

चरण 3: परिवर्तन लागू करना

• मान लें: $$ \frac{1}{y} = v $$
• इससे मूल इक्वेशन में परिवर्तन करें।

चरण 4: डेरिवेटिव निकालें

• $$ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(1/v) = -\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dx} $$

चरण 5: नई इक्वेशन में डालें

• $$ \frac{d}{dx}(-v^{-1}) = -v^{-2} \frac{dv}{dx} $$ को डालें
• उदाहरण: $$ -v^{-2} \frac{dv}{dx} + 2v = 1 \Rightarrow - \frac{dv}{dx} + 2 = 1 $$

चरण 6: समाकलन कारक (Integration Factor) निकालें

• $$ IF = e^{\int P dx} $$
• उदाहरण: $$ P = -2 $$ , तो $$ IF = e^{-2x} $$

चरण 7: सॉल्व करना

• फाइनल सॉल्यूशन: $$ v IF = \int k IF dx + C $$
• देसीकेटेड इंटीग्रेशन द्वारा अंतिम उत्तर प्राप्त करें।

उदाहरण न्यूमेरिकल

• $$ \frac{dy}{dx} + 2y = y^2 $$
• प्रक्रिया स्टेप्स को फॉलो करें और सॉल्यूशन निकालें।
• अंततः: $$ y = \frac{1}{2x} + C $$

निष्कर्ष

• सभी न्यूमेरिकल को स्टेप बाय स्टेप फॉलो करें
• हार्ड वर्क और प्रैक्टिस महत्वपूर्ण है।