Overview
La clase introduce la hipótesis de Riemann, uno de los Problemas del Milenio, explicando su relación con la función zeta de Riemann y la distribución de los números primos.
Los Problemas del Milenio
- En 2000, el Instituto Clay presentó 7 problemas matemáticos no resueltos, cada uno con un premio de un millón de dólares.
- La hipótesis de Riemann es uno de ellos y trata sobre la función zeta de Riemann.
Números Complejos y la Función Zeta de Riemann
- Los números complejos tienen parte real y parte imaginaria (unidad imaginaria representada con i).
- La función zeta de Riemann es una suma infinita: suma de 1/n^s, válida cuando la parte real de s es mayor que 1.
- Para s=2, esta suma converge a π²/6; para s=4, a π⁴/90.
- Para valores donde la parte real de s≤1, la suma no converge y se extiende mediante prolongación analítica.
Prolongación Analítica y Ceros de la Función Zeta
- Se puede extender la función zeta al plano complejo mediante una relación con funciones seno y gamma.
- En s=-1, el valor de la función zeta se define como -1/12, aunque la suma real no converge.
- Los ceros triviales ocurren en los enteros negativos pares (por el seno en la prolongación), y los ceros no triviales se buscan entre 0 y 1 de la parte real.
Hipótesis de Riemann
- Afirma que todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann tienen parte real igual a 1/2.
- No está ni demostrada ni refutada, aunque las computadoras han verificado muchos ceros en esa línea.
- Si algún cero no estuviera en esa línea, se refutaría la hipótesis.
Relación con los Números Primos
- La función zeta se relaciona mediante un producto infinito con todos los números primos (teorema fundamental de la aritmética).
- La función contadora de primos π(x) cuenta cuántos primos hay menores que x.
- El Teorema de los Números Primos aproxima π(x) por x/ln(x).
- La integral logarítmica es una mejor aproximación a π(x).
- La función de Riemann, suma infinita de logaritmos integrales, aproxima π(x) casi exactamente.
- Usando los ceros de la función zeta, se puede expresar π(x), mostrando su influencia directa.
Visualización y Importancia
- Los ceros de la función zeta determinan la fluctuación en la distribución de los primos.
- Con solo 100 ceros, el error en contar primos menos que un millón es solo del 0,008%.
Key Terms & Definitions
- Función zeta de Riemann — Suma infinita: 1 + 1/2^s + 1/3^s + ... donde s es complejo.
- Ceros triviales — Valores donde la función zeta se anula fácilmente (enteros negativos pares).
- Ceros no triviales — Zeros buscados en la franja 0 < parte real < 1; clave en la hipótesis de Riemann.
- Función contadora de primos π(x) — Cuenta cuántos números primos hay menores o iguales que x.
- Integral logarítmica — Aproximación avanzada de π(x): ∫₂^x dt/ln(t).
- Teorema de los Números Primos — Afirmación de que π(x) ≈ x/ln(x) para x grande.
Action Items / Next Steps
- Investigar más sobre los otros Problemas del Milenio.
- Profundizar en la función zeta y su prolongación analítica.
- Revisar la relación entre la función zeta y la distribución de los números primos.