Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak dalam Kalkulus

Aug 24, 2024

Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak

Pengantar

  • Buku referensi: Kalkulus oleh Thomas/Finney dan Stewart, digunakan di banyak universitas di Indonesia.
  • Materi: Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak (Subbab 0.2).

Persamaan vs. Pertidaksamaan

  • Persamaan: Menggunakan tanda "=", memiliki solusi x yang terbatas (contoh: x = -2, x = 1).
  • Pertidaksamaan: Menggunakan tanda seperti ">", "<", "≥", "≤", dan solusi x yang tidak terbatas (contoh: x > 2).

Penyelesaian Pertidaksamaan

  • Interval:
    • Terbuka: Tidak termasuk batas (kurung biasa).
    • Tertutup: Termasuk batas (kurung siku).
    • Semi Terbuka/Tertutup: Satu sisi terbuka, sisi lain tertutup.
  • Langkah-langkah Penyelesaian:
    • Menambahkan atau mengurangkan kedua sisi dengan bilangan yang sama.
    • Mengalikan kedua sisi dengan bilangan positif yang sama.
    • Mengalikan kedua sisi dengan bilangan negatif, membalikkan tanda pertidaksamaan.

Faktor Linear

  • Bentuk persamaan yang dapat difaktorkan menjadi bentuk linear (contoh: x² - 2x - 3 = (x-3)(x+1)).
  • Faktor linear positif jika x lebih besar dari konstanta dalam faktor tersebut.
  • Titik potong: nilai x yang membuat faktor linear sama dengan nol.

Contoh Pertidaksamaan

  • Menggunakan faktor linear untuk menentukan solusi pertidaksamaan kuadrat dan lainnya.
  • Titik uji digunakan untuk menentukan tanda dari setiap interval.

Nilai Mutlak

  • Mengukur jarak pada garis bilangan real.
  • Definisi:
    • Jika x ≥ 0, maka |x| = x.
    • Jika x < 0, maka |x| = -x.
  • Sifat-sifat Nilai Mutlak:
    • |a•b| = |a|•|b|, |a/b| = |a|/|b|.
    • |a+b| ≤ |a| + |b| (Ketaksamaan segitiga).
    • |a-b| ≥ ||a| - |b||.

Pertidaksamaan Nilai Mutlak

  • |x| < a, maka -a < x < a.
  • |x| > a, maka x < -a atau x > a.
  • Contoh: Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak menggunakan interval atau sifat-sifat nilai mutlak.

Kesimpulan

  • Pertidaksamaan dan nilai mutlak adalah dasar penting dalam kalkulus dan matematika lanjutan.
  • Pemahaman konsep interval dan nilai mutlak diperlukan untuk menyelesaikan masalah kalkulus.