Lezione di Algebra Lineare

Introduzione

• Continuazione degli argomenti di algebra lineare.
• Concetti chiave: combinazione lineare e generatori di uno spazio vettoriale.
• Importanza del concetto di base per uno spazio vettoriale.

Spazio Vettoriale e Combinazioni Lineari

• Consideriamo uno spazio vettoriale, denotato come V, e n vettori v1, v2, ..., vn appartenenti a V.
• Un vettore v appartiene a V se è una combinazione lineare di v1, v2, ..., vn.
• Esistono scalari A1, A2, ..., An appartenenti a K (numeri reali o complessi) tali che:
  • v = A1 * v1 + A2 * v2 + ... + An * vn.*

Esempio 1

• Vettore: (2, -4) come combinazione lineare di (1, 1) e (0, 2):
  • 2 * (1, 1) - 3 * (0, 2) = (2, -4).

Esempio 2

• Vettore (2, 3) come combinazione lineare di (1, 0) e (0, -1):
  • A1 * (1, 0) + A2 * (0, -1) = (2, 3).
  • Risoluzione del sistema:
    • A1 = 2
    • A2 = -3.

Esempio 3

• Verifica se (1, 5, 3) è combinazione lineare di (1, 0, 2) e (-1, 0, 2) in R3:
  • A1 + A2 * (-1) = 1
  • 0 = 5
  • A1 + A2 * 2 = 3
  • Il sistema mostra un'equazione impossibile (0 = 5).

Concetto di Generator

• Definizione: V1, V2, ..., Vn sono generatori dello spazio V se ogni vettore v in V può essere scritto come combinazione lineare di V1, V2, ..., Vn.
• Se esiste un vettore v che non può essere scritto come combinazione lineare di V1, V2, ..., Vn, allora non generano lo spazio.

Esempio di Generator

• Vettori v1 = (1, 0), v2 = (1, 1), v3 = (-1, 1) in R2:
  • Scegliere un vettore generico (x, y) in R2 e verificare se è combinazione lineare di V1, V2 e V3.
  • Risultato: è possibile.

Esempio di Non Generator

• Vettori v1 = (1, 0, -1) e v2 = (1, 0, 1) in R3:
  • Non generano R3 perché non possono produrre un vettore con una componente y != 0.

Conclusione

• Importanza di comprendere il concetto di generatori e combinazioni lineari.
• La prossima lezione tratterà dei vettori linearmente indipendenti e del concetto di base di uno spazio vettoriale.