Transcript for:
डिस्क्रीट मैथ्स लेक्चर नोट्स

हेलो एवरीवन इस वीडियो में पूरा डीएम यानी डिस्क्रीट मैथ्स कंप्लीट करेंगे स्पेशली फॉर योर सेमेस्टर एग्जाम मैंने इस वीडियो में बताया है कि एग्जाम पॉइंट ऑफ व्यू से कौन-कौन से टॉपिक्स इंपॉर्टेंट हैं और वहां से एगजैक्टली क्या क्वेश्चंस सेमेस्टर एग्जाम्स में पूछे जाते हैं इस वीडियो में मैंने पूरा डिस्क्रीट मैथ्स स्टार्टिंग से लेके एकदम एंड तक पढ़ाया है तो अगर इससे पहले आपने डिस्क्रीट मैथ्स कभी नहीं पढ़ा या आप इसको जल्दी से रिवाइज करना चाहते हैं दोनों ही केस में यह वीडियो आपके लिए एकदम परफेक्ट है अगर आप यह पूरी वीडियो कंप्लीट करते हैं तो आपको डिस्क्रीट मैथ सिखाने की गारंटी मेरी यहां मैंने बहुत सारे कॉलेज और यूनिवर्सिटी का सिलेबस स्टडी करने के बाद कंटेंट फाइनल किया है तो इस बात की गारंटी करता हूं कि 95 पर से ज्यादा सिलेबस तो आपके सेमेस्टर या यूनिवर्सिटी एग्जाम से मैच करेगा ही करेगा इस वीडियो में जो भी कंटेंट हमने डिस्कस किया है उसके एकदम प्रो लेवल के नोट्स का लिंक आपको वीडियो के डिस्क्रिप्शन में मिलेगा यहां नीचे टाइमलाइन पे आप चैप्टर्स देख सकते हैं जिस पे क्लिक करके आप किसी भी टॉपिक पे डायरेक्टली भी जा सकते हैं आप दुनिया में जिस जगह जगह से भी वीडियो देख रहे हैं कमेंट करके एक बार जरूर बताइएगा ताकि कमेंट सेक्शन में भारत का नक्शा बनता हुआ नजर आए ओके हेलो एवरीवन सो डायरेक्टली जंपिंग ऑन टू द टॉपिक दीज आर द इंपॉर्टेंट एट चैप्टर जो इस वीडियो के अंदर कवर करूंगा यहां पर टॉप लेफ्ट में आपको हमेशा चैप्टर नंबर दिखता रहेगा एंड जो जो इंपॉर्टेंट टॉपिक्स हैं इन एवरी पॉसिबल यूनिवर्सिटी एग्जाम वो मैंने यहां पर कंसीडर किए हैं दिस इज द टाइमलाइन आप अगर चाहते हैं किसी स्पेसिफिक सेक्शन पे जाने के तो डायरेक्टली आप जा सकते हैं एंड इट इज ऑल फन आई डोंट नो द वीडियो विल गो अराउंड सिक्स टू सेवन आवर्स बट इट्स अ मच मच मोर वच वीडियो मोर और लेस आपके यूनिवर्सिटी एग्जाम के लिए बिल्कुल परफेक्ट है इवन इफ यू आर प्रिपेयरिंग फॉर कॉम्पिटेटिव एग्जाम्स लाइक गेट एंड नेट तो उसके लिए भी टू स्टार्ट इट कैन बी अ वेरी गुड स्टार्ट पॉइंट या रिवाइज अगर आपको करना है एग्जाम पास में रिवीजन करना है तो रिवाइज इसको अच्छे से कर सकते हैं सेमेस्टर अगर थोड़ा दूर है तो इस वीडियो को कम से कम दो या तीन बार देखिए अगले दिन सुबह ये तो ऑप्शन है नहीं जल्दी से एक स्विंग में देखिए और साथ-साथ थोड़ा प्रैक्टिस भी करते जाएंगे तो आई विल ए श्योर कि अच्छे नंबर लेके आप पास होंगे टाइम वेस्ट नहीं करता हूं जल्दी से शुरू करते हैं चैप्टर नंबर वन के साथ तो चलिए सीधे बात स्टार्ट करते हैं चैप्टर नंबर वन से और डिस्क्रीट मैथ्स को स्टार्ट करना है तो सेट के बिना स्टार्ट अप कर ही नहीं सकते सिलेबस में हो या ना हो द रीजन बीइंग यार ये वो लॉजिक है जिसके बेस पे बाकी जितने भी टॉपिक्स हमें प्रपोजिशन पढ़ना है ग्रुप थ्योरी पढ़ना है ग्राफ थ्योरी पढ़ना है सब सेट से निकला है है ना तो सेट को सबसे पहले फंडामेंटली समझ के शुरू करेंगे आई विल डायरेक्टली कम ऑन टू द डेफिनेशन क्या बोलते हैं नोटिस करिए सेट्स आर द फंडामेंटल डिस्क्रीट स्ट्रक्चर्स ऑन व ऑल द डिस्क्रीट स्ट्रक्चर्स आर बिल्ड तो बाकी जितने भी डिफरेंट डिफरेंट स्ट्रक्चर्स हम यहां पे पढ़ेंगे स्पेसिफिक टू डिस्क्रीट मैथमेटिक्स उनका जो फंडामेंटल हमारा स्ट्रक्चर है ना वो सेट थ्योरी है वो सेट्स है है ना तो सेट आर यूज्ड टू ग्रुप ऑब्जेक्ट्स टुगेदर एंड फॉर्मली स्पीकिंग अगर एक बढ़िया डेफिनेशन दे तो लुक एट दिस एडजेक्टिव बड़े इंपॉर्टेंट है एन अन ऑर्डर्स ऑफ डिस्टिंक्ट ऑब्जेक्ट्स और एलिमेंट्स आर ऑफ द सेम टाइप तो दो-तीन बातें बड़ी इंपोर्टेंट है पहली बात अन ऑर्डर्स जब हम एक डिफाइन करते हैं ना जैसे मान लीजिए यहां पर हमने लिखा है 0 1 2 3 4 5 समथिंग लाइक द सी इट इज ऑफ इवन नंबर तो रो है टू है फर है सिक्स है अगर मैं पहले सिक्स लिखूं फिर फोर लिखूं फिर टू लिखूं फिर ज़ीरो लिखूं इस बात से कोई फर्क नहीं पड़ता तो ध्यान रखिएगा एज फार एज फंडामेंटल सेट थ्योरी इज कंसर्न सेट इज ऑलवेज अ अन ऑर्ड कलेक्शन आप किसको पहले किसको मतलब फॉर एग्जांपल अगर मैं ऐसा लिखूं सर कंसीडर अ सेट 1 फ एंड कंसीडर अ सेट 513 ऐसा कुछ भी रैंडम ऑर्डर में लिखता हूं तो दोनों सेट मेरे लिए डिफरेंट है क्या सेम है एकदम सेम है कोई डिफरेंस नहीं है है ना तो अन ऑर्ड कलेक्शन है वेल डिफाइंड है अब इसकी डेफिनेशन अभी मैं समझाऊ इस बात को जो यहां लिख रहा हूं ना यह वो डिफाइन करता है जिसने सेट को रिप्रेजेंट किया मतलब कहने का मतलब यह है व्हेन यू से एनसीआरटी पढ़ोगे ना आप तो वहां नोटिस करना दे नॉट से कंसीडर अ सेट बोलेगा कंसीडर अ सेट ऑफ इंटी जर्स कंसीडर सेट ऑफ फ्लोटिंग पॉइंट नंबर और लेट मी से कंसीडर सेट ऑफ x प्राइम मिनिस्टर्स ऑफ इंडिया समथिंग लाइक दिस तो आप डिफाइन करेंगे कि सेट में किस चीज का सेट है उसमें कौन से एलिमेंट स्टोर होने वाले हैं ठीक बात है एंड देन डिस्टिंक्ट कलेक्शन तो वेरी वेरी इंपॉर्टेंट क्या सेट्स के अंदर डुप्लीकेशन हो सकता है अगेन मैं जो क्लासिकल सेट थ्योरी की बात कर रहा हूं नो डुप्लीकेशन इज अलाउड तो अगर मैं 1 3 3 एंड फव लिखता हूं तो अगेन यू अंडरस्टैंड क्या ये एक वैलिड सेट है नहीं सर ये वैलिड सेट नहीं है सेट में डुप्लीकेशन अलाउड नहीं है है ना तो जब भी कोई आपसे पूछता है सेट क्या है और आप या तो बोल दो बस एक कलेक्शन ऑफ एलिमेंट्स है तीन बात ध्यान में रख के बोलो अन ऑर्डर्स कलेक्शन और वेल डिफाइंड है रैंडम मैं कुछ भी उठा के नहीं रख सकता तब बात समझ आती है कि हां यार बेसिक बात भी बहुत डिटेल में और अच्छे से पढ़ के अपन आए हैं है ना तो यहां पे देखिए अलग-अलग एग्जांपल है दिस इज अ सेट कर्ली ब्रैकेट के अंदर हम लिख रहे हैं दिस इज आल्सो अ सेट और अभी रिप्रेजेंटेशन बताऊंगा यहां पर एगजैक्टली एलिमेंट्स ना बता के प्रॉपर्टी बता रहा है तो क्या कह रहा है कि हमारा एलिमेंट है x बट x कौन है x कोई नेचुरल नंबर है तो नाउ यू नो कि इसकी यह सेट किसको डिफाइन कर रहा है नेचुरल नंबर को डिफाइन कर रहा है लाइक दिस स अगर मैं थोड़ा सा और यू नो हमारा जो सोच का दायरा है उसे थोड़ा सा बड़ा करें ऐसा नहीं है कि जिस तरह से हम लिख रहे हैं वही सेट है फॉर एग्जांपल यहां पर एक बड़ा सा सर्किल बना के कुछ इमेजेस अंदर रखी गई हैं क्या मैं नहीं बोल सकता दिस इज अ सेट ऑफ डिफरेंट शेप्स आप नोटिस करो क्या डुप्लीकेशन है जी नहीं अ और कलेक्शन रख और अगर मैं डिफाइन करूं तो आई विल से यस दीज आर डिफरेंट ज्योमेटिक शेप्स पॉसिबल हां कि ना तो ये एक वैलिड सेट है अगर मैं इसको डिफाइन करूं कंसीडर दिस इज इट अ वैलिड सेट हां ये सेट है किस चीज का सेट है बताओ सो दिस इज अ सेट ऑफ डिफरेंट डिफरेंट क्लोथ्स डिफरेंट टाइप ऑफ स्कर्ट है एंड यू नो शॉर्ट्स है कोट है टाई है ट्राउजर है व्हाट एवर इट इज़ है ना ये भी सेट हो सकता है यहां पर अगर दो-तीन बातें स्पेसिफिकली समझे बिकॉज़ जब भी कोई सब्जेक्ट हम पढ़ते हैं ना उसकी टर्मिनोलॉजी कैसे चीजों को रिप्रेजेंट करते हैं वो आपको पता होना चाहिए तो आई विल गो वन बाय वन एसेट इज जनरली डिनोटेड बाय अ कैपिटल लेटर जैसा आपने यहां पर देखा नोटिस करो यहां पर हमने कैपिटल ए लिखा है कैपिटल ब कैपिटल सी है ना तो फॉर एग्जांपल अगर कोई लड़ने वाली बात होगी नहीं नहीं मैं तो ऐसे रिप्रेजेंट करूंगा कंसीडर सेट स्मल ए अभी करने को आप कर लो कोई नियम तो टूटा नहीं बट ये जनरल कन्वेंशन नहीं है है ना तो जनरल कन्वेंशन क्या है कि इन जनरल हम इसको किससे रिप्रेजेंट करते हैं बाय कैपिटल सिंबल बहुत बेसिक बात है सो अ इज जनरली डिनोटेड बाय कैपिटल लेटर ऑब्जेक्ट्स ऑफ अ सेट आर कॉल्ड मेंबर्स और एलिमेंट्स र मेंबर्स ऑफ ए सेट तो वन कौन है मुझे बताओ वन सेट कैपिटल ए का मेंबर है या टू सेट कैपिटल ए का एलिमेंट्स है मेंबर और एलिमेंट कहके इसको बुलाएंगे बहुत बेसिक बात है एंड अ सेट इज सेट टू कंटेन इट्स एलिमेंट तो कैसे अगर दोनों तरफ से रिलेशनशिप ऑब्जर्व की जाए तो क्या बोलेंगे कैपिटल ए एक सेट है जो वन या टू को कंटेन करता है या वन या टू कन है है या थ्री कौन है यह मेंबर है या एलिमेंट है ऑफ द सेट कैपिटल ए एंड यूजुअली द लोअर केस लेटर आर जनरली यूज्ड टू डिनोट द एलिमेंट्स ऑफ़ अ सेट तो जैसे फॉर एग्जांपल ये एक बेटर अंडरस्टैंडेबल कन्वेंशन है आमतौर पे इसके कि मैं सेट को तो डिफाइन करूं स्मॉल लेटर से और अंदर जो एलिमेंट है उनको मैं डिफाइन करूं कैपिटल लेटर से इन जनरल ऐसा हम नहीं करते ऐसा करते हैं बेसिक बात है धीरे-धीरे चीजों को जान रहे हैं अब ये जो मेंटेन करने ना करने की बात है उसको कैसे रिप्रेजेंट करते बड़ा इंपॉर्टेंट सिंबल है ये दिस बिलोंग टू है ना अब ये नल स्ट्रिंग नहीं है सेट थ्योरी ओसी वाली बिलोंग ट इसका मतलब x इज अ एलिमेंट व्हिच बिलोंग टू कैपिटल ए मींस द एलिमेंट x इज अ मेंबर ऑफ a तो अगेन अगर मैं वो सेम एग्जांपल लिखूं एक सेट है हमारे पास कैपिटल ए जिसमें तीन एलिमेंट है टूथ अब क्योंकि वन सेट ए का एलिमेंट है सेट ए का मेंबर है हाउ यू रिप्रेजेंट इट लाइक दिस ऐसे इसका मतलब मतलब वन सेट ए से कैपिटल ए से बिलोंग करता है और मैं अगर आपसे पूछूं व्हाट अबाउट कैपिटल व्हाट अबाउट फोर क्या फोर कैपिटल ए से बिलोंग करता है नहीं करता सर सो दैट इज हाउ यू रिप्रेजेंट है ना और अगेन यहां पे ऐसा नहीं है कि थोड़ा-थोड़ा बिलोंग करेगा या जैसे यू नो फजी सेट्स के अंदर होता है बिलोंग करेगा विद अ मेंबरशिप फंक्शन ना ये क्रिस्प सेट्स है क्या बोलते है क्रिस्प सेट या तो बिलोंग करेगा या तो बिलोंग नहीं करेगा सो व्हाट डज दैट मीन इट मींस x इज अ मेंबर ऑफ a एंड व्हाट डज दैट मीन x इज नॉट अ मेंबर ऑफ a सो वन इज अ एलिमेंट और अ मेंबर ऑफ अ सेट कैपिटल a एंड फोर इज नॉट अ मेंबर और एलिमेंट ऑफ अ सेट कैपिटल ए एज सिंपल एज दैट है ना तो बिल्कुल बेसिक से शुरू कर रहे हैं नेक्स्ट व्हाट डू वी हैव इज द कार्डिनलिटी ये इंपॉर्टेंट टर्मिनोलॉजी है कभी-कभी किसी क्वेश्चन में लिखने पढ़ने के लिए आ सकते है आपको पता होना चाहिए व्हाट इज कार्डिनलिटी कार्डिनलिटी सिंपली मींस द नंबर ऑफ एलिमेंट्स इन अ सेट सो देखो मैं क्या बोल रहा हूं इट इज द नंबर ऑफ एलिमेंट्स प्रेजेंट इन अ सेट जनरली डिनोटेड बाय मड a तो जो भी सेट का नाम है उसके ऊपर ऐसा आप सिंबल लगा देंगे दैट मींस कार्डिनलिटी तो टक टू टेक एन एग्जांपल यहां पे देखिए एक सेट को हम रिप्रेजेंट कर रहे हैं कैपिटल a जिसमें कौन-कौन है रो है टू है फर है सक्स है एंड नाउ व्हाट इज द कार्डिनलिटी ऑफ़ a सो 1 2 3 4 क्योंकि चार एलिमेंट है सो दिस इज लाइक मड 4 मड ए ऑफ मड ऑफ a इज 4 अगर मान लीजिए मैं यहां से आपसे पूछू नाउ लुक एट दिस इट इज अ सेट ऑफ वोवेल्स तो अब अभी अगर मैं पूछूंगा बताओ a का क्या कोऑर्डिनेट है तो कितने एलिमेंट है 1 2 3 4 पाच एलिमेंट है तो कोऑर्डिनेट कितना हो जाएगा फोर मैं दोबारा आपको याद दिला रहा हूं क्योंकि यहां पर हम डुप्लीकेशन अलाउ कर ही नहीं रहे हम बोल रहे हैं कि डिस्टिंक्ट होना चाहिए तो टोटल नंबर ऑफ एलिमेंट डिफाइंड क्वार्टन टी बहुत सिंपल बात है अभी हम डिस्कस नहीं कर रहे आगे जाके हम समझेंगे कि सेट्स को भी हम दो तरह से डिफाइन कर सकते हैं हम क्या बोलते हैं फाइना इट सेट्स और इनफाइनों फाइना इट होगा बिकॉज़ तभी तो उसके अंदर नंबर ऑफ एलिमेंट्स आप बता सकते हो काउंट करके कितने हैं अगर इंफाइटिंग हम बता सकते हैं नहीं बता सकते छोटा सा पॉइंट है नाउ अगेन वी विल कम बैक टू दिस आइडिया रिप्रेजेंटेशन है ना तो इस पे अब एक बार छोटा सा डिस्कशन हो जाना चाहिए हाउ डू वी रिप्रेजेंट सेट्स ये वो बेसिक बेसिक टर्मिनोलॉजी है ना चीजें हैं जो इन जनरल जब तक एकदम से क्लियर ना हो सब्जेक्ट का फ्रेमवर्क एकदम एस्टेब्लिश नहीं होता तो व्हाट इज दिस रिप्रेजेंटेशन दो आईडिया हैं पहला जिसे हम बोलते हैं टेबुलर या रोस्टर रिप्रेजेंटेशन ध्यान दीजिएगा टेबुलर या रोस्टर रिप्रेजेंटेशन व्हाट डू वी मीन बाय दिस जब आप सेट को डिफाइन करो बाय एक्चुअली द राइटिंग द एलिमेंट्स ऑफ द सेट तो यहां पर देखिए क्या बोल रहा है हियर द सेट इज डिफाइंड बाय एक्चुअली लिस्टिंग इट्स मेंबर तो अब वोवेल्स बताने थे इंग्लिश के ए ई आई ओ यू आपको सामने से लिख के बता दिया बता दिया ना तो अब इसमें कोई कंफ्यूजन हो सकता है सेट क्या है आपके सामने लिखा है पढ़ लो क्या सेट है अभी भी देखो 1 2 3 4 पहले चार नेचुरल नंबर है कोई कंफ्यूजन हो सकता है तो जब हम अब देखिए ये इनफाइनों मोटा आईडिया तो समझ आ रहा है हां कौन-कौन सा एलिमेंट इसके अंदर होना चाहिए इजेंट इट बहुत सिंपल बात है सो दिस इज कॉल्ड टेबुलर रिप्रेजेंटेशन देख के समझ आता है इसका दूसरा भाई है जिसे हम बोलते हैं सेट बिल्डर रिप्रेजेंटेशन व्हाट इज दस सेट बिल्डर रिप्रेजेंटेशन यहां पर कि इन जनरल आपको बता रहा हूं जब मैथ्स कॉम्प्लेक्टेड को टेबुलेटर और मैं भी इनफाइनों करने का बेटर तरीका क्या है बजाय आप मेरे को एलिमेंट बताओ आप मेरे को प्रॉपर्टी बताओ कि इस सेट के अंदर वो एलिमेंट्स होंगे जो यू नो दिस दिस दिस दिस प्रॉपर्टी सेटिस्फाई करेंगे मैं खुद से अंदाजा लगा लूंगा फॉर एग्जांपल अभी यहां देखिए इसने क्या बोला x एक एलिमेंट है प्रॉपर्टी बता रहा है कौन है x x एक पॉजिटिव नंबर है बट लेस दन 10 है ऑड पॉजिटिव नंबर नॉट ओनली पॉजिटिव ऑड पॉजिटिव नंबर तो बोलो कौन-कौन होगा वन होगा 3 होगा फव होगा सेन होगा नाइ होगा लेस दन 10 बोला ना देर यू सी मिल गया एलिमेंट ये क्या कह रहा है x इंग्लिश का एक अल्फाबेट है एंड साथ में वावल है तो अभी जो हमने पढ़ा ए ई आईओ यू मिल गए x एक नेचुरल नंबर है और साथ में क्या कह रहा है लेस देन 5 है अभी नेचुरल नंबर कहां से शुरू होते है वन से तो अब आप मेरे पर रिस्ट्रिक्शन लगा देंगे अगर लेस दन फ होने की तो सर चार ही केस बना पाऊंगा व्हिच इज लाइक 1 2 3 4 देर यू सी x एक इंटी जर है और डिविजिबल बाय टू है तो कौन हो गए ये हो गए हमारे बेसिकली इवन इंटी जर तो रो हो सकता है देन प्लस -2 हो सकता है प् - 4 हो सकता है लाइक दिस अब ये सारे वही सेट्स हैं जो बेसिकली लास्ट स्लाइड में हमने टेबुलर मेथड से रिप्रेजेंट किए है ना बट एग्जांपल क्लियर कट समझ आया तो यहां पर उन सब के लिए सेम आईडिया के लिए हम क्या यूज कर रहे हैं सेट बिल्डर तो आई होप ये वाला आईडिया भी क्लियर है कि हाउ डू यू रिफाइन अ सेट बाय सेट बिल्डर रिप्रेजेंटेशन जहां पर आप एलिमेंट्स स्पेसिफाई करते हो एंड देन यू टेल द क्राइटेरिया कि कौन-कौन से प्रॉपर्टीज है जो सेटिस्फाई आपको करने हैं अगर आपको इस सेट से इस मेंबर से बिलोंग करना है तो यस वेरी बेसिक थिंग अब आगे बढ़ते हैं फर्द अगर सेट थ्योरी में आगे जाना है इसको क्लासिफाई करना प पड़ेगा तो पहला जो क्लासिफिकेशन पढ़ते हैं फाइना इट और इनफाइनों बड़ी बात है नहीं तो व्हाट इज अ फाइना इट सेट इफ देयर आर एगजैक्टली n एलिमेंट्स इन अ सेट एंड n इज अ नॉन नेगेटिव इंटी जर नॉन नेगेटिव माने जीरो हो सकता है पॉजिटिव हो सकता है है ना देन वी से s इज अ फाइना इट सेट ये वही वाली बात है कोडिलिटी वाली तो अगर आप कोडिलिटी डिफाइन कर सकते हैं अगर आप बता सकते हैं एगजैक्टली कितने एलिमेंट है देखो क्या n एक नंबर है n एक नंबर है क्या इंफिनिटी एक नंबर है क्या नंबर लाइन प ना इंफिनिटी नंबर नहीं है सर इंफिनिटी तो एक अमन है इट इज नॉट अ नंबर प्लीज अंडरस्टैंड दिस थिंग है ना तो ये बड़ा क्लियर कट आपको समझ आना चाहिए सो सिर्फ सेट ए कंटेन अ स्पेसिफिक और फाइना इट नंबर ऑफ एलिमेंट ओबवियसली देन द सेट इज सेड टू बी फाइना इट सेट आप कुछ भी सोच सकते हो ये तो नंबर्स की बात हो गई फॉर एग्जांपल हाउ मेनी क्लोथ्स यू हैव कितने कपड़े हैं आपके पास फाइना इट सेट है हाउ मेनी नंबर ऑफ ह्यूमन बीइंग्स आर देयर ऑन द अर्थ दे बात समझना नंबर आमतौर पर बहुत बड़ा हो और काफी तेजी से चेंज भी होता है बिकॉज बहुत सारे लोग नए आते हैं कुछ लोग चले जाते हैं बट स्टिल जो नंबर है वो फाइना इट है बट इफ आई आस्क यू हाउ मेनी स्टार्स आर देयर इन द यूनिवर्स देन इज इफाइन भी फर्क नहीं पड़ रहा फाइना इट मींस फाइना इट एलिमेंट आप बता सकते हो एक्सक्यूज में उसके ठीक बाहर बताइए क्या हो गया इनफाइनों इज कॉल्ड इंफाइटिंग नंबर ऑफ एलिमेंट हो और इट्स लाइक काउंटिंग भी अगर आप करोगे तो काउंटिंग कभी ऐसा नहीं मैं अभी य इस पर बात नहीं कर रहा एक और कैटेगरी होती है काउंटेबल अनकाउंटेबल तो इनफाइनों केबल है आप काउंटिंग करते रहो फॉर एग्जांपल अगर कोई तारे गिनना शुरू कर दे है ना बस पॉइंट एक ही है कि वो काउंटिंग कभी एंड तक पहुंचेगी नहीं दैट इज अ पॉइंट तो यहां पर आप देखोगे तो फॉर एग्जांपल अ सेट ऑफ नेचुरल नंबर सो 1 2 3 4 5 6 क तक चलते जाना है तो नेचुरल नंबर कहां से शुरू हो रहा है सर वन से देन टू देन थ्री अब ये चलता जाएगा अप टिल अप टिल इंफिनिटी एंड नेवर एंड नेवर एंड नेवर दिस इज गोइंग टू एंड सो दिस इज अ वेरी सिंपल एग्जांपल ऑफ इंफाइटिंग चल रहा हूं कहीं पर भी अब इन शब्दों का इस्तेमाल हो जाए सेमेस्टर एग्जाम में इन जनरल कहीं पे भी सो यू मस्ट हैव एन आईडिया कि क्या है और कैसे इस पे काम करना है नेक्स्ट व्हाट डू वी हैव इज नल सेट एंड एमटी सेट अब यह क्या कहानी है सो इज अ यूनिक सेट इसको पहले मैं क्लियर आपको समझाता हूं देखो अभी जब भी हम सेट की बात कर रहे हैं ना हम कुछ ना कुछ एलिमेंट्स स्पेसिफाई कर रहे हैं मान लीजिए कहीं पर हमने रख दिया लाइक ए बी सीडीई ऐसा कुछ एलिमेंट बता रहे हैं या कुछ न्यूमेरिक वैल्यू लिख रहे हैं किसी भी चीज का आप सेट बना सकते हो है ना बट अगर एक मिनट के लिए डिस्कशन करें यह एक सेट है क्या एक्सक्यूज मी जस्ट लाइक एमटी कर्ली ब्रशस इसम बहुत बहस हो सकती है सर जब एलिमेंट कंटीन्यूअस सेट का क्या मतलब है बट ऐसे बहुत सारे केसेस होंगे ना जहां पर फर्द काम करते हुए पूरा इकोसिस्टम डेवलप करते हुए इस तरीके की सिचुएशन आपके काम आएगी मे बी हम एक कलेक्शन बना रहे हैं सेट ऑफ स्टूडेंट्स का और हमें एक सिनेरियो रिप्रेजेंट करना है कि क्लास के अंदर कोई स्टूडेंट ही नहीं है कैसे रिप्रेजेंट करोगे बात समझ आती है जैसे काउंटिंग की बात करते हैं जीरो का अपना सिग्निफिकेंट है ना अगर डब्बे के अंदर मैं बोलता हूं काउंट करके बताओ कितनी बॉलर अगर कोई भी बॉल नहीं तो कैसे आंसर करोगे सो देर इज अ नंबर जीरो जो जो बताता है कि यहां कोई भी बोल नहीं है ठीक उसी तरह एमटी सेट और नल सेट है ना इज अ वैलिड सेट जो एक ऐसा सेट है जिसके अंदर कितने एलिमेंट हैं कोई एलिमेंट नहीं लेकिन इसे फालतू का बिल्कुल मत मानिए ये बहुत काम की चीज है और बहुत जगह इस्तेमाल होती है तो आई विल गो वन बाय वन लुक एट दिस इसको हम नल सेट बोल ले एमटी सेट बोल ले एक ही बात है सो इज अ यूनिक सेट हैविंग नो एलिमेंट्स इसके अंदर कोई एलिमेंट नहीं है इट्स साइज और कार्डिनलिटी इज जीरो तो कितने नंबर ऑफ एलिमेंट उसके अंदर है सर इट हैज एगजैक्टली ज़ीरो एलिमेंट्स एंड इट इट इज डिनोटेड बाय अ सिंबल दिस दिस इज स्पेशल सिंबल कॉल्ड फाई इसको कुछ लोग इसको कभी-कभी फाइव सेट भी बोल देते हैं सो रिप्रेजेंटेड बाय सिंबल फाई और एमटी कर्ली ब्रशस एंड मैं इस पे देखो एक छोटी सी बात समझाता हूं कई बार जब आप ऐसा क एम्टी कर्ली ब्रेसेज लगाते हो ना तो लोगों को बड़ा कंफ्यूजन हो जाता है यार ऐसा तो नहीं राइटर ने लिखते हुए गलत लिख दिया मिस प्रिंटिंग हो गया मिस टाइपिंग हो गया ऐसा कुछ तो एमटी कर्ली ब्रेसस के लिए ही एक स्पेशल रिप्रेजेंटेशन है कॉल्ड फाई तो यह अपने आप में कोई एलिमेंट नहीं है ये अपने आप में एक सेट है ध्यान से समझिए कुछ बुक्स में कभी-कभी हो सकता है लोकल बुक्स में ना कुछ लोग गड़बड़ करते हैं दे रिप्रेजेंट लाइक दिस तो क्या ये एक एमटी सेट है नहीं सर यह तो टेक्निकली एक सेट है जिसके अंदर एमटी सेट है यह नहीं रिप्रेजेंट करना हमने तो एमटी सेट को रिप्रेजेंट करने के दो ही तरीके हैं बताइए कौन-कौन से आइर यू डू दिस जस्ट लाइक एमटी ली ब्रेसस और यू कैन डू दिस बाय अ सिंबल फाई ये दोनों ही एमटी सेट के रिप्रेजेंटेशन है ध्यान रखेंगे तो इस बात में कभी कोई कंफ्यूजन नहीं होना चाहिए और अब अगर आप मान रहे हैं कि हां दिस इज अ सेट वैलिड सेट जिसके अंदर कोई एलिमेंट नहीं है तो अगर एलिमेंट नहीं है तो उसकी कार्डिनलिटी निकालू क्या आएगा ओबवियसली जीरो आएगा वही य लिख रहा है कि अगर फाई सेट है एमटी सेट है तो उसका कार्डिनलिटी क्या है सर उसका कोडिलिटी है जीरो आगे क्या बोलता हूं अ सेट विद वन एलिमेंट इज कॉल्ड सिंगल टन सेट जैसे एक एडिशनल पॉइंट आपको याद दिला रहा हूं मे बी कहीं ऐसा कह के पुकार ले अब आपको लगे कि यार सिंगल टन सेट क्या होता है तो वो सारे सेट जिनके अंदर एगजैक्टली एक ही एलिमेंट होगा उनको हम क्या कहते हैं सिंगल टन सेट कहते हैं ठीक है अब देखिए हम करके आ रहे हैं थोड़ा सा आपको आईडिया समझाता चलता हूं ओवरऑल पॉइंट ऑफ व्यू क्या है क्योंकि सेट थ्योरी पढ़ना है क्योंकि इसके बेसिक ऑपरेटर्स पे काम करना सीखना है तो किसी भी सिस्टम में सबसे बड़ा सबसे छोटा क्या हो सकता है वो सब ची चीजें समझ आनी चाहिए तो हमने फाइना इट इंफाइटिंग तो ये भी तो समझना चाहिए ना कि सबसे बड़ा सेट पॉसिबल क्या होगा अगर एमटी समझ आता है तो हां तो सबसे बड़ा सेट पॉसिबल है यूनिवर्सल सेट अब यूनिवर्सल सेट का बड़ा कंफ्यूजन है सेट थ्योरी में प्रॉब्लम क्या मैं आपको समझाता हूं तो आपके लिए रियल यूनिवर्स की फोटोग्राफी मैं लेके आ गया है ना बट बस अब समझने वाली बात क्या है यह जो फोटोग्राफ है सर क्या यह कंप्लीट है क्या क्योंकि इसके बाहर का फोटो शायद नहीं आया उसमें भी तो यूनिवर्स ही है ना तो रियलिटी का जो यूनिवर्स है वह तो सच में इफाइव इतना ज्यादा इनफाइनों उसके बाहर जो है वो भी यूनिवर्स ही है अब सेट थ्योरी में क्या करें अगर इस तरह का हम कोई स्टडी इस तरह का ऑब्जर्वेशन करना है तो हम क्या करते हैं हम एक जिसको बोलते हैं वेन डायग्राम नोटेशन हम एक ऐसा बॉक्स बनाते हैं सपोज और उसके ऊपर लिखेंगे कैपिटल यू एंड नाउ आई विल से दिस इज द यूनिवर्स बात खत्म हो गई क्या इसके बाहर कुछ एलिमेंट है हो सकते हैं बट मैं मानूंगा नहीं क्योंकि मैं ही मानूंगा वो सारे एलिमेंट जो मैं पढ़ रहा हूं जो मेरी स्टडी के अंदर है जो मेरा यूनिवर्स ऑफ डिस्कोर्स डिस्कोर्स माने जिसमें हमें पढ़ाई करनी है वो इस बॉक्स के अंदर है है ना तो हम इसको यूनिवर्स मान के चलेंगे क्योंकि रियल यूनिवर्स हम चाह के भी स्टडी नहीं कर पाते ये एक बेसिक आईडिया है तो अब अगर मैं चलूं क्या बोलता हूं देखिए नोटिस करिए इफ ऑल द सेट्स अंडर इन्वेस्टिगेशन आर द सबसेट ऑफ अ फिक्स्ड सेट वो सारे सेट जिसको मैं पढ़ने जा रहा हूं जिसमें मैं स्टडी करूंगा वो सब इसके सबसेट अभी सबसेट बाद में समझाऊ आपको बट फिलहाल मान लीजिए मोटा-मोटा वो सब कहीं ना कहीं इसी के अंदर बैठे हुए हैं छोटा बड़ा इंटरसेक्ट ंग व्हाट एवर इट इज सब इसी के अंदर है सेट कंटेनिंग ऑल ऑब्जेक्ट्स अंडर इन्वेस्टिगेशन वो सेट जो सारे ऑब्जेक्ट्स हम स्टडी कर रहे हैं वो सारे ऑब्जेक्ट जिस सेट के अंदर होते हैं उसको बोलेंगे यूनिवर्सल सेट तो उसमें कंफ्यूजन नहीं चाहिए क्या यूनिवर्सल सेट सच में यूनिवर्स है सच में नहीं है हमारे एक अंपन है लेकिन हां हमारी पढ़ाई के लिए काफी है हम जितने एलिमेंट स्टडी कर रहे हैं वो सब इसके अंदर होंगे दैट इज द यूनिवर्सल सेट एंड हाउ यू रिप्रेजेंट देम अ इन अ वेन डायग्राम इस इस तरह के डायग्रामेटिक रिप्रेजेंटेशन में बाय रेक्टेंगल ये ध्यान रखिएगा इन जनरल इट इज डिनोटेड बाय कैपिटल य है ना तो सेट थ्योरी का सबसे बड़ा सेट कौन हुआ सर सबसे बड़ा सेट हुआ कैपिटल य व्हिच इज लाइक अ यूनिवर्सल सेट और सबसे छोटा सेट कौन हुआ सर सबसे छोटा सेट हुआ हमारा फाई व्हिच इज लाइक अ एमपीटी सेट है ना तो दोनों ऑब्जर्वेशन बहुत सिंपल है और बहुत बेसिक तरीके से हम आगे बढ़ रहे हैं सो अभी बात करते हैं सबसेट के बारे में अब सबसेट की कहानी बहुत मजेदार है और वैसे तो बहुत सिंपल है बट मैंने देखा है कि कुछ क्वेश्चंस के अंदर चीजों को इतना कॉम्प्लिकेट कर दिया जाता है ना या यू नो इन कॉम्पिटेटिव एग्जाम दे सच फंडामेंटल क्वेश्चन कि वहां भी कंफ्यूजन हो सकता है है ना बट स्टिल अ एक प्रॉपर एग्जांपल के साथ वैल्यू के साथ समझने की कोशिश करते हैं देखिए सबसेट क्या है सबसेट एक्चुअली दो सेट्स का एक रिलेशनशिप है है ना तो जैसे यहां मैं एग्जांपल आपको लिख के बता रहा हूं दो सेट हमारे पास है भी कोई सेट है वी हैव कैपिटल ए एंड देयर इज अ सेट कैपिटल भी डेफिनेशन पढ़ो सो इफ एवरी एलिमेंट ऑफ अ सेट a इज आल्सो अ एलिमेंट ऑफ सेट b a के पास जितने एलिमेंट हैं अगर वो सारे के सारे एलिमेंट b के पास भी हैं तब हम ये कहते हैं कि a b का सबसेट है दैट इज हाउ यू डिफाइंड इट है ना तो जैसे यहां पर देखिए a के पास कितने एलिमेंट है a के पास तीन एलिमेंट है 1 2 3 b के पास कौन है 1 2 3 तो है ही है उसके साथ में दो एडिशनल एलिमेंट्स भी हैं 4 फ बट एडिशनल है कि नहीं उससे फर्क नहीं पड़ता a के पास जितने एलिमेंट है क्या वो b के पास है कि नहीं है सर है इसका मतलब हम कह सकते हैं बिना किसी डाउट के कि a b का सबसेट है दैट इज हाउ यू से इन जनरल आप इसको ऐसे ऑब्जर्व कर सकते हो क्या दिल्ली इंडिया का सबसेट है हां है क्योंकि दिल्ली खुद इंडिया के अंदर है तो सारे के सारी चीजें जो दिल्ली में है वो एक्चुअली इंडिया में भी है इंडिया के पास कुछ एडिशनल हो सकता है ओबवियसली दिल्ली में ना हो बट दिल्ली इंडिया का सबसेट ऐसे कहने में कोई प्रॉब्लम नहीं इसको वेन डायग्राम में देखोगे और अच्छे से नजर आएगा अब बी क्या है 12 23 4 5 तो देखिए पूरा बी आपको नजर आ रहा है 1 2 3 4 5 ए क्या है 1 2 3 ये देखिए b के अंदर बैठा हुआ है ए व्हिच इज 1 2 3 तो हां ये डायग्राम देख के वो दिल्ली और इंडिया वाली बात और अच्छे से समझ आ जाती है कि कौन किसका सबसेट है तो यहां यही बात लिखी है कि वो सारे एलिमेंट्स दिस इज़ कॉल्ड यूनिवर्सल क्वांटिफायर आगे लॉजिक में इसकी बात करेंगे वो सारे एलिमेंट x अगर वो a से बिलोंग करते हैं तो वह b से भी बिलोंग करेंगे वो सारे एलिमेंट जो a में है अगर वो b के अंदर भी हैं तो हम कहते हैं a इज द सबसेट ऑफ़ b एंड हाउ यू रिप्रेजेंट इट सिंबल बड़ा इंपॉर्टेंट है सो दैट इज द सिंबल ऑफ सबसेट a इज अ सबसेट ऑफ़ b a इज़ अ सबसेट ऑफ़ b है ना नोट दैट अ टू शो दैट a इज नॉट अ सबसेट ब अब अच्छा उल्टा उल्टा बोल रहा है अगर मान लीजिए आपको कभी ये प्रूफ करने की जरूरत पड़े कि a बी का सबसेट नहीं है ध्यान से सुनना a b का सबसेट नहीं है तो कैसे करेंगे तो आपके पास कम से कम एक ऐसा एलिमेंट होना चाहिए जो a के पास हो बट b के पास ना हो बिकॉज उस केस में जो कंडीशन है कि वो सारे एलिमेंट जो a के पास है b के पास भी होंगे वो कंडीशन आपकी वायलेट हो जाएगी है ना सो यही देखिए यहां लिख रहा है नोट दैट टू शो दैट a इज नॉट अ सबसेट ऑफ b वी नीड टू फाइंड वन एलिमेंट x च बिलोंग टू ए बट चच डू नॉट बिलोंग टू बी यह वाली बात हो गई तो आई थिंक सबसेट का एक बेसिक आईडिया आपको क्लियर होगा कैसे कहानी आगे बढ़ रही है अब दो तीन जनरल ऑब्जर्वेशन जरा देख के चलिए पहला फई इज अ सबसेट ऑफ एवरी सेट फई स्पेशल केस है मैंने बोला था ना लगातार आपके साथ चलेगा तो याद कर लेते हैं पहले फई कौन है सर फई वो सेट है जिसके अंदर कोई एलिमेंट नहीं है है ना तो अब इसको ऐसे समझो मैं ये बोल रहा हूं ए बी का सबसेट होगा जब a के पास जितने भी एलिमेंट है मैं चेक करूंगा वो सब b के पास भी होने चाहिए बट अगर मैं ऐसा लिखता हूं फ इज अ सबसेट ऑफ a तो इन द फर्स्ट प्लेस क्या फई के पास कोई एलिमेंट है अ सर फई के पास कोई एलिमेंट ही नहीं है तो अगर फई के पास कोई एलिमेंट नहीं है तो क्या हमें चेक करने की जरूरत पड़ेगी नहीं चेक करने की जरूरत नहीं पड़ेगी तो इसका मतलब फाई क्या है फाई इज अ सबसेट ऑफ एवरी पॉसिबल सेट बड़ी फंडामेंटल थ्योरम में बार-बार काम आएगी एवरी सेट इज अ सबसेट ऑफ यूनिवर्सल सेट यूनिवर्सल सेट की तो डेफिनेशन ही इसी पॉइंट पर लिखी गई थी क्या ऑल दोज एलिमेंट्स व्हिच आर अंडर स्टडी वो सारे एलिमेंट जो भी हम स्टडी कर रहे हैं वो पहले से किसके पास है यूनिवर्सल के एवरी सेट इज अ सबसेट ऑफ यूनिवर्सल सेट तो आप कोई भी सेट बनाओ आपके पास जो भी एलिमेंट है वो 100% यूनिवर्स के पास भी है आखिरी वाली लाइन बड़ी इंटरेस्टिंग है जो सबसेट और प्रॉपर सबसेट अभी आगे डिफाइन करेंगे दोनों को डिफरेंशिएबल एवरी सेट इज अ सबसेट ऑफ इट सेल्फ अब ये बात थोड़ी अजीब है एक बार सोचिए बाद में थोरेट्स इसलिए किय कंफ्यूजन में कोई इस इस पूरे कंसेप्ट में कोई कंफ्यूजन ना रहे अब यहां देखिए अगर मैं लिखता हूं a इज अ सबसेट ऑफ a तो गलत है क्या क्या डेफिनेशन थी अगर मैं इसको ए के साथ लिखूं ऐसा करके तो मैं बोलता हूं ए का सबसेट होगा जब जब वो सारे एलिमेंट जो a के पास हैं वो सारे के सारे एलिमेंट b के पास भी होने चाहिए सिमिलरली यहां देखिए क्या वन इस वाले a के पास अभी दोनों सेम है तो है ही क्या 2 2 के पास है क्या 33 के पास है हां है तो हर सेट अपना भी सबसेट होता है ऐसा बोला जा सकता है इसमें कोई प्रॉब्लम नहीं है है ना तो सबसेट की पूरी बात आपको समझ आ गई एक बार मैं दोबारा यह आखिरी बात जोर देके बताना चाह रहा हूं क्या कि सबसेट है ए का इसको प्रूफ करने के दो तरीके हैं हम या तो आप एकक सारे के सारे एलिमेंट्स लो और आप ये प्रूव कर द जो एलिमेंट a के पास है वो बी के पास भी है ये जो फाइ वाला लॉजिक है ना इसमें हो सकता है कुछ लोग को कंफ्यूज उल्टा भी है आप यू नो जिसे बोलते हैं प्रूव बाय कंट्रक्शन आप कोई ऐसा एलिमेंट ढूंढ के दिखा दो जो कि बी के पास ना हो बट ए के पास हो अगर आपने ऐसा एलिमेंट ढूंढ लिया तो हम मान लेंगे सबसेट नहीं वरना हमें मानना पड़ेगा सबसेट दोबारा सुनो मैं क्या बोल रहा हूं अगर आप एक ऐसा एलिमेंट प्रूफ कर लो एक ऐसा एलिमेंट सर्च करो जो कि बी के पास ना हो बट ए के पास हो जो इधर लिखा हुआ था ना जो कि बी के पास ना हो सी इट डू नॉट बिलोंग टू बी बट इट बिलोंग टू ए तो आप प्रूफ कर दोगे कि ए बी का सबसेट नहीं है बट अगर आप ये प्रूफ नहीं कर पाए कि ए बी का सबसेट नहीं है तो डिफॉल्ट केस में क्या मानना पड़ेगा फिर मानना पड़ेगा कि ए बी का सबसेट है दोनों बातें है है ना काना प ऐसे पकड़ो ऐसे घुमा के पकड़ो बात सेम है दैट इज द आईडिया अच्छा अब बात करता हूं प्रॉपर सबसेट अब डिफरेंस क्या है देखिए दैट इज हाउ यू रिप्रेजेंट अ सबसेट है ना एंड हाउ डू वी प्रजेंट अ प्रॉपर सबसेट लाइक दिस देखो यहां पे जो इक्वल टू वाला सिंबल है ना ये अपन नहीं लगाते प्रॉपर सेट का मतलब क्या है प्रॉपर सबसेट का देखिए सबसेट में हम इतना तो बोल ही रहे हैं कि a के पास जितने एलिमेंट हैं अगर वो सारे के सारे एलिमेंट b के पास भी हैं तो a b का सबसेट है तो फंडामेंटल बात है लेकिन अगेन फिर सोचने वाली बात क्या है क्या a और b बराबर भी हो सकते हैं हां हो सकते हैं ना जैसे आपने देखा a इज अ सबसेट ऑफ a तो कोई सेट खुद अपना सबसेट भी होता है तो ये भी एक कैसे है कि a और b बराबर हो सकते है बट अब अगर मैं दोनों दो बात आपको एक साथ बताऊं क्या मैं बोलूं ए बी का सबसेट है और मैं अलग से आपको यह भी बताऊं कि a और बी बराबर नहीं है मानो इस बात की गारंटी है कि कम से कम एक ऐसा एडिशनल एलिमेंट तो है b के पास जो कि a के पास नहीं जैसे हमारे एग्जांपल में क्या ए बी का सबसेट था हां था और क्या बी के पास कुछ एडिशनल है हां है ना सर फोर और फाइव अब ये दो वे एलिमेंट है जो कि b के पास तो है लेकिन ये a के पास नहीं है उस केस में हम इस बात को फर्द रिफाइन करते हुए बोल सकते हैं भाई प्रॉपर बात तो यही हुई ना फर्द रिफाइन करते बोल सकते हैं कि a इज अ प्रॉपर सबसेट ऑफ b सो दोबारा देखो मैं क्या बोल रहा हूं इफ a इज अ सबसेट ऑफ b एंड a इज नॉट इक्वल टू b अगर a b का सबसेट है और a और b बराबर नहीं है तो 100% b के पास कुछ ना कुछ तो एडिशनल है सर और वो जो एडिशनल है उसकी वजह से हम बोल सकते हैं कि a का क्या है ए का प्रॉपर सबसेट है अब इसमें चीजें थोड़ी चेंज कैसे हो सकती हैं तो जो पहले आइडियाज हम हमने पढ़े थे मान लीजिए मैं अभी भी बोल सकता हूं क्या कि फ इज अ प्रॉपर सबसेट ऑफ एवरी सेट कायद से एकदम ओपनली नहीं बोल सकता बिकॉज मुझे ध्यान रखना है कि a बस फ ना हो मुद्दे की बात यही है क्या फ फ का या कोई भी सेट अपना प्रॉपर सबसेट हो सकता है क्या नहीं कोई भी सेट अपना सबसेट हो सकता है बट प्रॉपर सबसेट नहीं होगा है ना तो ये थोड़ा सा डिफरेंस है आप मान सकते हैं कि सबसेट का एक स्पेशल केस हो गया हमारा प्रॉपर सबसेट नाउ नेक्स्ट इज इक्वलिटी सेट थ्योरी में आप ये कैसे डिफाइन करेंगे कि दो सेट आपस में इक्वल है वैसे तो हम पहले बात कर चुके इट्स अन ऑर्डर कलेक्शन है ना तो किसको पहले किसको बाद में लेके इससे कोई फर्क नहीं पड़ता बट इस बात को आसानी से समझने के दो तरीके देखिए अगर मैं ऐसा लिख दूं दैट a इज अ सबसेट ऑफ b है ना इसका मतलब क्या है बताओ इसका मतलब है कि वो सारे के सारे एलिमेंट्स जो कि a के पास है वो b के पास भी है यही सिखा है ना हमने वो सारे एलिमेंट्स जो कि a के पास है वो b के पास है और अगर आप उल्टा भी प्रूफ कर दो व्हाट दैट ब इज आल्सो सबसेट ऑफ a अब बोलो इस बात का क्या मतलब होगा इस बात का मतलब है कि वो सारे एलिमेंट जो b के पास व के पास भी है तो जो ए के पास है वोह बी के पास भी है और जो बी के पास है वो ए के पास भी है इसका मतलब यह बात को गोल गोल घुमा रहे हैं दरअसल दोनों के पास सेम नंबर ऑफ एलिमेंट्स है इजेंट इट यस सर एंड दैट इज हाउ वी डिफाइन इक्वलिटी इसको आप इधर से इधर भी जा सकते हो इधर से इधर भी जा सकते हो अगर ए और बी इक्वल है तो a बी का सबसेट होगा बी का सबसेट होगा अगर ए बी का सबसेट है और बी ए का सबसेट है इसका मतलब दोनों सेट इक्वल है तो दो सेट को इक्वल प्रूफ करने का य यही मेथड यही मैकेनिज्म काम करता है आगे पढ़िए इफ टू सेट्स ए एंड बी हैव सेम नंबर ऑफ एलिमेंट एंड देयर फोर एवरी एलिमेंट ऑफ ए आल्सो बिलोंग टू बी एंड एवरी एलिमेंट्स ऑफ बी आल्सो बिलोंग टू a देन दैट मींस ए एंड बी आर इक्वल सो आई थिंक ये भी बड़ी फंडामेंटल बात थी और स्टेप बाय स्टेप तरीके से आगे लेके चल रहे तो चीजें क्लियर भी हो रही है नेक्स्ट इज पावर्स सेट अब यह बड़ा कमाल का आईडिया है पावर सेट क्या है अगर साधारण भाषा में बोलूं अ सेट ऑफ ऑल पॉसिबल सबसेट्स समझिए इस बात को एक एग्जांपल लेके समझाता हूं जैसे यहां देखिए एक सेट हमने लिया कैपिटल ए एंड आई एम टेकिंग अ वेरी सिंपल एग्जांपल जहां तीन एलिमेंट हमें नजर आ रहे है कौन-कौन से 1 2 3 अब अगर मैं आपसे पूछूं इस सेट के जितने भी पॉसिबल सबसेट है ऑल द सबसेट्स पॉसिबल वो सब टेबलेट करो तो बताओ क्या-क्या आएंगे अब देखो सबसे छोटा सबसेट या सबसे छोटा सेट हमने पढ़ा है व्हिच इज लाइक फाई और हम पहले समझ भी चुके हैं दैट फाई इज अ सबसेट ऑफ एवरी पॉसिबल सेट हर सेट का सबसे छोटा सबसेट पॉसिबल कौन है फाई तो फा होगा उसके बाद बताओ लेंथ वन का कौन-कौन हो सकता है छोटे से छोटा देखेंगे तो आप सोचोगे तो एक-एक एलिमेंट भी ले सकता हूं तो दे यू सी सिंगल वन हो सकता है सिंगल टू हो सकता है सिंगल थ्री हो सकता है क्या दोदो के कॉमिनेशन बना सकते हैं हां सो देयर यू सी एक कॉमिनेशन वन और टू हो सकता है एक होगा टू और थी एक होगा वन और थ्री ऐसा सब हो सकता है तीनों ले लूं हां ये भी पॉसिबल है क्योंकि वैसे भी हम ऑब्जर्व कर चुके पढ़ चुके दैट एवरी सेट इज अ सबसेट ऑफ इट सेल्फ हर सेट अपना सबसेट होगा अभी सारे आईडिया ले लूंगा तो देखो यही बात हुई ना अगर किसी सेट के सारे पॉसिबल सबसेट को उठा के एक सेट के अंदर रख दिया जाए अब यहां पे कुछ लोगों को ना ये बात डाइजेस्ट करने में थोड़ी सी प्रॉब्लम हो जाती है क्या सर सेट के अंदर तो सिंपल एलिमेंट होता है सेट के अंदर सेट कैसे रख सकते हैं क्यों नहीं रख सकते हमने कभी नहीं बोला कि सेट की स्पेसिफिक फॉर्म क्या है सेट क्या है सिमिलर टाइप के ऑब्जेक्ट्स का एक कलेक्शन है तो क्या इन सब का टाइप सिमिलर है हां सर है तो क्या टाइप है यह सब आपस में सेट है तो अगर किसी सेट के सारे पॉसिबल सबसेट्स को उठा के एक सेट में रख दिया जाए तो उसको हम बोलते हैं पावर सेट ऑफ ए क्या बोलते हैं सपोज सेट इज ए देन वी कॉल्ड इट पावर सेट ऑफ ए है ना अच्छा एक बड़ी इंपॉर्टेंट बात जो यहां के चलती है क्या अगर अगर सेट के अंदर n नंबर ऑफ एलिमेंट्स हैं तो पावर सेट ऑफ a के अंदर कितने एलिमेंट होते हैं दैट इज 2 रेट पावर n और सीएसआईडी वालों को समझाना आसान इसलिए है बिकॉज़ लॉजिक समझो हर एलिमेंट के पास अब मान लीजिए मेरे पास n नंबर ऑफ एलिमेंट है वन है टू है थ्री है फोर है अप टिल अप टिल सपोज ए एलिमेंट्स हमारे पास है सो देर यू सी व्हाट वी अंडरस्टैंड इज कि एवरी एलिमेंट हैव टू चॉइसेज हर एलिमेंट के पास दो चॉइस हैं तो वन के पास दो चॉइस हैं कौन सी दो चॉइस या तो वो सबसेट में हो हो सकता है या तो वो सबसेट में नहीं हो सकता तो वन के पास भी टू चॉइस है टू के पास भी टू चॉइस है थ्री के पास भी टू चॉइस है और अगर हर एलिमेंट के पास टोटल टू चॉइस हैं तो टोटल नंबर ऑफ चॉइस कितनी हुई 2 * 2 * 2 हाउ मेनी टाइम्स n टाइम्स सो बेसिकली इट इज नथिंग बट 2 रे टू पावर n सो टोटल नंबर ऑफ एलिमेंट जो हमारे पास है वो 2 रे टू पावर n है इसको समझने का एक और आसान तरीका ऐसे भी आप ऑब्जर्व कर सकते हो कुछ लोग डायरेक्ट चॉइस में थोड़ा कंफ्यूज होते हैं बट क्योंकि बाइनरी पैटर्न हमने सीखा है तीन एलिमेंट है ना 1 2 3 बताओ मैं अगर 01 के हिसाब से देखूं तो कितने कॉमिनेशन बना सकता हूं एट डिफरेंट कॉमिनेशन कैसे तो इट कुड बी लाइक 01 0 01 1 10 10 1 एंड 111 नोटिस करो इस बात को कितने कॉमिनेशन बने आठ ये सब के सब अपने आप में सबसेट ही तो हैं देखो 0 0 मानो कोई नहीं है 5 00 1 1 और सिर्फ एक ही एलिमेंट है थ ये वो सारे के सारे आठ वही केस है जो हमने बनाए और यह भी अब आप जानते हो अगर n नंबर ऑफ़ विट्स से टोटल कितने कॉमिनेशन बनते हैं 2 ^ n है ना सो दैट इज़ द आइडिया ऑफ़ पावर सेट तो आई थिंक यहां तक एक बेसिक अंडरस्टैंडिंग हमने समझ ली है ना सेट क्या होता है उसको हम कैसे रिप्रेजेंट करते हैं फाइना इट सेट इंफाइटिंग सेट फिर हमने सबसेट की बात की अभी प्रॉपर सबसेट की बात की कुछ बेसिक ऑब्जर्वेशन समझे सबसेट्स के के बेस पे हमने इक्वलिटी डिफाइन की एंड सबसेट के बेस पे हमने पावर सेट डिफाइन किया जो सारे बहुत बेसिक बातें हैं और इनमें से किसी भी के ऊपर भी ना इंडिविजुअली यू नो एक शॉर्ट नोट लिखने के लिए आ सकते हैं कि राइट अ शॉर्ट नोट इन टू मार्क्स ऑन व्हाट इज पावर सेट और समथिंग लाइक दिस नाउ हैविंग बेसिक अंडरस्टैंडिंग अगली बात जो हम करेंगे वो करेंगे ऑपरेशंस ऑन द सेट्स तो कौन-कौन से फंडामेंटल ऑपरेशंस हम सेट पे लगा सकते हैं अब उसके बारे में जानेंगे तो चलिए सर अभी बात करते हैं ऑपरेशंस की और जो सबसे पहला सबसे फंडामेंटल ऑपरेशन है उसका नाम है कॉम्प्लीयंट ऑफ एसेट अब कॉम्प्लीयंट निकली हैं कॉम्प्लीयंट में बहुत जगह आप पढ़ोगे तो व्हाट इज़ कॉम्प्लीयंट सेट का इसके अंदर हमने एक सेट बनाया है a है ना तो व्हाट इज कॉम्प्लीयंट में जो कुछ भी है a के परे a के अलावा जो कुछ भी है दैट इज कॉम्प्लीयंट के लिए मान लीजिए कुछ समय के लिए हम मान लेते हैं कि हमारा यूनिवर्स जो है वो है वन से लेकर सिक्स तक के नंबर्स 1 2 3 4 5 6 फिर दोबारा समझिए ये मत मानिए सर यूनिवर्स तो एक्चुअल यूनिवर्स पर तो हम काम कर ही नहीं सकते ऑलरेडी बात कर चुका हूं तो ये हमारा यूनिवर्स ऑफ डिस्कोर्स है इसके बाहर हम कोई बात नहीं करेंगे अब एक सेट है जो है 2 36 बिकॉज जो भी कुछ ऐ यूनिवर्स के अंदर होगा 236 तो मैं ऐसा मान लू अगर 2 3 और 6 a के अंदर है और में सब कुछ है तो कौन बचा वन बचा फोर बचा और फाइव बचा ये ओबवियसली बाहर होंगे तो बताओ a का कॉम्प्लीयंट है तो a के अलावा यूनिवर्स में क्या-क्या है सर a के अलावा यूनिवर्स में वन है फोर है एंड फाइव है प्लीज अंडरस्टैंड वन है फोर है फाइव है तो ये क्या हो जाता है ये हो जाता है a का यूनिवर्स डेफिनेशन पढ़ेंगे एक बार द सेट ऑफ ऑल x सच दैट x डू नॉट बिलोंग टू a बिलोंग टू यूनिवर्स तो व्हाट इज कॉम्प्लीयंट में तो बहुत सिंपल बात है क्या हर सेट के लिए कॉम्प्लीयंट एजिस्ट नहीं करेगा क्या कभी भी ऐसा हो सकता है कि आप में और आपके कम्प्लीनोस ट की डेफिनेशन उसकी परिभाषा ही ये है कि आपके अलावा जो कुछ है वो आपका कॉम्प्लीयंट दुश्मन है कि जानी दुश्मन है जानी दुश्मन है आप में और आपके कम्प्लीनोस कंप्लीमेंट का मैं यूनियन करूंगा तो दोबारा क्या मिलेगा यूनिवर्सल सेट यह बाद में रूल बन जाएगा क्यों सर यही तो डेफिनेशन है जो आपके पास नहीं है और आपके कॉम्प्लीयंट के पास हो तो दोनों का यूनियन करेंगे दोबारा से यूनिवर्स मिल जाएगा और दोनों का इंटरसेक्शन करेंगे आप में और आपके कॉम्प्लीयंट करें तो बहुत सारी चीजें निकल जाएंगी इससे हम क्या पढ़ रहे हैं हम पढ़ रहे हैं आप के अलावा जो बचा है यूनिवर्स में वो आपका कॉम्प्लीयंट का कॉम्प्लीयंट का कॉम्प्लीयंट करेंगे तो दोबारा क्या मिलेगा यूनिवर्स बिकॉज़ फाई के पास तो कुछ भी नहीं है तो फाई के अलावा क्या है सब कुछ है दैट इज यूनिवर्स तो ये चार इंपॉर्टेंट लर्निंग निकल जाती हैं सिर्फ किससे कॉम्प्लीयंट इज अ यूरी ऑपरेटर मुसे बोलो कैसा बाइनरी यूरी यूरी ऑपरेटर आगे बढ़ता हूं नेक्स्ट इज यूनियन अब मुझे नहीं लगता कि मैं कोई बहुत नई और कोई बहुत महान बात कर रहा हूं बट एक बार अगेन बहुत बेसिक से समझ लेते हैं व्हाट इज यूनियन ऑफ टू सेट्स तो अगेन जैसे यहां आप देखेंगे ये एक सेट है ए ये एक सेट है b तो यूनियन का क्या करता है सर यूनियन तीनों एरियाज को कवर कर लेता है अगर आप एक्सक्लूसिवली पहले सेट में है या आप दूसरे सेट में है या दोनों के बीच में कॉमन है तीनों के तीनों आ जाते हैं किसमें यूनियन के अंदर तो आई विल गो इट थ्रू इट यूनियन ऑफ टू सेट्स ए एंड बी इज सेट ऑफ ल दोज एलिमेंट्स दैट आइर बिलोंग टू ए और बी और बोथ या तो एक्सक्लूसिवली ए से बिलोंग करें या बी से करें या दोनों से करें तीनों के तीनों हमारे यूनियन के अंदर आ जाते हैं दे यू सी द डेफिनेशन एक्सक्यूज मी तो कौन आएगा सर यूनिवर्स यूनियन के अंदर x जो इस से बिलोंग करता होगा या बी से बिलोंग करता हो और और माने दोनों से बिलोंग करता हो एग्जांपल देखिए अगर 1 2 3 4 a में है और 3 4 5 6 b में है पहले एक्सक्लूसिव a वाले कौन है वन और टू आ जाएगा अभी दोनों में कॉमन कौन है तो ध्यान से देखेंगे थ्री और फोर यहां पर दोनों में कॉमन आ रहा है तो वो भी मैं यहां पर लिख देता हूं 3 4 और नोटिस करने वाली बात यहां पर ये है जो पहले सीख के आए हैं क्या सेट के अंदर डुप्लीकेशन हो सकता है क्या सर डुप्लीकेशन कुछ भी हो सकता है डुप्लीकेशन नहीं हो सकता तो ऐसा मत करिएगा कि जो कॉमन एलिमेंट है वो दो बार लिख दो बार नहीं सर एक ही बार लिखना है एंड देन ओबवियसली वी कैन हैव फाइव एंड सिक्स देखिए नोटिस कर पा रहे हैं क्या तो अगर मैं यहां पे आपको दिखाऊं वन डायग्राम में तो कुछ इस तरह का सिनेरियो है फाइव एंड सिक्स तो एक्सक्लूसिव a के पास वन और टू है एक्सक्लूसिव बी के पास फाइव और सिक्स और थ्री और फोर दोनों के पास है तो कहानी काम कर जाएगी ये एक बड़ी इंपॉर्टेंट लर्निंग आगे काम आएगी हमारे प्रोबेबिलिटी में भी इसे समझेंगे अगर a की कॉर्डिनल और b की कोऑर्डिनेट ऐड करें तो क्या यूनियन के इक्वल आता है यूनियन की कोडिलिटी के यही ट्राई कर लीजिए a का कोऑर्डिनेट फोर था और जो एग्जांपल हमने लिया वहां बी का भी फोर था जबकि आप यूनियन का देखें तो यूनियन का सिक्स है ऐसा क्यों हुआ क्योंकि कुछ एलिमेंट कॉमन भी है ना यूनियन उसे सिर्फ एक बार काउंट करता है जबकि यहां पर अलग-अलग काउंट हो रहा है है ना तो दिस इज इंपॉर्टेंट लर्निंग फिर भी अगर मैं इसको डिफाइन करना चाहूं बाद में खर इस पर हम काम करेंगे तो अगर a यूनियन b का कोडिलिटी निकालना है तो क्या करना है a का कोऑर्डिनेट + b का कोऑर्डिनेट - a इंटरसेक्शन b तो जो कॉमन पार्ट है उसे माइनस कर दीजिए बाद में इसमें डिटेल में बात करेंगे यस अगला ऑपरेटर हमारा कौन सा हुआ इंटरसेक्शन जस्ट रिवर्स ऑफ इट तो अब यहां पर कौन से एलिमेंट चाहिए सर वो एलिमेंट चाहिए जो दोनों में हो हां इस बार और वाला नहीं चाहिए कि या तो ए या तो बी या तो दोनों ना सिर्फ वही एलिमेंट आएंगे इंटरसेक्शन जो कॉमन है जो ओवरलैप्ड है उसकी बात कर रहा हूं तो पढ़ूं एक बार इंटरसेक्शन ऑफ टू सेट्स a एंड बी इज अ सेट ऑफ ऑल दोज एलिमेंट्स व्हिच आइर आई एम सॉरी नॉट आइर व्हिच बिलोंग टू बोथ ए एंड बी जो ए और बी दोनों से बिलोंग करें सर वो आ जाता है इंटरसेक्शन में डिनोटेड बाय a इंटरसेक्शन b है ना तो ये पूरा आईडिया है और ध्यान से आप नोटिस करेंगे तो क्या मिलेगा आपको 1 2 3 4 एंड अगेन फव एंड 6 बट दिस टाइम आई नीड एक्सक्लूसिव दोज जो दोनों में कॉमन है और वो कौन है सर वो है 3 4 हाउ यू डिनोट इट लाइक दिस दिस इज अ सिंबल फॉर इंटरसेक्शन अब इतनी कॉमन बात है कि मैं वहां भी शायद ध्यान नहीं बता पाया बट आई थिंक आप जानते हैं दिस इज अ सिंबल फॉर यूनियन दोनों के दोनों बाइनरी ऑपरेटर है इसका एक स्पेशल केस है इंटरसेक्शन का जिसको हम बोलते हैं डिसजॉइंट सेट्स है ना तो दो सेट्स आपस में डिसजॉइंट कब कहलाते हैं जब उनके बीच में कुछ भी कॉमन ना हो व्हेन नथिंग इज कॉमन बिटवीन देम सो लुक एट दिस टू सेट्स अ आर सेड टू बी डिसजॉइंट इफ दे डू नॉट हैव अ कॉमन एलिमेंट अगर दोनों के बीच में कुछ भी कॉमन ना हो जैसे उदाहरण के लिए यहां मैं मान लूं 1 2 3 4 एंड सपोज दिस इज 5 6 78 अब मैं आपसे पूछूं बताओ दोनों का इंटरसेक्शन क्या होगा सर दोनों का इंटरसेक्शन होगा फा देर इज नथिंग कॉमन बिटवीन देम तो अगर दो सेट का इंटरसेक्शन फाई है तो स्पेशल केस है उन्हे वे कहलाते हैं डिसजॉइंट सेट्स मुझ से बोलिए क्या कहलाते हैं डिसजॉइंट सेट्स वेरी बेसिक आईडिया धीरे-धीरे करके सीखते चल रहे हैं अब ये देखिए ये भी बड़ी मजेदार बात है सेट डिफरेंस आसान भाषा में बोलूं तो सेट थ्योरी का सब्सट्रैक्शन है ना क्या मतलब है सेट डिफरेंस ऑफ टू सेट ए एंड बी आर अ सेट ऑफ ऑल द एलिमेंट्स व्हिच बिलोंग टू a बट डज नॉट बिलोंग टू b पहली बात इसे लिखने के दो तरीके हैं एक तो कॉमन सेंस आइडिया a - b जो मुझे लगता है ज्यादा सिंपल और एकदम से समझ भी आता है कि क्या बात हो रही है बट कुछ लोग जैसा आप देख रहे हैं इसको ऐसे भी रिप्रेजेंट करते हैं a ब b तो दोनों नोटेशन का मतलब एकदम सेम है और आईडिया क्या है हमें सिर्फ वो एलिमेंट चाहिए सर जो एक्सक्लूसिवली फर्स्ट सेट से बिलोंग करें ध्यान दीजिएगा सिर्फ वो एलिमेंट चाहिए जो एक्सक्लूसिवली फर्स्ट सेट से बिलोंग करें सो दैट इज वयर यू कॉल्ड एक्सल सेट डिफरेंस पढ़ूं एक बार देखिए सो द सेट डिफरेंस बिटवीन द टू सेट्स ए एंड b इज अ सेट ऑफ ऑल द एलिमेंट्स व्हिच बिलोंग टू a बट डज नॉट बिलोंग टू b वो सारे एलिमेंट जो एक्सक्लूसिवली a से बिलोंग करें बट b से बिलोंग ना करें a - b या जैसे मैं बता रहा हूं a ब b ऐसा करके आप रिप्रेजेंट कर सकते हो एंड लुक एट द डेफिनेशन कि ए से बिलोंग करेगा और बी से बिलोंग नहीं करेगा यहां पर आप देखो 1 2 3 4 एंड 3 4 5 6 बोलो कौन-कौन सा एलिमेंट सर आई थिंक पहला दो एलिमेंट वन और टू है ना तो ये दो एलिमेंट्स हैं जो एक्सक्लूसिवली ए से बिलोंग कर रहे बी से बिलोंग नहीं कर रहे एक और बात ध्यान में आ रही है नोटिस करिए अभी तक हमने जितने भी ऑपरेटर पढ़े ना आगे बात करूंगा तो a यि बी इ b य a लिखा जा सकता सकता है कम्युलेटिव है किसको पहले किसको बाद में लिखें इस बात से कोई फर्क नहीं पड़ता आई थिंक सेम बात इंटरसेक्शन पर भी लागू होती है a इंटरसेक्शन b = b इंटरसेक्शन a लिखा जा सकता इस पे भी कोई फर्क नहीं पड़ रहा बट ध्यान दीजिए यहां पर ऐसा नहीं है बिकॉज़ a - b और b - a दोनों के मायने बिल्कुल अलग-अलग होंगे तो बहुत इंपॉर्टेंट पॉइंट है ध्यान देने वाला है ना बिकॉज यहीं पर अभी तो 1 2 आया सर यहीं पे आपसे पूछूं b - a करेंगे तो क्या मिलेगा बताइए तो b - ए करेंगे तो वो पार्ट जो बी में है बट ए में नहीं है सो आई थिंक 110 पर आपको सिर्फ एक चीज मिलेगी वो है 5 एंड स तो इस तरह के कुछ बेसिक ऑब्जर्वेशन है जो हमारे साथ चलते हैं और जिसको हम सही से ऑब्जर्व करते हैं अगला ऑपरेटर इज द सिमेटिक डिफरेंस अगर डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक्स का आपको थोड़ा बहुत अंडरस्टैंडिंग है तो एक बात होती है एजोर ऑपरेशन ना व्ट इज एजर इसकी उल्टी चड़ है सर ये मान लीजिए यूनिन के ठीक उल्टा इस इंटरसेक्शन के ठीक उल्टा मानो एक्सक्लूसिव या तो पहले सेट से बिलोंग करें या तो दूसरे सेट से बिलोंग करे दोनों में कॉमन ना हो इसलिए मुझे हमेशा अच्छा लगता है कि मैं इसको ऐसे रिप्रेजेंट करूं लुक एट दिस सिंबल सिंबल वही है सर डिजिटल वाला दिस इज द सिंबल एक प्लस का सिंबल सर्किल के अंदर जिससे हम एग्जॉट रिप्रेजेंट करते हैं अब नोटिस करिए कह रहा है यूनियन में से इंटरसेक्शन सेट डिफरेंस कर दो तो सोचो मैं फिर से एग्जांपल लिखूं 1 2 3 4 5 और 6 यही मान के चल रहे हैं ना 1 2 3 4 5 6 तो अब एजोर क्या बोलता है या तो एक्सक्लूसिवली सेट a या तो एक्सक्लूसिवली सेट b दोनों में कुछ कॉमन नहीं होना चाहिए तो यहां अगर मैं आपसे पूछूं a वही पुराना एग्जांपल चल रहा है सर हमारा अगर 1 2 3 4 और 3 4 5 6 लेंगे तो बताइए एकर में क्या आएगा सर एक्सक्लूसिव पार्ट आ जाएगा तो वन आएगा 2 आएगा फाइव आएगा 6 आएगा कॉमन पार्ट हमारा बाहर चला जाएगा अब डिटेल डेफिनेशन लिखने के इतने तरीके थे मानो मैंने सब लिख दिए ऐसे भी सोचा जा सकता है कि यूनियन माइनस इंटरसेक्शन यूनियन से इंटरसेक्शन गया जो बचा वो सेट डिफरेंस था ऐसे भी सोचा जा सकता है ध्यान दीजिए ये पार्ट क्या एक्चुअली रिप्रेजेंट कर रहा है ये रिप्रेजेंट कर रहा है a - b a से बिलोंग करे बट b से ना करे ये क्या कह रहा है b - a b से बिलोंग करे बट a से ना करें और उठा के दोनों का हमने और माने दोनों का यूनियन कर सॉरी और दोनों का यूनियन कर दिया इधर देखिए दिस इज a - b य b - a यह भी य व वही बात को और डायरेक्ट लिख रहा हूं तो सारे के सारे तरीके एक ही बार को समझाते हैं व्हिच इज लाइक सिमेट्री डिफरेंस सो आई थिंक मुझे बताइए एक बार स्टार्टिंग विद कम्प्लीनोस क्शन सेट डिफरेंस एंड सिमेट्री डिफरेंस अगर इनके ऊपर एक शॉर्ट नोट लिखने के लिए आ जाए विद एग्जांपल विद वेन डायग्राम बना के आना है है ना पूरे में से पूरे नंबर मिलेंगे वरना एक दो नंबर कटेगा वो तो थ्योरी पेपर में काटते हैं उसमें कोई दिक्कत नहीं है दिस इज द आईडिया आगे बढ़ता हूं अभी आधे रूल तो हमने ऑब्जर्वेशन करते करते समझ लिए फिर भी नोट में ले लेते हैं आईडम पोटेंट लॉ किसी सेट का अगर उसी सेट के साथ यूनियन या इंटरसेक्शन करेंगे बोलो कोई फर्क पड़ेगा क्या ना 1 2 3 1 2 3 दोनों का यूनियन करूंगा अगेन मेरे को क्या मिलेगा सर 1 2 3 ही मिलेगा मैं इसे मन में ऐसे याद रखता हूं आईडम पोर्टेंट लॉ आईडम पोर्टेंट व्हिच इज नॉट इंपॉर्टेंट क्या बा यह कॉमन सेंस बात है पर चलो उसका भी लॉ बना के रख दिया तो पढ़ लेता हूं सर ठीक है और यह आप कितनी बार कर ले दो बार क्या ए का यूनियन यूनियन ए यूनियन ए यूनियन ए हजार बार लिखिए तब भी दोबारा ए ही मिलेगा नो डिफरेंस एट ऑल कम टू दिस एसोसिएटिव लॉ यह क्या कह रहा है अगर तीन सेट का यूनियन करना है अभी यूनियन तो बाइनरी ऑपरेटर है एक बार में दो ही एलिमेंट का कर पाएंगे तो आप पहले a का यूनियन बी के साथ करें फिर सी के साथ करें या पहले b स का यूनियन कर ले फिर a के साथ करें दोनों केस में रिजल्ट एकदम सेम आएगा तो यूनियन और इंटरसेक्शन वाली बात भी ध्यान रखनी है बहुत इंपॉर्टेंट है कम्यूटर a यूनियन b b यूनियन a या a इंटरसेक्शन b b इंटरसेक्शन a दोनों एक बात है ये भी हम ऑब्जर्व कर चुके हैं तो देखिए यूनियन इंटरसेक्शन इस बात को सेटिस्फाई करता है लेकिन जो हमारा सेट डिफरेंस वाला था वो इस बात को सेटिस्फाई नहीं करता तो अपना अलग-अलग ऑब्जर्वेशन है आगे देखिए डिस्ट्रीब्यूटर नाउ दैट इज इंपॉर्टेंट कैसे डिस्ट्रीब्यूटर है और ये कोई भी रूल जो है ना आप एक वेन डायग्राम बनाओ दो-तीन केस लो एग्जांपल भर के देखोगे 100% सेटिस्फाई करेगा तो ध्यान दीजिए क्या कह रहा है a य b इंटरसेक्शन c अगर करना है तो देखिए यूनियन हमारा डिस्ट्रीब्यूटर है तो क्या इसको लिख सकते हैं इट इज एज गुड एज सेइंग a य b इंटरसेक्शन a य c a य b इंटरसेक्शन a य c तो ये यूनियन अंदर पहुंच जाएगा इंटरसेक्शन बाहर आ जाएगा ठीक उसी तरह इंटरसेक्शन भी डिस्ट्रीब्यूटर है टुवर्ड्स यूनियन तो इसको कैसे लिख सकते हैं a इंटरसेक्शन बी a इंटरसेक्शन स ध्यान से देखिए तो इंटरसेक्शन अंदर चला गया यूनियन बाहर आ गया ना दैट इज डिस्ट्रीब्यूटर लॉ डी मॉर्गन लॉ यह तो इतना इंपॉर्टेंट है खासकर इलेक्ट्रॉनिक्स में है ना तो अब यहां से देखिए a यूनियन बी का अगर होल कॉम्प्लीयंट यह भी कॉम्प्लीयंट इज ए कॉम्प्लीयंट सेक्शन बी का होल कॉम्प्लीयंट यूनियन बी कॉम्प्लीयंट अगर हमने एमटी सेट को सारे बेसिक ऑपरेटर को ध्यान से समझा तो इट्स नथिंग तो अगर फ के साथ यूनियन करेंगे कोई फर्क पड़ेगा फई के पास कोई एलिमेंट ही नहीं है तो अगर आप फ के साथ किसी का भी यूनियन करें तो कुछ ऐड होता नहीं यू विल गेट द सेम सेट फा के साथ इंटरसेक्शन करें तो जरूर आप कंगाल हो जाएंगे बिकॉज इंटरसेक्शन मतलब क्या होता है कॉमन अभी फाइव में कोई एलिमेंट ही नहीं तो कॉमन भी क्या आएगा कुछ भी कॉमन नहीं आएगा सर तो फाइ मिलेगा यूनिवर्सल के साथ यूनियन करना यूनिवर्सल में कोई फर्क पड़ेगा उसके पास पहले से सब कुछ है उसको क्या दे देंगे आप तो a का यूनियन करेंगे यूनिवर्सल के साथ अगेन यूनिवर्सल मिले और a का इंटरसेक्शन करेंगे यूनिवर्सल के साथ यू विल गेट बैक द सेम सेट a ये पता है क्या है ये सारे मैथ्स सेम है डिजिटल याद है आपको देखो डिजिटल में जो यूनियन है यूनिवर्सल है मान लो वो वन है जो फाई है जो सबसे छोटा है मान लो वो जीरो है क्योंकि बाइनरी में तो दो ही वैल्यू होती है रो व जरा लिख के देखना क्या बनेगा सो अच्छा यूनियन इंटरसेक्शन को कैसे लिख सकते यूनियन माने और ऑपरेशन और इंटरसेक्शन माने एंड ऑपरेशन देखना क्या बनेगा ये जैसे वहां आमतौर पर स्मॉल केस में लिखा जाता तो ये बनेगा a + 0 = 0 a ड आई एम सॉरी = a a0 = 0 इवर्स माने व तो a + 1 = 1 एंड a डॉ 1 = a बताओ ये सेम रूल क्या हम डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक्स में नहीं पढ़ते क्या पढ़ते हैं सर पूरा कंप्यूटर सी के ऊपर चल रहा है है ना अब आप सोच ये क्या हम पढ़ रहे हैं इसका कुछ फायदा सब कुछ इसी से निकला अब इन दोनों में कौन सीनियर है यह बाद की बात है डिजिटल यह मैथ बहुत पुराना है तो सारा का सारा मैथमेटिक्स ना सेट थ्योरी से ही निकला है और ये जितने भी रूल है अब ये आप वहां कैसे पढ़ते हैं इसको ऐसे पढ़ते हैं a + बी का होल बार = a बारड बी बार या एड बी का होल बार = a बार ् ब बार वही तो है य और क्या है तो सेम मैथ है आगे देखिए ये तो अभी हमने सब ऑब्जर्व किया कॉम्प्लीयंट सेक्शन करेंगे कुछ भी कॉमन नहीं मिलेगा यूनियन के साथ कॉम्प्लीयंट करेंगे दोबारा यूनिवर्स मिलेगा और दो बार कॉम्प्लीयंट बेसिक आईडिया हमारा कंप्लीट और इसी के साथ सेट थ्योरी हमारा कंप्लीट सो आई होप मैं बहुत डिटेल में नहीं गया जरूरी भी नहीं है क्योंकि जितना वेटेज दिया जाता उतना समझना और यह जो डिस्क्रीट स्ट्रक्चर आमतौर पर बीटेक में जो चला रहे हैं दे वांट कि आपको बेसिक अंडरस्टैंडिंग होना चाहिए कहीं यूनियन इंटरसेक्शन लिखे तो आपको कंफ्यूजन ना हो बाकी तो जो अलग-अलग टॉपिक्स है उस परे हम अच्छे से बात करते हैं है ना तो अब इस चैप्टर में बात करेंगे हम रिलेशंस की और उसके जितने भी रिलेटेड टॉपिक्स हैं उसके बारे में तो चलिए सर अभी बात करते हैं रिलेशंस के बारे में और रिलेशंस का अगेन यू नो डिटेलिंग वैसे बहुत कॉम्प्लेक्शन एंड फंक्शंस बट हमें यहां पर ये भूलना नहीं है कि हम जो पढ़ रहे हैं ना वो डिस्क्रीट मैथमेटिक्स के कॉन्टेक्स्ट में पढ़ रहे हैं कंप्यूटर साइंस के कॉन्टेक्स्ट में पढ़ रहे हैं तो एक खास तरफ हम आगे बढ़ेंगे पहले बेसिक रिलेशंस को समझेंगे रिलेशन क्या होते हैं उनके क्या टाइप्स हैं एंड देन पोस्ट ऑर्डर रिलेशन हमारे लिए बड़ा इंपॉर्टेंट है उसको एक ग्राफिकल फॉर्म में कन्वर्ट करेंगे जिसको हम बोलते हैं लेटर्स ऑफ लेटर्स को इन्वेस्टिगेट करेंगे और पहुंचेंगे बलिन अलजेब्रा कम्प्लीनोस के लिए एक बेसिक प्लेटफॉर्म क्रिएट करता है सो इंस्टेड ऑफ डायरेक्टली जंपिंग ऑन टू व्हाट इज अ रिलेशन पहले समझेंगे कार्टीजन प्रोडक्ट क्या है हमने पूरे सेट में बहुत सारे ऑपरेटर पढ़े बट कार्टीजन प्रोडक्ट नहीं पढ़ा द रीजन बीइंग बिकॉज़ इट प्रोवाइड्स अ प्लेटफॉर्म फॉर अ रिलेशन तो कार्टीजन प्रोडक्ट क्या उसको समझते आई विल गो बाय डेफिनेशन कार्टीजन प्रोडक्ट ऑफ टू सेट्स ए एंड बी इज अ सेट ऑफ ऑल ऑर्डर्स हुज फर्स्ट मेंबर बिलोंग टू द फर्स्ट सेट एंड द सेकंड मेंबर बिलोंग टू द सेकंड सेट डिनोटेड बाय a क्रॉस b तो क्या बोलना चाह रहे हैं कि कार्टीजन प्रोडक्ट क्या है दो सेट अगर हम लेते हैं एग्जांपल समझना बहुत जरूरी है हम बहुत सारे ऑर्डर पेयर बनाएंगे और पेयर किस तरह से कि हर पेयर में यहां देखिए जैसे मैंने अच्छा अगले पेज पर लिखा होगा डिटेल डेफिनेशन लुक एट दिस तो a क्रॉस बी कार्टीजन प्रोडक्ट बहुत सारे ऑर्डर्स सेट से बिलोंग करेगा यानी कि a से और जो दूसरा एलिमेंट होगा वो दूसरे सेट से बिलोंग करेगा मानो बी से एग्जांपल से समझाता हूं जैसे यहां देखिए एक पहला सेट है ए जिसके अंदर हमें दो एलिमेंट नजर आ रहे हैं ए और और दूसरा सेट है b जिसके अंदर हमें तीन एलिमेंट्स नजर आ रहे हैं 1 2 3 तो कैसे काम करना है नोटिस करिए इसको ऐसे समझिए a जो है पहले सेट का हर एलिमेंट दूसरे सेट के हर एलिमेंट से रिलेट करेगा दिस इज काइंड ऑफ अ मैक्सिमम रिलेशनशिप पॉसिबल इससे कॉम्प्लेक्टेड करेगा a3 से रिलेट करेगा सिमिलरली b को देखिए b भी सर वन से रिलेट करेगा टू से रिलेट करेगा थ्री से रिलेट करेगा ये आईडिया है तो अगर मैं यहां पर लिखना शुरू करूं बताइ ये कैसे लिखूंगा सो दिस इज लाइक कैसे लिखते हैं इस रिलेशनशिप को a 1 एंड देन a 2 एंड देन a 3 सिमिलरली b वाला सो दिस इज लाइक b 1 एंड देन b 2 एंड देन b 3 यस तो इसको बोलते हैं कार्टीजन प्रोडक्ट कैसे डिनोट करेंगे बाय सिंबल ऑफ मल्टीप्लाई आईडिया क्या है कि पहले सेट का हर एलिमेंट दूसरे सेट के हर एलिमेंट से रिलेट करें यह कहलाता कार्टीजन प्रोडक्ट एक और बात इन सभी पेयर को हम बोल रहे हैं ऑर्डर्स इस बात के क्या मायने हैं वैसे कार्टीजन प्रोडक्ट भी अपने आप में एक सेट है तो अगर आप कहते हैं कि सर हम a 3 को पहले लिखेंगे और a 1 को बाद में लिखेंगे कोई फर्क नहीं पड़ता इस बात से बट ये जो पेयर है अपने आप में क्या इसके अंदर आप पहले वन को फिर एक लिख सकते हो नहीं तो ये जो रिलेशनशिप है ना सर इसका एक डायरेक्शन है ये कह रहा है कि a1 से रिलेटेड है ये 1a से रिलेटेड है कि नहीं उसके बारे में कोई बात नहीं कर रहा तो दैट इज व्हाई ये जो इंडिविजुअल पेयर है इनको हम ऑर्डर्स बोल रहे हैं है ना बहुत इंपॉर्टेंट है तो ज मैं आपसे बोल रहा था दिस इज अ काइंड ऑफ अ मैक्सिमम रिलेशनशिप पॉसिबल और ये डिटेल डेफिनेशन अगेन अब तो आपको पता है दिस इज सेट बिल्डर फॉर्म है ना तो थोरेट्स कर रहे हैं एक और मुझे इमेज मिली तो ये भी बहुत अच्छा तरीका हुआ ना समझाने का मैट्रिक्स फॉर्म में तो देर यू सी a के अंदर तीन ट्रायंगल हैं रेड कलर ब्लू कलर ग्रीन कलर बी के पास फाइव कलर के स्टार्स हैं एंड देयर यू सी जब हर कलर के ट्रायंगल को आप हर कलर के स्टार के साथ रिलेट करेंगे है ना तो ये सब आपको नजर आ रहा है देन यू हैव अ कार्टीजन प्रोडक्ट एज a क्रॉस b बहुत बेसिक आईडिया है अच्छा एलिमेंट्स की बात कर लेता हूं बहुत सिंपल है बट इंपॉर्टेंट है तो पहली बात इंपॉर्टेंट मैं आपको समझा चुका हूं कि रिलेशनशिप जो है कार्टन प्रोडक्ट में सेट ए की रिलेशनशिप b की तरफ जा रही है इट इज नॉट लाइक b की a की की तरफ आ रही है कि नहीं है ना तो यह बात में तो कोई डाउट होना ही नहीं चाहिए कि क्या कार्टीजन प्रोडक्ट कम्यूटर ऑपरेटर है नहीं सर तो a क्रॉस b और b क्रॉस a दोनों सेम बात है कि अलग बात है दोनों अलग-अलग बात हैं वेरी इंपॉर्टेंट नंबर ऑफ एलिमेंट्स की बात करें जैसे हमने एग्जांपल बनाया आपने नोटिस किया हो पहले सेट के अंदर दो एलिमेंट थे दूसरे सेट के अंदर तीन एलिमेंट हैं अब अगर हर एलिमेंट हर एलिमेंट के साथ रिलेट करेगा तो ओवरऑल कितने एलिमेंट मिले सिक्स मिले तो यहां पर अगर जनरल एक फार्मूला काइंड ऑफ डिराइवर करने की बात करें तो अगर a के पास m नंबर ऑफ एलिमेंट्स हैं और b के पास n नंबर ऑफ एलिमेंट्स है सो a क्रॉस b कंटेन हाउ मच तो सर इट विल कंटेन m * n नंबर ऑफ एलिमेंट्स है ना तो ये बात बहुत सिंपल है और स्ट्रेट फॉरवर्ड तरीके से हम आगे बढ़ रहे हैं नाउ अब मैं यहां से आपको पहली बार डिफाइन करता हूं रिलेशन क्या है अब कार्टीजन प्रोडक्ट तो आप समझ चुके और कार्टीजन प्रोडक्ट में ये भी समझोगे कि हां सर जब हर सेट के पहले सेट के हर एलिमेंट को दूसरे सेट के हर एलिमेंट के साथ रिलेट करें दिस इज लाइक अ कार्टीजन प्रोडक्ट लेकिन अब अगर मैं आपसे पूछूं कि मैं ऐसा नहीं करता सर मैं ना इसमें से कुछ स्पेसिफिक पेयर लेता हूं फॉर एग्जांपल मैं कहता हूं a को मैं वन से रिलेट करूंगा a को मैं ्र से रिलेट करूंगा और बी को मैं टू से रिलेट करूंगा एंड दैट विल बी ऑल तो कौन-कौन से पेयर मिलेंगे बोलो एव मिलेगा इफ आईम नॉट मिस्टेकन देन a 3 मिलेगा यस एंड देन बीटू मिलेगा ध्यान से देखिए यह तीन पेर मेरे को मिलने वाले हैं a1 a3 एंड b2 अब यह क्या है जो कार्टीजन प्रोडक्ट था जो मैक्सिमम रिलेशनशिप पॉसिबल था यह उसका सबसेट है मानते हो ना उसके अंदर तो छह पेयर थे छह डर्ड पेयर थे यहां पर कितने मिले तीन इसी पॉसिबल सबसेट को हम बोलते हैं रिलेशन बात समझ आती है क्या तो मैंने क्या किया आपको समझाता हूं लुक एट दिस छोटे एग्जांपल भी लिया वरना बहुत कॉम्प्लेक्शन दूसरे सेट के पास भी दो एलिमेंट तो बोलो कार्टीजन प्रोडक्ट में कितने आएंगे सर चार आएंगे कौन-कौन सा फिर वही बात पहले सेट का हर एलिमेंट दूसरे सेट के हर एलिमेंट के साथ रिलेट करेगा तो देर यू सी a1 के साथ a2 के साथ देन b1 के साथ एंड b2 के साथ ये चारों पेयर हमें नजर आ गए मानते हैं अब मैं क्या कह रहा हूं इस सेट का कोई भी पॉसिबल सबसेट ले लीजिए वो अपने आप में रिलेशन कहलाता है और जैसे मैंने पहले आपको याद है सेट थ्योरी में पावर सेट में सारे कॉमिनेशन बना के दिखाए थे तो सारे कॉमिनेशन समझाने के लिए मैंने टेबल बना के रख लिया तो आप मुझे बताओ अगर मैं कोई भी पेयर ना लूं सबसे छोटा पॉसिबल सबसेट किसी भी सेट का कौन होता है फ माने एमटी सेट तो ये एक वैलिड सेट है है ना एक और सेट क्या हो सकता है 001 यानी कि मैं सिर्फ एक ही एलिमेंट ले लेता हूं b 2 तो इमेजिन करिए क्या ये भी एक तरह का रिलेशनशिप है हां है जिसमें सेट कैपिटल ए का एक ही एलिमेंट ब स्मल बी सेट कैपिटल बी के एक ही एलिमेंट टू के साथ रिलेट कर रहा है सो दिस इज b 2 ये आईडिया है और अगेन ये देखिए पूरा टेबल मैंने भर के आपको दिखा दिया तो ये क्या हुए सर टोटल 16 डिफरेंट रिलेशंस आर पॉसिबल फ्रॉम a टू बी जिसमें बात थोरेट्स कि सेट ए का कोई भी एलिमेंट सेट बी के किसी भी एलिमेंट से रिलेट नहीं कर रहा दिस इज आल्सो काइंड ऑफ़ अ रिलेशन और आखिरी वाला द एंटर कार्टीजन प्रोडक्ट इट सेल्फ ये भी एक रिलेशन है कि पहले सेट का हर एलिमेंट दूसरे सेट के हर एलिमेंट से रिलेट कर रहा है तो ये पूरा सिनेरियो है है ना एक बार ध्यान से देखिए नोटिस करिए ऑब्जर्व करिए मुझे बताइए फॉलो कर पा रहे हैं क्या मुझे कोई और चारा मिला नहीं मैंने पूरा टेबलेट कर डाला सर कि सारे केस कितने पॉसिबल हैं है ना सो आई होप नाउ वी हैव द अंडरस्टैंडिंग ऑफ रिलेशन में पढ़ूं एक बार क्या लिखा है एनी सबसेट ऑफ यही कोई भी पॉसिबल सबसेट जो है वो रिलेशन कहलाता सो टोटल नंबर ऑफ रिलेशन कितने पॉसिबल होंगे यहां मैंने लिखा है यही बता देता हूं यहां शायद उसी के लिए फिल इन द ब्लैंक बनाया तो याद करिए पहले सेट के पास अगर m नंबर ऑफ एलिमेंट्स है दूसरे सेट के पास अगर n नंबर ऑफ एलिमेंट्स हैं थोड़ी देर पहले ही हमने डिराइवर किया कि कार्टीजन प्रोडक्ट के पास कितने होंगे m * n बोलो याद है क्या हां जी याद है m * n होंगे अब मैं बोल रहा हूं यह जो कार्टीजन प्रोडक्ट यहां बना यह जो कार्टीजन प्रोडक्ट बना इसके पॉसिबल ऑल पॉसिबल सबसेट एवरी पॉसिबल सबसेट इज अ रिलेशन तो टोटल नंबर ऑफ रिलेशन कितना हो जाएगा सर इट इज 2 रे पावर m * 1 उदाहरण के लिए इस केस में m की वैल्यू टू थी पहले सेट में दो एलिमेंट थे इस केस में b की वैल्यू भी टू थी दूसरे सेट में भी दो एलिमेंट थे एंड 2 * 2 बिकम फोर सो 2 ^ 4 पावर 4 बिकम 16 और आपने देखा कि कैसे 16 अलग अलग रिलेशन आपको नजर आए है ना अब एक बात नोटिस करिएगा य उसी का एक मैट्रिक्स फॉर्म देख सकते तो ए के पास तीन एलिमेंट एक्स वा जड बी के पास भी तीन एलिमेंट टूथ और फिर वही बात पहले सेट का हर एलिमेंट दूसरे सेट के हर एलिमेंट से रिलेट कर रहा है सो दे यू सी अ रिलेशन इन मैट्रिक्स फॉर्म ए क्रॉस बी जहां पर न एलिमेंट आपको नजर आए अब यहां से आगे समझते कम्प्लीनोस प्रोडक्ट बनाया जो कि ऑर्डर्स से बना बट वो भी एक सेट है और फिर हमने उसके ऊपर रिलेशन यू नो डिस्क्राइब किया डिफाइन किया कि कार्टीजन प्रोडक्ट का कोई भी पॉसिबल सबसेट एक रिलेशन है बट इन सब बातों में जो सबसे इंपॉर्टेंट बात ध्यान देने वाली है कि रिलेशन भी एक सेट है नॉर्मल एलिमेंट्स का नहीं पेयर्स का तो अब अगर रिलेशन सेट है तो वो जो सारे के सारे नियम और रूल और कानून और ऑपरेशन जो सेट्स पे एप्लीकेबल है वो सारे के सारे ऑपरेशंस अभी रिलेशन पर भी एप्लीकेबल बल है तो जैसे किसी सेट का कॉम्प्लीयंट मेंट हो सकता है हां जी हो सकता है और उसी की बात कर रहे हैं तो यहां देखिए व्हाट इज कम्प्लीनोस कैपिटल r बी अ रिलेशन फ्रॉम a टू बी तो अगर a से b की तरफ कैपिटल r एक रिलेशन है देन द कॉम्प्लीयंट लिख दूं r बार लिख दूं एक ही बात है और देखो कैसे डिफाइन कर रहा है उसको कह रहा है वो सारे के सारे पेयर ए कॉमा बी कॉम्प्लीयंट में होंगे कब जब वो कार्टीजन प्रोडक्ट में हो बट वो रिलेशन में ना हो अब यहां समझो इस जगह पे कौन बिहेव कर रहा है एज अ यूनिवर्सल सेट तो ध्यान से देखोगे आपको बात समझ आएगी यहां पे यूनिवर्सल सेट की बिहेव कर रहा है कार्टीजन प्रोडक्ट य कार्टीजन प्रोडक्ट इज द मैक्सिमम रिलेशनशिप पॉसिबल जो निकला उसी से निकला है बोलो बो हां या ना तो अगर किसी का भी कम्प्लीनोस में निकालेंगे कार्टीजन प्रोडक्ट के उदाहरण देखिए वही वाला एग्जांपल a के पास दो एलिमेंट a और बी और बी के पास तीन एलिमेंट 1 2 3 और कार्टीजन प्रोडक्ट में छह के छह एलिमेंट बन गए है ना अब यहां ध्यान से देखो नोटिस करो अगर रिलेशनशिप में आप तीन एलिमेंट ले रहे हो सो a1 आपने ले लिया a3 आपने ले लिया और b2 आपने ले लिया तो जो बचा वो क्या है वो कॉम्प्लीयंट जो आपके पास नहीं है वो आपका कॉम्प्लीयंट करता है यहां यूनिवर्स है कार्टीजन प्रोडक्ट बोलो हाया ना और आप है एक रिलेशन तो आपका कम्प्लीनोस नहीं बट कार्टीजन प्रोडक्ट के पास है तो बताइए कौन-कौन बचा सर कम्प्लीनोस करिए a 2 बीव बी थ्र ये सब के सब हमारे क्या हो गए कॉम्प्लीयंट करेगा अगर किसी सेट का किसी रिलेशन का उसके कॉम्प्लीयंट बैक द कार्टीजन प्रोडक्ट वापस मिल जाएगा सर और क्या है इजेंट इट अगर किसी रिलेशन का उसके कॉम्प्लीयंट में कभी भी कुछ कॉमन हो ही नहीं सकता हा कॉम्प्लीयंट नहीं हो सकता इसलिए वो एलिमेंट कॉम्प्लीयंट मेंटेशन की पूरी बात आपको समझ आई होगी एंड ट इ रीजन मैं एक एक पॉइंट और लिख रहा हूं वही अगर यूनिवर्सल सेट से किसी सेट को माइनस कर दिया जाए सेट डिफरेंस कर दिया जाए जो बचता है वो आपका कॉम्प्लीयंट हम एनालाइज कर सकते हैं अब यहां एक बात समझिए यह लॉजिक सेट थ्योरी में नहीं था ये यही है कॉल्ड इवर्स ऑफ अ रिलेशन अब यह क्या कहानी है दोबारा समझिए अगर हम a और बी के बीच में कार्टीजन प्रोडक्ट डिफाइन कर रहे तो मैं आपको बार-बार याद दिला रहा हूं a क्रॉस बी बी क्रॉस ए सेम बात नहीं है और रिलेशनशिप की एक डायरेक्शन है जहां पर मैं स्पेसिफिकली बता रहा हूं a का एलिमेंट b के साथ रिलेट कर रहा है ये सारे के सारे पेयर ऑर्डर्स है तो इफ दिस इज अ पहले देखिए इफ दिस इज अ कार्टीजन प्रोडक्ट और मान लीजिए इसका कोई भी एक पॉसिबल सबसेट ये मैं r ले रहा हूं तो मैं दोबारा याद दिला रहा हूं इसका मतलब है a1 से रिलेट कर रहा है a3 से रिलेट कर रहा है b2 से रिलेट कर रहा है है ना इवर्स का मतलब क्या है पेयर चेंज मत करिए पेयर चेंज मत करिए उनका डायरेक्शन चेंज कर दीजिए सो व्हाट इज द इवर्स ऑफ अ रिलेशन इसको और अच्छे से समझेंगे फंक्शन जब हम पढ़ेंगे तो व्हाट इज इवर्स ऑफ अ रिलेशन दैट यू सी अ b a इवर्स ऑफ अ रिलेशन में हाउ ड यू डिनोट इवर्स लाइक दिस तो b ए सर इवर्स में बिलोंग करेगा कब जब a बी रिले में हो नोटिस करिए बीमा ए बिलोंग करेगा जब एमा बी बिलोंग करे किसमें रिलेशन में तो बताइए कैसे लिखूं करना क्या है डायरेक्शन चेंज कर दो सो दैट विल बी 1 ए दैट विल बी 3 ए और दिस विल बी 2 बी और नोटिस करेंगे तो बात समझेंगे कि जो इवर्स है यह अभी भी ए से बी की तरफ जाएगा या अब ये बी से सरय बी से एक ही तरफ जाने लगेगा क्योंकि मैं नंबर ऑफ एलिमेंट चेंज नहीं किया तो किसी रिलेशन में उसके इवर्स की जो कार्डिनलिटी होगी जो काउंट होगा वह एकदम सेम होगा है ना यह भी बहुत सिंपल और प्रॉपर अंडरस्टैंडिंग है नोन एज़ इवर्स ऑफ़ अ रिलेशन मानते हैं तो धीरे-धीरे वन बाय वन वैल्यू के साथ आईडिया के साथ हम आगे बढ़ते जा रहे हैं और चीज़ें क्लियर हो रही हैं अब यहां पे एक बहुत इंपॉर्टेंट स्टेज है इसके आगे की पढ़ाई दो-तीन खास अंश में होंगे उसको समझ लेते हैं एंड देन बा ऑटोमेटिक य अंडरस्टैंड डायगोनल ऑफ़ अ रिलेशन देखिए अभी अभी तक हम मैं आपसे बोल रहा हूं दो सेट हैं एक सेट है कैपिटल a एक सेट है कैपिटल ब और उनका हम कार्टीजन प्रोडक्ट कर रहे हैं आगे अभी हमें डिस्कस करना टाइप्स ऑफ रिलेशन है ना जिसमें रिफ्लेक्सिवली सिमिट्रिक एंटीसिमिट्रिक अस सिमेट्री ट्रांसिटिव अलग-अलग वैरायटी है तो पहली बात जो ध्यान रखनी है अब हम किसी सेट का कार्टीजन किसी a सेट का कार्टीजन b के साथ नहीं करेंगे सर अब हम किसी सेट का कार्टीजन खुद अपने ही साथ करेंगे प्लीज अंडरस्टैंड तो मैं बार-बार बात बोलूंगा नहीं बट यह अजमन अभी हमारे साथ चलेगा कि a का कार्टीजन बोलिए किसके साथ होगा a के साथ ही होगा तो उदाहरण के लिए यहां देख रहे हैं आप अ एक सेट है a जिसमें तीन एलिमेंट है 1 2 3 दिस इज सेट कैपिटल ए व्हिच कंटेन थ्री एलिमेंट्स 1 2 3 अब 1 2 3 में कितने पेयर बनेंगे सर 3 * 3 9 पेयर बनेंगे 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 3 3 3 1 3 2 33 वो कोई नई बात नहीं है नोटिस करने वाली बात क्या है अब एक खास तरह का रिलेशन उसमें कहलाएगा डायगोनल रिलेशन जहां पे यू गेट व्हाट एलिमेंट डायगोनल एलिमेंट्स हा आप आसान भाषा में बोलूं जिसको आगे जाके और डिटेल में समझेंगे जहां पर हर एलिमेंट से खुद अपने साथ रिलेट करें तो बाकियों के साथ करो ना करो अपने आप अपने साथ कैसे करा क्योंकि दोनों तरफ सेम ही है ये जो रिलेशन है ये सेट ए का सेट ए की तरफ ही है है ना डायगोनल इसलिए बोल रहे हैं बिकॉज इफ यू रिप्रेजेंट दिस रिलेशन इन अ मैट्रिक्स फॉर्म तो इनकी पोजीशन आपको डायगोनल प नजर आएगी तो जब वन वन के साथ 22 के साथ और 33 के साथ रिलेट करें तो इसको सर हम बोलते हैं डायगोनल रिलेशन प्लीज अंडरस्टैंड दिस है ना तो एक बहुत बेसिक बहुत फंडामेंटल ऑब्जर्वेशन है हमारे पास आगे बढ़ते हैं नाउ जैसे मैं आपसे बोल रहा था टाइप्स ऑफ रिलेशन तो एक दो ऑब्जर्वेशन पहले क्लियर कर देता हूं तो याद रखिए अब हम a का कार्टीजन b के साथ नहीं कर रहे हैं हम a का कार्टीशन a के साथ कर रहे हैं और अगर a के अंदर n नंबर ऑफ एलिमेंट्स हैं सो टोटल कितने नंबर ऑफ पेयर मिलेंगे कार्टीजन प्रोडक्ट में बेसिकली n स्क्वा और अगर टोटल नंबर ऑफ रिलेशन पूछे तो 2 रे टू पावर दैट बिकॉज दिस इज नथिंग बट ऑल पॉसिबल सबसेट सो टोटल नंबर ऑफ रिलेशन पॉसिबल फ्रॉम अ सेट टू इट सेल्फ व्हिच कंटेन एन एलिमेंट्स इज 2 रे टू पावर n स् ठीक है नाउ पहला इसमें शुरुआत करते हैं और उस रिलेशन का नाम है रिफ्लेक्सिवली रिफ्लेक्सिवली ये डायगोनल की तरह बट उससे डिफरेंट कैसे है उससे भिन्न कैसे समझाता हूं हम बोलते हैं जब हर एलिमेंट खुद अपने ही साथ रिलेट करे है ना तो वो रिफ्लेक्सिवली का मेरे को प्रॉब्लम नहीं पहले इसका मतलब समझाता तो डेफिनेशन तो फिर किताबी भाषा बात समझ आती है तो माने रिफ्लेक्सिवली मेंट है सर तो क्या 1 1 2 2 3 3 का होना जरूरी है वो जरूरी है एक चाहिए कि सारे चाहिए सारे चाहिए हर एलिमेंट अपने आप आपसे रिलेट करें इसमें ऑप्शन नहीं दे रहा आपको मैंडेटरी बोल रहा हूं चाहिए ही चाहिए व्हेन एवरी एलिमेंट रिलेट टू इट सेल्फ देन द रिलेशन इज़ कॉल्ड रिफ्लेक्सिवली अ रिलेशन r ऑन अ सेट कैपिटल इज़ सेट टू बी रिफ्लेक्सिवली क्वांटिफायर इफ एवरी एलिमेंट x व्हिच बिलोंग टू कैपिट a x x मस्ट बिलोंग टू रिलेशन हर एलिमेंट जो कैपिटल a से बिलोंग कर रहा है x एक रिलेशन से बिलोंग करना चाहिए तो यह तो डायगोनल भी था नहीं क्या डिफरेंस है समझाता हूं एग्जांपल के साथ समझाता हूं हर केस में इतने एग्जांपल बना के लाया हूं कंफ्यूजन होने का ध यू नो कोई स्कोप रहेगा नहीं अभी रिफ्लेक्सिवली पढ़ा तो उसी की बात करूंगा कहानी क्या है नोटिस करिए सेट वही सिंपल ऑब्जर्वेशन मान के चल रहा हूं 1 2 3 तो मुझे बताइए क्या a क्रॉस ए रिफ्लेक्सिवली a क्रॉस के a क्रॉस ए के प्रास तो मानो सब कुछ है 1 1 1 2 13 21 2 2 33 31 2 2 33 आप मुद्दे की बात करो रिफ्लेक्सिवली आपको क्या चाहिए आपको तीन एलिमेंट चाहिए 1 2 2 3 3 क्या वो आपके पास है क्या सर जब सब कुछ है तो वो भी है सो a क्रॉस ए इज आल्सो रिफ्लेक्स नाउ यू अंडरस्टैंड द डिफरेंस जब मैं डायगोनल की बात करता हूं तो डायगोनल क्या बोलता है डायगोनल बोलता है मुझे बस यही चाहिए क्या डायगोनल में 1 2 रख सकते हैं नहीं लेकिन अगर मैं पूछूं रिफ्लेक्सिवली सिव हो के भ कह रहा भैया हमें दिक्कत नहीं है आप एक्स्ट्रा कुछ भी रखें हमें ये बताइए हमारे जो रिफ्लेक्सिवली पेयर है वो है कि नहीं दैट इज द आईडिया आगे बढ़ता हूं अगला अभी करते करते आप समझ ही जाएंगे अगला है फाइ फाइ तो कुछ भी नहीं है इसके पास तो हाउ इट कैन बी रिफ्लेक्सिवली तो होना ही था सारी लड़ाई इसी की है अब यहां देखिए क्या वन वन है फोर्थ की बात कर रहा हूं वन वन नहीं है आगे पढ़ूंगा नहीं सर मैं मेरे को एक नहीं चाहिए मेरे को तो एक गलती आप करोगे मैं बाहर हो जाऊंगा मेरी एक ही शर्त है मेरे को हर एलिमेंट को हर एलिमेंट के साथ रिलेट कराना है क्योंकि आपके सेट में तीन एलिमेंट है 1 2 3 तो वन को वन के साथ रिलेट कराना है नहीं कराएंगे मैं बाहर आ जाऊंगा सो सॉरी आगे बढ़ी वव है हां जी है 2 2 है हां है 33 है ध्यान से देखो 33 है नहीं है सॉरी थैंक यू सो मच बाहर आ जाइए मुझे मतलब नहीं है सर आप एक्स्ट्रा कुछ भी रखें उससे कोई प्रॉब्लम नहीं है हमारे जो रिक्वायर्ड एलिमेंट थे वो होने चाहिए आगे बढ़ो फाइ सिक्स वाला चेक करो 1 2 2 33 हमारे तीनों है हां भैया आगे देखें एक बार क्या काहे को देख रहे हो भाई मत देखो आगे आपके तीन एलिमेंट मिले कहानी खत्म हो गई रिफ्लेक्सिवली वन व नहीं है कानी खत्म पैसा हजम मुझे बताओ एग्जामिनर की आपसे उम्मीद है कि रिफ्लेक्सिवली एग्जांपल बना के लिखाए कभी-कभी पूछा तो हो सकता है पहचानने के लिए भी बता दे कॉम्पिटेटिव एग्जाम में कर पाएंगे क्या बहुत सिंपल बात है सर बहुत सिंपल बात है सो दैट इज ऑल अबाउट रिफ्लेक्सिवली अब मेरा मन नहीं मानता थोड़ी सी एडिशनल एक्सरसाइज में करा देता हूं ये याद है टेबल जो आपने ऑब्जर्व किया था पहले क्या है ये सर ये है ऑल पॉसिबल रिलेशन तो यहां पर मैंने a और एक सेट मान लिया मान के चला ए और उससे सारे पॉसिबल रिलेशन मैंने टेबलेट कर दिए अब बता सकते हो उसमें रिफ्लेक्सिवली होंगे जिनके पास a और बी है ना जब a ए और b बी दोनों मैंडेटरी हो वो रिफ्लेक्सिवली कुछ होना चलेगा तो अभी आपके लिए वीडियो पॉज करो जीरो से लेकर 15 तक सारे कॉमिनेशन 16 कॉमिनेशन बनाया जरा पहचान दोगे तो मजा ही आ जाएगा कौन-कौन रिफ्लेक्सिवली ध्यान से देखो तो आपके लिए खैर पहले से होमवर्क करके रखा है ये चारों रिफ्लेक्सिवली एक्स्ट्रा चलेगा उससे कम नहीं चलेगा यह कहानी हो गई सर अब रिफ्लेक्सिवली उल्टी खोपड़ी सीधी खोपड़ी उल्टी खोपड़ी सीधी खोपड़ी उल्टी खोपड़ी रिलेक्स की उल्टी रिलेशन की उल्टी खोपड़ी है इर रिफ्लेक्सिवली की उल्टी खोपड़ी है इ रिफ्लेक्सिवली कहता था कि हर एलिमेंट का उसी एलिमेंट के साथ रिलेट होना जरूरी है ऐसे इर रिफ्लेक्सिवली कुछ भी हो चलेगा कोई एलिमेंट उसके साथ रिलेट ना करो एकदम मानो जानी दुश्मन लुक एट दिस अ रिलेशन कैपिटल आर ऑन अ सेट ए इज सेड टू बी रिफ्लेक्सिवली एलिमेंट एक् विच बिलोंग टू सेट कैपिट ले x x शुड नॉट बिलोंग टू रिलेशन एक बार भी ऐसा ना हो कि कोई एलिमेंट अपने आप से रिलेट करे ये भी वैसे लिबरल है कह भैया बाकी कुछ भी करो चलेगा बट अपने आप से रिलेट नहीं करना यह कहानी है तो अगेन इफ यू गो बैक टू द सेम एग्जांपल यह तो कॉलम हमने सॉल्व कर लिया उधर चल लेते हैं इससे पहले मैं सॉल्व करना शुरू करू एक बार पूछ लेता हूं ऐसा तो नहीं सोच रहे आप कि सर जो रिफ्लेक्सिवली है या जो इरिफ्लेक्सीवे रिफ्लेक्सिवली गी कैसे भी नोटिस करिए क्या a क्रॉस a रिफ्लेक्सिवली नो क्योंकि क्या इसके पास 1 2 2 33 है कि नहीं हां है ना सर तो यह रिफ्लेक्सिवली नहीं होगा बाहर कर दो दोबारा याद दिला रहा इ रिफ्लेक्सिवली है क्यों रिफ्लेक्स आई इर रिफ्लेक्सिवली बात खत्म है ना क्या नहीं है उस बेस पे रिफ्लेक्सिवली की डेफिनेशन लिखी हुई है अगला पढ़िए ना वन वन शक्ल देखते ही बाहर कर दो यहां देखो क्या वनव है नहीं है भैया 2 2 33 तीनों में से कोई नहीं है आप बन जाते हैं रिफ्लेक्सिस है जो मजा दिला देगा क्या वन वन है हां है नहीं है रिफ्लेक्सिस की तरह बीच में लटक गया ना रिफ्लेक्सिस एनालाइज करिए क्यों क्योंकि इसके पास वनव है टू है बट थ नहीं है थ ना होने की वजह से रिफ्लेक्सिवली के पास गया कि आप रख लो हमें वो भी मना कर रहा है बोलो क्यों क्योंकि इसके पास व और 2 2 है यह कह रहा है सारे रिफ्लेक्स सारे पेयर चाहिए यह कह रहा है एक भी नहीं चाहिए अगर आपके पास एक दो कुछ हुए ना तो बीच में लटक जाएंगे ना रिफ्लेक्सिवली ठीक आगे बढ़े तो देर इज अ गुड एग्जांपल कि हां ऐसा पॉसिबल है कि कोई रिलेशन ना तो रिफ्लेक्सिवली हो अगला केस देखिए वनव है और अगर वनव है तो आगे आगे नहीं बढूंगा सर यू आर नॉट रिफ्लेक्सिवली तो आई थिंक सारे पॉसिबल एग्जांपल विद पेशेंस आपके साथ डिस्कस किए तो इसमें भी कंफ्यूजन होना नहीं चाहिए कि कौन रिफ्लेक्सिवली जिसके पास सारे के सारे डायनल पेयर हो वो रिफ्लेक्सिवली क्या कोई रिलेशन दोनों एक साथ हो सकता है नहीं सर ऐसा तो हो सकता है दोनों में कोई ना हो लेकिन एक ही रिलेशन एक टाइम पे रिफ्लेक्सिवली ना हो पाएगा क्योंकि इनके बीच में जानी दुश्मनी है नॉर्मल दुश्मनी नहीं है जानी दुश्मनी है यस नाउ लुक एट दिस फिर से सारे केस बनाए और फिर से चाहता हूं कि आप दो मिनट का समय ले वीडियो पॉज करें और जरा देख के बताएं इसमें से कौन-कौन इरिफ्लेक्सीवे है ध्यान दीजिएगा आंसर है ये तो ये सिर्फ चार रिलेशन थे जो इरिफ्लेक्सीवे कंप्लीट हो गई ऑफ रिफ्लेक्सिवली दूसरी फैमिली है सिमेट्री की है ना तो इनका जो पहली वाली फैमिली उससे कोई लेना देना नहीं है और सिमेट्री की जो फैमिली है उसमें तीन आईडियाज है सिमेट्री एंटीसिमेट्री और सिमेट्री तो कैसे काम करता है तो चलिए दोस्तों अभी बात करते हैं इक्विवेलेंस रिलेशन के बारे में तो यहां पर जैसा आप देख रहे हैं कि कोई नया लॉजिक नहीं है पुराना ही लॉजिक है बट उसको मर्ज कर दिया है क्या तो अ रिलेशन कैपिटल ए अ रिलेशन आर ऑन अ सेट a विद अ कार्टीजन प्रोडक्ट a अक्रॉस ए वह हम भी जानते हैं इज़ सेड टु बी इक्विवेलेंस इफ और इस बार कितनी तीन कंडीशन चाहिए सर कौन-कौन सी बोल रहा है रिफ्लेक्सिवली होना चाहिए ट्रांसिटिव होना चाहिए ध्यान से नोटिस करिएगा बड़ा इंपॉर्टेंट है रिफ्लेक्सिवली और ट्रांसिटिव अगर तीनों एक साथ होल्ड करेगा तो हम बोलते हैं कि रिलेशन इक्विवेलेंस कहलाएगा तो अब यह देखिए तीन फैमिली थी पहली थी रिफ्लेक्सिवली की वहां से इसने रिफ्लेक्सिवली सेकंड थी सिमेट्री एंटीसिमेट्री असमेट की वहां से इसने सिमेट्री उठाया और तीसरा ट्रांसिटिव तो वहां से एक ही ऑप्शन था यस तो दो-तीन केस ट्राई करेंगे तो ओबवियसली य विल गेट द आईडिया ये तो बेसिक प्रॉपर्टी है मैं एक दो पहले एग्जांपल से आपको समझाता हूं लुक एट दिस नाउ एक रिलेशन आपके पास है और सिंबॉलिकली बना के दिखा रहा है ऐसा नहीं कि एग्जैक्ट रिलेशन दे रही है और आपसे बोल रहा है आइडेंटिफिकेशन हमारे पास इंटी जर का एक सेट है अब आप जानते हो इंटी जर का सेट कहां से कहां चलता है सर सो ओबवियसली फ्रॉम माइनस इनफिनिटी चलते जाएंगे देन यू नो -3 -2 -1 0 देन + 1 + 2 + 3 अप टिल अप टिल प्लस इनफिनिटी है ना ये पूरी रेंज हमारे पास है अब क्या बोल रहा है दो नंबर रिलेशन में होंगे जब उनका जो सम है वो इवन होना चाहिए तो मैं एक-एक करके आपसे यू नो सोचते हैं इसके बारे में हमें अगर इक्विवेलेंस की बात करनी है तो सबसे पहले किसकी बात करनी है देखो रिफ्लेक्सिवली है रिफ्लेक्सिवली मेंट अपने आप से रिलेट करें तो मैं आपसे अगर यहां पूछ एक तरह डायगोनल व्यू लीजिए मुझे बताइए अगर -2 को -2 से सम करूंगा बोलिए क्या मिलेगा -4 मिलेगा -1 को -1 से सम करूंगा -2 मिलेगा 0 को 0 से करूंगा 0 मिलेगा + 1 को + 1 के साथ सम करूंगा तो + 2 मिलेगा + 2 को + 2 के साथ सम करूंगा तो + 4 मिलेगा एक चीज नोटिस कर इट्स वेरी ओबवियस कि अगर किसी भी वैल्यू को उसी वैल्यू के साथ सम किया जाए तो हमें हमेशा क्या मिलेगा इवन नंबर तो इस बेस प देखें तो क्या यह रिलेशन जिसकी डेफिनेशन यहां पर लिख रहे हैं क्या ये रिलेशन रिफ्लेक्सिवली एलिमेंट इज रिलेटेड टू इट सेल्फ अपने आप से सम करोगे हमेशा व नंबर मिलेगा सेकंड थिंग है सिमेट्री की अब यह भी आपसे पूछ सकता है मुझे बताओ अगर इस डेफिनेशन के हिसाब से अगर a बी रिलेशन में है सोच के बताना अगर a कमा ब रिलेशन में है तो क्या सिमेट्री क्या बोलता है सिमेट्री बोलता है सर बीमा ए भी रिलेशन में होना चाहिए ऐसा ही बोलता है ना अब मैं आपसे पूछ लेता हूं इस तरह से नोटिस करिएगा अगर a + b इवन नंबर है मैथ में पूछ रहा हूं आपसे तो क्या b + ए इवन नंबर होगा सर समझने की बात ये है कि मैथ्स में एडिशन इज अ कम्यूटर ऑपरेटर सो a + b और b प् ए दोनों डिफरेंट बात है कि सेम बात है दोनों एकदम सेम बात है इसमें कोई डाउट नहीं है है ना तो अगर दोनों सेम बात है a + b = b + a इसका मतलब ये सिमेट्री भी शो करेगा है ना एंड नाउ कमिंग टू द लास्ट पॉइंट इज लाइक तीसरा कंडीशन हमारा क्या हुआ ट्रांसिटिविटी अब वो भी थोड़ा सा थोरेट्स में लेकिन सोचेंगे तो आपको बात समझ आएगी मान लीजिए अगर a b रिलेशन में है क्या थी ट्रांसिटिविटी की कंडीशन और b c भी रिलेशन में है तो कंक्लूजन कहता है कि a c को भी रिलेशन में होना चाहिए अगर रिलेशन ट्रांसिटिव है यही कहानी है ना अब देखो उसको ऐसे सोचते हैं इमेजिन कर लेते हैं 2 मिनट के लिए a इवन नंबर है अब अगर a b रिलेशन में है दोनों का सम इवन है और a इवन है तो हमें पता लग गया इसका मतलब कोई ऑप्शन नहीं कि b भी इवन नंबर है अगर b इवन इधर है सर तो b इधर भी इवन होगा और अगर ये भी इवन है तो क्योंकि b और c दोनों का से इवन है क्योंकि b सवी रिलेशन में है तो c भी इवन है और अगर a और c इवन है तो ये भी रिलेशन में आप को एग्जांपल ट्राई करके देख सकते हो तो आप कोई भी केस ऐसा बना के देख लेना जहां पर ए और b से रिलेशन में होंगे तो ए से भी रिलेशन में मिलेगा फिर एक बार आपको a को ऑड मानोगे तो सब ऑड हो जाएंगे एक को इवन मानोगे सब इवन हो जाएंगे बट कंक्लूजन ऑफ द स्टोरी कि ये जो हमारा रिलेशन है ओवर द सेट ऑफ इंटी जर्स जहां पर अगेन प्रॉपर्टी क्या है कि कोई भी पेर रिलेशन में होगा जब उसका सम इवन है दैट इज एन इक्विवेलेंस रिलेशन अगर मैं कोई बहुत सिंपल एग्जांपल ना मुझे लगता है थोड़ा सा कॉम्प्लेक्टेड करके दिखाऊं सपोज समथिंग लाइक दिस 1 2 3 3 4 5 है ना अब समझिए इक्विवेलेंस रिलेशन बनाना है तो रिफ्लेक्सिवली पड़ेगा तो बोलो क्या करना है सर पहले जितने भी रिफ्लेक्सिवली चाहिए है ना आप अगर नोटिस करोगे तो पाओगे ये भी फिलहाल अपने आप में इक्विवेलेंस है इसमें कोई डाउट नहीं है क्यों क्योंकि क्या ये सिमेट्री भी है हां क्या ये ट्रांजिटिंग भी है अभी कोई ट्रांजिटिंग की प्रॉब्लम अगर हो नहीं रही तो ट्रांजिटिंग भी है अब अगर इसमें थोड़ा सा चेंज करता हूं अगर मैं 1 2 2 1 लगा दूंगा क्या यह अब भी इक्विवेलेंस है जी हां है क्योंकि टू का सिमेट्री उसके साथ है और बाकी किसी को कोई लेना देना नहीं है और कोई केस बना लेते हैं लेट्स हैव 3 4 एंड 4 3 क्या ये अभी भी इक्विवेलेंस है देखो सिमेट्री आपको साथ-साथ लेके चलनी पड़ेगी बाकी आई डोंट थिंक मुझे नहीं लगता इसमें कोई फर्द प्रॉब्लम होने वाली है सो इक्विवेलेंस रिलेशन क्या है यह समझना और इसको पहचानना है ना इस लेवल प हमें क्लेरिटी है और तीनों कंडीशन हमारे पास है व वही मैं बोल रहा हूं देर इज नथिंग न्यू अगर आप जानते हैं रिफ्लेक्सिवली और ट्रांजिटिंग तो आप बहुत आराम से इक्विवेलेंस भी ढूंढ के निकाल लेंगे है ना बेसिक बात आगे बढ़ता हूं अभी अगला जो आईडिया है वह ठीक इसके विपरीत है एकदम उल्टा है काफी हद तक सिमिलर है कुछ डिफरेंट है क्या है नोटिस करिए तो ये बोल रहा है कोई भी रिलेशन कैपिटल r हमारा कहलाएगा पार्शियल ऑर्डर रिलेशन कब कहलाएगा ध्यान दीजिए तीन चीजें होनी चाहिए क्या-क्या रिफ्लेक्सिवली होनी चाहिए एंटीसिमेट्री होनी चाहिए और ट्रांसिटिव ट्रांसिटिविटी होनी चाहिए नोटिस करो रिफ्लेक्सिवली सिमिट्रिक और ट्रांसिटिव अब ध्यान दीजना रिफ्लेक्सिवली भी था तो कौन सी प्रॉपर्टी चेंज हुई सिमेट्री चेंज हुई जब हम पार इक्विवेलेंस रिलेशन की बात करते हैं इक्विवेलेंस रिलेशन की तो वहां पर हमने सिमेट्री किया था यहां पर हमने क्या किया है एंटीसिमेट्री किया है है ना तो इसके बहुत सारे एग्जांपल कोट किए जा सकते हैं फॉर एग्जांपल अ आई थिंक मैंने कोई यहां पे केस बना के रखा है मैं एक छोटा सा केस बना के दिखाता हूं मान लीजिए हम एक रिलेशन लेते हैं बहुत सिंपल केस लेता हूं लेट मी से 1 2 3 एंड 6 एक सेट लेते हैं है ना एंड लेट मी डिफाइन द आइडियाज डिवीजन तो मैं कंडीशन लिखता हूं क्या लिखता हूं इफ b / बा a इज अ इंटी जर देन a b बिलोंग टू रिलेशन कंडीशन देखना मैं क्या कह रहा हूं अगर b को a डिवाइड करता है परफेक्टली डिविजिबल करता है तो a ब रिलेशन में होगा तो अगर इस डेफिनेशन से सोचोगे तो मेरे ख्याल से वन तो सबको डिवाइड कर देगा इजन इट तो 1 1 होगा 1 2 होगा 1 3 होगा एंड 1 6 होगा नोटिस करो अब बताओ टू किसकिसको डिवाइड करेगा ऑब् वियस 2 2 को तो डिवाइड करेगा 2 2 को डिवाइड करेगा n 26 को डिवाइड करेगा और कोई नहीं होगा ठीक है ना 3 बताओ किसकिस को डिवाइड करेगा सर थ्री अपने आप को तो डिवाइड करेगा करेगा देर यू सी n36 को भी डिवाइड करेगा ठीक बात है ना और सिक्स कितनों को डिवाइड करेगा सिक्स आई थिंक ओबवियसली सिक्स सिर्फ अपने आप को डिवाइड करेगा दैट विल बी ऑल तोब ध्यान से अगर आप नोटिस ले और इस बात को समझे तो क्या समझ आएगा क्या यह रिलेशन पार्शियल ऑर्डर है देखो पहले देखो क्या रिफ्लेक्सिवली जन की प्रॉपर्टी है तो 1 2 2 33 रिफ्लेक्सिवली है ना डिवीजन बाय द वेरी फंडामेंटल प्रॉपर्टी आप सोचो एक बार एंटी सिमेट्री अगर ए बी को डिवाइड कर रहा है तो b a को डिवाइड कर सकता है क्या भला सोचो कैसे हो ही नहीं सकता मान लीजिए मैं कह रहा हूं स टू से डिवाइड हो रहा है तो क्या टू भी सिक्स से डिवाइड हो जाएगा नहीं परफेक्ट इंटी जर नहीं मिलेगा तो अगर 6 टू से डिवाइड हो रहा है तो इट इज ओबवियस कि 6 एक बड़ा वैल्यू होगा है ना तो अब अगर वो बड़ा वैल्यू है तो फिर वो छोटे वैल्यू को कैसे डिवाइड करेगा तो डिवीजन अपने आप में एंटीसिमेट्री है कि अगर a कॉमा b रिलेशन में है तो b कॉमा ये रिलेशन में नहीं होगा और अगर है तो इसका मतलब है दोनों सेम है लाक 2 / 2 या 3 / 3 या 6 डिवा बा 6 वो तो हो सकता है अच्छा रही बात ट्रांजिटिंग की तो आई थिंक ये भी बाय प्रिमिटिव नेचर है अगर 12 को डिवाइड करता है सिक्स और सिक्स को डिवाइड करता है टू तो क्या 12 को टू डिवाइड करेगा ओबवियसली करेगा उसी का फैक्टर है ये भी हम मैथ में जानते हैं तो इसका मतलब ये जो रिलेशन हमने बनाया ये बढ़िया एग्जांपल हुआ किसका पार्शियल ऑर्डर रिलेशन का और पार्शियल ऑर्डर रिलेशन होने के लिए कौन से तीन प्रॉपर्टी इंडिविजुअल रिलेशंस की हमें सेटिस्फाई करने है ये भी अब हमें समझ आ रहा है कौन-कौन कौन सा रिफ्लेक्सिवली सिमेट्री होना चाहिए और ट्रांसिटिव होना चाहिए है ना तो बहुत बेसिक प्रॉपर्टी और बेसिक तरीके से ही हम आगे बढ़ रहे हैं और सिंपल केस बना सकते हैं जैसे ये देखो बहुत सिंपल केस हो जाएगा लेस देन इक्वल टू क्या मायने हु इस बात के मैं एक बहुत छोटा केस बनाता हूं लेट मी से टूथ तीन एलिमेंट है और रिलेशनशिप का प्रॉपर्टी लेस दन इक्वल टू तो मानो अलग से लिखो इफ a इ लेसन इक्वल टू बी देन ओनली वी से कि a b बिलोंग टू रिलेशन ये कंडीशन है सर बताओ जरा कैसे करेंगे तो क्या वन वन से कम या बराबर है हां है 1 2 से भी रिलेट करेगा 1 3 से भी रिलेट करेगा 2 2 से रिलेट करेगा 2 3 से रिलेट करेगा 33 से रिलेट करेगा फर्द आप चेक कर लो ये रिफ्लेक्सिवली है बिकॉज ओबवियसली अगर वनटू से कम है तो टू वन से कम नहीं होगा अगर थ से कम है तो 3 व से कम नहीं होगा तो ये एंटीसिमेट्री माफ कीजिएगा नॉट सिमेट्री ये एंटी सिमेट्री और ट्रांसिटिव अगर a ब से कम है और b c से कम है तो ओबवियसली a c से कम भी है तो यह कुछ अलग-अलग एग्जांपल्स हो सकते हैं समझाने के कि पार्शल ऑर्डर रिलेशन या जिस सेट पे हम बनाते हैं ना उसको बोलते हैं पोसेट इसको कंफ्यूज मत हो जाइएगा कि ये पोसेट क्या है अब यहां बोल सकता हूं दिस इज अ पोसट आर यू गेटिंग इट तो यह दो हायर ऑर्डर रिलेशन हमारे हो गए ओके अब ध्यान से एक बात समझिए आगे आईडिया कैसे लेके चलते हैं अ पार्शियल ऑर्डर रिलेशन तक हम पहुंच गए सारे बेसिक रिलेशन हमने समझ लिए और पार्शियल ऑर्डर रिलेशन को अब हमें नेक्स्ट लेवल पे जाके स्टडी करना है अ बट प्रॉब्लम क्या है कि पार्शियल ऑर्डर रिलेशन लिखना अपने आप में बड़ा ट्रबल सम है इजेंट इट क्योंकि आप कोई भी सेट लोगे छोटे-मोटे सेट तो बनेंगे नहीं रिफ्लेक्सिवली होना चाहिए एंटीसिमेट्री भी होना चाहिए ट्रांजिटिंग भी होना चाहिए इवन खुद रिफ्लेक्सिवली हर एलिमेंट को हर एलिमेंट से रिलेट करना पड़ता है तो अच्छे खासे यू नो साइज के रिलेशंस हमें मिलने लगते हैं तो हम य पर क्या करता है अप्रोच क्या है पोसेट के अंदर कि हम पार्शियल ऑर्डर रिलेशन को या पोसेट को कन्वर्ट करते हैं हैज डायग्राम में एच ए एस एस ई हेस डायग्राम य हेस डायग्राम क्या है सर ये एक तरह का नोटेशन है एक तरह का मैकेनिज्म है जिससे हम पार्शियल ऑर्डर रिलेशन को ही रिप्रेजेंट करते हैं बट एक कन्वेनिएंट ग्राफिकल फॉर्म में हमारा जब भी मन होगा हम इंफॉर्मेशन कंटेंट एकदम से ऐसा नहीं हम कोई इंफॉर्मेशन लॉस कर रहे हैं तो बाद में अगर आप जभी भी चाहोगे क्या हेस डायग्राम को वापस पोसेट में ला सकते हैं हां ला सकते हैं कोई प्रॉब्लम नहीं है है ना तो आगे का लॉजिक समझ आ रहा है बिकॉज रटना रटते नहीं चलना समझने चलना हो क्या रहा है पार्शल ऑर्डर रिलेशन पढ़ना है बट डायरेक्टली पढ़ना और उसपे कॉम्प्लेक्शन करना मुश्किल होगा तो हम उसे कन्वेनिएंट फॉर्मेट में ट्रांसफॉर्म कर रहे हैं इस पे अपने आप में क्वेश्चन एग्जाम में डायरेक्ट पूछे जाते हैं एंड दिस इज अ पर्सन हेलम हेलमुट हेस जो भी आप इसे प्रोनाउंस करेंगे मुझे पता नहीं क्यों गुस्से में नजर आ रहे हैं बट चलिए इन्होंने ये पूरा नोटेशन ये मैकेनिज्म डेवलप किया था यस तो एक छोटा सा एग्जांपल ले लेते हैं जिससे पूरी बात आपको समझ आए तो पहले मैं क्या करता हूं यहां देखिए रिलेशन लिखा हुआ है और बताया गया है कैसे उसने बनाया कैसे नहीं बनाया वो कुछ नहीं बता रहा बस ये कह रहा है कि ऑब्जर्व करो और मुझे बताओ क्या ये रिलेशन पार्शियल ऑर्डर रिलेशन है देखिए मेरे को 1 एंड 2 2 एंड 4 4 एंड 88 तो चार ही एलिमेंट हैं हर एक का रिफ्लेक्सिवली रही है उसके बाद रही बात एंटीसिमेट्री की मैं मेरे को लग रहा है हो ना हो ये डिवीजन पे बना हुआ है जैसे आप नोटिस करिए 2 4 है पर 4 2 नहीं है 28 है 82 नहीं है 48 है 8 4 नहीं है यस और अगर डिवीजन पे बना है तो फिर ये सिमेट्री भी है एंटीसिमेट्री भी है और ट्रांजिटिंग फॉर्मेट में नोटिस करिएगा तो पहले आप एक काम करें जितने भी एलिमेंट हमारे पास है स्टेप नंबर वन में बात कर रहा हूं हर एक के लिए एक वर्टेक्स बना लो जैसे ग्राफ होता है ना ग्राफ के अंदर हमारे पास वर्टेस और एजेस दोनों होते हैं वही कर रहे हैं ग्राफ के लिए वर्टेक्स एजेस दोनों बना लिए एंड नाउ व्हाट वी डू हर एज को रिप्रेजेंट करेंगे टू रिप्रेजेंट दिस रिलेशनशिप अब जैसे नोटिस करेंगे सर वन किस-किस से रिलेटेड है वन तो सभी से रिलेटेड है तो एक-एक एज लगा दो डायरेक्टेड आई एम सॉरी ये भी वन मत लिखो तो वन वन से रिलेटेड है वट से रिलेटेड है थ से रिलेटेड है 1 4 से है आई थिंक टू ट से है और न नॉट थ्री एंड फोर यहां पे कौन कनकन है वन है टू है फोर है एंड 8 है ठीक है ना तो टू फोर को भी डिवाइड करता है 28 को भी डिवाइड करता है अपने आप को करता है सिमिलरली देयर विल बी अ सेल्फ लूप 48 को रिलेट करेगा और ट के पास सिर्फ सेल्फ लूप होने वाला है है ना तो एक बार नोटिस करिए पूरा फॉर्मेट देखिए आईडिया देखिए मुझे बताइए यहां तक के लॉजिक में यहां तक के कांसेप्ट में कोई कंफ्यूजन है क्या तो स्टेप नंबर वन में हमने इस रिलेशन को ग्राफ में कन्वर्ट कर लिया और आईडिया क्या है देखिए इन जनरल कंप्यूटर साइंस में हमारा ऑब्जर्वेशन होता है कभी भी ना किसी भी प्रॉब्लम को ग्राफ में रिलेटिवली सॉल्व करना हमारे लिए हमेशा आसान होता है आगे जाके हमेशा बोलता हूं आप यू नो पीएचडी करेंगे मे भी मास्टर्स करेंगे शायद ही किसी की थीसिस हो जो बिना ग्राफ के कंप्लीट हो तो ग्राफ तो हमेशा कंफर्टेबल है है ना अब क्या करना है अभी भी मन नहीं भर रहा हमारा हम कह रहे हैं इस ग्राफ को ना मैं सिंपलीफाई करना है कैसे हम जिस रिलेशन को कन्वर्ट कर रहे हैं हमें पता है कि व हमेशा रिफ्लेक्सिवली होगा ट्रांजिटिंग भी होगा हमेशा पता है अगर हमें हमेशा पता है कि ऐसा होने ही वाला है तो सवाल यह है क्या इस बात को अलग से लिखने की जरूरत है क्या यह सेल्फ लूप क्यों लगाना है ये लो मैं सेल्फ लूप हटा देता हूं अब आप बोलोगे सर सेल्फ लूप हटा दिया तो पता कैसे लगेगा रिफ्लेक्सिवली उस रिलेशन के लिए रहे हैं ये ग्राफ जो कि पहले से पार्शियल ऑर्डर है अब अगर वो रिलेशन पार्शियल ऑर्डर रिलेशन है तो हमें पता कि यहां पर सेल्फ लूप होने वाले हैं तो दोबारा समझिए सेल्फ लूप हटाने का यह मतलब नहीं कि मैं ये जो रिफ्लेक्सिवली कर रहा हूं ना ना ना मैं बस ये बोल रहा हूं क्योंकि हमें पता ही है कि ऐसा है इस बात को एक्सप्लीसिटली अलग से लिखने की जरूरत नहीं है एंड द सेम आइडिया अप्लाइज विद द ट्रांजिट एजेस अब अगर वन से फोर रिलेटेड है और फोर से एट रिलेटेड है तो क्या वन से एट होगा हां होगा तो काय को एक चीज बार-बार लिख रहे हो पता तो है हमें अगर टू से फोर और फोर से एट है अगर वन से टू और टू से फोर है तो तो वन से फोर भी होगा ये लीजिए मैंने क्या किया मैंने सारे रिफ्लेक्सिवली तो अब हम क्या कर रहे हैं स्टेप नंबर थ्री में बेसिकली अब हम उस ग्राफ को फर्द सिंपलीफाई कर रहे हैं है ना तो काफी सिंपलीफाई हो गया कि यहां छोड़ द यहां भी नहीं छोड़ेंगे सर थोड़ा सा और सिंपलीफाई करते हैं कैसे अब आईडिया ये है कि ग्राफ तो ठीक है सिंपल है बट ये ना आपने एजेस का डायरेक्शन लगा रखा है मे बी 1 परसेंट हो सकता है उससे भी थोड़ा कंफ्यूजन हो तो उसको कैसे सुधारा जा सकता है ये देखिए तो व्हाट वी कैन डू इज वी कैन अरेंज देम इन अ स्ट्रेट लाइन तो मैं वन यहां रखता हूं इधर बना देता हूं टू इधर बना देता हूं फोर इधर बना देता हूं एट और मैं ना बेसिकली डायरेक्शन भी रिमूव कर रहा हूं और यह मेरा बनके आ गया हेस डायग्राम आप बोलोगे यह कैसे पढ़ेंगे तो यहां पे लॉजिक क्या है रिलेशनशिप हमेशा नीचे से ऊपर चलेगा ध्यान दीजिए मेरी बात पे रिलेशनशिप हमेशा नीचे से ऊपर चलेगा तो क्या वन से टू रिलेटेड है जी हां है टू से से फोर है फोर से एट है अब फिर वही बात ट्रांजिटिंग अगर वन से टू है और टू से फोर है तो क्या वन से फोर भी है है वो ओबवियस है क्योंकि हमें पता ही है कि ट्रांजिटिंग होल्ड करेगी बार-बार बताने की जरूरत नहीं अगर टू से फोर है और टू से एट है क्या टू से एट भी है जी हां होगा तो वन से सब है टू से सब है ऊपर की तरफ आप रिलेट कर सकते हो क्या एट से टू रिलेटेड है नहीं सर है ना फोर से एट रिलेटेड है बट एट से फोर रिलेटेड नहीं है टू से रिलेटेड है बट एट से टू रिलेटेड नहीं है हमेशा ऊपर की तरफ जाएंगे एंड नाउ दैट इज कॉल्ड हेस डायग्राम है ना तो पहले ग्राफ बनाना है उसके बाद उसको फर्द सिंपलीफाई करना है फर्स्ट बाय रिमूविंग ट्रांजिटिंग एंड रिफ्लेक्सिवली है और हाइट के हिसाब से इसको अरेंज करना है अभी दो-चार केस और बनाएंगे तो य विल हैव बेटर अंडरस्टैंडिंग है ना लेकिन इसका जो बेसिक मैथ है हम ऐसा क्या कर रहे और क्यों कर रहे हैं आई थिंक वो आपको समझ आ रहा होगा नाउ एक और क्वेश्चन ट्राई कर सकते हैं एंड नाउ इट इज अप टू यू आप कितना प्रैक्टिस करते हो मैं आपको डायरेक्टली करके दिखा सकता हूं हमें क्या करना है अब या तो पहले आप पूरा ग्राफ बनाओ फिर ट्रांजिट और रिफ्लेक्सिवली वाला पैटर्न देखो वन किससे रिलेटेड है वन सबसे रिलेटेड है वन ऐसा धीरे-धीरे आप सीख जाओगे वन आम तौर पर नीचे आएगा सिक्स मेरे को लग रहा है सिक्स कहीं ऊपर आएगा और न टू और ्र दोनों से रिलेटेड है लेकिन वो अलग बात है कि शायद टू और थ आपस में रिलेटेड नहीं है नोटिस करें ना 2 3 है ना 3 2 है बट और थ सि से दोनों रिलेटेड है यह देखिए तो आप चाहे तो स्टेप बाय स्टेप चले या तो डायरेक्ट ऑब्जर्व करना सीख जाए धीरे-धीरे थोड़ा एग्जांपल ट्राई करेंगे तो आपको समझेगा नाउ दैट इज अ हेस डायग्राम करेस्पॉन्डिंग्ली ऑर्डर रिलेशन है ना अगेन मैं याद दिला रहा हूं वन से इसको देख के कैसे पढ़ सकते हैं वन से टू है टू से सिक्स है वन से सिक्स है वन से थ्री है थ्री से सिक्स है थ सिक्स से सिक्स अपने आप में सब पे सेल्फ लूप है ट्रांजिट इज सब कुछ है बट क्योंकि ये हेस डायग्राम है क्योंकि ऑप्टिमाइज मिनिमाइज वर्जन है तो हर चीज को एक्सप्लीसिटली अलग से बार-बार बताने की समझाने की जरूरत यहां पर नहीं है यह अंडरस्टैंडिंग है यस ये देखिए ये कुछ प्रीवियस ईयर क्वेश्चंस ही डिस्कस कर रहा हूं जो एग्जाम में डायरेक्ट पूछेगा और सवाल है कि डायरेक्ट हेस डायग्राम बनाओ तो रिलेशनशिप बता रहा है x / बा y और कह रहा है हाइस्ट डायग्राम बनाओ शुरू हो जाओ नीचे से अब वन ओबवियसली नीचे ही आएगा अब आप देखिए नोटिस करिएगा वन से टू और थ और टू और थी आपस में रिलेटेड नहीं है तो लीजिए टू इधर बना देता हूं इधर बना देता इसका मतलब वन दोनों को डिवाइड कर रहा है फिर आगे बढ़ो अब देखो फोर तो फोर से क्योंकि टू से भी डिविजिबल है तो मुझे बताओ क्या फोर और वन को डायरेक्ट रिलेट कराने की जरूरत है नहीं क्योंकि ट्रांसिटिविटी तो है ही ऐसे करा लेता हूं सिक्स अब सिक्स दोनों से रिलेटेड होगा इजट इट क्योंकि 6 टू से भी डिविजिबल है और थ्री से भी तो इधर बना देता हूं सि ऐसे धीरे-धीरे ट्राई करोगे ना आपको आते जाएगा देन बताओ एट किधर आएगा 8 सिक्स से रिलेटेड नहीं है बट इस चेन में बिल्कुल एट आ सकता है नाइन किधर आएगा सो ना स से भी रिलेटेड नहीं है तो एक काम करता हूं इसे थोड़ा सा मॉडिफाई कर देता हूं ताकि इमेज अच्छी बने सिक्स को लगा देता हूं तब बीच में है ना सिक्स दोनों से रिलेटेड है और इनकी जो अपनी चेन है यह नाइन वाली ही एज इट इज आगे बढ़ेगी अगला बोलो 12 किधर आएगा अभी 12 नाइन से रिलेटेड नहीं है ब ध्यान से देखना है एट से भी नहीं है बट 12 4 और स आई थिंक दोनों से डिविजिबल है तो इन दोनों का जॉइंट आ गया 12 18 माय गॉड मजेदार बना है 18 आएगा आई थिंक सक्स और ना दोनों से डिविजिबल है 8 से उसका कोई लेना देना नहीं है फोर से नहीं एंड देन 24 24 18 से रिलेटेड नहीं है बट 8 और 12 दोनों से डायरेक्टली डिविजिबल है ये देखिए ये बन गया हमारा हेस डायग्राम और आप कहीं पर भी देख सकते हो देखो उसको स्टडी करते हैं मजा ही आ जाएगा मुझे बताओ क्या ्र से 8 रिलेटेड है या थ से 12 है हां है ना बस ये देखो ऊपर जाने का रास्ता है क्या डिंग डिंग डिंग डिंग डिंग है थ्र से 24 हां जी है नीचे नहीं आ सकते क्या थ्री से ट रिलेटेड है देखो यहां से मैं जाऊंगा ना मुझे एट तक पहुंचने के लिए एक बार नीचे आना ही पड़ेगा बट नीचे आ नहीं सकते रिलेशनशिप का कंडीशन ऐसा है वन किससे रिलेटेड है वन सबसे रिलेटेड है अब टू देखो टू सिक्स से भी रिलेटेड है 18 से भी है फोर से है 12 से है एट से है 24 से है बट क्या टू नाइन से रिलेटेड है नहीं सर नाइन तक पहुंचना है तो कम से कम एक बार नीचे आना पड़ेगा वो अलाउड नहीं है तो थोड़ा सा प्रैक्टिस करेंगे तो बहुत शानदार तरह से डायरेक्ट आप हेस डायग्राम बना भी सकते हैं और बने हुए हैं तो स्टडी भी कर सकते हैं यह क्या है यह रिलेशनशिप बोला है अच्छा सिंबल तो लेस दन इक्वल टू लिखा है देखिए ऐ नालायक करते हैं एग्जाम में बट लिखा डिवाइड वाला य फिर से ट्राई करो एक बार मैं तो कहता हूं वीडियो पॉज करो और देखो कैसे कहानी आगे बढ़ेगी फिलहाल थ्री और फोर क्योंकि आपस में रिलेटेड नहीं है तो मैं सेपरेटली दोनों को बना लेता हूं और वन यहां पर है नहीं तो यहीं से शुरू होगा 12 कि जहां तक बात है तो 12 आई थिंक दोनों से डिविजिबल है 24 भी दोनों से डिविजिबल है एंड 72 वाला अलग प्रॉब्लम क्रिएट करेगा तो एकएक करके चलता हूं यह लीजिए इनका जॉइंट वेंचर हो गया 12 12 के ऊपर मिलेगा 24 एंड 24 के ऊपर ही मिलेगा 42 अब रही बात 72 की तो 72 48 से तो रिलेटेड नहीं है बट आई थिंक 24 * 3 72 तो ये मैं एक अलग से बना देता हूं ये देखिए आपस में रिलेटेड नहीं है बट 24 से दोनों रिलेटेड है है ना तो इस तरह से केस बाय केस आप ट्राई करोगे ना तो धीरे-धीरे आपको पैटर्न भी समझ आने लगेगा और आपको आईडिया भी समझेगा कि किस तरह से इसको ऑब्जर्व करना है और किस तरह से इस पे आगे बढ़ना है यस बहुत सिंपल आईडिया है आगे देखते हैं अगला केस लेस दन इक्वल टू दिस दिस दिस अगेन डिवीजन वाला यह आप कर सकते हो ओके नाउ अब बात करते हैं लेटिस की है ना तो हमने हेस डायग्राम बनाने सीख लिए पार्शियल ऑर्डर को समझ लिया अच्छे से पार्शियल ऑर्डर को एक कन्वेनिएंट फॉर्म में कन्वर्ट कर रहे यह भी हमने समझ लिया अब लेटिस क्या है हेज डायग्राम यानी कि अब भूलिए मत मैं बार-बार हेज डायग्राम बोलूंगा बट बैकग्राउंड में वो कौन है वो कोई पार्शियल ऑर्डर रिलेशन ही है अब एक बार और नोटिस कर लो यह मान लीजिए लास्ट केस हमने डिस्कस किया था मैं आपसे अगर बोलूंगा ना इसका जरा टेबुलेशन कर दो इमेजिन करो कितना सारे केसेस बनेंगे पहले 1 33 2 2 सारे रिफ्लेक्सिवली सिम का ध्यान रखना पड़ेगा सो नाउ वी रियलाइफ कि हम इसके डायग्राम बना रहे हैं हैंस डायग्राम इस पर काम करना पढ़ना समझना बहुत आसान है यस तो अब अ हेज डायग्राम और अ पार्शियल ऑर्डर रिलेशन मैं ऑब्लिक करके क्यों लिख रहा हूं बिकॉज़ दोनों बेसिकली सेम ही बात है अ हेज डायग्राम और अ पार्शियल ऑर्डर रिलेशन इज कॉल्ड अ लेटिस इफ देयर एजिस्ट जॉइन एंड मीट फॉर एवरी पेयर ऑफ एलिमेंट दैट इज अ हेज डायग्राम और अ पार्शल रिलेशन इज कॉल्ड लेटस इफ इट इज जॉइन एंड मीट सेम लेटिस बोथ तोब यहां पे पहले दो आइडिया समझ समझने पड़ेंगे वो क्या अगर हर एलिमेंट के लिए जैसे जितने भी एलिमेंट हमने देखे ना हर एलिमेंट के लिए अगर जॉइन और मीट दोनों एजिस्ट करता है देन उसको हम बोलते हैं कि वो जो हेस डायग्राम है वो लेटिस है है ना अभी डेफिनेशन हमें समझनी पड़ेगी वन बाय वन जैसे मैं इधर एग्जांपल लेके बताऊं जॉइन क्या होता है दैट इज हाउ यू रिप्रेजेंट अ जॉइन सिंबल और यहां पे आपको आसान भाषा में समझाऊं जॉइन मतलब ऊपर की तरफ जैसे फॉर एग्जांपल टू और थ्री का जॉइन क्या होगा पहली बार कहां मिले दोनों सर सि में मिल हैं तो इसको ऐसे लिखो टू और थ्री का जॉइन होगा सिक्स सिमिलरली टू और थ्री का मीट क्या होगा मीट नीचे की तरफ इसके लिए एंड वाला सिंबल सो टू और थ्री का मीट क्या होगा सर टू और थ्री का मीट होगा वन देखिए फॉलो कर पा रहे हैं क्या पहली बार जहां मिले जैसे अब बताओ फोर और थ्र का जॉइन क्या होगा सो पहली बार शॉर्टेस्ट पाथ भी देखेंगे तो शायद 12 प मिल सकता है सर और कहीं तो मेरे को नजर आ नहीं रहा तो फर और थ्री का जॉइन हो गया 12 मीट क्या होगा आई थिंक सीधे वन पे ही आना पड़ेगा तो यह फर और थी का मीट हो गया वन जॉइन हो गया 12 अब मैं आपसे पूछूं अ 24 और 18 का जॉइन क्या होगा जॉइन अब इनका कोई जॉइन ही नहीं है मैं आपसे पूछूं 12 का और 18 का जॉइन क्या है इनका कोई जॉइन नहीं है इसका मतलब यह हेस डायग्राम हेस डायग्राम तो है बट ये लेटस नहीं है बताइए फॉलो कर पा रहे हैं क्या तो लेटस बनने के लिए हर किसी का जॉइन और हर किसी का मीट होना जरूरी है भाई दो-चार केस प्रैक्टिस करेंगे उसपे काम करेंगे तो आपको क्लियर कट तरीके से सारी अंडरस्टैंडिंग समझ आएगी उसके ऊपर सैंपल बहुत सारे मैंने लिए हुए हैं सो दैट कुछ भी आपको समझाऊं ना समझाऊ लेटस आइडेंटिफिकेशन स्टार्ट करते ह और आपको सिखाता हूं कि कैसे जल्दी से पता लगाते है कि कोई भी हेस डायग्राम लेटस है कि नहीं पहला थॉट प्रोसेस जो हमेशा क्लियर होना चाहिए हमारा काम यह बताना नहीं है कि कौन लेटिस है कमियां निकालना हमेशा आसान है तो ऑलवेज ट्राई टू आइडेंटिफिकेशन लेटस नहीं है और क्यों नहीं है गिनती के चार-पांच पैटर्न है यहां पर सही बता रहा हूं एक बार आपने बात पकड़ ली ना कोई भी क्वेश्चन आसानी से सॉल्व कर दोगे शुरू करते हैं अब यहां देखिए अगेन अगर मैं आपसे पूछूंगा ई और एफ का मीट क्या है पहली बार मीट माने नीचे पहली बार कहां मिल रहे हैं सर डी पे मिल रहे हैं मीट तो है लेकिन अगर मैं आपसे पूछूं e और एफ का जॉइन क्या है तो दे यू सी अ प्रॉब्लम e और एफ का जॉइन इस केस में सर एजिस्ट नहीं कर रहा और नहीं कर रहा तो वैसे तो डिस्कशन यही क्लोज हो जाता है इसका मतलब मतलब ये भाई साहब लेटस नहीं है फिर भी एक और प्रूफ देखिए यहां देखिए a और b हमारे पास है और a और b का यहां पर मीट एजिस्ट नहीं करेगा बिकॉज़ नीचे कोई जगह नजर नहीं आ रही है है ना तो सिंगल टॉप सिंगल बॉटम नहीं है दो प्रूफ सफिशिएंट है की प्रूफ कि ये स्ट्रक्चर लेटस नहीं है अगेन अब आप देखोगे मैं आपसे पूछूं b और c का मीट क्या है b और c का मीट ए है सर e और एफ का मीट क्या है e और f का मीट भी डी है लेकिन e और f का जॉइन क्या है तो अगेन e और f के लिए जॉइन एजिस्ट नहीं करता सो अगेन 110 पर ये लेटस नहीं है ये मेरे को ठीक-ठाक नजर आ रहा है नाउ दिस इज अ लेटस आप ट्राई कर लो दो मिनट बैठ के सोच लो किसी भी केस में देखोगे ना b और c का जॉइन है बी और सी का मीट है बी और एफ का जॉइन है बी और एफ का मीट है जी और सी का जॉइन है जी और सी का मीट है एफ और एच का जॉइन एफ और एच का जॉइन ए है एफ और h का मीट f है आप किसी भी केस में ट्राई करोगे फॉर एवरी पेयर ऑफ एलिमेंट आपको जॉइन और मिलेगा तो माने यह स्ट्रक्चर क्या हुआ लेटस हुआ आगे देखिए आई थिंक यहां भी सब कुछ ठीक ठाक है बी और e का जॉइन एफ है बी और ई का मीट ए है डी और ई का जॉइन एफ है डी और ई का मीट सी है ई और सी का जॉइन e है e और सी का मीट सी है आप कोई भी पॉसिबल पेयर ट्राई कर लो 110 पर ये होल्ड करेगा और हमेशा होल्ड करेगा सो यह स्ट्रक्चर भी लेटस है अब ये देखिएगा ध्यान से ये बड़ा मजेदार आईडिया दिया है यह देखने में लगता है लेटस है बट यह लेटस नहीं है कारण क्या मैं आपको समझाता हूं अगर मैं आपसे पूछूंगा कि डी एंड दैट इज ई है ना डी और e का अ जॉइन क्या है तो आप झट से बता देंगे एफ क्योंकि ऊपर नजर आ रहा है लेकिन अगर मैं आपसे पूछूंगा डी और e का मीट क्या है प्रॉब्लम है बिकॉज ये b पर भी मिल रहा है और ये c पर भी मिल रहा है और दोनों का b और c का आपस में कोई लेना देना नहीं है सो देयर इज अ कंफ्यूजन ध्यान रखिएगा जॉइन और मीट हमेशा सिंगल एलिमेंट होते हैं ना होना या एक से ज्यादा वाला आईडिया होना दोनों ही केस में प्रॉब्लम है नहीं होल्ड कर पाएंगे सिमिलरली अगर मैं आपसे पूछूं कि बी का और सी का मीट क्या है तो आप झट से बताएंगे सर बी और सी का मीट ए है बट फिर वही बात अगर मैं पूछूं बी और सी का जॉइन क्या है अगेन प्रॉब्लम है क्यों नोटिस करो बी और सी इधर डी पर भी मिल रहा है और सर ई पर भी मिल रहा है देर इज अ प्रॉब्लम तो अगेन दिस स्ट्रक्चर इवन दो इट इज लुकिंग लाइक कि सिंगल टॉप है सिंगल ब बॉटम में ये तो लेटस हो जाएगा बट ये लेटस नहीं बनेगा सर आगे बढ़ते हैं आई थिंक अगेन आप ट्राई करके देख सकते हो दिस इज अ लेटस किसी भी केस में देखना है जॉइन और मीट मिलेगा दिस इज अ लेटस दिस इज अ लेटस ये सारे केस लेटस है और आप प्रैक्टिस कर सकते हो लेकिन आईडिया मैंने एकदम क्लियर कट बता दिया फिर वही बात है अभी लेटस है तो क्या करें हर पेयर के लिए जॉइन और मीट है नहीं होगा तो पॉसिबल पेयर कॉम्बिन बना के तब हमें देखना पड़ेगा यहां देखेंगे तो आ थंक यहां पर भी किसी भी कॉमिनेशन में आप ट्राई कर लो सिंगल टॉप सिंगल बॉटम मिलेगा यह भी लेटिस है ये भी लेटिस है इज दिस स्ट्रक्चर अ लेटिस आई थिंक ये हो जाएगा यहां प्रॉब्लम नहीं होगा बिकॉज़ बी और सी का जॉइन इस बार डी पे नहीं जा रहा सिर्फ e है और डी और e का मीट इस बार सिर्फ v है तो ये स्ट्रक्चर भी सर लेटिस बनेगा दिस मैंने बहुत सारे एग्जांपल ले लिए अलग-अलग पैटर्न के दिस स्ट्रक्चर इज आल्सो लेटिस दिस स्ट्रक्चर थोड़ा जिग जैक्ट नजर आ रहा है बट आप कोई भी केस ट्राई करो f और सी और जी का जॉइन तो जी हो जाएगा अगर मैं आपसे कुछ रैंडम पूछता हूं क्या पूछूं ये देखो f और c पूछता हूं ए और c का जॉइन क्या होगा ए और c का जॉइन जॉइन जॉइन जॉइन h होगा और f और c का मीट मीट मीट मीट मीट a होगा तो किसी भी केस में आप ट्राई करेंगे पैटर्न बाय पैटर्न वैल्यू बाय वैल्यू 110 पर ये होल्ड करेगा एंड दिस स्ट्रक्चर इज अ लेटिस नाउ अब देखिए लेटस क्या समझ आ गया डेफिनेशन समझ आ गई एग्जाम में एग्जांपल बनाने के लिए लिखे आप कर सकते हैं आइडेंटिफिकेशन लिख रहा था वहां मैं मीट लिख रहा हूं और ये सारे के सारे रूल एज इट इज होल्ड कर करेंगे अब मजे की बात क्या है अभी तक जितने भी स्ट्रक्चर हमने लेटस प्रूफ कर लिए चैलेंज है आप आईडम पोर्टेंट लॉ एसोसिएटिव लॉ कम्यूटर लॉ है ना व यहां तक अभी स्टार्टिंग वाले जितने लॉ थे आप कोई भी चला के देख लीजिएगा वो सारे के सारे लॉ होल्ड करेंगे लेकिन उसके आगे जैसे डिस्ट्रीब्यूटर है या डी मॉर्गन है डी मॉर्गन की तो अभी हमने कल्पना ही नहीं की क्यों क्योंकि डी मॉर्गन में तो हमें कॉम्प्लीयंट एनालिसिस की है वहां पर कम्प्लीनोस आगे बढ़ेगा इसके लिए अब दो-तीन नई डेफिनेशन हमें पढ़ने हैं हमें समझना है बाउंड लेटस क्या होता है हमें समझना है कॉम्प्लीयंट लेटस क्या है इमेजिन दिस इज अ स्ट्रेट लाइन एक तरह का नंबर है नंबर सिस्टम मान लीजिए फ्रॉम माइनस इनफिनिटी टू प्लस इनफिनिटी जा रहा है क्या यह लेटिस है इंटी जर वाली नंबर लाइन है सर आई थिंक ये लेटस है कैसे एक बार ट्राई कर लेते हैं मैं आपसे पूछूंगा क्योंकि इट्स अ हेज डायग्राम ना -1 और + 1 का जॉइन क्या होगा सर + 1 होगा -1 और + 1 का मीट क्या होगा -1 होगा -2 और + 3 का जॉइन क्या होगा -2 और + 3 का जॉइन क्या होगा सर + 3 होगा + 3 और - का मीट क्या होगा -2 होगा आप किसी भी केस पर ट्राई कर लेंगे यह स्ट्रक्चर लेटिस है बट नोटिस करने वाली बात यह है कि जिस सेट पे ही डिफाइन हो रहा है वो सेट बताओ फाइना इट है कि इंफाइटिंग है ऊपर नीचे नोटिस करो दोनों तरफ इनफाइकिल जो लेटस की सारी डेफिनेशन तो सेटिस्फाई करें बट टोटल नंबर ऑफ एलिमेंट्स वहां पर लेटस को बोलते हैं अनबाउंस लेटस दरअसल अभी तक हमने जितने भी केस स्टडी किए थे व सब के सब कैसे थे बाउंड थे बट यह एक एग्जांपल है इंफाइटिंग का सो दिस इज अ अनबाउंस याद रखोगे बाउंड मुझे बताने की जरूरत है क्या जी नहीं अभी तक जितने भी केस हमने पढ़े वो सब के सब बाउंड ही थे तो फॉर एग्जांपल लुक एट दिस क्या ये लेटस है जी हां क्या ये बाउंड है हां ये बाउंड है बिकॉज ऐसा नहीं है इसमें इंफाइटिंग बांडेड है तो एक बात और सुनते जाइए ये जो सबसे ऊपर वाला एलिमेंट होता है इसको बोलते हैं अपर बाउंड मुझसे बोलिए क्या बोलते हैं अपर बाउंड है तो अपर बाउंड जो सबसे नीचे वाला एलिमेंट होगा उसको बोलते हैं लोअर बाउंड क्या बोलते हैं लोअर बाउंड और ऐसे समझो जैसे सेट थ्योरी हमने पढ़ी थी और सेट थ्योरी के अंदर लार्जेस्ट पॉसिबल सेट क्या था यूनिवर्सल सेट स्मॉलेट पॉसिबल क्या था फाई हमने रिलेशंस पढ़े कार्टीजन प्रोडक्ट लार्जेस्ट पॉसिबल रिलेशन कौन था कार्टीजन प्रोडक्ट स्मालेस्ट कौन था फ यहां पर ये जो अपर बाउंड है ये दरअसल यूनिवर्स यानी कि अपर बाउंड की भूमिका निभाएगा आगे देखेंगे आप और सिमिलरली ये जो हमारा a है ये एमटी की यानी कि फाई की डेफिनेशन सेटिस्फाई करेगा मैं क्या बोलना चाह रहा हूं अभी धीरे-धीरे आगे आप रिलेट करेंगे अब आपको समझाता हूं इस आईडिया के बेस पे ना अब आप कॉम्प्लीयंट पर लेके चलता हूं जैसे इस स्ट्रक्चर को देख लेते हैं क्या ये स्ट्रक्चर लेटिस है हां लेटस तो है सर हम प्रूफ कर चुके हैं अब देखो सेट थ्योरी में किसी भी सेट का कॉम्प्लीयंट है तो दोनों का यूनियन करेंगे तो यूनिवर्सल सेट मिलेगा और दोनों का इंटरसेक्शन करेंगे तो फ मिलेगा ठीक है ना अब यहां मैं आपको क्या समझा रहा हूं यहां मैं आपको समझा रहा हूं कि यूनियन की जगह पे यूनियन की जगह पे मैं क्या लिखता हूं मैं जॉइन लिखता हूं और अभी जो मैंने आपसे डिस्कशन किया था यहां पर यूनिवर्सल सेट का रोल कौन प्ले करता है अपर बाउंड प्ले करता है सिमिलरली इंटरसेक्शन की जगह क्या लिखता हूं सर इंटरसेक्शन की जगह मीट लिखता हूं और यहां पर फाई का रोल कौन प्ले करता है फाई का रोल लोअर बाउंड प्ले करता है अब यह एक फार्मूला है जिसकी मदद से आप बहुत आसानी से ढूंढ निकाल सकते कि आपका कम्प्लीनोस डी और f पे नोटिस करो क्या d और f का जॉइन करूंगा तो मुझे अपर बाउंड मिल रहा है जी हां जी हां इस लेटिस का अपर बाउंड तो जी है अगर d और f का मीट करूंगा तो क्या मुझे सिस्टम का लोअर बाउंड मिल रहा है जी हां इस सिस्टम का लोअर बाउंड a है इसका मतलब d और f एक दूसरे के कॉम्प्लीयंट मेंट्री है तो इस लॉजिक से हम ये समझे कि दोनों के जॉइन पे अपर बाउंड ऑफ द सिस्टम और दोनों के मीट पे लोअर बाउंड ऑफ द सिस्टम मिलना चाहिए और यह लॉजिक हमने लगाया और पाया कि हां यहां पे ये एकदम परफेक्ट काम कर रहा है और एक दो केस ट्राई करके देख सकते हैं अगर मैं आपसे पूछूं a और g क्योंकि ये भी तो आपको पता है यूनिवर्सल सेट का कॉम्प्लीयंट होता है यूनिवर्सल से ट्राई करके देख लेते हैं बताओ a और जी का जॉइन क्या होगा सरज होगा पहली बार और कहां मिलेंगे ए और जी का मीट क्या होगा a होगा यह भी काम कर रहा है है ना तो इस तरह से आप नोटिस करेंगे सारी प्रॉपर्टी आपकी सेटिस्फाई होने लगेंगी एक केस और समझाता हूं जैसे कि यहां देखिए आप ई दो तीन स्पेशल केस समझेंगे ई को समझिए ई क्या कह रहा है सवाल है ई को किसके साथ पेर अप करू कि मेरे को कम्प्लीनोस e को c के साथ तो कर नहीं सकते e और बी कर ले क्या ये तो दोनों तरफ फेल होगा बिकॉज़ e और बी का जॉइन आपको e मिलेगा और e और बी का मीट आपको बी ही मिलेगा अब मजे की बात क्या है e को आप किसी के भी साथ पेयर कर लो बट मजे की बात ये है e का कॉम्प्लिट एजिस्ट नहीं करेगा सर इन दिस हैज डायग्राम और टू बी प्रोसाइज इन दिस लेटिस लेटिस तो ऑलरेडी है ये यहां पर e का कोई कॉम्प्लिट नहीं है मजे की बात अभी ये जो डायग्राम हमने ऑब्जर्व किया यहां पर आप ध्यान से देखोगे ना डेफिनेशन के हिसाब से तो पता है d के कितने कॉम्प्लीयंट c भी आएगा और b भी आएगा अब यह दो अजीब बातें हैं सेट थ्योरी में जब हम कॉम्प्लीयंट होता है ना उससे कम ना उससे ज्यादा लेकिन यहां पर जब हम यू नो पार्शियल ऑर्डर रिलेशन में हेस डायग्राम में स्टडी कर रहे हैं तो डेफिनेशन सेटिस्फाई करने के बाद कुछ एलिमेंट्स हमें ऐसे मिल रहे हैं जिन के एक से ज्यादा कॉम्प्लीयंट कुछ एलिमेंट ऐसे भी मिले जिनके लिए कॉम्प्लीयंट जन है यह कंफ्यूजन खत्म होता है अब दो नई डेफिनेशन से जो कि है कम्प्लीनोस इज सेड टू बी डिस्ट्रीब्यूटर इफ एवरी इफ फॉर एवरी एलिमेंट देयर एजिस्ट एट मोस्ट वन कम्प्लीनोस वो लेटेस जहां पे हर एलिमेंट के लिए या तो कॉम्प्लीयंट ना हो बट अगर है तो भी मैक्सिमम वन हो सकता है एक हो सकता है अगर इस तरह की कहानी है तो वो क्या कहलाएगा वो कहलाएगा डिस्ट्रीब्यूटर लेटिस बताइए फॉलो कर पा रहे हैं क्या है ना दोबारा समझिए एट मोस्ट वन या तो होगा नहीं होगा तो एक होगा उसका दूसरा बाई है कॉम्प्लीयंट मेंटेड लेटिस ये क्या बोलता है ये बोलता है एटलीस्ट वन इसका मतलब क्या हुआ सोचो यह कहता है हर एलिमेंट के लिए कम से कम एक कॉम्प्लीयंट देखा भी था कि कुछ के लिए एकसे ज्यादा कॉम्प्लीयंट मेंट ढूंढते कैसे हैं यह समझ आना चाहिए उसके बाद आपको समझ आना चाहिए कि कौन सा लेटस डिस्ट्रीब्यूटर है कौन सा कॉम्प्लीयंट आमतौर पे एग्जाम पॉइंट ऑफ व्यू से बात करूं तो आपको डेफिनेशन पता हो और आपको एक दो सैंपल बनाने आते हो तो काम हो जाएगा मैं तो और लेवल एक लेवल ऊपर ही आपको लेके चल रहा हूं फिर भी अब हम क्या करते हैं तीसरी डेफिनेशन भी पढ़ लेते हैं बूलन अलजेब्रा नाउ व्हाट इज बूलन अलजेब्रा अब देखिए एक कह रहा है एट मोस्ट एक कह रहा है एटलीस्ट अगर दोनों को मिला दे तो क्या बनेगा एगजैक्टली वन तो हम बोलते हैं वो लेटस जहां पर हर एलिमेंट के लिए एगजैक्टली वन कॉम्प्लीयंट अ लेटस इज बोथ डिस्ट्रीब्यूटर एज वेल एज कम्प्लीनोस दोनों कंडीशन सेटिस्फाई किया इसका मतलब नंबर ऑफ कम्प्लीनोस है है ना ये कहानी है प्रैक्टिस करनी पड़ेगी दो-चार केस में बनाऊंगा आपको समझेगा है ना अब आप ध्यान से देखोगे आप रिलेट करना थोड़ा प्रैक्टिस करोगे बात समझेगा a का कॉम्प्लीयंट नहीं बिकॉज दोनों के जॉइंट पे f है दोनों के मीट पे आपको a मिल रहा है b और e भी नोटिस करोगे एक दूसरे के कॉम्प्लीयंट पे अपर बाउंड ऑफ द सिस्टम जो डेफिनेशन हमने पढ़ी है दोनों के मीट पे लोअर बाउंड ऑफ द सिस्टम बट अगेन आप सर्च करोगे आपको यहां पर डी और सी के लिए कॉम्प्लीयंट मिलेगा सर लोर बंड में c मिलेगा जबकि a मिलना चाहिए तो ये काम नहीं करेगा है ना तो ये कौन सा लेटस हुआ सर ये हो गया डिस्ट्रीब्यूटर लेटस बिकॉज कुछ के लिए कॉम्प्लीयंट लिए नहीं है यह केस देखिए देखिए यहां पे आप ध्यान से देखोगे a का कॉम्प्लीयंट है तो माने b के कितने कॉम्प्लीयंट लेटिस बनेगा ये बनेगा कॉम्प्लीयंट है क्योंकि प्रॉब्लम क्या आप किसी भी देखो कंडीशन सेटिस्फाई b और c का जॉइन f मीट ए बी और डी का जॉइन एफ मीट ए तो सब के सब डेफिनेशन आपस में सेटिस्फाई करेंगे एक इंपॉर्टेंट केस ये है यह बहुत मजेदार केस है क्यों आप चाहो तो वीडियो पॉज करना और पहले इसको सॉल्व करके मेरे को बता दो कि इसको आप क्या बोलोगे इज इट डिस्ट्रीब्यूटर और कॉम्प्लीयंट लगाओ आप पाओगे कि यहां पर डी के लिए कॉम्प्लीयंट के साथ करेगा तो भी कंडीशन फेल होगा ई के साथ करेगा तो भी फेल होगा इट डजन होल्ड गुड तो डी फेल कर जाएगा मजे की बात क्या है अगर आप e के साथ चेक करोगे e के कितने कॉम्प्लीयंट आ गए यह वो लेटस है जो ना तो डि कुछ लोग को लगता है अगर लेटस है या तो डिस्ट्रीब्यूटर होगा या तो कॉम्प्लीयंट एग्जांपल सर ना ये डिस्ट्रीब्यूटर है नाना ये कम्प्लीनोस भी नहीं हो सकता ये आईडिया है है ना कोई और एग्जांपल यह देखो यह ट्राई करो अब इसको आप ध्यान से देखोगे दिमाग लगाओगे सर यह दोनों कंडीशन सेटिस्फाई कर रहा है कैसे यहां पर a का कॉम्प्लीयंट c मिलेगा और c का b मिलेगा सो 110 पर वी आर वेरी मच श्यर कि यह जो स्ट्रक्चर है यह स्ट्रक्चर लेटिस भी है कॉम्प्लीयंट सो दैट इज हाउ वी कैन इन्वेस्टिगेट एंड दैट इज हाउ वी कैन वर्क ओवर इट यस तो अब ये ये आप चेक करोगे ये भी उसी तरह निकलेगा दिस इज आल्सो बुलियन अलजेब्रा नाउ एक और क्वेश्चन मैंने देखा कभी-कभी ना इस तरह से डायरेक्ट पूछ लिया जाता है इसका एक बार अप्रोच आपको समझा देता हूं कैसे आपको इस पर काम करना है और कोई भी फिर पूछ लेगा बताओ डिस्ट्रीब्यूटर कंप्लीमेंटेड क्या है लॉजिक क्या है वो कोई भी एक नंबर आपको देगा d30 विद डिवीजन इसका मतलब क्या है d30 इसका का मतलब 30 के कितने फैक्टर्स है बताओ 30 के कौन-कौन फैक्टर हो सकता है सर वन हो सकता है टू हो सकता है थ्री हो सकता है फोर नहीं होगा फाइव होगा 6 होगा आई थिंक 10 होगा 15 होगा एंड खुद 30 होगा ठीक बात है ना कौन-कौन से नंबर 30 को डिवाइड कर सकते हैं तो d 30 एक्चुअली रिप्रेजेंट्स दिस सेट अब आप डिवीजन के बेस प इसका बनाना शुरू करो हमने पहले भी किया है तो आई थिंक 2 3 और 5 आपस में रिलेटेड नहीं है सेपरेटली बना दो टू और थ्री का कोई रिलेशनशिप जी हां टू और थ मिलके सिक्स को डि कर सकते हैं 3 और 5 मिलके 15 को डिवाइड कर सकते हैं ट और फ मिलक 10 को डिवाइड कर सकते हैं और आई थिंक ये तीनों मिलके 30 को डिवाइड कर सकते तो वही डायमंड या क्यूब टाइप स्ट्रक्चर आपको मिलेगा और आप एफर्ट कर ले इसके ऊपर बट दैट इज अ बूलन अलजेब्रा ऑलरेडी हमने समझा लास्ट एग्जांपल में दिस इज बूलन अलजेब्रा हर एलिमेंट के लिए जॉइन मीट मिलेगा और किसी भी दो के लिए कॉम्प्लीयंट शॉर्टकट ट्रिक आपको बताता हूं जैसे अ य ये ट्राई करें 81 के फैक्टर बताओ क्या-क्या होंगे वन होगा 3 होगा अ सिक्स होगा क्या सिक्स नहीं होगा सर नाइ होगा 18 होगा 27 होगा एंड आई थिंक 81 होगा है ना ठीक बात है ना अब नोटिस करने वाली बात क्या है पूरा मत बनाओ बस ये देखो यहां पर एक नंबर है नाइन और क्या नाइन किसी का परफेक्ट स्क्वायर है सर 93 का परफेक्ट स्क्वायर है तो हम यहां पे एक छोटा सा ट्रिक बता रहा हूं आपको जो भी फैक्टर आ रहे हैं उसमें देखो कोई भी नंबर परफेक्ट स्क्वायर है क्या तो यहां पर आप देखोगे कोई भी नंबर परफेक्ट स्क्वायर नहीं है इसको बोलते हैं स्क्वायर फ्री इंटी जर मुझ से बोलो क्या बोलते हैं स्क्वायर फ्री इंटी जर जब पूरे सेट में एक भी नंबर ऐसा ना हो जो कि किसी दूसरे नंबर का परफेक्ट स्क्वायर हो तो नंबर कहलाता है स्क्वायर फ्री इंटी जर और अगर वो स्क्वायर फिर इंटी जर है तो फिर वो बनाता है बलेल अलजेब्रा ये एक शॉर्टकट है बस इतनी सी बात है है तो अब आप हर केस में ट्राई कर सकते हो जैसे अब 12 है तो वन आएगा टू आएगा थ्री आएगा फोर आएगा यहीं रुक जाओ फोर इज अ परफेक्ट स्क्वायर तो ये नहीं बनेगा बलिन अलजेब्रा ये वाली कहानी है तो दिस इज अ शॉर्टकट ट्रिक अगर कभी कोई पूछे तो आप इस पर आंसर कर सकते हो बाकी आई थिंक एक सफिशिएंट एफर्ट हमने दिया है और रिलेशन थोड़ा लंबा चैप्टर था बट रिलेशन क्या है उसके कितने टाइप हैं फिर पार्शियल ऑर्डर इक्विवेलेंस दोनों समझा पार्शियल ऑर्डर को हेस डायग्राम में कन्वर्ट किया हेस डायग्राम से लेटस समझा लेटस से कॉम्प्लीयंट डिस्ट्रीब्यूटर एंड फाइनली वी एंडेड अप विद बलिन अलजेब्रा यस नेक्स्ट चैप्टर इज फंक्शंस तो कुछ खास तरह के रिलेशन होते हैं यहां पर जिसे हम फंक्शन बोलते हैं ये 10 12थ वाले फंक्शन जितना कॉम्प्लेक्शन के बारे में तो जैसा मैं आपसे बोल रहा कि फंक्शन जो है वो एक खास तरह का रिलेशन है और अगर रिलेशन आपको अच्छे से समझ आता है तो फंक्शन भी अच्छे से समझ आएगा और ये जो फंक्शंस है ना जो यहां डिस्क्रीट मैथ्स में में आप पढ़ते हैं वो उतने मुश्किल नहीं है आई होप जितने आपने 11थ और 12थ क्लास में पढ़े होंगे ऐसा क्यों है और क्या आईडिया एक-एक करके एक्सप्लेन करता हूं देखिए लुक एट दिस रिलेशनशिप आई मस्ट से x से y भी एक रिलेशनशिप और यहां दो चीजें नोटिस करने वाली है रिलेशनशिप तो एकदम परफेक्ट तरह से लिखा हुआ है मुझे उसमें कोई प्रॉब्लम नहीं नजर आ रही दो चीज नोटिस करिए कि जो एलिमेंट फाइव है आप ध्यान से देखेंगे ये तीन एलिमेंट के साथ रिलेट कर रहा है कौन-कौन सा है फोर के साथ भी कर रहा है फाइव के साथ भी कर रहा है सेवन के साथ भी कर रहा है व्हिच इज क्वाइट ओके कोई प्रॉब्लम नहीं है रिलेटिंग विद द फोर थ्री एलिमेंट्स और ये जो एलिमेंट नंबर फोर है इस पर भी ध्यान देने की जरूरत है यह किसी के भी साथ रिलेट नहीं कर रहा तो दो इंपॉर्टेंट ऑब्जर्वेशन है क्या कि फाइव दो एलिमेंट के साथ रिलेट कर रहा है और फोर किसी के साथ भी रिलेट नहीं कर रहा और रिलेशनशिप में ऐसा होना नॉर्मल है हमने समझा था x से y पे जो हमारा कार्टीजन प्रोडक्ट है ना उसका कोई भी पॉसिबल सबसेट रिलेशन हो सकता है तो हर एलिमेंट के पास अधिकार है कि वह दूसरे सेट के या तो सारे एलिमेंट से रिलेट करें या किसी से भी ना करें या जिससे उसका मन है उससे करें इजेंट इट अब मैं यह राइट यह अधिकार वापस लेता हूं और मैं इस रिलेशनशिप पर कुछ खास रिस्ट्रिक्शंस लगाता हूं क्या है वो रिस्ट्रिक्शंस अगर रिलेशनशिप x से y की तरफ जा रही है तो मैं ये कहता हूं कि x का हर एलिमेंट जो है वह सिर्फ एक रिलेशनशिप में पार्टिसिपेट करेगा एगजैक्टली वन ध्यान से सुनना एगजैक्टली वन नाउ से ना उससे ज्यादा तो वनटू से रिलेट कर रहा है ओके टूथ से रिलेट कर रहा है ओके बट 3 4 एंड 5 आर नॉट ओके थ्री और फोर की क्या प्रॉब्लम है प्रॉब्लम है कि रिलेट नहीं कर रहे हम कह रहे रिलेट करना पड़ेगा वो भी एगजैक्टली वन से फाइव की प्रॉब्लम क्या ये भाई ज्यादा रिलेट कर रहा है इतना नहीं करना तो अब अगर मैं आपसे बोलूं व्हाट इज अ फंक्शन फंक्शन वो रिलेशनशिप है x टू y अगर एक रिलेशनशिप है उस रिलेशनशिप को हम फंक्शन बोलते हैं जहां पर पहले सेट का हर एलिमेंट एक दूसरे सेट के एगजैक्टली एक एलिमेंट से रिलेट करें ना उससे कम ना उससे ज्यादा तब उसे हम फंक्शन बोलते हैं पढ़ना जरा क्या लिखा हुआ है सो फंक्शन आर वाइडल यूज ये तो मैं जनरिक पॉइंट लिख रहा हूं फंक्शन आर वाइडल यूज्ड इन साइंस एंड इन मोस्ट फील्ड्स ऑफ मैथमेटिक्स इट हैज बीन सेड दैट द फंक्शंस आर द सेंट्रल ऑब्जेक्ट ऑफ इन्वेस्टिगेशन इन मोस्ट फील्ड्स ऑफ द मैथमेटिक्स यह भी मेरे को याद आता है यार जब तक मैथ्स में इंटीग्रेशन डिफरेंशिएबल होता ना तब तक मैथ बहुत आसान लगता है 10थ क्लास तक लगता है क्या ही है पता नहीं लोग क्यों डर रहे होते हैं 11थ क्लास में आपका सच्चाई से सामना होता है जब यह सब ड्रामा आता है तब यू नो वर्चुअल चीज आनी शुरू हो जाती है खैर तो यहां पे देखिए यही बता रहा हूं कि रिलेशनशिप किसी भी कार्टीजन प्रोडक्ट का सबसेट है और यह पूरा आईडिया बता रहा हूं डिफाइन करूंगा आई थिंक अगले स्लाइड में तो देर यू सी अ फंक्शन इज अ रिलेशनशिप तो इस बात को मैं दोबारा आपके नोटिस में लाना चाह रहा हूं फंक्शन को एज इंडिपेंडेंट आइडिया इंट्रोड्यूस नहीं कर रहा ये खास तरह का रिलेशनशिप है बिटवीन द सेट्स दैट एसोसिएट्स टू एवरी एलिमेंट ऑफ द फर्स्ट सेट विद एगजैक्टली वन एलिमेंट ऑफ द सेकंड सेट तो पहले सेट के हर एलिमेंट को एगजैक्टली दूसरे सेट के एगजैक्टली एक एलिमेंट से रिलेट करना है उस तरह का रिलेशनशिप फंक्शन कहलाता है एक बात नोटिस करने वाली है यहां पर ये एक्सट्रीम केस हो गया ऐसा भी हो सकता है बट सारे एलिमेंट ओबवियसली एक से रिलेट करें ये जरूरी नहीं है कुछ इस तरह का आईडिया भी हो सकता था मान लीजिए b और c2 से रिलेट करते थ्री से कोई ना रिलेट करता अब बना ही रहे हैं तो एक तीसरा आईडिया भी बना सकते हैं कुछ ऐसा क्रॉस कपलिंग कर लेता हूं कि हर एलिमेंट एक-एक से रिलेट करता बट ध्यान देने वाली बात है कि जो सारे की सारी रिस्ट्रिक्शन है वो हम पहले सेट पे लगा रहे हैं एगजैक्टली वन ना एक से कम ना एक से ज्यादा सो अ रिलेशन f फ्रॉम अ सेट ट a टू बी इ सेड टू बी अ फंक्शन इफ ईच एलिमेंट ऑफ़ द सेट ए इज मैप्ड विद अ यूनिक एलिमेंट ऑफ़ सेट भी एक एलिमेंट से हमें मैप करना है दैट इज इंपॉर्टेंट अब दो तीन बातें नोटिस करिएगा सेट की कुछ टर्मिनोलॉजी है अभी मैं बोल रहा हूं फर्स्ट सेट सेकंड सेट जो पहला सेट है ध्यान से देखिएगा जो पहला बल्कि ऐसे समझिए जहां हम पहुंचते हैं उसे बोलते हैं को डोमेन क्या बोलते हैं उसे बोलते हैं कोडोमेन जो पहला सेट है जहां से हम चलते हैं उसे बोलते हैं डोमेन ध्यान से देखिएगा कोडोमेन एंड डोमेन यस तो बिल्कुल ठीक तरह से आगे लेके चल रहे हैं दिस इज कोडोमेन दिस इज डोमेन तो अब यहां पर कोडोमेन क्या बोलेंगे जो हमारा सेट y है दैट इज कोडोमेन जिसमें तीन एलिमेंट नजर आ रहे हैं 1 2 3 हमारा सेट है x दैट इज कॉल्ड डोमेन उसमें तीन एलिमेंट है ए बी सी और हम जहां पे पहुंचते हैं ना उसको हम बोलते हैं रेंज तो फिलहाल समझिए हम हमने किस-किस को मैप किया हमने सिर्फ वन को एक्चुअली पकड़ा है है ना तो वन हमारा हुआ रेंज तो जो रेंज है वो हमेशा सबसेट होगा किसका को डोमेन का तो को डोमेन हुआ 1 2 3 और एग्जैक्ट हमारा रेंज हुआ f तो ये एक बेसिक आईडिया है यह हमारा फंक्शन है अब जरा अगर एक बात नोटिस करें ट सेट ए से सेट बी में टोटल नंबर ऑफ रिलेशनशिप तो आप जानते हैं दैट इज ू रे टू पावर m * n टोटल नंबर ऑफ फंक्शन कितने पॉसिबल होते हैं इस बात को एक बार समझ लेते हैं आसानी से यहां देखिए एक सेट मैं लेता हूं कैपिटल ए लेट मी से टूथ 4 अप टिल अप टिल m नंबर ऑफ एलिमेंट्स उसमें है एक सेट है कैपिटल बी लेट म से टूथ 4 अप टिल अप टिल ए नंबर ऑफ एलिमेंट्स अब रूल हमने क्या बनाया वन जो है वो कितने एलिमेंट के साथ रिलेट कर सकता है सर एक से ज्यादा से नहीं कर सकता जीरो से भी नहीं कर सकता किसी एक से ही कर सकता बट वो कौन होगा यह चॉइस है तो सोचेंगे तो समझेंगे कि बेसिकली a के पास कितना चॉइस है n चॉइस है अच्छा नोटिस करने वाली बात ये है कि जो टू है क्या टू के पास n -1 ऑप्शन है कि n ऑप्शन है n ऑप्शन है ऐसा नहीं है कि डिस्टिंक्ट होना चाहिए तो टू आल्सो हैव अ n चॉइस थ्री आल्सो हैव अ एन चॉइस सिमिलरली जो लास्ट एलिमेंट है सेट ए का उसके पास भी एन चॉइस है तो बताओ टोटल कितने केस बनेंगे सर n * n * n हाउ मेनी टाइम्स टोटल m एलिमेंट्स यहां पर है टोटल m टाइम्स सो आंसर क्या होगा n की पावर m सो देयर यू सी अगर पहले सेट में n एलिमेंट दूसरे सेट में m एलिमेंट तो a से b है ना डोमेन से कोडोमेन में टोटल कितने फंक्शन पॉसिबल होते हैं सर n की पावर m फंक्शन पॉसिबल होते हैं तो कभी कोई आपसे काउंटिंग में पूछ ले तो उसमें बिल्कुल कंफ्यूज मत हो जाइएगा अच्छा एक आईडिया है कंपोजीशन फंक्शन का कंपोजीशन यह भी आपने सुना होगा 11 12 क्लास में इस पर भी कहीं ना कहीं बात की जाती है क्या कहानी है एक मान लीजिए दो फंक्शन है है ना एक फंक्शन x से आपको y पे लेके जा रहा है दूसरा फंक्शन आपको y से z पे लेके जा रहा है तो मान लीजिए फंक्शन f है वो x से y पहुंचा रहा है और नोटिस करिए दे मोर फंक्शन g जो आपको y से z प लेके पहुंचा रहा है तो क्या x से z तक पहुंचा जा सकता है हां सर बिल्कुल पहुंचा जा सकता है कैसे तो ध्यान दीजिए जैसे ही x के ऊपर आप ये f फंक्शन लगाएंगे तो बेसिकली आप कहां पहुंच जाएंगे y पे और इस पूरे के ऊपर अब आप g जब लगाएंगे तो बेसिकली आप कहां पहुंचेंगे तब आप पहुंच जाएंगे z के पास नोटिस कर पा रहे हैं तो जिसको हम क्या बोल सकते हैं इसको बोलते हैं g ऑफ fxxx.pro f को गॉफ या f ऑफ g एक को फॉग लिखा जाता है एक एग्जांपल से समझाता हूं लुक एट दिस एक छोटा सा फंक्शन हमारे पास है यहां नोटिस करिएगा पहला फंक्शन है f और जैसा मैं देख पा रहा हूं यहां पे वन टू डोमेन में 1 2 3 4 तीन वैल्यू नजर आ रही है सो ट 3 एंड 4 और यह मुझे जिस रेंज प पहुंचा रहा है वन भी मिल रहा है फोर मिल रहा है थ्र मिल रहा है सिक्स मिल रहा है तो फिलहाल अगर मैं सही लिख रहा हूं तो 1 3 4 एंड 6 जरा मैपिंग दे देखिए वन पर क्या मिला सर वन पर थ मिला फिर देखिए टू पर क्या मिला टू पर वन मिला ्र पर फोर मिला देर यू सी और फोर पर सिक्स मिला ठीक बात हो गई अभी अगला फंक्शन यह फंक्शन कौन है यह फंक्शन है ए जो आपको इधर से इधर लेके जा रहा है आगे बढ़ते हैं अगला फंक्शन है जी है ना इस पर जरा ध्यान दीजिए कहां से कहां लेके जा रहा है इधर मैं क्याक नंबर लिखू अी डिसाइड कर लूंगा तो ये वन से मेरे को लेकर जा रहा है फ ओके टू से ्र अभी टू यहां पर नहीं लिखा तो अब मैं लिख लेता हूं तो टू से मैं जा रहा हूं थ्री तक थ्री से फर तो जाहिर सी बात है थ्री है फाइव है तो थ्री से फोर तक पहुंचे फोर से वन यहां कहीं वन बना लेता हूं देन फाइव से थ्री अभी फाइव नहीं लिखा यहां पे सो फाइव से थ्री पहुंचे एंड देन सिक्स से टू तो ओबवियसली सिक्स इज आल्सो मिसिंग तो सिक्स से टू बना लेता हूं दैट विल बी ऑल है ना अब अगर आप ध्यान से देखेंगे तो क्या समझेंगे f ने आपको इनका नाम एक्सवा ज रख लू दिस इज एक्स दिस इज वा दिस इज जड अभी पूरा ऑब्जर्वेशन क्लियर हो जाएगा आपको बहुत आसान लेकिन बहुत मजे का गेम है ये तो f ने आपको पहुंचाया एक से वा तक और जी ने उसके बाद आपको पहुंचाया वा से जड तक मैं एक बार दोबारा याद दिला दूं एक की वैल्यू जब ए में रखते हैं तो आपवा तक पहुंचते हैं और y की वैल्यू जब आप जी फंक्शन में रखते हैं तो आप z तक पहुंचते हैं और जब आप इसे सब्सीट्यूट कर रहे हैं यहां पे तो आप क्या कर रहे हैं ये y की वैल्यू बेसिकली fxxx.pro वन से फोर समझ आ रही है बात फिर देखो बहुत सिंपल है टू से पहुंचे वन देखो वन देखो कहां ले जा रहा है ले जा रहा ले जा रहा है सीधे फाइव पे लेके गया तो दूसरा मैपिंग बोलो क्या मिला टू से फाइव मिला देन थ्री से फोर एंड फोर से जा रहा है वन तो बेसिकली थ्री से क्या मिला वन देयर यू सी थ्री सेवन एंड लास्ट वाला फोर से सिक्स एंड सिक्स से टू तो देयर यू सी फोर से टू तो चारों मैप हमें नजर आए एंड दैट इज द आइडिया ऑफ फंक्शन कंपोजीशन कि अगर दो फंक्शन को एक साथ मर्ज करें तो ओवरऑल किस तरह से वह बिहेव करता है है ना तो यह आईडिया आपको क्लियर हो गया अब बात करते हैं फंक्शन के टाइप्स की जो कि इंपॉर्टेंट बात है तो फंक्शन एक खास तरह का रिलेशनशिप है जहां के जहां पर रिस्ट्रिक्शन भी हम समझ गए कि पहले सेट का हर एलिमेंट एगजैक्टली एक एलिमेंट से रिलेट करेगा है ना रिस्ट्रिक्शन लगा दी बट सेकंड सेट पे कोई रिस्ट्रिक्शन लगाई अभी नहीं लगाई अब क्या-क्या रिस्ट्रिक्शन लग सकती है और उससे क्या-क्या परम्यूटेशन कॉमिनेशन बनेंगे वो मजे की बात है टर्मिनोलॉजी याद रखना इपोर्ट ट हो सकता है बाद में आपको अप्रोच याद रहा आप यह भूल जाए किसका नाम था तो ध्यान में दिलाऊंगा आपको पहला फंक्शन है जिसका नाम है वन टू वन फंक्शन ध्यान दीजिए वन टू वन फंक्शन और इसको हम क्या भी बोलते हैं इंजेक्टिव फंक्शन वन टू वन या इंजेक्टिव क्या मतलब है नोटिस करिए लुक एट दिस नाउ एन इंजेक्टिव फंक्शन और अ वन टू वन फंक्शन और एन इंजेक्शन इज अ फंक्शन दैट मैप डिस्टिंक्ट एलिमेंट्स ऑफ इट्स डोमेन टू डिस्टिंक्ट एलिमेंट टू इट्स कोडोमेन तो यानी के अब यह कह रहा है कि जो को डोमेन है उसके एलिमेंट भी डिस्टिंक्ट होने चाहिए इन अदर वर्ड एवरी एलिमेंट ऑफ द फंक्शन को डोमेन इज एन इमेज ऑफ एट मोस्ट वन एलिमेंट्स ऑफ इट्स डोमेन साधारण सी बात घुमा घुमा के लिखते हैं कहने का मतलब ये है अगर वन ने a पे मैप किया अब टू पहले की तरह a पे मैप नहीं कर सकता डिस्टिंक्ट इमेज होना चाहिए दो एलिमेंट का सेम इमेज नहीं हो पाएगा जैसे ये इमेज हम देख रहे थे पहले फंक्शन में नाउ दिस इज नॉट अ वन टू वन फंक्शन तो वन टू वन फंक्शन कह रहा है भैया अगर a ने वन पे कर लिया ना तो ब को किसी और पे मैप करना है ए b जो है वो वन पे मैप नहीं करेगा यह कहानी है अगर यह रिस्ट्रिक्शन हम लगा देते हैं तो इस तरह के फंक्शन को बोलते हैं वन टू व जैसे यहां देखिए आप नोटिस करिए x से y की तरफ गए तो x पे तो कंडीशन पता ही है पहले से लगी हुई है अब आप देखिए x के जितने भी वैल्यू है डोमेन की जितने वैल्यू हैं क्या कोडोमेन में सबका डिस्टिंक्ट इमेज है हां भैया सबका डिस्टिंक्ट इमेज है इधर भी और इधर भी क्या ऐसा हो सकता है कि अभी भी को डोमेन में कोई ऐसा वैल्यू हो जो कवर ना हो ऐसा हो सकता है बट क्या ऐसा हो सकता है कि किसी के पास दो लाइन आ जाए एक से ज्यादा ऐसा नहीं हो सकता बिकॉज एवरी एलिमेंट विल हैव अ डिस्टिंक्ट इमेज है ना तो यहां पर एक बात तय हो जाती है अगर मान लीजिए मैं उल्टा खेलने की कोशिश करूं पहले एलिमेंट में पहले सेट में तीन एलिमेंट रखूं और दूसरे में तीन रखूं सॉरी पहले में चार रखूं और दूसरे में तीन रखूं बताओ डाइजेस्ट कर पाऊंगा क्या सर हर किसी को डिस्टिंक्ट इज दिलाना है तो भी फोर को क्या करें मन हो या ना हो किसी ना किसी से मैच करना पड़ेगा करा नहीं पाएंगे एक और एलिमेंट चाहिए ही चाहिए तो यहां पर समझ ही आता है कि अगर a से बी हम फंक्शन बना रहे हैं दे यू सी तो जो दूसरा सेट है यानी कि यहां पर जो y है उसके पास या तो कम से कम x जितने एलिमेंट हो या तो उससे ज्यादा हो कम में काम नहीं चलेगा सो देर यू सी इफ देर इज अ फंक्शन फ्रॉम a टू बी देन सेट ए की जो है उसकी कार्डिनलिटी या तो कम होगी या तो ब बराबर होग या उल्टा बोल देते हैं b की कोऑर्डिनेट या तो बराबर या तो ज्यादा होगी कम नहीं हो सकती वरना जो कंडीशन है वन टू वन की यह कंडीशन एप्लीकेबल नहीं होगी सर है ना तो वन टू वन फंक्शन क्या है कोई आपसे बोलता है व्हाट इज अ फंक्शन एक्सप्लेन ऑल द टाइप्स ऑफ फंक्शन आप बता के आ सकते हैं फंक्शन की डेफिनेशन डोमेन कोडोमेन रेंज सब कुछ हमने समझ लिया सिमिलरली यहां पे जो पहला टाइप है वन टू व उसका लॉजिक समझ लिया कि दूसरे सेट का कार्डिनलिटी ज्यादा होगा बिकॉज़ हर सेट का डिस्टिंक्ट हर एलिमेंट का डिस्टिंक्ट इमेज बन रहा है अब यहां पर एक बड़ा इंपोर्टेंट क्वेश्चन बनता है हाउ मेनी डिफरेंट फंक्शंस आर पॉसिबल सच दैट दे आर वन टू व तो वन टू वन कितने बना सकते हो इस पर नोटिस में ले इस बात को अगेन मैं सेम एग्जांपल लेता हूं मान लीजिए पहले सेट के अंदर अगेन m नंबर ऑफ एलिमेंट्स है और बल्कि m नहीं लेता थोड़ा स्पेसिफिक फाइना इट वैल्यू लेता हूं ताकि आपको ऑब्जर्वेशन समझ आए मैं तीन ही लेता हूं ठीक बात है ना तो मान लेते हैं कि पहले सेट के अंदर तीन एलिमेंट और दूसरे सेट के अंदर पांच एलिमेंट है ए बी सी डीई अब नोटिस करिएगा कौन किसको इमेज करेगा मेरे को फर्क नहीं पड़ता मुझे बताओ वन के पास कितना चॉइस है सर जब वन ने मैप कि और अगर कोई अभी पार्टिसिपेंट नहीं है तो वन के पास तो आई थंक ओवरल फाइव चॉइस है ए बी सीडी जिसके से चाहे उससे मैप करो कोई फर्क नहीं पड़ता गुड ऑब्जर्वेशन बताइए टू के पास कितना चॉइस है इस बार फाइव नहीं है इस बार टू के पास सिर्फ फोर चॉइस है नोटिस करो थ्री के पास अब क्योंकि दो एलिमेंट ऑलरेडी कवर हो चुके होंगे सर थ्री के पास सिर्फ थ्री चॉइस बचा तो टोटल हाउ मेनी डिफरेंट फंक्शंस आर पॉसिबल द आंसर इज 5 * 4 * 3 बताइए ऑब्जर्व कर पा रहे हैं कि नहीं यस अब एक फार्मूला आपने पढ़ा होगा टोटल नंबर ऑफ परम्यूटेशन का जिसको हम npm1 क्या फार्मूला है इसका मुझे बताइए सो n पए का मतलब होता है बेसिकली n फैक्टोरियल डि बाय n - m फ्टो क्या वो फार्मूला इधर लग पा रहा है पहले सेट का कोडिलिटी मान लेते हैं m जो कि मानते आए हैं कोई नई बात नहीं है और दूसरे सेट का कोऑर्डिनेट है n अब बताइए जराय कैसे मैप करेगा सो लुक एट दिस हमारे केस में इसका वैल्यू क्या है सर फव है इधर वैल्यू क्या है ्र जरा वैल्यू तो भरवाए सो दिस इज लाइक 5 फैक्टोरियल डिवाइडेड बाय 5 - 3 फ्टो सो बेसिकली 5 फ्ट को लिख सकता हूं 5 * 3 * 2 * 1 * 4 भी कर देता हूं फोर मैं खा गया बीच में डिवाइडेड बाय 2 फैक्टोरियल ये 2 से टू गया 5 * 4 * 3 वही हमारा आंसर आ गया है ना तो ये फार्मूला यहां पर काम करेगा सो हाउ मेनी डिफरेंट फंक्शंस आर पॉसिबल n पए फंक्शन आर पॉसिबल ऑब् वियस अगर दोनों का साइज सेम है है ना तो आंसर n फैक्टोरियल होगा बट आई थिंक दैट इज नॉट अ स्पेशल केस जो हमेशा होगा दिस इज द आईडिया तो ये आपने किसकी बात समझ ली सर वन टू व की अगली वैराइटी दिस इज नोन एज ऑन टू फंक्शन ऑन टू या फिर सर्जे क्टिंग या फिर सर्जे क्शन अब यह क्या कहानी है फिर आसान शब्दों में समझाता हूं अगेन लिखा हुआ तो ऐसी डेफिनेशन लिखा कि भाई कॉपी में आप लिख के आओगे पढ़ोगे बुक में लिखा बट बात समझ नहीं आती है मैं समझाता हूं लॉजिक क्या है लॉजिक यह है कि उल्टा खेलता है यह क्या कह रहा है आप अगर चाहो नाउ सपोज अगेन सेम आईडिया ना दिस इज डोमेन दिस इज डोमेन एंड दिस इज कोडोमेन आप अगर चाहो तो दो एलिमेंट का सेम इमेज बना लो वो जो डिस्टिंक्टनेस वाला कंडीशन था मैं वापस ले लेता हूं कोई दिक्कत नहीं लेकिन क्या पूरा को डोमेन कवर करना जरूरी है जी हां आप को डोमेन का कोई भी वैल्यू छोड़ नहीं सकते को डोमेन का हर वैल्यू किसी ना किसी का यू नो इमेज होना चाहिए आसान शब्दों में ऐसे बोल सकता हूं सबसे आसान हियर को डोमेन इज इक्वल टू रेंज को डोमेन में हम जिस-जिस को कवर करते हैं हम उसको क्या बोलते हैं रेंज बोलते हैं ना और स्टार्टिंग में समझा था कि रेंज जो है वो सबसेट होता है कोडोमेन का सर अगर रेंज कोडोमेन के इक्वल बन जाए अगर कोडोमेन का हर वैल्यू मैं कवर कर लूं तो उस तरह के फंक्शन को हम ऑन टू या सर्जे क्टिंग फंक्शन बोलते हैं ध्यान में आप देंगे तो यहां देखिए ये जो पहला फंक्शन है ये एक वैलिड फंक्शन हो सकता है बट ये ऑन टू फंक्शन है प्रॉब्लम क्या है ये देखिए ना यहां पर c को कवर नहीं किया किसी ने इस बार हम ये ध्यान नहीं दे रहे कि डिस्टिंक्ट है कि नहीं है हर एलिमेंट को कवर कर करना जरूरी है यहां नोटिस करिए क्या हर एलिमेंट को कवर कर रहे हैं हां जी कर रहे हैं तो यह बिल्कुल परफेक्ट काम करेगा इधर नोटिस करिए क्या यहां पर हर एलिमेंट को कवर कर रहे हैं हां कर रहे हैं वो अलग बात है दो का सेम इमेज है चलेगा वो भी चलेगा बट हर एलिमेंट को कवर करना जरूरी है कोडोमेन इ इक्वल टू रेंज कोडोमेन इज इक्वल टू रेंज दैट इज व्हाट वी मीन बाय ऑन टू फंक्शन अगर यहां छोटा सा आईडिया आपको समझाऊं ऐसा पॉसिबल है क्या कि इधर मैं दो एलिमेंट तीन एलिमेंट रखूं और ऑन द राइट हैंड साइड में चार रखो और मैं एक सर्जे क्टिंग फंक्शन बना लू बताओ भाई मैं ज्यादा से ज्यादा कवर करने की कोशिश भी करूंगा तब भी ये बच जाएगा ना तोब इस केस में ऑब्जर्वेशन उल्टा चलेगा कैसे चलेगा अगर a से b कोई फंक्शन जा रहा है तो ध्यान में देने की बात है ये x से y जा रहा है तो इस बार x की कोऑर्डिनेट या तो ज्यादा या तो बराबर होगी y से y में ज्यादा नहीं हो सकते ब y में ज्यादा होए तो मैं कवर कैसे करूंगा यहां उल्टा चलता है जो पहला फंक्शन हमने पढ़ा था याद हो वन टू व वहां पे क्या कहानी थी वन टू व के अंदर वहां अ y वाले सेट की या b वाले सेट की कार्डिनलिटी ज़्यादा थी है ना क्योंकि हर किसी को कवर करने की रिस्ट्रिक्शन नहीं था बट यहां पे क्योंकि हर किसी को कवर करना है तो उल्टी कहानी चलती है और आसान फॉर्मूला मैं आपको समझा चुका हूं वयर कोडोमेन इज इक्वल ट रेंज है ना तो यह कहानी हो गई वन टू वन की इसको देख के आप पहचान सकते हो अब सर हाउ मेनी डिफरेंट वन टू वन फंक्शंस आर पॉसिबल यह क्वेश्चन अपने आप में जो हमारा पिजन होल प्रिंसिपल है प्रोबेबिलिटी है हाउ मेनी डिफरेंट रिलेशंस आर पॉसिबल मैं बहुत बैकग्राउंड पे नहीं जा रहा बट बहुत सारी अलग-अलग चीजें यहां पे आके जुड़ जाती हैं सो आई एम राइटिंग आई एम डायरेक्टली राइटिंग डाउन द फार्मूला मैं डेरिवेशन में नहीं जा रहा मुझे लगता है इस क्लास के स्कोप से बाहर है बट अगर नंबर ऑफ न टू फंक्शन निकालने है फ्रॉम अ सेट a टू बी सो दिस इज द फार्मूला अब ये सर फॉर्मूला क्या बबाल है एक बार इस्तेमाल करके दिखा दीजिए ये बिल्कुल कर सकते हैं तो मान लीजिए एक सेट ले लेते हैं a एक सेट ले लेते हैं b एंड सपोज लेट मी से हम एक केस बना लेते हैं 3 4 के लिए बना ले आई एम सॉरी 4 3 के लिए बना ले तो इसको ऐसे भी समझ सकते हैं होता है ना कि चार एलिमेंट हमारे पास है पीजन होल वाला प्रिंसिपल हर किसी को कवर करना जरूरी है बट बताओ कितने तरीके हो सकते हैं कि फोर एलिमेंट्स को हम थ्री ग्रुप्स में डिवाइड करें बट शर्त है कोई ग्रुप खाली ना हो हर किसी को कवर करना जरूरी है सो नाउ इस केस में बताइए क्या हुआ कहानी m का वैल्यू सर हमारा हो गया फर और n का वैल्यू हो गया थ वैल्यू रखना शुरू करिए ना n का पावर m सो 3 का पावर 4 - nc1 तो n क्या हुआ बोलिए n3 है ना 3c 1 3 - 1 का पावर m व्हिच इज 4 प्लस अभी देखिए अल्टरनेट चलता रहेगा अब दो-तीन पैटर्न नोटिस करेंगे nc1 nc2 nc3 ऐसे चलेगा n - 1 n - 2 n-3 का पावर m ऐसे चलेगा ये माइनस प्लस माइनस प्लस ऐसे चलेगा यह कहानी है तो यह हो गया अगली टर्म फिर पॉजिटिव आएगी सो दैट इज़ 3 c2 एंड दैट इज़ बेसिकली 3 - 2 का पा 4 और आई थिंक आप समझते हो आगे कैलकुलेट करना ही नहीं पड़ेगा बिकॉज़ सब ज़ीरो हो जाएगा इजेंट इट तो तीन ही टर्म काम की आई 3 का पावर 4 आई थिंक दिस विल बी 81 इजेंट इट 9 * 9 n 3c 1 विल बी 3 ओनली यू विल गेट थ ओनली यह बचा 2 2 का पावर 4 हो गया 16 एंड 3c 2 इज अगेन 3 एंड यह बेसिकली हुआ 1 का पावर 4 सो 81 माइनस आई थिंक दैट इज 48 एंड + 3 तो क्या बना सर यह बना 84 - 48 14 - 8 एंड आई थिंक कैरी गया 7 - 4 36 36 एक बार कैलकुलेशन आप चेक कर लीजिएगा बाकी फंडामेंटल आईडिया सेम है तो आई थिंक डिफरेंट कैसे-कैसे फंक्शन टेबुलेटर सकते हैं और कितने किए जा सकते हैं ये ऑब्जर्वेशन आई थिंक सभी को एकदम क्लियर हो रहा होगा आगे बढ़ता हूं तीसरा और आखरी बाइजेस्ट फंक्शन अब बाइजेस्ट की क्या कहानी है ऐसा भी बोला जा सकता है कि बाइजेस्ट की अपनी कोई कहानी नहीं है माने अगर कोई फंक्शन सर्जे क्टिन जेक्ट यानी कि वन टू वन और ऑन टू अगर सेम टाइम पे एक साथ हो तो वो जो फंक्शन बनता है दैट इज बाइजेस्ट अब पहले याद करिए जो हमारा वन टू फंक्शन था सर जिसको हम इंजेक्टिव फंक्शन भी बोल रहे थे वहां आपने क्या समझा था कि पहले सेट की कोऑर्डिनेट या तो कम होगी या तो बराबर होगी सेकंड सेट से जब दूसरा फंक्शन हमने पढ़ा ऑन टू व ऑब्जर्वेशन उल्टा हो गया कि पहले सेट का कडनल ज्यादा होगा या बराबर होगा सेकंड सेट से सर अगर मैं दोनों को मर्ज कर दूं अगर एक फंक्शन दोनों कंडीशन सेटिस्फाई करे तो क्या मतलब होगा कि दोनों सेट का कोडिलिटी सेम होगा जैसे यहां देखिए ये बहुत अच्छा एग्जांपल है वन टू वन फंक्शन का नहीं क्यों बिकॉज़ यहां पर एक एलिमेंट खाली है लेकिन हर किसी का डिस्टिंक्ट इमेज है ये बहुत अच्छा एग्जांपल है ऑन टू का बिकॉज़ हर किसी को कवर किया गया वो अलग बात है c को दो लोगों ने कवर कर लिया यह बहुत अच्छा एग्जांपल है दोनों का क्या ये वन टू वन है हां जी है बिकॉज़ हर किसी का डिस्टिंक्ट इमेज है बट क्या ये ऑन टू भी है जी हां बिकॉज़ किसी को भी मल्टीपल ने आई एम सॉरी हर किसी को कवर कर लिया गया है इसी फंक्शन को बोलते हैं बाइजट तो जहां हर एलिमेंट का एगजैक्टली एक इमेज हो या हर इमेज का एगजैक्टली एक प्रीइमेज हो कोडोमेन इज इक्वल टू रेंज हो और दोनों सेट्स की जो कार्डिनलिटी वो एकदम बराबर हो देन दैट काइंड ऑफ फंक्शन इज नोन एज बाइजट फंक्शन और ये हमारा तीसरा और आखिरी टाइप ऑफ मेजर फंक्शन होता है है ना तो आई होप बाइजेन में कोई कंफ्यूजन नहीं होगा रही बात नंबर ऑफ बाइजट फंक्शन की सो नाउ आई थिंक इट इज वेरी इजी व्हाई बिकॉज अब दोनों सेट की कोऑर्डिनेट सेम है सर तो दोनों में मैं टूथ 4 अपटन ए एलिमेंट्स ही मानूंगा है ना अब क्योंकि डिस्टिंक्ट भी रखना है तो बोलो पहले के पास कितना चॉइस है सर पहले के पास तो n है बट दूसरे के पास कितना है ओबवियसली n -1 है नोटिस करो है ना क्योंकि सेम तो रख नहीं सकते तीसरे के पास n - 3 है और करते कर n - 2 और करते करते आखरी के पास वन चॉइस बचेगा और यह तो मुझे लगता है जन्मो जन्मांतर से बच्चे जिस इक्वेशन बनने का इ करते कुछ भी हो सर आंसर n फैक्टोरियल ये लो इस बार सच में आंसर n फैक्टोरियल ही है बोलिए फॉलो कर पा रहे हैं क्या यस तो दिस इज द आइडिया कि यहां पर आंसर आ जाता है n फैक्टोरियल n फैक्टोरियल एक दो बात और कर लेता हूं आपसे इवर्स ऑफ अ फंक्शन इवर्स ऑफ सेट तो कुछ नहीं होता इवर्स ऑफ रिलेशन हमने जरूर पढ़ा था अगर आपको याद हो जहां पे नंबर ऑफ पेयर सेम रहते हैं ऑर्ड पेयर सेम रहते हैं बस उनका डायरेक्शन चेंज कर दिया जाता है तो अगर कोई फंक्शन a से b की तरफ चल रहा है और अब मैं उसका इवर्स की बात करूंगा तो तब वो फंक्शन b से a की तरफ चलेगा ठीक बात है ना इवर्स ऑर्डर पेयर चेंज कर देते हैं अब क्या फंक्शन में भी इवर्स हो सकता है अब ध्यान से देखिए या इससे पहली स्लाइड में आपको आंसर मिलेगा अगर मैं आपसे बोलूं कि सर इस फंक्शन का इवर्स कर दो ना जरा इसकी डायरेक्शन चेंज कर दो तो यह पॉसिबल नहीं है क्यों जब मैं इवर्स करूंगा c को कैसे इवर्स करूंगा हर किसी का इमेज होना जरूरी है एगजैक्टली एक होना जरूरी है जब मैं इधर इवर्स करूंगा तो भी पॉसिबल नहीं है यहां c को कैसे इवर्स करूंगा अब c के दो इमेज कैसे हो सकता है 3 एंड 4 लेकिन अगर फंक्शन बाइजेस्ट है और क्योंकि हर किसी का एक ही इमेज है तो मुझे लगता है इसके डायरेक्शन चेंज करने में कोई प्रॉब्लम नहीं आएगी बोलो हां या ना तो अगर फंक्शन f है जो आपको सर x से y की तरफ लेके जा रहा है तो बोलिए f इवर्स किधर से किधर लेके जाएगा ये y से x पे ले जाएगा लेकिन अब धन ध्यान देने वाली बात यह है क्या किसी भी फंक्शन का इवर्स कर लेंगे क्या नहीं वन टू व का नहीं किया जा सकता सिर्फ ऑन टू का नहीं किया जा सकता लेकिन अगर फंक्शन बाइजेस्ट है उसका इवर्स जरूर पॉसिबल है है ना और यही कहानी इवर्स की पढ़िए सो इवर्स और एंटी फंक्शन रिवर्स कर देगा डायरेक्शन को f ऑफ x अगर y तक पहुंचा रहा है तो इवर्स आपको y x तक पहुंचाएगा और गेम क्या है ये मैं वही समझाने की कोशिश कर रहा हूं कि ये सिर्फ तब किया जा सकता है जब फंक्शन बाय इटिस अदर वे राउंड कुछ लोग ऐसा भी बोलते हैं व्हाट इज अ बाइजेस्ट फंक्शन उस फंक्शन को बाइजेस्ट कहते हैं जिसका इवर्स पॉसिबल है दोनों तरीके हैं बोलने के आप जैसे चाहे वैसे या तो ऐसा बोल लो बाइजट का इवर्स होता है या बोलो जिसका इवर्स होता है वो बाइजेस्ट है है ना दोनों बातें सेम ही है एक एग्जांपल से समझाता हूं अब यहां देखिए एक फंक्शन है क्या है f x = 5x - 1 अच्छा इसने लिख दिया वरना चलो हम खुद से करते हैं मजा आता सिंपल देख लेते हैं कोई भी एक रैंडम वैलू बताइए लेट मी टेक 3 है ना अब मुझे बताइए जब 3 यहां पर रखेंगे इस फंक्शन में तो 5 * 3 - 7 5 * 3 = 15 - 7 वैल्यू आती है 8 माने ये फंक्शन आपको 3 से 8 पे पहुंचा देगा ठीक बात है ना fx3 रखेंगे यू विल गेट 8 वेरी सिंपल जरा देखें इवर्स ठीक लिखा है क्या चेक करो जरा अब f इवर्स अगर ठीक लिखा पहले मैं बेसिक बात क्लियर कर दूं f इवर्स अगर ठीक लिखा है तो आठ पे क्या आना चाहिए आठ फ तीन आना चाहिए बोलो हो रहा है क्या सो f इवर्स ऑफ 8 जब मैं करता हूं सर तो 8 + 7/5 7 और 8 15/3 ये बात ठीक है कि थ्री ही आ रहा है तो हां दिस इज अ करेक्ट डेफिनेशन ऑफ इवर्स फंक्शन हम तो ये पूरी बात क्लियर हुई ये इमेज मैं बहुत मेहनत से ढूंढ के लाया देखिए लोग कैसी-कैसी कलाकारी करते हैं इवर्स फंक्शन दो मिनट तो मुझे समझ ही नहीं आया इस इमेज के इस टॉपिक से क्या लेना देना है बट लेट इट बी आई होप आप समझ गए वी डोंट नीड वन मोर एग्जांपल सो दैट विल बी ऑल इन फंक्शन बड़ा कंसाइनर बट विश्वास मानने जितनी इंपॉर्टेंट चीजें सब कवर भी कर ली है है ना तो दैट विल बी ऑल इन दिस और अगला आईडिया है थ्योरी ऑफ लॉजिक ये ऐसे तो आसान है बट मेरे हिसाब से इट इज़ वन ऑफ़ द टफेस्ट आइडिया क्योंकि जिस लेवल में हम डिस्कशन कर रहे हैं आमतौर पे दैट इज़ इजी बट यू इफ यू गो इन द डेप्थ ऑफ दिस टॉपिक तो भाई ये बहुत कांसेप्चुअल है और बड़ों बड़ों की हवा निकाल देता है है ना तो बहुत डिटेल से और बहुत आनंद के साथ आपको इस टॉपिक को पढ़ाऊंगा चैप्टर फाइव थ्योरी ऑफ लॉजिक तो चलिए सर डायरेक्टली डिस्कशन स्टार्ट करते हैं बात करेंगे थ्योरी ऑफ लॉजिक की और जैसे मैं आपसे पहले बोल रहा था ना टॉपिक बाय टॉपिक लेके चलेंगे वरना ये टॉपिक काफी टफ और काफी कन्फ्यूजिंग हो सकता है बट हमारा जो डिस्कशन वो काफी कन्फाइंड है सो दिस विल बी फन ट आई कैन एश्योर यू तो बात शुरू करता हूं सबसे पहले प्रपोजिशन से है ना प्रपोजिशन क्या होता है जस्ट लुक एट दिस डेफिनेशन अ प्रपोजिशन इज अ डिक्ले टिव स्टेटमेंट दैट इज अ सेंटेंस दैट डिक्लेयर्स अ फैक्ट दैट इज आइर ट्रू और फाल्स बट नॉट बोथ तो एक ऐसा सेंटेंस यानी कि यह बहुत सिंपल नेचर का सेंटेंस होगा जिसको आप ट्रू और फाल्स की कैटेगरी में रख सकते हैं एक ही टाइम पे ट्रू और फॉल्स नहीं हो सकता और फैक्ट होना चाहिए अभी आप समझेंगे इसलिए इतने सारे एग्जांपल मैंने बना के रखे लाइक दिल्ली इज अ कैपिटल ऑफ यूएस से है ना अब आप ध्यान से सोच के बताइए क्या ये बात सही है तब आप उस बोलेंगे नहीं ये बात गलत है मैं फिर वही बोल रहा हूं हमें इस बात पे कंसंट्रेट नहीं करना कि ये ट्रू है कि फाल्स है छोड़ दो उस बात को द पॉइंट इज क्या इस क्वेश्चन को ट्रू और फॉल्स में आंसर किया जा सकता है क्या दिल्ली इज अ कैपिटल ऑफ यूएसए हां ये बात फॉल्स है और अगर फॉल्स है तो ये स्टेटमेंट हमारा प्रपोजिशन है बल्कि मैं लिखता ही नहीं ट्रू और फाल्स यस हाउ आर यू डूइंग अब इस सवाल का क्या जवाब दें बताओ तो क्या इस इस इस क्वेश्चन का आंसर मैं यस और नो में कर सकता हूं हाउ आर यू डूइंग ऑब्स नहीं कर सकता सो दिस इज नॉट अ प्रपोजिशन 5 इ ले इक्व 11 फिर दोबारा आप यह मत सोचिए कि बात सही है कि गलत है यस और नो में आंसर कर सकते हैं हां कर सकते हैं सो दैट इज अ प्रपोजिशन अगेन नाउ टेंपरेचर इज लेस दन 10 डिग्री सेल्सियस यह बात बिल्कुल मेजरेबल है हां और एज अ फैक्ट बता देता हूं अभी जब मैं वीडियो रिकॉर्ड कर रहा हूं अभी भी ये बात सही है है ना अभी भी टेंपरेचर 10 डिग्री से कम है तो यस दिस इज अ प्रपोजिशन इट इज कोल्ड टुडे नाउ प्लीज अंडरस्टैंड यह दोनों बातें काफी मिलती जुलती है बट सेकंड वाला य ना इट इज कोल्ड टुडे ये प्रपोजिशन नहीं है व्हाई इट इज नॉट अ प्रपोजिशन प्लीज अंडरस्टैंड बिकॉज़ द रीजन इज अ यू नो इस बात को ऐसे समझेंगे आप कि ये जो स्टेटमेंट है ना ये सब्जेक्टिव है कभी-कभी आपने देखा होगा बड़ी उम्र के लोग होते हैं आज बहुत सर्दी है या आज बहुत गर्मी है और कुछ लोगों को हो सकता है सर्दी ना लगे कभी-कभी ऐसा भी होता है बड़े लोग ना बच्चों से पूछते हैं बेटा सर्दी है क्या क्योंकि मे बी शायद वो सही से इस बात को समझ नहीं पा रहे कि एगजैक्टली कितनी सर्दी है और मे बी अगर कोई नॉर्थ नॉर्थ कोरिया कह रहा हूं अगर कोई अंटार्कटिका में रहता है और हो सकता है किस दिन थोड़ी धूप निकली और टेंपरेचर -10 हो उसको लगे आज बहुत गर्मी है आज दिन बहुत अच्छा है मे बी इट्स अ सब्जेक्टिव थिंग इजंस इट इज कोल्ड टुडे यह बात आप ट्रू और फाल्स में नहीं बोल सकते रीड दिस केयरफुली ओबवियसली ये तो एक इंस्ट्रक्शन की तरह नजर आ रहा है 110 पर दैट इज आल्सो नॉट अ प्रपोजिशन x + y = z अब ये बात सही और गलत मैं नहीं बता सकता सर क्योंकि x वा और z तीनों ही वेरिएबल है मुझे वैल्यू नहीं पता सो अगेन आई कांट से दिस है ना तो तीन ही स्टेटमेंट बचे दिल्ली इज अ कैपिटल ऑफ यूएसए फ इज लेस दन 11 एंड टेंपरेचर इ लेस दन 10 डिग्री सेल्सियस इन तीनों को हम बोल सकते हैं कि हां यह प्रपोजिशन है नाउ गोइंग फरदर अब देखो यहां पर करना क्या है यहां पर ना हम बहुत सारे आर्गुमेंट स्टडी करेंगे और हमारा काम है बताना कि आर्गुमेंट वैलिड है कि इनवैलिड है ना बिफोर आई गो इन टू द डेप्थ और यहां पे क्वेश्चन भी आ सकता है व्हाट इज एन आर्गुमेंट एंड व्हाट इज प्रेमिसेस एंड व्हाट इज कंक्लूजन तो एक पूरा पैटर्न समझाता हूं इसको ऐसे समझिए ये तीनों एक ही चीज को लिखने के अलग-अलग तरीके प आप बीच वाला कॉलम ऑब्जर्व करिएगा देयर आर सर्टेन प्रेमिसेस सर्टेन फैक्ट्स है ना प्रेमिसेस जो है कोई भी एक फैक्ट हो सकता है जो हमेशा ट्रू होता है हमेशा ट्रू होता है एंड देन बेस्ड ऑन दैट आई डिराइवर अ कंक्लूजन क्य कंक्लूजन को आमतौर पे यहां पे q से रिप्रेजेंट करते हैं और फिर हमारा काम है यह बताना कि इस प्रेमिसेस से जो कंक्लूजन हमने निकाला है कंक्लूजन सही है कि कंक्लूजन गलत है फॉर एग्जांपल जैसे मान लीजिए कुछ फैक्ट बात करते हैं लेट मी से कि टुडे इज टुडे इज ट्यूजडे फॉर एग्जांपल और टुडे इज वेनसडे समथिंग लाइक दिस है ना एंड देन समबे डे इज माय लकी डे कोई एक आईडिया है एंड देन वो कंक्लूजन कर रहा है देयर फोर टुडे इज माय लकी डे इस तरह की कोई अंडरस्टैंडिंग आज वेडनेसडे है वेडनेसडे मेरा लकी डे है सो इसका मतलब आज मेरा लकी डे है अब बताओ देखने में समझने में लॉजिकली ठीक लग रहा है कि नहीं लग रहा हां लग रहा है भाई अगर वेडनेसडे है और आप यह भी कह रहे हैं कि वेड डे आपका लकी डे है इसका मतलब आज यू नो आज लकी डे आपका हो गया है बात खत्म हो गई लेकिन हमें बात माननी पड़ेगी कि बाद में कोई बोलने लगे मैंने तो झूठ बोला था आज तो वेडनेसडे ही नहीं है या मैं पता हूं क्या वेडनेसडे मेरा लकी डे नहीं होता थर्सडे मेरा लकी डे होता है इस वजह से गलत है तो जो भी चीज आप पहले डिक्लेयर करेंगे है ना वो बात मैं हमेशा मान के चलूंगा प्रेमिसेस वो फैक्ट्स हमेशा ट्रू होंगे कंक्लूजन मुझे देखना है कि प्रेमिसेस से मैं कंक्लूजन तक पहुंच सकता हूं कि नहीं फॉर एग्जांपल टुडे इज वेडनेसडे वेडनेसडे इज माय लकी डे देयर फोर माय बर्थडे इज 10th ऑफ अगस्त अब हो सकता है सारी बात सच हो कि आज वेडनेसडे भी है वेडनेसडे आपका लकी डे भी है बट आज 10th ऑफ अगस्त है तोब आप मुझे बताओ क्या इन प्रेमिसेस से इस कंक्लूजन तक पहुंचने का कोई सेंस नजर आ रहा है क्या नहीं उस केस में बोलेंगे आर्गुमेंट इनवैलिड है तो हमारा काम यह देखना नहीं है कि प्रेमिसेस ट्रू है कि फॉल्स है प्रेमिसेस वो हमेशा हम मान के चलेंगे ट्रू है हमारा काम यह भी देखना नहीं है कि कंक्लूजन ट्रू है कि फॉल्स है वो भी हम मान के चलेंगे ओके है हमारा काम यह देखना है कि प्रेमिसेस से कंक्लूजन पे पहुंच सकते हैं कि नहीं आगे एग्जांपल देके अच्छे समझाऊ अगर आप पहुंच सकते हैं देन वी से द आर्गुमेंट इज वैलिड अब आप इसको ऐसे लिखो कुछ बुक्स में आपको ऐसा लिखा मिलेगा देयर आर सर्टेन प्रेमिसेस कॉमा कॉमा कॉमा लगा के एंड लाइक दिस सिंबल एंड देन यू हैव अ कंक्लूजन आगे पढ़ेंगे ऐसा भी लिख सकते हैं देयर इज एंड कंडीशन या यहां पर बोलते हैं कंजंक्शन पहला प्रेमिसेस दूसरा प्रेमिसेस के अंदर कंजंक्शन है एंड देन वी डिराइवर अ कंक्लूजन क्यों तो सारे आईडिया एक ही चीज को लिखने के लिए इन सबको हम बोलते हैं आर्गुमेंट एक बार पढ़ूं अभी प्रेमिसेस और प्रपोजिशन इज ऑलवेज कंसीडर्ड टू बी ट्रू जैसा भी मैं आपसे बोल रहा था प्रेमिसेस इज अ स्टेटमेंट दैट प्रोवाइड रीजन ऑफ सपोर्ट फॉर द कंक्लूजन ये वो रीजनिंग वो सपोर्ट प्रोवाइड करता है जिस बेस प हम क्या डिराइवर कर रहे हो कंक्लूजन डिराइवर कर रहे हो इफ अ सेट ऑफ प्रेमिसेस ल्ड अ कंक्लूजन क्यों अगर प्रेमिसेस के बेस प हम कंक्लूजन तक पहुंच पाते हैं देन दिस इज कॉल्ड एन आर्गुमेंट और आर्गुमेंट बेसिकली वैलिड आर्गुमेंट और अगर आप डिराइवर कर पा रहे हैं देन वी से द आर्गुमेंट इज वैलिड अदर वाइज वी से द आर्गुमेंट इज इनवैलिड अब ये कहानी चलती कैसे है और शुरू कहां से होती है तो देखिए हमारे पास कुछ बेसिक प्रेमिसेस अ बेसिक अ क्या बोलते हैं बेसिक प्रपोजिशन नहीं बोल सकता हूं प्रेमिसेस बोल लीजिए प्रपोजिशन बोल लीजिए जो बेसिक फैक्ट है उसे आमतौर पे हम पी क्यू आर एसटी ऐसे डिनोट करते हैं जैसे फॉर एग्जांपल टुडे इज संडे सो ये अपने आप में एक प्रपोजिशन हो गया लेट मी डिनोट इड बाय ए है ना या टुडे इज टुडे इज हॉट तो लेट मी से ए से रिप्रेजेंट कर लेता हूं यह अपने आप में प्रिमिस हो गया अब जब दो प्रेमिसेस को हम मिलाते हैं या दो प्रपोजिशन को हम मिलाते हैं तो इनसे बनता है कंपाउंड प्रपोजिशन इसको ऐसे समझिए किसी भी मैथमेटिकल सिस्टम में मान लीजिए सिंपल अरथ मेे िक्स की बात कर लेते हैं डू वी हैव सम नंबर्स हां जी नेचुरल नंबर इंटी जर फ्लोट सब कुछ हमारे पास होता है तो लेट मी से रो से लेकर नाइन तक हमारे पास अलग-अलग डिजिट्स हैं जिनका इस्तेमाल कर करके मैं अलग-अलग नंबर बना लेता हूं बट दैट इज नॉट सफिशिएंट अगर गेम खेलना है तो यू आल्सो हैव टू हैव सर्टेन ऑपरेटर्स कुछ ऑपरेटर चाहिए ना आपको कौन-कौन से ऑपरेटर चाहिए मे बी प्लस माइनस डिवाइड मल्टीप्लाई समथिंग लाइक दिस ठीक उसी तरह से यहां पर भी इन द वर्ड ऑफ लॉजिक वी हैव सर्टेन अ प्रपोजिशंस दैट वी नो बट दो प्रपोजिशन को आपस में रिलेट करने के लिए वी नीड सर्टेन ऑपरेटर्स सो दैट हम क्या बना सके कंपाउंड प्रपोजिशन बना सके तो पहले हम क्या करने वा वाले बहुत आराम से और बहुत अच्छे से इन सब ऑपरेटर्स को ध्यान से पढ़ेंगे अगर ऑपरेटर हम नहीं समझे तो आगे की कहानी भी नहीं समझ पाएंगे है ना तो आई विल गो वन बाय वन इनको कुछ लोग ऑपरेटर बोल देते हैं कुछ लोग कनेक्टिव बोल देते हैं एक ही बात है और मैं ऐसा भी नहीं मान रहा कि आप ज्यादातर चीजें ऐसी समझ रहे कि वाह ये क्या ही हो गया बिकॉज़ बाय डिफॉल्ट चाहे वो डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक्स है अभी आपने इससे पहले पढ़ा रिलेशंस उससे पहले हमने पढ़ा सेट थ्योरी फंडामेंटल रूल्स मोरल लेस सेम है स आई विल स्टार्ट विद अ वेरी सिंपल आईडिया कॉल्ड नेगे अभी नेगे को कुछ लोग यू नो दे रिप्रेजेंट लाइक दिस कुछ लोग ऐसे भी रिप्रेजेंट करते हैं बेसिक आईडिया सेम इट्स अ यूनिरी ऑपरेटर और जो भी वैल्यू आप p को दोगे नेगे ऑफ p क्या करेगा ज उसके उल्टा कर देगा स नाम ही जिसका नेगे है उसर किस बात की उम्मीद करेंगे है ना उस वैल्यू को उठा के बिल्कुल यह उल्टा कर देता तो फॉर एग्जांपल देर यू सी अगर वैल्यू है फॉल्स तो फॉल्स केस में क्या मिलेगा ट्रू मिलेगा अगर वैल्यू है ट्रू तो क्या मिलेगा फॉल्स मिलेगा अ आगे बहुत प्रैक्टिस करनी है इसके ऊपर तो ऑटोमेटिक यू विल अंडरस्टैंड कि हां यह नेगे किस तरह से काम करता है और क्या इसके काम करने का बेसिक तरीका है यस सो दैट इज नेगे नेक्स्ट इज कंजंक्शन अब ध्यान से समझिए सेट थ्योरी में इसको आप इंटरसेक्शन कह रहे थे अ फिर उसके बाद हमने पढ़ा रिलेशन वहां पर हम इसको मीट कह रहे थे डिजिटल में हम इसी को क्या बोलते हैं हम इसी को एंड गेट या एंड ऑपरेशन बोलते हैं बात सेम है यहां पर हम इसे बोलते हैं कंजंक्शन तो व्हाट इज कंजंक्शन अगेन जब दोनों ट्रू होंगे तभी आपको ट्रू मिलेगा सर वरना फॉल्स मिलेगा दोनों ट्रू पर ट्रू मिलेगा तो अगर ट्राई करें तो बताइए फॉल्स फॉल्स पे क्या मिलेगा फॉल्स फॉल्स पे फॉल्स मिलेगा ट्रू फॉल्स पर भी फॉल्स मिलेगा ट्रू फॉल्स पे फॉल्स फॉल्स ट्रू ट्रू फॉल्स दोनों पे फॉल्स सिर्फ एक ही कॉमिनेशन ओनली ऑन ट्रू ट्रू यू विल गेट अ ट्रू बाकी सभी केस में यू विल गेट अ फॉल्स सो दैट इज अ कंजंक्शन है ना कब ट्रू होगा जब दोनों के दोनों जो हमारे प्रपोजिशन है या दोनों आर्गुमेंट जो है वो ट्रू हो बहुत सिंपल अब इस बेस पे पहली बार थोड़ा सा टूट टेबल का केस टेस्ट आपको दिलाता हूं और आर्गुमेंट मैं आपसे बोल रहा था वैलिड इनवैलिड वो कैसे होता है वो करना सीख लेते हैं तो वी विल गो वन बाय वन यहां देखिए पहला क्वेश्चन आपके लिए लाया हूं स्टेटमेंट क्या है कह रहा है p एंड q अगर ट्रू है इसका मतलब p भी ट्रू है वैसे तो आप इस कॉमन सेंस डायरेक्ट सोच के भी कर सकते ठीक बोल रहा है क्या भाई अगर p एंड q ट्रू होगा हमें पता है p एंड q ट्रू कब होता है जब दोनों ट्रू हो तो अगर हमें पहले से पता है कि p एंड q ट्रू है तो प या प या q को इंडिविजुअली ट्रू बोलना कोई अजीब बात नहीं है फिर भी टेबल बनाए इसका जल्दी से देखिए एक p के लिए एक q के लिए एक p एंड q के लिए है ना बहुत सिंपल बनाए जल्दी से क्या-क्या आएगा सो वी हैव फॉल्स फॉल्स वी हैव फॉल्स ट्रू वी हैव ट्रू फॉल्स एंड वी हैव ट्रू ट्रू और बीच में क्या रख सकते हैं एंड सो दिस इज फॉल्स दिस इज फॉल्स दिस दिस इज फाल्स एंड दिस इज ट्रू ठीक बात है अब जल्दी से मुझे बताइए कैसे इस पर ऑब्जर्व करना है ये कह रहा है p एंड q ट्रू है अब जैसा मैंने आपसे बोला जो भी प्रेमिसेस में लिखा है वो हमेशा ट्रू है कि फॉल्स है सर वो हमेशा ट्रू उस परे शक नहीं करना तो इफ दैट इज ट्रू तो ये मेरे को मिल गया बाकी के तीन तो स्टडी करने ही नहीं है अब ये बोल रहा है कि अगर p एंड q ट्रू है तो जरा देखना उसमें p ट्रू है क्या p एंड q में क्या p ट्रू है क्या हां सर p भी ट्रू है और q भी ट्रू है इसका मतलब ये आर्गुमेंट वैलिड है समझ आ रहा है कैसे ऑब्जर्व करना है अगला देखना इसके ठीक उल्टा ऐसा भी कर सकता हूं क्या यह कह रहा है कि अगर p ट्रू है इसका मतलब p एंड q ट्रू है ये तो उल्टी बात हो गई वैसे फिर वही बात क्या कॉमन सेंस से भी सोचा जा सकता है हां सर सोचिए कैसे सोचेंगे अरे भाई अगर p ट्रू है तो p एंड q को ट्रू नहीं बोल सकते बिकॉज़ वी नो दैट फॉर अ फैक्ट कि p एंड q दोनों को ट्रू होना जरूरी है तब आप इसको ट्रू बोल सकते हो सिर्फ p के ट्रू होने पे p एंड q ट्रू हो यह बिल्कुल भी जरूरी नहीं है ब टेबल से ऑब्जर्व करो बताओ जरा प कहां-कहां पर ट्रू है तो देखिए नीचे के दो रो में प ट्रू है टेबल से कैसे सॉल्व करना हां जी प ट्रू है ठीक बात है क्या यहां पर p एंड q ट्रू है नोटिस करना नहीं एक जगह फॉल्स है एक जगह ट्रू है एक जगह फॉल्स है एक जगह ट्रू है तो प के ट्रू होने पे प एंड q का ट्रू होना यह जरूरी नहीं है सो देर यू सी वी से दैट दिस आर्गुमेंट इज इनवैलिड दोबारा मैथ समझिए हम यह नहीं कह रे कि यू नो सच में p ट्रू है कि फॉल्स है हमें नहीं पता हमारा कहना सिर्फ यह है अगर फिलहाल हम ये अज्यू कर रहे हैं कि p ट्रू है इफ p इज ट्रू देन p एंड q ट्रू होगा यह गारंटी नहीं दी जा सकती यस आगे बढ़ी इसको बोलते हैं कंजेक्टिव सिलोज जम बहुत इंपॉर्टेंट कंक्लूजन है ये भी टेबल से निकाला जा सकता है क्या कह रहा है p एंड q पे नेगे लगा है और यहां पर जो लिखा है वो हमेशा मानते ट्रू है इसका मतलब क्या हुआ अगर नेगे ऑफ p एंड q ट्रू है इसका मतलब p एंड q क्या फॉल्स p एंड q फॉल्स है और p ट्रू है अब बताओ प एंड प के ट्रू होने के बाद भी पी एंड q भला फॉल्स कैसे हो सकता है एक ही तरीका है सर अगर पी के ट्रू होने के बाद भी प एंड q फॉल्स है इसका मतलब क्य फॉल्स रहा होगा और वही कंक्लूजन है ये आर्गुमेंट बिल्कुल वैलिड और मैं फिर वही याद दिला रहा हूं मेरे लिए पॉसिबल नहीं वरना ओबवियसली वीडियो बहुत लंबी हो जाएगी अदर वाइज व्हाट यू कैन डू इज यू कैन गो टू ईच एंड एवरी ऑफ दज आर्ग ूट्स और आप जाके चेक कर सकते हो इंडिविजुअली एकएक एकए केस बना के कि ये कैसे काम कर रहा है तो यहां पर अगर आप देखो p एंड q फॉल्स है सर p एंड q इन तीनों रो में फॉल्स है इधर नहीं है इसको हटा देते हैं फिर साथ में बोल रहा है p ट्रू है अब बोलो p कहां पे ट्रू है इन तीनों में से सिर्फ एक ही जगह p ट्रू है तो ये रो बची बाकी देखिए ये दोनों रो भी हमारी एलिमिनेट हो गई कंक्लूजन क्या निकालना है कि बताओ क्य फॉल्स है देखना जरा क्यू फॉल्स है क्या हां सर जो रो बची है उसमें क्य फॉल्स है सो अगेन दिस आर्गुमेंट इज सो या तो कॉमन सेंस से सॉल्व कर लो है ना डायरेक्ट सोच के वरना एग्जाम में तो मोस्टली आपको टेबल बना के आना तो टेबल बना के आके समझा के आओगे तो उसको नेक्स्ट लेवल क्लेरिटी पहुंचेगी दिस वन ये बिल्कुल इसका सिमिलर है अगर p एंड q फॉल्स है और q ट्रू है तो सर ऐसा तभी हो सकता है कि p फॉल्स रहा हो क्योंकि दोनों में से कम से कम एक तो फॉल्स होगा ना वरना आंसर फॉल्स कैसे होता है ना सो ये जितने भी बेसिक अभी मैं जानबूझ के बाकी कॉम्प्लेक्शन जैसे इंप्लीकेशन या डिसजंक्शन या बा कंडीशन की बात नहीं कर रहा वहीं तक डिस्कस कर रहा हूं जो बेसिक आईडिया हमने ऑब्जर्व किया है तो अभी बात करते हैं डिसजंक्शन की तो कंजंक्शन का दूसरा भाई है ना और फैक्ट ये है कि अगर वो एंड था तो यह कौन है सर यह यूनियन है या यह जॉइन है या ये डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक्स का ऑर गट है कैसे काम करता है आप जानते हैं तो अगर दोनों फॉल्स हो बस उस केस में रिजल्ट आपको फॉल्स मिलेगा बाकी जितने भी केस है बेसिकली आईडिया क्या है अगर एक इनपुट भी ट्रू है तो रिजल्ट ट्रू होगा एंड दैट इज डिसजंक्शन है ना तो बहुत सिंपल बात है ऑपरेटर में कुछ खास करने के लिए है नहीं लेकिन हां कुछ आर्गुमेंट मैंने जरूर लिख के रखे हैं जिस पे एक बार ध्यान से सोचेंगे तो मजा आएगा आपको अगेन इसमें से हर किसी के लिए मैं बोलता हूं आप टेबल बनाओ कोई प्रॉब्लम नहीं है लेकिन धीरे क्योंकि एग्जाम में कई बार वो स्पेसिफिकली बोलता ही है कि मेरे को टेबल मेथड से सॉल्व करके दो और क्या पता आप बिना टेबल को सॉल्व कर दो तो पता नहीं व ये मान ना ले कि आपने चीटिंग तो नहीं की तो लीजिए पूरा टेबल भी एक बार बना बना लेते हैं कैसे करूं बताओ सो फॉल्स फॉल्स फॉल्स ट्रू ट्रू फॉल्स एंड ट्रू ट्रू एंड देयर यू सी अगर एंड की बात करें तो आप जानते हैं फॉल्स फॉल्स फॉल्स एंड ट्रू और और की बात करें तो फॉल्स एंड ट्रू एंड ट्रू एंड ट्रू यस नाउ लुक एट दिस फर्स्ट वाला कह रहा है p एंड q इंप्लाइज p और q क्या मतलब है कि अगर p एंड q ट्रू है तो तो p और q भी ट्रू होगा वैसे बात ठीक है ना यार क्यों देखो p एंड q ट्रू कब होता है जब दोनों ट्रू हो अब अगर p और q दोनों ट्रू है ये बात हमें पता है तो क्या और भी ट्रू होगा सर 100% ट्रू होगा उसमें कोई कंफ्यूजन ही नहीं है आप देख लो एंड कहां पे ट्रू है सब एंड यहां पे ट्रू है जहां पे एंड ट्रू है वहां पे और भी ट्रू है क्या हां और भी ट्रू है तो ये आर्गुमेंट बिल्कुल वैलिड है व्हाट अबाउट द रिवर्स वन ये क्या कह रहा है ये कह रहा है अगर p और q ट्रू है इसका मतलब p एंड q भी ट्रू होगा क्या यह सही है p और q अगर ट्रू है तो p एंड q भी ट्रू होगा तो यहां पर आप देख सकते हैं और कहां-कहां पे ट्रू है और तीन जगह पे ट्रू है लुक एट दिस ट्रू ट्रू ट्रू यहां पे ट्रू है क्या वहां पर एंड के केस में भी ट्रू है क्या ऑब् वियस नॉट वैसे भी डंट मेक एनी सेंस क्योंकि हम जानते ही हैं सर और तीन केस में ट्रू हो सकता है या तो सिर्फ p ट्रू हो या तो q ट्रू हो या तो दोनों ट्रू हो इजेंट इट हम जानते हैं ये बात तो अब ये कहना कि और ट्रू है तो एंड भी ट्रू हो होगा इट डंट मेक सेंस बिकॉज़ ये देखिए दो ऐसे सिनेरियो हैं जहां पे और ट्रू है बट n ट्रू नहीं है तो टेबल से बात समझ आती है ना अगेन दिस इज कॉल्ड डिसजक्टिव सिलोज जम ये क्या है देखिए p और q ट्रू है ऐसा पहले से बता रहा है अब जो मैं आपसे बोल रहा हूं आर्गुमेंट p और q अगर ट्रू है तो तीन लॉजिक है या तो सिर्फ p ट्रू है या तो सिर्फ q ट्रू है या तो दोनों ट्रू है साथ में अलग से यह भी बता रहा है कि p फॉल्स है अब आप मुझे बताओ अगर p और q ट्रू होने के बाद भी p फॉल्स है तो एक ही कारण रहा है सर q ट्रू होगा वही तो लिखा है यहां पे या लुक एट दिस अगर p और q ट्रू है और q फॉल्स है क्य के फॉल्स होने के बाद भी p और q ट्रू है ऐसा सिर्फ तभी हो सकता है जब हमारा p ट्रू रहा हो तो ये दोनों बिल्कुल बेसिक कंक्लूजन है जिन्हें बोलते हैं डिसजक्टिव सिलोज जम और फिर वही बात है आप चाहे तो सीधे इधर टेबल से भी देख सकते हो तो पहले वाला ट्राई करें बोल रहा है p और q ट्रू है बताओ p और q कहां-कहां पे ट्रू है सर नीचे की तीन रो में ट्रू है तो पहले वाला रो यहां से एलिमिनेट कर देता हूं कोई प्रॉब्लम नहीं है नेक्स्ट देखिए क्या बोल रहा है कह रहा है p फॉल्स है अब यहां पर तीन रो बचे p सिर्फ इधर फॉल्स है तो आखरी के दोनों रो आपकी परमिशन से बाहर कर देता हूं कोई प्रॉब्लम नहीं है यहां पर बोल रहा है q ट्रू है जरा चेक करिए हां सर ये बात तो ठीक है कि यहां पे क्य ट्रू है है ना तो बहुत सिंपल आर्गुमेंट बहुत सिंपल तरह से ही हमने सॉल्व किया फिर वही बात या तो डायरेक्ट ऑब्जर्वेशन में ले लो इसी तो कोई बात ही नहीं है नहीं आ पा रहा तो इस तरह भी आप ट्राई कर सकते हैं है ना जैसे हमने टेबल बनाए ये क्या है कह रहा है अगर p ट्रू है तो p और q ट्रू होगा इसको हम एडिशन बोलते हैं अलग से बट आई थिंक ये भी बहुत ही सिंपल फैक्ट है क्योंकि p और q के ट्रू होने के लिए क्या अकेले p का ट्रू होना काफी है हां काफी है सर दोनों की जरूरत नहीं है तो उसी कंक्लूजन का ऑब्जर्वेशन का एडवांटेज ये उठा रहा है नाउ नेक्स्ट ऑपरेटर इज इंप्लीकेशन अब ध्यान से सुनना अभी तक तीन ऑपरेटर हमने पढ़े और साथ-साथ थोड़े-थोड़े प्रैक्टिस केसेस भी मैं आपको करा रहा हूं है ना नेगे हमने समझा और समझा एंड समझा नोटिस करना यह तीनों ऑपरेटर आपके लिए नई नहीं है क्योंकि वेदर वो सेट थ्योरी हो वेदर वो डिजिटल हो या वेदर वो प्रपोजिशन हो मैंने या वो रिलेशनशिप हो जहां लेटस और बुलेन जबरा वो सब आपने पढ़ा ये सारे के सारे ऑपरेटर्स इनका बेसिक ऑपरेशन हम पहले कहीं ना कहीं डायरेक्टली और इनडायरेक्टली स्टडी कर चुके हैं बट इंप्लीकेशन हाउ यू रिप्रेजेंट इट लाइक दिस यह पहला ऐसा ऑपरेटर है जो आप इसके अलावा कहीं नहीं पढ़ते कैसे पढ़ते हैं इसको इफ p देन q इसको लिखने के बहुत सारे और बोलने के बहुत सारे तरीके मैंने सब लिख के रखा है लेकिन बेसिक बात यही है इफ p देन q अगर p होगा तो q होगा क्या q बिना p के भी हो सकता है हो मेरे को फर्क नहीं पड़ता लेकिन हां अगर p होगा तो क्यों होगा अगर आप हार्ड वर्क करोगे तो आपके अच्छे नंबर आएंगे इफ यू वर्क हार्ड यू विल गेट गुड मार्क्स क्या बिना हार्ड वर्क करे भी अच्छे नंबर आ सकते हैं मे भी आ जाए मेरे को नहीं पता आई डोंट नो दैट लेकिन हां अगर हार्ड वर्क करोगे तो अच्छे नंबर जरूर आएंगे इस बात की गारंटी है है ना अब इंप्लीकेशन कैसे काम करता है आपने हार्ड वर्क नहीं किया आपके नंबर नहीं आए कोई प्रॉब्लम नहीं है हमारा स्टेटमेंट तो ठीक है ना हार्ड वर्क करोगे अच्छे नंबर आएंगे आपने हार्ड वर्क नहीं किया बट फिर भी आपके अच्छे नंबर आ गए हमें तब भी कोई प्रॉब्लम नहीं हमने ये नहीं बोला था कि बिना हार्ड वर्क करे नहीं आ सकते बात सिर्फ जितनी उतनी है हार्ड वर्क करोगे तो अच्छे नंबर आएंगे थर्ड वाला देखिए ट्रू एंड फाल्स ये प्रॉब्लम है यहां पे पी ट्रू है मानो आप आपने हार्ड वर्क किया बट क्यू फॉल्स है फिर भी आपके अच्छे नंबर नहीं आए सो दैट इज अ प्रॉब्लम और यह तो हम बोल ही रहे थे कि हार्ड वर्क करोगे तो अच्छे नंबर आएंगे तो नोटिस करो इंप्लीकेशन कैसे काम करता है सिर्फ ट्रू फॉल्स पे नोटिस करो सिर्फ ट्रू फॉल्स पे फॉल्स होता है बाकी तीनों केसेस में ट्रू मिलता है तो फॉल्स फॉल्स पे फॉल ट्रू पे ट्रू ट्रू पर य आपको ट्रू मिलेगा सिर्फ एक केस में आपको फॉल्स मिलता है दैट इज इंप्लीकेशन फॉर यू है ना तो बहुत शानदार ऑपरेटर बहुत शानदार तरीके से ही हम इसके ऊपर काम कर करते हैं अब क्या च करना है है ना चाह तो मैं तो बोलता हूं वीडियो पॉज करो एक बार ध्यान से नोटिस करो और ये पूरा टेबल आपको फिल करके बताना है यस कि ये टेबल कैसे काम करेगा चलिए नोटिस करिए एक एक करके यहां देखिए फाल्स फॉल्स पे फॉल्स फॉल्स पे ट्रू मिलेगा फॉल्स ट्रू पर भी ट्रू मिलेगा यह तो हमने ऑब्जर्व कर ही लिया यहां फॉल्स मिलेगा ट्रू मिलेगा देखो एस फार एज सेमेस्टर यूनिवर्सिटी लेवल का एग्जाम इज कंसर्न ना टेबल भरना बहुत इंपॉर्टेंट है एग्जामिनर चाहता है कि जल्दी से खूब सारी टेबल्स भरे तो ज्यादातर केसेस में हो सकता है कहीं-कहीं मैं आपसे बोलूं डायरेक्ट सॉल्व कर रहा हूं मैं बट आप ध्यान रखिएगा अगर एग्जाम में आपके पास स्पेस तो रहता हीय कॉपी खाली रहती है और भी ले सकते हैं बट अगर टाइम अलाव करता है देन गो फॉर इट है ना भर डालो इसको नाउ नेगे p अब अगर p यहां पर है तो उल्टा करते चलो फॉल्स का ट्रू फॉल्स का ट्रू देन ट्रू में क्या होगा फॉल्स ट्रू में क्या होगा फाल्स बहुत सिंपल बात नेगे क्यों यहां देखना फाल्स का उल्टा ट्रू ट्रू का उल्टा फॉल्स फॉल्स का उल्टा ट्रू ट्रू का उल्टा करेंगे फॉल्स हो जाएगा अब ये देखना ये कहां से कहां चल रहा है नेगे पी से नेगे को ध्यान देना नेगे पी से नेगे क्य तो हम जानते हैं इंप्लीकेशन में ट्रू ट्रू पर ट्रू मिलता है बट ट्रू फॉल्स पे यहां पे इस बार फॉल्स मिलेगा और बाकी इन दोनों में फिर ट्रू मिलेगा सिर्फ ट्रू फॉल्स पे फॉल्स मिलता है अगला इंप्लीकेशन कहां से कहां फिल करा रहा देखिए q से p में फिल करा रहा है q से p में उल्टा तो यहां देखिए नोटिस करना फॉल्स से फॉल्स जाऊंगा फर्स्ट रो में तो ट्रू मिलेगा यहां फॉल्स मिलेगा देखना ट्रू से फॉल्स जा रहा है तो सर यहां फॉल्स मिलेगा आई थिंक अगेन बाकी दिन नीचे दोनों जगह फॉल्स से ट्रू या ट्रू से ट्रू में भी हमको ट्रू मिल रहा है नाउ नेगे q से नेगे p नाउ लुक एट दिस नेगे q से नेगे p इधर यहां नोटिस करना तो ट्रू ट्रू पर ट्रू मिलेगा फॉल्स ट्रू पर भी ट्रू मिलेगा सिर्फ ट्रू से जब मैं फॉल्स जाऊंगा तो मुझे फॉल्स मिलेगा फॉल्स फॉल्स पर भी नोटिस करिए ट्रू मिलेगा एंड लास्ट वन इज नेगे अभी मैं एक-एक कॉलम क्यों बरावा रहा हूं हर कॉलम की इंपॉर्टेंस है समझोगे आप नेगे p से और q नेगे p एंड और क यहीं पे पहले नोटिस कर लो ट्रू मिलेगा ट्रू मिलेगा सिर्फ यहां फॉल्स फॉल्स है यहां फॉल्स मिलेगा यहां भी ट्रू मिलेगा तो क्या भरू बताओ ट्रू ट्रू फॉल्स एंड ट्रू है ना अब दो-तीन बातें मैं आपको नोटिस कराता हूं ध्यान देना पहले पहला ऑब्जर्वेशन करो क्या p इंप्लाइज q और q इंप्लाइज p एक बात है क्या चेक करना p इंप्लाइज q एंड q इंप्लाइज p नहीं सर एक बात नहीं दोनों अलग बात है है ना तो अगर आप हार्ड वर्क करोगे आपके अच्छे नंबर आएंगे आपके अच्छे नंबर आए इसका मतलब आपने हार्ड वर्क किया था नहीं सर यह बात डिफरेंट हो गई और इस स्टेटमेंट को हम बोलते हैं कन्वर्स करना मुझ से बोलो क्या करना कन्वर्स करना एग्जाम में नाम से पूछ सकता है कन्वर्स करना कन्वर्स करना मानो डायरेक्शन चेंज कर देनी अगर प से q जा रहे थे तो q से प जाने लग और ये सेम नहीं होता यस नेक्स्ट रिजल्ट देखो अगर हार्ड वर्क करोगे तो अच्छे नंबर आएंगे आपने हार्ड वर्क नहीं किया इसका मतलब आपके अच्छे नंबर नहीं आएंगे बोलो यह कंडीशन ठीक है क्या आपने हार्ड वर्क नहीं किया इसका मतलब आपके अच्छे नंबर नहीं आएंगे इसको क्या बोलते हैं इसको बोलते हैं इवर्स मुझसे बोलो क्या बोलते हैं इवर्स यहां देखो दैट इज इवर्स है ना क्या इवर्स सेम है क्या चेक करना बाबू लोग इवर्स नेगे प से नेगे q ट्रू इधर ट्रू है इधर फॉल्स है नहीं सर यह कॉलम भी डिफरेंट है तो यह भी अलग बात है तो ये भी नोटिस करना आप हार्ड वर्क करोगे आपके अच्छे नंबर आएंगे आपने हार्ड वर्क नहीं किया इसलिए आपके अच्छे नंबर नहीं ये दोनों सेम बातें नहीं अलग-अलग बात है आखिरी अटम ट्राई करता हूं यहां देखना इधर मैंने डायरेक्शन चेंज की थी इधर मैंने साइन चेंज किया था इधर भी मैं कंक्लूजन में दोनों चेंज करूंगा तो दैट इज लाइक नेशन q इंप्लाइज नेगे p ध्यान देना नेशन q इंप्लाइज नेशन p और ये सेम है क्या चेक करना नेशन q इंप्लाइज नेशन p एंड फॉर अ सरप्राइज ये बिल्कुल सेम है इसको हम क्या बोलते हैं इसको बोलते हैं कंट्रा पॉजिटिव तो एक बहुत बड़ा लर्निंग यहां पर हमारा निकला अब इसको बढो एक बार आप हार्ड वर्क करोगे तो आपके अच्छे नंबर आएंगे आपके अच्छे नंबर नहीं आए क्योंकि आपने हार्ड वर्क नहीं किया था ध्यान से देखो क्या बोल रहा हूं आपके अच्छे नंबर नहीं आए क्योंकि आपने हार्ड वर्क नहीं किया तो दोनों बातें सेम है तो अगर मतलब चेंज नहीं करना तो बोलो क्या करना है सर साइन भी चेंज करना है और डायरेक्शन भी चेंज करनी है ध्यान दीजिए साइन भी चेंज करना और डायरेक्शन भी चेंज करना है तब यह कहानी हमारी बिल्कुल परफेक्ट तरीके से काम करती है नोटिस कर पा रहे हैं सो दैट इज़ हाउ इट वर्क्स एंड दैट इज़ हाउ कंट्रा पॉजिटिव वर्क्स सो दो-तीन कंक्लूजन हमने ले लिए एक और आप आखिरी वाला कॉलम और देख लें क्या p इंप्लाइज q और इधर आपसे पूछ रहा हूं नेशन p और q दोनों सेम है क्या देखो दोनों एकदम सेम आ रहे हैं हां या ना तो यह एक इंपॉर्टेंट कंक्लूजन है जो बाद में हमारी मदद करता है क्यों मैं आपसे बोल रहा था ना इंप्लीकेशन एक नया ऑपरेटर है जो आपने नहीं पढ़ा बट देर यू सी आप अगर चाहे तो क्या आप इसको नेगे और और में फिर से ब्रेक कर पा रहे हैं हां और क्या नेगे और और यह दोनों वही ऑपरेटर है जिन परे हम पहले से काम करना जानते हैं यस सर है ना तो दिस इज आइडिया व्हिच इज इंपॉर्टेंट और यह आईडिया भी शानदार तरीके से हमारा काम करता है अब जैसे ये देखिए कुछ पी वाई क्यू ट्राई करा रहा हूं जो ऑलरेडी यूनिवर्सिटी एग्जाम में कहीं ना कहीं पूछे गए हैं जैसे एक्सप्रेस द कन्वर्स इवर्स एंड द कंट्रा पॉजिटिव ऑफ द स्टेटमेंट अब ये क्या है इफ x + 5 = 8 देन x = 3 ये पहला स्टेटमेंट है अब बताइए कन्वर्स कैसे करते हैं कन्वर्स में बोलता हूं डायरेक्शन चेंज करते हैं तो क्या हो जाएगा कन्वर्स इफ x = 3 देन देन इट मींस x + 5 = 8 ये हमारा क्या हो गया ये हो गया कन्वर्स इवर्स में क्या करते हैं साइन चेंज कर देते हैं ये क्या होगा बोलो इफ x + 5 इज नॉट इक्वल टू 8 अगर ये एट नहीं है देन इट मींस x इज नॉ इक्व टू 3 और आखिरी केस क्या पूछ रहा कं पॉजिटिव कंट्रा पॉजिटिव यहां मैंने क्या बोला क्या करने का सर यहां साइन भी चेंज करते हो डायरेक्शन भी चेंज करते हैं तो क्या होगा बोलो ये हो जाएगा इफ x इज नॉ इक्व ट 3 देन उस केस में अ x + 5 इज आल्सो नॉट इक्वल टू 8 ये तीनों स्टेटमेंट है है ना तो खैर अब वो कैसे काम कर रहा है क्या ऑब्जर्वेशन है हमें लेना देना नहीं है हमारा काम इन तीनों के रिगार्ड में आईडिया लिखना यस सो आई थिंक वेरी वेरी बेसिक अंडरस्टैंडिंग वेरी बेसिक आईडिया कुछ और ऑपरेटर आ उनको उन पर ध्यान देते हैं इंपॉर्टेंट कंक्लूजन आई विल से यह बड़ा इंपोर्टेंट कंक्लूजन है जो शायद सबसे ज्यादा यूज होता है नोन एस मॉड पोनेंस यह नाम याद रखना है और यह रूल याद रखना है बना के देख लो प क एंड प इलाई क है ना एक बार टेबल मेथड से टेबल मेथड से करेंगे तो हमेशा ऑब्जर्व करना आसान रहेगा य देखिए क्याक करूं बोलो सो लाइक अगेन सारे कॉमिनेशन बना लेता हूं फॉल्स फॉल्स फॉल्स ट्रू ट्रू फॉल्स एंड ट्रू ट्रू एंड दैट इज हाउ वी नो दैट इंप्लीकेशन वर्क्स अब ध्यान देना इफ p इंप्ला q होल्ड गुड अगर p है तो q है ये होल्ड कर रहा है कर रहा है तो कौन सी रो बाहर कर दूं है ना प्रेमिसेस इज ऑलवेज ट्रू तो थर्ड रो बाहर कर दिया देन p होल्ड्स गुड अब बताओ तीन रो में p कहां पे ट्रू है सर सिर्फ लास्ट वाले में ट्रू है ऊपर वाले दोनों में फॉल्स है लास्ट वाले में ट्रू है और यहां पर देखिए क्या कंक्लूजन लिखा है क्य आल्सो होल्ड गुड देखिए क्यू ट्रू है बताइए फॉलो कर पा रहे क्या काम करेगा आप मैं तो कहता हूं कॉमन सेंस से जल्दी समझ जाता है आप हार्ड वर्क करोगे तो आपके अच्छे नंबर आएंगे आपने हार्ड वर्क किया तो आपके अच्छे नंबर आ गए बात खत्म लाइक दिस है ना तो बहुत बेसिक बात है नेक्स्ट क्या है मॉडल्स टॉल लेंस मैं फिर वही बोल रहा हूं आप चाहो इसके लिए टेबल बना के देखो अगेन यू विल सी इट होल्ड गुड ये क्या कह रहा है आप हार्ड वर्क करोगे तो आपके अच्छे नंबर आएंगे आप आपके अच्छे नंबर नहीं आए इसका मतलब आपने हार्ड वर्क नहीं किया यह बिल्कुल सही काम करता है वैसे मुझे कुछ बहुत ज्यादा पसंद है पर्सनली क्यों बिकॉज मॉडेस्ट टोलरेंस इज नथिंग न्यू ये मॉडेस्ट पोनेंस का ही दूसरा फॉर्म है कैसे अभी थोड़ी देर पहले आपको मैंने कंट्रा पॉजिटिव बताया है ना तो अगर p इंप्ला q वैलिड है सही है तो मुझे बताओ क्या नेगे q इंप्लाइज नेशन p सेम बात है देखो ना p इंप्लाइज q इज एज गुड एज सिंग नेगे q इंप्लाइज नेगे p कंट्रा पॉजिटिव मैं मैंने डायरेक्शन भी चेंज किया मैंने साइन भी चेंज किया है और अब ये दोबारा पहले वाला फॉर्म नहीं बन गया अगर नेगे q है तो नेशन p मिलेगा नेगे q आपके पास है तो नेगे p मिलेगा लाइक दिस सो 110 पर इट होल्ड गुड एंड इट होल्ड गुड इन अ ब्यूटीफुल वे सो यस दिस इज परफेक्ट है ना ये होल्ड करेगा ये एक दो ऑब्जर्वेशन आप देख सकते हैं अगर p फॉल्स है मैं एक बार दिखा देता हूं p एंड q एंड नेगे p एंड नेगे q एंड देन p इंप्लाइज q लाक लास्ट टेबल में मिल जाएंगे हमें बट चलो कोई बात नहीं इसके सामने से ऑब्जर्व कर लेंगे सो फॉल्स फॉल्स फॉल्स ट्रू ट्रू फॉल्स ट्रू ट्रू और यहां पर मैंने एक्स्ट्रा बना दिया एक कॉलम नेगे प इधर रखता हूं व्ट इज नेगे प इधर रख लेता हूं नेगे क एक एक्स्ट्रा बन गया नेगे बी इज ट्रू ट्रू फॉल्स फॉल्स नेगे क्य इज ट्रू फाल्स ट्रू फॉल्स एंड देन प इला क सो p इंप्ला q इज ट्रू ट्रू फॉल्स एंड ट्रू जरा नोटिस करो क्या बोल रहा है नेगे p अब बताओ p कहां कहा पर फॉल्स है सर ऊपर वाली दोनों रो में p फॉल्स है क्या वहां पर प इंप्लाइज q ट्रू है हां नोटिस करिए दोनों केस में p इंप्लाइज q ट्रू है है ना तो 100% इट मेक्स सेंस और यह काम कर रहा है सेकंड वाला q कहां पे ट्रू है अब क्य नीचे की क्य क्य क आई एम सॉरी क्य सेकंड में और लास्ट रो में ट्रू है क्या वहां पर भी इंप्लीकेशन ट्रू है जी हां वहां पर भी ट्रू है तो इस तरह की बेसिक अंडरस्टैंडिंग काम करते हैं आखरी ऑपरेटर इज कॉल्ड बाय कंडीशनल है ना तो बाय कंडीशनल का पहले आपको बता देता हूं सबसे जो कॉमन सेंस आईडिया वो क्या है इट इज लाइक जैसे डिजिटल में हम पढ़ते हैं एनर इक्वल अगर p है तो q है अगर q है तो p है या यहां पर ऐसे बोलो तो आप डिवाइड करना चाहो इफ p इंप्लाइज q एंड q इंप्लाइज p होल्ड्स गुड ट सेम टाइम देन दिस इज नोन एज बाय कंडीशनल या यहां पर अगर भर के बताना तो कैसे भरूं तो फॉल्स फॉल्स पर आपको ट्रू मिलेगा ट्रू ट्रू पर आपको ट्रू मिलेगा लेकिन अगर दोनों डिफरेंट है तो आपको फाल्स मिलेगा तो दोनों सेम होना चाहिए आइर बोथ ऑफ देम शुड बी ट्रू और बोथ ऑफ देम शुड बी फॉल्स इन दैट केस बाय कंडीशन होल्ड्स गुड है ना तो यह स्टोरी है बाय कंडीशन की फॉर एग्जांपल कह रहा है अब एक क्वेश्चन देखिए कंस्ट्रक्ट द ट्रू ल फॉर द फॉलोइंग स्टेटमेंट तो एक स्टेटमेंट आपके पास है कह रहा है इसके लिए क्या करना है ूथ टेबल बनाना है बनाइए देखते हैं क्या ऑब्जर्वेशन होगा तो क्याक चाहिए आई थिंक p चाहिए q चाहिए नेशन p चाहिए नेगे q चाहिए और अभी देखिए बारी-बारी से बनेगा तो पहले एक बार p इंप्लाइज नेशन q के लिए बना लेंगे उसके बाद टोटल के लिए p इंप्लाइज नेगे q दिस टोटल इंप्लाइज नेगे p के लिए बना लेंगे एक बार ऑपरेटर्स की बेसिक बात समझ आई तो मुझे नहीं लगता यह आपको कोई बहुत ज्यादा कंफ्यूजन देने वाला है तो करना शुरू करो सर फॉल्स फॉल्स फॉल्स ट्रू ट्रू फॉल्स एंड ट्रू ट्रू नाउ य सी नेगे प क्या करू बोलो ट्रू मिलेगा ट्रू मिलेगा फॉल्स मिलेगा फॉल्स मिलेगा नेगे क्यू ट्रू मिलेगा फॉल्स मिलेगा ट्रू मिलेगा फॉल्स मिलेगा नाउ ध्यान से देखना प इंप्लाइज नेगे क्य p इंप्लाइज नेगे कू है ना तो फॉल्स ट्रू पे ट्रू मिलता है फॉल्स फॉल्स पर भी ट्रू मिलता है ट्रू ट्रू पर भी ट्रू मिलता है सिर्फ ट्रू फॉल्स अकेला ऐसा है जहां फॉल्स मिलता है ठीक बात है और ये जो रिजल्ट आया इसको नेगे p के साथ ऑपरेट करना है तो ट्रू फॉल्स पे आई एम सॉरी नेगे p के साथ तो ट्रू ट्रू पे ट्रू मिलेगा ट्रू इधर से इधर जा रहा हूं है ना ट्रू ट्रू पर फर्द ट्रू मिलेगा ट्रू फॉल्स पर मेरे को फाल्स मिलेगा एंड फॉल्स फॉल्स पर मेरे को ट्रू मिलेगा सो दिस इज द फाइनल ट्रू टेबल एंड दिस इज द फाइनल कॉलम जो शायद उसको चाहिए था है ना तो स्टेप बाय डायरेक्ट नहीं पहुंच सकते आप वहां तक तो स्टेप बाय स्टेप तरीके से देख लीजिए क्या-क्या चाहिए तो नेगे p की जरूरत थी नेगे q की जरूरत थी फिर पहले p इंप्लाइज नेगे q बना लिया और फिर टोटल से नेगे p बना लिया सो दैट इज हाउ वी वर्क ये क्वेश्चन देखिए एक स्टेटमेंट है क्या स्टेटमेंट दिया नेगे p इंप्लाइज नेगे क और पूछ रहा है इज लॉजिकली इक्विवेलेंट टू विच ऑफ द फॉलोइंग बिलो किसकिस के इक्वल है ब देखिए पैटर्न हमने पहले समझा है क्या p इंप्लाइज q और नेगे p इंप्लाइज नेगे क सेम बात है इवर्स नहीं सेम बात नहीं है वन के इक्वल नहीं है अब इसका अगर मैं कंट्रा पॉजिटिव करूं तो क्या होगा अगेन ये यही फॉर्म तो लेगा नेगे p इलाज नेगे क याद करो हा सीखा है ना सर हमने क्योंकि अगर साइन भी चेंज करें और डायरेक्शन भी चेंज कर दे तो रिजल्ट सेम आता है यानी कि टू इक्विवेलेंट है अच्छा इसकी कहानी बताऊं तो अब क्योंकि ये इक्वल है ऑलरेडी हमने समझा है क्या p इंप्लाइज q को नेशन p और q लिखा जा सकता है हां तो उसी तरह q इंप्ला p को क्या लिखेंगे बोलिए q इलाई p को नेगे q और p लिखेंगे तो इसका मतलब ये दोनों भी आपस में इक्वल है आप चाहो तो ट्रू टेबल बना सकते हो और ये फोर्थ वाला मेरे ख्याल से फर्स्ट के इक्वल होगा ये आपस में इक्वल है तो फिर ये जो क्वेश्चन में गिवन है नेगे p अ इंप्लाइज टटू नेगे क्यों ये उसके साथ होल्ड नहीं करेगा सो बहुत बेसिक गेम है सर बहुत बेसिक गेम एक बार बेसिक आईडिया आपको समझ आया ना तो बहुत अच्छे से आप आगे बढ़ पाएंगे अब ये टोट लॉजी कंट्रक्शन या कॉन्टिजेंट डिफरेंट सिनेरियो हैं जो टेबल में कभी-कभी हमें मिलते हैं और ये बाय नेम पूछ लिए जाते हैं तो बड़े इंपॉर्टेंट एक बार डिस्कस करूंगा एट दिस तो क्या बोल रहा है टाइप्स ऑफ केसेस कुछ स्पेशल केसेस है पहला केस देखिए टोटोज या वैलिड सो क्या बोल रहा है नोटिस करिए अब प्रपोजिशन फंक्शन व्हिच इज ऑलवेज हैविंग द ट्रू इन द लास्ट कॉलम इज़ सेड टू बी टोटोज अब जैसे मैं इन जनरल देखो बहुत सिंपल एग्जांपल बना रहा हूं p का और नेगे p का और कर रहा है यहां पे और तो मुझे बताओ ट्रू और फॉल्स का और करूंगा मेरे को ट्रू मिलेगा फॉल्स और ट्रू का और करूंगा तो भी मेरे को ट्रू मिलेगा अगर हम कोई भी ऐसा फंक्शन बना रहे हैं जहां पे हमें फाइनली सिर्फ सिर्फ ट्रू ट्रू ट्रू ट्रू ट्रू मिलते जा रहा है और कुछ मिल ही नहीं रहा इसको बोलते हैं टटोल जीी ऑलवेज ट्रू इज टोटोज ये एक स्पेशल केस है अच्छा टटोल जीी होना या वैलिड होना एक ही बात है है ना कंप्यूटर साइंस में किस चीज को हम वैलिड कब बोलेंगे बताओ किसी भी चीज को जब वो कभी-कभी ट्रू हो कि हमेशा ट्रू हो ऑब् वियस जब वो हमेशा ट्रू हो देन ओनली वी से कि यार वो वैलिड है मानते हो इस बात को तो सिमिलरली यहां पर टटोल जीी कब बोलते हैं जब इट इज ऑलवेज ट्रू तो वैलिड होना टटोल जीी होना एक बात है बहुत सिंपल केस हमने बनाया इसके ठीक उल्टा विपरीत है कंट्रा क्शन अभी कंट्रक्शन क्या है तो जैसे मैंने प का और नेगे प का भी और किया था ये लीजिए यहां पर क्या किए देता हूं एंड कर देता हूं बोलो एंड करूंगा तो क्या होगा ट्रू और फॉल्स में इधर भी और इधर भी नोटिस करो दोनों जगह मेरे को फॉल्स मिल जाएगा इजेंट इट तो ये कौन सा केस द प्रपोजिशन फंक्शन व्हिच इज ऑलवेज हैविंग फॉल्स इन द लास्ट कॉलम इज कॉल्ड कंट्रक्शन लास्ट कॉलम में जहां पर हमेशा फॉल्स आए उसको क्या क के बुला रहा है कंट्रक्शन नोटिस करने वाली बात ये है क्या कंट्रा इक्स होना और इनवैलिड होना एक बात है नहीं अलग बात अभी समझाऊ तो कंट्रा इक्स का जो सिनोनिम है वो है अनसेटिस्फाई बल थोड़ा कन्फ्यूजिंग है अ ये तीनों चीज समझाऊ है ना तो टोटोज होना या वैलिड होना एक बात यहां पर कंट्रा क्शन होना या अनसेटिस्फाई बल होना एक बात है है ना ये दोनों आइडियाज आपको समझ आ गए आगे बढ़ते हैं तीसरा है कंट अब जरूरी है क्या कि हमेशा या तो सारे ट्रू या तो सारे फॉल्स रहेंगे नहीं जरूरी नहीं है सर बीच का केस भी तो आ सकता है ना तो उसी की बात कर रहा है द प्रपोजिशन फंक्शन व्हिच इज नाइ दर ट्रू नॉर टटोल जीी नॉर कंट्रक्शन ना तो हमेशा टटोल जीी है ना तो हमेशा कंट्रक्शन है जैसे कोई भी एंड ऑर वाला केस ले लेते है लुक एट दिस डिसजंक्शन तो आप जानते ही हो सिर्फ फॉल्स फॉल्स पे फॉल्स मिलता है बाकी ट्रू मिलता है तो इसको क्या बोलते हैं सर इसको बोलते हैं कॉन्टिजेंट है कि हमेशा फॉल्स है ना ये हमेशा ट्रू है ना ये हमेशा फॉल्स है तो बीच वाला केस है है ना तो इसको क्या बोलेंगे इसको बोलेंगे कंटिजेंट सेटिस्फाइबिलिटी फाइबल होना और कंटिजेंट होना थोड़ा सिमिलर है बट उससे थोड़ा सा लग है व्हाट इज सेटिस्फाइबिलिटी है तो भी सेटिस्फाइबिलिटी अगर सारे बार मतलब ऐसा समझ लो ये कंट्रक्शन का उल्टा है कंट्रा क्शन का उल्टा है अगर एक बार भी ट्रू है तो सेटिस्फाइबिलिटी वन ट्रू वैल्यू इन द फाइनल कॉलम तो फाइनल कॉलम में कम से कम एक वैल्यू ट्रू होनी चाहिए मैं एक काम करता हूं इसके अलग-अलग केस बना के समझाता हूं देखिए एक तो हमने पढ़ा टोटल जीी जो सबसे पहले वाला केस था टोटल जीी यस इसे थोड़ा शॉर्ट में लिख देता हूं टोट लॉजी दूसरा हमने पढ़ा कंट्रक्शन कांट्रडिक्शन जो हमेशा फॉल्स था तो लेट बल की एक काम करता हूं ये दोनों एकदम एक्सट्रीम है ना इनको थोड़ा अलग से लिखता हूं इनके बीच में हम रखेंगे कंटेंस को तो यह सर एक तरफ हमारा हो गया कंट्रक्शन है ना और यह जो हमने बीच में पढ़ा ट इज कंटिजेंट है कभी फॉल्स है ये हो गया कंटिजेंट ऑलवेज फॉल्स सम टाइम्स ट्रू सम टाइम फॉल्स तीन कैटेगरी है अब ध्यान से देखना अगर आप टोटोज या कंटिजेंट यू आर सेटिस्फाइबिलिटी अगर कोई चीज टोटोज है तो वो वैलिड है तो फिर इनवैलिड क्या हुआ लुक एट दिस चाहे आप एक बार गलत ये आप हर बार गलत कंटिजेंट है कंट्रक्शन हमेशा गलत है ये मैंने पूरी टर्मिनोलॉजी सिंगल पॉइंट में क्लियर कर दी अब नोटिस कर लो कंफ्यूजन नहीं चाहिए ऑलवेज ट्रू सम टाइम्स ट्रू सम टाइम फॉल्स ऑलवेज फॉल्स ऑलवेज फॉल्स इज अनसेटिस्फाई बल हमेशा ट्रू या कभी-कभी ट्रू या एटलीस्ट वन ट्रू इ सेटिस्फाइबिलिटी टोटल जीी वैलिडिटी एक बार कंटिजेंट एंड कंट्रक्शन मिलाकर आपस में हो जाता है इनवैलिड है ना तो यह पूरी स्टोरी यह पूरा आईडिया जो आपको ध्यान रखना है फंक्शन कंप्लीट तो ये हमने पहले भी बात की डिजिटल में भी इसके बारे में बात करते हैं क्या वैसे तो हमारे पास डिजिटल में एंड र नॉट एसर एक्स नॉर नंड नॉर सारे गेट होते हैं बट आप याद याद है दो स्पेशल गेट हमारे पास होते हैं कौन-कौन से नंड और और के आगे निगेशन लगाऊंगा नॉर व्हिच आर सेड टू बी फंक्शनल कंप्लीट यूनिवर्सल गेट बोलते हैं इसम हमने डिटेल में काम किया है सिंगल शॉर्ट वीडियो मिलेगी डिजिटल ग में पूरा अच्छे से इस बात को हमने समझाया क्या कि यू नो जो हमारे यूनिवर्सल लॉजिक गेट्स है अगर आप चाहे तो उनका इस्तेमाल करके कोई भी लॉजिक गेट इंप्लीमेंट कर सकते हैं और दरअसल ये है क्या नेगे एंड के साथ और नेगे और के साथ व यहां लिख रहे हैं अभी यहां पे हम नेगे और एंड को एंड ना बोल के कंजंक्शन बोल रहे हैं सर नेगे के साथ और ना बोलकर उसको डिसजंक्शन बोल रहे तो बिल्कुल सेम बात है नेगे विद एंड एंड निगेशन वि वि विद डिसजंक्शन इज नोन एज फंक्शनल कंप्लीट आप इसका इस्तेमाल करके भी कोई भी प्रपोजिशन फंक्शन इंप्लीमेंट कर सकते हैं लेकिन यहां पे इस टॉपिक में आप मैंने देखा इसको इतना इंपॉर्टेंस काइंड ऑफ दिया नहीं जाता अब बेसिक अ प्रपोजिशन पढ़ लिए कंपाउंड प्रपोजिशंस पढ़ लिए आमतौर पे एग्जाम में इस तरह के स्टेटमेंट्स आ रहे हैं पूरे पूरे स्टेटमेंट जो मैं देख रहा हूं यूनिवर्सिटी एग्जाम में आजकल ज्यादा पॉपुलर है तो मैपिंग डायरेक्ट नहीं देते वो तो नेचुरल लैंग्वेज में इंग्लिश में स्टेटमेंट लिख के देते हैं पहले आपका काम है इसको मैपिंग में कन्वर्ट करना फिर बताना वैलिड है कि इनवैलिड है है ना तो उसमें कभी भी क्या गलती नहीं करना डायरेक्टली अगर इंग्लिश का इंग्लिश में सॉल्व करोगे ना कुछ ना कुछ गलती हो जाती है बिकॉज आप कॉमन सेंस लगाने लगते हो ना ये सारे के सारे जो क्वेश्चंस है ना इस टाइप के आपको रूल्स के हिसाब से सॉल्व करने हैं मैं सॉल्व करते जाऊंगा बहुत सारे सैंपल मैंने लिखे हुए हैं जब हमें लगेगा कि हां इतने सफिशिएंट सैंपल हमने सॉल्व कर लिए ना कि अभी हम कंफर्टेबल है दैट विल बी ओके फिर आगे बात करने की जरूरत नहीं है तो य देखिए इफ टुडे इज गांधी जीज बर्थडे देन टुडे सेकंड अक्टूबर एक मैपिंग बना लो इसकी इफ टुडे इज लेट मी से इफ टुडे इज गांधी जीज बर्थडे गांधी जी बर्थडे मतलब इट इज सेकंड ऑफ अक्टूबर ये एक मैपिंग बन गई है ना अभी ऐसा नहीं सर आपने जीबी लिखा मैंने कुछ और लिखा ठीक है ना यार बेसिक बेसिक बात समझनी है अगली बात क्या लिखी है टुडे इज सेकंड ऑफ अक्टूबर टुडे सेकंड ऑफ अक्टूबर और भाई ने कंक्लूजन निकाल दिया दैट इट मींस दिस इज गांधी जीज बर्थडे अब ये देखने में आपको लगेगा कि हां ठीक है ना एकदम परफेक्ट है अगर गांधी जी का बर्थडे है तो सेकंड अक्टूबर होता है सेकंड अक्टूबर इसका मतलब गांधी जी का बर्थडे है है ना तो ये जो आर्गुमेंट है वैलिड बट मैं क्या बोल रहा हूं हमें ऐसे नहीं करना सर हमें मैपिंग से करना है हमें रूल के टेबल के हिसाब से करना है तो अब अगर और इसको कन्वेनिएंट करने के लिए मैं इसको p और इसको q बोल दूं तो बताओ क्या मैपिंग बनेगी p इंप्लाइज q q एंड q इंप्लाइज p ऐसा ही है ना सर आप अगर याद करेंगे तो आपको याद आएगा ना तो यह मॉड स् पोनेंस है ना ये मॉडेस्ट टोलेंस है मैं फिर भी टेबल से आपको ऑब्जर्वेशन कराता हूं p क एंड p इंप्ला q अभी पता लग जाएगा कि आर्गुमेंट वैलिड है कि इनवैलिड है कैसे किया हमने फॉल्स फॉल्स फॉल्स ट्रू ट्रू फॉल्स ट्रू ट्रू नोटिस करिएगा कैसे काम करता है सो ट्रू ट्रू एंड दिस इज फॉल्स एंड दिस इज ट्रू है ना अब क्योंकि प्रेमिसेस है प्रेमिसेस में जो लिखा है हमेशा वैलिड है तो क्योंकि p इंप्ला q वैलिड है वो रो बाहर कर दूं जहां पे फॉल्स है उसको बाहर कर दिया सर देन q क्योंकि ट्रू लिखा हुआ है तो उसको बाहर कर दो जहां ट्रू क्य फॉल्स फॉल्स है q को फॉल्स बाहर कर दिया q भी ट्रू है अब कौन बचा दो रो बची क्या वहां पर p ट्रू है नोटिस करिए ना सर ट्रू नहीं है एक बार ट्रू है एक बार फॉल्स है तो डिसाइसिवली ये बोलना कि ये सही है यह गलत होगा इसका मतलब ये आर्गुमेंट इनवैलिड है अब हो सकता है कुछ लोग कभी भी डाइजेस्ट ना हो ये क्या बात हुई टुडे इज गांधी जीज बर्थडे टुडे इ सेकंड अक्टूबर टुडे इज सेकंड अक्टूबर देन इट मींस गांधी जीज बर्डन नहीं अकॉर्डिंग टू इन्फ्रेंस लॉजिक ये आर्गुमेंट इनवैलिड है और मैंने मैपिंग से भी दिखा दिया टेबल से भी प्रूफ करके आपको दिखाया कोई डायरेक्ट टाइप नहीं है अगर ये ऐसे होता अगला है क्या नहीं अगर ये ऐसे होता टुडे इज गांधी जीज बर्थडे देन टुडे इज सेकंड ऑफ अक्टूबर और फिर ये कहता है यस टुडे इज गांधी जीज बर्थडे इट मींस टुडे इ सेकंड ऑफ अक्टूबर तब ये बात सही हो जाती तो सीधा मोडर पोनेंस बनता यस अगला केस देखिए देखिए कैसे बोल रहा है कंसीडर क्या लॉजिक है य देखिए कंसीडर अ द फॉलोइंग आर्गुमेंट इफ कनाडा इज अ कंट्री देन लंदन इज अ सिटी अब अजीब अजीब बात हो सकती है बट जो कह रहा कोई दिक्कत नहीं इफ कनाडा इज अ कंट्री कैसे मैपिंग बनाऊ इसकी इफ कनाडा इज अ कंट्री देन लंदन इज अ सिटी ऐसे बना लेता हूं अगले स्टेटमेंट में फिर खुद ही कह रहा है लंदन इज नॉट अ सिटी लंदन इज नॉट अ सिटी ओके कंक्लूजन इट मींस कनेडा इज नॉट अ कंट्री देन इट मींस कनाडा इज नॉट अ कंट्री अब ये वैसे ल जलूल बात है जिसे बोलते हैं ना अजीब बट हमें तो रूल के हिसाब से चलना है बताओ कोई डायरेक्ट रूल है क्या अगर याद हो तो डायरेक्ट मडर टोलेंस है और नहीं ऑब्जर्व कर सकते तो मुझे लगता है मडरस पोनस ऑब्जर्व करना हमेशा ज्यादा आसान होता है कैसे सीसी इंप्लाइज एलसी कंट्रा पॉजिटिव लिख लू जिसमें डायरेक्शन भी चेंज करता और साइन भी चेंज करते हैं तो क्या मैं इसको नेगे ऑफ एलसी इंप्लाइज नेगे ऑफ सीसी नहीं लिख सकता सर लिख सकता हूं नेगे ऑफ एलसी इंप्लाइज नेगे सीसी नेगे एलसी नेगे से नेगे कैंसिल व्हाट यू गेट नेगे सीसी 110 पर ये आर्गुमेंट वैलिड है जो इनवैलिड लग रहा था सॉरी जो वैलिड लग रहा था वो इनवैलिड निकला जो इनवैलिड लग रहा था वो वैलिड निकला तो लाइक दिस इसलिए बोल रहा हूं नेचुरल लैंग्वेज में सॉल्व करना ही नहीं है खुद से मैपिंग बनाइए ऑब्जर्व करिए आंसर लिखिए आगे बढ़ते हैं देखिए क्या कह रहा है इफ इट रेन देन द क्रिकेट मैच विल नॉट बी प्लेड इफ इट रेंस देन द क्रिकेट मैच विल नॉट बी प्लेड बट द क्रिकेट मैच वास प्लेड क्रिकेट मैच वास प्लेड कंक्लूजन देयर वाज नो रेन हर केस में तो बोलता हूं पहले खुद से ट्राई करना एक बार वैसे डायरेक्ट ऑब्जर्वेशन फिर भी बोलता हूं क्या है ऊपर वाले स्टेटमेंट के लिए जरा कंट्रा पॉजिटिव तो लिख पाओ कैसे लिखोगे डायरेक्शन चेंज साइन चेंज सो आर इंप्लाइज नेगे प इज एज गुड एज सेइंग p इंप्लाइज नेशन r और अभी तो भगवान सामने दर्शन दे रहे है सोचना क्या है अगर p होगा तो नेगे r होगा और प है मॉड स् पोनेंस इसका मतलब नेगे आर भी है मानो आर्गुमेंट बिल्कुल वैलिड है कोई प्रॉब्लम नहीं है परफेक्टली फाइन नेक्स्ट देखिए इफ इट रेंस देन द क्रिकेट मैच विल नॉट बी प्लेड पहली बात तो सेम है बारिश होगी तो मैच नहीं होगा इट डिड नॉट रेन बारिश नहीं हुई इसका मतलब मैच वास प्लेड देखो तो वैसे कंसेप्ट एक्चुअली गड़बड़ बात है बारिश होगी तो मैच नहीं होगा बट इसका मतलब ये हो गया क्या कि जिस दिन बारिश नहीं उस दिन मैच होगा ही होगा हमने ऐसा कब बोला हमने ऐसा नहीं बोला था बट ये यही बोल रहा है बारिश होगी अच्छा आई एम सॉरी बारिश होगी तो मैच नहीं होगा बारिश नहीं हुई मैच हुआ आप कोई भी रूल लगा लो इस पे इसको आप इनवर्ट करके देख लो तो प इंप्लाइज नेगे r भी करोगे तो भी देर इज नो आईडिया कि ये मैं प्रूफ कर दूं कि वैलिड है एक और आर्गुमेंट आप चाहो टेबल बना के सॉल्व कर लो p है r है ऐसे ही करता हूं प आ नेगे प नेगे आ और क्या क्या चाहिए और य एक अपने को चाहिए आर इंप्लाइज नेगे प यही चाहिए ना आर इंप्लाइज नेगे प टेबल से सॉल्व करना सिखा रहा हूं हर दूसरे केस में डायरेक्ट हाथ आ जाए तो इससे बढ़िया कोई बात ही नहीं है डायरेक्ट नहीं कर पा रहे तो घबराना नहीं है सर टेबल का ब्रह्मास्त्र तो चलेगा ही चलेगा उ कोई रोक नहीं सकता चलो अब ये प है तो नेगे प में ट्रू ट्रू फॉल्स फॉल्स नेगे आर में ट्रू फॉल्स ट्रू फॉल्स और जरा भरवाए इसको आर इंप्लाइज नेगे प आर से नेगे प सामने सामने मिल गए तो फॉल्स ट्रू पर फॉल्स ट्रू पर ट्रू मिलेगा ट्रू ट्रू पर ट्रू मिलेगा फॉल्स फॉल्स पर भी ट्रू मिलेगा ट्रू फॉल्स पर फॉल्स मिलेगा ठीक बात है अब देख लेते हैं ये आर्गुमेंट वैलिड है कि इनवैलिड पहला प्रेमिसेस वैलिड तो लास्ट रो बाहर कर दो नेगे आर चाहिए नेगे आर कहां-कहां यहां पे ट्रू है पहली और तीसरी रो में तो बीच वाली रो बाहर कर दो और अब कंक्लूजन क्लूजनर कर रहा है क्या सर नहीं कर रहा एक बार ट्रू आ रहा है एक बार फॉल्स हो रहा है हमेशा ट्रू नहीं है तो अगेन वी हैव प्रूव्ड कि हां ये वाला आर्गुमेंट इनवैलिड है है ना तो स्टेप नंबर बढ़िया आईडिया तो ये है कि डायरेक्ट हाथ में आ जाए अगर एग्जाम में मेंशन कर रहा है कि टेबल बनाना है तो भाई बना के आना ताकि एग्जामिनर को समझे कि हां इसने मन मन में अख से चीटिंग करके नहीं लिखा प्रॉपर स्टेप बाय स्टेप सॉल्व किया है है ना ये देख देखिए अब ये क्या है अंडर द फॉलो अ कंसीडर द फॉलोइंग प्रपोजिशनल स्टेटमेंट इक्वेशन लिखी हुई है आपको बताना है मैच करेगा कि नहीं करेगा अब इसको करने के देखिए दो तरीके हैं एक तो पॉइंट है इस तरह का क्वेश्चन कॉम्पिटेटिव एग्जाम्स में गेट में नेट में कहीं पूछा जाए तो एक इसका शॉर्टकट ट्रिक हो सकता है जो आपको सिखाऊंगा इसको डायरेक्ट यू नो बुलियन में लेके आओ जल्दी से सॉल्व हो जाता है डायरेक्ट कोई टेंशन नहीं एक है कि यू नो यू गो बाय वेरी फंडामेंटल मेथड कि टेबल बनाना है वन बाय वन इसमें क्या दिक्कत और सॉल्व करना है तो एक बार टेबल बनाता हूं है ना और आगे की कहानी आप खुद देख लेंगे चलिए सर अब टेबल लंबा बनेगा क्योंकि यहां पे एक है दो है या तीन वेरिएबल आ गए तीन वेरिएबल आ ग ए बी सीडी है ना तो तीन वेरिएबल में आप जानते हो चार केस बनेंगे तो चार केस कैसे बनेंगे वह देख लेंगे लेकिन एक केस ऐसा करना जरूरी है ताकि आपको पैटर्न समझाते चलूं तो देखिए जरा लेफ्ट हैंड साइड में क्या चाहिए एक कॉलम बनेगा पहले a एंड b का एक बात उसके बाद ए एंड बी का इंप्ली निकालना है ए एंड बी का इंप्लीकेशन निकालना है सी के साथ यहां तक की बात हो गई फिर यह दो अलग-अलग सॉल्व होंगे एक कॉलम बनेगा ए इंप्ला सी का दूसरा कॉलम बनेगा बी इंप्ला सी का और फिर तीसरा कॉलम बनेगा ए इंप्ला सी एंड बी इंप्ला सी का और तब कहीं जाके मैचिंग होगी शुरू हो जाते हैं सर आठ कॉमिनेशन बनेंगे सो फॉल्स फॉल्स फॉल्स फॉल्स फॉल्स फॉल्स फॉल्स ट्रू फॉल्स ट्रू फॉल्स एंड फॉल्स ट्रू ट्रू अब अगला कॉमिनेशन ट्रू फॉल्स फॉल्स ट्रू फॉल्स ट्रू ट्रू ट्रू फॉल्स एंड ट्रू ट्रू एंड ट्रू लुक एट दिस नाउ यस भरना शुरू करिए और यह रो बना लेता हूं बिकॉज इतना ही ऊपर नीचे हो जाएगा बाद में कि कंफ्यूजन ना हो जाए कौन सी रो की वैल्यू कौन सी रो में लिख रहे हैं कर रहे हैं यह लीजिए सर बताइए ए ए ए बी एंड बी फॉल्स मिलेगा फॉल्स मिलेगा फॉल्स मिलेगा फॉल्स मिलेगा एंड हियर आल्सो फॉल्स हियर आल्सो इट इज फॉल्स आई थिंक आखरी के सिर्फ दो कॉलम में ट्रू मिलेगा ठीक बात है यह बताइए अब इसका इंप्लीकेशन करना है सी के साथ इसका इंप्लीकेशन करना है सी के साथ तो क्योंकि पहला फॉल्स है तो ट्रू ट्रू ट्रू ट्रू ट्रू ट्रू फॉल्स प सिर्फ एक जगह फॉल्स मिलेगा बाकी ट्रू मिलेगा तो लेफ्ट हैंड साइड तो सॉल्व हो गई राइट हैंड साइड पे आ जाइए a का इंप्लीकेशन c के साथ नोटिस करते हैं ना कौन सा कॉलम देख रहे हैं a का c के साथ है ना मैं देख देख के जल्दी-जल्दी भर रहा हूं ट्रू मिलेगा ट्रू मिलेगा ट्रू मिलेगा ट्रू मिलेगा यहां आई थिंक फॉल्स मिलेगा ट्रू फॉल्स पे ट्रू फॉल्स पे फॉल्स मिलेगा ट्रू ट्रू पर ट्रू मिलेगा ट्रू फॉल्स पर भी फॉल्स मिलेगा लास्ट में ट्रू मिलेगा देन b का इंप्लीकेशन c के साथ ये तो आसपास है ट्रू मिलेगा ट्रू मिलेगा ट्रू फॉल्स पे फॉल्स मिलेगा ट्रू ट्रू पे ट्रू मिलेगा यहां फिर ट्रू मिलेगा फॉल्स ट्रू पे भी ट्रू मिलेगा ट्रू फॉल्स प फॉल्स मिलेगा लास्ट वाले में फरदर ट्रू मिलेगा और आखिरी केस दोनों का एंड ट्रू मिला ट्रू मिला इधर फॉल्स मिला इधर भी ट्रू मिला फॉल्स मिला ट्रू मिला फॉल्स मिला ट्रू मिला और ये दोनों कॉलम कंपेयर कर लीजिए जो चेक करना था बताइए दोनों सेम आ रहे है कि डिफरेंट आ रहे हैं सर दोनों डिफरेंट आ रहे हैं तो 110 पर पूछा था यह सही है कि गलत है नहीं यह गलत है एक तरीका तो यह है इसे सॉल्व करने का जो कॉलेज में हो सकता है स्पेसिफिकली आपको बोला गया टेबल बना के सॉल्व करिए तो कर दीजिएगा यही तरीका है इसमें कितने भी प्रैक्टिस कर लो बेसिक मैथ्स सेम है अब मैं इसे क्लियर कर देता हूं और इसी क्वेश्चन को दूसरे तरीके से सॉल्व करके बताता हूं वो क्या तरीका है कि इसको आप डायरेक्ट ना डिजिटल वाले फॉर्मेट प ले आओ डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक्स का सिंगल शॉट आई थिंक आपने प्रोसेस कर लिया अगर तो मामला सेटल हो जाएगा देखो इसको कैसे लिख सकता हूं कैन आई से इट इज a बी इंप्ला c ऐसे डिजिटल की फॉर्मेट में लिख रहा हूं अच्छा आपको याद दिलाया था p इंप्लाइज q इज़ एज गुड एज संग नेगे नेगे p नेगे p और q और डिस्टल में इसको ऐसे लिख सकता हूं p ब + q लिख सकता हूं तो वही फॉर्मेट इधर लगा देता हूं सो इट इज़ a b का बार + c डी मॉर्गन लॉ इट इज़ a ब + b ब + c यह आ गया राइट हैंड साइड पे देखते हैं अब यह क्या बनेगा दिस इज़ a ब + c एंड दिस इज़ b ब + c करो ब्रैकेट ओपन सो दिस इज a बार b बार a बार c a बार c इधर से देखोगे तो b बार c एंड c नाउ दैट इज a बार b बार यहां से c कॉमन निकाल लो सो इट इज a ब + b बार + 1 नाउ दिस विल बिकम वन ओनली सो 1 * c + a बार b बार अल्टीमेटली इट इज a बार b बार + c और यहां पर भी आप देख सकते हैं दोनों रिजल्ट सेम है कि डिफरेंट है डिफरेंट है यहां a बार + b बार है यहां a बार एंड b बार है यह वाली कहानी है तो एक यह तरीका है एक पुराना टेबल वाला मेथड है लॉन्ग टर्म में जैसे-जैसे नंबर ऑफ वेरिएबल बढ़ते जाते हैं बेटर है कि आप डिजिटल वाले मेथड से सॉल्व करें बट पेपर में अगर मेंशन किया गया आपकी क्लास में ऐसे ही कराया कि नहीं टेबल वाला तो गो फॉर टेबल वाला मेथड यस ये एक और केस है मुझे लगता है पैटर्न में बिल्कुल सिखा चुका हूं दे इज नथिंग न्यू हालांकि यह थोड़ा इंप्लीकेशन दैट मस्ट बी और है ना य नेगे नहीं है इसको और करके सॉल्व सॉल्व कर लीजिएगा अब अगेन कुछ और केस प्रैक्टिस करेंगे स्टेटमेंट्स वाले जो ऑलरेडी मैं आपको करा चुका हूं थोड़ से और लेंथी स्टेटमेंट देखते हैं देखिएगा ये एग्जैक्ट यूनिवर्सिटी एग्जाम से प्रीवियस ईयर क्वेश्चन उठा रहा हूं ओके नाउ लुक एट दिस यूज रूल्स ऑफ इफ्रें टू जस्टिफाई द थ्री हाइपोथेसिस तीन हाइपोथेसिस है देखते हैं क्या-क्या है और इससे जस्टिफाई करना मानो वैलिड प्रूफ करना तो यह तो अच्छा है यह भी नहीं पूछ र कि वैलिड इनवैलिड है कि नहीं मान रहे हैं वैलिड है है ना बस प्रूफ कर दो एक और बात यहां पर टेबल भी नहीं बनाना क्योंकि स्टोरी लंबी हो जाएगी देखते हैं पहला स्टेटमेंट इफ इट डज नॉट रेन और इफ इट इज नॉट फगी देन द सेलिंग रेस विल बी हेल्ड एंड द लाइफ सेविंग डेमोंस्ट्रेट विल गो ऑन ओ माय गॉड लंबा स्टेटमेंट दिया बट कोई बात नहीं इफ इट डज नॉट रेन और इफ इट इज नॉट फगी तो मैं रेन के लिए ऐसा लिख लू इफ इट ड नॉ इफ इट डज नॉट रेन पहली बात और इफ इट इज नॉट फोगी और इफ इट इज नॉट फोगी बारिश भी नहीं है और फोगी भी नहीं है विजिबिलिटी एकदम क्लियर है क्या कह रहा है देन तो आई थिंक हियर आई नीड इंप्लीकेशन देन द सेलिंग रेस विल बी हेल्ड एंड द लाइफ सेविंग डेमोंस्ट्रेट विल गो ऑन तो आई विल से सेलिंग रेस होगा एंड लाइफ सेविंग ऐसे करके लिख लेता हूं एंड लाइफ सेविंग डेमोंस्ट्रेट भी होगा यह हुआ स्टेटमेंट नंबर वन ठीक बात है बहुत धीरे-धीरे पूरा गेम ना इसमें यह कन्वर्जन का है एक बार सही मैप आपने बना लिया ना फिर तो फार्मूला लग जाएगा फिर दिक्कत नहीं है अगला केस देखिए इफ द सेलिंग रेज इज हेल्ड देन द ट्रॉफी विल बी अवार्डेड अगर सेलिंग रेस हुई तो ट्रॉफी अवार्ड की जाएगी टी से ट्रॉफी लिख देता हूं सर ओके द ट्रॉफी वाज नॉट अवाड नॉट अवार्डेड यह कंक्लूजन नहीं की गई ओके देन इट इंप्लाइज दैट इट रेन इसका मतलब है कि बारिश हो गई यह कहानी है है ना अब देखो यह स्टोरी बनती है है ना और अब हमारा काम है पता लगाना कि यह सही है कि गलत है चलो एक एक करके ऑब्जर्व करते हैं देखिए नीचे से ऊपर की तरफ चल सकते हैं तो इधर मैं अगर आपसे पूछू तो एक बात नोटिस करने वाली देखिए नेगे टी है सेकंड स्टेटमेंट के लिए अगर मैं कंट्रा पॉजिटिव लिख लू तो आप मान लोगे क्या सो एस आर इंप्लाइज t इज एज गुड एज सेइंग नेगे t साइन चेंज डायरेक्शन चेंज इट इज एज गुड एज सेइंग नेगे t इंप्लाइज नेगे एस आर बोले फॉलो कर पा रहे हैं क्या ये बात बात तो ठीक है सर है ना तो नेगे t से नेगे t मिला इसका मतलब नेगे आर वैलिड है यह मुझे पता है नेगे आर इज ट्रू यह बात मेरे को पता है फॉलो कर पा रहे हैं अब यहां देखिए इंप्लीकेशन है ना हमारे पास और हमें रन तक पहुच कुछ भी करके तो अगर मैं इस स्टेटमेंट के लिए भी कंट्रा पॉजिटिव लिख लू तो आप बुरा तो नहीं मानोगे कंट्रा पॉजिटिव कराओ सर इसको तो क्या होगा ये हो जाएगा नेगे ऑफ एस आर एंड एल एस और ये इधर चला जाएगा सो इट इज लाइक नेगे ऑफ नेगे ऑफ आर और नेगे ऑफ ए ऐसे हो जाएगा ठीक बात है ना व्ट वी कैन डू इज यह ब्रैकेट अंदर लेक जा सकते हैं तो इसको जब अंदर लेके जाएंगे वही डिमॉर्गन लॉ एज यूजुअल जैसे चलता है वैसे ही इट मींस नेगे ऑफ एस आर और ये एंड और हो जाएगा और नेगे ऑफ एल एस इंप्लाइज अब यहां देखना ये नेगे नेगे कैंसिल हो जाएगा इट इंप्लाइज रेन और ये भी कैंसिल हो जाएगा एंड इट इंप्लाइज फॉग फॉलो कर पा रहे हैं तो अब यहां देखिए नेगे ऑफ एसआर और नेगे ऑफ एलएस क्या नेगे ऑफ एआर हमारे पास है हां नेगे ऑफ ए एसआर हमारे पास है सो ऑब् वियस यह हो जाएगा ट्रू मुझे बताओ यस और नो हां जी ये ट्रू हो जाएगा और अगर यह ट्रू है ट्रू का किसी भी चीज के साथ और करेंगे तो बोलो क्या मिलेगा सर ट्रू का किसी भी चीज के साथ और करेंगे तो हमें ट्रू मिलेगा तो हमारे पास कंक्लूजन निकल के आएगा ट्रू इंप्लाइज r एंड f ट्रू इंप्लाइज r एंड एफ तो दोनों बातें इसका मतलब होल्ड कर रही है क्या रेन और फॉग अब क्योंकि फॉग के बारे में इसने कुछ अलग से क्या ट्रॉफी वा ट्रॉफी वाज नॉट अवार्डेड इट इंप्लाइज द कंक्लूजन तो अगेन ये बिल्कुल क्लियर नहीं बिकॉज इसको अगर मैं फरदर सॉल्व करूंगा ना तो क्या बनेगा यह बनेगा डिजिटल वाले आईडिया से आपको याद दिला ट्रू को मैं लिख सकता हूं वन वन का नेगे या इसको ऐसे समझ लो ना p इंप्लाइज q को क्या लिख सकता इसको लिख सकता हूं नेगे प और क तो इसको ऐसे लिखता हूं सो नेगे ऑफ ट्रू और आ और एफ नेगे ऑफ ट्रू करूंगा तो बेसिकली फाल्स और फाल्स का आर और एफ करने से कोई लेना देना नहीं है तो लास्ट में आपको मिलेगा आर एंड एफ तो इसका मतलब तो दोनों चीजें होल्ड कर रही है इसने सिर्फ रेन पूछा है या तो समझ आ रहा है कि रेन भी है और शायद फगी भी रहा होगा बट फिलहाल रेन पूछा है तो हां जी आर्गुमेंट वैलिड है इस तरह से आपको खेलना पड़ेगा और इसमें ध्यान किस बात का रखना है इसमें ट्रेबल भी नहीं बना सकते दैट इज हाउ यू हैव टू प्रोसीड इट दो चार केस और ट्राई करेंगे कुछ बात समझ आएगी इसको प्रूफ करना है दैट इट्स अ टोटल जीी विदाउट यूजिंग ट्रथ टेबल अब ये वही वाली बात है अगर ट्रुथ टेबल नहीं है तो कैसे टोटल जीी प्रूफ करें जो डिजिटल वाला मेथड मैंने बताया वो इस्तेमाल किया जा सकता है जैसे अगर मैं यहीं पर आपको दिखाऊं ब्रैकेट बाय ब्रैकेट ब्रैकेट का गेम है सर यह फर्स्ट कंपोनेंट अलग है यह सेकंड बिल्कुल अलग है थर्ड बिल्कुल अलग है इधर से शुरू कर लेता हूं इसको मैं क्या लिख सकता हूं इसको मैं लिख सकता हूं p और क ये एंड है यह है मेरे पास नेशन p एंड अंदर लिखा है नेशन q - r ठीक लिख रहा हूं ना एंड के साथ और इस टोटल पे भी कॉम्प्लीयंट एंड है और बाकी इक्वेशन बिल्कुल अलग है दिस इज़ लाइक p ब q ब एंड दिस इज़ लाइक p ब + r ऐसे हो गया यह सॉल्व करो इसको इसको सॉल्व करोगे अंदर पहले सो दिस इज़ लाइक p ड ब प्लस अंदर डी मॉर्गन लगेगा दिस विल बिकम q बार q बार डॉट आ बार ऐसे हो जाएगा ना डी मॉर्गन स्लो दिस दिस अलग ये अलग बनेगा लेकिन इस पूरे का अभी भी हमें एंड करना है किसके साथ इसके साथ अगले स्टेप में लिखूं तो दिस इज p और q और ये हो जाएगा p प् q बार आ बार खोलो ब्रैकेट ओपन करो सो दिस इज p एंड देन यू हैव p क बार आ बार प्लस दिस इज p q एंड दिस इज q से q बार कैंसिल हो जाएगा बस इतना ही टर्म बचेगा और यहां पे p बार q बार एज इट इज चल रहा है p बार है और r है है ना अब क्योंकि p मेरे पास है तो p के जो इंडिविजुअल टर्म है मान लेते हैं कॉमन मैंने ले लिया उनको आप हटा दो तो मेरे पास p है और मेरे पास p बार है एंड p + p बार हमेशा मिलके क्या होगा वन होगा एंड वन प्लस जो भी बचा वो भी वन हो जाएगा सो वन मिला मानो टोटल जीी मिला लाइक दिस यू कैन सॉल्व एक लेवल का कॉन्फिडेंस और प्रैक्टिस से अब क्योंकि मैं ऑलरेडी इस पे हजारों बार इस तरह के पैटर्न सॉल्व कर चुका हूं तो मुझे पता है कहीं ना कहीं तो जाके वन मिलना ही है अगर वो सच में टटोल जीी है तो तो दिस इज द अप्रोच वी मस्ट फॉलो अब ये देखिए ये उसी तरह का स्टेटमेंट है लैंग्वेज वाले एक केस और ट्राई कर लेते हैं बहुत सारे केस यहां पर है कोई भी एक केस और ले लेता हूं लेट मी टेक दिस केस इफ द लेबर मार्केट इज परफेक्ट लेबर मार्केट अगर परफेक्ट होगी देन द वेजेस ऑफ ऑल पर्सन इन पर्टिकुलर एंप्लॉयमेंट विल बी इक्वल मैंने कोई स्टेटमेंट मिस तो नहीं किया ये आगे छूट कैसे गया इफ द लेबर मार्केट इज परफेक्ट देन द वेजेस ऑफ ऑल पर्सन इन अ पर्टिकुलर एंप्लॉयमेंट अच्छा विल बी इक्वल किसी खास तरह के एंप्लॉयमेंट में ठीक है तो मैं लिख लेता हूं अगर लेबर मार्केट एसा एल एमपी एक साथ लिख लेता हूं अगर लेबर मार्केट परफेक्ट है तो लेट मी से सबको इक्वल वेजेस मिलेंगी ऐसा कुछ ठीक है इक्वल वेजेस इन अ पर्टिकुलर इन अ पर्टिकुलर एंप्लॉयमेंट पूरा लिख देता हूं हालांकि आप छोटा लिखना बट इट इज ऑलवेज द केस दैट द वेजेस ऑफ सच पर्सन आर नॉट इक्वल बट यह जो वेजेस इक्वल वाली बात थी इक्वल वेजेस की सर यह कभी होती नहीं है तो नेगे ऑफ दिस पहले से बता रहा है देयर फोर द लेबर मार्केट इज नॉट परफेक्ट इसका मतलब यह जो लेबर मार्केट परफेक्ट वाली बात थी यह नेगे हो गई दैट इज हाउ इट बिकम और यह मुझे लग रहा है कि रिलेटिवली आसान बनाया इसने क्योंकि तो डायरेक्ट मॉड टॉलरेंस है ध्यान से देखोगे नहीं तो जैसे मैं हमेशा करता हूं पहले वाले स्टेटमेंट का कंट्रा पॉजिटिव डायरेक्शन भी चेंज और साइन भी चेंज सो नेगे ऑफ डब् प इंप्लाइज नेगे ऑफ एडल प दिस दिस पहले से हमारे पास है सो यू गेट द कंक्लूजन मोस पोनेंस में ले ले आके कर लो वरना मडरस टोलेंस में डायरेक्ट कर सकते हो सो आई थिंक सफिशिएंट नंबर ऑफ एग्जांपल हमने सॉल्व कर लिए इफ यू वांट यू कैन ट्र अगेन और कुछ ट्राई कर सकते हो बहुत सारे केसेस मैंने बना के रखे थे अच्छा एक य छोटा सा आईडिया और मैं डिस्कस कर लेता हूं लाइक कैनॉनिकल फॉर्म तो यहां पर ना जैसे डिजिटल में हम पढ़ते ना वही वाला लॉजिक यहां पर दो तरह के हमारे पास कैनॉनिकल फॉर्म हो सकते है एक होता है प्रिंसिपल डिसजंक्शन नॉर्मल फॉर्म या प्रिंसिपल कंजंक्शन नॉर्मल फॉर्म आईडिया क्या है वही एसओ पी वाला पैटर्न तो देखो अगर मैं इसी को लेके चलू अगर हम ऐसा कुछ लिख रहे हैं नेगे ऑफ ए नेगे ऑफ ए एंड b एंड सी और यहां पे डिसजंक्शन इसको कंजंक्शन इसको डिसजंक्शन बोल रहे हैं देन a अगेन नेशन ऑफ बी नेगे ऑफ सी देन और लगा दो देन यू हैव a और अंदर आपको कंजंक्शन मिले इन टर्म्स में और बीच में आपको डिसजंक्शन मिले तो उसको क्या बोलते हैं डिसजक्टिव नॉर्मल फॉर्म इसके ठीक उल्टा अगर बीच में आपको कंजंक्शन मिले और अंदर आपको और मिले है ना आप खुद से वैल्यू करके रख सकते हो अंदर आपको और मिले तो कौन सा हुआ ये हमारा कंजटों नॉर्मल फॉर्म हो गया सो कंजक नॉर्मल फॉर्म इज सेम एज पीओ का कैनॉनिकल फॉर्म जो डिस्टल में पढ़ते हैं एंड डिसजक्टिव नॉर्मल फॉर्म इज सेम एज द कैनॉनिकल फॉर्म ऑफ द एसओ पी जो हम अगेन डिस्टल में पढ़ते हैं वेरी बेसिक अंडरस्टैंडिंग नाउ आई थिंक वी आर ऑल रेडी फॉर द फर्स्ट ऑर्डर लॉजिक नाउ व्हाट इज फर्स्ट ऑर्डर लॉजिक अभी तक हमने जितने भी स्टेटमेंट पढ़े ना कलेक्टिवली ग्रुप पे नहीं पड़े इंडिविजुअल एलिमेंट्स हमने स्टडी किए बट नाउ देस अ सेम एनटायर न्यू आइडिया कॉल्ड क्वांटिफायर्स क्वांटिफायर एसिस्टेंसिया यूनिवर्सल क्वांटिफायर बहुत जगह कंप्यूटर साइंस में हम इसे यूज़ करते हैं और कई बार मैंने स्टूडेंट्स को इसमें कंफ्यूज होते देखा है तो क्वांटिफायर्स की क्या कहानी और क्या लॉजिक है और बहुत डिटेल में फंडामेंटल से लेके चलूंगा और बहुत सारे डिफरेंट केसेस आपको यहां पे आज प्रैक्टिस कराने वाला हूं यस सो नाउ वी विल स्टार्ट विद फर्स्ट ऑर्डर लॉजिक तो अभी बात करते हैं फर्स्ट ऑर्डर लॉजिक की डायरेक्टली विदाउट जंपिंग ऑन टू क्वांटिफायर्स एसिस्टेंसिया क्या है यूनिवर्सल क्या एगजैक्टली एग्जाम में किस तरह का क्वेश्चन पूछता है थोड़ी फंडामेंटल्स पे बात करनी जरूरी है सो आई विल गो वन बाय वन सम टाइम प्रोपोर्शनल लॉजिक कैन नॉट डिराइवर एनीथिंग मीनिंगफुल इंफॉर्मेशन इवन दो वी एज ह्यूमन कैन अंडरस्टैंड दैट आर्गुमेंट इज मीनिंगफुल ऑर नॉट बोलना क्या चाह रहे है कभी-कभी कुछ केसेस ऐसे हो सकते हैं जहां पे डायरेक्टली अगर हम स्टडी करते हमको समझ आता है कि हां यह बात सही है या यह काम कर रहा है बट जब उसे मैपिंग में देखना चाहता हूं तो मैं काम नहीं नहीं कर पा रहा होता फॉर एग्जांपल लुक एट दिस स्टेटमेंट पहला प्रेमिसेस है एवरी इंडियंस लाइक क्रिकेट एग्जांपल ऐसा ले रहा हूं कि थोड़ा कॉन्टेक्स्ट प फिट बैठे बात तो ठीक है लगभग लगभग है ना ओबवियसली एक्सेप्शन आर ऑलवेज देयर एवरी इंडियस लाइक क्रिकेट एंड सनी इज एन इंडियन अब मैं दो हिंट आपको दे रहा हूं कि हर भारतीय को क्रिकेट पसंद है और सनी भारतीय है तो कंक्लूजन क्या निकला मुझे शायद आपको पढ़ने की जरू नहीं ओबवियसली सनी लाइक्स क बट द रीजन ऑफ प्रोपोर्शनल लॉजिक फेल्स की फ्री इंडियंस लाइक क्रिकेट और सनी इज इंडियन एंड सनी लाइक क्रिकेट इसको आप p और q वाले फॉर्मेट में नहीं कन्वर्ट कर सकते तो नाइ दर मॉड स् पोनेंस नॉर मॉडेस्ट टॉलरेंस कोई भी आपको इसके लिए सही आंसर नहीं देगा एंड दैट इज अ प्रॉब्लम बिकॉज़ अगर लॉजिक ठीक है तो फिर मेरे पास कोई तरीका होना चाहिए प्रपोजिशन के अंदर कि मैं इस तरह की मैपिंग पे काम कर सकूं है ना तो इस तरह के केसेस के लिए हम क्या स्टडी करते हैं फर्स्ट ऑर्डर लॉजिक जहां पे बेसिकली वी यूज़ द पावर ऑफ़ क्वांटिफायर्स तो उसके बारे में बात करना है तो आई विल गो वन बाय वन इन फर्स्ट ऑर्डर लॉजिक वी अंडरस्टैंड अ न्यू अप्रोच ऑफ सब्जेक्ट एंड प्रिडिकेट अ टू एग्जैक्ट टू एक्स्टेक्स्ट मेंट जैसे यहां पर पहले आपको ना शुड आई से प्रपोजिशन फंक्शन बनाने आने चाहिए प्रपोजिशन फंक्शन क्या है यह अपने आप में प्रपोजिशन नहीं है लेट्स गो बैक टू द बेसिक्स व्हाट इज द प्रपोजिशन सर जिसकी वैल्यू या तो ट्रू हो या तो फॉल्स हो याद है ना तो प्रपोजिशन फंक्शन प्रपोजिशन नहीं है बट वो एक कलेक्टिव वैल्यू प बात करते हैं और जब आप उसके अंदर वैल्यू रखते हो देन वो प्रपोजिशन बन जाते हैं फॉर एग्जांपल अगर मैं एक बहुत सिंपल सी बात करूं लेट मी से देर इज अ फंक्शन p x एंड x इ < 5 क्या ये स्टेटमेंट ट्रू है कि फॉल्स है आप बोलोगे सर ये x इज अ वेरिएबल नहीं पता ट्रू है कि फॉल्स है बट अगर मैं आपसे बोल लू p ऑफव क्या यह प्रपोजिशन है हां ये प्रपोजिशन है बिकॉज व्हेन यू पुट वन व इज लेस दन फ द वैल्यू इज ट्रू और ट्रू और फॉल्स से कोई फर्क तो नहीं पड़ता अगर ट्रू है तो प्रपोजिशन है इवन अगर मैं ये भी लिखता हूं p6 सी 6 इज नॉट लेस दन 5 बट स्टिल दिस इज फॉल्स और फॉल्स है तो भी प्रपोजिशन है तो दोबारा समझो p x ये स्टेटमेंट अपने आप में प्रपोजिशन नहीं है वी अंडरस्टैंड दिस लेकिन जैसे ही हम इसमें वैल्यू पुट करते हैं तो p1 या p6 करते तब ये प्रपोजिशन बन जाता है वही बात बोल रहा हूं फॉर एग्जांपल जैसे यहां देखिए एक स्टेटमेंट है वन इज अ नेचुरल नंबर ठीक है अब हम एक फंक्शन बनाते हैं लेट मी से नेचुरल नंबर एंड शॉर्ट में लिख देता हूं लाइक दिस पहले से लिख के रखा है n नंबर ब्रैकेट में वन इस बात का मतलब है कि वन इज़ अ नेचुरल नंबर ठीक बात है अब सिमिलरली एक फंक्शन मैंने बना लिया नेचुरल नंबर ब्रैकेट में x जिसका मतलब क्या है x इज़ अ नेचुरल नंबर अब फिर वही बात है अगर मैं आपसे पूछता हूं यह अ प्रपोजिशन फंक्शन क्या अपने आप में प्रपोजिशन है सर यह प्रपोजिशन नहीं है बट अगर मैं आपसे पूछता हूं अ क्या लिखा मैंने नेचुरल नंबर सपोज लेट मी राइट -3 बताओ इसका वैल्यू क्या है ओबवियसली -3 इज़ नॉट नेचुरल नंबर वो तो वन से शुरू होता है बट स्टिल क्या ये प्रपोजिशन है सर प्रपोजिशन जरूर है क्योंकि फॉल्स है और फॉल्स और ट्रू की कैटेगरी में रखते हैं तो प्रपोजिशन बन जाता है यस तो आप क्या समझे हम एक फंक्शन बना रहे हैं प्रपोजिशन फंक्शन आगे देखेंगे एक वेरिएबल का दो वेरिएबल का तीन वेरिएबल का कितने भी वेरिएबल का बना सकते हैं यहां तो सिंपल वन वेरिएबल का है और जब उसके अंदर वैल्यू रखते हैं देन इट बिकम अ प्रपोजिशन आगे बढ़ते हैं यहां देखिए जैसे क्या एग्जांपल लिख रहे हैं एवरी इंडियंस लाइक क्रिकेट अब यह एक इंफॉर्मेशन है जो हमें रिप्रेजेंट करना है वही वाले क्रिकेट वाले एग्जांपल पे दोबारा जाएंगे तो अब यहां करिए देखिए एक फंक्शन हम बना ले क्या क्रिकेट ऑफ x एंड नाउ व्हाट डज दैट मीन तो क्रिकेट ऑफ x अपने आप में प्रपोजिशन नहीं है बट यह एक प्रपोजिशन फंक्शन है जिसका मतलब है x लाइक क्रिकेट और अब आप यूनिवर्स ऑफ़ डिस्कोर्स यानी कि हमारा डोमेन क्या है x इज़ एन इंडियन x कोई भी इंडियन हो सकता है सो x लाइक क्रिकेट और x का डिस्कोर्स क्या है कि वह इंडियन है यानी कि किससे बिलॉन्ग कर सकता है x इंडियन सेट से बिलॉन्ग कर रहा है सो इट मींस व्हाट एवरी इंडियंस लाइक क्रिकेट और बेसिकली अब अलग-अलग स्टेटमेंट बन सकते हैं तो इसको ऐसे समझो यहां पर अब आपको फाइनली जरूरत पड़ेगी क्वांटिफायर्स की कैसे लुक एट दिस आईवन लेट मी से एक इंडियन है चार एग्जांपल हम ले रहे हैं उसको क्रिकेट पसंद है i2 को भी पसंद है i3 को भी पसंद है i4 को भी पसंद है है ना ये सब अलग-अलग है और जैसा आपने समझा क्रिकेट ऑफ एकस वो अपने आप में सर प्रपोजिशन नहीं था बट क्रिकेट ऑफ i1 क्रिकेट ऑफ i2 क्रिकेट ऑफ i3 एंड क्रिकेट ऑफ 54 इन सबको क्रिकेट पसंद है और इन सबके बीच में और नहीं है सर एंड है सबको पसंद है प्रॉब्लम क्या है मुझे फंक्शन भी समझ आ रहा है मुझे एक-एक वैल्यू रख के ऑब्जर्व करना भी समझ आ रहा है बट यह काम मैं कब तक करूंगा सर मेरे को कोई शॉर्टकट चाहिए इस बात को रिप्रेजेंट करने का एंड दैट इज वेयर द क्वांटिफायर्स कम इन टू पिक्चर बिकॉज़ वो हमें कलेक्टिवली एक ग्रुप पे काम करना सिखाते हैं अभी तक आप सोच रहे होंगे सब क्या बातें मैं बता रहा हूं डायरेक्टली नहीं जाना चाहिए बिकॉज़ जब तक उसका रिक्वायरमेंट नहीं समझ आएगा तब तक कैसे काम करेंगे एंड नाउ आई से फॉर ऑल वैल्यू ऑफ़ x कैसे लिखोगे फॉर ऑल वैल्यू ऑफ़ x लेट मी से अगेन क्रिकेट ऑफ x इस और x का डिस्कोर्स क्या x इन इंडियन इंडियन तो अब ये स्टेटमेंट किस बात का रिप्रेजेंटेटिव है कि हर इंडियन को क्रिकेट पसंद है आपको i1 i2 i3 अलग-अलग लिखने की जरूरत नहीं है सपोज वी आर 130 करोड़ इन काउंटिंग नाउ दिस स्टेटमेंट रिप्रेजेंट्स एवरीथिंग और यह भी अपने आप में प्रपोजिशन है क्वांटिफायर लगने के बाद क्योंकि या तो यह बात सच है या तो यह बात झूठ है फिलहाल मान लेते हैं कि बात सच है सो दिस इज अ प्रपोजिशन तो यूनिवर्सल क्वांटिफायर क्या हुआ सर यूनिवर्सल क्वांटिफायर एक तरीका है कलेक्टिवली एक ग्रुप ऑफ वैल्यूज पर काम करने के लिए है ना दैट इज a एक ऑफ p एक यूनिवर्सल क्वांटिफायर कैसे लिखेंगे ऐसे a एक ऑफ p एक कई जगह अभी तक हमने इसका इस्तेमाल किया इसको देखा है सिमिलरली जैसे ऑल के लिए हो सकता है फॉर एवरीवन एक हो सकता है एटलीस्ट व सम यानी कि जीरो नहीं हो सकता है ना जिसको हम बोलते हैं यू कैन से सेटिस्फाइबिलिटी को तो जरूर पसंद है इसको लिखने का शॉर्टकट नोटेशन क्या है दिस इज कॉल्ड एसिस्टेंट क्वांटिफाई अगली लाइन में दिखाता हूं स्पेलिंग देखिएगा एसिस्टेंसिया क्वांटिफायर e का मिरर इमेज सो दैट इज़ e ऑफ px1 लेवल अंडरस्टैंडिंग सो दैट इज़ कॉल्ड एजिस्ट एशियल क्वांटिफायर एटलीस्ट वन दैट इज कॉल्ड यूनिवर्सल क्वांटिफायर एवरीवन मान लीजिए लेट मी से आपके क्लास के स्टूडेंट्स की बात हो रही है है ना तो इफ आई से ऑफ px1 स्टूडेंट ऐसा है जो इंटेलिजेंट है e ऑफ p एक एटलीस्ट वन है ना जब यहां लिख रहा हूं a ऑफ p एक तो बोलो इसका क्या मतलब होगा एवरीथिंग सो एवरी स्टूडेंट इ इज इंटेलिजेंट इसका मतलब होगा देयर इज एटलीस्ट वन हु इज इंटेलिजेंट इसका मतलब होगा एवरीबॉडी इज इंटेलिजेंट बात समझ आ रही है तो जब इस्तेमाल करेंगे क्वांटिफायर्स का देन आप इसे बेटर तरह से समझोगे मैंने थोड़ा एडिशनल एनालिसिस किया है नाउ लेट्स कम टू दिस पॉइंट अब दो स्टेटमेंट यहां पर आ जाते हैं निगेशन कैसे करते हैं स्टेप बाय स्टेप आपको समझाता हूं देखो जैसे डिमॉर्गन लॉ हमने कई बार यूज़ किया ना लॉजिक में इधर भी ऐसे चलेगा जब नेगे अंदर जाता है ना बीच में उसको जो जो मिलता है सर सबको नेगेट करते जाता है तो यहां देखिएगा पहले देखो इसका मतलब क्या है a ऑफ तब देखो जब यह निगेशन भाई साहब अंदर जाएंगे तो रास्ते में ax1 मिला उसके नेचर को भी नेगेट कर रहा है तो अगर मैं ऐसे पढ़ूं एवरीबॉडी कर रहा है इधर देखिए इसका मतलब क्या होगा बताओ देर एसिस्ट एटलीस्ट वन स्टूडेंट हु इज इंटेलिजेंट एक् ऑफ प एक देयर एसिस्ट एटलीस्ट वन स्टूडेंट हु इज इंटेलिजेंट इजट इट बट यहां देखिए यहां देखिए अब इसका मतलब क्या है अगेन फिर से देखो नेगे अंदर जाएगा रास्ते में मिलेगा एक इसको उठा के क्या बना देगा a तो इसको बना दिया यूनिवर्सल क्वांटिफायर फंक्शन का नेचर भी रिवर्स कर दिया तो एवरी सॉरी देयर एसिस्ट एटलीस्ट वन स्टूडेंट हु इ इंटेलिजेंट व्हाट डज दैट मीन एवरी स्टूडेंट इज नॉट इंटेलिजेंट ये कह रहा है कम से कम एक इंटेलिजेंट है अब इसका उल्टा क्या करूंगा मैं बोलूंगा इसका मतलब कोई भी इंटेलिजेंट नहीं है दैट इज इट तो ध्यान से समझना साधारण भाषा में बोलूं जब आप ऑल को नेगेट करते हो तो आपको सम मिलता है जब आप पहले से वो सम है जब सम को नेगेट करते हो मेरे दोस्त तो आपको नन मिलता है ध्यान रखोगे ऑल को नेगेट करने पे सम मिलता है सम को नेगेट करने पे नन मिलता है बाकी तो एग्जांपल का गेम है समझ जाओगे दो-तीन और बेसिक रूल आपको समझा देता हूं जो मैंने देखा कॉलेज वगैरह में बाय नेम पूछ लेता है तो डेफिनेशन पता होनी चाहिए फिर तो एग्जांपल का गेम है सर जितने एग्जांपल सॉल्व करेंगे उतनी क्लेरिटी आएगी सो लुक एट दिस पहला रूल है यूनिवर्सल स्पेसिफिकेशन ध्यान देना क्या रूल है यूनिवर्सल स्पेसिफिकेशन लुक एट दिस बाय दिस रूल डायरेक्ट समझा देता हूं आईडिया क्या है अगर मैं बोल रहा हूं a ऑफ x होल्ड्स गुड्स फॉर एवरी वैल्यू ऑफ़ x तो अगर x के अंदर कोई छोटा सा वैल्यू c है उस पर भी होल्ड करेगा हां काई को नहीं करेगा इट्स लाइक दिस कि एवरी इंडियंस लाइक क्रिकेट हर किसी को क्रिकेट अच्छा लगता है डू संचित लाइक क्रिकेट ओबवियसली संचित आल्सो बिलोंग टू द सेम सेट तो क्योंकि यूनिवर्स पे कोई बात ट्रू है अगर उसको मैं स्पेसिफाई कर दूं पिन पॉइंट कर दूं किसी पर्टिकुलर मेंबर सी पे तो क्या वहां पर होल्ड करेगा हां सर वहां पर भी होल्ड करेगा लुक एट दिस सो बाय दिस रूल इफ द प्रेमिसेस a एक ऑफ p एक इज ट्रू देन पसी इज ट्रू फॉर एनी पर्टिकुलर मेंबर इन द यूनिवर्स ऑफ डिस्कोर्स यूनिवर्सल स्पेसिफिकेशन इसका उल्टा कर दें अगर हमें यह पता है वैसे तो यह लिखने का वही मतलब है अगर हमें पता है द फंक्शन p होल्ड्स गुड फॉर ऑल वैल्यू ऑफ c यूनिवर्स में जितनी अलग-अलग पॉसिबल वैल्यू हो सकती है हर किसी पे अगर p होल्ड करता है तो बताइए इस बात को लिखने का शॉर्टकट मेथड क्या क्या होगा इजी मेथड क्या होगा इट मींस a एक ऑफ p एक हां कि ना तो इस बात को ऐसे भी लिख सकते हैं दैट इज a एक ऑफ p एक तो फिर वो यूनिवर्स पे होल्ड करेगा इट इज कॉल्ड यूनिवर्सल जनरलाइजेशन तो अगर सबके बारे में आपको पता है आप यूनिवर्सल क्वांटिफायर लगा के लिख दो अगर यूनिवर्सल क्वांटिफायर पहले से पता है तो उसमें से कोई भी एक स्पेसिफिक वैल्यू बाहर निकाली जा सकती है जिससे ऑब् वियस कोई प्रॉब्लम नहीं होगा ठीक बात है आगे बढ़ी एसिस्टेंसिया सर अगेन बाय सम रूल एफ वी नो e ऑफ p एक अब ये a एक नहीं है e ऑफ p एक है क्या माइन है तो अगेन इसका मतलब है पहले तो यही है कि भाई हम सबकी गारंटी नहीं ले रहे लेकिन हां फंक्शन px1 वैल्यू पर होल्ड करेगा हमको पता है ठीक बात है ना सो इफ इट इ होल्ड गुड फॉर एक ऑफ p एक देन कोई ना कोई ऐसी पर्टिकुलर वैल्यू जरूर होगी जिसपे कि फंक्शन होल्ड करेगा आई थिंक वी आल्सो एग्री विद इट ऑफ p एक का हमें नहीं पता वो कौन सा वैल्यू ओबवियसली बट अगर यह कह रहा है कि px2 होल्ड करता है फॉर एटलीस्ट एटलीस्ट वन वैल्यू तो फिर वो c पर होल्ड करेगा व्हिच इज एनी कांस्टेंट दिस इज कॉल्ड एसिस्टेंसिया स्पेसिफिकेशन जो हटा रहे हैं क्वांटिफायर उसी का नाम यूनिवर्सल हटाया तो यूनिवर्सल स्पेसिफिकेशन एजिस्ट एशियल हटाया तो एजिस्ट एशियल स्पेसिफिकेशन है ना एंड बाकी डिपेंड्स ऑन द एट्रिल नाउ जनरलाइज कर सकते हैं अगर मुझे एक वैल्यू भी पता है कि p फंक्शन जो है वह c पे होल्ड करता है तो क्या मैं एजिस्ट एशियल क्वांटिफायर होल्ड करा सकता हूं माने वोह इंटेलिजेंट वाली फंक्शन ले लेते हैं इफ वी नो इफ वी नो सपोज दे इज अ स्टूडेंट पंकज है ना दैट पंकज इज़ इंटेलिजेंट तो जस्ट बेस्ड ऑन पंकज कैन वी से ऑफ p एक होल्ड गुड कि देयर एजिस्ट एटलीस्ट वन स्टूडेंट हु इज़ इंटेलिजेंट हां क्योंकि हमें पता ही है कि पंकज इंटेलिजेंट है वही बात यहां पे बोल रहा है दिस इज़ कॉल्ड एसिस्टेंट जनरलाइजेशन क्या बोल र हैं एसिस्टेंट जनरलाइजेशन यस तो वन बाय वन वैल्यू बाय वैल्यू आप देखेंगे होल्ड करेंगे बात समझ आएगी और यह वही मॉड पोनेंस और मॉड टोलेंस भेज बदल के आए हैं इफ लुक एट दिस ऐसे समझिए इफ फॉर ऑल वैल्यू ऑफ़ x px5 qx1 से किसी स्पेसिफिक वैल्यू पे होल्ड करेगा तो दैट इज यह मॉडल पोनें सी है जो हमने पहले पढ़ा था उसी का यूनिवर्सल वर्जन है सिमिलरली मॉड टॉलरेंस हो सकता है वैसे मैं अगेन बोलता हूं इट्स नथिंग नू आप इसको स्वप करोगे कंट्रा पॉजिटिव लिखोगे डायरेक्शन चेंज साइज चन सेम चीज वैल्यू मिलेगी बट स्टिल है ना ये क्या बन जाएगा नेशन ऑफ q एक इंप्लाइज नेशन ऑफ px1 नेगे qc3 तो वही दोनों रूल हैं पुराने नथिंग न्यू अब यहां पर क्या एक्सरसाइज है जो आपके यूनिवर्सिटी एग्जाम का ट्रेंड है पढ़ने के लिए तो बहुत कुछ और इतना कॉम्प्लेक्टेड मेंट और आपको कहते उसका मैपिंग लिख के बताओ तो व्हाट वी आर गोइंग टू डू इज कॉम्पिटेटिव एग्जाम में भी यही फॉर्मेट है यूनिवर्सिटी एग्जाम में भी वही फॉर्मेट है यूनिवर्सिटी में बस आपसे बोलेंगे लिख दो और कॉम्पिटेटिव एग्जाम होगा देयर विल बी नंबर ऑफ ऑप्शंस तो मैं बहुत सारे केसेस आपके लिए बना के लाया हूं एवरी केस फ्रॉम प्रीवियस ईयर क्वेश्चन सो दैट आपको एकदम रियलिटी से सामना हो और हम करेंगे ये नेचुरल लैंग्वेज में स्टेटमेंट लिखा है उसकी मैपिंग एक बार स्टडी करेंगे और समझेंगे कि किस तरह से इंटरप्रेट करना चाहिए और कैसे डिसाइड करें कि यू नो जो मैपिंग लिखी गई है वो सही लिखी गई है कि नहीं यस चलिए एक-एक करके शुरू करते हैं प्रैक्टिस करेंगे चलिए सर तो पहला केस देखते हैं क्या स्टेटमेंट लिखा है नॉट ऑल रेनी डेज आर कोल्ड यानी कि वो सारे दिन जब जो रेनी होते हैं वो कोल्ड नहीं होते अब पहले इस स्टेटमेंट को अच्छे से समझने की जरूरत है देखिए हम यह नहीं बोल रहे कि अगर दिन रेनी है तो कोल्ड नहीं हो सकता हो सकता है लेकिन सारे रेनी डेज कोल्ड हो यह जरूरी नहीं है वैसे भी हमने एक ऑब्जर्वेशन किया था देखो ऑल रेनी डेज आर कोल्ड को जब आप नेगेट करोगे नॉट लगाओगे तो ऑल का निगेशन सम आता है नन नहीं आता है ना तो इसका मतलब क्या है इसका मतलब है कि कुछ दिन ऐसे हो सकते हैं जो कि रेनी हो बट कोल्ड ना हो जरा देखना यहां क्या लिखा है यहां पे यही तो लिखा है तो इसने बाहर लगाया एसिस्टेंसिया क्वांटिफायर तो पहली ही सेफ खेल रहा है ये नहीं कह रहा हर बार ऐसा होगा यह कह रहा है कम से कम देयर एजिस्ट एटलीस्ट वन डी यानी कि एक दिन कम से कम ऐसा है जो कि रेनी भी है एंड जो कि कोल्ड नहीं है बहुत परफेक्ट तरह से पूरी बात इसने सही से लिखी है देखो बिल्कुल ठीक बात है क्या इस इन दोनों बातों का मतलब एकदम सेम है नॉट ऑल रेनी डेज आर कोल्ड मतलब कम से कम एक दिन है जो रेनी भी और जो कोल्ड नहीं है बट स्टिल एक और तरीका हो सकता है ऑब्जर्व करने का ध्यान से देखिएगा अगर मैं किसी स्टेटमेंट को दो बार नेगेट कर दूं तो नेगे नेगे विल कैंसिल आउट टीचर कोई फर्क तो पड़ना नहीं चाहिए अब आप मुझे बताओ जब पहला नेगेट अंदर जाएगा तो क्या होगा एक को अंदर भेजता हूं एक को बाहर रोकता हूं रास्ते में जो आएगा सबका नेचर चेंज करेगा तो ये हमारा यूनिवर्सल एसिस्टेंसिया क्वांटिफायर बन जाएगा यूनिवर्सल क्वांटिफायर शॉर्ट में लिखूं तो दैट विल बिकम नेगे ऑफ रेनी डे ये एंड है सर तो और बन जाएगा और ये नेगे नेगे शॉर्ट में लिखता हूं ये बन जाएगा कोल्ड डे ठीक है अब एक रूल आपने पढ़ा अगर आपको याद हो p इंप्लाइज q को क्या मैं निगेशन प और क्य लिख सकता हूं यह उसी फॉर्म में लिखा हुआ है तो आप अगर परमिट करें तो कैन आई राइट इट लाइक रेनी डेज इंप्लाइज कोल्ड डे है ना और यह निगेशन बाहर ये यूनिवर्सल क्वांटिफायर बाहर एज इट भूलिए मत एक नेगे हमारे साथ चल रहा है अब एक बार जना इसको बिना निगेशन के पढ़ना बिना निगेशन के क्या पढ़ोगे फॉर एवरी डे अब इस बार यूनिवर्सल क्वांटिफायर है वो सारे दिन जो कि रेनी है वो कोल्ड भी होंगे ऑल डे डेज आर ऑल डेज व्हिच आर रेनी और आल्सो कोल्ड बट बाहर नेगेट तो अब कैसे पढ़ोगे नॉट ऑल डेज व्हिच आर रेनी आर कोल्ड तो दोनों बातें अब बिल्कुल सेम फॉर्मेट में है इसने जानबूझ के उसको थोड़ा डिफरेंट तरह से लिखा था बट मैंने दो बार नेगेट करके बिल्कुल सेम पैटर्न में ले आया जिस पैटर्न में इसने लिखा यस र नो तो बात सेम है जब थोड़ा-थोड़ा हम खेलना सीख जाते हैं ना पैटर्न के साथ फिर आपको ट्रस्ट मी तकलीफ नहीं आती और एग्जामिनर इससे आगे इसमें जाता भी नहीं है क्वांटिफायर के साथ इसी तरह के स्टेटमेंट उनकी मैपिंग स्टेटमेंट उनकी मैपिंग यही क्वेश्चन पूछे जा रहे हैं ये देखते हैं नॉट ऑल दैट ग्लिटर इज गोल्ड लगभग लगभग सेम पैटर्न है हर चमकने वाली वस्तु सोना नहीं होती है अगेन दोबारा एनालाइज कर लीजिए पहली बात क्या गोल्ड चमकता है सर गोल्ड तो चमकता है और गोल्ड ना चमके तो फिर गोल्ड किस बात का इसमें कोई प्रॉब्लम नहीं है बट अगेन यही समझाना चाह रहे हैं हर चीज जो चमकेगी वो गोल्ड नहीं होगी तो इसका मतलब हमें क्या चाहिए हमें इसका मतलब यह है कि हमारे पास कम से कम एक ऐसा ऑब्जेक्ट है जो कि चमकता भी है और जो कि गोल्ड भी नहीं है देखो यहां पर ऐसे ही लिखा है क्या फिर वही बात इसने लगाया एजिस्ट एशियल क्वांटिफायर एकदम सेम पैटर्न है एजिस्ट एशियल क्वांटिफायर फिर कह रहा है वो ऑब्जेक्ट उसका नाम x रख दिया मान लीजिए फंक्शन x है वो ग्लिटर भी कर रहा है एंड वो गोल्ड भी नहीं है तो नॉट ऑल दैट ग्लिटर इज गोल्ड दैट इज हाउ यू राइट इट ग्लिटर भी कर रहा है और गोल्ड भी नहीं है एक बात याद रखिएगा हमेशा जब भी एसिस्टेंसिया क्वांटिफायर होगा उस उसके साथ रिलेशनशिप में हमेशा एंड आता है यानी कि कंजंक्शन आता है इनकी दोस्ती पक्की है और जभी भी यूनिवर्सल क्वांटिफायर हो अभी देखो दो मिनट के लिए हमने कन्वर्ट किया उसके साथ रिलेशनशिप अगर बतानी है तो हमेशा इंप्लीकेशन आता है ध्यान रखिएगा तो इंप्लीकेशन आएगा यूनिवर्सल के साथ और एसिस्टेंसिया एंड ये दोनों तो लगभग लगभग सेम पैटर्न थे आगे देखते हैं अब ये देखिए क्या कह रहा है बढ़िया केस है नन ऑफ माय फ्रेंड्स आर परफेक्ट वाह क्या कितनी खूबसूरत बात है कह रहा है अब हो सकता है आपको भी ऐसा लगता हो मेरा कोई भी दोस्त परफेक्ट नहीं है नन ऑफ माय फ्रेंड्स आर परफेक्ट कैसे ऑब्जर्व करें अच्छा ये पहला ऐसा केस है जो ऑल पे खेल रहा है सम पे खेल रहा है कि नन पे खेल रहा है ये देखो भाई नन पे खेल रहा है न ऑफ माय फ्रेंड्स आर परफेक्ट सो हाउ टू इन्वेस्टिगेट इट देखिए अगेन तो पहले मैं नेगे के बिना पढ़ लूं तो चलेगा अब बताओ इसका क्या मतलब है देयर एजिस्ट सम वन कम से कम कोई एलिमेंट तो है यूनिवर्स ऑफ डिस्कोर्स ऑफ x में जो कि मेरा फ्रेंड भी है और जो कि परफेक्ट है हां तो देयर इज समवन हु इज माय फ्रेंड और आप जानते हैं एसिस्टेंसिया के साथ हमेशा कौन आएगा एंड आएगा देयर इज समवन हु इज माय हु इज माय फ्रेंड एंड हु इज परफेक्ट और अगर इसको नेगेट कर दे तो क्या बचेगा ें पता है ऑल को नेगेट करते हैं तो सम आता है बट सम को नेगेट करते हैं तो नन आता है तो सर नन आएगा सोचिए एक बार दिमाग लगा लीजिए बहुत सिंपल पैटर्न है सो सम ऑफ माय फ्रेंड्स आर परफेक्ट बट इसको नेगेट करूंगा तो नन ऑफ माय फ्रेंड इज परफेक्ट बिल्कुल शानदार मैपिंग है है ना सो स दैट इज हाउ धीरे-धीरे प्रैक्टिस करते करते आप सीख जाते हैं और दो-तीन रिलेशनशिप मैं आपको बता रहा हूं वो आप ऑब्जर्व कर लोगे कोई गलती होई नहीं सकती देर यू सी सम रियल नंबर्स आर रेशनल तो यहां तो कोई नेगेटिव स्टेटमेंट भी नहीं है सम बोला है तो कोई डाउट नहीं है कि क्या आना चाहिए एजिस्ट एशियल क्वांटिफायर एक चीज आपको बता चुका हूं कि एजिस्ट एशियल के साथ हमेशा कौन आएगा सर कंजंक्शन आएगा एसिस्टेंसिया के साथ कभी भी आपको इंप्लीकेशन देखने को नहीं मिलेगा बी श्योर अबाउट यस एंड देन सम रियल नंबर आर रैशनल सो इट मींस देयर एजिस्ट मैं ये नहीं कह रहा कि हर रियल नंबर रेशनल होगा नहीं देयर कुड बी सम इ इरेशनल नंबर्स आल्सो बट यह बात पक्की है कि कोई एक तो होगा तो देयर एजिस्ट अ नंबर हु इज रियल एंड लगा रहा हूं एंड हु इज़ रेशनल एट द सेम टाइम तो अगेन इट इंप्लाइज द सेम थिंग कि हां कुछ रियल नंबर ऐसे हो सकते हैं जो रैशनल हो बिकॉज़ ओबवियसली ये ट्रू कब होगा जब दोनों ट्रू होंगे इजन इट ग्रेट सो दैट इज़ हाउ इट विल वर्क ये बहुत प्यारी मैपिंग देखिए गोल्ड एंड सिल्वर ऑर्ट्स आर प्रेशियस तो हिंदी में बोलेंगे तो सोने और चांदी के जो जेवरात है वो क्या होंगे प्रेशियस होंगे कीमती होंगे अब पहली बात देखिए इसने कहीं लिखा नहीं सम या ऑल बिकॉज इट इज काइंड ऑफ अ यूनिवर्सल ट्रुथ अब ऐसा बोलना जरूरी है कि कि सम गोल्ड इज प्रेशियस अभी गोल्ड और सिल्वर है तो सर प्रेशियस होगा ही होगा तो इस तरह के केस में दे डोंट राइट सम और ऑल बट आपको समझना है कि यहां पर क्या होना ही चाहिए तो देयर विल बी यूनिवर्सल क्वांटिफायर अब अभी आप जानते हैं यूनिवर्सल क्वांटिफायर आया तो इंप्लीकेशन आएगा कि कंजंक्शन आएगा सर इंप्लीकेशन आएगा अब यहां पर यह बात बड़ी खूबसूरत है कई बार मैं देखता हूं इस तरह के केस में बच्चा क्या करता है बचाता गोल्ड एंड सिल्वर तो यहां पर आके भी कंजंक्शन लिख देगा बट इसका मतलब समझो और कॉमन सेंस लगाओ वो इंग्लिश का एंड है सर इंग्लिश के एंड को लॉजिक का एंड नहीं बनाना क्या कीमती होने के लिए प्रेशियस होने के लिए गोल्ड और सिल्वर दोनों होना जरूरी है कि दोनों में से कोई एक होगा तो चलेगा सोचो सर दोनों में से कोई एक होगा तो भी चलेगा सो गोल्ड हिंदी में भी और आ रहा है ना हिंदी में इट नॉट एंड तो गोल्ड एंड सिल्वर नामें आप प्रेशियस को कैसे लिखेंगे तो गोल्ड ऑना मेंट्स और प्रेशियस या तो दोनों में से कोई एक हो या दोनों हो तब भी वो प्रेशियस रहने वाले हैं इंप्लाइज टू प्रेशियस है ना तो दैट इज हाउ दिस मैपिंग विल वर्क है ना बहुत सिंपल आईडिया है आगे देखिए यह बहुत अच्छा केस है नॉट ग्राफ इज कनेक्टेड तो इन जनरल भी हम यह बात मानते हैं अभी ग्राफ हमने पढ़ा आगे पढ़ेंगे अगला टॉपिक ग्राफ ही हमारा है ग्रुप थ्योरी के बाद सो ठीक बात है ग्राफ दो तरह के हो सकते हैं कनेक्टेड भी हो सकते है और डिस्कनेक्टेड भी हो सकते हैं नॉट एवरी ग्राफ इज कनेक्टेड बहुत सारे पैटर्न है मैं एक-एक करके स्टडी करता हूं पहले इसको पढ़िए इसका मतलब क्या है यूनिवर्सल क्वांटिफायर है तो इंप्लीकेशन आएगा इसका मतलब है एवरी ग्राफ इज कनेक्टेड इंट इट और जब मैं नेगे पढ़ूंगा तो क्या होगा एवरी ग्राफ इज कनेक्टेड विद नेगे वट आईल्स से नॉट एवरी ग्राफ इज कनेक्टेड तो बिल्कुल परफेक्ट मैच कर रहा है कोई प्रॉब्लम नहीं है है ना इसी को लिखने का एक और तरीका अब वही बात है इसको आप अंदर आ जाने देंगे तो क्या होगा य इसको ऐसे पढ़ लीजिए कि हर ग्राफ कनेक्टेड नहीं है माने कम से कम एक ऐसा ग्राफ तो है ना जो कनेक्टेड नहीं है देखो ये डायरेक्ट बोल दिया देयर एजिस्ट अ ग्राफ और यू नो इफ देर इज अ एक्जिस्टेंशल क्वांटिफायर उसके साथ क्या लगाते हैं उसके साथ कंजंक्शन लगाता है तो कम से कम एक ग्राफ ऐसा है या कोई ऐसा स्ट्रक्चर है पहले जो ग्राफ है और दूसरा वो कनेक्टेड नहीं है तो दोनों ही एक बात को कहने के अलग-अलग तरीके हैं और थर्ड वन ये क्या कह रहा है तो ये तो मुझे लगता है अगेन बहुत सिंपल है ये इसके साथ डायरेक्ट होल्ड कर रहा है बिकॉज़ यहां पे आप समझ रहे इंप्लीकेशन लगा दिया यहां पे नेगे और लगा दिया तो हमें पहले से पता है जैसा अभी थोड़ी देर पहले भी हमने ऑब्जर्व किया कि p इंप्लाइज q इज एज गुड एज सेइंग नेगे p क्य है ना तो यह तीनों के तीनों इसका मल स्टेटमेंट सेम बात को रिप्रेजेंट कर रहे हैं यह देखिए यह बहुत अच्छा मैपिंग है टाइगर एंड लॉयन अटैक इफ दे आर हंग्री और थ्रेटें तो टाइगर या लॉयन अटैक करते हैं जब या तो वो भूखे हो या तो भूखे नहीं भी है बट आप उन्हें डरा दे है ना यह एक आईडिया है अब इसको लिखने के देखिए दो तीन बातें नोट करना पहली बात अगेन उसमें वो ये नहीं बोलेगा ऑल या सम कुछ नहीं बोला तो मानो इन जनरल बात करर इन जनरल बात कर रहा है तो य विल ऑलवेज हैव अ यूनिवर्सल क्वांटिफायर पॉइंट नंबर वन अब यहां पर फिर वही बात टाइगर एंड लॉयन भले ही उसने लिखा हो है ना लेकिन आप मुझे बताएं क्या दोनों एक साथ बैठते हैं क्या जंगल में और एक साथ बैठेंगे तो तभी हमला करेंगे ना नहीं एक्चुअली इट मींस और तो हमेशा ध्यान रखिएगा इंग्लिश में जो एंड लिखा है आमतौर पे वो लॉजिक में एंड नहीं वो लॉजिक में और बन जाता है ध्यान रखेंगे यह बात हो गई अच्छा एक और बात मैं ऐसा नहीं कह रहा कि एंड हमेशा और बनेगा कभी एंड भी बन सकता है तो आपको सिर्फ वो टर्म नहीं देखना एंड आपको उसका मतलब समझना है मतलब फॉर एग्जांपल इफ आई से राइट एन एसे यूजिंग अ पेंसिल एंड अ पेपर ना दिस टाइम एंड मींस एंड बिकॉज एसे लिखने के लिए पेंसिल और पेपर दोनों चाहिए का बट यहां पर नहीं चाहिए है ना या मैं और केस बता फॉर एग्जांपल राइट एन एसे यूजिंग आइर अ अ पेन और अ पेंसिल नाउ दिस मींस एक्सक्लूसिव और या तो पेन या तो पेंसिल दोनों एक नहीं चाहिए तो हर बार मतलब चेंज होगा आपको ऑब्जर्व करके आंसर करना है ठीक है तो यह तो आपने समझ लिया अब ये देखिए हंग्री और थ्रेटें क्या दोनों होना जरूरी है क्या जी नहीं दोनों में से कोई एक हैगा होगा तो भी मामला हो जाएगा तो यहां पर भी और लगा लेंड फाइनली यू हैव इंप्लीकेशन उस केस में अटैक करेगा ही करेगा अगेन ध्यान रखिए इसका मतलब यह है क्या कि बिना हंग्री और थ्रेटें ड हु अटैक नहीं कर सकता याद रखिएगा हम कन्वर्स कभी नहीं बोलते है ना तो हंगरिया थ्रेटें होगा तो अटैक करेगा बट हो सकता है बिना हंगरी थ्रेटें हुए भी अटैक करे आप पूछो क्यों किया भे मनता उसका कर दिया उसने लाइक दिस ओके ये क्या है एवरी टीचर इज लाइक्ड बाय सम स्टूडेंट सो देर यू सी अब तो देखिए धीरे-धीरे आपको पैटर्न समझ आने लगा होगा एवरी टीचर और एवरी के साथ क्या आएगा इंप्लीकेशन आएगा लाइक्ड बाय सम स्टूडेंट तो सम स्टूडेंट के लिए दे ऑब्स देर इज अ एसिस्टेंसिया क्वांटिफायर सम के साथ हमेशा क्या आता है एंड आता है एंड लाइक एक फंक्शन है इट्स अ फंक्शन विद टू वेरिएबल वेयर y लाइक्स x y स्टूडेंट के पास है x टीचर के पास है तो स्टूडेंट लाइक टीचर है ना इस तरह से आप देख सकते हैं यह क्या है सम बॉयज इन द क्लास आर टॉलर देन ऑल द गर्ल्स अब यहां देखिए उल्टा हो गया यहां बाहर एसिस्टेंसिया है तो एंड अंदर यूनिवर्सल है तो इंप्लीकेशन आर टॉलर देन ऑल द गर्ल्स सो x इज टॉलर दन वाय सो बॉय इज टॉलर देन ऑल द गर्ल्स सो दैट इज़ हाउ यू कैन रीड देम आउट ये क्या है और देख सकते हैं वैसे मेरे ख्याल से वी हैव डन सफिशिएंट प्रैक्टिस है ना सो मैं धीरे-धीरे स्लाइड आगे बढ़ाता हूं सो दैट इफ यू वांट यू कैन टेक अ स्क्रीनशॉट बाकी तो पूरा नोट्स आपको मिलेगा कुछ और केसेस भी आप देख सकते हैं डन ओके सो दैट इज ऑल इन थ्योरी ऑफ लॉजिक हमने सिंपल वाले केसेस भी सारे कवर कर लिए और क्वांटिफायर पे बेसिक अंडरस्टैंडिंग समझ ली एजिस्ट एशियल यूनिवर्सल कैसे काम करता है वो समझ ली और अपना स्कोप ध्यान में रखते हुए एग्जाम में किस तरह का क्वेश्चन आप एक्सपेक्ट कर सकते हो उस परे भी काम कर लिया नाउ वी आर ऑल रेडी फॉर अलजेब्रिक स्ट्रक्चर्स आमतौर पे जिसे ग्रुप थ्योरी कहा जाता है अच्छा टॉपिक है मजेदार है एक नया पर्सपेक्टिव खुलता है आपके दिमाग का और कई बार जैसे नंबर सिस्टम्स होते हैं ना इंटी जर फ्लोट ऑड नंबर इवन नंबर काफी क्लेरिटी उस चीज में आपको देगा तो मजेदार टॉपिक और इंपॉर्टेंट है बराबर के क्वेश्चन यहां से पूछे जाते हैं तो चलिए अभी चैप्टर सिक्स अलजेब्रिक स्ट्रक्चर को समझते तो अभी बात स्टार्ट करते हैं अलजेब्रिक स्ट्र स्ट्रक्चर तो सबसे पहले एक बात समझना है कि ग्रुप थ्योरी का बेसिक आईडिया क्या है देखिए यहां पर हम क्या करते हैं हम बहुत सारे ऑपरेटर्स और बहुत सारे नंबर सिस्टम्स को आपस में ट्राई करते हैं इसको ऐसे समझो आप मान लीजिए हमें कोई सिंपल मैथमेटिक कैलकुलेशन करनी है सुबह शाम का हिसाब किताब करना है किसी दुकान पर बैठ के तो डू वी हैव टू अंडरस्टैंड कॉम्प्लेक्शन क्या है इरेशनल क्या है रुपए पैसे का हिसाब है प्लस माइनस डिवाइड मल्टीप्लाई से हो जाना इजेंट इट सिंपल है बस बट हमें यू नो कोई व्हाट शुड आई से हमें कोई एस्ट्रोनॉमिकली कैलकुलेशन करनी है है ना चांद का डिस्टेंस और रॉकेट किस स्पीड से जाएगा कॉम्प्लेक्टेड इलेक्ट्रोमैग्नेटिक रे वेव्स ब्ला ब्ला ब्ला तो वहां पर आपको ऑपरेटर्स भी कॉम्प्लेक्शन भी कॉम्प्लेक्टेड होती है किन ऑपरेटर्स के साथ उसको थोड़ा डिटेल में समझने की कोशिश करते हैं और जैसे अभी मैं बहुत सारी बात बोलूंगा तो आपको लगेगा कि क्या-क्या अजीब बात है बट पॉइंट ये है ना मैथमेटिक्स में कि जब हम कोई अ लॉजिक कोई आईडिया कोई थ्योरी डेवलप करते और कई बार हमारी मैथ्स से शिकायत भी होती है ना पढ़ते हुए 10थ क्लास में 12थ क्लास में कि क्या पढ़ा रहे हैं क्या है ये बट द पॉइंट इज मैथ्स में ना हम कुछ मॉडल्स डेवलप करते हैं विद टाइम और जरूरत नहीं है या हमें नहीं पता कि वो मॉडल एगजैक्टली कहां-कहां काम हो रहे हैं या फ्यूचर में कहां-कहां काम होंगे ऐसे भी बहुत सारे मॉडल हो सकते हैं एक पूरा आईडिया हमने डेवलप कर लिया बट स्टिल वी डजन नो कि उसका एगजैक्टली यूज कहां होगा बुलेन एल जबरा तो 18 सेंचुरी 18 54156 में हमने डेवलप कर लिया था हमें क्या पता था कि बाद में पूरे कंप्यूटर्स जो हैं वो बूलन अलजेब्रा 01 के ऊपर चलेंगे है ना तो वो सारी चीजें जैसे ये इमेज मैंने से लगाई पिक द ऑड वन आउट अब आप बोल सकते हो कि अच्छा ये तो बचपन में बहुत सारे किया ये डिफरेंट है ये डिफरेंट है बट ऑड नंबर होना खराब बात क्यों है ऑड और इवन मैं आपसे बोलूंगा कि अगर मैं आपको एक नंबर बनाऊंगा बताओ ऑड बनोगे कि इवन बनोगे आप बोलोगे सर इवन नंबर बनेंगे क्यों ऑड में क्या बुराई है ये टॉपिक आपको बताएगा कि क्यों ऑड वाले नंबर इतने अच्छे नहीं होते व्हेन वी वर्क विद देम यस सो दिस इज आइडिया य अगेन मैं एक एग्जांपल कोट कर रहा हूं ये पूरा इक्वेशन और मैथमेटिक्स ऑफ अ ब्लैक होल है ना व्हिच वाज डेवलप्ड बाय रामानुजन है ना वन ऑफ द ग्रेटेस्ट इंडियन मैथमेटिशियन जब ये इन्होंने पूरा थ्योरी डेवलप किया उस समय ना तो रामानुजन को ना किसी को पता था ब्लैक होल क्या होता है ब्लैक होल की क्या कैलकुलेशन होंगे और आगे जाके हम फ्यूचर में कैसे काम करेंगे लेटर इन द अर्ली 20th सेंचुरी जब कोई अलग-अलग टीम ऑफ साइंटिस्ट काम कर रहे थे ब्लैक होल पर देन सम ऑफ देन देम यू नो डिस्कवर्ड कि यार जो रामानुजन की जो इक्वेशंस है जो उनका फॉर्मूलेशन है वो ब्लैक होल प एकदम फिट बैठ रहा है कैलकुलेशन परफेक्ट आ रही है एंड देन उस दिन के बाद से हमने वो इक्वेशंस वहां लगानी शुरू कर दी तो ये आर्गुमेंट मैं दे रहा हूं वी नेवर नो कि अभी भी जो मैथमेटिकल सिस्टम्स ऑलरेडी डेवलप हो गए हैं वो फ्यूचर में कहां-कहां इस्तेमाल होंगे और कैसे काम आएंगे यस तो अब अगेन गेम कहां से स्टार्ट करता हूं सबसे पहले कुछ फंडामेंटल प्रॉपर्टीज हम सीखेंगे है ना कैसे सेट्स के साथ प्रॉपर्टीज को ऑपरेट किया जाता है तो आई विल गो वन बाय वन सबसे पहले देखिए एक प्रॉपर्टी से बोलते हैं क्लोजर प्रॉपर्टी कई बार इवन इन कंप्यूटर साइंस हम इस शब्द का इस्तेमाल करते हैं क्लोज्ड है कि नहीं क्लोजर है कि नहीं समझिए क्लोजर प्रॉपर्टी होती क्या है आईडिया ये है जैसे अगर मैं आपसे डायरेक्ट पूछ लूं इफ आई टेक एनी टू इंटी जर्स इंटी जर्स मतलब यू नो जो रेंज हमारे पास होती है आमतौर पे कैपिटल z से रिप्रेजेंट करते हैं माइनस इनफिनिटी से चलेगा लाइक -2 -1 0 देन + 1 + 2 अप टिल अप टिल गो टिल प्लस इनफिनिटी इजट इट तो अगर मैं आपसे बोलता हूं कि यू टेक एनी टू रैंडम इंटी जर्स कोई भी दो रैंडम इंटी जर लो एंड यू ऐड देम है ना लेट मी से a एंड बी आर टू इंटी जर्स उसको ऐड करोगे तो जो रिजल्ट आएगा c क्या वो भी एक इंटी जर होगा सोच के बताओ कोई भी दो इंटी जर का सम क्या इंटी जर होता है हां होता है इसको कहते हैं क्लोज्ड होना तो नाउ वी कैन से द सेट ऑफ इंटी जर्स ध्यान से सुनना द सेट ऑफ इंटी जर्स इज क्लोज्ड विद रिस्पेक्ट टू एडिशन ये वाली कहानी है है ना अगर मैं आपसे बोलूं व्हाट अबाउट अ सेट ऑफ नेचुरल नंबर और सपोज सेट ऑफ इंटी जर ही लेते हैं सेट ऑफ इंटी जर विद रिस्पेक्ट टू डिवीजन क्या दो इंटी जर का डिवाइड करने के बाद जो रिजल्ट आएगा वो भी इंटी जर हो जरूरी है क्या जी जरूरी नहीं है मान लीजिए थ भी एक इंटी जर है 2 भी एक इंटी जर है 3 / q क्या होगा 1.5 ओबवियसली दैट फ्लोटिंग नंबर दैट इज़ नॉट एन इंटी जर सो मैं क्या बोलूंगा इंटी जर एडिशन के रिस्पेक्ट में क्लोज्ड है क्लोजर प्रॉपर्टी सेटिस्फाई करते हैं बट डिवीजन के रिस्पेक्ट में क्लोज नहीं है है ना तो लुक एट दिस नाउ कंसीडर अ नॉन एमटी सेट कैपिटल a एंड अ बाइनरी ऑपरेशन स्टार ऑन a यहां पर ना आमतौर पे मैं प्लस माइनस डिवाइड मल्टीप्लाई नहीं लिखूंगा तो स्टार का मतलब मल्टीप्लाई मत समझिए इट्स अ जेनेरिक ऑपरेटर ठीक है a इज सेड टू बी क्लोज विद रिस्पेक्ट टू स्ट स्टार कब फॉर ऑल वैल्यू ऑफ a बी व्हिच बिलोंग टू a a स्टार बी मस्ट बिलोंग टू कैपिटल ए तो थोड़ा कॉम्प्लेक्शन का रिजल्ट भी a से बिलोंग करता है तो हम बोलेंगे a जो है वो स्टार के रिस्पेक्ट में क्लोज्ड है क्लोजर प्रॉपर्टी सेटिस्फाई करता है ठीक नाउ अब ये अलजेब्रिक स्ट्रक्चर क्या है जो पूरे आपके टॉपिक का भी नाम है अगर कोई सेट किसी ऑपरेटर के रेस्पेक्ट में क्लोजर प्रॉपर्टी सेटिस्फाई करता हो तो उसको बोलते हैं अलजेब्रिक स्ट्रक्चर मैंने क्या किया जितने भी कॉमन क्वेश्चन हो सकते हैं इंटी जर पे फ्लोट पे कॉम्प्लेक्टेड विद ऑल ऑपरेटर्स पूरा टेबल बना के रख के खत्म कर दी बात है ना तो जैसे-जैसे प्रॉपर्टीज पढ़ते जाएंगे आपको आगे ऑटोमेटिक क्लेरिटी आती जाएगी तो अब ध्यान से देखिए ऑब्जर्व करिए आपके साथ भरता चलता हूं क्या किसी भी दो नेचुरल नंबर का का सम नेचुरल नंबर होगा क्या नेचुरल नंबर एडिशन के साथ क्लोज्ड होंगे हां होंगे तो हम बोल सकते हैं नेचुरल नंबर विद रिस्पेक्ट टू एडिशन आर अलजेब्रिक स्ट्रक्चर ये दोनों बातें अलग-अलग समझना भाई ध्यान से समझो क्लोजर प्रॉपर्टी का नाम है जो क्लोजर प्रॉपर्टी सेटिस्फाई करे वो अलजेब्रिक स्ट्रक्चर कहलाता है ऐसे है ये क्लोजर प्रॉपर्टी है और जो क्लोजर सेटिस्फाई करेगा दैट विल बिकम अलजेब्रिक स्ट्रक्चर विद दैट विद रिस्पेक्ट टू ऑपरेटर एक और बात अलजेब्रिक स्ट्रक्चर कौन है नेचुरल नंबर अलजेब्रिक स्ट्रक्चर है एडिशन ऑपरेशन इन दोनों का कॉमिनेशन नेचुरल नंबर विद एडिशन बिकम अलजेब्रिक स्ट्रक्चर यस तो नाउ यू टेल मी नेचुरल नंबर डिवीजन के साथ सर बिल अ सब्सट्रैक्शन के साथ बिल्कुल नहीं नेचुरल नंबर वन से शुरू होता है ना 1 2 3 4 अप टिल इनफिनिटी तो अगर मैं बोलूं माइनस की बात कर रहे हो टू भी नेचुरल नंबर है वन भी नेचुरल नंबर है बट सॉरी उल्टा लिख देता हूं वन भी नेचुरल है टू भी नेचुरल है 1 - 2 करोगे बोलो क्या मिलेगा -1 एंड सर्टेनली -1 इज नॉट अ नेचुरल नंबर फेल हो जाएगा सो फेल डिवीजन पे भी आई थिंक फेल होगा बहुत क्लियर है क्यों एक नेचुरल नंबर को दूसरे से डिवाइड करोगे फिर वही 3/2 वाला एग्जांपल आ जाएगा फेल हो जाएगा बाहर कर दीजिए मल्टीप्लिकेशन पे होल्ड करेगा अभी मेरे ख्याल से बाकी तो रिपीटिटिवली जर एडिशन पे होल्ड करेगा इंटी शायद माइनस पे भी होल्ड कर जाए है ना क्योंकि नेगेटिव नंबर अलाउड है इंटी जर में तो रेंज हमने समझा माइनस इनफिनिटी से प्लस इनफिनिटी ये चलेगा दिक्कत नहीं डिवीजन प आई थिंक ये नहीं चलेगा है ना वई 3/2 वाला एग्जांपल फस जाएगा इंटी जर विद मल्टीप्लाई भी चलेगा और आगे बढ़ते हैं रियल नंबर कौन होते हैं जहां डेसीमल वैल्यूज भी अलाउड है ना रियल नंबर लाइन तो लाइक 1.57 9 होगा तो चलेगा सो रियल नंबर एडिशन के साथ क्लोज्ड होगा सब्सट्रैक्शन के साथ भी क्लोज्ड होगा मल्टीप्लिकेशन के साथ भी होगा डिवीजन के साथ तो आई थिंक डिवीजन के साथ क्लोज नहीं होगा बट आप बोलोगे सर 3/2 करेंगे तो 1 5 आएगा और 1.5 तो रियल नंबर है मानता हूं बट प्रॉब्लम है जीरो क्या जीरो एक वैलिड रियल नंबर है हां है और एनीथिंग डिवाइड बाय 0 तो इफ आई आस्क यू टू एक रियल नंबर है जीरो भी रियल नंबर है टू को जीरो से डिवाइड करेंगे तो क्या रिजल्ट एक रियल नंबर है नहीं जीरो प्रॉब्लम क्रिएट करेगा तो इसीलिए रियल नंबर को भी डिवीजन के साथ क्लोज नहीं मान रहा अलजेब्रिक स्ट्रक्चर नहीं मान रहा बट इसलिए मैंने नीचे अलग से लिखा रियल नंबर माइनस 0 रियल नंबर माइनस डिवीजन तो म के साथ तो इन जनरल भी होल्ड कर रहा है अगर हम एक सेटले रियल नंबर का एक्सक्लूडिंग जीरो कि सर सारे रियल नंबर है बट जीरो नहीं है तो आई थिंक उस केस में क्लोज हो जाएगा तो रियल नंबर का सेट जीरो के अलावा अगर बात करें विद रिस्पेक्ट टू डिवीजन विल फॉर्म अलजेब्रिक स्ट्रक्चर व्हाट इज कैपिटल ए स्टैंड्स फॉर मैट्रिक्स है ना ओबवियसली ऑर्डर कंपैटिबल होना चाहिए तो ऐसा नहीं मैं थ क्रॉस थ मैट्रिक्स को 10 क्रॉस 10 मैट्रिक्स ड कर रहा हूं तो 3 क्रॉस की थ को थ्री से ही ऐड कर रहा हूं बट द पॉइंट इज एक मैट्रिक्स को दूसरी मैट्रिक्स से ऐड करते हैं है तो क्या रिजल्ट भी मैट्रिक्स होती है हां होती है तो मैट्रिक्स विद रिस्पेक्ट टू एडिशन विद रिस्पेक्ट टू मल्टीप्लिकेशन भी अलजेब्रिक स्ट्रक्चर बन जाता है इवन नंबर इवन नंबर अगर दो इवन नंबर को आपस में ऐड करें रिजल्ट इवन होगा हां 2 + 4 इ 6 यू नो दैट तो इवन नंबर विद एडिशन विद मल्टीप्लिकेशन आर क्लोज ऑड नंबर एक ऑड नंबर को दूसरे ऑड नंबर में ऐड करेंगे वन इज ऑड नंबर थ्री इज ऑड नंबर बट 1 + 3 बिकम 4 तो देखिए अपनी बिरादरी के सगे नहीं है प्रॉब्लम है मल्टीप्लिकेशन आई एम सॉरी प्रॉब्लम है ना यस तो क्रॉस लगा देता हूं ऑड नंबर विद रिस्पेक्ट टू मल्टीप्लिकेशन ये आई थिंक होल्ड कर लेगा ऑड नंबर मल्टीप्लाई ऑड नंबर इ अ ऑड नंबर ओनली नॉन सिंगुलर मैट्रिक्स तो इसकी बात आगे करेंगे अभी तो मैट्रिक्स ओवरऑल क्लोज्ड है तो ये भी क्लोज्ड होगा तो देखिए जितने कॉमन क्वेश्चन हो सकते हैं कितने 20 21 अलग-अलग केस बने ये सारे हमने यहीं पे स्टडी कर लिए ताकि कल को आपको एग्जांपल लिखना हो किसी कॉम्पिटेटिव एग्जाम को अटेंप्ट करना नाओ इन एवरी पॉसिबल केस आप इसको अच्छे से हैंडल कर पाओ यस आगे बढ़ता हूं नेक्स्ट क् ये मैंने देखो पहले से भर के रख लिया अब अगली प्रॉपर्टी अगली प्रॉपर्टी यह कोई नई नहीं है परिचित है आप एसोसिएटिविटी तो ना जाने कितनी बार डिस्क्रीट में ही हमने यू नो इफ आई श शुड आई स्टार्ट विद हमने बात की कहां पे सेट थ्योरी में पढ़ा है है ना इवन एसोसिएटिविटी हमने रिलेशंस में भी पढ़ लिया सब जगह होल्ड करता है तो क्या कहानी है वही वाली है अगर तीन वैल्यूज है जिनको आपस में ऑपरेट करना है तो किस ऑर्डर में ऑपरेट करें क्या इस बात से फर्क पड़ता है क्या यह कहानी है सर तो मैं पहले a और b को ऑपरेशन करूं फिर c के साथ ऑपरेट करूं या पहले b और c को ऑपरेट करूं फिर a के साथ ऑपरेट करो दोनों केस में रिजल्ट सेम अगर है तो वी से एसोसिएटिव प्रॉपर्टी होल्ड करती है वह मैं आपको कुछ नया नहीं बता रहा आई नो दैट बट गेम क्या है सेमी ग्रुप गेम है अब अगर कोई सेट ऑपरेट के रेस्पेक्ट में पुरानी मत भूलिए क्लोजर पुरानी और यह वाली कौन सी है एसोसिएटिव क्लोजर और एसोसिएटिव दोनों प्रॉपर्टी सेटिस्फाई करता है अब हम उसे अलजेब्रिक स्ट्रक्चर नहीं कहते अब हम उसे सेमी ग्रुप कहते हैं क्या कहते हैं सेमी ग्रुप तो जब भी आज के बाद इस पूरे चैप्टर में मैं सेमी ग्रुप शब्द का इस्तेमाल करूंगा क्या ध्यान में आना चाहिए ऑर्डर में पहले क्लोजर फिर एसोसिएटिव पहले क्लोजर फिर एसोसिएटिव यह कहानी हो गई एक और बात समझ समझी जा सकती है अगर आप अलजेब्रिक स्ट्रक्चर ही नहीं बन पाए अगर आप क्लोज्ड ही नहीं है तो क्या आप सेमी ग्रुप होने की लड़ाई में है नहीं फिर तो सेमी ग्रुप भी नहीं बन सकते हां कि ना क्योंकि सेमी ग्रुप होने के लिए तो दोनों होना चाहिए क्लोजर तो चाहिए ही चाहिए साथ में एसोसिएटिव चाहिए तो हिरर की में हम आगे बढ़ रहे हैं तो विद दैट अंडरस्टैंडिंग मैं क्या कर सकता हूं सर जो जो स्ट्रक्चर अलजेब्रिक स्ट्रक्चर ही नहीं बन पाए उनको फेल कर देता हूं इजट इट उसके आगे की कहानी शुरू हो गई और अब बात कर लेते हैं एसोसिएटिविटी की व्हाट अबाउट एडिशन आई थिंक तीन नंबर को अगर ऐड करना है तो किस ऑर्डर में ऐड करना है उससे आई डोंट थिंक कोई फर्क पड़ेगा तो जी हां नेचुरल नंबर विद रिस्पेक्ट टू एडिशन होल्ड करेगा आई थिंक मल्टीप्लाई भी एसोसिएटिव होता है नहीं अगर मल्टीप्लिकेशन करना है तो किसको पहले किसको बाद में करो कोई फर्क नहीं पड़ेगा सो दिस विल होल्ड गुड दिस विल होल्ड गुड व्हाट अबाउट माइनस क्या सब्सट्रैक्शन भी एसोसिएटिव है ट्राई करके देखें 1 -2 -3 1 -2 -3 देखते हैं एक बार इधर ब्रैकेट लगा देता हूं एक बार इधर ब्रैकेट लगा देता हूं सो 1 -2 -1 -3 बिकम -4 ऑन द लेफ्ट हैंड साइड एंड 2 -3 इज लाइक -1 इजेंट इट ना माइनस माइनस + 1 1 + 1 बम्स टू एंड ओबवियसली -4 एंड + 2 आर नॉट द सेम थिंग तो समझ गए हम सब्सट्रैक्शन जो है एसोसिएटिव नहीं होता तो यह इंटी जर सब्सट्रैक्शन के साथ ऑब् वियस सेमी ग्रुप नहीं बना पाएगा एडिशन होल्ड कर रहा है सब्सट्रैक्शन होल्ड नहीं कर रहा मल्टीप्लिकेशन होल्ड कर रहा है अगेन मैट्रिक्स अगर तीन मैट्रिक्स है मैं किस ऑर्डर में सम करूं या किस ऑर्डर में मल्टीप्लाई करूं कोई फर्क पड़ेगा नहीं पड़ेगा मैं एक बात क्लियर कर दूं कुछ लोग हमेशा ऐसा पूछते हैं इस जगह ना सर m1 म m2 और m2 * m1 तो सेम नहीं होता ध्यान दीजिए मैं यहां पर अभी कम्यूटर प्रॉपर्टी डिस्कस नहीं कर रहा एसोसिएटिव कर रहा हूं तो सवाल ये है अगर तीन मैट्रिक्स है एक ऑर्डर में मैट्रिक्स एंड मल्टीप्लिकेशन एल्गोरिथम में पढ़ते भी हैं तो इनमें से पहले किन दो को मल्टीप्लाई करूं बाद में किसके साथ करू इससे रिजल्ट प फर्क पड़ेगा क्या नहीं पड़ेगा सर तो मैट्रिक्स मल्टीप्लिकेशन इज आल्सो एसोसिएटिव इन नेचर सो अलाव मी कि मैं यहां पर भी राइट मार्क करूं एडिशन मल्टीप्लिकेशन की बात कर चुका हूं मल्टीप्लिकेशन होल्ड गुड अ म रियल दिस विल आल्सो होल्ड गुड डिवीजन क्या डिवीजन एसोसिएटिव होता है सब्सट्रैक्शन की तरह देखना पड़ेगा विचार करना पड़ेगा एनालाइज कर लेते हैं डिवीजन कैसे काम करेगा नोटिस में लीजिएगा इस बात को डिवीजन डिवीजन डिवीजन डिवीजन ओके 1 डिवाइड बाय 2 डिवाइड बाय 3 1 डिवाइड बाय 2 डिवाइड बाय 3 एक ब्रैकेट इधर लगाता हूं एक ब्रैकेट इधर लगाता हूं ध्यान दीजिए नाउ दिस विल बी 1/2 एंड 1/2 डिवा बा 3 सो दिस विल बिकम ओबवियसली 1/6 यस इधर देखोगे दिस इज 1 डिवाइड बाय ये क्या होगा 2 / बा 3 और इसको मैं ध्यान लिख के बताऊं तो ध्यान से 1 / बा 1 डिवाइड बा 2/3 सो दिस इनटू दिस दिस इनटू दिस एक्चुअली दिस विल बिकम 3/2 दिस इज 1/6 ऑब् वियस ये दोनों सेम नहीं है और ओबवियसली हमारी लर्निंग है कि डिवीजन भी एसोसिएटिव नहीं है इसको भी रॉन्ग मार्क करेंगे मल्टीप्लिकेशन अभी होल्ड कर रहा है तो दिस इज ओके अगेन एक मिनट रुक के एक बात एनालाइज करो जैसे-जैसे हम आगे बढ़ रहे हैं ध्यान से सुनना ये बात जैसे-जैसे आगे बढ़ रहे हैं आप देख रहे हो माइनस है या डिवीजन है वो ऑपरेटर सॉलिड तरह से प्रॉपर्टी फुलफिल करते हैं कि फेल हो रहे हैं फेल हो रहे है दैट इज द रीजन आपने एक बात नोटिस करी हो बचपन से जब भी आप मैथ या इस तरह का कोई भी मैथमेटिकल सिस्टम पढ़ते हो ना यू ऑलवेज फील मच कंफर्टेबल विद एडिशन और मल्टीप्लिकेशन इंस्टेड ऑफ माइनस एंड डिवीजन नोटिस करो आप क्यों प्रॉपर्टी सेटिस्फाई नहीं कर रहे है ना आप देखो रियल नंबर इं टीजर है वी आर वेरी वेरी हैप्पी विद देम व्हाई ऑड नंबर देखो सेटिस्फाई कर र फेल हो रहा है फेल हो रहे हैं ऑड नंबर जबकि जो हमारे इवन नंबर है वो प्रॉपर्टी सेटिस्फाई कर रहे हैं चलिए खैर आगे बढ़ते रहेंगे तो अब यहां तक की बात क्लियर है इसमें कोई कंफ्यूजन नहीं सेमी ग्रुप क्या होता है इतने सारे एग्जांपल देख लिए कोई डाउट होना भी नहीं चाहिए अगला नंबर आ जाता है सर आइडेंटिटी प्रॉपर्टी अब ये प्रॉपर्टी क्या पहले ये समझो किसी भी सेट के अंदर हम बोलते हैं देयर मस्ट बी एन एलिमेंट नोन एज आइडेंटिटी एलिमेंट एंड इट इज डिनोटेड बाय e क्या बोलते हैं आइडेंटिटी एलिमेंट अब क्या है है आइडेंटिटी एलिमेंट अगर मैं सेट के किसी भी एलिमेंट को आइडेंटिटी के साथ ऑपरेट करूं तो उस पे कोई चेंज नहीं होना चाहिए फॉर एग्जांपल जैसे एडिशन के रिस्पेक्ट में बात करूं आपसे तो मुझे बताइए क्या ज़ीरो एक आइडेंटिटी एलिमेंट है किसी भी चीज को अगर मैं सम करता हूं ज़ीरो के साथ तो क्या उस एलिमेंट पे कोई फर्क पड़ेगा नहीं पड़ेगा तो ज़ीरो इज अ आइडेंटिटी एलिमेंट विद रिस्पेक्ट टू एडिशन यहीं पर अगर मैं आपसे मल्टीप्लाई में पूछूं बताओ a को किस चीज से मल्टीप्लाई करूं कि मेरे को दोबारा a मिले आप बोलोगे वन है ना इसका मतलब यह दो आइडेंटिटी तो पूरे चैप्टर में आपके साथ चलेंगी जीरो की आइडेंटिटी कौन होगी प्लस सॉरी प्लस की एडिशन की आइडेंटिटी कौन होगी जीरो मल्टीप्लाई की आइडेंटिटी होगी वन और अलग-अलग मैथमेटिकल सिस्टम में चेंज होता जाएगा जैसे सेट थ्योरी में आपसे पूछूं किसी भी चीज का मैं यूनियन किसके साथ करूं कि मेरे को सेम सेट मिले यहां जाएगा फ तो वहां पे शायद आइडेंट टिटी कौन है फाई है लाइक दिस इट विल वर्क यस ठीक है अब इधर आ जाइए जो सेट अपने साथ आइडेंटिटी एलिमेंट रखेगा किसी सेट में कितने आइडेंटिटी होंगे सिर्फ एक हो सकता है सर ना एक से कम हो सकता ना एक से ज्यादा हो सकता हर किसी को आइडेंटिटी के साथ ऑपरेट करने पे सेम रिजल्ट आना चाहिए ऐसा नहीं कि सेट के अंदर आपका आइडेंटिटी कुछ और है मेरा आइडेंटिटी कुछ और है ऐसा नहीं चलेगा सबका आइडेंटिटी सेम होना चाहिए यस तो आइडेंटिटी प्रॉपर्टी की आप समझ गए अब इस बेस पे जो अगला नंबर आएगा अब आपको हैरर की भी समझ आ रही होगी दैट इज नोन एज मनोइर हैं मोनोइथाइल तो फिर वही कहानी अगर कोई पहले फेल कर चुका है तो मुझे बताइए क्या वह मनोइर पहले बाहर हो चुका है तो बताइए किस-किस को बाहर कर सकता हूं जो जो भी रेड मार्कर्स आपको नजर आ रहे हैं है ना वो पहले से बाहर है सो लेट मी पुट अक्रॉस क्रॉस क्रॉस बेटा तुम बाहर हो जाओ तुम लोग तो सेमी ग्रुप नहीं बन पाए तो मनोइर ओबवियसली आगे हर स्टेज पे कुछ लोग फेल होंगे कुछ लोग पास होंगे इधर आ जाइए नेचुरल नंबर विद रिस्पेक्ट टू एडिशन तो नेचुरल नंबर अभी तक तो बढ़िया चल रहे थे बट आई थिंक यहां ये भी फेल होंगे क्यों होंगे बताओ बिकॉज़ नेचुरल नंबर की रेंज याद है आपको दे स्टार्ट विद 1 2 3 4 5 लाइक दिस अप टिल इंफिनिटी एडिशन की आइडेंटिटी कौन है जरो क्या नेचुरल नंबर के पास ज़ीरो है रो नहीं है तो ये भी फिल तो अगेन आप समझो कोई कॉम्प्लेक्टेड आप कर रहे हो तो यू डोंट वर्क विद नेचुरल नंबर क्योंकि ज़ीरो की जरूरत तो पड़ेगी आपको कहीं ना कहीं ये प्रॉब्लम में ला देगा आपको फेल हो गया नेचुरल नंबर विद मल्टीप्लिकेशन आई थिंक दिस विल बिकम अ मनोइर का आइडेंटिटी कौन है वन अभी समझा हमने और नेचुरल नंबर के पास वन है तो वन के साथ ये मोनोट बनेगा बट जीरो के साथ नहीं बन रहा इंटी जर के पास क्या अ जीरो है जी हां है इंटी जर विद मल्टीप्लिकेशन तो आई थिंक हमारे पास वन है तो नॉट अ प्रॉब्लम इंटी जर सॉलिड तरीके से आगे चल रहे हैं वो भी खासकर किन दोनों के साथ एडिशन और डिवीजन के साथ बहुत बढ़िया रियल नंबर भी फेल हो सॉरी पास हो जाएगा और मल्टीप्लिकेशन भी होल्ड करेगा मैट्रिक्स की सोच लेते हैं मैट्रिक्स में किसी मैट्रिक्स में ऐसा क्या ऐड करो कि मेरे को सेम मैट्रिक्स मिले सो यू कैन हैव अ नल मैट्रिक्स काइंड ऑफ रो जी वाला है ना एक और चीज नोटिस करो मैट्रिक्स देखने में अजीब लगते हैं बट ये फेल नहीं हो रहे पास होते चल रहे हैं दैट इज द रीजन मैट्रिक्स आर सो पॉपुलर इन मैथ्स अलग-अलग ब्रांचेस में अलग-अलग मैथमेटिक्स में इनका बढ़िया इस्तेमाल और सॉलिड तरह से हमारे साथ काम करते हैं तो यहां भी हिट हो रहे हैं सर तो मैट्रिक्स विद रिस्पेक्ट टू एडिशन काम कर रहा है और बढ़िया तरह से काम कर रहा है एंड व्हाट अबाउट मल्टीप्लाई वो तो आपने नाम ही पढ़ा होगा काल्ड मिल्टन थ्योरम आइडेंटिटी मैट्रिक्स हां जहां पे डायगोनल वन होगा बाकी सब ज़ीरो होंगे यू विल गेट बैक द सेम मैट्रिक्स जी हां मल्टीप्लाई के लिए भी एक मैट्रिक्स ऐसा है कि मल्टीप्लाई करो तो सेम मैट्रिक्स मिलता है तो दे विल होल्ड गुड इ इवन नंबर विद रिस्पेक्ट टू एडिशन ज़ीरो रो इज अ इवन नंबर एडिशन का आइडेंटिटी ज़ीरो ही है तो इवन नंबर भी यहां पर होल्ड करते नजर आएंगे बट आई थिंक फाइनली इवन नंबर विद मल्टीप्लाई फेल करेगा क्योंकि मल्टीप्लिकेशन का आइडेंटिटी है वन लेकिन वन इवन नंबर नहीं है सो गोज आउट आगे ऑड नंबर विद मल्टीप्लाई होल्ड करेगा आई थिंक कर जाएगा क्योंकि मल्टीप्लिकेशन का आइडेंटिटी वन है तो दिस विल मेक सेंस अ रियल नंबर विदाउट ज़ीरो विद मल्टीप्लिकेशन तो रियल नंबर तो इन जनरल होल्ड कर चुके तो यह भी होल्ड करेगा और अभी भी इन जनरल मैट्रिक्स होल्ड कर रहा है तो मुझे सिंगुलर नॉन सिंगुलर में भी डिवाइड नहीं करना दिस विल आल्सो होल्ड गुड तो थर्ड प्रॉपर्टी भी आई थिंक हमने ऑब्जर्व कर ली प्रॉपर्टी है आइडेंटिटी हर सेट में एगजैक्टली एक आइडेंटिटी एलिमेंट होगा विद द विद द करेस्पॉन्डिंग्ली मेंट मिलना चाहिए जो प्रॉपर्टी सेटिस्फाई करे आइडेंटिटी अलोंग विद द टू प्रीवियस प्रॉपर्टीज कौन-कौन सा अ पहला हमारा क्लोजर दूसरा एसोसिएटिव देन यू विल बिकम अ मोनोइथाइल केस में और ये सबसे सॉलिड प्रॉपर्टी है बिकॉज़ इसी के ऊपर पूरे टॉपिक का एक्चुअली नाम है ग्रुप थ्योरी है ना अगला प्रॉपर्टी है इवर्स अब इवर्स को समझना भी थोड़ा सा टफ है पहले ये समझते हैं इवर्स प्रॉपर्टी कहता है कि सेट में हर एलिमेंट के साथ उसका इवर्स होना चाहिए अब इवर्स के मायने क्या है यह देखिए जैसे हमने आइडेंटिटी तो समझा अब आप मुझे बताओ एडिशन का आइडेंटिटी कौन है जीरो है तो मैं बोलता हूं हर नंबर के लिए मान लीजिए मैं थ्री ले लेता हूं किसी भी नंबर में मैं ऐसा क्या ऑपरेट करूं कि मुझे दोबारा आइडेंटिटी मिले सिस्टम का तो एडिशन का आइडेंटिटी कौन है जीरो तो इसका मतलब थ का इवर्स कौन हुआ बोलो सर थ का इवर्स हुआ -3 बिकॉज -3 के साथ ऑपरेट करूंगा आ विल गेट बैक द आइडेंटिटी मुझे बताओ a में ऐसा क्या मल्टीप्लाई करूं कि मेरे को वन मिले याद है ना मल्टीप्लिकेशन का आइडेंटिटी कौन था वन था a में तो सर 1 बा ए को मल्टीप्लाई कर दीजिए यू विल गेट बैक द वन है ना तो व्हाट इज द इवर्स इवर्स वो एलिमेंट होता है जिसके साथ जब आप ऑपरेट करते हैं तो आपको उस सेट का आइडेंटिटी वापस मिलता है दैट इज द इवर्स प्रॉपर्टी और जब हर एलिमेंट के लिए इवर्स एजिस्ट करे उस केस में हम बोलते हैं कि सेट इवर्स प्रॉपर्टी सेटिस्फाई करता है और जो इवर्स प्रॉपर्टी फाई करता है अलोंग विद द प्रीवियस थ्री प्रॉपर्टीज सीक्वेंस में पहले क्लोजर फिर एसोसिएटिव फिर आइडेंटिटी एंड देन इवर्स देन यू विल बिकम अ ग्रुप तब आप ग्रुप कहलाते हैं ऑब्जर्व कर पा रहे हैं दो तीन इंपॉर्टेंट पॉइंट और है हर किसी का यूनिक इवर्स होगा वो हम जानते हैं यानी कि एक एलिमेंट के दो इवर्स या दो एलिमेंट का सेम इवर्स नहीं हो सकता इफ a इज इवर्स ऑफ b पेयर में होगा अगर a ब का इवर्स है तो b a का इवर्स होगा ओबवियसली नो एलिमेंट कैन हैव द सेम इवर्स मैं ऑलरेडी बता चुका हूं आइडेंटिटी खुद अपना इवर्स होगा है ना तो आइडेंटिटी को किसी की जरूरत नहीं है बिकॉज अगर मैं आपसे पूछूं कि जीरो में ऐसा क्या ऐड करूं कि रो मिले तो भाई रो ही कर लो या वन में ऐसा क्या मल्टीप्लाई करूं कि वन मिले तो वन ही कर लो तो आइडेंटिटी अपना खुद इवर्स होगा अब जरा देख लेते हैं क्योंकि ये बड़ा फ्रंटियर है ग्रुप जो बना वो काइंड ऑफ सक्सेसफुल हो गया तो जो लोग ऑलरेडी फेल हो चुके हैं है ना आपके परमिशन से उन्हें बाहर कर देता हूं हालांकि इवर्स बड़ा केस बनेगा इवर्स में काफी फेल होंगे तो सबसे पहले बात आई नेचुरल नंबर विद मल्टीप्लाई की ये जाएगा सर क्यों मल्टीप्लाई का आइडेंटिटी कौन है वन तो टू इज अ वैलिड नेचुरल नंबर यस बताइए टू में ऐसा क्या मल्टीप्लाई करूं कि वन मिले अब टू में क्या मल्टीप्लाई करें वन मिले ओबवियसली आंसर इज 1/2 बट क्या 1/2 एक फ्रैक्शन है तो क्या ये नेचुरल नंबर है 100% ये नेचुरल नंबर नहीं है और नहीं है तो उसे बाहर का रास्ता दिखाना होगा है नाना तो यह प्रॉब्लम है फाइनली नेचुरल नंबर किसी के साथ भी ग्रुप नहीं बना पाए चारों पे फेल हो गए कोई बात नहीं अ इंटी जर विद एडिशन आई थिंक फाइनली पहला हीरो हमें मिलेगा दिस विल फॉर्म अ ग्रुप क्यों एडिशन की बात ठीक ही है बताओ + 4 का इवर्स कौन होगा -4 -27 का इवर्स कौन होगा + 27 है ना क्योंकि नंबर लाइन पे अभी आई एम आई एम फ्रॉम माइनस इनफिनिटी टू प्स इनफिनिटी तो किसी भी दो नंबर के साथ काम करके आपको दोबारा ज़ीरो मिल सकता कोई बड़ी बात नहीं है तो यह हिट हो गया सर मल्टीप्लाई आई थिंक सेम प्रॉब्लम इंटी जर को भी आएगी इंटी जर भी मल्टीप्लाई पे फेल होना है क्यों होना है आप नोटिस करिए क्या टू वैलिड इंटी जर है जी हां है बताइए टू में क्या मल्टीप्लाई करूं कि मेरे को वन मिले 1/2 बट 1/2 इज नॉट एन इंटी जर सर्टेनली तो ये भाई साहब भी फेल होते नजर आ रहे हैं रियल नंबर एडिशन पे होल्ड करेगा मल्टीप्लाई पे 2 म 1/2 = 1 ये फैक्ट है बट फिर वही बात है रो प्रॉब्लम में आ जाए क्यों क्या रियल नंबर में रो है हां है बताइए रो में ऐसा क्या मल्टीप्लाई करूं कि मेरे को वन मिले अे सोचना भी पाप है रो में कुछ भी मल्टीप्लाई कर लो यू आर नॉट गोइंग टू गेट वन आपको रो ही मिलेगा जबकि मल्टीप्लाई का आइडेंटिटी है वन तो अब यहां ध्यान से देखिएगा रियल नंबर भी मल्टीप्लिकेशन के साथ फेल होगा लेकिन वो याद है यह वाला सेट रियल नंबर एक्सक्लूडिंग रो अगर एक्सक्लूडिंग जीरो मैं कर दूं तो बाकी किसी को भी हैंडल किया जा सकता है तो रियल नंबर एक्सक्लूड जीरो विद मल्टीप्लिकेशन फॉर्म्स अ ग्रुप बट यू नो अगर जीरो इंक्लूड करेंगे तो ग्रुप नहीं बनेगा फेल होगा मैट्रिक्स विद एडिशन मैट्रिक्स में ऐसा क्या ऐड करूं कि मेरे को व जीरो जीरो वाला मैट्रिक्स मिले सर माइनस ऑफ द मैट्रिक्स हां या ना हां तो दिस इ सरप्राइज मैट्रिक्स वीक स्ट्रक्चर लगते हैं बट दैट इज द रीजन मैं बार-बार बोल रहा हूं कि इनको इतना बढ़िया से इस्तेमाल किया जाता है ग्रुप बना रहा है भाई मैट्रिक्स विद एडिशन फॉर्म्स अ ग्रुप इट्स अ बिग सक्सेस मैट्रिक्स विद मल्टीप्लाई किसी मैट्रिक्स में ऐसा क्या मल्टीप्लाई करें कि हमें दोबारा से आइडेंटिटी मैट्रिक्स मिले सो आंसर इज इवर्स ऑफ अ मैट्रिक्स लीनियर अलजेब्रा में मैट्रिक्स में इसे पढ़ते हैं बट द पॉइंट इज क्या हर मैट्रिक्स के लिए इवर्स एजिस्ट करता है तो याद है को फैक्टर निकालता है फिर एड जॉइंट निकालता है देन व डिवाइड बाय डिटरमिनेट करता है दैट इज हाउ यू कैलकुलेट इवर्स तो नोटिस करने वाली बात यह है कि हर मैट्रिक्स के लिए इवर्स एजिस्ट नहीं करता क्योंकि कुछ केस में डिटरमिनेट जीरो हो जाता है तो इन जनरल मैट्रिक्स विद मल्टीप्लिकेशन डू नॉट फॉर्म अ ग्रुप बट नाउ यू अंडरस्टैंड क्यों मैंने नॉन सिंगुलर लिखा नॉन सिंगुलर मैट्रिक्स कौन होते हैं जिनका डिटरमिनेट नॉन जीरो होगा तो अगर डिटरमिनेट नॉन जीरो होगा तो उनका इवर्स एजिस्ट करेगा और इवर्स एजिस्ट करेगा तो फिर वो सेट जो है विद रिस्पेक्ट टू मल्टीप्लिकेशन ग्रुप बनाएगा इवन नंबर विद एडिशन -4 में क्या ऐड करूं कि मेरे को रो मिले + 4 -28 में क्या ऐड करूं कि मेरे को रो मिले + 28 सो आई थिंक दिस आल्सो फॉर्म्स अ ग्रुप ऑड नंबर मल्टीप्लिकेशन ये नालायक यहां तक आ गया आगे नहीं जा पाएगा विद रिस्पेक्ट टू मल्टीप्लाई है ना तो थ्री में ऐसा क्या मल्टीप्लाई करूं कि मेरे को वन मिले 1/3 अब इसको ऑड और इवन में तो कैसे ही रखूंगा तो दिस विल आल्सो गो आउट तो फाइनली कुछ ही सिलेक्टेड लोग हमारे ग्रुप बने चार प्रॉपर्टी सीक्वेंस में बताओ पहला प्रॉपर्टी तो वी विल स्टार्ट विद क्लोजर देन एसोसिएटिव देन आइडेंटिटी देन भूलना मत इसे तो टैटू करा लो ग्रुप की चारों प्रॉपर्टी पता होनी चाहिए एग्जाम में पूछेगा ही पूछेगा डायरेक्टली और इनडायरेक्टली लिखने को यस कुछ और बड़े कंक्लूजन मैं एक बार यहां पर लिख रहा हूं क्या टोटल नंबर ऑफ एलिमेंट ग्रुप में अ इफ अगर टोटल नंबर ऑफ एलिमेंट इवन है देन देयर एजिस्ट एटलीस्ट वन एलिमेंट इन अ ग्रुप हु इज आल्सो इवर्स ऑफ इट सेल्फ तो आगे चाहो तो उसका प्रूफ भी कर सकते हो इसको ऐसे समझो मान लो चार एलिमेंट है एक तो इवन एक तो आइडेंटिटी है अभी आइडेंटिटी तो खुद अपना इवर्स है बाकी जो है पेयर में होता है तो मान लीजिए यह सेकंड नंबर का एलिमेंट थर्ड वाले का इवर्स है तो थर्ड वाला सेकंड का इवर्स होगा तो फोर्थ कहां जाएगा उसको भी अपना इवर्स बनना पड़ेगा तो यही बोल रहा है अगर टोटल नंबर ऑफ एलिमेंट किसी ग्रुप के अंदर इवन है तो आइडेंटिटी के अलावा कम से कम एक एलिमेंट ऐसा और होगा जो कि सेल्फ इवर्स होगा खुद अपना इवर्स होगा यह बोल रहा है सम टाइम इट इज पॉसिबल दैट एव्री एलिमेंट अ इन अ इज इवर्स ऑफ इट सेल्फ इन अ ग्रुप आगे इसको ऑब्जर्वेशन में दिखा दूंगा ऐसा भी हो सकता है है ना कि हर कोई खुद अपना इवर्स हो दैट इज क्वाइट पॉसिबल कोई दिक्कत नहीं अच्छा जैसे डी मॉर्गन लॉ काम करता है कुछ यही वाला आईडिया यह है अगर आप a ऑपरेशन b का इफ वी नो दैट स्ट्रक्चर इज अ ग्रुप ना दिस प्रॉपर्टी होल्ड अगर आप a ऑपरेशन b का होल इवर्स निकालेंगे तो अगेन दैट विल स्वैप आपको मिलेगा b इवर्स ऑपरेशन a इवर्स ये हमेशा काम करता है अच्छा इसको बोलते हैं कैंसिलेशन प्रॉपर्टी इफ a ऑपरेशन b = a ऑपरेशन c तो विद द लेफ्ट कैंसिलेशन आप b = c लिख सकते हो कुछ लोग कहेंगे क्या कैंसिलेशन मल्टीप्लाई या काट ही सकते हो मैं फिर से याद दिला रहा हूं दिस ऑपरेटर इज़ नॉट मल्टीप्लिकेशन सर दिस इज़ अ जेनेरिक सिंबल फॉर एनी ऑपरेटर सिमिलरली a ऑपरेशन c b ऑपरेशन c न दिस इज़ राइट कैंसलेशन यू कैन राइट इट a = b तो यह कुछ कंक्लूजन हैं जो ग्रुप थ्योरी में बाद में काम आता है तो आपको पता होना चाहिए लास्ट प्रॉपर्टी इन दिस सीक्वेंस इज कम्यूटर प्रॉपर्टी तो वैसे तो ग्रुप तक पहुंच गए बट एक पांचवी प्रॉपर्टी होती है कम्युलेटिव प्रॉपर्टी बहुत आसान है बट इसका नंबर यहां बाद में लगता है a ऑपरेशन b = b ऑपरेशन ये कई बार हम ऑब्जर्व कर चुके मुझे बताने की जरूरत नहीं है और अगर कोई ग्रुप यह ग्रुप तो पहले से बन चुके हैं अगर कोई ग्रुप कम्युलेटिव प्रॉपर्टी भी होल्ड करता है देन दैट ग्रुप इज नोन एज अब बिलियन ग्रुप इंपॉर्टेंट पॉइंट है कुछ लोग इसको इवन कम्युलेटिव ग्रुप भी बोल देते हैं है ना तो आइर यू से कम्यूटर ग्रुप और अ बिलियन ग्रुप आमतौर पे बिलियन ग्रुप बोला जाता है ज्यादातर केस में अब यह देखिए यह सब बच्चे तो ऑलरेडी फेल हो चुके हैं तो कुछ ही लोग थे बेचारे जो ग्रुप गन बन पाए तो काम करना भी बहुत आसान है कई बार आपको ऐसा लगेगा इन जनरल की जो ग्रुप बनता है वो एलियन ग्रुप भी होता है बट कुछ एग्जांपल्स आपको मिलेंगे जैसे एडिशन तो इन जनरल कम्युलेटिव है तो अगर ग्रुप बनेगा तो ए विलियन भी होगा यह भी एडिशन है होगा यह भी एडिशन है होगा यह भी एडिशन है होगा ये मल्टीप्लाई है बट मल्टीप्लाई भी तो कम्यूटर होता है a * b = b * a मैट्रिक्स में नहीं होता एंड दैट इज अ बिग प्रूफ तो देर यू सी इवन नॉन सिंगुलर मैट्रिक्स विद मल्टीप्लाई ग्रुप तो बनाते हैं बट एवलिन ग्रुप नहीं बनाते क्यों बिकॉज़ अब हमें ये बात याद करनी है कि दो मैट्रिक्स को जब मैं मल्टीप्लाई करता हूं तो क्या मल्टीप्लिकेशन कम्यूटर है जी नहीं है सो m1 म m2 इज नॉट इक्वल टू m2 म बा m1 द ऑर्डर इज डिफरेंट सो ये रिस्पेक्ट नहीं करते एंड दैट इज अ प्रूफ कि ग्रुप और एलियन ग्रुप दोनों अलग-अलग बात आते हैं तो यहां तक आई थिंक जितना बेसिक अंडरस्टैंडिंग है ग्रुप थ्योरी का पांच ऑपरेटर अलोंग विद 20 एग्जांपल्स ऑलरेडी हम सॉल्व कर चुके हैं अब कुछ क्वेश्चन प्रैक्टिस करेंगे जिस तरह के आपके यूनिवर्सिटी एग्जाम में आमतौर पे देखे जाते हैं एंड देन आई विल कंटिन्यू फर्द विद सम न्यू आइडियाज यस चलिए सर तो कुछ एडिशनल केस स्टडी कराता हूं और प्रॉब्लम कुछ स्किप करता रहूंगा कुछ कराता रहूंगा जितने करो उतने कम है लुक एट दिस बाकी पीबीडी में सब मिलेगा आपको तो एक सेट है a कैपिटल ए और नजर आ रहा है कि ऑड नंबर को लेके चल रहा है ना टूथ अप टिल इंफिनिटी सिमिलरली य सी सेट बी नजर आ रहा है कि सिर्फ इवन नंबर को लेके चल रहा है ठीक है हाईएस्ट स्ट्रक्चर अचीव्ड बाय एनी वन ऑफ देम वैसे काइंड ऑफ हम इसे कर ही चुके हैं बट स्टिल ध्यान दीजिए a प्लस तो मुझे बताइए क्या ये सेट स्टेप नंबर वन क्या ये सेट क्लोज्ड होगा सर क्लोज तो होगा बिकॉज ऑड नंबर को हां क्लोज कैसे होगा ऑड नंबर को ऑड नंबर से सम करेंगे तो इवन नंबर मिलेगा ये नालायक कुछ नहीं बना इवन अलजेब्रिक स्ट्रक्चर भी नहीं बना एक विद रिस्पेक्ट टू मल्टीप्लाई ऑड नंबर को ऑड नंबर से मल्टीप्लाई करेंगे क्या क्लोज्ड होगा जी हां हो गया बन गया अलजेब्रिक स्ट्रक्चर क्या मल्टीप्लिकेशन कम्यूटर भी होता है कम्युलेटिव यहां पे स्टार का मतलब मल्टीप्लाई मान के चल रहा हूं हां होता है कम्युलेटिव हुआ तो बन गया सेमी ग्रुप ओ सॉरी नॉट कमेंटेट क्या बोल रहा हूं स्टेप नंबर टू एसोसिएटिव एसोसिएटिव होता है बन गया सम ग्रुप स्टेप नंबर थ्री आइडेंटिटी मल्टीप्लिकेशन की आइडेंटिटी होती है वन जो यहां पर नजर आ रही है बन गया मोनो एटन स्टेप नंबर थ्री ग्रुप भी बन जाएगा क्या ग्रुप नहीं बन पाएगा सर मल्टीप्लिकेशन के केस में थ्री को थ्री को किस चीज से मल्टीप्लाई करूं कि आइडेंटिटी वन मिले कर नहीं पाएंगे बिकॉज़ 1/3 यहां पर नहीं है तो यह मनोइर जाएगा देखिए ऑब्जर्व कर पा रहे हैं क्या इधर आ जाइए एडिशन सो एडिशन के केस में इवन नंबर विद इवन नंबर क्लोज्ड है अलजेब्रिक स्ट्रक्चर बनेगा सेमी ग्रुप एसोसिएटिविटी एडिशन अपने आप में एसोसिएटिव होता है कोई भी तीन नंबर ऐड करने हैं तो किसको पहले किसको बाद में ऐड करेंगे कोई फर्क नहीं पड़ता यस इट विल बिकम कम ए सेमी ग्रुप नेक्स्ट इज मनोइर एडिशन का आइडेंटिटी होता है जीरो जो यहां पर नहीं है ये भाई साहब सेमी ग्रुप बनके रह जाएंगे नेक्स्ट देखिए बी विद मल्टीप्लाई इवन नंबर को इवन नंबर से मल्टीप्लाई करेंगे इवन नंबर मिलेगा यस दिस इज़ अलजेब्रिक स्ट्रक्चर अ मल्टीप्लिकेशन एसोसिएटिव भी होता है सो यस दिस इज अ सेमी ग्रुप मल्टीप्लिकेशन की आइडेंटिटी होती है वन जो यहां पर नहीं है तो यह भाई साहब भी सेम ग्रुप बन के रह जाएंगे यस तो आप देखेंगे अलग-अलग केसेस में जब आप प्रैक्टिस करते हैं तो चीजें कैसे सॉल्व हो जाती है कंसीडर सेट ऑफ नेचुरल नंबर विद रिस्पेक्ट टू मल्टीप्लाई सच दैट लुक एट दिस a म b इ इक्वल टू a का पावर b पावर ऑपरेटर है स्टेप बाय स्टेप शुरू हो जाइए सबसे पहले क्लोजर प्रॉपर्टी बताइए नेचुरल नंबर का पावर नेचुरल नंबर भी क्या नेचुरल नंबर होगा 2 रे टू पावर 24 होगा 100 टू पा 200 कुछ भी होगा बट होगा इज इंट इट तो यस ये क्लोज्ड है क्लोज है तो सर अलजेब्रिक स्ट्रक्चर ये है नेक्स्ट बताइए एसोसिएटिव क्या एसोसिएटिव होगा यह सोचने की बात है गुरु ए मल्टीप ए ऑपरेशन बी ऑपरेशन सी अगर ऐसे करूं और ए ऑपरेशन बी ऑपरेशन सी ऐसे करूं तो क्या आएगा इधर देखिए इधर आएगा ए ऑपरेशन बी का पावर सी और अब ऑपरेट करूंगा तो आएगा ए का पावर बी का पावर सी है ना इधर करूंगा तो क्या आएगा ये आएगा a का पावर बी ऑपरेशन सी बेसिकली a का पावर b स दोनों सेम है कि डिफरेंट है डिफरेंट है तो यह तो सेमी ग्रुप भी नहीं बना नहीं बना और ध्यान से ऑब्जर्व करिए दैट इज द रीजन इवन प्रोग्रामिंग लैंग्वेजेस में भी कहीं भी आप देखते हो जब एसोसिएटिविटी स्टडी की जाती है सबका एसोसिएटिविटी लेफ्ट टू राइट चलता है यह पावर है जिसका राइट टू लेफ्ट चलता है तो ऐसे सॉल्व करना होता है ऐसे मामला गड़बड़ हो जाता है सो विच स्ट्रक्चर इट विल सेटिस्फाई सर इट विल बिकम ओनली अलजेब्रिक स्ट्रक्चर सेमी ग्रुप भी नहीं बन पाएगा क्योंकि एसोसिएटिव फेल हो गई आगे बढ़ छोड़ दीजिए इसको इसको भी छोड़ दीजिए यह स्टडी करिए लुक एट दिस मतलब छोड़ दीजिए मतलब अभी वीडियो के लिए छोड़ रहा हूं बट यू कैन ट्राई दैट इन होमवर्क कंसीडर अ सेट ऑफ इंटी जर विद रेस्पेक्ट टू ऑपरेशन अब यहां देखिए क्या खूबसूरत क्वेश्चन है यह एक ऑपरेशन बना ए या ए और ए में लिखा है एम ऑपरेशन n = m प् n प् 2 ये इसकी अंडरस्टैंडिंग है और कह रहा है कि यह जो है सेट ऑफ जर्स पे है और ऑपरेशन की डेफिनेशन बता दी यह ग्रुप है कि पूछ रहा है बता रहा है पूछ नहीं रहा बता रहा है कि फॉर्म्स अ ग्रुप देन डिटरमाइंड द आइडेंटिटी एलिमेंट कह रहा है अगर ऐसा काम करेगा तो बता सकते हो आइडेंटिटी क्या होगा इस तरह के केस कैसे ऑब्जर्व करने समझाता हूं देखो क्योंकि ये ग्रुप है पहले से बता रहा है तो नाउ व्हाट डू वी नो कि ये ऑपरेशन चारों प्रॉपर्टी सेटिस्फाई करेगा क्लोजर है एसोसिएटिव आइडेंटिटी इवर्स है आप मुझसे सवाल पूछ रहे आइडेंटिटी पे मैं आइडेंटिटी पकड़ लेता हूं बताओ आइडेंटिटी प्रॉपर्टी क्या कहती है जो मैं ग्रुप की घर से से सीख के आता हूं आइडेंटिटी कहती है कि किसी भी वैल्यू को अगर आइडेंटिटी के साथ ऑपरेट किया जाए तो यू गेट बैक द सेम वैल्यू यही था ना आइडेंटिटी लेट मी से दिस इज माय इक्वेशन नंबर वन जो मैं प्रॉपर्टी से सीख के आया हूं अब यह भाई साहब क्या कह रहे हैं अगर किसी वैल्यू a को आइडेंटिटी के साथ ऑपरेट करूंगा तो यह कह रहा है इट इज a + e + 2 बोलो ठीक है क्या हां ठीक है और यह क्लास सिक्स में पहली बार जब मैंने किया तो जीवन में बहुत खुशी मिली थी इक्वेट द टू इक्वेशंस अभी दोनों का लेफ्ट हैंड साइड सेम इक्वेट कर दो तो a = a + e + 2 a से a कैंसिल आइडेंटिटी की वैल्यू हो जाती है -2 सो ऑप्शन सी इज द करेक्ट आंसर बताओ गेम समझ आ रहा है क्या आप चेक करके देख लेना चेक करूं इंटी जर है ना कोई भी नंबर लो रैंडम सेवन ले लेते हैं 7 और -2 को ऑपरेट करना जरा भाई इस डेफिनेशन के हिसाब से तो ये कहता है 7 + -2 + 2 नाउ दिस विल गेट कैंसल्ड सेवन ही वापस आएगा तो ठीक है क्योंकि प्लस वहां एडिशनल कर रहा है और हमें चाहिए सेम नंबर वापस आए तो -2 इज द आइडेंटिटी ऐसे अप्रोच कर सकते हैं अब ये भी सेम तरह का क्वेश्चन है बट ये आई थिंक चलो बताता हूं क्या बोल रहा है दिस दिस दिस पॉजिटिव रेशनल नंबर है पॉजिटिव रेशनल नंबर है यह ऑपरेशन की डेफिनेशन है सेम तरह के क्वेश्चन पूछे है कई बार और इट इज नोन टू बी अ विलियन ग्रुप ये अ विलियन ग्रुप है पूछ रहा है इसमें से कौन सा ट्रू है कौन सा फॉल्स बेसिकली इवर्स पे क्वेश्चन पूछ रहा है तो मैं अगेन आपसे एक बात पूछूं a ऑपरेशन b या ऐसे छोड़ देता हूं जैसे पहला क्वेश्चन कराना ऐसे ही कराता हूं देखो ऐसे आपको आसान लगेगा आइडेंटिटी पकड़ ले पहले तो मुझे बताइए a ऑपरेशन आइडेंटिटी क्या होता है सर a होता है आपको कैसे पता हमें पता है क्योंकि एलियन ग्रुप है एलियन ग्रुप है तो पांचों प्रॉपर्टी सेटिस्फाई कर रहा है ये क्वेश्चन क्या कह रहा है दैट इज इक्वेशन नंबर ये कह रहा है a ऑपरेशन e होगा a a * e बा 3 दैट इज 2 बोलो हां या ना a * a / 3 फिर वही बात सर इक्वेट कर दो तो a = a = a * e / 3 कैंसिल हो गया तो आइडेंटिटी क्या आ गया आपका आइडेंटिटी आ गया थ्र आपको क्या बताना था अच्छा नॉट ट्रू बताना है तो खैर आइडेंटिटी एलिमेंट हमें पता है अच्छा अब ये कैसे ट्राई कर सकते हो आइडेंटिटी खुद अपना इवर्स होता है प्रॉपर्टी आपको बताई थी तो इवर्स ऑफ 3 भी यही होगा अब इस तरह क्वेश्चन कैसे ट्राई किए जा सकते हैं अगर यह दोनों एक दूसरे के इवर्स है तो बताओ इन्हें आपस में ऑपरेट करके क्या मिलेगा आइडेंटिटी मिलेगा ट्राई करें a ऑपरेशन 9 बा a क्या डेफिनेशन है भाई ऑपरेशन की कह रहा है a को मल्टीप्लाई करो 9 बा a से और फिर डिवाइड कर दो थ से a से a गया क्या आइडेंटिटी थ्री आ रहा है हां सर आइडेंटिटी थ्री था वही आ रहा है इसका मतलब ये बात भी ठीक है इसका मतलब ये ऑप्शन गड़बड़ है कर पाएंगे अलग-अलग तरह के ये आप ट्राई करके देखना सिंपल ऑपरेशन दो वैल्यू रख के देखोगे बात समझ आ जाएगी कौन सा ग्रुप का प्रॉपर्टी नहीं बेसिक क्वेश्चन आगे बढ़ते हैं फाइना इट ग्रुप इनफा ग्रुप अब एक बात आप नोटिस करो अभी तक जितने भी ग्रुप हमने स्टडी किए शायद सभी के सभी इनफाइनों हम बात कर रहे हैं नेचुरल नंबर की इंटी जर की रियल नंबर की कॉम्प्लेक्टेड प ग्रुप नहीं बनाया जा सकता नाउ दैट इज वेरी इंपोर्टेंट आइडिया व्हिच इज़ वर्थ डिस्कसिंग मजा आएगा इसमें तो मैं एक बात कर दूं पहले अ ग्रुप विद फाइना इट नंबर ऑफ एलिमेंट्स इज कॉल्ड अ फाइना इट ग्रुप तो वो ग्रुप जिसमें नंबर ऑफ एलिमेंट्स फाइना इट होते उसे फाइना इट ग्रुप कहते हैं पहली बात दूसरी ऑर्डर ऑफ़ अ ग्रुप ऑर्डर ऑफ़ अ ग्रुप इज डिनोटेड बाय ऑर्डर ऑफ g व्हिच इज़ नथिंग बट द नंबर ऑफ एलिमेंट्स इन अ ग्रुप अभी तक मैं ऑर्डर ऑफ़ ग्रुप की बात क्यों नहीं कर रहा था आपसे क्योंकि मेरे पास जो ग्रुप थे वह सब इंफाइटिंग ऐसे ग्रुप्स में जिनका साइज फाइना होगा एंड इट इज जस्ट लाइक द कार्डिनलिटी ऑफ ए सेट स्टार्टिंग में पढ़ा था ना इस वीडियो में हां तो सेट की कार्डिनलिटी मानो नंबर ऑफ एलिमेंट्स इन अ सेट सिमिलरली ऑर्डर ऑफ ग्रुप मानो नंबर ऑफ एलिमेंट्स इन अ ग्रुप सो देर इज ओनली वन एलिमेंट इन अ ग्रुप देन इट मस्ट बी वो तो खर फालतू बात हो गई कह रहा है एक ही एलिमेंट है तो आइडेंटिटी होगा दैट आई अंडरस्टैंड बट समझने वाली बात है कि ऑर्डर ऑफ अ ग्रुप डिफाइन ही तब करिए जब ग्रुप फाइना इट हो इंफाइटिंग बढ़ता हूं यह क्या मैंने करके रखा पहले से ऑपरेटर लगा के थोड़ा आईडिया बना के कुछ केसेस बनाने की कोशिश कर रहा हूं आपको समझाने के लिए कि फाइना ग्रुप बनाना कितना मुश्किल है यहां देखिए इट्स लाइक कि किसी मैं सारे पॉसिबल कभी समझाऊ कि टेबल कैसे इस्तेमाल होता है जीरो अगर मैं सिंगल एलिमेंट लू विद जीरो क्या ये एक वैलिड ग्रुप है सर ये तो ग्रुप है द रीजन बीइंग कि अ ये ट्रिविया ग्रुप है एक तरह का बिकॉज मल्टीप्लिकेशन की आइडेंटिटी कौन है मल्टीप्लिकेशन की आइडेंटिटी है जीरो वही मैं रख रहा हूं तो ग्रुप बन ही जाएगा यहां देखिए अ क्या बोल रहा हूं मैं एडिशन की आइडेंटिटी क्या है जीरो है एडिशन की आइडेंटिटी जीरो है वो मेरे पास है मल्टीप्लिकेशन की आइडेंटिटी वन है जो यहां पर है ही नहीं तो आगे पढ़ने की जरूरत है आगे पढ़ने की जरूरत नहीं है ये भाई साहब ग्रुप नहीं बनेंगे एडिशन की आइडेंटिटी है वन बट इसमें प्रॉब्लम समझो क्या है एक ही वैल्यू अगर मैं वन को वन से ऑपरेट करूंगा तो क्या मिलेगा बोलो सर वन को वन से ऐड करेंगे यहां पे डेफिनेशन ऑपरेशन की एडिशन तो मेरे को मिलेगा टू क्या क्लोजर होल्ड कर रहा है कि फेल हो गया क्लोजर क्या कहता था अगर किसी सेट के वैल्यू को उसी सेट के वैल्यू के साथ ऑपरेट करें तो रिजल्ट भी उसी सेट का वैल्यू होना चाहिए बट यहां पर तो सेट में एक ही वैल्यू 1 प् 1 2 जंप करके बाहर चला गया फेल हो गया यहां देखो वन विद मल्टीप्लाई होल्ड करेगा यह भी कर जाएगा मैं कह रहा हूं इनकी कोई खास सिग्निफिकेंट नहीं है एक नंबर और चार नंबर की क्यों मल्टीप्लिकेशन का आइडेंटिटी वन है और एडिशन का आइडेंटिटी जीरो ने तो ग्रुप बनना ही था बट उसके अलावा अब देखो ये भाई साहब भी फेल हो गए ये बताओ एडिशन का मेरे को तो गलती निकालनी है दो ही एलिमेंट है 0 1 1 के एडिशन के साथ ट्राई करो तो फिर वही प्रॉब्लम 1 + 1 क्या हो जाएगा 2 क्या टू इसका हिस्सा है नहीं है फेल हो गया मल्टीप्लिकेशन के साथ 0 व ट्राई करूं तो धीरे-धीरे आगे बढ़ रहा हूं एक खानदानी दुश्मनी हमेशा ध्यान रखिएगा रो की मल्टीप्लिकेशन से कि कुछ भी होल्ड करे हां इवर्स नहीं होल्ड करेगा सवाल क्या बनेगा सवाल वही बनेगा रो को किस चीज के साथ मल्टीप्लाई करें कि मल्टीप्ल का आइडेंटिटी माने वन मिले कर लोगे क्या आप जीरो को किसी से भी मल्टीप्लाई करोगे आपको जीरो ही मिलेगा दोबारा वन मिल ही नहीं पाएगा तो 110 पर दिस विल ऑलवेज फेल जब भी मल्टीप्लिकेशन ऑपरेशन हो तो हमेशा देखना जीरो है जीरो है तो देखते ही क्रॉस मार दो कभी ग्रुप नहीं बन सकता अब ये फिर वही एडिशन की बात है एडिशन में तो पकड़ लूंगा इसको -1 -1 सम होगा तो -2 मिलेगा और + 1 + 1 सम होगा तो + 2 मिलेगा ये दोनों ही बाहर जाएंगे क्लोजर प्रॉपर्टी फेल हो रही है यह ग्रुप बनेगा क्या जीरो मल्टीप्लाई के साथ है बन ही नहीं पाएगा आगे चेक ही मत करो अब धीरे-धीरे आपको समझ आना शुरू होगा कि फाइट प जब हम करने की कोशिश कर रहे कोई ना कोई प्रॉपर्टी फेल हो रहा अशकन हो रहा है अभी तक तो रेंज इनफा तो कहीं भी जाए तो चलता था अब नहीं चलेगा सर यह क्या कह रहा है एडिशन यह तो आपको पता ही है -2 2 फेल हो गया क्लोजर फेल है यह काम करेगा क्या ये ठीक ठाक लग रहा -1 और व सो -1 * -1 इज 1 दिस इज -1 एंड दिस इज -1 एंड दिस इज वन क्या ये क्लोज्ड है हां एसोसिएटिव है क्योंकि मल्टीप्लिकेशन एसोसिएटिव है आइडेंटिटी सामने रखा हुआ है इवर्स आई थिंक -1 का इवर्स -1 ही है अब वन तो खुद आइडेंटिटी है ये होल्ड कर गया दो एलिमेंट के साथ एक पहला ग्रुप और मिला मैं तीसरा ग्रुप मिला कायद से दो तो ट्रिविया थे ये सही मिला -1 विद -1 + 1 मिलके ग्रुप बना रहा है आगे देखें ये तो अब ये तो प्लस तो फेल कर ही रहा है माइनस माइनस सो दिस विल बिकम -4 एंड दिस विल बिकम + 4 ओबवियसली रें से बाहर जा रहे हैं फेल हो रहा है है ना तो अब एक दो बेसिक अंडरस्टैंडिंग आप दे चलो एक दो और केस आपको ट्राई करा देता हूं यह देखिए ये क्या है मल्टीप्लाई जीरो है आगे काम करूं फेल हो जाएगा इवन -2 मल्टीप्ला बाय -2 यू गेट + 4 व्हिच इज नॉट द पार्ट ऑफ द ग्रुप फेल हो रहा है अब ये दो स्पेशल केस है जो यूनिवर्सिटी वालों को बहुत अच्छे लगते हैं बड़े पसंद है 1 ओमेगा ओमेगा स्क्वा बट यहां पर एक बात जो आपको पता होनी चाहिए क्यूब रूट ऑफ यूनिटी इज व तो ओमेगा क्यूब की वैल्यू क्या होती है वन शायद इस वजह से क्लोज हो जाता है कैसे देखो यहां ओमेगा आएगा मल्टीप्लाई कर रहा हूं है ना ओमेगा ओमेगा स्क्वा दिस इज ओमेगा दिस इज ओमेगा स्क्वा अब जहां पे फेल होता ओमेगा * ओमेगा स् इज ओमेगा क्य बट वी ऑलरेडी नो दैट ओमेगा क्यूब इज वन तो अगेन आई राइट वन नाउ दिस इज ओमेगा स् ओमेगा स् * ओमेगा इ ओमेगा क्यूब व्हिच इज नथिंग बट वन ओमेगा स् * ओमेगा स् इज ओमेगा 4 ओमेगा क्य इज वन अगेन यू गेट बैक ओमेगा क्या ये ग्रुप बन रहा है क्लोज्ड है क्योंकि कोई बाहर की वैल्यू नहीं मिली एसोसिएटिव है क्योंकि मल्टीप्लिकेशन एसोसिएटिव है इन नेचर मुझे पहले से पता है आइडेंटिटी मल्टीप्लाई की आइडेंटिटी वन है मेरे पास है इवर्स वन का इवर्स वन है देखो टेबल में इवर्स कैसे ढूंढते हैं आपका इवर्स कौन होगा जहां पे आपको वन मिले तो ओमेगा का इवर्स लगता है ओमेगा स्क्वायर है इसलिए ओमेगा स् और ओमेगा पे हमेशा क्या मिल रहा है वन मिल रहा है तो ओमेगा * ओमेगा स् इज 1 यही डेफिनेशन थी कि जब मैं अपने इवर्स के साथ ऑपरेट करूंगा मुझे आइडेंटिटी मिलेगा इस सिस्टम में आइडेंटिटी कौन है वन तो ओमेगा का इवर्स है ओमेगा स्क्वायर ओमेगा स्क्वायर का इवर्स है ओमेगा सो यह ग्रुप बना बट स्पेशल केस है नॉर्मल केस नहीं है इधर आ जाइए -1 1 इनके साथ पहले से हम ग्रुप बना चुके हैं i और - आ आयो समझते हो कॉम्प्लेक्शन 1 या व्हाट इज i स् इट इज -1 ट्राई करो इसके साथ मजा आएगा तो यह माइनस करेगा तो सबका साइन चेंज कर देगा 1 -1 - आ आ यह सबको सेम रखेगा सो 1 आ - आ और यह कॉलम में i - आ ये सबका साइन फरदर चेंज कर रहा तो - आ और i और इधर i * आ सो दिस विल बिकम आ स्क्वा वच इज नथिंग बट -1 एंड दिस विल बिकम आई थिंक वन एंड i इन दिस दिस विल बिकम वन एंड दिस विल अगेन माइनस माइनस प्लस दिस बिकम -1 ये बनेगा सर एक बार चेक करके देख लीजिए आप क्या क्लोज्ड है ग्रुप के बाहर का कोई एलिमेंट नहीं मिल रहा तो क्लोज्ड है एसोसिएटिव मल्टीप्लिकेशन एसोसिएटिव होता है आइडेंटिटी मल्टीप्लिकेशन का आइडेंटिटी वन है तो काम कर रहा है इवर्स नोटिस करिए आइडेंटिटी तो खुद अपना इवर्स होगा आई थिंक -1 भी अपना इवर्स है क्योंकि -1 -1 पे वन मिला क्या i और - आ पे वन मिल रहा है जी हां वन मिल रहा है इसका मतलब ये दोनों एक दूसरे के इवर्स है वो याद है एक ऑब्जर्वेशन कि अगर इवन नंबर ऑफ एलिमेंट होंगे तो आइडेंटिटी के अलावा एक एलिमेंट और होता है जो खुद अपना इवर्स होता है वो वाला केस यहां नजर भी आ रहा है तोब हो क्या रहा है समझिए वैसे तो मैं ग्रुप बना नहीं पा रहा सर दो चार स्पेशल केस मेरी पकड़ में आ रहे हैं बट इन जनरल हम फाइना इट स्ट्रक्चर्स प ग्रुप बनाने में हमें बड़ी तकलीफ हो रही है मोस्ट ऑफ द टाइम जीरो मल्टीप्लिकेशन के साथ दुश्मनी कर लेता है मोस्ट ऑफ द टाइम एडिशन तो फेल करेगा ही करेगा बिकॉज उसी नंबर को उसी नंबर सेड करोगे आप ग्रुप से बाहर चले जाओगे सो व्हाट इज रिक्वायर्ड टू बी डन हमें मॉडलो ऑपरेटर बनाने पड़ते हैं व्हाट इज मॉडलो कि रेंज से बाहर जाए तो रिमाइंडर लेके फरदर वापस ले आए और दो इंपॉर्टेंट मॉड्यूल ऑपरेटर है एक कहलाता है एडिशन मॉड्यूल एक कहलाता है मल्टीप्लिकेशन मॉड्यूल आमतौर पर पूरी ग्रुप थ्योरी इ क्या इधर इधर घूमती है तो पहले एडिशन मॉडलो समझा देता हूं डेफिनेशन देखिए तो दे इज एडिशन ऑपरेटर विद अ सबक्रिटिकल अगर आपका सम m से कम है तो आंसर a + b ही होगा कोई दिक्कत नहीं लेकिन अगर आपका सम m के बराबर या ज्यादा जा रहा है तो रिजल्ट में से m माइनस कर देंगे ताकि आप दोबारा रेंज में आ जाए इस बात को समझना पड़ेगा एक एग्जांपल से समझाता हूं तो यहां पर हमारे पास नॉर्मल एडिशन नहीं है सर दिस इज एडिशन विद मॉड्यूल ऑफ फोर अब देखिए क्या होगा यह सम करना शुरू कर रहा हूं तो जीरो के सम से तो खैर कोई प्रॉब्लम होगा नहीं यू विल गेट बैक द सेम वैल्यू 1 + 1 2 1 + 2 3 नाउ देर यू सी 1 + 3 4 अब बराबर हो गया तो जैसे ही फोर होगा तो क्या करना है माइनस हम कर दीजिए 4 तो 4 - 4 द रिजल्ट विल बी 0 तो फोर नहीं जाने दिया दोबारा वापस ले आया 2 + 1 3 2 + 2 4 4 - 4 रिजल्ट 0 2 + 3 5 5 - 4 रिजल्ट 1 3 + 1 4 4 - 4 रिजल्ट 0 3 + 2 इ 5 5 - 4 रिजल्ट 1 3 + 3 6 6 - 4 रिजल्ट टू सो देर यू सी इस तरह से अगर हम काम करते हैं और चीजों पर ऑपरेट करते हैं तो बहुत शानदार तरीके से हम सेम रेंज में रह पाते हैं अब नोटिस करिएगा स्टेप नंबर वन क्या ये क्लोज्ड है हां जी क्लोज तो है क्योंकि रेंज के बाहर हम गए नहीं परफेक्ट चल रहा है क्वेश्चन नंबर टू एसोसिएटिव है एडिशन तो बाय नेचर एसोसिएटिव है नॉट अ प्रॉब्लम थ्री क्या यहां पे आइडेंटिटी है एडिशन की आइडेंटिटी जीरो है मेरे पास है इवर्स क्या इवर्स है चेक कर लो जीरो खुद अपना इवर्स है बोलो वन का इवर्स कौन है वन को जब थ्री के साथ ऑपरेट किया तो जीरो मिला इसका मतलब वन और थ्री एक दूसरे के इवर्स है थ्री को जब वन के साथ ऑपरेट कर रहे तब भी रो मिल रहा है जब मैं अपने इवर्स के साथ ऑपरेट करूं तो मुझे आइडेंटिटी मिलना चाहिए इस सिस्टम का आइडेंटिटी कौन है इस सिस्टम का आइडेंटिटी है रो तो मैं किसके साथ ऑपरेट करूं कि मेरे को ज़ीरो मिले तो वन को थ्री के साथ ऑपरेट करने पे रो मिल रहा है इसका मतलब व और थ इवर्स और फिर वही प्रॉपर्टी अगर 1 3 के साथ चला गया और रो अकेला है तो टू को भी सेल्फ इवर्स बनना पड़ेगा नोटिस भी करिए टू को टू से ऑपरेट करने पर भी जीरो मिल रहा है मेक्स सेंस तो यह हमने एक नया कारनामा कर दिखाया एक नया ऑपरेटर बनाया जिससे फाइनली हमें फाइना इट ग्रुप बनाने में सक्सेस मिल रही है आगे बढ़े अब यही बात मल्टीप्लिकेशन के साथ लगा देते हैं बट मल्टीप्लिकेशन की प्रॉब्लम क्या है अगर रेंज से बाहर जाएंगे तो काफी बाहर जा सकता है लाइक 4 * 4 विल बिकम 16 - 45 करने से कुछ नहीं होगा तो यहां पे माइनस नहीं करते यहां पे जो भी मॉडलो है उससे डिवाइड करते और जो रिमाइंडर है वो आपका आंसर हो जाता है एग्जांपल से बता देता हूं सो दे यू सी 1 2 3 4 एक और चीज नोटिस करो रो नहीं रखा क्योंकि रो की खानदानी दुश्मनी है मल्टीप्लाई के साथ सो मल्टीप्लाई यहां तो सेम रहेगा सर नो चेंज यहां भी सेम रहेगा नो चेंज अब देखिएगा 2 * 2 इ 4 रेंज के अंदर है 2 * 3 6 6 / 5 6 / 5 रिमाइंडर डिवाइड करूंगा 2 * 4 8 8 डिवा 5 रिमाइंडर 3 3 * 2 6 6 डि 5 रिमाइंडर 1 3 * 3 9 9 डि 5 रिमाइंडर 4 एंड द लास्ट वन इज 3 * 4 इ 12 12 डिवा 5 रिमाइंडर 2 तो बाकी तो सिमेट्री है आई थिंक इसको लास्ट 4 * 4 इ 16 16 डि 5 रिमाइंडर 1 ऐसे फिल कर सकते हैं नोटिस करिए क्या ये क्लोज्ड है रेंज से बाहर जाने ही नहीं देगा मॉड्यूल ऑपरेटर क्लोज्ड है क्या ये एसोसिएटिव है मल्टीप्लिकेशन बाय वेरी प्रिमिटिव नेचर एसोसिएटिव एंड नॉट अ प्रॉब्लम क्या ये आइडेंटिटी है मल्टीप्लिकेशन का आइडेंटिटी वन है हमारे सामने बेटा इवर्स वन का इवर्स खुद वन होगा शायद टू और थ्री नोटिस करिए एक दूसरे के इवर्स बन रहे हैं कैसे 2 * 3 आप देखिए टू को थ्री पे वन मिला टू पर भी वन मिल रहा है और फोर भी मानो यहां पे सेल्फ इवर्स बनेगा सो दे यू सी इस तरह से परफेक्ट तरह से पूरा स्ट्रक्चर काम हमारा कर रहा है मल्टीप्लिकेशन मॉड्यूल तो अब क्योंकि दो नए ऑपरेटर हमारे पास आ गए ना तो यू हैव एम्पल अमाउंट ऑफ न्यू क्वेश्चंस जो कि आपके यूनिवर्सिटी एग्जाम में पूछे जाते हैं कुछ भी दो चार यू नो सेट बनाते बता पूछते हैं कि बताओ ग्रुप है कि नहीं ग्रुप है कि नहीं तो मैं जल्दी-जल्दी आपको ऑब्जर्वेशन कराता हूं नोटिस करिएगा रो से लेके थ्री तक गए मॉडल फोर ये तो हमने केस ट्राई कर ही लिया ये ग्रुप बनेगा कोई प्रॉब्लम नहीं हमेशा ध्यान रखिएगा भले ही मॉडलो हो बट जीरो अपनी नहीं भूलता मल्टीप्लिकेशन के साथ इस तरह का स्ट्रक्चर कभी ग्रुप नहीं बन सकता क्योंकि ज़ीरो का इवर्स नहीं होगा एडिशन ऑपरेशन के साथ रो रखना मैंडेटरी है आइडेंटिटी को रिस्पेक्ट नहीं करेंगे तो मैं आपकी रिस्पेक्ट नहीं करूंगा ग्रुप नहीं बनेगा यहां देखिए 0 1 और 3 इस पे ट्राई करके देखना पड़ेगा आपको पूरा केस बनाइए बस मैं याद दिला देता हूं जब टू को टू के साथ ऑपरेट करेंगे तो फर मिलेगा 4 / बा 4 रिमाइंडर रो और रो इस सेट का हिस्सा नहीं है तो यह भाई साहब भी ग्रुप नहीं होंगे आपको करके देखना पड़ेगा मैं हजारों बार ये क्वेश्चन कर चुका हूं मुझे आईडिया है कि कौन बनेगा कौन नहीं बनेगा गेटिंग दिस आईडिया ठीक है सर और देखिए मैं सारे पॉसिबल कॉमिनेशन दिखा देता हूं यह ग्रुप बनेगा इस पर आप काम करके देख सकते हो जीरो के साथ मल्टीप्लाई खानदानी दुश्मनी ग्रुप नहीं बनेगा एडिशन में जीरो नहीं रखा आइडेंटिटी नहीं है तो ग्रुप नहीं बन सकता इस पे हम ऑलरेडी काम करके देख चुके सैंपल यही लिता है ग्रुप बनेगा अ जीरो से लेकर सिक्स तक गया एडिशन ग्रुप बनेगा कोई प्रॉब्लम नहीं जीरो के साथ फिर वही मल्टीप्लाई की खानदानी दुश्मनी ग्रुप नहीं बनेगा यहां फिर रो नहीं रखा होगा ग्रुप नहीं बनेगा वन से लेके फाइव तक गया कोई नंबर मिसिंग नहीं है एक नोटिस करिएगा शॉर्टकट बता देता हूं मल्टीप्लिकेशन के साथ अगर आप 1 2 3 4 अप्टिल अप्टिल अप्टिल जाते हैं p -1 तक और मल्टीप्लिकेशन मॉड्यूल ऑ p p क्यों लिख रहा हूं अगर p एक प्राइम नंबर है हमेशा ग्रुप बनेगा क्यों इनमें से कोई दो नंबर मल्टीप्लाई होके सेवन से डिवाइड कभी हो ही नहीं पाएंगे एगजैक्टली कि मेरे को रो मिले और रो के अलावा सब कुछ है इसके पास तो इस तरह के स्ट्र स्क्चर हमेशा ग्रुप बनते हैं दिस वन यह अच्छा केस है इसमें देखो सिखाऊंगा आपको क्या वन मिलेगा थ्री मिलेगा 5 मिलेगा 7 मिलेगा यहां 1 3 5 7 ही मिलेगा 3 * 3 9 रिमाइंडर 1 3 * 5 15 8 डिवा बा 8 * 1 8 रिमांडर 7 यस 3 * 7 21 8 * 2 16 रिमाइंडर 5 ये तो सिमेट्री चलेगी तो अ इधर आई थिंक सेवन आ जाएगा इधर फाइव आ जाएगा आगे बढूं 5 * 5 25 8 * 3 24 रिमाइंडर 1 5 * 7 इज 35 8 * 4 32 रिमाइंडर थ एंड 7 * 7 49 8 * 6 48 रिमाइंडर 1 यहां पे एक बात नोटिस करना दिस इज़ अ स्पेशल केस जहां पर शायद हर कोई खुद अपना इवर्स है ग्रुप है यह कोई दिक्कत नहीं आप नोटिस करो एवरीबॉडी में पा 10 नंबर का क्वेश्चन है बट ग्रुप है आप चेक करना ये प्राइम वाली बात आपको पहले से बता चुका हूं मल्टीप्लिकेशन प्राइम बेस के साथ ग्रुप बनेगा एडिशन में जीरो है जीरो नहीं है तो ग्रुप नहीं बनेगा मल्टीप्लिकेशन में जीरो होगा तो कैसे बनेगा और एडिशन जीरो के साथ अगर प माइव तक जाएगा तो भी ग्रुप बन जाएगा ठीक बात है छोड़ दीजिए इस तरह का प्लसटू प् 3 या बेसिक क्वेश्चन हम सॉल्व कर चुके हैं यह उस तरह के केस है जहां पर आपसे पूछ रहा है कि समथिंग इज रंग इट इज रॉन्ग लाइक दिस इज अ ग्रुप इट इज ऑलरेडी नोन व्हिच ऑफ़ द फॉलोइंग इज नॉट ट्रू क्या -1 का इवर्स 5 है -1 का इवर्स वन का इवर्स क्या फ है अगर ये दोनों एक दूसरे के इवर्स है तो इनको ऑपरेट करने पर आइडेंटिटी मिलना चाहिए सो 1 प्स एडिशन मॉड्यूल 6 तो 1 + 56 6 - 6 0 जी हां एडिशन का आइडेंटिटी रो ये बात बिल्कुल सही है टू और फर भी मिलके सिक्स बनाएंगे थ्री शायद सेल्फ इवर्स होगा गलत है जीरो तो आइडेंटिटी है वो खुद अपना इवर्स होगा तो इस तरीके के आप प्रैक्टिस कर सकते हैं ये अगेन कुछ केस मैंने बना के रखे हैं बट अगेन इट्स काइंड ऑफ रिपीटेशन नाउ यहां जब एक नई व्यवस्था शुरू होती है जो हमें बाद में कोसेट्स और यू नो फर्द आगे लेके जाएगी वेरी इंटरेस्टिंग नोन एज सब ग्रुप्स अब ये कहानी क्या है ध्यान से देखिए एक ग्रुप है अब उसके सबसेट पे खेल रहे हैं नोटिस करिएगा एक-एक बात इंपॉर्टेंट है द सबसेट ऑफ अ ग्रुप मे और मे नॉट बी अ ग्रुप मैं एक ग्रुप ले रहा हूं उसका मैं कोई सबसेट निकाल लेता हूं तो वो ग्रुप हो भी सकता है और नहीं भी हो सकता उसे इन्वेस्ट करना पड़ेगा पॉइंट नंबर टू व्हेन अ सबसेट ऑफ अ ग्रुप इज आल्सो ग्रुप देन इट इज कॉल्ड सब ग्रुप अब यहां पर सब ग्रुप और सेमी ग्रुप में कंफ्यूज मत हो जाइएगा सेमी ग्रुप पहले वाले स्ट्रक्चर थे जो सिर्फ दो प्रॉपर्टी सेटिस्फाई करते हैं क्लोजर और एसोसिएटिव यहां पे ग्रुप ऑलरेडी हम बना चुके हैं उसका उस ग्रुप का कोई सबसेट ले रहे हैं और कह रहे अगर ग्रुप का सबसेट भी ग्रुप की प्रॉपर्टी सेटिस्फाई कर रहा है तो उसको सब ग्रुप कहके बुलाते हैं इन द कॉन्टेक्स्ट टू द बड़े वाला जो मेन ग्रुप होगा द आइडेंटिटी ऑफ द ग्रुप एंड इट्स सब ग्रुप इज ऑलवेज सेम जो आइडेंटिटी एलिमेंट है वो कभी चेंज नहीं होगा वो सेम रहेगा यूनियन ऑफ टू सब ग्रुप्स मे और मे नॉट बी अ सब ग्रुप बेसिकली एक ग्रुप है एक ग्रुप था उससे मान लीजिए एक सब ग्रुप आपने बनाया h1 एक सब ग्रुप आपने बनाया h2 ये कह रहा अगर दोनों का यूनियन कर दें तो रिजल्ट सब ग्रुप हो ये जरूरी नहीं है लेकिन इंटरसेक्शन करेंगे दैट इंपोर्टेंट प्रॉपर्टी तो रिजल्ट हमेशा सब ग्रुप होगा तो h1 h2 का अगर मैं इंटरसेक्शन कर दूं तो वो भी एक सब ग्रुप बनेगा यह ऑलरेडी प्रूव्ड बात है ठीक लग्र थ्योरम यहां पे चलती है वो क्या द ऑर्डर ऑफ अ ग्रुप इज ऑलवेज एगजैक्टली डिविजिबल बाय द ऑर्डर ऑफ द सब ग्रुप व्हाट इज ऑर्डर नंबर ऑफ एलिमेंट तो अगर कोई ग्रुप है और उसके कॉन्टेक्स्ट में अगर मैं कोई सब ग्रुप बनाता हूं तो वो हमेशा एगजैक्टली डिविजिबल होगा जैसे यहां देखिए 1 57 विद रेस्पेक्ट टू मल्टीप्लिकेशन मॉड्यूल 8 ये तो ऑलरेडी ग्रुप है हमने अभी थोड़ी देर पहले स्टडी किया है पूछ रहा है विच ऑफ द फॉलो फॉलोइंग सबसेट डज नॉट फॉर्म अ सब ग्रुप कौन-कौन इसमें सब ग्रुप बनेगा कौन-कौन नहीं बनेगा तो अगर आप ध्यान से नोटिस करें तो 0 * 0 विद मल्टीप्लाई ये कहां से आ गया ये तो रो तो एलिमेंट ही नहीं है इसे बाहर कर दो ये देखो वन बनेगा 1 * 3 इ 3 1 * 3 3 * 3 = 9 9 / 8 रिमाइंडर 1 अब ये देखो 1 57 का सिर्फ 1 3 एक सब सेट है बट ये सबसेट अपने आप में ग्रुप है विद द सेम ऑपरेटर विद द सेम आइडेंटिटी नाउ दिस इज कॉल्ड सब ग्रुप यह भी शायद सब ग्रुप बन जाए बिकॉज 5 * 5 25 25 / 8 रिमाइंडर 8 * 3 24 रिमाइंडर व यह भी ग्रुप बन गया सब ग्रुप बन गया 1 77 77 49 8 6 48 रिमाइंडर वन ये भी सब ग्रुप बन गया ये सब ग्रुप बन ही नहीं सकता बताऊं क्यों ऑर्डर ऑफ अ ग्रुप इफ डिवाइडेड बाय ऑर्डर ऑफ अ सब ग्रुप ले ग्रेंज थ्योरम कह रहा परफेक्टली डिविजिबल होना चाहिए ये कैसे होगा परफेक्टली डिविजिबल क्यों क्योंकि यहां पे ग्रुप का ऑर्डर फोर है ये टू है 2 डिवा बा 2 तो ठीक है अब यहां पे टोटल नंबर ऑफ एलिमेंट कितने है थ्री 4थ से डिविजिबल ही नहीं है नहीं हो पाएगा तो प्रॉपर्टी क्या कह रहा है किसी ग्रुप के आप अलग-अलग सबसेट बनाओगे अगर वो सबसेट भी ग्रुप है तो वो डिविजिबल होगा है ना तो फॉर एग्जांपल मैं बोलता हूं लेट मी से कोई ग्रुप है जिसका साइज है 15 15 एलिमेंट है उसके अंदर बताओ सब ग्रुप का क्या साइज होगा 15 को डिवाइड करने वाला या तो वन हो सकता है या तो ्र हो सकता है या तो फाइ हो सकता है या तो फिर खुद 15 ही बनेगा और कोई नहीं बना पाएंगे आप यह प्रॉपर्टी है अच्छा यह भी हो सकते हैं जरूरी नहीं है कि हो बट अगर सब ग्रुप हुआ तो इनमें से किसी एक साइज का होगा ये दोनों तो टिवि केस है मान लीजिए या तो थ्री होगा या तो फव होगा यह वाली कहानी है यह सिंपल क्वेश्चन सिंपल क्वेश्चन या जैसे यह देख लीजिए क्वेश्चन पूछ लिया किसी ने ग्रुप के अंदर 84 एलिमेंट्स है बताइए लार्जेस्ट साइज क्या हो सकता है प्रॉपर सब ग्रुप का क्योंकि प्रॉपर सब ग्रुप बोल दिया 84 तो मैं नहीं लूंगा 84 से छोटा कौन सा सबसे बड़ा नंबर है जो 84 को डिवाइड करेगा आई थिंक 42 42 / 84 उसके आगे जो डिवाइड होगा नहीं तो करेक्ट आंसर हो जाएगा 4242 नाउ दिस इज अ क्वेश्चन व्हिच इज डायरेक्टली बेस्ड ऑन लगजे थ्योरम है ना प्रॉपर्टी थ्योरम आपको बता तो यू कैन आंसर देम डायरेक्टली नाउ अब एक नई कहानी है सर एंड दिस इज अ स्टोरी ऑफ ऑर्डर ऑफ एलिमेंट अभी तक आपने समझा ऑर्डर ऑफ अ ग्रुप अब आपको समझाता हूं ऑर्डर ऑफ एलिमेंट और यह समझना बहुत जरूरी है बिकॉज ऑर्डर ऑफ एलिमेंट के बेस पर ही एक नया लॉजिक बनता है जिसको हम बोलते हैं साइक्लिक ग्रुप जनरेटर बहुत सारी चीजें हैं तो क्या है यह कहानी और क्या लॉजिक है अभी पहले ये थोड़ा सा थ्योरी बाद में इधर आ जाता हू आपको समझाता हूं प्रॉपर्टी क्या फिर समझोगे यह स्ट्रक्चर ऑलरेडी ग्रुप है है ना यह मैं पहले से पता है देर इज नथिंग न्यू इन दैट तो आप चाहो तो मैं दोबारा से भर भी देता हूं रोव 2 3 0 1 2 3 वन एंड वनटू एंड थी एंड 0 एंड वन एंड वन दिस इज थ्री एंड दिस इज जीरो एंड दिस इज वन एंड दिस इज जीरो एंड दिस इज वन एंड दिस इज टू ये बन गया अब ऑर्डर ऑफ ग्रुप का क्या मतलब होता है ऑर्डर ऑफ एलिमेंट का किसी भी एलिमेंट को ना अपने आप अपने साथ ऑपरेट करने दो अपने साथ ऑपरेट करने दो और देखो कि क्या रिजल्ट मिल रहा है उसकी पावर क्या है एक बात पहले और समझा देता हूं मैथ में अगर मैं लिखता हूं a का पावर टू है ना तो इसका मतलब होता है a मल्टीप्ला बाय a बाय डिफॉल्ट कोई बोलता नहीं इतना अलजेब्रा पढ़ चुके आप लेकिन ग्रुप थ्योरी में अगर मैं लिखता हूं a का पावर टू सर इसका मतलब a मल्टीप्लाई बाय a नहीं होता इसका मतलब a ऑपरेशन a होता है जो भी ऑपरेशन आप लगा रहे हो वो ठीक उदाहरण के लिए मान लीजिए वन को ले लेता हूं व्हाट इज वन का पावर वन आप बोलोगे सर वन का पावर वन तो वन ही होता काहे को पूछ रहे हो आई एग्री विद इट व्हाट इज वन का पावर टू अब वन का पावर टूवन मत बोल देना क्यों क्योंकि वन का पावर टू इज 1 मल्टीप्ला बाय 1 बट वो मैथ में ग्रुप थ्योरी में क्या कह रहे हैं ऑपरेशन क्या है ऑपरेशन है एडिशन मॉड्यूल तो वन का पावर वव का पावर टू इज नॉट 1 मल्टीप्ला बाय 1 इ वन एडिशन मॉड्यूल ऑफ फोर विद वन व्हिच इज टू बताओ बात समझ आती है क्या अब आगे बढ़ना जरा वन का पावर 3 क्या होगा दिमाग लगाओगे तो समझोगे ी हो जाएगा और वन का पावर 4 क्या होगा बताओ तो 4 - 4 अगेन यू गेट बैक रो वन का पावर 5 क्या होगा फिर से वन मिलेगा वन का पावर सि क्या होगा टू मिलेगा वन का पावर से क्या होगा फिर थ्री मिलेगा वन का पावर 8 पे दोबारा जीरो मिलेगा अब जरा एक बात नोटिस करो क्या वन के अलग-अलग पावर रखने से मुझे इस ग्रुप के सारे एलिमेंट नहीं मिल रहे नोटिस करो 0 1 2 3 0 1 2 3 साइकिल रिपीट हो रहा है हां हो रहा है है ना इसको बोलते हैं जनरेटर एलिमेंट तो अब यहां पर वन कौन है वन जनरेटर है कि जिसकी असेंडिंग पावर से मैं सारे एलिमेंट जनरेट कर पा रहा हूं पॉइंट नंबर वन पॉइंट नंबर टू जिस सेट में इस तरह का जनरेटर एलिमेंट हो वो कहलाता है साइक्लिक ग्रुप ये डेफिनेशन साइक्लिक ग्रुप की तो ऑर्डर ऑफ एलिमेंट ऑर्डर ऑफ ऑर्डर ऑफ एलिमेंट एंड देन जनरेट एंड साइक्लिक ग्रुप तीनों बात कवर हो जाती है एकएक करके अब दोबारा चलता हूं यहां देखिए अगर कोई सेट ऑपरेशन के रिस्पेक्ट में ऑलरेडी ग्रुप है देन उसका जो ऑर्डर है डिनोट किया जाता है ऑर्डर ऑफ ए से और इस बात का क्या मतलब है यहां देखिए ऑर्डर ऑफ़ a = n द स्मॉलेट पॉजिटिव इंटी जर सच दैट a का पावर n इ ट आइडेंटिटी कौन सा छोटे से छोटा पॉजिटिव वैल्यू है n का जिसके ऊपर दोबारा मुझे आइडेंटिटी मिले दैट इज कॉल्ड ऑर्डर तो जैसे यहां पर आप नोटिस करेंगे बताओ कौन सी छोटे इस सिस्टम की आइडेंटिटी कौन है सर इस सिस्टम का आइडेंटिटी है ज़ीरो बताओ a की कौन वन की कौन सी पावर पे अच्छा यहां किसी चीज की पावर ज़ीरो नहीं होती वन से शुरू करते हैं तो वन की कौन सी पावर पे मुझे दोबारा रो मिला सर व की पावर 4 पे रो मिला तो इसका मतलब ऑर्डर ऑफ 1 = 4 ध्यान से देखिए ऑर्डर का मतलब क्या है उस एलिमेंट की कौन सी पावर पे सिस्टम की आइडेंटिटी मिलती है जैसे टू पे करके दिखाता हूं आपको समझेगा 2 का पावर 1 इ 2 2 का पावर 2 इज टू एडिशन मॉड्यूल वि टू यू गेट 4 4 इज 4 - 4 यू गेट 0 2 का पावर 3 करेंगे तो ू मिलेगा अब दिमाग लगाते जाइएगा फिर रो मिलेगा अ 2 का पावर 5 करेंगे तो फिर टू मिलेगा टू का पावर 6 करेंगे फिर ज़ीरो मिलेगा यह ऐसे ही गोल-गोल घूमता रहेगा यस मुझे बताइए टू की कौन सी पावर पे आपको सिस्टम का आइडेंटिटी मिला सर टू पर मिला इसका मतलब ऑर्डर ऑफ़ टू इज आल्सो टू हम एक और केस देखिए थ्री का चेक करते हैं 3 का पावर 1 इज 3 3 का पावर 2 3 + 3 6 6 - 4 क्योंकि एडिशन मॉड्यूलर टू है ना तो 3 + 3 6 6 - 4 आपको 2 मिलेगा 3 का पावर 3 क्या मिलेगा बोलो 3 + 3 + 3 = 9 और 9 में से फर फर दो बार चले जाएंगे क्योंकि स्टेप बाय स्टेप चलूंगा तो कितना मिलेगा वन मिल जाएगा 3 का पावर 4 पे आई थिंक फाइनली आपको रो मिलेगा यह भी पैटर्न घूमता जाएगा तो थ्री के कौन सी पावर पे थ्री के कौन सी पावर पे आपको दोबारा आइडेंटिटी मिला सर फोर पे मिला तो ऑर्डर ऑफ़ थ्री इज़ फोर है ना अब दोबारा पढ़ लीजिए व्हाट इज़ ऑर्डर ऑफ एन एलिमेंट एलिमेंट की वो छोटे से छोटी पॉजिटिव पावर जिससे आइडेंटिटी वापस मिले दैट इज़ ऑर्डर ऑफ़ एलिमेंट ऑर्डर ऑफ एलिमेंट इज ऑलवेज वन आइडेंटिटी तो आइडेंटिटी यहां पर कौन था रो अभी रो की कौन सी पावर पे मेरे को रो मिलेगा 0 की पावर व पे मिल जाएगा तो आइडेंटिटी का ऑर्डर हमेशा वन होता है ऑर्डर ऑफ एन एलिमेंट एंड इट्स इवर्स इज ऑलवेज सेम ये चीज यहां पे नोटिस करने वाली है दरअसल आप नोटिस करिए वन का भी ऑर्डर फोर आया और थ्री का भी ऑर्डर फोर आया क्यों आया ये दोनों एक दूसरे के इवर्स भी है एक और बात बता देता हूं अगर वन जनरेटर है तो थ्री भी जनरेटर है देखिए इसने भी सब कुछ जनरेट कर दिया तो अगर आप जनरेटर है तो आपका इवर्स भी जनरेटर होगा यह भी प्रॉपर्टी है जो शायद मैंने यहां नहीं लिखी बट होल्ड करती है सो आगे लिखा होगा ऑर्डर ऑफ एन एलिमेंट एंड इट्स इवर्स इज ऑलवेज सेम ये आपने देख लिया ऑर्डर ऑफ एन एलिमेंट इन एन इनफा ग्रुप डज नॉट एजिस्ट यह बात तो ठीक ही है एक चीज और देख लो जो यहां नहीं लिखी बट यहां आपको बता रहा हूं क्योंकि ये साइक्लिक ग्रुप है साइक्लिक ग्रुप क्यों है क्योंकि इसमें जनरेटर है अगर किसी ग्रुप में एक भी जनरेटर हो जैसे यहां पर तो दो मिल गए और थ्र साइक्लिक ग्रुप है ऑर्डर ऑफ द जनरेटर एलिमेंट एंड ऑर्डर ऑफ द ग्रुप इज ऑलवेज द सेम तो जनरेटर का ऑर्डर कितना निकला फोर थ्री का भी और वन का भी और ग्रुप का ऑर्डर भी कितना है फोर मैच कर रहा ग्रुप में भी चार एलिमेंट है ये भी प्रॉपर्टी होल्ड करती है यस ये क्यूब रूट ऑफ यूनिटी दोबारा स्टडी करने के लिए बोल रहे हैं क्यों बोल रहे हैं नोटिस करना है भर लू टेबल ओमेगा ओमेगा स्क्व एंड देन ओमेगा स्क्वा एंड ओमेगा क्यूब एंड दिस इज़ ओमेगा क्या यह भी साइक्लिक ग्रुप है आई थिंक ओमेगा की पावर रख के देख लो ओमेगा का पावर व इज़ ओमेगा ओमेगा का पावर 2 इज़ ओमेगा स् ओमेगा का पावर 3 इज़ 1 यस सर यह भी साइक्लिक ग्रुप है बिकॉज़ ओमेगा इज़ अ जनरेटर ओमेगा का ऑर्डर क्या आया ओमेगा का ऑर्डर आया थ्री बिकॉज़ थर्ड वैल्यू पे मुझे सिस्टम का आइडेंटिटी मिला इस सिस्टम में आइडेंटिटी है वन तो क्या यह एक साइक्लिक ग्रुप है जी हां क्योंकि यहां पर दो जनरेटर हैं मुझे कैसे पता ओमेगा स् भी जनरेटर है क्योंकि दोनों एक दूसरे के इवर्स हैं और ओमेगा ओमेगा स्क्वा पर वन मिला ओमेगा स्क्वा ओमेगा पर भी वन मिला और मुझे पता है अगर एक जनरेटर हो तो उसका इवर्स भी जनरेटर ही होता है यह मुझे पहले से पता है सो दैट इज द आईडिया दैट इज अ लर्निंग जो मैं यहां पर अप्लाई कर पा रहा हूं यस और क्या समझना है जनरेटर का ऑर्डर कितना है थ्री ग्रुप में अंदर एलिमेंट कितने हैं थ्री तो वो प्रॉपर्टी मैच कर रही है फेर इनफ यहां भी चेक करिएगा आई थिंक दिस इज आल्सो साइक्लिक ग्रुप और यहां पर i और - आ दोनों जनरेटर मिलेंगे दोनों का ऑर्डर फोर होगा प्र है फिर तो करके देखना आप एक बार तो यहां पर कंक्लूजन र एलिमेंट ए इज सेड टू बी जनरेटिंग एलिमेंट इफ एवरी एलिमेंट ऑफ a इज एन इंटीग्रल पावर ऑफ a यानी कि ग्रुप के हर एलिमेंट को अगर आपकी असेंडिंग पावर से रिप्रेजेंट किया जा सके तो आप क्या कहलाते हैं आप कहलाते हैं जनरेटर और अगर ग्रुप के अंदर एक भी जनरेटर हो एटलीस्ट वन जनरेटर तो आप कौन बन जाते हैं आप बन जाते हैं साइक्लिक ग्रुप वाली प्रॉपर्टी साइक्लिक ग्रुप में अगर आप जनरेटर है तो आपका इवर्स भी जनरेटर होगा ग्रुप के अंदर जितने एलिमेंट है जो ग्रुप साइक्लिक ग्रुप का ऑर्डर है जनरेटर का जो ऑर्डर है वो हमेशा सेम होगा बेसिक ऑब्जर्वेशन करते आगे चल रहे हैं यस इज इट अ साइक्लिक ग्रुप ट्राई करके देखिएगा होमवर्क में यह मल्टीप्लाई है यह भी मल्टीप्लाई ही होगा डजन मेक सेंस ये भी होमवर्क में ये तो इतनी बार स्टडी कर चुके हैं मल्टीपल टाइम स्टडी किया है ट्राई करिएगा इसमें कौन-कौन जनरेटर होमवर्क में ट्राई करिए अब एक प्रॉपर्टी है नंबर ऑफ जनरेटर की यह बड़ी शानदार है सर यह कैसे काम करता है यह ऑब्जर्वेशन समझाता हूं यह भी ल ग्रंजी थ्योरम का एक और वेरिएंट है अगर कोई ग्रुप साइक्लिक ग्रुप है आपको ग्रुप पता भी ना हो कौन है बट आप उसमें निकाल सकते हो नंबर ऑफ जनरेटर कितने होंगे एंड दैट इज अ फार्मूला फार्मूला क्या कहता है फ ऑफ n रिप्रेजेंट्स द नंबर ऑफ जनरेटर इन अ साइक्लिक ग्रुप जिसके अंदर n नंबर ऑफ एलिमेंट ऑफ ऑर्डर एंड क्या कहता है ये कहता है इट इज n * p1 - 1 p2 -1 अप टिल अप टिल अप टिल pk-y डिवाइडेड बाय p1 * p2 अप टिल अप टिल pk2 क्या है ये है प्राइम फैक्टर्स ऑफ n समझाता हूं कैसे काम करता है जैसे ये देखिए ये एक ग्रुप है जिसका ऑर्डर एट है जरा इसके फैक्टर निकालो अब ये तो खैर क्योंकि एट ही है तो टू से डिवाइड करूंगा फोर मिलेगा फिर टू से डिवाइड करूंगा टू मिलेगा वन मिलेगा एक ही प्राइम फैक्टर है टू फार्मूला लगाओ कैसे काम करेगा n की वैल्यू क्या थी 8 प्राइम फैक्टर सिर्फ एक ही मिला तो टू मल्टीपल टाइम नहीं लिखना एक ही बार लिखना है तो इट इज ओनली सिर्फ p1 ही मिला मान लो डिवाइड बाय 2 तो यह कितना हुआ फोर ये कितना हुआ वन आंसर है फोर इसका मतलब थ्योरम कहता है अगर कोई साइक्लिक ग्रुप है जिसके अंदर आठ एलिमेंट है एट एलिमेंट देन हाउ मेनी जनरेटर विल बी देयर देयर विल बी फोर जेनरेटर्स दैट इज हाउ यू ऑपरेट एक और ट्राई कर लो 12 कैसे करोगे बोलो पहले टू से चलाओ सिक्स में मिलेगा फिर टू से चलाओ थ्री मिलेगा फिर थ्री से चलाओ वन मिलेगा कैसे काम करेगा फार्मूला व्हाट इज n n इज 12 दो प्राइम फैक्टर मिले 2 - 1 3 - 1 डिवाइड बाय 2 * 3 अब 2 दो बार भी आए तो भी एक ही बार लिखना है ध्यान रखिएगा कुछ लोग गलती कर देते हैं सो नाउ दैट इज वन एंड दैट इज टू टू से टू कैंसिल एंड 3 * 4 12 अगेन बाय चांस इसके अगर 12 एलिमेंट भी है अगर ग्रुप का ऑर्डर 12 है तो भी नंबर ऑफ जनरेटर कितने होंगे फोर ही होंगे तो मैंने कुछ सैंपल केस बना के रखे हैं यू कैन ट्राई देम ओके अब यहां से कहानी थोड़ी सी आगे बढ़ती है तो ग्रुप एलियन ग्रुप तक का डिस्कशन कंप्लीट हुआ उसके आगे कोसेट्स हो सकते हैं रिंग्स हो सकते हैं फील्ड्स हो सकते हैं तो ये क्या स्टोरी है और किस तरह से इस पे काम करना है आइए देखते तो चलिए अभी बात करते हैं कोसेट्स की अब कोसेट क्या कहानी है देखने में थोड़ा सा कॉम्प्लेक्शन ही लगेगा बट फैक्ट ये है क्योंकि बेसिक ग्रुप थ्योरी के ऊपर सॉलिड वाला अंडरस्टैंडिंग हम ऑलरेडी ले चुके हैं ना तो यहां भी खास कंफ्यूजन होगा नहीं तो आई विल गो वन बाय वन और जैसा यूजुअली आप हर टॉपिक में देखते हो यहां भी वही सच्चाई है पहली बार देखने में आपको यह सब कंफ्यूजन थोड़ा सा लगेगा बट व्हेन वीी गो विद द एग्जांपल्स एंड देन व्हेल आई विल कम बैक तो आप 100% रिलेट कर पाओगे तो आई विल गो वन बाय वन लेट कैपिटल ए बी अ सब ग्रुप ऑफ g तो सबसे पहले एक बात समझनी है कि पूरा गेम यहां भी जो सब ग्रुप एनालिसिस हम कर रहे हैं वहीं से चल रहा है एक सब ग्रुप है अ वेयर a कोई एलिमेंट है जो जी से बिलोंग करता है नाउ ए एंड ए है ना ए इज नोन न लेफ्ट कोसेट ऑफ g एंड ए इज सेट ट बी द राइट कोसेट ऑफ g तो बेसिकली एक सब ग्रुप हमें बनाना है और ये अगर मैं a को मल्टीप्लाई करता हूं h के हर एक एलिमेंट से तो ले लेफ्ट कोसेट बनेगा अगर ऑपरेट करता हूं राइट हैंड साइड पे रखे तो राइट कोसेट बनेगा एंड ये जो है ये ऑब् वियस जो हमारा मेन ग्रुप है उसके हमेशा प्रॉपर सबसेट मिलेंगे आइडेंटिटी के साथ आप मल्टीप्लाई करोगे तो आप जानते हो आइडेंटिटी एलिमेंट ही वो है जिसे जो किसी पे कोई फर्क डालता नहीं तो ओबवियसली यू आर गोइंग टू गेट द सेम एलिमेंट ये एक्चुअली कैसे काम करता है आई मस्ट फर्स्ट डिस्कस सम एग्जांपल तो यहां देखिए एक हमने ग्रुप बनाया अ ग्रुप अ अ सेट ऑफ इंटी जर्स अलोंग विद एडिशन तो ये तो आई थिंक हम ऑलरेडी प्रूफ कर चुके कोई कंफ्यूजन नहीं है इंटी जर एडिशन के साथ ग्रुप बनाता है है ना अब यहां देखो एक सेट हमने ले र है कैपिटल h और आप नोटिस करके मुझे बता सकते हो व्हाट इज़ कैपिटल h बेसिकली 2 * z आप ध्यान से देखेंगे तो व्हाट यूर गोइंग टू गेट अ सेट ऑफ इवन नंबर्स तो पहले मुझे बता दो क्या सेट ऑफ इवन नंबर्स ग्रुप का एक सेट है ग्रुप का एक सबसेट है हां है तो फिलहाल मैं इसको कोसेट कह के बुला रहा हूं है ना अब यहां पर गेम क्या है कि कोसेट मतलब क्या है ऐसा समझो यह है ग्रुप यह है इसका एक सब ग्रुप जिसको मैं बोल रहा हूं कोसेट हमें साथ-साथ क्या ढूंढना होता है इस कोसेट के कुछ और दोस्त हैं लेट मी से दिस इज कोसेट नंबर वन कोसेट नंबर टू कोसेट नंबर थ्री और हमें कोसेट मतलब आसपास के इसके बिरादर लोग इसके दोस्त लोग हैं और हमें देखना है कि ये कितने हो सकते हैं डिफरेंट डिफरेंट मैं एग्जांपल से बात करता हूं जैसे यहां देखो अगर मैं एकएक एलिमेंट से शुरू करूं और कोसेट के हर एलिमेंट में जीरो को ऐड करूं तो क्या कोई फर्क पड़ेगा अभी जीरो तो एडिशन का आइडेंटिटी है सर है ना तो ओबवियसली कोई फर्क नहीं पड़ेगा अगर इवन नंबर के एलिमेंट्स में हर समय हम जीरो जीरो ऐड करेंगे तो देर यू सी वी आर गोइंग टू गेट बैक द सेम वैल्यू नो चेंज एट ऑल यस बट अगर हम यहां पे वन ऐड करते हैं हर एलिमेंट के अंदर अब देखो क्या होगा तो वन ऐड करने के बाद नाउ दैट विल बी वन ये हो जाएगा + -3 ये हो जाएगा ् -5 तो आप नोटिस करो अगर ध्यान से तो बेसिकली व्हाट यर गोइंग टू गेट इज यू आर गोइंग टू गेट अ सेट ऑफ व्हाट अ सेट ऑफ ऑड नंबर्स बोलो हां या ना ् -5 + -7 ऐसा करके पूरा पैटर्न आपको मिलने लगेगा इधर आ जाओ अगर हम करते हैं h+ 2 ध्यान से देखना h + 2 करेंगे तो आई थिंक फिर वही जब यू नो उसमें एक और ऐड करोगे देन अगेन यू आर गोइंग टू गेट बैक द सेम वैल्यू तो बेसिकली बात ये समझ जाई अगर पैटर्न में आप देखोगे h + 0 करोगे तो आपको h मिलेगा + 1 करोगे तो आपको h+ 1 मिलेगा जो कि टेक्निकली एक डिफरेंट आईडिया है बट व्हेन यू डू h + 2 एक्चुअली आपको दोबारा से h मिलने लगता है व्हेन यू डू h+ 3 एक्चुअली आपको दोबारा से h+ 1 मिलने लगता है डू यू गेट दिस तो बेसिकली अगर क्वेश्चन पूछा जाए यहां पे हाउ मेनी डिस्टिंक्ट कोसेट्स आर पॉसिबल जो ज्यादातर केस में पूछा जाता है तो अलग-अलग कितने डिस्टिंक्ट को कोसेट हो सकता है यू कैन वेरी सिंपली से कि सर दो ही डिस्टिंक्ट कोसेट पॉसिबल है h और h+ 1 उसके आगे में कुछ भी कर स गेट बैक द सेम कोसेट है ना तो h आमतौर पे जब क्वेश्चन एग्जाम में आएगा ना तो एक कोसेट आपको गिवन रहेगा जो कि सब ग्रुप होगा एक सेट का और एक सबसेट होगा सेट का और आपको यही बताना है कि उसके करेस्पॉन्डिंग्ली दिखाता हूं यहां देखिए अगेन सेट ले लेते हैं इंटी जर का सेम और ये प्रीवियस ईयर क्वेश्चन है यूनिवर्सिटी का है ना तो देर इज अ सेट ऑफ इंटी जर विद रिस्पेक्ट टू एडिशन व्हिच ओबवियसली फॉर्म्स अ ग्रुप और जो कोसेट हम यहां पे स्टडी कर रहे हैं दैट इज 3z तो 3z का मतलब आप समझ सकते हो थ्री के फैक्टर वाले वैल्यू ले लेते हैं तो आपको बेसिकली रो मिलेगा ् -3 मिलेगा प् -6 मिलेगा लाइक दिस अब यहां पर आप देख सकते हो अगर मैं रो ऐड करूंगा तो क्या कोई चेंज होगा क्या नहीं सर आपको दोबारा से h ही मिलेगा अगर मैं वन ऐड करता हूं तो ध्यान से देखिए रो जो है सब में वन ऐड होता जाएगा 01 बन जाएगा 3 4 बन जाएगा 67 बन जाएगा -3 -2 बन जाएगा -6 -5 बन जाएगा और ओबवियसली आपको डिस्टिंक्ट चीज मिली तो इसका नाम मान लीजिए h+ 1 ही रहने देते हैं ठीक बात है फिर प्व करो h+ 2 तो प्लव फिर से करेंगे तो देर यू सी -5 -4 -2 -1 और हर वैल्यू एक एक एलिमेंट बढ़ती हुई नजर आ रही है तो यस सर दिस विल बिकम h+ 2 व्ट आईम आस्किंग इज जब आप h+ 3 करोगे तो बताओ माइन क्या बनेगा यह रो बनेगा यह थ्री बनेगा यह सक्स बनेगा यह नाइन बनेगा मुझे बताओ क्या दोबारा से पहले वाला पैटर्न समझ आ रहा है हां तो बेसिकली h+ 3 इज एक्चुअली नॉट अ न्यू डिस्टिंक्ट कोसेट इट इज एज गुड एज सेइंग h और यही पैटर्न फिर से रिपीट होने लगेगा प्लीज अंडरस्टैंड है ना तो अगर मैं थ्री के फैक्टर लेके चलता हूं तो नाउ यू कैन वेरी इजली टेल दैट हाउ मेनी डिस्टिंक्ट कोसेट्स आर पॉसिबल सो आई थिंक यहां मैंने लिख के भी रखा है थ्री डिस्टिंक्ट कोसेट्स आर पॉसिबल कौन-कौन से एक हुआ h एक हमारा हुआ h + 1 और एक हमारा हुआ h+ 2 और इस पैटर्न से आप एक लॉजिक भी निकाल सकते हो क्योंकि फैक्टर बाय फैक्टर हम आगे बढ़ रहे हैं ना तो अगर आप एक कोसेट बनाते n z के साथ मान लीजिए 4 ज बनाओगे तो उसके चार डिस्टिंक्ट कोसेट बनेंगे 5z बनाओगे उसके फाइव डिस्टिंक्ट कोसेट बनेंगे तो n के साथ करोगे तो हाउ मेनी डिस्टिंक्ट कोसेट्स आर पॉसिबल उस केस में एन डिस्टिंक्ट कोसेट्स आपको मिलेंगे तो आई थिंक एक बेसिक बेसिक अंडरस्टैंडिंग आपका डेवलप हो रहा है मॉड्यूल पर काम किए बिना कैसे हम काम कंप्लीट कर सकते हैं मॉड्यूल अ भी रिसेंटली सिखाया हमने उस परे काम करते हैं तो यहां देखिए एक सेट हमने ले लिया अ सेट ऑफ इंटी जर मॉड्यूल सिक्स यानी कि रो से लेके फाइव तक एलिमेंट होंगे अलोंग विद एडिशन मॉड्यूल सिक्स ऑपरेटर ओबवियसली जो उसी के साथ काम करेगा तो 0 से फ तक के एलिमेंट हमारे पास है कोसेट पहले से आपको गिवन है व्हिच इज लाइक 03 चलिए ट्राई करते हैं तो मुझे बताएं फिर वही कहानी अगर ् 0 करेंगे तो कोई चेंज आएगा क्या ऑब्स कोई चेंज नहीं आएगा यू विल गेट द सेम थिंग अब जब + 1 करेंगे तो 0 + 1 विल बिकम 1 3 + 1 विल बिकम 4 सो व्हाट यू गेट 1 4 डिफरेंट है डिस्टिंक्ट है वेरी गुड फिर से + व करो फिर से + व करोगे तो यू गेट हियर टू हियर यू गेट फाइव तो व्हाट यू गेट यू गेट h+ 2 अगेन एक नई बात सीखने को मिली वेरी गुड फिर से + 1 करो तो इधर + व करोगे इधर + व करोगे तो र यू गेट थ्री हियर यू गेट रो एंड देर यू सी अगेन यू गेट बैक द सेम वैल्यू नोटिस कर पा क्या तो यहां पर भी आप देखोगे तो हमें फिर से वही पुरानी वैल्यू मिल रही है और आगे जाओगे तो फिर से यही पैटर्न रिपीट होगा तो कितने डिस्टिंक्ट क्या-क्या मिला h मिल रहा है h+ 1 मिला और h+ 2 मिला तो ओवरऑल थ्री डिस्टिंक्ट कोसेट्स यहां पर हमारे पॉसिबल हो जाते हैं नोटिस करिए हाउ मेनी थ्री डिस्टिंक्ट कोसेट्स आर पॉसिबल यस और एक और चीज यहां पे नोटिस करने वाली है वी हैव 1 4 वी हैव 2 5 वी हैव 0 अब इन सबको जब मैं य ययन करूंगा डिस्टिंक्ट क्यों आप देखो कुछ भी कॉमन नहीं है बट जब इन सबको यूनियन करेंगे तो क्या हमें दोबारा जो हमारा पेरेंट सेट है जी मिलने लगेगा हां तो कोसेट्स अगर सही तरीके से प्रॉपर बनाए जाए उन सबका जब हम यूनियन करते हैं अगेन वी गेट बैक द सेम सेट यस तो आई थिंक कोसेट्स की एक बेसिक अंडरस्टैंडिंग एक बेसिक आईडिया आपको क्लियर हुआ होगा अब एक नई कहानी है जहां पर तीन स्ट्रक्चर्स आमतौर पर हम पढ़ते हैं वन इज कॉल्ड रिंग वन इज कॉल्ड इंटीग्रल डोमेन एंड वन इज कॉल्ड द फील्ड ये आपस में रिलेटेड है बट एक बड़ा चेंज है जो पहले ग्रुप थ्योरी हम पढ़ रहे थे और जो यहां पर हम पढ़ेंगे क्या चेंज होगा नोटिस करो अभी तक हम कोई भी एक सेट लेते थे है ना और उस सेट को एक सिंगल ऑपरेटर के साथ हम स्टडी करते थे अभी तक हमने यही किया है क्या एक सेट पे एक साथ दो ऑपरेटर स्टडी किए जा सकते हैं क्या अब अगर दो ऑपरेटर फिलहाल मान लीजिए मैं इसका एक पहले ऑपरेटर का नाम स्टार वन दूसरे का स्टार टू रख दूंगा तो किया तो जा सकता है बट फिर आपको दो-तीन काम करने पड़ेंगे आपको सारी की सारी प्रॉपर्टी स्टार वन के साथ भी चेक करनी पड़ेगी और फिर वो सारी प्रॉपर्टी स्टार टू के साथ भी चेक करनी पड़ेगी बोलो हां या ना हां सर करनी तो पड़ेगी तभी पता लगेगा दूसरा स्टार वन और स्टार टू का आपस में क्या रिलेशनशिप है वो भी ऑब्जर्व करना पड़ेगा जो कि हम करेंगे डिस्ट्रीब्यूटर ऑपरेशन के साथ तो सारी कहानी कैसे होगी नोटिस करिए और एक नया स्ट्रक्चर जन्म लेगा जो सबसे सिंपल नेचर का होगा स्टार्टिंग में दो ऑपरेटर के साथ जिसको हम बोलेंगे रिंग डेफिनेशन देखिए अ रिंग इज अलजेब्रिक स्ट्रक्चर हां नोटिस करिए एक या दो दो ऑपरेशन लगे हुए हैं हालांकि इस बार आमतौर पे स्टार से नहीं हम मल्टीप्ला प्लस एडिशन का सिंबल और डॉट आमतौर पे कुछ लोग मल्टीप्लाई भी लिख दे तो कुछ लोग डॉट लिखते हैं वेयर r इज़ अ नॉन एमटी सेट प्लस एंड डॉट आर टू बाइनरी ऑपरेशंस प्लीज मेक ए नोट ऑफ़ दिस पॉइंट मीन जनरल यह नहीं बोल रहा कि यह एडिशन और मल्टीप्लाई ही है हालांकि यह भी एक फैक्ट है कि आमतौर पे एडिशन मल्टीप्लाई ही लेके चलता है बट स्टिल फिलहाल हम यह नहीं कह रहे कि एडिशन मल्टीप्लाई है व्हिच कैन बी डिफरेंट वह ब्रैकेट में लिखा भी है है ना पढ़ो आप व कैन बी डिफरेंट फ्रॉम एडिशन एंड मल्टीप्लिकेशन अब आगे कंडीशन क्या है एंड टू कंडीशंस आर सेटिस्फाइड पहला देखो पहले ऑपरेटर के साथ r को क्या बनाना पड़ेगा एलियन ग्रुप बनाना पड़ेगा एलियन ग्रुप बनाने की कंडीशंस तो नहीं बोले पांच कंडीशन है सीक्वेंस में क्लोजर होना चाहिए एसोसिएटिव होना चाहिए आइडेंटिटी होना चाहिए इवर्स होना चाहिए कम्युलेटिव होना चाहिए बट विथ सेकंड ऑपरेटर यू सी यहां थोड़ी लिबर्टी देखने को मिल रही है क्यों कि डॉट ऑपरेटर के साथ या इन जनरल मल्टीप्लाई के साथ नहीं कह रहा कि ग्रुप बनाओ या बिलियन ग्रुप बनाओ बोल रहा ह सेमी ग्रुप चलेगा व्हाट इज द सेमी ग्रुप हमने समझा सिर्फ क्लोजर और एसोसिएटिव अगर दो कंडीशन भी होल्ड कर जाता है तो वसीए सेमी ग्रोप तो अगर ये कहानी हो गई अलोंग विद डिस्ट्रीब्यूटर प्रॉपर्टी तो यहां पर नोटिस करिए डॉट जो है वो प्लस के रेस्पेक्ट में डिस्ट्रीब्यूटर पे इट इज मल्टीप्लिकेशन तो आप देखोगे तो a ब एंड a स इधर मिल रहा है सिमिलरली अगर डॉट को मैं लास्ट में रखता हूं तो भी a स और बड स मिलेगा लाइक दिस यह सारी प्रॉपर्टी अगर होल्ड करती हैं तो स्ट्रक्चर कहलाता है रिंग फॉर एग्जांपल अगर सच में अब इंटी जर को ही ले ले अ सेट ऑफ इंटी जर विद रिस्पेक्ट टू एडिशन एंड विद रिस्पेक्ट टू मल्टीप्लिकेशन तो क्या यह रिंग बनाएगा आई थिंक बना लेगा कैसे एडिशन के रेस्पेक्ट में तो एलियन ग्रुप हम पहले ही प्रूफ कर चुके इसी वीडियो में पहले मल्टीप्लिकेशन पे भी हम प्रूफ कर चुके ओबवियसली ग्रुप तक नहीं जाता बट यह मोनोट तक तो जाता है हमें तो सेमी ग्रुप ही चाहिए और मल्टीप्ल इन जनरल डिस्ट्रीब्यूटर है टुवर्ड्स एडिशन तो 110 पर ये रिंग बनेगा सो दैट इज आईडिया ऑफ रिंग दो अगेन दिस इज नॉट दैट इंपॉर्टेंट जितना ग्रुप और वो सब पूछा जाता है बट हां इन केस कभी कोई आपसे पूछे ले रिंग क्या होता है डेफिनेशन प्रॉपर्टीज एग्जांपल एक लिख के होगे दे य विल गेट द फुल मार्क्स नाउ अब जैसे-जैसे हम रिस्ट्रिक्शन बढ़ाते जाएंगे वैसे-वैसे यहां भी लेवल बढ़ता जाएगा अगला लेवल है सर इंटीग्रल डोमेन का व्हाट इज इंटीग्रल डोमेन देखिए अ रिंग बिकम इंटीग्रल डोमेन इफ इट इज कम्यूटर रिंग विद यूनिटी विदाउट जीरो डिवीजन तो साधारण भाषा में समझाता हूं पहला जो पहला है अगेन एडिशन और मल्टीप्लिकेशन दो आईडिया है पहला वाला तो ऑलरेडी हम ए बिलियन ग्रुप बना रहे उससे ज्यादा क्या बनाएंगे उससे हाई स्ट्रक्चर है ही नहीं तो लेट इट बी अ बिलियन ग्रुप ओनली सेकंड वाला इस सेमी ग्रुप वो रहेगा जो रिंग में था बट कुछ एडिशनल कंडीशन यहां पर क्या कम्यूटर प्रॉपर्टी भी होल्ड करनी पड़ेगी विद यूनिटी जी हां क्योंकि सेमी ग्रुप तो कम्युलेटिव चाहिए नहीं होता बट एडिशनल बोल रहा है कम्युलेटिव चाहिए दूसरी बात आप देखेंगे विदाउट जीरो डिवीजन यानी कि अगर a ब का वैल्यू रो आ रहा है तो या तो a 0 है या तो b0 इन्हीं की वजह से आ रहा कोई रो डिवाइजर यहां पर नहीं है तो अगर ये कंडीशन हम फॉलो करते हैं तो हम इसे बोलने लगते हैं इंटीग्रल डोमेन अगेन जो सेट ऑलरेडी हमने डिस्कस किया है द सेट ऑफ इंटी जर्स विद एडिशन एंड मल्टीप्लिकेशन इज अ इंटीग्रल डोमेन ये कंडीशन सेटिस्फाई होता है उसके अलावा अगर आप देखेंगे आप इसमें यू नो यू कैन टेक रेशनल नंबर यू कैन टेक रियल नंबर इवन यू टेक टेक यू कैन टेक कॉम्प्लेक्टेड डोमेन है इवन लुक एट दिस सेट ऑफ इंटी जर्स अ अगर हम लेते हैं विद रिस्पेक्ट टू एडिशन मॉड्यूल 3 एंड मल्टीप्लिकेशन मॉड्यूल 3 ये भी हमारा इंटीग्रल डोमेन बनाता है एक एग्जांपल लेके समझा देता हूं मॉड्यूल थ पे तो काम करना आसान है तो कौन-कौन से तीन ही एलिमेंट आएंगे सर 0 1 2 0 1 2 एक बार बनाना है एडिशन मॉड्यूल और दूसरी बार हमको बनाना है मल्टीप्लिकेशन मॉड्यूल सो अगेन 0 1 2 0 1 नाउ लुक एट दिस कैसे काम करेगा एडिशन सो 0 1 2 0 1 2 एंड दिस इज व एंड 1 2 एंड दिस इज लाइक ़ एंड दिस इज रो एंड दिस इज वन मल्टीप्लाई में बोलो कैसे चलेगा ये तो आप जानते ही हो सो दिस इज 0 0 0 कोई प्रॉब्लम नहीं है नाउ 1 * 1 विल कम वन नाउ दैट बिकम टू दैट बिकम टू एंड 2 * 2 4 4 / 3 रिमाइंडर वन तो देखिए यहां पे आप देखेंगे फर्स्ट वाले प तो आई थिंक सारी प्रॉपर्टी सेटिस्फाई हो रही है एंड दिस विल 110 पर बिकम ए बिलियन ग्रुप है ना ऑलरेडी हम प्रूफ कर चुके हैं इधर आप देखोगे यह ग्रुप नहीं है बट ग्रुप हमें चाहिए भी नहीं सेमी ग्रुप तक हम चलते हैं उसके बाद आप देख सकते हो कम्यूटर प्रॉपर्टी मल्टीप्लिकेशन इज इन जनरल कम्युलेटिव और रही बात देखिए जहां भी आपको जीरो मिला जहां भी रो मिला क्या दोनों में से रो या कॉलम में से एक ज़ीरो है कि नहीं है हां तो वही तो लिखा था a b = 0 इफ आदर a या b 0 है सो दैट इज अ वेरी गुड एग्जांपल ऑफ इंटीग्रल डोमेन और इस चैप्टर का इस आइडिया लास्ट लॉजिक क्या हो सकता है फील्ड पहले वाले पर तो रिस्ट्रिक्शन लगा रखे अब दूसरे पर और क्या लगाए तो सीधे पॉइंट प आ जाता हूं पहले वाले तो एलियन ग्रुप चाहिए ही चाहिए दूसरे वाले ऑपरेटर के साथ भी एलियन ग्रुप बना सकते हैं क्या अलंग विद वही प्रॉपर डिस्ट्रीब्यूटर प्रॉपर्टी ट्राई किया जा सकता है बट मजे की बात क्या है मल्टीप्लिकेशन के साथ अगर मैं इंटी जर का एग्जांपल ले लू या रियल नंबर का किसी का भी कैसे आप यू नो आइडेंटिटी लेके आओगे मल्टीप्लिकेशन का आइडेंटिटी याद करो क्या है वन रो को कैसे मल्टीप्लाई करूं तो यहां देखो ब्रैकेट में एक एक्सेप्शन क्या दे रहा है इवर्स शुड एजिस्ट फॉर एवरी नॉन जीरो एलिमेंट तो कह रहा है कि हमें पता है कि नहीं बनेगा तो रो को छोड़ दो रो के लिए अगर इवर्स नहीं भी बना पा रहे तो बता दो हां सर रो ही प्रॉब्लम था अगर रो के लिए ठीक है तो जैसा रेशनल नंबर की बात कर लेता हूं तो फॉर एग्जांपल अ टू का लेट मी से टू का इवर्स क्या होगा टू को किस चीज से मल्टीप्लाई करें 1/2 कर लेते हो कोई प्रॉब्लम नहीं है तो होल्ड कर लेंगे सो नाउ दैट बिकम द आइडिया तो रियल नंबर की आप बात करें या रेशनल नंबर की बात करेंगे इवन जो एक मिनट पहले हमने ऑपरेटर पढ़ा यू कैन हैव अ लुक टू इट क्या यह भी हमारा फील्ड बन जाएगा सारी प्रॉपर्टी तो होल्ड कर रही है रही बात जीरो की इवर्स की उसका आपने मुझे एक्सेप्शन दे दिया वहां मुझे आइडेंटिटी जनरेट करने की जरूरत नहीं है है ना तो यह कहानी थी सर रिंग की इंटीग्रल डोमेन की और फील्ड की दो ऑपरेटर यहां पर आ जाते हैं एक बार अगर जल्दी से रिवाइज कर ले रिंग के केस में सिर्फ सेमी ग्रुप चाहिए यहां पे सेमी ग्रुप विद कम्यूटर प्रॉपर्टी और ये नॉन ज़ीरो नॉन ज़ीरो डिवाइजर वाली बात चाहिए और फील्ड के केस में दोनों ए बिलियन ग्रुप चाहिए लेकिन ज़ीरो को हमने एक्सेप्शन दे दिया यस दैट विल बी ऑल सो नाउ नेक्स्ट चैप्टर इज ग्राफ तो ग्राफ अपने आप में एक बड़ा सब्जेक्ट है लेकिन यहां पे बड़े स्पेसिफिक तरीके से कुछ सर्टेन सेट ऑफ क्वेश्चंस पूछे जाते हैं तो मैं सिलेबस के हिसाब से इन जनरल जो जो आपको पता होना चाहिए ग्राफ थ्योरी के अंदर वो सारे इंपॉर्टेंट पॉइंट डिस्कस करूंगा ओके सर बात करते हैं ग्राफ थ्योरी की सो व विल डायरेक्टली जंप इन टू द आईडिया पहले समझते हैं व्ट इज अ ग्राफ तो देखिए ग्राफ हम बोल सकते हैं बेसिकली दो चीजों से मिलके बना होता है एक हमारे पास है वर्टिसेज एंड सेकंड व्हाट डू वी हैव इज एजेस सो आई विल गो वन बाय वन अ ग्राफ इज अ स्ट्रक्चर बेसिकली दो चीज है आप देख रहे हैं g इज डिफाइंड ऑन वर्टिसेज एंड एजेस तो आपके पास एक सेट ऑफ वर्टिसेज होगा यन सेट ऑफ एजेस और एजेस भी जो है ना वो आप समझो एक तरह का रिलेशनशिप है अ बिटवीन द वर्टेक्स तो कैन आई से अ सपोज अगर इस एज का नाम मैं रख देता हूं e3 फॉर या e2 रख देता हूं फॉर एग्जांपल तो e2 लिखना या मैं ब्रैकेट में यह लिख दूं इट इज एज गुड एज सेइंग c d एक ही बात है सो एज इज अ काइंड ऑफ़ अ रिलेशनशिप बिटवीन द पेयर ऑफ वर्टिसेज दो बातें हैं दो तरह के ग्राफ की तो खैर बहुत सारी वैरायटी है तो दो तरह से आप चीजों को ऑब्जर्व कर सकते हैं एक हम बोलते हैं डायरेक्टेड ग्राफ एक बोलते हैं अनडायरेक्टेड ग्राफ तो अगर यह सिर्फ एक एज है एंड बेसिकली c d एंड d c सेम बात है देन इट इज जस्ट अनडायरेक्टेड ग्राफ बट इमेजिन करो ये एक डायरेक्टेड ग्राफ है तो उस केस में दैट विल बी ऑर्डर्स है ना तो उस केस में एज e2 को मैं c d से तो रिप्रेजेंट कर सकता हूं बट ऑब् वियस d c से नहीं कर सकता तो एक रिलेशनशिप एक आईडिया है वर्टिसेज आप समझ गए एजेस आप समझ गए एंड यू नो कि दो लॉजिक हो सकते हैं इट कुड बी बेसिकली अनडायरेक्टेड इट कुड बी डायरेक्टेड और बहुत सारी वैरायटी है जैसे एल्गोरिथम वगैरह में डेटा स्ट्रक्चर्स में हम पढ़ते हैं वी आल्सो स्टडी वेटेड ग्राफ तो फॉर एग्जांपल b टू c जैसा आप देख रहे हैं तो आई विल एसोसिएट सम वेट फॉर एग्जांपल 3 4 कोई एसोसिएट कर देते हैं उस बेस पे डिस्टेंस कैलकुलेट करना या मिनिमम स्पैनिंग ट्री निकालना उस तरह के अलग-अलग प्रॉब्लम्स हम बना पा रहे होते हैं सो दिस इज द बेसिक आइडिया दो तीन इंपॉर्टेंट बातें कभी-कभी पढ़ते हुए बाद में काम आएगा किसी क्वेश्चन में आ सकता है सेल्फ लूप क्या होता है है ना तो इफ देर यू सी दिस इज एन एग्जांपल तो अगर किसी एज के दोनों एंड पॉइंट सेम वर्टेक्स में है तो इस तरह के आईडिया को इस तरह के एज को हम क्या बोलते हैं वी कॉल्ड इट सेल फ्लू नेक्स्ट व्हाट डू वी हैव इज पैरेलल एज तो देर यू सी एन एग्जांपल अगर किसी पेयर ऑफ वर्टेक्स के बीच में एक से ज्यादा एज है एक से ज्यादा एज है यानी कि दो एजेस जिनके दोनों एंड पॉइंट सेम है देन वी कॉल्ड दोज एजेस एज पैरेलल एजेस तो दिस इज ए एग्जांपल ऑफ़ पैरेलल एजेस एडजेसेंट वर्टेक्स सो व्हेन कैन वी से टू वर्टिसेज आर एडजेसेंट व्हेन यू नो दे आर कनेक्टेड बाय अ सिंगल एज किसी एज से कनेक्टेड है जैसे फॉर एग्जांपल मैं आपसे बोलूं क्या b और c एडजेसेंट है हां दे यू सी देर इज एन एज कनेक्टिंग देम तो आस पड़ोस में है पड़ोसी एक दूसरे के ब अगर मैं आपसे पूछूं क्या बी और e एडजेसेंट है तो दे यू सी बी और e एडजेसेंट नहीं है लद दे इज अ पाथ रीचे बल होना अलग बात है आगे बात करूंगा रीचबॉन्ड जेसेंटर दे आर कनेक्टेड बाय अ कॉमन वर्टेक्स e तो इसके थ्रू कनेक्ट हो र हैं यह बात समझ आती है तो दीज आर सम ऑफ द बेसिक आइडियाज जिसके थ्रू हम काम कर रहे होते हैं और आगे बढ़ रहे होते हैं नेक्स्ट यू सी अब जैसे हमने सेट थ्योरी जब स्टडी की आप याद करो तो सेट में भी हमने दो एक्सट्रीम स्टडी किए थे है ना एक जिसको हम बोलते हैं यूनिवर्सल सेट एक बोल रहे थे एमटी सेट हमने रिलेशनशिप स्टडी किया वहां भी दो एक्सट्रीम थे एक था कार्टीजन प्रोडक्ट एक था एमटी रिलेशन उसके बाद हमने लॉजिक स्टडी किया अ तो वहां पर भी हमने या पहले बोल देता हूं लेटस स्टडी किया वहां भी दो एक्सट्रीम थे अपर बाउंड लोअर बाउंड तो ग्राफ में भी दो यू नो एक्सट्रीम हो सकते हैं वन इज कॉल्ड द कंप्लीट ग्राफ और अ फुल ग्राफ नाउ व्हाट इज दैट कितने भी वर्टेक्स आपको लेने हैं आप लोग द पॉइंट इज वी ट्राई टू हैव मैक्सिमम पॉसिबल नंबर ऑफ एजेस दैट इज हर वर्टेक्स को हर वर्टेक्स से कनेक्ट कर दो लेकिन दो बातों का ध्यान रखना है ना तो नाइ दर वी कैन हैव सेल्फ लूप्स नॉर वी कैन हैव पैरेलल एजेस तो किसी भी दो फॉर एग्जांपल इफ दिस हैज फोर वर्टेक्स देर यू सी 1 2 3 4 तो इन चार वर्टेक्स में मैं किसी भी दो वर्टेक्स के बीच में एक से ज्यादा एज नहीं लगा सकता दैट इज़ पॉइंट नंबर वन और सेल्फ लूप भी नहीं लगा सकता अगर इस रिस्ट्रिक्शन में रहते हुए मैं काम कर पा रहा हूं देन वी कैन से द ग्राफ इज़ नोन एज़ कंप्लीट ग्राफ और फुल ग्राफ तब बोल सकते हैं दैट ग्राफ इज़ कंप्लीट ऑल फुल तो जैसे आप देख सकते हैं इनको आमतौर पे के सबस्क्रीन करते हैं वेयर k स्टैंड्स फॉर कंप्लीट है ना हालांकि कंप्लीट की डेफिनेशन स्पेलिंग c से शुरू होती है बट यहां k यूज़ करते हैं तो लुक एट दिस दिस इज k5 पांच वर्टेक्स पे इससे ज्यादा कॉम्प्लेक्टेड वर्टेक्स से कनेक्टेड है दे यू सी k6 एंड देर यू सी k7 तो जैसे जैसे नंबर ऑफ़ वर्टिक्स हम बढ़ाते जाएंगे ऑब् वियस नंबर ऑफ़ एजेस भी बढ़ती जाएंगी एंड लाइक वी आल्सो हैव अ फॉर्मूला फॉर दिस दैट इज़ अगर किसी ग्राफ के अंदर n नंबर ऑफ वर्टिसेज हैं तो मैक्सिमम कितनी एजेस हम रख सकते हैं सर तो मैक्सिमम नंबर ऑफ़ एजेस इज n नटू वेरी वेल नोन वेरी पॉपुलर फॉर्मूला मैस टोपोलॉजी नेटवर्क में हम पढ़ते हैं वो भी इसी पे बेस्ड है सो मैक्सिमम कितने रख सकते हैं n * n - 1/2 सो यू यू कैन लुक एट दिस एग्जांपल जैसे मान लीजिए कोई भी ले लेता हूं एक वर्टेक्स है तो अगर मैं एक वर्टेक्स हूं और टोटल वर्टेक्स n है तो बताओ मैं कितने से कनेक्ट करूंगा देन सर मैं कनेक्ट करूंगा n - 1 से ध्यान से समझिए मैं अगर वन हूं और बाकी सब अलग-अलग है देन आई विल बी कनेक्टिंग विद विद n -1 वर्टिसेज बहुत सिंपल बात है सिमिलरली ये भी n -1 से कनेक्ट करेगा ये भी n -1 से कनेक्ट करेगा तो टोटल कितने होंगे n नंबर ऑफ वर्टेक्स है और हर कोई बचे हुए n -1 से कनेक्ट कर रहा है बट याद रखिए कोई भी एज हम एक बार काउंट कर रहे हैं कि दो बार दो बार काउंट कर रहे हैं येज इधर भी काउंट हुआ और इधर भी काउंट हुआ सो इट इज बेटर टू डिवाइड इड बाय टू सो n * n - 1 / बा 2 इज द मैक्सिमम नंबर ऑफ एजेस अ सिंपल ग्राफ कैन हैव दैट इज अ ग्राफ विदाउट सेल्फ लूप एंड विदाउट अ पैरेलल एज है ना यह कहानी है एंड दैट इज नोन एज कंप्लीट ग्राफ और फुल ग्राफ इसको हम क्या बोलते हैं कंप्लीट ग्राफ और फुल ग्राफ आगे बढ़ते हैं अब एक और इंपॉर्टेंट अच्छा एक और मैं बोल देता हूं आई डोंट नो रिक्वायर्ड ऑर नॉट बट क्या ऐसा भी अगर बिल्कुल दूसरा एक्सट्रीम समझे उसको बोलते हैं नल ग्राफ व्हाट इज अ नल ग्राफ सो अ नल ग्राफ इज अ ग्राफ व्हिच मे हैव एनी नंबर ऑफ वर्टिसेज बट विदाउट एन एज तो यहां पर मैं मैक्सिमम एजज लगा रहा हूं और वहां पर बोलता हूं वर्टेक्स आप कितने भी लगाओ बट कोई किसी से कनेक्ट नहीं होगा बिकॉज़ एज हम लगा ही नहीं सकते तो उसको बोलते हैं नल ग्राफ ही एम्टी ग्राफ तो ध्यान रखना कंप्लीट ग्राफ फुल ग्राफ विद अ मैक्सिमम नंबर ऑफ़ एजेस नल ग्राफ विद अ मिनिमम माइनस ज़ीरो नंबर ऑफ़ एजेस दिस इज़ द आइडिया नेक्स्ट इज़ डिग्री अभी डिग्री का क्या लेना देना है देखिए अ डिग्री ऑफ़ अ वर्टेक्स को हम कैसे डिफाइन करते हैं डिग्री ऑफ़ अ वर्टेक्स इन एन अन ऑर्ड ग्राफ इज़ द नंबर ऑफ एजेज एसोसिएटेड विद इट तो किसी भी वर्टेक्स के साथ हम कितनी एज एसोसिएट कर रहे हैं यह कहलाता है डिग्री ऑफ दैट वर्टेक्स है ना और ओबवियसली जैसे यहां पे आप देख रहे हैं अच्छा लिखा भी है वैसे व्हाट इज डिग्री ऑफ d 1 2 3 4 डिग्री फर है व्हाट इज डिग्री ऑफ c एक ही कनेक्टेड है डिग्री वन है व्हाट इज डिग्री ऑफ आ दे यू सी दो वर्टेक्स कनेक्ट है डिग्री टू है वेरी वेरी सिंपल आर्गुमेंट अच्छा क्योंकि इन जनरल हम ग्राफ थ्योरी में अनडायरेक्टेड ग्राफ डिस्कस करेंगे तो डिग्री इज डिग्री अदर वाइज एक और प्रॉब्लम आती है मान लीजिए सपोज इफ वी हैव अ डायरेक्टेड एज तब उसमें फिर हम देखते हैं इन डिग्री एंड आउट डिग्री है ना तो देर यू सी यहां पर समझेंगे a का इन डिग्री क्या है इन डिग्री माने इनकमिंग एज तोसे इन डिग्री जीरो है बट आउट डिग्री वन है सिमिलरली d का इन डिग्री क्या है इन डिग्री वन है बट आउट डिग्री ज़ीरो है तो इस तरह से हम ऑब्जर्व कर सकते हैं है ना सो नाउ दैट इज द आइडिया ऑफ डिग्री ऑफ वर्टेक्स और हर वर्टेक्स का डिग्री अकॉर्डिंग ऑब्जर्व कर पा रहे है कोई प्रॉब्लम नहीं है आगे बढ़ते हैं नेक्स्ट व्हाट डू वी हैव इज अ हैंड शेकिंग थ्योरम अब हैंड शेकिंग थ्योरम क्या ये समझिए अगर एक आईडिया क्या है अब जैसे किसी वर्टेक्स का डिग्री लेट मी से द डिग्री ऑफ़ एनी वर्टेक्स इज डिनोटेड बाय d ऑफ v v इज द नेम ऑफ अ वर्टेक्स अगर ग्राफ के अंदर जितने भी वर्टिसेज हैं प्लीज अंडरस्टैंड जितने भी वर्टेक्स हैं अगर सारे वर्टेक्स के डिग्री का हम सम कर दें सो आई वांट टू डू अ समेशन फ्रॉम i = 1 टू i = n तो 1 से लेक n तक अग सारे वर्टेक्स की डिग्री को हम सम कर दें तो वी कॉल्ड इट टोटल नंबर ऑफ क्या रिज रिजल्ट आएगा वो आएगा 2 इनटू नंबर ऑफ एजेस दैट इज नोन एज हैंड शेकिंग थ्योरम 2 इन नंबर ऑफ एजेस क्यों ध्यान से देखो ना कोई भी ए जब किसी ग्राफ में आता है वो कितनी डिग्री लेके आता है दो डिग्री लेके आएगा ना उसके दो एंड पॉइंट नोटिस करो एक मान लीजिए a है एक मान लीजिए d है बोलो हां या ना हां सर दो एंड पॉइंट है बात तो सही है और जब बाहर जाएगा तो दो डिग्री लेके जाएगा तो एक बार ट्राई करें ये सबका डिग्री सम तो लिखा ही हुआ है जरा सम कर लेते हैं सो वन एंड वन एंड वन तीन 3 और 4 7 और 4 11 12 12 और 6 18 और 18 और 4 22 22 एक बार देखना कितनी एजेस है सो 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 सो दे यूसी बिल्कुल सही कैलकुलेशन है क्योंकि 2 * 11 जब मैं करूंगा तो यस आई एम गोइंग टू गेट 22 तो क्या कंक्लूजन है किसी ग्राफ के अ जितने भी वर्टिसेज अगर सबके डिग्री को हम सम करते हैं तो वी गेट द समस टू इनटू नंबर ऑफ एजेस वाई बिकॉज व्हेन एवर अ एज कम क्योंकि एज के दो एंड पॉइंट है तो वो किसी ग्राफ के वर्टेक्स में 2 डिग्री कंट्रीब्यूट करता है और जैसे ही हम उसको बाहर निकालते हैं जिसको तो 2 डिग्री माइनस कर लेता है तो सारे जिस को अगर सम करेंगे है ना और उसको मल्टीप्लाई करेंगे टू से तो हमेशा हमेशा डिग्री सम मिलेगा दैट इज फर्स्ट मेजर ऑब्जर्वेशन जो कि कई बार एग्जाम में पूछा जाता है एक इसका सेकंड ऑब्जर्वेशन भी बड़े कमाल का है क्या ध्यान से देखिएगा मजा आ जाएगा आपको देखो लेट मी से ये लेफ्ट हैंड साइड तो सेम है इट इज द टोटल डिग्री सम अब क्योंकि मैं ऑलरेडी आपको समझा चुका हूं इट इज 2 नटू नंबर ऑफ एजेस नंबर ऑफ एजेस अपने आप में ऑड हो या इवन हो इससे कोई फर्क ही नहीं पड़ता अगर आप किसी भी नंबर को टू से मल्टीप्लाई करोगे तो क्या वो हमेशा इवन होगा हां बात तो ठीक है तो कैन आई से इस इक्वेशन का जो लेफ्ट हैंड साइड है दैट इज ऑलवेज गोइंग टू बी इवन नंबर सर्टेनली ये बात तो ठीक है अब ध्यान से देखिए अगर मैं टोटल वर्टेक्स को ना दो क्लास में डिवाइड कर लूं कुछ वर्टेक्स ऐसे जिनका डिग्री ऑड और कुछ वर्टेक्स ऐसे जिनका डिग्री इवन दोनों तरह के वर्टेक्स होंगे ठीक है अब मान लीजिए ये पहला ग्रुप है इवन डिग्री वाले वर्टिसेज का अब आपरे को सोच के एक बात बताओ इवन नंबर क्लोज्ड अभी ग्रुप थ्योरी पढ़ा है थोड़ी देर पहले हमने इवन डिग्री वाले वर्टिसेज का जो सम होगा क्या वो इवन ही होगा हां क्योंकि इवन नंबर को कितनी भी बार सम कर लो आपस में रिजल्ट ल ऑलवेज गोइंग टू बी इवन इवन प्लस इवन इज अ क्लोजर प्रॉपर्टी क्लोज रहता है आंसर अब जरा इक्वेशन देखना कंक्लूजन इवन है हमें पहले से पता है दो वैल्यू को मैं सम कर रहा हूं फर्स्ट जो मेरा एलिमेंट है ये भी इवन है तो सेकंड क्या होगा ये भी इवन ही होगा तभी इक्वेशन होल्ड करेगी बट मजे की बात क्या है यहां तो हम ऑड नंबर के साथ डील कर रहे हैं तोब ध्यान से देखो एक बात समझो यह इंडिविजुअली वो वर्टेक्स हैं जो ऑड डिग्री वाले हैं अगर ऑड डिग्री वाले वर्टेक्स से हमें इवन नंबर जनरेट करना है तो क्या करना पड़ेगा हमें ऑड डिग्री वाले वर्टेक्स को इवन टाइम सम करना पड़ेगा मेरी बात सुनना पूरी दोबारा से क्या बोल रहा हूं हमें ऑड डिग्री वाले वर्टिसेज को इवन टाइम सम करना पड़ेगा तो यहां पर अगर आप नोटिस करो ऑड डिग्री वाले कितने वर्टेक्स है एक दो 3 4 5 6 एंड सिक्स इज अ इवन नंबर तो कंक्लूजन कहता है दैट इज अ वेरी इंपोर्टेंट प्रॉपर्टी इन एनी ग्राफ द नंबर ऑफ वर्टेक्स विद द ऑड डिग्री विल ऑलवेज बी इवन इन नंबर संख्या में काउंटिंग में गिनने में हमेशा कितने मिलेंगे इवन मिलेंगे है ना जो वो वर्टेक्स जिनका डिग्री ऑड है जिनका इवन है वो कितने भी हो सकते हैं सर वो ऑड भी होंगे इवन भी हो सकते हैं बट ऑड डिग्री वाले हमेशा इवन होंगे इट्स अ वेरी इंपॉर्टेंट कंक्लूजन जो कई बार हमारे काम आता है ठीक है आगे बढ़ते हैं नाउ एक छोटा सा आईडिया है दो दिस इज अ काइंड ऑफ रिपीटिटिवली डिस्कस इन डेटा स्ट्रक्चर बट याद दिला रहा हूं हाउ कैन वी रिप्रेजेंट अ ग्राफ इन अ कंप्यूटर में मोरी कंप्यूटर में कैसे रिप्रेजेंट करता है बिकॉज़ हमें भूलना नहीं है हम पढ़ाई एनालिसिस कितनी भी कर ले अल्टीमेटली जो भी एल्गोरिथम हम डेवलप करेंगे हम वह कॉपी पेन पर तो रन नहीं कर रहे है ना देर इज अ कंप्यूटर प्रोग्राम हु इज गोइंग टू एग्जीक्यूट इट तो यहां पर ना जितने भी ग्राफ बेस्ड एल्गोरिथम उनकी प्रॉब्लम ही ये है कि हाउ यू इंप्लीमेंट दोज एल्गोरिथम्स इन कंप्यूटर इन हाउ डू यू इंप्लीमेंट दीज ग्राफ्स इन कंप्यूटर उससे पूरी कॉम्प्लेक्टेड हो जाती है अब बल मन फोर डेज कास्ट ड वर्सल है कोई भी है है ना प्राइम है क्रुस कल है हर केस में प्रॉब्लम है हाउ यू इंप्लीमेंट इड हां कोरमैन आप उठा के देखोगे 10-10 पेज का सिर्फ कंप्यूटेशन निकाला हुआ है क्योंकि अलग-अलग तरह से इंप्लीमेंट करते हैं तो दो-तीन मेजर आईडिया याद दिलाता हूं जो सबसे कॉमन सेंस अप्रोच है दैट इज नोन एज एडजेसेंसी मैट्रिक्स तो व्हाट वी कैन हैव वी कैन हैव अ मैट्रिक्स ऑफ ऑर्डर n क्रॉस n एक n क्रॉस n मैट्रिक्स बना लेते हैं एंड दे यू सी हाउ मेनी वर्टेक्स वी हैव पांच वर्टेक्स हैं तो रो से लेके फोर तक ज़ीरो से लेके फोर तक ये प्रॉपर एक मैट्रिक्स हमने बना लिया और अब यहां पर करना क्या है मुझे बता है तो करना सिर्फ यही है सर कि जहां पर एज है वहां वन से मार्क करिए जहां पर एज नहीं है वहां जीरो से मार्क करिए तो शुरू करें मुझे बताइए जीरो से कहां-कहां पे एज है रो से वन पे एज है एंड रो से फोर पे हैज आई थिंक दो ही जगह है ना वन एंड फोर बाकी सब प्लेसेस को वी कैन राइट रो वन से बताओ वन से तो आई थिंक सभी पे है ज रो पर भी है टू पर थ्री पर फोर पर तो वन से रो पर टू पर थ्री पर फोर पर सब जगह एज है बाकी जगह रो लिख देता हूं टू से बताइए टू से वन पे और थ्री पे टू से वन पे और थ्री पे बाकी कहीं भी एज नहीं है थ्री से बताइए फरव एंड टू थ्री से फोर पे वन पे एंड टू पे बाकी कहीं भी नहीं है एंड फोर से बताइए फोर से 0 1 एंड थ थ्री से सही किया ना 1 2 एंड फर यस फोर से बताएं फोर से 0 1 एंड थ फोर से 0 1 एंड थ बाकी रो सो द यू सी क्या इन दोनों का इंफॉर्मेशन कंटेंट एकदम सेम है हां चाहे आप ऐसे मैट्रिक्स फॉर्म में बना लो या ग्राफ फॉर्म में बना लो दोनों का आईडिया एकदम सेम है तो दैट इज़ हाउ यू कैन रिप्रेजेंट अ ग्राफ है ना इसके अपने एडवांटेज डिसएडवांटेज हो सकता है बट पॉइंट है कि सबसे सिंपल अप्रोच है इतना एफिशिएंट नहीं है बट बहुत सिंपल है एक हो सकता है एडजेसेंसी मैट्रिक्स या एडजेसेंट मैट्रिक्स इनसेंस मैट्रिक्स इसमें क्या लॉजिक है ना थोड़ा सा पैटर्न चेंज करते हैं यहां इन डिग्री आउट डिग्री वाला कांसेप्ट और खासकर यह मेथड वहां पे काम देता है हमको जहां पे ग्राफ डायरेक्टेड हो कैसे आपको समझाता हूं तो यहां पर डायरेक्टली पॉइंट पे आता हूं बाकी पूरा थ्योरी मैंने पहले से लिख के रखा है तो व्हाट वी कैन डू वी कैन सी हाउ मेनी वर्टिसेज आर देयर सर फोर वर्टिक्स सो फॉर एवरी वर्टेक्स वी आर गोइंग टू हैव अ रो तो v1 v2 v3 v4 है ना चार वर्टेक्स हमने लगा लिए नेक्स्ट यू सी हाउ मेनी एजेस आर देयर सो आई थिंक टोटल फाइव एजेस आर देयर देखो हर एक के लिए कॉलम एज नंबर वन एज नंबर टू एज नंबर थ्री एज नंबर फोर एज नंबर फाइव चले लेगा अब आप देख सकते हैं एज नंबर वन कहां से कहां जा रही है नोटिस करो एज नंबर वन v1 से v2 पे जा रही है तो देर यू सी v1 में वन लिखेंगे या बेसिकली आप मान लो + 1 लिखेंगे v1 में -1 आउट को प्लस लिखेंगे इसको माइनस लिखेंगे लाइक दिस देर यू सी ये एज यहां पे नजर आ गई v e2 देखो ये v2 से v3 गई तो e2 v2 से v3 v2 से आउट है तो इस बार यहां प्लस आएगा यहां माइनस आएगा आई थिंक पूरा गेम आप समझ गए तो अगर मैं डायरेक्ट आपको ऐसे बताऊं अगर कोई एज v से v j पे कोई एज जा रही है है ना तो हम क्या करेंगे और सपोज करिए उस एज का नाम k है तो हम k नंबर कॉलम में जाएंगे हम दो ही रो कंसीडर करेंगे v और v ज और v में लिखेंगे + 1 और v ज में लिखेंगे -1 ये गेम है सर सो दैट इज हाउ यू कैन रिप्रेजेंट अ ग्राफ और ये मेथड जो है ये ज्यादा एफिशिएंट हो जाता है बिकॉज़ ये हमें अ जो हमारा वेटेड सॉरी डायरेक्टेड ग्राफ है है ना उसको को अच्छे से स्टोर करने में हेल्प करता है सो दिस इज अनदर आईडिया एक वी कैन हैव अ एडजेसेंसी लिस्ट काइंड ऑफ अ फुल फ्लेज आइडिया ऑफ लिंकलिस्ट जहां पे हर एज को सारे वर्टेक्स को फ्लेक्सिबल जहां पर रखना हो खासकर वहां पे जहां पे ग्राफ में बार-बार इंसर्ट डीलीशन हो रहा है वहां आप यूज़ कर सकते हो जैसे नोटिस करो जीरो के एडजेसेंट क्या है पहले तो एक लिंकलिस्ट यहां देखो सो दिस इज अ काइंड ऑफ़ अ लिंकलिस्ट या आप इसे एरे भी मान सकते हो लाइक दिस ऐसे मैं ऑब्जर्व कर लेता हूं जिसमें सारे वर्टिक्स मेरे आ जाते हैं नाउ जीरो सेट ज कौन है सर वन और फोर तो एक नोट लगा देते हैं वन वाला एक नोट लगा देते हैं फोर वाला नोटिस करो देन बताओ वन के एडजेसेंट कौन-कौन है वन के एडजेसेंट सब कुछ है तो रो के लिए फोर के लिए अी इसमें किस नोड को पहले किसको बाद में रखे वो फर्क नहीं पड़ता बट द पॉइंट इज दैट वी मेंटेन दिस आईडिया विद द हेल्प ऑफ लिंक लिस्ट कल को वर्टेक्स इंसर्ट करने हो वर्टेक्स डिलीट करनी हो एज इंसर्ट करना हो एस डिलीट करना हो सभी कुछ करना रिलेटिवली यहां पर बहुत आसान हो जाएगा बिकॉज सब कुछ हम लिस्ट के हिसाब से ऑब्जर्व कर रहे हैं है ना या लिंक लिस्ट से इंप्लीमेंट कर रहे हैं यह आईडिया है सो दिस इज एडजेसेंसी लिस्ट आईडिया ओके आगे बढ़ते हैं नाउ बिफोर वी प्रोसीड फर्द और जो कुछ इंपॉर्टेंट टॉपिक्स हैं उसमें एंटर करने से पहले कुछ पॉपुलर ग्राफ है ग्राफ थ्योरी में है ना उस पे एक बार बात करनी जरूरी है तो आई विल स्टार्ट विद अ वेरी इंपोर्टेंट आइडिया कॉल्ड बायो पर्टाइट ग्राफ और बायो पर्टाइट ग्राफ के भी दो वर्जन है वन इज कॉल्ड अ सिंपल बाय पर्टाइट ग्राफ वन इज कॉल्ड कंप्लीट बाय पर्टाइट व्हिच इज अगेन वेरी इंपोर्टेंट तो पर्टाइट क्या है बाई माने दो दो पर्टाइट माने पार्टीशन तो आईडिया इज हमारे पास जितने भी वर्टेक्स है इफ वी पार्टीशन दोज वर्टिस सर इन टू डिफरेंट सेट्स या दो ग्रुप में प उसको डिवाइड कर देते हैं लेट मी कॉल दिस इज पार्टीशन p1 एंड पार्टीशन p2 विद द कंडीशन दैट कि अब ग्राफ में जो भी एज होगा उसका एक एंड पॉइंट एक पार्टीशन में होगा दूसरा एंड पॉइंट दूसरा दूसरे पार्टीशन में होगा देन ग्राफ इज नोन एज बाय पर्टाइट ग्राफ पूरा पॉइंट देखिए तो बस होल्ड कर पा रहे हैं क्या एक ग्राफ हमारे पास है उसके अंदर ऐसे हम करके दो पार्टीशन बना लेते हैं एंड आईडिया इज जितने भी एज पॉसिबल है हर एज का एक एंड पॉइंट एक पार्टीशन में होगा दूसरा एंड पॉइंट दूसरे पार्टीशन में होगा दिस इज कॉल्ड बाय पर्टाइट ग्राफ देखने में लगेगा कि का को बना रहे हैं ऐसा बट बाद में जब प्रॉपर्टीज स्टडी करेंगे और इन्वेस्टिगेट करते हैं तो हमें समझ आता है बहुत जगह आईडिया बहुत यूज होता है है ना नेक्स्ट इज व्हाट डू वी हैव इज कंप्लीट बाइपर आइट सो ओबवियसली फर्स्ट ये भी बाइपर टाइट ही है बट अ वेरी इंपॉर्टेंट कंक्लूजन इज व्हाट कि जब भी हम इनको आपस में यू नो रिलेट करते हैं ना तो यहां पर एक चीज बड़ी इंपॉर्टेंट हो जाती है क्या कि पहले ग्रुप के हर एलिमेंट को कार्टीजन प्रोडक्ट की तरह या पहले पार्टीशन के हर वर्टेक्स को दूसरे पार्टीशन के हर वर्टेक्स के साथ हमको यहां पर रिलेट करना ही पड़ता है प्लीज अंडरस्टैंड पहले पार्टीशन के हर वर्टेक्स को दूसरे पार्टीशन के हर वर्टेक्स हमें रिलेट करना पड़ता है एंड दैट इज व्हाट वी कॉल्ड इट अ यू नो कंप्लीट बाय पर्टाइट तो यहां पे एक लॉजिक हो सकता है मान लीजिए आमतौर पे हम इसको रिप्रेजेंट करते हैं कंप्लीट k मतलब कंप्लीट m n व्हाट डज दैट मीन कि पहले पार्टीशन में m नंबर ऑफ वर्टिसेज है दूसरे पार्टीशन में n नंबर ऑफ वर्टिसेज तो क्या करना है अगेन हर किसी को हर किसी के साथ कनेक्ट करना है तो हाउ मेनी नंबर ऑफ़ एजेस विल बी देयर ओबवियसली m * n तो अगर मैं आपसे पूछ लू सर व्हाट अबाउट अ कंप्लीट बाय पर्टाइट ग्राफ ऑफ ऑर्डर 5 3 पहले पार्टीशन में पांच है दूसरे में तीन है बताओ टोटल कितने होंगे सो ऑब् वियस 5 * 3 टोटल 15 15 एजेस विल बी देयर है ना तो ये एक बेसिक ऑब्जर्वेशन है एक साइकिल ग्राफ साइकिल ग्राफ क्या साइकिल है बट इंपॉर्टेंट है कई जगह काम आती है और कई बार वो लिखेगा कंसीडर c6 आप सोच रहे c6 क्या है तो एग्जामिनर मान के चल रहा है कि आपको पता होना चाहिए व्हाट इज c6 c6 इज अ साइकिल ग्राफ जिसके अंदर सिक्स वर्टिसेज और सिक्स एजेस होंगे c5 जिसमें फाइव वर्टेक्स फाइव एजेस होंगे वन वी हैव इज अ व्हील ग्राफ ना व्हाट इज अ व्हील ग्राफ सपोज यू सी w5 अब ध्यान से देखेंगे जितना भी w लिखा है सपोज w ए लिखा है ना साइकिल जो बनेगा वो एक कम का बनेगा तो साइकिल बना फोर का बिकॉज़ एक वर्टेक्स आपको बीच में मिलेगा ताकि व्हील की तरह काम करें सो अगर मैं बात करता हूं w9 की तो ओवरऑल एट होंगे 1 2 3 4 5 6 7 एंड 8 तो देर यू सी एट वर्टिसेज आर देयर और बीच में य भाई सब बैठे हुए हैं जो इन सबको आपस में कनेक्ट करेगा सो दैट इज w9 तो बेसिकली व्हाट इज w9 w w ए व्हाट इज w ए देर इज अ साइकिल ऑफ c ए -1 और यह बचा हुआ एक वर्टेक्स इन सबको कनेक्ट करता है है ना दिस इज एन ऑब्जर्वेशन सो यह बात हो गई साइकिल ग्राफ की और व्हील ग्राफ की एक अगेन इंपॉर्टेंट लर्निंग है कई बार आपने सुना होगा रेगुलर ग्राफ ना व्हाट इज द रेगुलर ग्राफ अ ग्राफ इज सेड टू बी रेगुलर इफ द डिग्री डिग्री एनालाइज की ना थोड़ी देर पहले हमने वही है इफ द डिग्री ऑफ एवरी वर्टेक्स इज सेम अगर हर वर्टेक्स की डिग्री सेम है इन दैट केस वी से द ग्राफ इज अ रेगुलर ग्राफ इफ द डिग्री ऑफ एवरी वर्टेक्स इज सेम सो देर यू सी यहां पे हर वर्टेक्स का डिग्री थ्री है यस दिस इज अ रेगुलर ग्राफ इधर देखिए 1 2 3 4 एंड फ यहां पे हर वर्टेक्स का डिग्री फाइव है यस दिस इज़ अ रेगुलर ग्राफ है ना तो दैट इज हाउ हम कर सकते हो इमेजिन समबीत उसमें कितने वर्टेक्स हैं मेरे को नहीं पता उसमें कितने एजेस हैं बट इतना जरूर पता है कि हर वर्टेक्स का डिग्री थ्री होगा बिकॉज़ यू आर कॉलिंग इट एज थ्री रेगुलर आर यू गेटिंग इट ठीक है तो कुछ इस तरह से काम करता है एक छोटा सा ऑब्जर्वेशन है कॉम्प्लीयंट के अंदर हम कॉम्प्लीयंट तो ग्राफ के केस में अपर बाउंड क्या कंप्लीट ग्राफ अ ग्राफ विद द मैक्सिमम नंबर ऑफ़ एजेस तो इमेजिन करो यह ग्राफ है लेट मी कॉल इट g1 चार वर्टेक्स हमारे पास और दो ही एजेस है अब इसका कॉम्प्लीयंट उन सारे जगह पे हम एजेस लगाएंगे जहां पर पहले एजेस नहीं थे है ना तो बेसिकली वनस a से b a सेडी दे यू कैन सी a से c b से c a से d बस वो दो एज जो पहले से प्रेजेंट थे मानो b से d और c से d यहां पर नहीं रहेंगे बाकी सब जगह एजेस होगा सो दैट इज हाउ यू कैन से कॉम्प्लीयंट सेस रिमन सेम नो चेंज इन दैट लेकिन वो सारी एजेस वो सारी एजेस कॉम्प्लीयंट इज द आईडिया ऑफ कम्प्लीनोस आईडिया फॉलो कर पा रहे होंगे एंड अगेन इफ यू आ थिंक लॉजिकली दो ग्राफ हमारे पास है ना लेट मी कॉल दिस एज g1 एंड g2 तो g1 दो ग्राफ है अगर दोनों बल्कि ऐसा क्यों लिखता हू ऐसा लिखता हो ना एक ग्राफ g1 है दूसरा g1 का कॉम्प्लीयंट से वही मिलेगा कंप्लीट ग्राफ वेयर यू हैव वर्टिसेज तो सेम ही है वेयर यू हैव मैक्सिमम नंबर ऑफ एजेस है ना और अगर दोनों को मैं इंटरसेक्शन कर देता हूं इफ आई डू दैट सॉरी दोनों का इंटरसेक्शन देन आई विल ओबवियसली गेट अ नल ग्राफ जहां पे बस आपको चार वर्टेक्स मिलेंगे सर एजेस कोई भी नहीं मिलेगा है ना तो दिस इज अ आईडिया जो कॉम्प्लीयंट प्रॉपर्टी अच्छा मैंने लिख के रखा है सो देर यू सी और दोनों में सम करेंगे तो एजेस तो आपको पता ही है कंप्लीट ग्राफ में कितनी एजेस होती है n * n - 1/2 ये आप देख सकते हैं क्या एक दूसरे के कॉम्प्लीयंट जितने एजेस बचे हुए हैं आप नोटिस करिए वो सारी एजेस इसने यहां पे उठा के रख दी तो दोनों को यूनियन करोगे सो आई थिंक हियर यू विल गेट k5 अ कंप्लीट ग्राफ विथ फाइव वर्टिसेज k5 आपको मिलेगा है ना दैट इज इट फेयर इनफ अभ एक अगला आइडिया यहां से शुरू करते हैं नोन एज प्लेनर ग्राफ तो प्लेनर ग्राफ देन उसके बस पे ग्राफ कलरिंग क्या होता है क्या आईडिया है तो बहुत इंटरेस्टिंग है एक-एक करके इसके साथ डील करते हैं अभी बात करते हैं प्लेनर ग्राफ की तो व्हाट इज प्लेनर ग्राफ और कैसे प्लेनर ग्राफ के बारे में सोचना है आईडिया समझिए तो पहले कॉमन सेंस समझिए लॉजिक क्या है एक 2d प्लेन के ऊपर अगर हम किसी ग्राफ को डिजाइन कर सकते हैं विदाउट क्रॉसिंग ओवर द एजेस देन इट इज सेड टू बी प्लेनर एज क्रॉस नहीं होना चाहिए अब आप बोलेंगे सर यहां तो एज क्रॉस हो रहा है देर यू सी एक के ऊपर ये जो डायगोनल है के ऊपर एक से जा रहा है भाई जबरदस्ती क्रॉस नहीं कराना मतलब पॉइंट ये है क्या बिना क्रॉस कराए नहीं बना सकते क्या लुक एट दिस आई हैव लाइक ए बी सीडी और ये मैं ए से सी को कनेक्ट कर देता हूं एंड देन यू कैन सी दिस तो ये ऊपर से करके मैं बना पा रहा हूं कि नहीं बना पा रहा हूं 100% बना पा रहा हूं सो इस आईडिया की मैं बात कर रहा था आर यू गेटिंग इट सो अ ग्राफ इज कॉल्ड अ प्लेनर इफ इट कैन बी ड्रॉन ऑन अ प्लेन सच दैट नो टू एजेस क्रॉस इच अदर तो आप देखो यहां पे कोई भी दो एज एक दूसरे को क्रॉस नहीं कर रहे है ना इट इज कॉल्ड नॉन प्लेनर एप्लीकेशन सिविल इंजीनियरिंग सर्किट डिजाइनिंग वो ठीक है अलग-अलग बात है बट दिस इज द बेसिक आईडिया अब यहां पर देखो गेम क्या है मैं आपसे बोलूंगा प्लेनर ग्राफ बनाओ ये लो बना दिया क्या बड़ी बात है मैं आपसे बोलूंगा नॉन प्लेनर ग्राफ बनाओ कैन यू जस्ट इमेजिन अबाउट k100 इमेजिन करो तो एक ग्राफ है जिसके अंदर 100 वर्टिसेज हैं एंड एज इट इज अ कंप्लीट ग्राफ ग्राफ देन एवरी वर्टेक्स हैज टू बी कनेक्टेड टू एवरी अदर वर्टेक्स तो देर इज नो चांस कि भाई ये प्लेनर हो इतने सारे एजेस क्रॉस ओवर करेंगे कि नॉन प्लेनर ही होगा तो ना तो बहादुरी प्लेनर ग्राफ बनाने में है वो भी बनाया जा सकता है ना तो बहादुरी नॉन प्लेनर ग्राफ में वो भी बनाया जा सकता है पॉइंट यह है कि आप एक नॉन प्लेनर ग्राफ बना के बताएं बट ऑफ द सिंपलेस्ट नेचर कम से कम खर्चे का k 100 में तो कोई बना सकता है क्या k10 भी नॉन प्लेनर होता है क्या k5 भी नॉन प्लेनर होता है क्या यह सोचने की बात है k4 तो नहीं होता आपके सामने एग्जांपल है तो यह दो स्टैंडर्ड केस हमारे पास और बहुत खूबसूरत केस है नोटिस करिए नाउ दैट इज जिसकी मैं बात आपसे कर रहा था k5 नाउ बिकॉज इट इज k5 अ कंप्लीट ग्राफ विद फाइव वर्टिसेज है ना विद मैक्सिमम नंबर ऑफ एजेस तो पांच वर्टेक्स हो गए एंड n * n - 1/2 याद है ना फार्मूला मैक्सिमम नंबर ऑफ एजेस कितनी हो सकती है सो 5 * 5 - 1 4/2 सो दैट इज टू बेसिकली व्हाट यू गेट इज 10 तो नंबर ऑफ एज हमारे पास देखिए कितनी हो गई है नंबर ऑफ एजेस हमारे पास हो गई है 10 दिस इज द आईडिया यह एक सिंपलेस्ट नॉन प्लेनर ग्राफ है विद मिनिमम नंबर ऑफ वर्टिसेज तो चैलेंज क्या है पांच से कम वर्टेक्स में कोई माइकल लाली या लाली एक नॉन पन ग्राफ नहीं बना सकता सर नाउ लुक एट दिस इसकी क्या खास बात है दिस इज आल्सो ब्यूटीफुल केस इन जनरल नोन एस k33 ए बिकॉज इट्स अ बाय पर्टाइट ग्राफ आप देख सकते हैं दो पार्टीशन है दोनों में तीन-तीन वर्टेक्स नजर आ रहे हैं और पहले पार्टीशन का हर वर्टेक्स दूसरे पार्टीशन के हर वर्टेक्स से कनेक्टेड है अब इसको अगर आप एनालाइज करेंगे तो आप देखेंगे इसके पास तो सिक्स वर्टेक्स है उसने पांच में किया था बट एक बात गौर करने वाली है इसके पास एज कितना है नाउ 3 * 3 इट हैज नाइन एजेस तो जो काम उस भाई ने 10 में किया इसने किस में किया नाइन में तो दोनों अपनी-अपनी जगह ऑप्टिमल है अगर कोई बोले मिनिमम नंबर ऑफ एजेस में नॉन प्लेनेरिटी आई एम सॉरी पहले वर्टिक्स की बात कर लेता हूं मिनिमम नंबर ऑफ वर्टेक्स में नॉन प्लेनेरिटी कौन बना सकता है सो आंसर इज दिस मिनिमम नंबर ऑफ वर्टेक्स में इधर आ जाओ मिनिमम नंबर ऑफ एजेस में नॉन प्लेनेरिटी कौन बना सकता है सो आंसर इज दिस ये नाइन में बना सकता है तो दोनों ही अपने-अपने अग जगह मिनिमम है दोनों ही ग्राफ में आप चाहे कोई वर्टेक्स या एज डिलीट कर देंगे तो ग्राफ प्लेनर बन जाएगा है ना तो बहादुरी किसमें नॉन प्लेनेरिटी बनाना बट सबसे कॉम्प्लेक्टेड ग्राफ बनाना दैट इज द आइडिया और इन इन्हीं को नाम थोड़ा अजीब है इन्हीं को प्यार से कतो स्की केस बोलते हैं सो दैट इज केस फाइव एंड दैट इज k33 है ना तो दोनों के दोनों सिंपलेस्ट नॉन प्लेनर ग्राफ कहलाते हैं नॉन प्लेनर है दोनों रेगुलर है रेगुलर कैसे बिकॉज आप देखो दोनों के केस में क्या हर वर्टेक्स का डिग्री सेम है हां सर हर वर्टेक्स का डिग्री सेम है दैट इज आल्सो अंडरस्टैंडेबल इफ वी डिलीट आइर एन और वर्टेक्स फ्रॉम एनी ऑफ द ग्राफ देन दे विल बिकम प्लेनर ये भी हम जानते हैं ऑलरेडी डिस्कस कर लिया और ये है स नाम आप खुद पढ़िए जो सही से पढ़ ले उसे ₹ का एडिशनल इनाम और ये इनका पूरा सिस्टम है पॉलिश मैथमेटिशियन एंड लॉजन जिन्होंने यह पूरा प्लेनेरिटी इस पूरे आईडिया प काम किया नाउ एक दो केस प्रैक्टिस कर सकते हैं नाउ लुक एट दिस ग्राफ है ना केसेस क्या आ सकते है एग्जाम में यह एक ग्राफ है बताओ प्लेनर कि नॉन प्लेनर है अब मे बी थोड़ा प्रैक्टिस करेंगे तो बात समझ आती है पहली नजर में देखेंगे आप तो आपको लगेगा कि यार नॉन प्लेनर है इतने सारे एजेस क्रॉस हो रखे हैं कैसे मैं मैनेज करेंगे है ना बट ध्यान से अगर आप देखेंगे तो शायद इसने जानबूझ के क्रॉसओवर कराया और इतने क्रॉसओवर कराने की जरूरत नहीं थी कैन वी गो समथिंग लाइक दिस इसको देखो a को ऊपर रखता हूं बी को नीचे रखता हूं बी को उठा के नीचे ले आया मैंने प्रॉपर्टी कोई चेंज नहीं की दोनों ग्राफ एकदम सेम है आइसोमर्स है है ना दोनों ग्राफ एकदम सेम है बस कनेक्शन बाहर से बना दिया तो इसका मतलब यह ग्राफ प्लेनर है वो अलग बात है आपने बनाया ऐसा था इट वाज लुकिंग लाइक अ नॉन प्लेनर ये देखना ये तो मेरे क्या से रिलेटिवली फिर भी सिंपल है बाहर वाले को चेंज करने की जरूरत नहीं अगर मैं f और e को स्वप कर दूं सर आपस में सो दे यू से दिस इज a दिस इज c दिस इज बी दिस इज डी और स्वप करूंगा तो यह आ जाएगा e और ये आ जाएगा f एंड f एंडडी एंड e ए बी आर कनेक्टेड देखिए फॉलो कर पा रहे हैं क्या सो जस्ट स्वप कर दिया अगेन देर इज नो क्रॉसओवर ऑफ एज यह केस देखेंगे अब यह प्लेनर है कि नॉन प्लेनर है यह तो सामने से नजर आ रहा है कि ये नॉन प्लेनर ये प्लेनर है हां क्यूब का कायद से कह सकते हो टॉप व्यू है और कोई भी है जो क्रॉस ओवर नहीं कर रही 110 पर दैट इज प्लेनर लेकिन बाकी दोनों पैटर्न आप देखोगे ना ध्यान से तो यू विल एनालाइज कि पता नहीं प्लेनर है कि नॉन प्लेनर कैसे बना है बट मजे की पता क्या है मैं इसमें डिटेल में नहीं जाऊंगा इट इज अप टू यू ये तीनों के तीनों ग्राफ एकदम सेम है तो जो आइसोमर्स इजम में हम पढ़ते हैं दीज थ्री ग्राफ आर आइसोमर्स टू ईच अदर वो बस बनाने का तरीका अलग है ओरिएंटेशन का तरीका अलग तो अगर एक प्लेनर है तो नो कि बाकी दोनों भी क्या होंगे सर प्लेनर होंगे है ना यह वाला केस है लुक एट दिस यह ग्राफ कौन है ये तो कुरा तोस की सेकंड केस है k33 ये कौन है प्लेनर नॉन प्लेनर ये नॉन प्लेनर है सर अगर ये नॉन प्लेनर है वही वाला लॉजिक इधर भी लगेगा ये भी तीनों नॉन प्लेनर है ये भी तीनों नॉन प्लेनर है इनका आपस में एक दूसरे से कोई लेना देना नहीं है सो अगेन दैट इज अ मेजर इंपॉर्टेंट अंडरस्टैंडिंग जो हमें समझनी है यस फिर आगे बढ़ते हैं नेक्स्ट वन इंपॉर्टेंट थिंग वी हैव इज अ यूर फॉर्मूला व्हाट इज यूलर फॉर्मूला पहली बात यहां पर सिर्फ उसके बारे में बात हो रही है जो कि प्लेनर है अगर नॉन प्लेनर मैं आपके बारे में बात नहीं कर रहा प्लीज अंडरस्टैंड है ना अ प्लेनर है ग्राफ या नॉन प्लेनर है इसे बनाने का कोई डायरेक्ट फॉर्मूला नहीं है फर्स्ट ऑफ़ ऑल कुछ बच्चों को ऐसा लगता है फॉर्मूला भरेंगे आंसर आ जाएगा अब यह फार्मूला क्या कहता है यह कहता है इफ अ ग्राफ इज प्लेनर द नंबर ऑफ रीजंस इज इक्वल टू नंबर ऑफ एजेस माइनस वर्टिस + 2 ना व्हाट डज दैट मीन एक्चुअली यहां देखते हैं रीजन समझाता हूं क्या तो रीजन कोई भी क्लोज बाउंड एरिया रीजन कहलाता सपोज लेट मी से दिस इज रीजन नंबर वन दिस इज रीजन नंबर टू दिस इज रीजन नंबर थ्री यू कैन सेक आउटर रीजन दिस इज रीजन नंबर फोर जरा काउंट करना इसमें कितने वर्ट एजेस हैं सो 1 2 3 4 5 और छह सो टोटल सिक्स एजेस हमारे पास है माइनस हाउ मेनी वर्टिक्स 1 2 3 4 फोर वर्टिक्स हैं प्लस 2 सो 6 - 4 इज 2 एंड 2 + 2 बिकम 4 देखो चार ही रीजन है क्या चार ही कैलकुलेट किए थे ये है यूलर फार्मूला तो कई बार आपसे बोल सकते हैं यूलर फार्मूला क्या है उसे एक्सप्लेन करो मे बी कभी-कभी यूनिवर्सिटी एग्जाम में दे कैन आल्सो आस्क की उसको प्रूफ करो नाउ देर इज नो डायरेक्ट प्रूफ ऑफ यूलर फॉर्मूला इट इज प्रूव्ड बाय इंडक्शन तो आप एक बार ट्राई कर सकते हो करने का आई डोंट थिंक इट इज दैट इंपॉर्टेंट बट दैट इज द फार्मूला दैट इज एग्जांपल दो केस बना के आना फार्मूला समझा के आना इट्स गुड यूलर फॉर्मूला इवन आप अगर चाहो तो उसको डिस्कनेक्टेड ग्राफ प भी लगा सकते हो दैट वाज अ यूलर फॉर्मूला फॉर कनेक्टेड ग्राफ डिस्कनेक्टेड प लगाओगे तो पैटर्न थोड़ा सा चेंज होगा यहां पर लुक एट दिस के एक नया पैरामीटर आ जाएगा एंड व्हाट इज k k इज लाइक नंबर ऑफ कनेक्टेड कंपोनेंट्स तो यहां पर ये कितने टुकड़ों में है तीन टुकड़ों में ट्राई करें एक बार इसमें हाउ मेनी वर्टिसेज आर देयर सर 1 2 3 4 5 6 7 8 9 सो नाइन वर्टेक्स माइनस हाउ मेनी एजेस 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ओ माय गॉड प्लस रीज़न तो हमें पता लगाना है हाउ मेनी कंपोनेंट्स आर देयर वो भी तीन है वो हमने कर लिया इज इक्व ट 1 सो दिस विल गेट कैंसल्ड आउट नंबर ऑफ़ रीज़न इज इक्व टू यह वन है इधर आएगा प्लस में रीज़न हो जाएगा फोर चार ही रीज़न आ रहे हैं क्या चेक करो सो दैट इज़ रीज़न नंबर वन रीज़न नंबर टू दिस इज़ रीज़न नंबर थ्री और कुछ नहीं बचा सो ओबवियसली दिस इज़ रीज़न नंबर फोर है ना सो दैट इज़ हाउ दिस यूलर फॉर्मूला कैन आल्सो वर्क ऑन अ डिस्कनेक्टेड ग्राफ विद सम मॉडिफिकेशन जहां पे आप ये के वाला पैटर्न कंसीडर कर सकते हो आगे बढ़ते हैं नेक्स्ट व्हाट डू वी हैव इज अ ग्राफ कलरिंग अब ग्राफ कलरिंग का क्या खेल है देखिए तो वैसे देखिए दो तरह की ग्राफ कलरिंग होती है वन इज कॉल्ड वर्टेक्स कलरिंग वन इज कॉल्ड रीजन कलरिंग व्हाट इज वर्टेक्स कलरिंग कि आप ग्राफ के जितने भी वर्टिसेज है ना उन सभी के साथ आप कोई कलर एसोसिएट करो विद ओनली एंड ओनली वन रिक्वायरमेंट दैट नो टू एडजेसेंट वर्टिसेज हैव द सेम कलर कोई भी दो एडजेसेंट वर्टेक्स का कलर सेम नहीं होना चाहिए आप चेक कर सकते हो यहां पर आपको ऑल दो कलर के रिपीटेशन मिलेंगे नो डाउट बट वह कभी भी एडजेसेंट नहीं है ब्लू का एडजेसेंट ब्लू नहीं मिलेगा रेड का एडजेसेंट रेड नहीं मिलेगा लाइक दिस इसको बोलते हैं प्रॉपर वर्टेक्स कलरिंग तो कलरिंग तो आप कोई भी कर सकते हो प्रॉपर वर्टेक्स कलरिंग माने कि कोई भी दो एडजेसेंट वर्टेक्स का कलर सेम नहीं मिलेगा नाउ दैट इज़ कॉल्ड रीज़न कलरिंग नाउ व्हाट इज़ रीज़न कलरिंग इट सिंपली मींस कि अगेन यहां पे मैं रीजंस को कलर कर रहा हूं एंड आइडिया रिमेंस द सेम कि कोई भी जो दो एडजेसेंट रीजंस है उनका कलर यहां पर सेम नहीं मिलेगा तो वर्टेक्स कलरिंग रीजन कलरिंग वर्टेक्स कलरिंग रीजन कलरिंग है ना यह दो आइडियाज हमारे पास आ जाते हैं ग्राफ के अंदर आगे बढ़ते हैं तो दो पैटर्न है प्रॉपर वर्टेक्स कलरिंग मैं आपको समझा चुका हूं वन इज कॉल्ड क्रोमेटिक नंबर है ना कई बार इसको दैट इज द सिंबल हाउ यू रिप्रेजेंट क्रोमेटिक नंबर ऑफ अ ग्राफ सो व्हाट इज अ क्रोमेटिक नंबर अब बहादुरी की बात क्या होगी दो एडजेसेंट कलर का वर्टेक्स का कलर सेम नहीं होना चाहिए या तो जितने ने वर्टेक्स में उतने कलर कर दूं खत्म हो गई बात एडजेसेंट होगा ही नहीं लेकिन बादरी की बात है कि आप कितने कम से कम वर्टेक्स में ऐसा कर सकते हैं विद द मिनिमम नंबर ऑफ वर्टेक्स पॉसिबल है ना सो दैट इज नोन एज क्रोमेटिक नंबर ऑफ अ ग्राफ सो लुक एट दिस दिस इज अ ग्राफ व्हाट इज द मिनिमम नंबर ऑफ कलर यूजिंग व्हिच वी कैन प्रॉपर्ली वर्टेक्स कलर अ ग्राफ कम से कम तो मेरे ख्याल से यहां कितना है आई थिंक तीन में ही काम हो गया है रेड ब्लू ग्रीन और कोई नजर आ रहा है क्या नहीं सो इसका मतलब फॉर दिस ग्राफ द क्रोमेटिक नंबर इज थ्री यस कैन यू ट्राई सम एग्जांपल्स ये ट्राई करो आप एक बार जैसे यहां पे आल से वन नंबर में लिख देता हूं मैं कलर नंबर वन कलर नंबर टू कलर नंबर टू कलर नंबर वन कलर नंबर वन अगेन कलर नंबर वन एंड कलर नंबर टू इज इट कोई गड़बड़ तो नहीं हुआ ना चेक करो कोई रिपीटेशन तो नहीं कर रहा हूं एडजेसेंट वर्टिसेज फ आई डोंट थिंक सो सो देर यू सी देखने में ग्राफ मुश्किल लग रहा है बट इसका क्रोमेटिक नंबर सिर्फ टू है है ना अब थोड़ा प्रैक्टिस करोगे आपको देख के समझ आने लगेगा लुक एट दिस ये तो इट्स लाइक k4 ना चार वर्टेक्स है चारों एक दूसरे से कनेक्टेड है तो फोर से कम तो हो ही नहीं सकता है ना और आप ध्यान से थोड़ा एनालाइज करोगे तो समझ जाओगे दिस इज आल्सो प्लेनर ग्राफ एक और प्रॉपर्टी थ्योरम जिसे बोलते हैं फोर कलर थ्योरम इफ अ ग्राफ इज प्लेनर इट कैन बी प्रॉपर्ली वर्टेक्स कलर्ड यूजिंग ओनली फोर कलर्स अगर ग्राफ प्लेनर है तो कितने कलर में उसको प्रॉपर वर्टेक्स कलर कर सकते हैं ओनली ओनली फोर कलर्स में किया जा सकता है सो दिस इज वेरी इंपॉर्टेंट इधर आ जाइए नाउ लुक एट दिस यह क्या कहानी है सर मेरे ख्याल से यहां पर भी देखने में लग रहा है ज्यादा बट क्योंकि ये प्लेनर है चार से ज्यादा तो हो नहीं सकता अलाउ मी टू यूज़ 1 टू 1 2 और अला अलाउ मी टू यूज़ दो अलग कलर यूज़ कर लेता हूं लाइक 34 34 अभी भी आई थिंक कोई भी दो एडजेसेंट कलर आई थिंक सेम नहीं है सो फॉर दिस ग्राफ अगेन द क्रोमेटिक नंबर इज फोर इस पर और प्रैक्टिस की जा सकती है बट फंडामेंटल आईडिया आई थिंक मैंने आपको बता दिया ी वांट इस पे भी ट्राई कर लेना टू 1 2 1 2 एंड दिस इज टू एंड टू सो अलाउ मी टू यूज वन एंड दिस इज वन एंड व सो टू क्रोमेटिक नंबर टू ये फिर वही चार नजर आ गया इसका फोर होगा एंड ये क्या है 1 2 1 2 1 2 1 एंड दिस इज आई एम सॉरी दिस इज आल्सो टू सो 2 2 2 दिस इज आल्सो वन तो इसका क्रोमेटिक नंबर भी टू है तो थोड़ा ट्राई करोगे यू विल गेट द आईडिया ओके अब थोड़ी सी बात कर करते हैं ट्रैवर्सल की ट्रैवर्सल आल्सो इंपॉर्टेंट और दो वैसे मैं आपको बता देता हूं हम क्यों यह काम कर रहे हैं दो स्पेसिफिक टाइप ऑफ ग्राफ है वन इज नोन एज यूलर ग्राफ एंड वन इज नोन एज हैमिल्टोनियन ग्राफ बट बिफोर यू जंप ऑन टू व्हाट इज यूलर व्हाट इज हैमिल्टोनियन आपको एक बेसिक अंडरस्टैंडिंग होनी चाहिए ग्राफ ट्रैवर्सल की है ना तो सबसे पहले मैं समझाता हूं क्या-क्या गेम है सबसे पहले हम बोलते हैं वॉक वॉक भी वैसे दो टाइप का ओपन वॉक एंड क्लोज वॉक सारा डेफिनेशन मैंने लिख के रखा है व्हाट इज अ वॉक यू स्टार्ट विद एनी वर्टेक्स यू एंड विद एनी वर्टेक्स और कोई वर्टेक्स कोई एज जब चाहे जितनी बार चाहे जैसे चाहे रिपीट कर लो फॉर एग्जांपल लेट मी से मैं v1 से शुरू हुआ v1 से a होते हुए v2 पे आया v2 से v3 होते हुए d होते हुए v4 पे गया फिर e होते हुए v2 पे आया फिर मेरा मन है मैंने b से होते हुए फिर v3 पे गया एक लूप भी लगा लिया फिर जी होते वापस आया बिकॉज जब आप वॉक कर रहे हो ना आपको एजेंडा तो है नहीं जस्ट आप घूम रहे हो दैट इज आईडिया ऑफ वॉक तो दिस इज ओपन वॉक ओपन वॉक जहां पे हमारा स्टैंडिंग स्टार्टिंग और एंडिंग वर्टेक्स डिफरेंट हो दैट इज ओपन वॉक क्लोज वॉक क्या करेंगे तो मान लीजिए v2 से स्टार्ट किया था ऐसे रैंडम कुछ भी घूम घूम के वापस मैं अगर v2 प ही एंड करूं इन दैट केस इस वॉक को मैं क्या बोलता हूं क्लोज वॉक सो ओपन वॉक क्लोज्ड वॉक ओपन वॉक क्लोज वॉक चेंज क्या है आईडिया क्या है वो क्लियर है अपने को कि आइर यू कैन रिपीट एज और यू कैन रिपीट वर्टेक्स कोई प्रॉब्लम नहीं है उसके अंदर जब जाते हैं ना देन दैट इज़ कॉल्ड थिंग कॉल्ड पाथ नाउ व्हाट इज़ पाथ लुक एट दिस ए ओपन वॉक इन व्हिच नो वर्टेक्स अपीयर मोर देन वंस तो अगर कोई भी वर्टेक्स एक से ज्यादा बार नहीं आ सकता तो उसको मैं क्या बोलता हूं उसको बोलता हूं पाथ एंड यू सी अगर मैं वर्टेक्स रिपीट नहीं कर सकता तो एज कैसे करूंगा s तो वर्टेक्स के साथ ही एसोसिएटेड है है ना तो व्हाट इज़ द पाथ तो मान लीजिए मैं v1 से शुरू हुआ वाया g होते हुए v3 पे पहुंचा हं क्या मैं c ले सकता हूं ना सेल्फ लूप नहीं ले सकता बिकॉज़ देन v3 रिपीट हो जाएगा आगे बढ़ा इधर आया क्या मैं दोबारा v3 प जा सकता हूं ना सो यू हैव टू स्टार्ट एंड एंड ऑन डिफरेंट वर्सेस एंड नाइ दर यू कैन रिपीट वर्सेस नॉर यू कैन रिपीट एजेस अगर इस तरह से किसी ग्राफ को ट्रैवर्सल करते हैं उसको हम बोलते हैं पाथ तो अगर कोई पूछ ले ओपन वॉक क्लोज वॉक एंड पाथ तीनों की एकदम क्लेरिटी हमको है नाउ व्हेन कैन वी से ग्राफ इज कनेक्टेड नाउ दिस इज आल्सो इंपोर्टेंट कुछ लोग डिग्री से इस बात को एनालाइज करते हैं तो सिंपल सी बात ही है मैं कोई डायग्राम भी नहीं यूज़ कर रहा बहुत सिंपल बात है आईडिया इज इफ देयर इज अ पाथ नाउ यू अंडरस्टैंड कि हम पाथ पे क्यों बहस कर रहे थे इतनी देर से इफ देयर इज अ पाथ फ्रॉम एनी वर्टेक्स ऑफ द ग्राफ टू एनी अदर वर्टेक्स देन द ग्राफ इज सेड टू बी कनेक्टेड लुक एट दिस ओबवियसली डिस्कनेक्टेड ग्राफ है क्या डेफिनेशन है मान लीजिए मैं आपसे पूछ लेता हूं क्या a से क्या b से डी पे जाने का कोई रास्ता है ओबवियसली डायरेक्ट कनेक्शन नहीं है बट वाया ए या वाया सी आप जा सकते हैं इ 100 क्या b से g पर आने का कोई रास्ता है b से g पे डायरेक्ट जाने का कोई रास्ता है नहीं सर सो दिस ग्राफ इज डिस्कनेक्टेड बट अभी यस नाउ यू कैन गो फ्रॉम बी टू सी देन सी टू e देन e टू जी अभी आप ऐसा करके ट्रैवर्स कर सकते हो इजेंट इट ये आईडिया है सर जो कांसेप्चुअली इंपॉर्टेंट है देन वी से ग्राफ इज कनेक्टेड सो व्हाट इज द डेफिनेशन किसी भी पॉइंट से चालू करके या किसी भी पॉइंट से किसी भी वर्टेक्स से किसी दूसरे वर्टेक्स तक जाने का एक रास्ता होना चाहिए अगर है उस उस केस में हम बोलते हैं द ग्राफ इज कनेक्टेड दिस इज द आइडिया उस केस में हम बोल सकते हैं द ग्राफ इज कनेक्टेड फ्रॉम एनी वर्टेक्स टू एनी वर्टेक्स है ना ओके नाउ अ एक दो बात आप थोड़ा सा अगर मैं और डेप में जाना चाहूं आ सकता हूं वैसे जो प्लेलिस्ट है उसमें अगेन मैंने सारी चीज एक्सप्लेन की है अब मैं इस वीडियो में बहुत ज्यादा डेप में नहीं जाना चाहता दो तीन बात समझ सकते हैं पाथ वाली बात मैंने आपको बता दी कम से कम मान लीजिए तीन वर्टेक्स है इमेजिन करिए चार वर्टेक्स ले लेता हूं अगर चार वर्टेक्स को कनेक्ट करना है कम से कम कितना ए लगेगा सर तीन ए तो लगेगा स्ट्रेट लाइन में भी अगर कनेक्ट करूं लेट मी से दिस इज वर्टेक्स नंबर वन वर्टेक्स नंबर टू वर्टेक्स नंबर थ्री वर्टेक्स नंबर फोर इजेंट इट इससे कम मैं क्या कनेक्ट करूंगा सो दिस इज द आइडिया सो इफ देर इज अ ग्राफ विद n नंबर ऑफ वर्टिसेज सो व्हाट इज द मिनिमम नंबर ऑफ एजेस रिक्वायर्ड टू कनेक्टेड मिनिमम इज n -1 कम से कम जैसे चार के लिए कम से कम तीन हमें कनेक्ट करना पड़ा अ इफ अ ग्राफ विद n वर्टेक्स देन इट हैज टू बी नेसेसरीली कनेक्टेड अच्छा छोटा सा डेरिवेशन आपको समझाता हूं क्या है मे बी कभी कोई बात आपसे करें देखो आईडिया कुछ ऐसे इमेजिन करते हैं मान लीजिए हमारे पास फाइव वर्टिसेज है है ना लेट मी से v1 v2 v3 v4 एंड v5 नाउ द आईडिया इज कि पांच वर्टेक्स हमें यू नो हमें इस ग्राफ के अंदर एजेस लगाते जानी है बट द पॉइंट इज हमें कोशिश करनी है कि डिस्कनेक्टेड रहे जब तक पॉसिबल हो डिस्कनेक्टेड डर तो उसमें गेम क्या है कि आप एक वर्टेक्स को अलग कर दो बाकी चार को अलग कर लो मान लीजिए मैं k5 का एग्जांपल ले रहा हूं और जब तक एजेस आ रही है उसके अंदर ही लगाते जाओ लगाते जाओ लगाते जाओ लगाते जाओ बट देर इज अ मैक्सिमम थ्रश होल्ड यू सी छह एजेस मैं ऑलरेडी पंप कर चुका हूं सेवंथ कर सकता हूं क्या ना तो मैं सेल्फ लूप लगा सकता सिंपल ग्राफ में सेल्फ लूप नहीं लगा सकते नाइ दर आई कैन हैव पैरेलल एजेस मैं पैरेलल एज भी नहीं लगा सकता अब जो एडिशनल एज है वो ये सिक्सथ यू नो जो बचा हुआ वर्ट से इसके साथ ही मुझे कनेक्ट करना पड़ेगा यह प्रॉब्लम है हां या ना तो अब अगर मैं एक और एज पंप कर दूं तो तो ये ग्राफ कनेक्टेड हो ही गया तो डू यू अंडरस्टैंड एन आईडिया अगर पांच वर्टेक्स है लेट मी से पांच वर्टेक्स और कितनी एज हो गई सर हमारी एक दो छह इधर और ये सात हु विद फाइव वर्टेक्स एंड सेवन एज द ग्राफ इज नेसेसरीली कनेक्टेड आप कुछ भी कोशिश कर लो आप इस ग्राफ को डिस्कनेक्ट कर ही नहीं सकते यह कनेक्ट हो ही जाएगा तो लॉजिक क्या है लॉजिक समझिए अगर n टेक्स है एक वर्टेक्स को एक तरफ रखो n -1 को एक तरफ रखो अब आप मुझे बताओ n वर्टेक्स के ग्राफ में मैक्सिमम कितनी है आ सकती है सर n में आ सकती है n * n - 1/2 डेरिवेशन क्या पहले से हमें पता है तो अगर n में इतनी आ सकती है तो n -1 में कितनी आएंगी बाबू बताओ एक कम कर लो ना सो दैट इज n - 1 n - 2/2 बताओ ये बात ऑब्जर्व कर पा रहे हो क्या आर यू गेटिंग दिस तो यही मैं बोल रहा हूं अब जरा फ में वैल्यू रख के देखना कितनी आ रही है 5 माइ 1 5 - 2/2 सो बेसिकली 2 * 5 2 * 3 बिकम 6 छ पे डिस्कनेक्ट हो सकता है बट सेवंथ करेंगे तो कनेक्ट करना ही पड़ेगा सेवन पे कनेक्ट करना ही पड़ेगा दिस इज द आईडिया है ना तो वही वैल्यू लिखा है कि अगर आपके ग्राफ के अंदर आई विल से द नंबर ऑफ एजेस इज ग्रेटर देन n - 1 * n - 2/2 देन द ग्राफ इज नेसेसरीली कनेक्टेड वही पॉइंट लिखा था तो उसको डिराइवर कर लिया हमने ठीक ये उसी के ऊपर एक क्वेश्चन बन सकता है नाउ बेस्ड ऑन द ट्रैवर्सल एंड बेस्ड ऑन द कनेक्टेड तो हम वही डिस्कशन यहां कर रहे हैं अगर ग्राफ कनेक्टेड है तो पहला डेफिनेशन है यूलर ग्राफ अब यूलर ग्राफ क्या है यह पहली बचपन में कई बार आपने खेली है स्कूल के अंदर मे भी अभी याद नहीं है आईडिया इज यू स्टार्ट फ्रॉम अ वर्टेक्स एंड बाय कवरिंग एव्री एज ऑफ द ग्राफ एगजैक्टली वंस यू एंड अप ऑन द सेम वर्टेक्स एक वर्टेक्स से चालू करना ग्राफ के सारी एज को एगजैक्टली एक बार कंप्लीट करना और वहीं पर पहुंच जाना जहां से स्टार्ट किया था इस तरह के ग्राफ को क्या बोलते यूलर ग्राफ लुक एट दिस कभी-कभी ऐसा हो सकता है कि मे बी हम जिस पैटर्न में ट्रैवर्स कर रहे हो दैट इज नॉट द करेक्ट पाथ बट सम हाउ मे बी वी डू दिस देर यू सी तो दोनों के दोनों इज्जत रख गई लाइव वीडियो के अंदर हो गया काम सो दिस इज़ कॉल्ड यूलर ग्राफ क्या डेफिनेशन क्या समझा स्टार्ट फ्रॉम वर्टेक्स बाय कवरिंग एव्री एज ऑफ द ग्राफ एगजैक्टली वंस यू एंड अप ऑन द सेम वर्टेक्स फ्रॉम व्हिच यू हैव स्टार्टेड एक वर्टेक्स से चालू करने का और ग्राफ के हर एज को एगजैक्टली एक बार ट्रैवर्स करके उसी वर्टेक्स पे खत्म करना जहां से स्टार्ट किया था ऐसा आप कर पाते तो इस तरह के ग्राफ को हम क्या बोलते हैं यूलर ग्राफ बोलते हैं है ना दैट इज आईडिया एंड ये ऑब् वियस देखने में आपको लग रहा है कितना टफ है माय गॉड क्वेश्चन में कैसे होगा बट देर इज अ शॉर्टकट ट्रिक आल्सो व्हाट इज द आइडिया द आइडिया इज अगर ग्राफ का हर वर्टेक्स इवन डिग्री का है एंड ग्राफ कनेक्टेड है दोनों बात नोट करना क्या बोल रहा हूं ग्राफ का हर वर्टेक्स अगर इवन डिग्री का है और ग्राफ कनेक्टेड है तो जो ग्राफ होगा वो यूलर ग्राफ ही होगा वी ऑलरेडी नो दैट बात समझ आती है क्या ग्राफ यूलर ग्राफ ही होगा सो दैट इज वेरी इंपॉर्टेंट ठीक इसका दूसरा भाई है नोन एज हैमिल्टोनियन ग्राफ हैमिल्टोनियन ग्राफ क्या कहता है इधर देख लेते हैं एग्जांपल से द आईडिया इज अब हेल्ट नियन एजेस पे कंसंट्रेट नहीं करता है वर्टेक्स पे करता है स्टार्ट फ्रॉम एनी वर्टेक्स एंड बाय ट्रैवर्सिंग एवरी वर्टेक्स ऑफ द ग्राफ एगजैक्टली वन यू एंड अप ऑन द सेम वर्टेक्स ये मान लीजिए ट्रेवलिंग सेल्समैन प्रॉब्लम इसके ऊपर लिखी गई है जहां पर हम ए के साथ विड भी लगा देते ये उसकी बात नहीं करता कह रहा है एक वर्टेक्स से चालू करना है और ग्राफ के सारे एजेस एक सारे वर्टिसेज हैमिल्टोनियन वर्टेक्स हैमिल्टोनियन वर्टेक्स तो ग्राफ के सारे वर्टेक्स एक बार बार ट्रैवर्स करके उसी वर्टेक्स पेंड करना है इफ यू डू दैट देन द ग्राफ देन द साइकिल इज़ नोन एज हैमिल्टोनियन साइकिल एंड द ग्राफ इज़ नोन एज अ हैमिल्टोनियन ग्राफ ह फॉर एग्जांपल लुक एट दिस टिंग टिंग टिंग टिंग इंटरनल स्ट्रक्चर से मेरे को क्या लेना देना है सर दिस इज अ हैमिल्टोनियन ग्राफ यहां फंस जाओगे आप इधर से चालू किया इधर गया अभी मान लीजिए इधर आया अब क्या करूं फंस गया वापस तो जा नहीं सकता क्योंकि d को भी एक ही बार ट्रैवर्स करना और अगर इधर से इधर आता तो भी ये नहीं हो पाता तो दिस ग्राफ इज़ नॉट अ हाल्टो नियन ग्राफ इधर भी फसो ग नहीं इधर नहीं फसो ग बाहर से निकल जाओगे है ना सो देर यू सी दिस इज अ हैमिल्टोनियन ग्राफ अब यहां पे आर्टिकुलेशन पॉइंट आ गया यहां फिर फस जाएंगे तो इधर से मैं जा सकता हूं बट वापस कैसे आऊं b को मैं मल्टीपल ट्रेव कर नहीं सकता और एक ही पॉइंट है उधर जाने का सो अगेन दिस ग्राफ इज आल्सो नोन ए हैमिल्टोनियन नहीं है बात समझ आती है और यूलर तो मैं आपको बता चुका हूं डिग्री का गेम है 1 दोती चा सब इवन डिग्री के है दिस इज अ यूलर ग्राफ 1 दोती चा दिस इज अ यूलर ग्राफ दिस इज नॉट अ यूलर ग्राफ 1 2 3 एंड एंड एंड दिस इज नॉट अ यूलर ग्राफ टूथ दैट इज इट तो लॉन्ग रन में हम समझते हैं आईडेंटिफाई करना वेदर द ग्राफ इज हैमिल्टोनियन र नॉट दैट इज अ एनपीसी प्रॉब्लम कॉम्प्लेक्शन क्योंकि वो तो पॉलिनो मियल में आ जाएगा सीधा बस आप ऑड और इवन आइडेंटिफिकेशन हम ज्योमेट्री नहीं पढ़ रहे हम ग्राफ पढ़ रहे हैं तो आप इस ग्राफ को ऐसे बनाओ या इस थ्री को यू नो ओपन करके इधर रख दो यू नो बोथ ऑफ देम रिजल्स ईच अदर तो टू ग्राफ आर सेड टू बी आइसोमोरफिक इफ दे हैव द सेम ग्राफ रिलेटेड प्रॉपर्टीज जितनी भी प्रॉपर्टी जो अब तक हमने पढ़ी है नहीं पढ़ी सारी की सारी प्रॉपर्टी अगर दोनों ग्राफ की सेम है देन दीज टू ग्राफ्स आर आइसोमोरफिक ये कहते हैं अब इसको आइडेंटिफिकेशन आर आइसोमर्स ऑर नॉट इट इज़ आल्सो क्वाइट कॉम्प्लेक्शन नॉट एनपीसी टू बी प्रोसाइज बट स्टिल इट इज़ वेरी कॉम्प्लेक्शन होल्ड करने चाहिए तो यू कैन हिट एंड ट्राई एग्जाम में आई डोंट थिंक कि बहुत कॉम्प्लेक्शन दे सकता है जैसे यहां देखिए इसने पूछा हाउ मेनी सिंपल नॉन आइसोमर्स ग्राफ पॉसिबल विद थ्री वर्टेक्स तो पहले मैं एक बेसिक आईडिया आपको समझाता हूं तीन वर्टेक्स पे द सिंपलेस्ट पॉसिबल ग्राफ आई कैन हैव इज अ नल ग्राफ अब देखो मैं कोई एज ही नहीं लगाता एक केस हो सकता है कि मैं ग्राफ बनाऊं बट ओनली विद अ सिंगल एज देर यू सी आई कैन हैव अ ग्राफ विद अ सिंगल एज ऐसा मैं कर सकता हूं एक और आईडिया हो सकता है दैट आई कैन हैव अ ग्राफ बट विद टू एजेस ध्यान दीजिए वी कैन हैव अ ग्राफ विद टू एजेस लुक एट दिस दिस कैन बी एन आईडिया और एक लॉजिक हो सकता है क्योंकि तीन वर्टेक्स है व्हाट इज द मैक्सिमम नंबर ऑफ एजेस वी कैन हैव तीन आठ अलग-अलग ग्राफ हमने बनाए बट अब आप नोटिस करेंगे तो क्या यह तीनों ग्राफ आपस में एकदम सेम है अरे नाम ही तो आपने अलग-अलग लिख दिए प्रॉपर्टी तो एकदम सेम है तीन वर्टेक्स है एक एज है तीन वर्टेक्स है एक एज है तो अगर मैं आइसोमर्स इजम की बात करूं तीनों आपस में आइसोमोरफिक है लेकिन मुझे नॉन आइसोमर्स बताना है तो अब मैं इन दोनों को काउंट नहीं करूंगा आइसोमर्स इजम की नजर में दोनों तीनों सेम है सेम इधर आपने नाम ही तो बदल दिए बट एक्चुअली ये तीनों आपस में आइसोमोरफिक है तो टोटल ग्राफ कितने बन सकते हैं टोटल ग्राफ एट बन सकते हैं बट नॉन आइसोमर्स की बात करेंगे तो सिर्फ चार बन सकते हैं हां ये चारों पक्का अलग अलग है आप कोई ना कोई डिफरेंस निकाल लोगे इसमें h कम है इसमें ज्यादा इसका डिग्री ऐसा इसका ऐसा लाइक दिस हां ये लॉजिक है जैसे फॉर एग्जांपल ये देखिए इट्स अ प्रैक्टिस क्वेश्चन फॉर यू क्या ये दोनों ग्राफ आइसोमोरफिक है थोड़ा सा आप एनालाइज करोगे तो आप समझोगे यस दीज टू ग्राफ्स आर आइसोमोरफिक जितनी भी ग्राफ रिलेटेड प्रॉपर्टी हैं अगर मैं मैं थोड़ा सा आपको आईडिया लाऊं ये 6 f और 6 ये एकदम सेम है बस ओरिएंटेशन ग्राफ का थोड़ा सा चेंज कर दिया है ये कहानी है आप ट्राई कर सकते हो क्या ये दो ग्राफ आइसोमर्स है अ ये दो आइसोमोरफिक नहीं है बिकॉज़ आप नोटिस करोगे तो दिस इज लाइक ये एक एक ट्रायंगल इधर है इसको अगर मैं b को नीचे ले आता हूं एक ट्रायंगल इधर है और इसको अगर मैं ऊपर ले जाता हूं एक ट्रायंगल इधर है तो एक स्क्वायर के तीन एजेस से तीनों से एक-एक ट्रायंगल कनेक्ट किया है बट यहां पर आप देख स एक से दो ट्रायंगल एक से एक है तो अगेन वी नो कि देर इज अ प्रूफ कि हां ये डिफरेंट तरीके से डील कर रहा है सो ऑब् वियस दीज आर दीज टू आर नॉट आइसोमर्स है ना मैं दोबारा बता रहा हूं कि हमारा जो ऑब्जेक्टिव है ना यहां पे वो बड़ा स्ट्रेट फॉरवर्ड है कि स्पेसिफिक टाइम के अंदर पूरा कंटेंट का एक सॉलिड आईडिया दें व्हिच इज मोर दन सफिशिएंट फॉर योर सेमेस्टर्स एग्जाम बट आप कोई कॉम्पिटेटिव एग्जाम के लिए पपर कर रहा है गेट के लिए कर रहा है नेट के लिए करर है तो पूरा डिटेल प्लेलिस्ट है हमारे पास ग्राफ थ्योरी का गो एंड ट्राइट इट आउट इन सब के बहुत सारे एडिशनल केसेस मैंने करा है वहां पे है ना ओके यह मैं आपको कह नहीं रहा आप सॉल्व करो बट बस याद दिला रहा हूं यह चारों आपस में आइसोमोरफिक है दैट विल बी डिफिकल्ट आईडिया टू अंडरस्टैंड ईच ऑफ देम बट है यह चारों भी आपस में आइसोमोरफिक है अ नॉट चारों आई थिंक नॉट चारों पहले तीनों आइसोमर्स है ये अलग है इसका पैटर्न अलग है है ना बट ये पहले तीनों आइसोमर्स है वो सारे के सारे आपस में आइसोमर्स है दिस इज द आइडिया ओ माय गॉड ये तो डिफिकल्टी नेक्स्ट लेवल पे है ये सब भी आपस में आइसोमर्स है यह सब भी आपस में आइसोमर्स है तो वही मैं बोल रहा था छोटे केस में आसान है बट एक लेवल का इसमें कॉम्प्लेक्टेड जाती है ना कि इट क्वाइट डिफिकल्ट लेकिन इसलिए एग्जाम में पूछा भी नहीं जाता वो चाहते हैं कि बेसिक अंडरस्टैंडिंग आपको क्लियर हो फेयर इनफ सो दैट इज ऑल विद ग्राफ अभी लास्ट चैप्टर है हमारा जहां पे थोड़ा सा बेसिक आईडिया परम्यूटेशन का कॉमिनेशन का और कुछ क्वेश्चंस किस टाइप के पूछे जाते हैं स्पेसिफिक टू यूनिवर्सिटी एग्जाम पैटर्न वो ट्राई करते हैं यस लास्ट चैप्टर सर सो नाउ स्टार्टिंग विद द आईडिया बहुत बेसिक बेसिक डिस्कशन यहां पे करने वाले हैं तो सबसे पहले समझेंगे व्हाट इज परम्यूटेशन दना परम्यूटेशन मींस अरेंजमेंट्स है ना किसी भी एलिमेंट को किसी भी सीक्वेंस को एक सीक्वेंस ऑफ ऑब्जेक्ट्स को अरेंज करने के अलग-अलग कितने आईडियाज हो सकते हैं सो आई विल गो वन बाय वन परम्यूटेशन रेफर्स टू द अरेंजमेंट ऑफ अ सेट ऑफ आइटम्स और एलिमेंट्स इन अ स्पेसिफिक ऑर्डर है ना फॉर एग्जांपल द अरेंजमेंट आर कंसीडर्ड डिफरेंट इफ द ऑर्डर ऑफ द एलिमेंट इज डिफरेंट मैं एक एग्जांपल से बात करता हूं लेट मी से थ्री नंबर्स 1 2 3 सबसे मोस्ट कॉमन आईडिया कितने तरीके हो सकते हैं तीन नंबर को अरेंज करने के सो आई विल स्टार्ट विद अ वेरी बेसिक 1 2 3 देन 1 2 ऑर्डर चेंज कर सकते हो देन यू कैन हैव टू फर्स्ट सो 2 1 3 देन यू कैन हैव 2 3 1 फिर ऑर्डर चेंज करो थ्री को सबसे पहले ले आओ देन यू कैन हैव थ्री 1 एंड टू एंड देन यू कैन हैव थट एंड व सो आई थिंक ओवरऑल सिक्स डिफरेंट केसेस आर पॉसिबल अ यू नो बाय व्हिच वी कैन अरेंज देम सो दिस इज द आइडिया ऑफ परम्यूटेशन है ना कि अलग-अलग अलग-अलग कितने पैटर्न में आप अरेंज कर सकते हो बट नाउ दिस प्रॉब्लम कैन बी कंबाइंड पहले मैं कुछ और एग्जांपल्स आपको दिखा दंड आई विल कम बैक टू दिस आइडिया तो फॉर एग्जांपल आप देखिए अगर दो एलिमेंट हमारे पास है तो दो ही ऑर्डर हो सकते हैं ए या बी वेरी सिंपल अगर तीन नंबर है ऑलरेडी मैंने आपको बताया सिक्स मेथड्स हो सकते हैं सिक्स चीज हो सकते है अगर पीसीएम है तो भी तीन है फिजिक्स केमिस्ट्री मैथ इन बुक्स को अरेंज करने के कितने तरीके होते हैं सिक्स तरीके होते हो सकते है अब यहां पर हम यह भी सोच सकते हैं कि ओवरऑल एलिमेंट्स जितने भी हमारे पास हैं है ना उसके अंदर से आपको कितने सेलेक्ट करने है एंड देन यू नो बेस्ड ऑन दैट हम उसको कैसे अरेंज करेंगे मैं बोलना क्या चाह रहा हूं इट्स लाइक एनपीएम फॉर एग्जांपल मान लेते हैं हमारे पास पांच एलिमेंट है 1 2 3 4 एंड 5 अब मेरे पास जो मेरे को अरेंजमेंट बनाना है सिर्फ तीन लेंथ का अरेंजमेंट बनाना है तो बताओ पहले एलिमेंट के लिए कितना चॉइस है मेरे पास सर पह पहले के लिए पांच एलिमेंट है पांच में से कोई भी एक पिक कर सकता हूं तो बेसिकली व्हाट आई हैव इज फाइव चॉइस मैं नहीं कह रहा हूं फिफ्थ एलिमेंट आ गया पांच चॉइस है सेकंड प्लेस के लिए कितना चॉइस है अभी चार बचा तो बेसिकली वी हैव फोर चॉइस थर्ड के लिए कितना चॉइस है सो बेसिकली वी हैव ओनली थ्री चॉइस इजट इट तो टोटल कितने केस बनेंगे सो 4 5 * 4 इज 20 एंड 20 * 3 सो ओवरऑल 60 केसेस 60 डिफरेंट केसेस आर पॉसिबल बताइए बात फॉलो कर पा रहे हैं क्या यह एक बेसिक आईडिया है जिसको सोच के जिसमें दिमाग लगा के हम आगे बढ़ पा रहे होते हैं तो ये आया कैसे फार्मूले से करते हैं सो दिस इज कॉल्ड प या ए ए प एम या फिर यहां पर हमारे केस में हमने किया 5 p3 ये कैसे काम करता है इट इज इन जनरल n फैक्टोरियल डिवाइडेड बाय n माइ m फैक्टोरियल व्ट इज n हमारे केस में फ था 5 फटो डिवाइड बाय 5 माइनस 2 3 सॉरी यस 5 3 फट सो दिस इज 5 * 4 * 3 * 2 फट डिवाइड बाय 2 फ्ट टू से टू गया दे यू सी यू गेट द सेम आईडिया यस तो यहां पर बात सिर्फ ये नहीं है कि टोटल कितने अरेंजमेंट कर सकते हो वो तो हमें पता है एगजैक्टली n फैक्टोरियल अरेंजमेंट हो सकता है बट अगर सारे एलिमेंट हमें नहीं चाहिए हो एंड देन वी सी कि कितनी पोजीशन कितने केसेस हम बना सकते हैं तो लेट मी से क्वेश्चन क्या हुआ एक सेट जिसके अंदर n नंबर ऑफ एलिमेंट्स है उस इसमें से हमें सिर्फ m एलिमेंट्स चाहिए है ना तो दिस इज द फार्मूला फार्मूला इज n फैक्टोरियल डिवाइडेड बाय n - m फ्टो जिसको हम आमतौर पे परम्यूटेशन भी बोल देते हैं कि टोटल कितने परम्यूटेशन है है ना दिस इज वन आईडिया यहां पे आप किस तरह से एलिमेंट्स को अरेंज करते हो उससे फर्क पड़ता है एक कैसी हो सकता है जिसको हम बोलते हैं कॉमिनेशन जो उसी का एक डिफरेंट टाइप है यहां पर अगेन मैं सेम प्रॉब्लम अगर रखूं कि पांच एलिमेंट मेरे पास है हां 1 2 3 4 5 और अब आप मेरे को तीन एलिमेंट्स सेलेक्ट करके दोगे बट उनका रिलेटिव ऑर्डरिंग मेरे लिए इंपॉर्टेंट नहीं है इट इज लाइक कि फॉर एग्जांपल अगर मेरे पास 15 प्लेयर्स है और मेरे को 11 प्लेयर्स की क्रिकेट टीम बनानी है तो किसका नाम मैं पहले किसका बाद में रखो इससे कोई फर्क थोड़ी पड़ता है तो मेरे को तो बताओ स्टीम कितनी बन जाएंगी है ना तो उस केस में क्या करेंगे अभी फार्मूला देखो हमने क्या किया अभी हमने किया n फ्टो डिवाइडेड बाय n - m फ्टो फाइनली कितने एलिमेंट आपके पास है m है और उनका रिलेटिव ऑर्डरिंग भी हमारे लिए इंपॉर्टेंट था कॉमिनेशन के केस में कॉमिनेशन मीन सिलेक्शन जस्ट सिलेक्शन उनका रिलेटिव ऑर्डरिंग इंपॉर्टेंट नहीं तो हम क्या करते हैं हम m फैक्टोरियल से डिवाइड कर देते हैं ताकि जो अलग-अलग केस बने वो कैंसिल आउट हो जाए तो अब ये जो फार्मूला है यह फार्मूला बन जाता है एनसीआर का य इसको थोड़ा अलग से लिखूं व्हाट इज एनसीआर आईडिया सेम इट इज n फैक्टोरियल डिवाइडेड बाय n - r फटो एंड अगेन * r फैक्टोरियल सो दिस इज द आइडिया ऑफ एनसीआर है ना तो बेसिकली मान सकते हैं कॉमिनेशन में हम टोटल n में से m एलिमेंट्स चूज करते हैं और बस प्रॉब्लम यही खत्म हो जाती है इन केस ऑफ परम्यूटेशन हम m एलिमेंट चूज भी कर लेते हैं देन हमें ये भी टेंशन रहती है कि उसको अरेंज कैसे करना है देन उनके डिफरेंट डिफरेंट अरेंजमेंट्स भी हम कंसीडर करते हैं ये दो लॉजिक है है ना इस बेस पे वी कैन हैव डिफरेंट डिफरेंट टाइप ऑफ क्वेश्चंस फॉर एग्जांपल जैसे छोटा सा केस देखिए प्रीवियस ईयर क्वेश्चन ही मैं कंसीडर कर रहा हूं बहुत मुश्किल नहीं होते और प्लेसमेंट्स वगैरह में भी एप्टी रीजनिंग में भी इस तरह के क्वेश्चंस आपको मिल सकते हैं सो पहला क्वेश्चन है स्टेटमेंट है अ कलेक्शन ऑफ 10 इलेक्ट्रिक बल्ब्स कंटेन थ्री डिफेक्टिव वनस ये क्लेरिटी है हमें कि भाई टोटल 10 बल्ब हमारे पास है जिसमें से तीन डिफेक्टिव है सात सही है पहला स्टेटमेंट पढ़ो हाउ मेनी वेज कैन अ सैंपल ऑफ फोर बल्बस बी सिलेक्टेड तो ये ऑलरेडी मैंने प्रॉब्लम सॉल्व कर दी हैना इसमें हमने बात कर लिया 10 में से चार बल्ब सेलेक्ट करने के कितने तरीके हो सकते हैं हमें नहीं पता वोह सही है कि खराब है कि क्या है बट 10 में से चार सेलेक्ट करने के कितने तरीके हैं nc4 कौन सा बल्ब आप पहले रखोगे कौन सा बाद में इसमें कोई फर्क नहीं पड़ता अगेन फार्मूला लगाओगे सो दिस इज 10 फ्टो डिवाइडेड बाय 10 - 4 फटो * 4 फ्टो सो ये आपको बता देगा हाउ मेनी वेज आर पॉसिबल यू कैन सॉल्व दिस आसान है यह तो यह देखो क्या कह रहा है हाउ मेनी वेज कैन अ सैंपल ऑफ फोर बल्ब बी सिलेक्टेड व्हिच कंटेन टू गुड बल्ब्स एंड टू डिफेक्टिव वंस अभी आपको सोचना पड़ेगा देखिए टोटल 10 है जिसमें से तीन खराब है और सात सही है अब हमें चार चाहिए और चार में से हमें क्या ध्यान रखना है कि दो हमारे पास अच्छे वाले और दो हमारे पास खराब वाले तो बेसिकली देखिए प्रॉब्लम दो पार्ट में डिवाइड हो गई जो सेवन बल्ब करेक्टेड है करेक्ट है जिसमें कोई डिफेक्ट नहीं है उसमें से दो हमें चाहिए और दूसरा जो थ्री गड़बड़ है उसमें से भी दो उसमें से भी दो हमें चाहिए तो तो टोटल कितने केस हो गए इट इज 7c 2 + 3c 2 अगेन फॉर्मूला आपके पास है यू कैन पुट द वैल्यू एंड यू कैन आइडेंटिफिकेशन थ्री गुड वंस एंड वन डिफेक्टिव वंस और वन गुड वन एंड थ्री डिफेक्टिव वन अब पहला केस देख सकते हैं चार में से तीन सही वाले हैं टोटल सेवन में से पिक करूंगा एक खराब वाला है टोटल थ्री में से पिक करूंगा या उल्टा दिस इज थ्री इजेंट इट यहां पे सेवन में से एक पिक करोगे और थ्री में से थ्री पिक करोगे अब दोनों केस अलग अलगा दोनों को ऐड करोगे यू कैन आइडेंटिफिकेशन डिस्क्रीट मैथ्स में हम यहां से एक्सपेक्ट नहीं करते इसलिए इसको सेपरेट चैप्टर भी ज्यादातर यूनिट मैं बोलूंगा ज्यादातर डिस्क्रीट मैथ्स में इसको कंसीडर नहीं किया जाता यस अच्छा एक कंसेप्ट यहां पर और है पिजन होल प्रिंसिपल नाउ व्हाट इज दैट तो ये डायरेक्टली और इनडायरेक्टली कई जगह हमने ऑब्जर्व किया है इस वीडियो में भी किया है पहले अरेंजमेंट समझो क्या है मैं अगर पीजन के रिस्पेक्ट में बात करूं देयर आर सर्टेन नंबर ऑफ पीजन एंड देर आर सर्टेन नंबर ऑफ होल्स लेट मी से इफ दिस इज n नंबर ऑफ पीजन एंड m नंबर ऑफ होल्स बट द प्रॉब्लम इज नंबर ऑफ पीजन आर स्ट्रिक्टली ग्रेटर देन द नंबर ऑफ होल्स अब क्या करना पड़ेगा बताओ ऑब् वियस कोई ना कोई एक ऐसा होल तो होगा जहां पे नंबर ऑफ पीजेंस एक से ज्यादा होंगे बस यही है पीजन होल प्रिंसिपल अगर आपको याद हो तो फंक्शंस में हमने पढ़ा था ऑन टू फंक्शन सेम बात है नाउ इफ इ दिस इज लाइक यू नो हम जैसे को डोमेन इज इक्वल टू रेंज होना चाहिए और हमें हर वैल्यू को कवर करना पड़ता है ओबवियसली ऐसा होगा कि दो एलिमेंट का सेम मैपिंग मिलेगा इवन हाउ मेनी डिफरेंट केसेस आर पॉसिबल उसका अगर आपको याद हो ये फार्मूला याद है तो दिस इज द फॉर्मूला यूजिंग वच यू कैन कैलकुलेट टोटल पॉसिबल परम्यूटेशंस कितने सारे डिफरेंट केस हो सकते हैं इसको कैलकुलेट भी हमने किया था जब हम फंक्शन स्टडी कर रहे थे यू कैन गो बैक टू द फंक्शन वाला पार्ट और दोबारा देख सकते हो इसको हमने कैसे कैलकुलेट किया है ना तो अलग-अलग सिनेरियो में इसकी अलग-अलग अंडरस्टैंडिंग बनाई जा सकती है लेकिन बेसिक आईडिया इतना ही है ना इफ आई गो वन बाय वन जैसे यहां देखिए क्वेश्चन एक सिनेरियो क्या है 10 पेयर ऑफ सॉक्स हमारे पास है बेसिकली 20 सॉक्स है एंड 19 ड्रॉर हमारे पास है नाउ अकॉर्डिंग टू द पिजन होल प्रिंसिपल ओबवियसली कोई ना कोई एक ड्रॉर ऐसा होगा जिसमें एक से ज्यादा सॉक्स आएंगी बिकॉज़ सॉक्स 20 है ड्रॉर 19 है बेसिक बात है यहां पर क्या है एक क्लासरूम है 30 स्टूडेंट्स हैं एंड यू नो अ बर्थडे की बात कर रहे हैं ओबवियसली तो टोटल प बर्थडे मंथ कितने हो गए 12 मंथ्स हमारे पास होते हैं तो क्या अ 100% 110 पर कोई ना कोई मंथ्स ऐसे होंगे जहां पे एक से ज्यादा स्टूडेंट्स के बर्थडे होंगे ऑब् वियस होंगे क्योंकि इधर स्टूडेंट 30 है और बर्थडे मंथ सिर्फ 12 है सो दिस इज़ द आईडिया और यह प्रिंसिपल तो इतना ही है बट ऐसे जैसे फंक्शंस में यूज हो गया ऐसे बहुत सारे मैथमेटिकल एरियाज आइडियाज होते हैं जहां पे पी जनरल प्रिंसिपल हमारे काम आता है है ना दिस इज द आईडिया तो आई थिंक ये आपको बात समझ आ गई नेक्स्ट एक दो क्वेश्चन मैंने देखा बहुत जगह पूछे गए हैं अब जिनको आप परम्यूटेशन कॉमिनेशन वाले पार्ट में इधर भी रख सकते हैं स्ट थ्योरी वाले पार्ट में भी ऑब्जर्व कर सकते हैं बेसिक लॉजिक है एक बार क्वेश्चन अगर पूरा पढ़ेंगे एक क्लास है ऑफ 200 स्टूडेंट्स है ना आउट ऑफ व्हिच 125 स्टूडेंट्स हैव टेकन प्रोग्रामिंग लैंग्वेज कोर्स 85 स्टूडेंट्स हैव टेकन डेटा स्ट्रक्चर्स कोर्स 65 स्टूडेंट्स हैव टेकन कंप्यूटर ऑर्गेनाइजेशन कोर्स उसके बाद ये अलग-अलग डिटेलिंग में बता रहा है 50 स्टूडेंट्स हैव टेकन बोथ लैंग्वेज एंड डेटा स्ट्रक्चर 35 हैव टेकन बोथ डेटा स्ट्रक्चर कंप्यूटर ऑर्गेनाइजेशन 30 हैव टेकन बोथ प्रोग्रामिंग एंड लैंग्वेज एंड लैंग्वेज एंड ऑर्गेनाइजेशन 50 स्टूडेंट्स 1515 हैव टेकन ऑल द थ्री कोर्सेस तीनों ले लिए नाउ हम हा मेनी स्टूडेंट्स हैव नॉट टेकन एनी ऑफ द थ्री कोर्स तो कैसे कैलकुलेशन किया जा सकता है इसको अगेन इस तरह के केसेस में हम समझ सकते हैं तो लाइक दिस सेट रिप्रेजेंट्स प्रोग्रामिंग लैंग्वेज लेट मी से दिस सर्किल रिप्रेजेंट्स डेटा स्ट्रक्चर्स ग्रेट एंड दिस रिप्रेजेंट्स कंप्यूटर ऑर्गेनाइजेशन तोब यहां पे आप देख सकते हैं टोटल ये कैसे-कैसे इसने डिवाइड किया 125 स्टूडेंट्स यहां पे है है ना 85 85 85 स्टूडेंट्स यहां पे हैं एंड 65 स्टूडेंट्स हमारे पास इधर है अब इसने क्या-क्या बोला उसके बाद 50 हैव टेकन तो प्रोग्रामिंग एंड डाटा स्ट्रक्चर तो यह इनका इंटरसेक्शन 50 हो गया 35 हैव टेकन डेटा स्ट्रक्चर कंप्यूटर ऑर्गेनाइजेशन डेटा स्ट्रक्चर एंड कंप्यूटर ऑर्गेनाइजेशन देयर कम्स 35 यह हुआ 30 और बाद में कितने बचे 15 ऐसे हैं जो हर एक किसी के अंदर कॉमन है जिन्होने तीनों पिक किए हैं तो दिस इज द आईडिया जो हम कैलकुलेट कर सकते हैं कैसे पहले आप इंडिविजुअल सम कर लो इफ आई ट्रीट देम एज ए बी सी सो दिस इज लाइक 125 एंड देन 85 एंड देन 65 बट नोटिस करिएगा ज मैं 125 कह रहा हूं मैं इन सबको भी कवर कर रहा हूं ऐसा नहीं है एक्सप्लीसिटली 125 है है ना तो टोटल 125 है तो ओबवियसली इसमें बहुत सारा डाटा मैं मल्टीपल टाइम कवर कर चुका हूं तो मेरे को क्या करना पड़ेगा जो कॉमन पार्ट है इंटरसेक्शन माइनस करना पड़ेगा तो a और बी का इंटरसेक्शन कितना जैसे उसने बोला है सो आई विल डू -50 सिमिलरली बी और c का इंटरसेक्शन कितना बोला आई विल डू -35 एंड देन आई विल डू -30 अब इसमें होगा क्या क्योंकि तीन बार हमने इंटरसेक्शन माइनस कर दिया तो जो तीनों का कॉमन पार्ट है वो तीन बार माइनस हो गया है ऐड दो बार हुआ था उसको एक बार ऐड कर तीन बार ऐड हुआ तीन बार माइनस हो गया तो उसको फर्द ऐड करना पड़ता है तो तीनों का इंटरसेक्शन प्लस करेंगे दैट विल बी 1515 जब ये पूरा आप सॉल्व करेंगे तो इसने उल्टा पूछा है ना अ तो आई थिंक ये जो वैल्यू आएगी आएगी 175 अब टोटल स्टूडेंट्स बताओ कितने थे सर टोटल स्टूडेंट्स थे 200 इसमें से यहां सिर्फ कितने कवर हो पाए हैं 175 तो कितने बचे 2525 इसका मतलब 25 स्टूडेंट ऐसे हैं जिन्होंने तीनों में से किसी भी कोर्स के लिए ऑप्ट नहीं किया है ना इस तरह का बेसिक क्वेश्चन यहां से बनाया जा सकता है प्रीवा क्यूज में मैंने देखा कई यूनिवर्सिटीज में ऐसे केसेस पूछे गए हैं तो एक सैंपल मैंने बना दिया बट दिस इज अगेन सेट थ्योरी वाला आईडिया जो हमने यूज किया था वहां पे दो सेट पे किया था यहां पे तीन सेट पे आ गया दिस इज द लॉजिक सो आई थिंक दैट विल बी ऑल है ना डिस्क्रीट मैथ्स में टोटल एट चैप्टर्स हमने कवर किया और मैं देख रहा था कमेंट सेक्शन कभी-कभी कुछ बच्चों को ऐसा लग रहा है कि आप रिपीटेडली पूछ रहा है कि हमारे यूनिवर्सिटी के हिसाब से है कि नहीं मैं दोबारा श्योर कर रहा हूं कि हर कोर्स बनाते हुए मैं लगभग लगभग 10 12 बड़ी यूनिवर्सिटीज इंडिया की जो है उनको मैं कंसीडर कर रहा हता इवन नॉर्थन इंडिया बहुत सारे हिंदी स्पीकिंग जो या यू नो जो समझ पाते हैं कंट्रीज है वहां भी आप अपने करिकुलम चेक करोगे स्टैंडर्ड है वो पूरी दुनिया में लगभग लगभग सेम चल रहा होता है तो उसमें मैं ध्यान रख रहा हूं एंड डिस्क्रीट मैथमेटिक्स भी यहां पे कंप्लीट हो जाता है आप लोग जितना सपोर्ट जितना प्यार दे रहे हो उसकी मैंने कभी भी एक्सपेक्टेशन नहीं की थी ये बात मैं हमेशा लास्ट में ही करता हूं बिकॉज यहां तक आप पहुंचे तो इसका मतलब पूरा कंटेंट देखते हुए आए हैं तो इसी तरह अपना प्यार अपना सपोर्ट बनाए रखिएगा आने वाले टाइम में भी जितने कोर टॉपिक्स थे गेट नेट कॉम्पिटेटिव एग्जाम वाले लगभग सब कंप्लीट कर लिए हैं अब आने वाले टाइम में कौन-कौन से टॉपिक्स पे वीडियो बनानी है उस परे आपकी सलाह चाहिए तो कमेंट सेक्शन में जरूर बताइएगा कि अब कौन से सब्जेक्ट पे वन शॉट चाहिए आएंगे वन शॉट ही यह बात त है यस बाकी अपना प्यार बनाए रखिए कोई एडवाइस है इफ यू वांट कि हम लाइव स्ट्रीम भी करना शुरू करें या कोई भी अंडरस्टैंडिंग है कमेंट सेक्शन में मेंशन करिए हम उस पे बात करेंगे और आगे बढ़ेंगे तो प्यार बनाए रखिए चैनल को सब्सक्राइब करिए वीडियो को लाइक करिए और इसी तरह आगे कहानी चलती रहेगी भगवान आप सभी को खुश रखे जय हिंद जय भारत