Ciao a tutti ragazzi, ben ritrovati in questa lezione dove continueremo il discorso sempre su argomenti di algebra lineare. Nelle scorse lezioni abbiamo visto il concetto di spazio vettoriale, sottospazio vettoriale. Adesso dobbiamo fare un passettino avanti, cioè dobbiamo introdurre il concetto di combinazione lineare e il concetto di generatori di uno spazio vettoriale, perché è quello che ci consentirà di capire il concetto di...
base di spazio vettoriale. Il concetto di base per uno spazio vettoriale è uno dei più importanti in questa disciplina. Ovviamente, se non parliamo di combinazione lineare, che poi è un concetto davvero molto semplice, però è utilizzato spesso, ovviamente non si può andare avanti. Allora, guardate, vi presento il discorso, non solo a livello teorico.
Ora faremo degli esempi, perché con gli esempi sì. acquisisce meglio il concetto e non si dimenticherà mai più. Allora, consideriamo di avere uno spazio vettoriale. Attenzione, potrebbe essere anche un sottospazio, cioè poco importa. Per esempio, cosa potete pensare nella vostra mente?
R3, ma potete pensare R4, quello che volete. Ovviamente su un campo K, quindi o i numeri reali o i numeri complessi. Ora, considerate di avere questo.
n vettori, un vettore v1, v2, vn, che appartengono a questo spazio vettoriale. Ora, cosa vuol dire che un vettore v, lo sto chiamando v in rosso, che ovviamente appartiene sempre, quindi appartiene sempre allo spazio questo qui blu, vettoriale v. Quindi cosa vuol dire che v... E scrivete quello che dico.
È combinazione lineare di V1, V2 e Vn. Vuol dire che è possibile trovare, quindi esistono, dei numeri, degli scalari, chiamiamoli A1, A2, An, appartenenti, attenzione, a un campo K. Potrebbero essere o numeri reali, come ho detto, o numeri complessi, tale che moltiplicando a con 1 per v con 1 più a con 2 per v con 2 più puntini, puntini, puntini, a con n per v con n, questo dà il vettore v. Quindi ricapitoliamo cosa vuol dire che v è combinazione lineare di v1, v2 e vn.
Vuol dire che è possibile determinare dei numeri, degli scalari appartenenti ai reali o ai complessi, tale che questo vettore v lo posso scrivere come a con 1 v1 più a con 2 v2 più a con n più con n. Guardate ragazzi, è troppo semplice. Facciamo questo esempio qui.
Se io considero, ad esempio, che vi posso dire lo scalare 2 che moltiplica 1 1, meno lo scalare 3... che moltiplica 0 e 2. Quando risulta, guardate, 2 per 1, quindi per la prima componente, fa 2. Meno 3 per 0, 0, quindi 2 meno 0 risulta uguale a 2. E poi 2 per 1, 2, quindi 2 meno 3 per 2, 6. 2 meno 6 fa meno 4. Guardate, è molto semplice il concetto. Cioè, il vettore 2 meno 4, che sto sottolineando in rosso, è come se fosse v. Praticamente è combinazione lineare di questi due vettori 1,1, quindi è 0,2. Attenzione, 1,1, 0,2, a che appartengono? Allo spazio vettoriale r con 2. È un esempio, quindi per non chiamarlo ovvio ovviamente, questo già è un esempio particolare.
Sì, perché guardate, esiste in questo caso un numero, quello che chiamo a con 1, uno scalare a con 1, che quindi è 2. Esiste uno scalare meno 3 tale che questa operazione mi dà il vettore appunto 2-4. Quindi 2-4 è combinazione di questi due vettori secondo questi coefficienti. Questi vengono chiamati anche i pesi. Ma guardate ora, voglio fare un esempio lievissimamente più... C'è più...
Questo è troppo semplice. Allora, guardate, mi metto sempre in R2 per semplicità, ma potrei mettermi anche in R3, in R4, solo che i conti aumentano e quindi staremo di più, ma è inutile. L'importante è capire il concetto, perché capendo le cose semplici si riescono a capire le cose più complesse, non difficili, complesse, perché nulla è difficile.
Attenzione, non sono discipline semplicissime. da prendere alla leggera, però hanno la loro logica e può essere anche piacevole. Quindi, torniamo a noi. Ora io considero tre vettori, per esempio, anzi due vettori, v con 1. Allora, e scelgo 1, 0. Come v con 2 scelgo 0, ed 1. Come?
E va bene, va bene questo qui. Ora, prendo... Un vettore, anzi magari che so, metto qui meno 1, meno 1, perfetto. Allora, mi chiedo il vettore v. che sono ad esempio 2 e 3. Questo vettore è combinazione lineare di questi due vettori, cioè, in altre parole, riesco a trovare dei coefficienti a con 1, quindi questi scalari, ed a con 2, tale che è praticamente moltiplicando a con 1 per il primo vettore 1,0. Questo è d con 1. Più, ovviamente, il secondo vettore 0 meno 1, quindi attenzione, la somma, quindi è un'applicazione.
Questo mi deve restituire che cosa? Il vettore 2, 3 praticamente. 2, 3. Allora, e guardate, è molto semplice.
Devo imporre un sistema. Questo è troppo semplice. Prendo a con 1 e lo moltiplico per la prima, la moltiplico per, questo numero viene moltiplicato per la prima componente, quindi a con 1 per 1 fa a con 1, e quindi scrivo a con 1. Poi vado avanti, a con 2 sempre per la prima componente, ma a con 2 per 0, inutile che metto, e quindi niente, questo deve essere uguale alla prima componente qui del vettore in rosso, quindi uguale a 2, perfetto.
A sistema con? Allora, a con 1 per 0 fa 0, lo ometto, più a con 2 per meno 1 risulta meno a con 2, quindi meno a con 2, questo deve essere uguale alla seconda componente 3. Guardate, questo già è un sistema troppo semplice, si può dire che è al risotto, ma potrebbe essere anche più complicato o per sostituzione, per confronto, fate voi. Ancora non abbiamo parlato di sistemi lineari, quindi...
Lo potete svolgere come volete voi, ma questo già è svolto. Praticamente, a con 1 deve essere uguale a 2 ed a con 2 deve essere uguale, ovviamente, a meno 3. Cioè, se al posto di a con 1 metto 2 e al posto di a con 2 metto meno 3 e faccio queste operazioni, quelle che abbiamo visto poco fa, praticamente ottengo 2, 3. Quindi la risposta è affermativa. Posso dire che 2, 3 è combinazione lineare dei vettori 1, 0 e...
0 meno 1. Facciamo un altro esempio. Attenzione, questo è importante. Allora, guardate, considero tre vettori, ad esempio.
Ma va bene, ne potrei considerare anche sempre due, va bene. Allora, v con 1. Allora scelgo 1, 0 e 2. Poi v con 2 scelgo meno 1, 0 e... Meno 2, anzi più 2, va bene. Allora, mi chiedo, per caso il vettore V, lo sto scrivendo sempre in rosso, sempre di R3, quindi ha tre componenti, allora scelgo 1, 5 e 3 praticamente. Allora, questo vettore...
e combinazione lineare di questi due, cioè per caso riesco a trovare un numero a con 1 che moltiplicherà questo vettore più un altro numero a con 2 che moltiplicherà questo vettore e mi restituisce ovviamente il vettore che ho scritto qui che è esattamente 1, 5 e 3, esatto 1 5 e 3. Allora, quindi, vediamo se questo è possibile o meno, cioè 1, 0, 2, quindi chiusa la parentesi, e poi qui, meno 1, 0 e 2. Va bene, ragazzi, guardate, al solito dovete imporre un sistema. La prima equazione, chi è la prima equazione? Guardate, A con 1 per 1 è ovviamente A con 1, perfetto.
Poi, più... a con 2 per meno 2, quindi è meno a con 2, questo deve essere uguale alla prima componente del vettore, quello scritto in rosso, che è 1. Ed è d'accordo, a con 1 meno a con 2 deve essere 1. Fino a qui tutto bene. Ora guardate qui, attenzione, questo è un sistema. a con 1 per 0, 0, quindi inutile che metto 0, più a con 2 per 0, 0, inutile che metto 0, quindi Posso mettere solamente uno zero, cioè è inutile che metto zero a uno più zero a due, metto direttamente zero. Attenzione, attenzione, ecco, colpo di scena uguale a cinque stop.
Mi posso fermare qui. Inutile che faccia con uno per la terza componente e a con due per la terza componente uguale a quello che ho scritto qui, tre. Non ha senso. Già in questo sistema...
ho trovato un'equazione impossibile, cioè 0 uguale a 5. Quindi posso dire che questo vettore è combinazione lineare di questi due? No, non riuscirò mai a trovare nessun numero agon 1 e nessuno scalare appunto agon 2, tale che questa combinazione risulti uguale a questo vettore. Quindi, vedete, non è detto che...
Un vettore è sempre combinazione lineare degli altri. Questo è un esempio, questa è proprio una prova. Quindi, detto questo, possiamo passare adesso a parlare del concetto di generatori di uno spazio vettoriale.
Lo vediamo immediatamente. Allora ragazzi, per quanto riguarda il concetto di generatori, questo concetto si riallaccia a quello di combinazione lineare, in pratica. Allora, prima diamo la definizione e ora faremo qualche esempio.
Un esempio per esempio nello spazio R3 o R2, ora vediamo. Allora, guardate intanto. Immaginate di avere uno spazio vettoriale su un campo K.
e siano V1, V2 e Vn dei vettori sempre appartenenti a questo spazio, d'accordo? Ora, diremo che, quindi, munitevi di carta e penna e scrivete tutto quello che dico, compreso gli esempi, diremo che V1, V2 e Vn sono dei generatori per lo spazio V, oppure si dice che V1, V2 e Vn generano lo spazio V. se, attenzione, scelto un qualsiasi, qualsiasi ragazzi, vettore v, questo qua in rosso, appartenente allo spazio, allora questo vettore v grande, praticamente, v piccolo, rosso, questo qui che appartiene sempre a v, lo posso sempre scrivere, Come combinazione lineare, quindi la combinazione lineare è il concetto visto poco fa. Quindi lo posso scrivere come combinazione lineare di v1, v2 e vn. Quindi ci sarà a con 1 che moltiplicherà v con 1, più a con 2 che moltiplicherà v con 2, più puntini, puntini, a con n che moltiplicherà, appunto, v con n. E quindi li scrivo.
Mantengo la notazione blu, quindi a1 per v1, a2 per v2, aN per vN. Attenzione ragazzi, se ad esempio riesco a trovare anche un solo, ne basta uno, vettore v, di questo sempre dello stesso spazio, ma che non è combinazione lineare di questi, allora già è sufficiente per dire che mi dispiace, ma... In questo caso V1, V2 e Vn non riescono a generare V, ma facciamo un esempio così memorizzate meglio questi concetti. Guardate, molto semplice. Allora, decido di fare un esempio, tanto per non fare troppi conti, in R2.
Quindi mi sto mettendo in R2. Allora, ora io... Invento dei... li sto preparando così a casaccio questi esercizi. Allora, decido, vi chiedo, dati i vettori v1.
Allora, chi posso scegliere ad esempio? 1 e 0 ad esempio. Poi, v2 scelgo 1 ed 1. E infine, come v3 scelgo ad esempio...
meno 1 ed 1. Perfetto. Vi chiedo, questi tre vettori generano R2? Cioè, sono dei generatori? Intanto una cosa, sia V1, sia V2 che V3 appartengono a R2, perché sono vettori a componenti reali, a due componenti. Se ad esempio, apro una parentesi, avessi dato 1, 0, 0, 1, 5, 8, cioè vettori a tre componenti, basta.
Finivo qui, ma era logico, quindi non potevano mai generare R2. Va bene, ma non è questo il caso. Allora, ora devo applicare la definizione. Per caso, scelto un qualsiasi vettore, il più generico di R2. Ragazzi, chi è il più generico vettore di R2?
Quando vi viene detto... scegli un generico vettore di R2. Voi non dovete dire, ad esempio, 8 e 9, perché voi mi state dicendo un caso particolare. 8 e 9. Neanche 10 e 11, perché mi state dando un caso particolare.
Quando io vi dico, dimmi chi è il più generico vettore di R2. Di R2. Tu mi devi dire, allora, io scelgo il vettore, quello che è in rosso, x, y.
più generico di questo, vedete? Cioè, è il più generico. Quindi x e y a livello letterale.
In questo caso, va bene, devo applicare la definizione, cioè questo vettore lo posso scrivere come combinazione lineare di questi tre. Quindi scrivo a con 1 per v1, lascio uno spazio, più a con 2 per v2, lascio uno spazio, più a con 3. per V3, quindi vado a scrivere per completezza i vettori per e stesso, quindi qui metto 1, 0, più A con 2 che moltiplica 1 1 più A con 3 che moltiplica meno 1 1. Allora, guardate cosa faccio. Faccio quello che ho fatto poco fa in altre parole. Allora, impongo un sistema.
Allora, molto banale. A con 1 per 1 risulta essere uguale ad A con 1. Perfetto, avanti. A con 2 per 1 più quindi A con 2 e infine... Più a con 3 per meno 1 risulta uguale ad a con 3. Questo deve essere uguale, lo scrivo in rosso, alla prima componente, quindi x.
Perfetto. A sistema, e va bene, ora c'è la seconda e ultima equazione. A con 1 per 0 non si scrive.
Più a con 2 per 1 scrivo a con 2. E infine a con 3 per 1 scrivo... a con 3. Questo deve essere uguale ad y. Perfetto, quindi è uguale ad y.
Allora, guardate, ragazzi, ci sono due equazioni e tre incognite, a con 1, a con 2, a con 3. Ancora non abbiamo parlato di sistemi lineari a livello rigoroso, lo farò ora nelle lezioni seguenti. Quindi parleremo del teorema di rusce capelli, sistemi indeterminati, sistemi determinati, ma a livello ora di gioco guardate come dovete trattare per adesso questa situazione qua. Allora, ci sono due equazioni e tre incognite. Fate finta che a casa vostra ci siano due sedie e aspettate tre amici, a con uno, a con due, a con tre.
Benissimo. Due si siedono mentre un amico rimane lì. libero di girovagare per la casa. Non si siede in altre parole. Scusate il paragone poco tecnico, ma è per rendere l'idea.
Quindi guardate che cosa succede. Dobbiamo decidere chi decidiamo di scegliere volontario come incognita libera. A con 1, A con 2, A con 3. Allora, io sto scegliendo A con 3. Cosa vuol dire? Che A con 3 lo porto al secondo membro.
Quindi, praticamente, A con 3 è l'incognita libera. Libera vuol dire che voi potete dare qualsiasi valore. Vi svegliate la mattina e pensate a un valore datato ad A3 ed è l'esito, non sbaglierete mai.
Quindi, in questo caso, scriverò A1 più A2. Ora, meno A3 lo porterò dall'altra parte. E poi, qui ovviamente scrivo A2 uguale. Il meno A3 lo porto dall'altra parte. Infatti, guardate, lo sto portando, lascio un po'di spazio, meno a con 3, anche qui questo meno a con 3 lo scrivo come più a con 3, incognita libera.
Ovviamente in rosso scrivo sempre x, ed e y, perfetto. Allora, guardate, a con 2 è stato esplicitato, a con 2 è uguale a y meno l'incognita libera. A con 1 chi è?
Voglio tutto. in funzione di a con 3 ovviamente quindi a con uno cioè al secondo membro o 3 x e y quelli rossi devo vedere solo incognite libere l'incognita libera scelta abbiamo detto che a con 3 quindi solo con allora ha comune uguale a meno a con due vedete meno a con due ma a con due chi è praticamente meno y C'è a con 2, se ci fate caso è y meno a con 3, quindi chi è meno a con 2? Meno a con 2 è me, quindi è a con 1 uguale, meno a con 2, quindi è meno y da questa parte.
Poi più a con 3, ovviamente, quindi è più a con 3, perché questo cambia disegno. Poi scrivo, ovviamente, più x. quindi sto continuando, scrivo più x e infine qua cosa c'è?
Più a con 3. Ora metto tutto in ordine. Più a con 3. Perfetto. E infine invece a con 2 ovviamente già è bello pronto. Abbiamo meno a con 3 che è pronto e ovviamente abbiamo in rosso y. E va bene.
Compattiamo tutto quindi in forma elegante. e quindi cosa otteniamo? Che A con 1 è uguale, per quanto riguarda l'incognita libera, A con 3 più A con 3 fa due volte A con 3, lo scrivo alla fine, più due volte A con 3. Invece, per quanto riguarda A con 2, l'incognita libera è meno A con 3, perfetto. La parte invece rossa è...
meno y più x, metto, io preferisco sempre l'ordine alfabetico, fatelo anche voi, più x meno y e poi c'è appunto 2a con 3 e invece qui abbiamo che cosa? y meno a con 3. Ovviamente c'è un uguale. Allora, guardate ragazzi, il concetto è molto semplice. Io...
Torniamo alla definizione. Decidiamo di scrivere, pensate, un qualsiasi vettore di R2. Questo ad esempio, guardate, sto pensando e scelgo, ad esempio, 1 e 4. Allora, questo vettore 1, 4, un qualsiasi vettore di R2, lo posso scrivere.
scrivere come combinazione lineare, cioè è possibile trovare A con 1 e A con 2? La risposta è affermativa. Intanto vi dico una cosa.
A con 3 abbiamo detto che è libero, quindi è A con 3. Ora facciamo una cosa, ragazzi, guardate. Allora, adesso scegliamo A con 3 uguale a 0. Siete liberi di scegliere qualsiasi valore, quindi scegliendo A con 3 uguale a 0, che succede? Quanto deve essere a con 1? Quindi a con 1 e quanto deve essere a con 2? Ovviamente sto scegliendo a con 3 uguale a 0. Guardate.
Se scelgo praticamente a con 3 uguale a 0, il vettore 1, 4 è modulato da questi numeri. Guardate. 1 meno 4 fa meno 3. Quindi devo scegliere a con 1 uguale a meno 3. Ovviamente questo è 0, l'abbiamo detto tante volte. Invece a con 2 quanto deve essere?
y, cioè 4, meno 0. Quindi a con 2 deve essere 4 e a con 3 è 0. Perfetto. Se scelgo 1, 4, allora se ho trovato che per avere questa combinazione lineare devo scegliere a con 1 uguale a meno 3, a con 2 uguale a 4 e a con 3 uguale a 0. Cioè se mettete qui meno 3, E al posto di a con 2 è 4, e al posto di a con 3 è 0, e fate i conti, vi risulta esattamente il vettore 1,4. Perfetto. Ma guardate ragazzi, vi voglio far notare una cosa.
Se vi sto dicendo questa cosa vuol dire che è importante, quando poi faremo il concetto di base. Lo stesso vettore, sempre lui, 1,4, è possibile sceglierlo secondo un'altra combinazione di valori? Allora.
Se adesso scelgo, guardate, A con 3, l'incognita libera, decido così a caso, mi alzo la mattina e dico A con 3 è uguale a 1. Ecco, quanto devono essere i nuovi A con 1 e A con 2? E guardate, molto semplice. Allora, per quanto riguarda A con 1, quindi, è, guarda, la stessa cosa, 1. Meno 4 meno 3, quindi siamo meno 3, più 2 per 1, 2. Quindi abbiamo detto meno 3 più 2, quanto fa? Meno 1. Quindi guardate, a con 1 ora vale meno 1, non più meno 3. Quanto vale a con 2?
Ovviamente mi devo adattare. 4, quindi y4, meno ovviamente 1. 4 meno 1, 3. Quindi, come potete vedere, il vettore 1, 4 lo posso scrivere non in un unico modo, ma lo posso scrivere in infiniti modi. Ragazzi, perché guardate, l'incognita libera ha con 3 in questo caso. Attenzione, poi farete un altro esercizio e magari l'incognita libera non è più ha con 3, ma è ha con 1. Fate voi, praticamente.
Quindi, in questo caso, il vettore 1,4 lo posso scrivere in infiniti modi, praticamente, come combinazioni lineare. Cioè, 1,4 lo posso scrivere come o meno 3 per 1,0 più 4 per 1,1 più 0, ovviamente, 0,0. Oppure, sempre 1,4 lo posso scrivere come meno 1 per 1,0. Poi... più 3 per 1,1 più 1 per meno 1,1.
Ma scegliete un'altra incognita libera, lo potete fare dopo che finisce questa lezione, niente. Ne trovate praticamente di infinite terne. Quindi, di certo posso dire, la cosa che mi interessa è che, posso dire che...
Questo vettore, quindi un qualsiasi vettore, io qua ho scelto 1,4, ma potete scegliere 50, 80, meno 1,3, quello che volete, ci saranno sempre dei coefficienti a1, a2, a3, tale che questa combinazione vi restituisce. Riduisce il vettore che voi pensate. Quindi posso dire che 1,0, 1,1 e meno 1,1 generano R2. Però attenzione, come abbiamo detto, questa cosa se la sto ripetendo vuol dire che è importante. Questo vettore non si scrive in modo unico, ma come avete avuto modo di vedere, si può scrivere in più modi.
Adesso invece faremo un ultimo esempio e poi concludiamo. in cui praticamente dei vettori non generano uno spazio vettoriale. Lo vediamo immediatamente. Allora ragazzi, ora voglio farvi un esempio quando dei vettori non riescono a generare uno spazio vettoriale.
Facciamo direttamente l'esempio. Allora, considero ad esempio come spazio vettoriale R3, quindi lo spazio dei vettoriali dei vettori a tre componenti reali. Perfetto.
Ora... Come vettori scelgo, quindi, voglio vedere se i due vettori che sto per scrivere adesso riescono a generare R3. Allora, come V1, ad esempio, scelgo 1, 0, meno 1. Mentre come V2 scelgo un esempio molto semplice, 1, 0, add 1. Mi chiedo, per caso, V1 e V2... Questa è la domanda che vi dovete fare o che vi viene chiesta. Per caso V con 1 e V con 2 generano R3?
Vediamo. Per caso, mi chiedo, scelto un qualsiasi vettore di R3, chi è il più generico vettore di R3? X, Y e Z.
Questo qua praticamente c'è chiunque siano X, Y e Z. Lo posso scrivere sempre come combinazione lineare di v1 e v2, cioè ci sarà un numero a con 1, ci sarà un numero, uno scalare a con 2, tale che moltiplicando a con 1 per il primo vettore, che sarebbe appunto 1, 0 e meno 1, più a con 2 per il secondo scalare, 1, 0, 1. C'è... Praticamente ci saranno questi due numeri, a con 1 e a con 2, chiunque siano x, y e z?
Vediamo. Allora, guardate. Al solito imponiamo il sistema, il nostro sistema.
Ormai siamo pratici. Quindi è a con 1 per 1, ovviamente la prima equazione è a con 1, più a con 2 per 1, più a con 2. Questa deve essere uguale appunto ad x. E'perfetto, x. Prima equazione fatta. Poi guardate, a con 1 per 0, 0, più a con 2 per 0, 0. Quindi cosa scrivo semplicemente?
0 deve essere uguale ad y. E già qui suona il campanellino d'allarme, quindi y. Ma guardate, io vado avanti, faccio finta di nulla. Questa è una lezione didattica. Poi, a con 1 per meno 1 risulta essere uguale ad...
meno a con 1, più a con 2 per 1, più a con 2. Questo deve essere uguale a z. Perfetto. Ora guardate, concentratevi sulla prima e sulla seconda, molto velocemente. Ricaviamoci a con 1 e a con 2 in funzione di queste componenti scritte in rosso, cioè x, y e z in generale.
E allora guardate. Lasciate stare per adesso y uguale a 0, attenzione, è importantissima questa, però guardate, allora, mettendo insieme la prima con... confrontando in pratica la prima con l'ultima, facendo la somma, cosa ottengo?
a con 1 più o meno a con 1, 0, e quindi ottengo 2 volte a con 2, quindi ottengo il doppio di a con 2 uguale a x più z. In altre parole, a con 2 da che cosa è dato? Praticamente da un mezzo, praticamente, x più z, quindi dalla semisomma x più z.
Perfetto. Ecco, ora invece voglio determinare a con 2. E va bene, per determinare in questo caso a con 2 faccio la sottrazione, quindi viene a con 1 meno a meno a con 1, viene due volte a con 1, poi questo meno questo fa 0, e poi è x meno z uguale ad x meno z. Cioè, in altre parole, a con 1 è uguale ad un mezzo per x meno z.
Perfetto! Però attenzione ragazzi, qua c'è scritto importantissimo, y uguale a 0. Quindi non lo dimentichiamo. Ecco, cioè guardate.
Allora, ora io cosa faccio? Scelgo praticamente 3. componenti, un vettore qualsiasi. E guardate, decido di scegliere il vettore che so ad esempio... Metto il vettore 2, per esempio, 0 e 3. Perfetto. Se decido di scegliere il vettore 2, 0, 3, quanto deve essere a con 1 e quanto a con 2?
Ma è molto semplice. Vediamo se vanno bene tutte e tre. Allora, per quanto riguarda a con 1, il peso, chi deve essere, a con 1 è x meno z, cioè 2 meno 3, perché questo x, questo z, 2 meno 3 fa meno 1, meno un mezzo. Quindi deve essere a con 1 meno un mezzo.
A con 2 quanto deve essere? È la somma diviso 2, quindi 2 più 3 che fa 5 diviso 2, quindi 5 mezzi. E attenzione, qua cosa c'è scritto?
Y che è 0, 0 uguale a 0. Perfetto! Ma attenzione ragazzi. Qui l'ho fatto apposta.
Siamo stati fortunati. Perché ora io mi chiedo, aspetta, ma ora io decido di scegliere come generico vettore di R3 il seguente. Allora, scelgo 2, 1, add e 2. Perfetto.
Allora. Con questa scelta 2, 1 e 2, quindi questo è uno dei tanti vettori di R3. Quanto deve essere A con 1 e quanto deve essere A con 2? Però attenzione, deve soddisfare questo sistema. Allora, per quanto riguarda A con 1, uno potrebbe dire, va bene, è davvero semplice, basta fare 2 meno 2 diviso 2, quindi scelgo A con 1 uguale a 0. Perfetto.
A con 2 quanto deve essere? x più z, quindi 2 più 2, 4 diviso 2 fa 2. Ma attenzione, attenzione! Qua cosa c'è scritto? Che y, vedete la seconda componente, y uguale a 0. Cioè 1, praticamente 1 uguale a 0. Questa ovviamente non ha significato, non è un'uguaglianza. Allora...
Quindi non è vero che questi due vettori a tre componenti riescono a generare R3. Perché finquanto scelgo dei vettori che hanno la seconda componente uguale a 0, tutto va bene. Ma quando scelgo un vettore a tre componenti che ha la seconda componente uguale a 0, Diversa da zero, già non va più bene. Quindi questi due vettori non riescono a generare tutto R3, ma solo una parte che poi vedremo più avanti con le altre lezioni.
Intanto mi è interessato farvi capire cos'è il concetto di generatore. Quindi ecco che per questo esempio non riesce a... Vedete, i due vettori non generano R3. Mentre invece quelli che abbiamo visto in precedenza, quindi l'esempio che ho fatto poco fa, i tre vettori appartenenti a R2 riuscivano tranquillamente a generare abbondantemente ogni vettore di R2. Quindi per adesso termino qui questa lezione, ora continueremo con il concetto di base di uno spazio vettoriale.
Però prima di parlare del concetto di base di uno spazio vettoriale, base di uno spazio vettoriale, è importante capire il concetto di vettori linearmente indipendenti. Questo ora lo vedremo nella prossima lezione, che è il continuo di questa. Quindi spero che questa piccola video-lezione sia stata di vostro gradimento. Arrivederci alle prossime video-lezioni. Ciao a tutti!