हाँ दोस्तों स्वागत है आपके अपने चैनल में आज हम डिस्कस करने वाले हैं Torsion in Circular Shaft Torsion in Circular Shaft एक बहुत ही इंपोर्टेंट टॉपिक है फ्रॉम दे एक्जामनेशन पॉइंट ओफ व्यू तो प्लीज इस वीडियो के अंड तक देखिएगा डेरिवेशन पे जाने से पहले हमें ये जानना होगा कि Torsion क्या होता है आपको ये एक Shaft दिख रहा है जिसकी Length है L और इसका Radius है Capital R इस Shaft को मैंने एक अंड पर फिर fix कर दिया है और दूसरे end पे torque T apply कर रहा है जब इस पे हम torque apply करेंगे तो इस shaft में कोई न कोई twisting आएगा जब ये shaft twist होगा तो हम ये बोल सकते हैं कि this shaft is under torsion ठीक है तो फिलार इस torsion से हमें deal करना है और ये expression derive करना है T upon में J equal to tau upon में R equal to G theta upon में L इस shaft को एक end पे fix करके दूसरे end पे आएगा twisting के वाले से यह a point a dash पर चला जाएगा अगर front view में देखेंगे तो यह a point twisting के पहले यहाँ था जब यह twist हुआ जब इस पर torque लगाया और यह soft twist हुआ तो यह a dash पर चला जाएगा ठीक है और यह जो angle बना है यह theta यह हो गया angle of twist अब इस soft पर जैसे ही twisting आया तो along the length इसमें shear strain भी develop होगा जो की है अपना phi अगर यह phi बहुत ही चोटा है तो अपना यह जो arc है, यह a dash, यह straight line दिखेगा, अब यह अगर straight line दिखेगा, तो हम लिख सकते हैं, 10 phi equal to a a dash upon में l, यह लिख सकते हैं, अगर phi अपना बहुत ही चोटा है, तो हम लिख सकते हैं, 10 phi equal to phi, phi equal to क्या आ जाएगा, a a dash upon में l, यहां से a a dash equal to l phi निकल के आ जाएगा, और arc निका radius ठीक है तो यहाँ पे angle क्या है angle of twist theta और arc अपना a a dash हो जाएगा और radius capital R हो जाएगा ठीक है तो यहाँ से theta equal to a a dash upon में r यहाँ से a a dash निकल के आ जाएगा r theta अब अगर a a dash हमने यहाँ भी निकाला है और a a dash यहाँ भी निकाला है अगर left hand side equal है तो right hand side भी equal होना चाहिए तो यहाँ से हम लिख सकते है r theta equal to l phi अब हमें पता है modulus of rigidity जी equal to होता है, shear stress upon में shear strain, तो यहाँ से shear strain की value निकल के आजाएगी, tau upon में जी, अब यह फाई की value, हम यहाँ रख देंगे, तो अपना आजाएगा, अब इसको modify करेंगे, तो आजाएगा, यह अपना half expression derive हो गया, यह अपना expression, अपने डराइव हो गया, आप next half अपने डराइव करेंगे, second half डराइव करने के लिए हमने soft का front view consider किया है, तो चलिए मैं यह आपको पहले explain कर देता हूँ, टॉर्क लगाने का मतलब क्या होता है कि हम tangentially force लगा रहे हैं और torque हमारा जो होता है वो होता है tangential force into radius ठीक है तो हम देख रहे हैं जैसे जैसे radius अपना vary करेगा वैसे वैसे torque भी vary करेगा हम लिख सकते हैं torque t equal to f into r यानि कि force into radius अब small r distance पे हम एक ring consider कर रहे हैं जिसकी thickness है dr तो हमें पता है force equal to होता है stress into area अब इस इस ring पे हम अगर force निकालते हैं तो क्योंकि ये बहुत ही small ring है इसलिए force अपना हो जाएगा df into shear stress at distance r यानि कि tau r into area of the strip तो area इसका कैसे निकलेगा इसको हम कहीं से break कर देंगे और break करने के बाद इसको हम एक rectangular shape दे सकते हैं तो length of the strip क्या हो जाएगा circumference of the circle circumference of the circle तो circumference of the circle क्या होता है होता है 2πr और इसकी thickness कितनी है dr तो area of a strip क्या हो जाएगा 2πr x dr 2πr x dr तो अपना df निकल के आ गया tau r x 2πr x dr अब अभी अपने expression drive किया है tau अपन में r इकोल टू g थीटा अपन में l यानि कि यह जो shear stress है यह capital r पे अपने निकाला है तो इसलिए यह shear stress at capital r इकोल टू g थीटा अपन l के बराबर होगा होगा तो अगर हम shear stress small r distance पे निकाल रहा है तो हम लिख सकते हैं tau r equal to small r equal to g theta upon में l यहां से tau r निकल के आ जाएगा g theta upon में l into r अब अगर इस टाव R की वैलू हम इसमें रख दें, replace कर दें, तो यह हो जाएगा df equal to g theta upon l into r, और 2 pi r dr, ठीक है, अब यहाँ पे r और r multiply करेंगे, तो हो जाएगा g theta upon l into 2 pi r square into dr, यह अपना force निकल के आगे, अब हम torque निकालेंगे, तो क्योंकि small r distance पे निकाल रहे हैं, और इस ring पे torque निकाल रहे हैं, इसलिए हो जाएगा dt equal to df, अभी अपने निकाल रहे हैं, है into R ठीक है तो df की value हम यहां से यह replace करेंगे तो यह आ जाएगा dt equal to g theta l into 2 pi r square into r into dr ठीक है अब डी टी इकॉल टू हो जाएगा जी थीटा अपन में एल इंटू आर स्क्वार इंटू आर टू पाई आर क्यू इंटू डी आर ठीक है अब इसको अपन इंटेग्रेट करेंगे जोंकि ए स्माल टॉर्क निकाल लिया अब पूरे के लिए हमें निकालना है तो टॉर्क और क्या हो जाएगा 0 to T, 0 to T integrate कर देंगे, और यहां अपन का R है, तो R radius कहां से कहां तक जाएगा, 0 to capital R, ठीक है, तो 0 to capital R, जी ठीक है अपन में, L x 2π R Q x dr अब यहाँ पी ये चीजे constant है G थीटा अपन में L x 2π तो इसको अपन में बाहर कर दिया और R Q का integration हो जाएगा R के power 4 अपन में R और limit है 0 to R ठीक है तो यहां से आ जाएगा अगर limit put करेंगे यहां से आ जाएगा t equal to g theta upon l into 2 pi और यहां limit put करेंगे upper limit put करेंगे तो r के power 4 upon 4 हो जाएगा और lower limit put करेंगे तो यह 0 के power 4 upon 4 यानि कि यह 0 हो जाएगा तो अपना यह expression आ जाएगा t equal to g theta upon l into 2 pi into r के power 4 upon 4 अब यहां से यह 2 से 4 cancel हो जाएगा तो यह हो जाएगा t टी एकॉल्ट टू जी ठीता अपने एल इंटू पाई आर के पावर फोर अपने में टू अब हमें पता है कि पाई आर के पावर फोर अपने में टू यह जो होता है यह होता है पोलर मोमेंट ऑफ पर जिसको जैसे डिनोट करते हैं ठीक है तो अब जे को हम यहां रिप्लेस कर दे रहे हैं पाई आर के पावर फोर अपने में टू के जगह पर तो यहां से अपना एक्सप्रेशन निकलकर आ जाएगा टी अपने जे इकॉल्ट टू जी ठीता अपने एल और अभी हम हमने first half जो expression derive किया था यह था tau upon r equal to g theta upon l यहां से अपना relation निकल के आ जाएगा t upon j equal to tau upon r equal to g theta upon l यह अपना required expression था जो कि derive करना था हमने ठीक है तो यहां t जो है यह torque और j जो है polar moment of inertia है tau shear stress at capital r r के radius of shaft g के modulus of rigidity and थीटा क्या है angle of twist and L जो है length of the shaft I hope कि ये वीडियो आपको समझ में आ गया होगा अगर ये वीडियो आपको समझ में आ गया और derivation clear है तो please वीडियो को like कीजिए अगर कोई doubt है तो comment कीजिए और please चैनल को subscribe कीजिए और अपने friend के साथ share कीजिए Thank you. Jai Hind.