Resumen de la Hipótesis de Riemann

El 24 de mayo del año 2000 fue un día muy importante para las matemáticas. Hacía ya 100 años desde que David Hilbert había propuesto en París sus famosos 23 problemas, aquellos que él consideraba más importantes para el desarrollo de las matemáticas del siglo XX. 100 años después, en la misma ciudad, el Instituto Clay de Matemáticas de Cambridge aprovechaba este aniversario y la entrada del nuevo milenio para proponer 7 problemas nuevos. 7 de los problemas más difíciles a los que se estaban y todavía se están enfrentando los matemáticos alrededor de... todo el mundo. Su intención era hacer ver al público en general que no todo está resuelto en matemáticas, que todavía quedan muchísimos temas importantes que resolver y también querían premiar al que pudiera resolver cualquiera de ellos con, mucho cuidado, un millón de dólares. En esta serie de vídeos vamos a profundizar en todos ellos para que, quién sabe, quizás dentro de unos años alguien que haya visto este vídeo tenga la oportunidad de resolver alguno. Esto es la saga de los problemas del milenio. Antes de empezar, quería dar las gracias a los mecenas de Patreon, por los que este vídeo ha sido posible. Si os gusta este tipo de contenido y queréis que siga trayéndolo, podéis hacerlo tanto en Patreon como haciendoos miembros del canal, el botoncito al lado de suscribirse. Os dejo todo en la descripción, y muchísimas gracias. Como os he comentado, estos siete son los problemas del milenio. Vamos a verlos todos y cada uno de ellos, así que bueno, si resolvéis alguno en un futuro, medio inspirados por este vídeo, pues también podéis sentiros libres de invitarme a un café o a una casa en la playa, por ejemplo. Vosotros decidís. Hoy vamos a hablar del que para mí es uno de los más importantes, la hipótesis de Riemann. Debe su nombre al matemático alemán George Riemann, que hizo grandes aportaciones al análisis y la geometría diferencial. Os voy a soltar el enunciado de la hipótesis de Riemann así, de golpe. Dice lo siguiente, la parte real de todo cero no trivial de la función zeta de Riemann es un medio. Y no os preocupéis si no habéis entendido nada, porque vamos a ir paso por paso. Veremos lo que quiere decir eso de la parte real. los ceros no triviales y también lo que es la función zeta de Riemann. Y bueno, si estáis en este vídeo, pues ya doy por entendido que sabéis lo que es el 1 partido por 2. Vamos a dividir el vídeo en dos grandes bloques. Primero os voy a contar de forma visual qué es eso de la función zeta de Riemann. Y seguidamente veremos una cosa que es súper bonita, la relación de esta función con la distribución de los números primos. Os recomiendo que os quedéis hasta el final del vídeo porque es una cosa espectacular. ¡Vamos a ello! Primero que todo, tenéis que saber que vamos a trabajar con números complejos. Son aquellos que tienen una parte real y una imaginaria, que va acompañada de la unidad imaginaria también, a la que llamamos Y. La idea es muy simple. Podemos representar estos números en los típicos ejes coordenados, donde el eje de las X representa la parte real del número complejo y el eje de la Y la parte imaginaria. Súper sencillo. Así pues, ya sabemos lo que es la parte real de un número complejo. Perfecto, pues sigamos. Esta de aquí es la función Z de Riemann. Es decir, es la suma de los inversos de todos los naturales pero elevados a un determinado s, que es la variable de la función. Esta suma infinita sólo es válida cuando la parte real de s es mayor que 1. Por ejemplo, si sustituimos s igual a 2, tenemos la suma de todos los inversos de todos los naturales elevados al cuadrado. Si vais sumando con la calculadora 1 a 1, veréis que esto se acerca a un valor determinado cada vez más. Y es que el gran Euler demostró en 1735 que este valor es exactamente... Pi al cuadrado partido por 6. Podéis comprobarlo, es algo súper chulo. Si sustituimos S igual a 4, también la suma tiende a otro valor. En este caso, pi a la cuarta partido por 90. Y sí, también es bastante sorprendente que pi aparezca por aquí. Pero bueno, ¿qué pasa si metemos S igual a menos 1? Pues tendríamos la suma de los naturales, que todo el mundo sabe que no converge a ningún valor, ¿no? Y bueno, lo mismo pasa con S igual a 1. Obtenemos la serie armónica, que ya hemos demostrado en el canal que tampoco converja nada. Esta es una de las razones por las que cuando se empieza a trabajar con la función z se tiene que exigir que la parte real de s sea mayor que 1. De lo contrario, la suma infinita no converge. Y es que claro, estamos hablando de partes reales, por lo que la variable s puede tomar valores complejos. Pero, ¿cómo hacemos eso? Por ejemplo, para calcular z de 2 más i, tendríamos que evaluar cosas como esta. Así que, ¿qué significa multiplicar 1 partido 2, 2 más i veces? El primer paso es separar la parte real de la imaginaria. El 2 elevado a 2 lo tenemos controladísimo, lo hemos hecho toda la vida, pero el 2 elevado a i, pues, no tanto. El truco siempre es parecido. 2 elevado a i es lo mismo que el número de Euler elevado a i por el logaritmo de 2. Y esto a su vez puede pasar al numerador cambiando de signo. Los más avispados ya os habréis dado cuenta, pero de esto también hemos hablado en el canal. El número de Euler elevado a i por otro número real tiene módulo 1 y se sigue de la fórmula de Euler que veis abajo, porque el seno al cuadrado más el coseno al cuadrado es 1. Esto quiere decir que multiplicar por e elevado a i por algo, en el plano complejo, no es más que una rotación. Si os habéis perdido un poco, no os preocupéis porque también hay una forma visual de verlo. El punto azul va a ser nuestra variable s, y nos vamos a fijar en cuánto vale 1 partido 1 elevado a s, que es 1, más 1 partido 2 elevado a s. Si s es 2, pues todo bien, lo tenemos controlado. 1 más 1 cuarto es 1 con 25. Lo que pasa cuando cambiamos este s a los complejos es que el segundo valor sufre una rotación, pero la longitud sigue siendo la misma, sólo que rotada. Esto es a lo que me refiero con que elevar a un número complejo provoca una rotación. Pues la idea es que si en vez de considerar solo estos dos sumandos, consideramos todos los infinitos sumandos de la función z, podemos visualizar cuánto vale exactamente donde acaben los infinitos segmentos. Es decir, que moviendo el punto azul podemos ver lo que vale la función z en el punto que queramos. Y es muy chulo porque lo que está pasando cuando la parte imaginaria no es cero, es que todos los segmentos forman una especie de espiral, porque cada uno de ellos está rotando. Genial, pero tenemos un problema, solo podemos mover el punto azul por este lado del plano. por la parte real de ese mayor que 1 y eso a los matemáticos pues no nos gusta mucho siempre que se pueda nos gusta extender las definiciones más allá de las suposiciones iniciales y este es uno de esos casos queremos poder ver cuánto vale esta función pero no sólo en la parte de la derecha sino en todo el plano complejo y esto a grandes rasgos es lo que se conoce como extensión o prolongación analítica con técnicas que se escapan un poco para un vídeo de divulgación se puede demostrar la siguiente igualdad que relaciona la función zeta de Riemann, la función seno y la función gamma de Euler. Y de ella podemos aprovechar lo siguiente. En la derecha tenemos la función zeta evaluada en 1 menos s, mientras que la izquierda solo evaluada en s. ¿Y qué significa esto? Pues algo muy importante. Por ejemplo, podríamos sustituir s igual a menos 1, ya que todo lo de la derecha lo conocemos, también zeta de 2. De esta forma, estaríamos extendiendo la definición de la función al punto menos 1, donde antes no se podía. Y con algunos cálculos se llega a que la función zeta de Riemann en menos 1 valdría exactamente menos 1 partido por 12. Y eso no solo se puede hacer con el menos 1, sino con casi todo el plano complejo. Pero espera un momento, sabíamos hasta ahora que la función zeta de Riemann era esta suma infinita. Así que, ¿quiere decir esto que si sustituimos en la función s igual a menos 1, que es la suma de todos los naturales, tenemos que esto es menos 1 partido 12? Entonces, ¿me estás diciendo que la suma de los naturales, que no converja nada, Además es una fracción y además negativa? Pues obviamente no, pero sí que tienen mucha relación y es debido a los sumatorios de Ramanujan, un genio indio matemático del que hablaremos algún día. Lo que está pasando, como antes, es que en la definición inicial la de la suma infinita sólo es válida cuando la parte real de S es mayor que 1 y este no es el caso. No se puede igualar la suma de los naturales a la función Z, aunque esta valga menos un doceavo. Así pues, ya tenemos una forma de dotar de un valor a nuestra función Z de Riemann para todos los puntos del plano. Hemos extendido la definición inicial. Bueno, a todo el plano complejo menos para S igual a 1, que tiene una singularidad, pero no nos importa mucho ahora. Y como os decía, ahora también podemos pasar al lado izquierdo del eje de coordenadas. En resumen, para la región de la derecha la función Z es la suma infinita, que tenemos bastante controlada. Pero para la región de la izquierda tenemos que usar otras técnicas, y ahí es donde empiezan los problemas. De momento podemos concluir que ya sabéis lo que es la función zeta de Riemann, así que vamos por buen camino. Una de las cuestiones más importantes cuando hablamos de funciones es ver dónde se anulan. Lo mismo podemos hacer con la función zeta de Riemann. Se puede mostrar fácilmente que si la parte real de s es mayor que 1, entonces el sumatorio infinito no se anula en ningún punto. Y con la parte real de s menor que 0 pasa algo curioso. Fijaos que todas estas funciones de la derecha 2 elevado a algo, pi elevado a algo, la función gamma y la función zeta derriban en este caso, ninguna se anula cuando s es menor que cero. Por lo que la única esperanza es ver dónde se anula este seno. Y tachán, como muchos sabréis, esto ocurre cuando lo de dentro del seno es un múltiplo de pi, que, como además estamos en s menor que cero, son precisamente los pares negativos. En estos infinitos puntos nuestra función protagonista se anula, y son los que se conocen como ceros triviales, porque son súper fáciles de encontrar. Pero todavía nos queda otra región. ¿Qué pasa cuando la parte real de S está entre 0 y 1? Pues que aquí es donde empiezan los problemas. Pensad en un número real del 0 al 1. 1 menos ese número también va a estar entre 0 y 1, por lo que la función Z de la derecha no nos está dando información, ya que está en la misma franja. Esta es la razón por la que de esta expresión no se puede sacar tanta información, y por tanto no es posible determinar dónde se anula en esta franja. Es lo que se conoce como la banda crítica, la parte real entre 0 y 1, el lugar donde están todos los otros ceros de nuestra función zeta de Riemann, también conocidos como ceros no triviales. Con toda esta información ya podéis entender la hipótesis de Riemann. Lo que nos dice es que todos los demás ceros, los ceros no triviales de la función zeta de Riemann, se encuentran en algún lugar en esta línea, donde la parte real es igual a un medio. Hasta el día de hoy nadie lo ha demostrado ni tampoco lo ha desmentido. aunque los cálculos computacionales sí que apoyan la idea. Aún así, como siempre os digo, hasta que no haya una demostración no se puede afirmar ni desmentir nada. Otra forma de visualizar la hipótesis de Riemann es la siguiente. Ya hablamos en un vídeo anterior que podemos dibujar una función compleja utilizando colores. A cada número complejo le asignamos un color dependiendo de su ángulo con el eje X. Por ejemplo, este sería amarillo. De esta forma, pintando cada número complejo del color de la función evaluada en ese punto, podemos graficar funciones fácilmente. Por ejemplo, esta es la función f de z igual a z. Os dejo también el enlace al vídeo por aquí arriba. Una cosa muy importante de estas representaciones con colores es que en los lugares donde se juntan todos los colores en sentido antihorario, ahí hay un punto donde la función se anula. Por ejemplo, en este caso es súper fácil, z igual a 0, la función se anula. Pues lo interesante es que también podemos dibujar la función z de Riemann, que es esta de aquí. Y ya solo con los ojos podemos afirmar varias cosas. Hay puntos a la izquierda donde se juntan todos los colores. Si os acordáis, era donde estaban los ceros fáciles, los triviales. Pero otra cosa más, por ahí arriba también se juntan los colores en ese sentido, y justo abajo también. Y esto quiere decir que hay dos puntos más donde se anula esta función. Estos son los primeros dos ceros no triviales, y el de arriba es 1 partido por 2 más aproximadamente 14.13 por i. Y lo que os estaba diciendo, su parte real es un medio, precisamente lo que anuncia la hipótesis de Riemann. Si dibujásemos más rango de la función, encontraríamos infinitos ceros más en esta línea. Si volvemos a lo de antes y aplicamos la función z a puntos de esta recta, se pueden ver que efectivamente el 14.13 pasa por el origen, es decir, que la función se está anulando. De hecho, está demostrado que hay infinitos puntos en los que pasa esto en esta recta. Pero no si fuera de ella hay más. Hay un millón de dólares de diferencia. Descubrir que hay algún punto fuera de esta línea donde también se anula la función zeta de Riemann resolvería la hipótesis de Riemann, pero de forma negativa. Pues ya está, ya hemos entendido la hipótesis de Riemann. Ha costado un poquito, pero ya ha pasado lo peor. Ahora la pregunta que os hago es ¿Por qué conocer dónde se anula una función es tan importante para las matemáticas? La respuesta es que, entre otras cosas, la función zeta de Riemann juega un papel crucial si queremos entender mejor a los números primos, y os lo voy a mostrar. Mirad estas dos expresiones infinitas. Si multiplicamos todos los términos de la izquierda por todos los de la derecha, al final acabaremos teniendo fracciones en los que el denominador serían todas las posibles combinaciones de doses por treses elevados a s. De la misma forma, si en vez de solo el 2 y el 3 lo hacemos con todos los otros números primos, lo que obtenemos es todas las posibles combinaciones en el denominador de multiplicaciones entre primos y sus potencias, y todas ellas elevadas a S. Pero cuidado, el teorema fundamental de la aritmética nos dice que todo entero positivo es producto de primos de forma única, por lo que en realidad todas estas fracciones posibles son justamente la suma de todos los inversos de naturales, y además elevados a S. Es decir, es justamente la función Z de Riemann. Y bueno, no os voy a liar más, pero también se puede ver que la suma de dentro de cada paréntesis, que son geométricas, son estos valores de aquí. Esto quiere decir, señoras y señores, que tenemos la siguiente expresión. Teorema como mínimo que relaciona directamente la función protagonista del vídeo con un producto infinito con todos los números primos. Pues bueno, preparaos porque ahora viene lo verdaderamente bonito. Vamos a definir la función contadora de primos. En matemáticas la escribimos como pi de x, aunque en un principio nada tiene que ver con el número pi. Esta cuenta cuántos primos hay por debajo del número x. Por ejemplo, pi evaluada en 2 es 1, ya que solo tenemos el 2 primo. Pi de 3 es 2, ya que tenemos como primos el 2 y el 3. Y así con todos los demás. También se puede representar en una gráfica, y como veis es una función que tiene forma de escalera, porque cuando aparece un primo, pues simplemente se le añade uno. La cosa está en que, en un principio, es difícil determinar esta función cuando el X es muy grande. Los métodos que tenemos son muy costosos computacionalmente, y es por eso que los números primos se utilizan hoy en día en criptografía, en tema de contraseñas y muchas más cosas. Pero bueno, la cosa es que sí hay una forma de aproximar muy bien esta función, y tiene muchísimo que ver con la función Z de Riemann. El genio que impulsó todo esto fue, como no, el protagonista del vídeo, Riemann, que el tío, en 1859, escribió un paper de tan solo 8 páginas sin ninguna demostración, donde estaban todas las ideas que os voy a contar. Y preparaos porque vais a flipar. Uno de los primeros resultados en la búsqueda de la distribución de los números primos se conoce como, vaya que casualidad, el Teorema de los Números Primos. Y dice, básicamente, que si quieres aproximar el número de primos menores que X, simplemente haz la operación X... partido por el logaritmo natural de x. Eso es. Esto te va a dar una aproximación bastante decente si el x es lo suficientemente grande, tendiendo su cociente a 1 cuando x tiende a infinito. Esto estaba en las ideas de Riemann, pero sin demostraciones, así que fue demostrado matemáticamente casi medio siglo después por el matemático belga Poissin y el francés Hadamard de forma totalmente independiente. Pues nada, vamos a compararlo en una gráfica. En azul tenéis el número exacto de primos menores que x, pi de x. y en amarillo lo que nos proporciona el teorema de los números primos, su aproximación. Y en la gráfica de la derecha tenéis el cociente entre las dos funciones, que va a tender a 1 cuando x tienda a infinito. Si ampliamos el rango, como podéis ver, bien, más o menos lo aproxima, pero un poquito decepcionante, ¿no? Pues sí, pero no os preocupéis, porque gracias a nuestro príncipe de las matemáticas, el señor Gauss, con una tabla de números primos que él mismo había construido, dedujo que el número de primos menores que x debería aproximarse bastante a esta integral. conocida como logaritmo integral. Y no estaba nada equivocado, porque para valores grandes también se cumple que el cociente es 1. Y además, si lo graficamos, vemos que es muchísimo mejor. Al principio, hasta los 100 números, pues tampoco parece que sea gran cosa, ¿no? Se parece bastante a la del teorema de los números primos. Pero la cosa cambia cuando ampliamos el rango. Y como podéis observar, el logaritmo integral es muchísimo mejor que la gráfica amarilla. Pero bueno, tampoco la aproxima tanto, cada vez como que se va separando más. Un poco decepcionante también, ¿no? Pues sí, y aquí es donde entra Riemann. Construyó la siguiente función, llamada función de Riemann. No hay que confundirla con la función zeta de Riemann. Esta de aquí es una suma infinita de funciones logaritmo integrales, la que justo acabamos de ver. También utilizaba la función de Moebius, la mu esta rara que aparece. Tampoco voy a entrar en muchos tecnicismos, pero para que os hagáis una idea, simplemente es una suma de logaritmos integrales con diferentes exponentes. Lo que sí quiero que veáis es la locura que es esta función aproximando a los números primos. Dibujamos las aproximaciones de antes del mismo color. En amarillo, el del teorema de los números primos, y en verde, el logaritmo integral. Pues para que flipéis, la función de Riemann para aproximar a los primos es esta roja de aquí, lo cual es una auténtica locura. Prácticamente clava el número de primos menores que x Y es un auténtico logro para las matemáticas y el entendimiento de la distribución de los números primos ¿A que ya no decepciona tanto? Pues esperad porque lo que viene ahora os va a reventar la cabeza Estaréis pensando, hostia Mike, mola lo de los números primos Pero ¿qué tiene que ver todo esto con la hipótesis de Riemann? Tremenda chapa nos estás pegando, ¿no? Pues cuidado, porque tiene que ver muchísimo Usando todos los ceros de la función zeta de Riemann en verde El propio Riemann pudo construir una función que es, cuidado, exactamente igual a la función contadora de primos. Bueno, siendo técnicos casi igual, menos en las discontinuidades, donde toma el valor medio. Por eso la hipótesis de Riemann es tan importante. Si podemos entender dónde están los ceros de la función zeta de Riemann, podríamos entender mucho mejor la distribución de los números primos. Y para que acabéis de ver el vídeo, no solo sintiendo, sino visualizando lo bonitas que son las matemáticas, os voy a dejar la mejor gráfica del vídeo. En rojo vais a tener la función de Riemann, pero cada vez añadiendo más ceros de la función zeta de Riemann. Y es que sí, con cada vez más ceros, la gráfica roja se aproxima cada vez más a la distribución de los números primos. Lo que estáis visualizando es increíble, y es que los ceros de la función zeta de Riemann controlan la fluctuación de los números primos. Es decir Están haciendo bailar a la función de Riemann para tocar estos primos. Y ya para terminar, con dados numéricos y haciendo honor al milenio, sabemos que hay 78.498 números primos por debajo del millón. Considerando las funciones de antes, el logaritmo integral y utilizando 10 y 100 ceros de la función z, estas son las aproximaciones que obtenemos del número de primos menores que un millón. Entonces, teniendo una fórmula para los números primos, ¿quiere decir esto que podemos conocer? todos los primos que queramos y que la seguridad del planeta está en peligro? Pues no, los ordenadores no tienen tanta precisión para números tan grandes, así que podéis estar tranquilos. Pero como observación, con solo 100 ceros de la función ZRiman conseguimos un error de un 0,008% en el número de primos, lo cual es una locura. Hasta aquí llega el primer vídeo de la saga de los problemas del milenio. Si os ha gustado, pues siempre podéis regalarme un like. También quería agradecer la ayuda recibida por Juan Luis Barona, profesor de la Universidad de La Rioja aquí en España. Sin él, este vídeo no sería posible. Mil gracias, en serio. Y nada más, nos vemos en el próximo.

7 de los problemas más difíciles a los que se estaban y todavía se están enfrentando los matemáticos alrededor de... todo el mundo. Su intención era hacer ver al público en general que no todo está resuelto en matemáticas, que todavía quedan muchísimos temas importantes que resolver y también querían premiar al que pudiera resolver cualquiera de ellos con, mucho cuidado, un millón de dólares. En esta serie de vídeos vamos a profundizar en todos ellos para que, quién sabe, quizás dentro de unos años alguien que haya visto este vídeo tenga la oportunidad de resolver alguno.

Esto es la saga de los problemas del milenio. Antes de empezar, quería dar las gracias a los mecenas de Patreon, por los que este vídeo ha sido posible. Si os gusta este tipo de contenido y queréis que siga trayéndolo, podéis hacerlo tanto en Patreon como haciendoos miembros del canal, el botoncito al lado de suscribirse. Os dejo todo en la descripción, y muchísimas gracias. Como os he comentado, estos siete son los problemas del milenio.

Vamos a verlos todos y cada uno de ellos, así que bueno, si resolvéis alguno en un futuro, medio inspirados por este vídeo, pues también podéis sentiros libres de invitarme a un café o a una casa en la playa, por ejemplo. Vosotros decidís. Hoy vamos a hablar del que para mí es uno de los más importantes, la hipótesis de Riemann. Debe su nombre al matemático alemán George Riemann, que hizo grandes aportaciones al análisis y la geometría diferencial.

Os voy a soltar el enunciado de la hipótesis de Riemann así, de golpe. Dice lo siguiente, la parte real de todo cero no trivial de la función zeta de Riemann es un medio. Y no os preocupéis si no habéis entendido nada, porque vamos a ir paso por paso.

Veremos lo que quiere decir eso de la parte real. los ceros no triviales y también lo que es la función zeta de Riemann. Y bueno, si estáis en este vídeo, pues ya doy por entendido que sabéis lo que es el 1 partido por 2. Vamos a dividir el vídeo en dos grandes bloques. Primero os voy a contar de forma visual qué es eso de la función zeta de Riemann. Y seguidamente veremos una cosa que es súper bonita, la relación de esta función con la distribución de los números primos.

Os recomiendo que os quedéis hasta el final del vídeo porque es una cosa espectacular. ¡Vamos a ello! Primero que todo, tenéis que saber que vamos a trabajar con números complejos.

Son aquellos que tienen una parte real y una imaginaria, que va acompañada de la unidad imaginaria también, a la que llamamos Y. La idea es muy simple. Podemos representar estos números en los típicos ejes coordenados, donde el eje de las X representa la parte real del número complejo y el eje de la Y la parte imaginaria.

Súper sencillo. Así pues, ya sabemos lo que es la parte real de un número complejo. Perfecto, pues sigamos. Esta de aquí es la función Z de Riemann.

Es decir, es la suma de los inversos de todos los naturales pero elevados a un determinado s, que es la variable de la función. Esta suma infinita sólo es válida cuando la parte real de s es mayor que 1. Por ejemplo, si sustituimos s igual a 2, tenemos la suma de todos los inversos de todos los naturales elevados al cuadrado. Si vais sumando con la calculadora 1 a 1, veréis que esto se acerca a un valor determinado cada vez más.

Y es que el gran Euler demostró en 1735 que este valor es exactamente... Pi al cuadrado partido por 6. Podéis comprobarlo, es algo súper chulo. Si sustituimos S igual a 4, también la suma tiende a otro valor.

En este caso, pi a la cuarta partido por 90. Y sí, también es bastante sorprendente que pi aparezca por aquí. Pero bueno, ¿qué pasa si metemos S igual a menos 1? Pues tendríamos la suma de los naturales, que todo el mundo sabe que no converge a ningún valor, ¿no? Y bueno, lo mismo pasa con S igual a 1. Obtenemos la serie armónica, que ya hemos demostrado en el canal que tampoco converja nada.

Esta es una de las razones por las que cuando se empieza a trabajar con la función z se tiene que exigir que la parte real de s sea mayor que 1. De lo contrario, la suma infinita no converge. Y es que claro, estamos hablando de partes reales, por lo que la variable s puede tomar valores complejos. Pero, ¿cómo hacemos eso? Por ejemplo, para calcular z de 2 más i, tendríamos que evaluar cosas como esta.

Así que, ¿qué significa multiplicar 1 partido 2, 2 más i veces? El primer paso es separar la parte real de la imaginaria. El 2 elevado a 2 lo tenemos controladísimo, lo hemos hecho toda la vida, pero el 2 elevado a i, pues, no tanto.

El truco siempre es parecido. 2 elevado a i es lo mismo que el número de Euler elevado a i por el logaritmo de 2. Y esto a su vez puede pasar al numerador cambiando de signo. Los más avispados ya os habréis dado cuenta, pero de esto también hemos hablado en el canal. El número de Euler elevado a i por otro número real tiene módulo 1 y se sigue de la fórmula de Euler que veis abajo, porque el seno al cuadrado más el coseno al cuadrado es 1. Esto quiere decir que multiplicar por e elevado a i por algo, en el plano complejo, no es más que una rotación.

Si os habéis perdido un poco, no os preocupéis porque también hay una forma visual de verlo. El punto azul va a ser nuestra variable s, y nos vamos a fijar en cuánto vale 1 partido 1 elevado a s, que es 1, más 1 partido 2 elevado a s. Si s es 2, pues todo bien, lo tenemos controlado.

1 más 1 cuarto es 1 con 25. Lo que pasa cuando cambiamos este s a los complejos es que el segundo valor sufre una rotación, pero la longitud sigue siendo la misma, sólo que rotada. Esto es a lo que me refiero con que elevar a un número complejo provoca una rotación. Pues la idea es que si en vez de considerar solo estos dos sumandos, consideramos todos los infinitos sumandos de la función z, podemos visualizar cuánto vale exactamente donde acaben los infinitos segmentos. Es decir, que moviendo el punto azul podemos ver lo que vale la función z en el punto que queramos. Y es muy chulo porque lo que está pasando cuando la parte imaginaria no es cero, es que todos los segmentos forman una especie de espiral, porque cada uno de ellos está rotando.

Genial, pero tenemos un problema, solo podemos mover el punto azul por este lado del plano. por la parte real de ese mayor que 1 y eso a los matemáticos pues no nos gusta mucho siempre que se pueda nos gusta extender las definiciones más allá de las suposiciones iniciales y este es uno de esos casos queremos poder ver cuánto vale esta función pero no sólo en la parte de la derecha sino en todo el plano complejo y esto a grandes rasgos es lo que se conoce como extensión o prolongación analítica con técnicas que se escapan un poco para un vídeo de divulgación se puede demostrar la siguiente igualdad que relaciona la función zeta de Riemann, la función seno y la función gamma de Euler. Y de ella podemos aprovechar lo siguiente. En la derecha tenemos la función zeta evaluada en 1 menos s, mientras que la izquierda solo evaluada en s. ¿Y qué significa esto?

Pues algo muy importante. Por ejemplo, podríamos sustituir s igual a menos 1, ya que todo lo de la derecha lo conocemos, también zeta de 2. De esta forma, estaríamos extendiendo la definición de la función al punto menos 1, donde antes no se podía. Y con algunos cálculos se llega a que la función zeta de Riemann en menos 1 valdría exactamente menos 1 partido por 12. Y eso no solo se puede hacer con el menos 1, sino con casi todo el plano complejo.

Pero espera un momento, sabíamos hasta ahora que la función zeta de Riemann era esta suma infinita. Así que, ¿quiere decir esto que si sustituimos en la función s igual a menos 1, que es la suma de todos los naturales, tenemos que esto es menos 1 partido 12? Entonces, ¿me estás diciendo que la suma de los naturales, que no converja nada, Además es una fracción y además negativa?

Pues obviamente no, pero sí que tienen mucha relación y es debido a los sumatorios de Ramanujan, un genio indio matemático del que hablaremos algún día. Lo que está pasando, como antes, es que en la definición inicial la de la suma infinita sólo es válida cuando la parte real de S es mayor que 1 y este no es el caso. No se puede igualar la suma de los naturales a la función Z, aunque esta valga menos un doceavo. Así pues, ya tenemos una forma de dotar de un valor a nuestra función Z de Riemann para todos los puntos del plano.

Hemos extendido la definición inicial. Bueno, a todo el plano complejo menos para S igual a 1, que tiene una singularidad, pero no nos importa mucho ahora. Y como os decía, ahora también podemos pasar al lado izquierdo del eje de coordenadas. En resumen, para la región de la derecha la función Z es la suma infinita, que tenemos bastante controlada.

Pero para la región de la izquierda tenemos que usar otras técnicas, y ahí es donde empiezan los problemas. De momento podemos concluir que ya sabéis lo que es la función zeta de Riemann, así que vamos por buen camino. Una de las cuestiones más importantes cuando hablamos de funciones es ver dónde se anulan. Lo mismo podemos hacer con la función zeta de Riemann.

Se puede mostrar fácilmente que si la parte real de s es mayor que 1, entonces el sumatorio infinito no se anula en ningún punto. Y con la parte real de s menor que 0 pasa algo curioso. Fijaos que todas estas funciones de la derecha 2 elevado a algo, pi elevado a algo, la función gamma y la función zeta derriban en este caso, ninguna se anula cuando s es menor que cero.

Por lo que la única esperanza es ver dónde se anula este seno. Y tachán, como muchos sabréis, esto ocurre cuando lo de dentro del seno es un múltiplo de pi, que, como además estamos en s menor que cero, son precisamente los pares negativos. En estos infinitos puntos nuestra función protagonista se anula, y son los que se conocen como ceros triviales, porque son súper fáciles de encontrar.

Pero todavía nos queda otra región. ¿Qué pasa cuando la parte real de S está entre 0 y 1? Pues que aquí es donde empiezan los problemas.

Pensad en un número real del 0 al 1. 1 menos ese número también va a estar entre 0 y 1, por lo que la función Z de la derecha no nos está dando información, ya que está en la misma franja. Esta es la razón por la que de esta expresión no se puede sacar tanta información, y por tanto no es posible determinar dónde se anula en esta franja. Es lo que se conoce como la banda crítica, la parte real entre 0 y 1, el lugar donde están todos los otros ceros de nuestra función zeta de Riemann, también conocidos como ceros no triviales.

Con toda esta información ya podéis entender la hipótesis de Riemann. Lo que nos dice es que todos los demás ceros, los ceros no triviales de la función zeta de Riemann, se encuentran en algún lugar en esta línea, donde la parte real es igual a un medio. Hasta el día de hoy nadie lo ha demostrado ni tampoco lo ha desmentido. aunque los cálculos computacionales sí que apoyan la idea. Aún así, como siempre os digo, hasta que no haya una demostración no se puede afirmar ni desmentir nada.

Otra forma de visualizar la hipótesis de Riemann es la siguiente. Ya hablamos en un vídeo anterior que podemos dibujar una función compleja utilizando colores. A cada número complejo le asignamos un color dependiendo de su ángulo con el eje X.

Por ejemplo, este sería amarillo. De esta forma, pintando cada número complejo del color de la función evaluada en ese punto, podemos graficar funciones fácilmente. Por ejemplo, esta es la función f de z igual a z. Os dejo también el enlace al vídeo por aquí arriba.

Una cosa muy importante de estas representaciones con colores es que en los lugares donde se juntan todos los colores en sentido antihorario, ahí hay un punto donde la función se anula. Por ejemplo, en este caso es súper fácil, z igual a 0, la función se anula. Pues lo interesante es que también podemos dibujar la función z de Riemann, que es esta de aquí.

Y ya solo con los ojos podemos afirmar varias cosas. Hay puntos a la izquierda donde se juntan todos los colores. Si os acordáis, era donde estaban los ceros fáciles, los triviales. Pero otra cosa más, por ahí arriba también se juntan los colores en ese sentido, y justo abajo también. Y esto quiere decir que hay dos puntos más donde se anula esta función.

Estos son los primeros dos ceros no triviales, y el de arriba es 1 partido por 2 más aproximadamente 14.13 por i. Y lo que os estaba diciendo, su parte real es un medio, precisamente lo que anuncia la hipótesis de Riemann. Si dibujásemos más rango de la función, encontraríamos infinitos ceros más en esta línea. Si volvemos a lo de antes y aplicamos la función z a puntos de esta recta, se pueden ver que efectivamente el 14.13 pasa por el origen, es decir, que la función se está anulando. De hecho, está demostrado que hay infinitos puntos en los que pasa esto en esta recta.

Pero no si fuera de ella hay más. Hay un millón de dólares de diferencia. Descubrir que hay algún punto fuera de esta línea donde también se anula la función zeta de Riemann resolvería la hipótesis de Riemann, pero de forma negativa. Pues ya está, ya hemos entendido la hipótesis de Riemann.

Ha costado un poquito, pero ya ha pasado lo peor. Ahora la pregunta que os hago es ¿Por qué conocer dónde se anula una función es tan importante para las matemáticas? La respuesta es que, entre otras cosas, la función zeta de Riemann juega un papel crucial si queremos entender mejor a los números primos, y os lo voy a mostrar.

Mirad estas dos expresiones infinitas. Si multiplicamos todos los términos de la izquierda por todos los de la derecha, al final acabaremos teniendo fracciones en los que el denominador serían todas las posibles combinaciones de doses por treses elevados a s. De la misma forma, si en vez de solo el 2 y el 3 lo hacemos con todos los otros números primos, lo que obtenemos es todas las posibles combinaciones en el denominador de multiplicaciones entre primos y sus potencias, y todas ellas elevadas a S.

Pero cuidado, el teorema fundamental de la aritmética nos dice que todo entero positivo es producto de primos de forma única, por lo que en realidad todas estas fracciones posibles son justamente la suma de todos los inversos de naturales, y además elevados a S. Es decir, es justamente la función Z de Riemann. Y bueno, no os voy a liar más, pero también se puede ver que la suma de dentro de cada paréntesis, que son geométricas, son estos valores de aquí.

Esto quiere decir, señoras y señores, que tenemos la siguiente expresión. Teorema como mínimo que relaciona directamente la función protagonista del vídeo con un producto infinito con todos los números primos. Pues bueno, preparaos porque ahora viene lo verdaderamente bonito.

Vamos a definir la función contadora de primos. En matemáticas la escribimos como pi de x, aunque en un principio nada tiene que ver con el número pi. Esta cuenta cuántos primos hay por debajo del número x.

Por ejemplo, pi evaluada en 2 es 1, ya que solo tenemos el 2 primo. Pi de 3 es 2, ya que tenemos como primos el 2 y el 3. Y así con todos los demás. También se puede representar en una gráfica, y como veis es una función que tiene forma de escalera, porque cuando aparece un primo, pues simplemente se le añade uno. La cosa está en que, en un principio, es difícil determinar esta función cuando el X es muy grande.

Los métodos que tenemos son muy costosos computacionalmente, y es por eso que los números primos se utilizan hoy en día en criptografía, en tema de contraseñas y muchas más cosas. Pero bueno, la cosa es que sí hay una forma de aproximar muy bien esta función, y tiene muchísimo que ver con la función Z de Riemann. El genio que impulsó todo esto fue, como no, el protagonista del vídeo, Riemann, que el tío, en 1859, escribió un paper de tan solo 8 páginas sin ninguna demostración, donde estaban todas las ideas que os voy a contar. Y preparaos porque vais a flipar. Uno de los primeros resultados en la búsqueda de la distribución de los números primos se conoce como, vaya que casualidad, el Teorema de los Números Primos.

Y dice, básicamente, que si quieres aproximar el número de primos menores que X, simplemente haz la operación X... partido por el logaritmo natural de x. Eso es. Esto te va a dar una aproximación bastante decente si el x es lo suficientemente grande, tendiendo su cociente a 1 cuando x tiende a infinito. Esto estaba en las ideas de Riemann, pero sin demostraciones, así que fue demostrado matemáticamente casi medio siglo después por el matemático belga Poissin y el francés Hadamard de forma totalmente independiente.

Pues nada, vamos a compararlo en una gráfica. En azul tenéis el número exacto de primos menores que x, pi de x. y en amarillo lo que nos proporciona el teorema de los números primos, su aproximación.

Y en la gráfica de la derecha tenéis el cociente entre las dos funciones, que va a tender a 1 cuando x tienda a infinito. Si ampliamos el rango, como podéis ver, bien, más o menos lo aproxima, pero un poquito decepcionante, ¿no? Pues sí, pero no os preocupéis, porque gracias a nuestro príncipe de las matemáticas, el señor Gauss, con una tabla de números primos que él mismo había construido, dedujo que el número de primos menores que x debería aproximarse bastante a esta integral.

conocida como logaritmo integral. Y no estaba nada equivocado, porque para valores grandes también se cumple que el cociente es 1. Y además, si lo graficamos, vemos que es muchísimo mejor. Al principio, hasta los 100 números, pues tampoco parece que sea gran cosa, ¿no?

Se parece bastante a la del teorema de los números primos. Pero la cosa cambia cuando ampliamos el rango. Y como podéis observar, el logaritmo integral es muchísimo mejor que la gráfica amarilla. Pero bueno, tampoco la aproxima tanto, cada vez como que se va separando más.

Un poco decepcionante también, ¿no? Pues sí, y aquí es donde entra Riemann. Construyó la siguiente función, llamada función de Riemann.

No hay que confundirla con la función zeta de Riemann. Esta de aquí es una suma infinita de funciones logaritmo integrales, la que justo acabamos de ver. También utilizaba la función de Moebius, la mu esta rara que aparece. Tampoco voy a entrar en muchos tecnicismos, pero para que os hagáis una idea, simplemente es una suma de logaritmos integrales con diferentes exponentes.

Lo que sí quiero que veáis es la locura que es esta función aproximando a los números primos. Dibujamos las aproximaciones de antes del mismo color. En amarillo, el del teorema de los números primos, y en verde, el logaritmo integral. Pues para que flipéis, la función de Riemann para aproximar a los primos es esta roja de aquí, lo cual es una auténtica locura. Prácticamente clava el número de primos menores que x Y es un auténtico logro para las matemáticas y el entendimiento de la distribución de los números primos ¿A que ya no decepciona tanto?

Pues esperad porque lo que viene ahora os va a reventar la cabeza Estaréis pensando, hostia Mike, mola lo de los números primos Pero ¿qué tiene que ver todo esto con la hipótesis de Riemann? Tremenda chapa nos estás pegando, ¿no? Pues cuidado, porque tiene que ver muchísimo Usando todos los ceros de la función zeta de Riemann en verde El propio Riemann pudo construir una función que es, cuidado, exactamente igual a la función contadora de primos. Bueno, siendo técnicos casi igual, menos en las discontinuidades, donde toma el valor medio. Por eso la hipótesis de Riemann es tan importante.

Si podemos entender dónde están los ceros de la función zeta de Riemann, podríamos entender mucho mejor la distribución de los números primos. Y para que acabéis de ver el vídeo, no solo sintiendo, sino visualizando lo bonitas que son las matemáticas, os voy a dejar la mejor gráfica del vídeo. En rojo vais a tener la función de Riemann, pero cada vez añadiendo más ceros de la función zeta de Riemann.

Y es que sí, con cada vez más ceros, la gráfica roja se aproxima cada vez más a la distribución de los números primos. Lo que estáis visualizando es increíble, y es que los ceros de la función zeta de Riemann controlan la fluctuación de los números primos. Es decir Están haciendo bailar a la función de Riemann para tocar estos primos. Y ya para terminar, con dados numéricos y haciendo honor al milenio, sabemos que hay 78.498 números primos por debajo del millón.

Considerando las funciones de antes, el logaritmo integral y utilizando 10 y 100 ceros de la función z, estas son las aproximaciones que obtenemos del número de primos menores que un millón. Entonces, teniendo una fórmula para los números primos, ¿quiere decir esto que podemos conocer? todos los primos que queramos y que la seguridad del planeta está en peligro?

Pues no, los ordenadores no tienen tanta precisión para números tan grandes, así que podéis estar tranquilos. Pero como observación, con solo 100 ceros de la función ZRiman conseguimos un error de un 0,008% en el número de primos, lo cual es una locura. Hasta aquí llega el primer vídeo de la saga de los problemas del milenio. Si os ha gustado, pues siempre podéis regalarme un like.

También quería agradecer la ayuda recibida por Juan Luis Barona, profesor de la Universidad de La Rioja aquí en España. Sin él, este vídeo no sería posible. Mil gracias, en serio. Y nada más, nos vemos en el próximo.

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Resumen de la Hipótesis de Riemann