Y a-t-il un point en commun entre se faire un café, l'entrepreneuriat et un robot ? La réponse est oui, et ça s'appelle les fonctions. Prenons l'exemple d'un robot.
Si on donne à notre robot un nom, on va l'appeler F, comme abréviation de fonction. Imaginons que notre robot, il nous calcule les carrés des nombres. Ça veut dire, pour n'importe quel nombre X qu'on lui donne, Lui, il nous calcule son carré, f de x.
Par exemple, pour le moins 2, moins 2 au carré, moins 2 fois moins 2, ça fait 4. Pour le 1, on a 1 au carré, ça fait 1. Pour le 2, ça fait aussi 4, donc on l'a déjà. Et pour 3, ça fait 9, parce que 3 au carré, c'est 3 fois 3, égale à 9. Alors, l'ensemble des x, ça s'appelle... l'ensemble de départ, parce que c'est les données d'entrée. Ou bien, ça s'appelle aussi le domaine de définition.
Et d'où ça vient cette dénomination ? C'est parce que les données d'entrée doivent être compatibles avec notre fonction. Prenons l'exemple d'une machine à café.
Dans une machine à café, dépendant du type de machine, on peut mettre du café en poudre, mais on ne peut pas, par exemple, mettre de la farine. Alors, l'ensemble de sortie s'appelle l'ensemble d'arrivées. Ça s'appelle aussi l'ensemble des images. Parce que qu'est-ce qu'il fait notre fonction ?
Elle prend les données d'entrée et elle nous calcule une image de ces données d'entrée. Et d'ailleurs, puisque les données de sortie c'est les images, les données d'entrée s'appellent aussi les pré-images. Donc images pour la sortie et pré-images pour l'entrée.
Comme tu peux remarquer, un élément x, c'est-à-dire une préimage, peut avoir une seule image, qui est dans ce cas-là, par exemple, 9. Par contre, une image peut avoir une ou plusieurs préimages. Par exemple, ici, le 4, il a comme préimage le moins 2 et le 2. Si on reste dans l'exemple de la machine à café, ça dépend du type de la machine, bien sûr. C'est humain.
des graines de café, elle va te sortir ton café liquide. Si tu mets la poudre, elle va aussi te sortir de café liquide. Donc, l'image qui est dans ce cas-là le café liquide, il a deux pré-images qui sont soit les graines, soit la poudre. Par contre, quand tu vas mettre, par exemple, la poudre, il y a une seule sortie, ça veut dire qu'il y a une seule image qui va être...
le café liquide, elle ne va pas sortir du lait. Bien sûr, mathématiquement, notre fonction se note d'une manière plus simple, qui est de faire le nom de la fonction, ça veut dire la lettre qui lui correspond, on peut l'appeler f parce que c'est fonction, mais on peut aussi utiliser d'autres lettres. On écrit deux points, on écrit l'ensemble de départ, flèche, ensemble d'arrivée, en bas, on écrit x, f du x, ou bien si ça a sa... ça s'appelle g de x, ou bien ça s'appelle h de x.
Donc ça se lit f qui va de l'ensemble D vers l'ensemble A, qui à x associe l'image f de x. Exemple, donc si on revient sur l'exemple d'avant, qu'on avait représenté, notre petit robot, la fonction f, elle va de l'ensemble, on avait vu, moins de 1, 2, 3, vers l'ensemble 1, 4, 9, tel qu'à chaque élément. x, on associe x². D'une manière encore plus simple, et tu remarqueras dans la plupart des exercices, on note la fonction tout simplement en écrivant f du x égale à son expression.
Par exemple, dans le cas de notre exemple, c'est x². Donc f du x égale à x², sans noter l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée, parce qu'on verra bien que dans la plupart des cas, c'est à nous de les chercher.