Khái Niệm Đạo Hàm

Giới Thiệu

• Trước khi học về đạo hàm, cần hiểu về độ dốc và giới hạn hàm số.
• Độ dốc: xem video về hàm số đường thẳng y = ax + b.
• Giới hạn: xem video giới hạn hàm số.

Định Nghĩa

• Đạo hàm là công cụ toán học để tính độ dốc của đường tiếp tuyến tại mỗi điểm trên đồ thị hàm số.

Ví Dụ Minh Hoạ

• Hàm số y = f(x) với đồ thị bất kỳ.
• Đường tiếp tuyến là đường thẳng tiếp xúc tại một điểm trên đồ thị hàm số.
• Khảo sát độ dốc của các đường tiếp tuyến:
  • Bên trái: độ dốc > 0 (dốc lên).
  • Đỉnh: độ dốc = 0 (nằm ngang).
  • Bên phải: độ dốc < 0 (dốc xuống).

Công Thức Đạo Hàm

• Định nghĩa độ dốc qua tỉ lệ giữa khoảng cách chiều dọc và chiều ngang:
  • Điểm A (x, y), điểm B (x + Δx, f(x + Δx)).
  • Khoảng cách ngang: Δx.
  • Khoảng cách dọc: Δy.
  • Độ dốc: Δy / Δx.
• Khi Δx tiến đến 0, đường cát tuyến AB trở thành đường tiếp tuyến.

Giới Hạn và Vi Phân

• Δx tiến đến 0 thay vì là 0 để tránh tình trạng vô định (0/0).
• Giới hạn của Độ dốc khi Δx tiến đến 0 là đạo hàm:
  • dy/dx = f'(x).
• Vi phân (Differential):
  • dy tượng trưng cho Δy rất nhỏ.
  • dx tượng trưng cho Δx rất nhỏ.

Ký Hiệu Đạo Hàm

• Có 4 cách viết khác nhau:
  • dy/dx: Phát minh bởi Leibniz.
  • f'(x): Phát minh bởi Lagrange.
  • ẏ: Phát minh bởi Newton, dùng trong vật lý học.
  • Dxy: Phát minh bởi Euler, ít gặp.
• Thường gặp _: dy/dx và f'(x).

Ví Dụ Tính Đạo Hàm

• Hàm y = x, đạo hàm: y' = 1. (Độ dốc không đổi).
• Hàm y = x²:
  • Dùng công thức đạo hàm: f'(x) = 2x.
  • Bảng giá trị độ dốc:
    • x = -3: y' = -6.
    • x = -2: y' = -4.
    • x = -1: y' = -2.
• Hàm y = x³:
  • Dùng công thức đạo hàm: f'(x) = 3x².
  • Bảng giá trị độ dốc:
    • x = -2: y' = 12.
    • x = -1: y' = 3.

Tổng Kết Đạo Hàm

• Đạo hàm của hàm x^n là nx^(n-1).
• Đạo hàm của các hàm phổ biến như e^x, log(x), sin(x), và cos(x).

Kết Luận

• Hẹn gặp ở các video tiếp theo với: phương pháp tính đạo hàm, ứng dụng trong vật lý, khoa học máy tính, kinh tế, và giới thiệu về tích phân.