Continuación de la teoría de transformaciones en matemáticas.
Enfoque en la transformación de Mobius (o transformación racional lineal).
Definición de la Transformación de Mobius
La transformación de Mobius es el cociente de dos transformaciones lineales.
Forma general: [ W = \frac{AZ + B}{CZ + D} ]
Se puede reescribir de diferentes maneras, manteniendo la equivalencia.
Propiedades y Casos Particulares
Si ( C = 0 ), se reduce a una transformación lineal simple.
Si ( AD - BC = 0 ), todos los puntos mapean a un único punto, lo que no es útil.
Las constantes ( A, B, C, D ) pueden ser números complejos.
Composición de Transformaciones
La transformación de Mobius se puede entender como la composición de tres transformaciones:
Transformación lineal ( CZ + D )
Inversa de la transformación lineal ( W = \frac{1}{Z} )
Otra transformación lineal ( W = A \cdot Z + B )
Las transformaciones lineales preservan la forma, mientras que la transformación ( \frac{1}{Z} ) puede transformar rectas en circunferencias y viceversa.
Condiciones de la Transformación de Mobius
Es crucial que ( AD - BC \neq 0 ) para evitar que todos los puntos se mapeen a un solo punto.
La transformación de Mobius transforma circunferencias y rectas en circunferencias y rectas.
Transformación Inversa de Mobius
La transformación inversa permite recuperar la variable original. Se puede expresar de forma algebraica al despejar ( Z ) en términos de ( W ).
Forma Implícita de la Transformación de Mobius
La forma implícita considera tres puntos distintos en el plano ( Z ) y sus imágenes en el plano ( W ).
Se puede demostrar que si se cumplen ciertas condiciones, se mapean consistentemente los puntos entre ambos planos.
Ejemplo de Transformación de Mobius
Ejemplo: Transformación que transforma un disco en otro plano.
La elección de ( Z0 ) con módulo menor a 1 genera un mapeo interesante que se puede graficar.
Transformaciones Conformes
Definición de transformaciones conformes: preservan los ángulos, manteniendo la forma.
La transformación ( e^Z ) es un ejemplo de transformación conforme.
La derivada no debe ser cero en el punto de interés para conservar la conformidad.
Análisis de Transformaciones Conformes
Para determinar si una transformación es conforme, se debe analizar caso por caso.
Ejemplo: La transformación ( Z^2 ) es conforme excepto en ( Z = 0 ).
Factor de Escala en Transformaciones Conformes
El módulo de la derivada primera de la función indica cómo se escalan las longitudes entre los planos ( Z ) y ( W ).
Esto se traduce en un factor de escala que indica si se amplían o reducen las longitudes durante la transformación.
Teorema de Funciones Armónicas
Relación entre funciones analíticas y funciones armónicas al realizar transformaciones.
Si se transforma una función armónica en un plano, su imagen seguirá siendo armónica en el otro plano.
Conclusión
Se finaliza el tema de transformaciones y se preparan problemas relacionados.
El próximo tema será integración en variable compleja.