Circular Shaft में Torsion

परिचय

• आज हम Circular Shaft में Torsion के बारे में चर्चा करेंगे।
• यह विषय परीक्षा के दृष्टिकोण से बहुत महत्वपूर्ण है।

Torsion क्या है?

• Torsion एक ऐसी प्रक्रिया है जिसमें एक shaft के एक छोर पर torque लगाया जाता है।
• एक shaft की लंबाई (L) और त्रिज्या (R) होती है।
• Torque लगाने पर shaft में twisting होती है।

Derivation

1. Torque और Twisting
   • Torque (T) लगाने पर shaft में twisting angle (θ) बनता है।
   • Expression:
     • T/J = τ/R = Gθ/L
   • जहाँ τ shear stress है, R shaft की radius है, G modulus of rigidity है, और θ twisting का angle है।
2. Shear Strain का विकास
   • Twisting के कारण shear strain (φ) विकसित होता है।
   • यदि φ बहुत छोटा है, तो:
     • tan φ ≈ φ
     • φ = a_a_dash / L
     • a_a_dash = Lφ
3. Arc और Radius
   • θ = a_a_dash / R
   • a_a_dash = Rθ
   • इसके बाद, shear strain के लिए:
     • G = τ/φ
     • φ की वैल्यू substitue करने पर हम shear stress को निकाल सकते हैं।

Torque का निकालन

• Torque को tangential force (F) और radius (R) के उत्पाद के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
• छोटे r पर एक ring के लिए:
  • T = F * r
  • F = τ * Area
  • Area = 2πr * dr
  • Force (df) = τ * 2πr * dr
  • Torque (dT) = df * r

Final Expression

• T = (Gθ / L) * (πR^4 / 2)
• J (Polar Moment of Inertia) = πR^4 / 2
• Final expression:
  • T/J = Gθ/L
  • τ = Gθ/L (शेयर स्ट्रेस)

निष्कर्ष

• हमने Torsion के संबंध में आवश्यक derivation को समझा।
• यह expression (T/J = τ/R = Gθ/L) महत्वपूर्ण है।
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धन्यवाद! जय हिंद!