Hola chicos y chicas, ¿cómo están? Vamos a continuar con la teoría de matemáticas, vamos a tratar de terminar con la teoría de transformaciones. Y para ello vamos a continuar hablando de una...
transformación que todavía no hemos tratado, que se llama la transformación de Mobius, o en algún texto también la van a encontrar como transformación racional lineal, porque si ustedes se fijan en la forma que tiene esta transformación, que es la que ven aquí, es el cociente de dos transformaciones lineales. ¿Ustedes se acuerdan de hacer...? en alguna clase atrás, nosotros hemos hablado de transformaciones del tipo AZ más B, le hemos llamado transformación lineal.
Bueno, acá tenemos el cociente de dos transformaciones de ese tipo. Ese cociente se llama, como decimos, transformación de Mobius o transformación racional lineal. El cociente, la razón, de dos transformaciones lineales. ¿Qué podemos decir de esta transformación? Lo primero que...
Es bastante fácil darse cuenta que podemos escribirla de otra manera, fíjense, si este denominador lo pasamos multiplicando a W, y luego agrupamos todo de un mismo miembro, nos va a quedar una expresión que va a tener esta forma, donde las constantes A mayúscula, B mayúscula, C y D, que figuran en esta igualdad, están estrechamente relacionadas, no son iguales, pero están estrechamente relacionadas con las constantes A, B, C y D minúsculas que figuran en esta otra. Es decir, la transformación de Mobius se puede describir de la manera que la vemos acá, o de esta forma, es equivalente. Podemos pasar de una a la otra, teniendo una podemos conocer la otra. Cualquiera de las constantes que figuran allí, en general pueden ser constantes de valor complejo, y estas condiciones que se deben cumplir ya las vamos a aclarar ahora, enseguida, por qué motivo. es necesario que se cumplan estas condiciones.
Algunos casos particulares. Fíjense que si el valor de C que figura acá en el denominador es igual a cero, nosotros nos quedamos en definitiva con una transformación lineal, porque lo único que nos quedaría es esta D en el denominador, y por lo tanto tendríamos... A sobre D multiplicando a Z más D sobre D, y eso es simplemente las transformaciones lineales que hemos visto previamente.
En general entonces, si el C es distinto de cero, podemos tener la transformación de Mobius completa, y vamos a reescribirla de otra manera con el propósito de ver qué características tiene. Para ello vamos a manejar un poquito algebraicamente la expresión que tenemos acá arriba de la transformación de modos. Y para ello lo primero que hacemos es multiplicar numerador y denominador por la constante c. A continuación lo que hacemos es sumar en el numerador, sumar y restar en el numerador para alterarlo, el producto de a por d, como ustedes ven acá. Es decir...
Seguimos teniendo la misma transformación que teníamos originalmente, la que figura acá arriba resaltada, solo que hemos estado aplicando algunos manejos algebraicos que nos van a permitir escribirla de otro modo para interpretarla a esa transformación. Y ahora lo que hacemos es simplemente expandir el producto que tenemos acá en el numerador. Nos queda... C por A multiplicando a Z, que es lo que ustedes ven acá, más AD, que es lo que tenemos acá, más BC, que sale del producto que tenemos aquí, que ustedes ya ven acá, menos AD. ¿Por qué motivo lo hemos escrito de esta forma?
Bueno, porque ahora entonces, si sacamos A, factor común, de los dos primeros términos que tenemos aquí, nos queda esta expresión, y entonces, fíjense, si ahora... distribuimos lo que tenemos en el numerador, haciendo el cociente por lo que tenemos en el denominador, fíjense, tomo el primer término del numerador, dividido el denominador, tengo CZ más D y CZ más D, y se me cancela, me queda simplemente A sobre C. Y luego tengo BZ menos AD, dividido C, y 1 sobre CZ más D. ¿Para qué hemos trabajado de esta manera? para llegar a esta expresión, repito, es equivalente a la que teníamos originalmente.
Porque si ahora miramos esta expresión de una manera un poquitito diferente, podemos decir que la transformación de Mobius es una transformación que resulta la composición de tres transformaciones. Fíjense, si yo parto de la variable Z como variable independiente, Puedo decir que tengo una primera transformación que me lleva a la variable Z, a la variable Z mayúscula, que es la transformación CZ más D, que es la que ustedes están viendo acá, en este denominador. Esa es una transformación de tipo lineal, es una constante compleja C, multiplicando a la variable Z, más otra constante compleja D. Es del tipo de las transformaciones lineales que hemos estudiado.
Si luego, a partir de esa transformación que me transforma Z minúscula en Z mayúscula, yo ahora pienso en una segunda transformación donde W mayúscula se obtiene haciendo 1 sobre Z mayúscula, que es lo que estamos observando aquí. Y luego, finalmente, obtengo W minúscula haciendo A sobre C más... Todo esto que tenemos acá, que no es más que una constante compleja, multiplicando a W mayúscula, con lo cual reproduzco la expresión que tenemos acá, y que sabemos que es equivalente a W minúscula. La conclusión de todo esto entonces, es que la transformación de Mobius resulta ser la composición de estas tres transformaciones.
Dos de las cuales son transformaciones lineales, que sabemos que, habíamos estudiado, no modifica la forma del objeto, sino, si recuerdan, simplemente produce un agrandamiento, una dilatación, una contracción del objeto, un giro de ese objeto y una traslación. Y por último, la tercera transformación que está involucrada es una transformación del tipo 1 sobre Z, que tiene de... interesante ver la transformación de Mobius como combinación de estas tres. Que estas tres transformaciones, primero, perdón, primero aclaremos lo que habíamos dejado pendiente de por qué motivo, como decíamos acá, AD menos BC tiene que ser distinto de cero. Porque si AD menos BC resulta igual a cero, vemos acá, a través de esta expresión que hemos encontrado de la transformación de Mobius, vemos que todo este término resultaría cero.
Entonces la transformación toma una forma muy particular que no nos sirve de mucho, porque simplemente W minúscula resulta ser A sobre C. Es decir, todos los puntos Z, independientemente del valor de Z, van a parar a un único punto A sobre C. Y entonces, si bien es un caso muy especial de la transformación de Mobius, no nos interesa demasiado porque todos los puntos van al mismo, tienen la misma imagen. Y es por eso entonces que se pide este requisito de que AD menos BC sea distinto de cero.
En esta forma de la transformación de movios el equivalente es que A mayúscula, D mayúscula, menos, B mayúscula, C mayúscula, también tiene que ser distinto de cero. Ese es el motivo por el cual lo habíamos pedido. Decíamos entonces que, ¿por qué motivo resulta útil ver la transformación de movios como combinación de estas tres transformaciones?
Dos transformaciones lineales y la transformación 1 sobre Z. ¿Por qué esas tres transformaciones comparten una característica? Que es que las tres transforman circunferencias y rectas en circunferencias y rectas.
Lo hemos hablado específicamente en el caso de la transformación 1 sobre Z. Las transformaciones lineales no lo hemos hablado específicamente, pero como hemos descrito que constituían... Una dilatación o una contracción.
un giro y una traslación, resulta evidente que la geometría del objeto no resulta transformada, y si teníamos un cuadrado vamos a seguir teniendo un cuadrado, si teníamos un círculo vamos a seguir teniendo un círculo, y por lo tanto, claramente, si teníamos rectas, se siguen convirtiendo en rectas, si teníamos círculos se siguen convirtiendo en círculos, en el caso de la transformación lineal. Y en el caso de la 1 sobre z ya hemos mostrado que transforma en general rectas que pueden ir a rectas o pueden ir a circunferencias, y viceversa, circunferencias que pueden ir a rectas o a circunferencias. Quiere decir que en general, las tres transformaciones cumplen con esta condición de que transforman circunferencias y rectas en circunferencias y rectas.
Conclusión, como la transformación de Mobius es una combinación de ellas, la transformación de Mobius transforma siempre circunferencias y rectas también en circunferencias y rectas. Existe lo que llamamos la transformación de Mobius inversa Es decir, si dada esta igualdad, la transformación de Mobius Que nosotros podemos representar de otra manera Para poner luego en evidencia que existe la transformación inversa Vamos a decir que esta es una función T grande de la variable independiente Z En esta... igualdad entre W y a Z más B sobre Z más D, yo puedo despejar la variable Z.
Es cuestión de pasar Z más D multiplicando allá, luego agrupar todo y despejar Z. Si hacemos ese trabajo algebraico, encontraríamos que la variable Z resulta ser igual a esta expresión en la variable W, donde lo que hemos encontrado es la transformación de Moebius inversa. Es decir, una transformación t a la menos uno, simplemente este menos uno no está indicando potencia, sino simplemente que es la transformación inversa de esta t que teníamos acá, donde ahora a partir de la w, que en este caso era la imagen de la z, ahora resulta ser la variable independiente, a partir de esa w podemos volver a encontrar la z que acá figuraba como variable independiente.
y en este caso figura como variable dependiente de la W. Una forma diferente de escribir la transformación de Mobius es la que se conoce como la forma implícita de la transformación de Mobius, que es esta que tenemos aquí. Fíjense, Z1, Z2 y Z3 son tres puntos diferentes. del plano Z.
Y W1, W2 y W3, que figuran en el miembro de la izquierda, son tres puntos distintos del plano W. Fíjense que en el miembro de la izquierda figura la variable W genérica, y en el miembro de la derecha la variable genérica Z. Con lo cual, esta forma es una forma diferente, pero es una forma análoga a las anteriores. de expresar la transformación de Mobius.
Y la particularidad que tiene esta forma de escribir la transformación de Mobius es que aplica los puntos Z1, Z2 y Z3 del plano Z en los puntos W1, W2 y W3. Es decir, la imagen de Z1, según esta transformación, va a ser W1, la imagen de Z2, W2, y la imagen de Z3, W3. Vamos a tratar de mostrar que efectivamente eso es así. Fíjense, si hacemos el producto cruzado en la expresión que tenemos resaltada arriba, nos queda sencillamente esta igualdad. Fíjense, tenemos W menos W1, W2 menos W3, que lo hemos reproducido aquí, multiplicando a Z menos Z3, Z2 menos Z1, que es lo que tenemos acá.
Y de la misma manera... el otro producto cruz. Si ahora analizamos un poquito esta igualdad que tenemos allí, fíjense, si el valor de Z resulta ser igual a el valor de Z1, este paréntesis que tenemos acá se transforma en 0. Con lo cual...
todo el miembro de la derecha va a ser igual a cero, y por lo tanto también tiene que serlo. el miembro que tenemos a la izquierda. Ahora bien, fíjense, W2 menos W3 es distinto de 0. ¿Cómo podemos asegurarnos de eso? Porque acá decimos que los puntos W1, W2 y W3, al igual que Z1, Z2 y Z3, son puntos distintos. Entonces W2 y W3 no pueden ser iguales, y por lo tanto este paréntesis es distinto de 0. Lo mismo nos pasa acá.
¿Por qué? Porque Z ha tomado el valor Z1. y entonces Z1 menos Z3 es distinto de 0. Y lo mismo tenemos acá, Z1 y Z2 son puntos diferentes, por lo tanto este paréntesis es distinto de 0. Tenemos tres factores que intervienen en el producto del primer miembro que son diferentes de 0, pero sabemos que el resultado total de este miembro tiene que ser 0, que tiene que coincidir con el segundo miembro. Por lo tanto, la única posibilidad es que este factor que tenemos acá resulte ser nulo y por lo tanto W...
va a ser igual a W1. Entonces, estamos demostrando de esta manera que si Z es Z1, W es W1. Dicho de otra manera, la imagen del punto Z1 va a ser W1.
Fíjense qué ocurre ahora con la misma igualdad si Z es Z3. Ahora, acá, este factor vale 0. Por lo tanto, todo el miembro de la izquierda ahora se hace cero. Fíjense lo que pasa en el miembro de la derecha. Este es distinto de cero. Recuerden, los puntos W1, W2 y W3 son diferentes.
Por lo tanto, este factor que tenemos acá, W2 menos W1, como W1 y W2 son distintos, es distinto de cero. Este factor Z menos Z1 también, porque Z toma el valor Z3. Entonces Z3 menos Z1, puntos distintos, es distinto de 0. Z2 menos Z3, también distinto de 0, por la misma razón.
Por lo tanto, todo este miembro, que tiene que ser 0 porque lo es el de la izquierda, únicamente puede ser 0 a través de la anulación de este factor. Y eso implica que W tiene que ser igual a W3. Dicho de otra manera, la imagen de Z3 va a ser W3. Y por último...
Si Z vale Z2, acá me queda Z2 menos Z3, acá me queda Z2 menos Z1, entonces fíjense que acá tengo Z2 menos Z3, igual que lo tengo aquí, y acá tengo Z2 menos Z1, igual que lo que tengo acá. De tal manera puedo cancelar todo eso, que aparece en ambos miembros, y me queda... W menos W1 por W2 menos W3, lo restante que teníamos acá, igual a lo restante que teníamos de este lado, y la única solución de esta expresión que me queda lineal en W, fíjense que me queda una ecuación de primer grado en W, y la única solución, y es bastante evidente en la expresión que nos ha quedado, es que W sea igual a W2.
Si acá ponemos W2... nos queda W2 menos W3, que coincide con lo que tenemos de este lado, y acá W2 menos W1, que coincide con el otro factor que tenemos del miembro opuesto. De esa manera mostramos que, efectivamente, si escribimos la transformación de Mobius de la manera que está resaltada acá arriba, lo que estaremos forzando es que las imágenes de los puntos Z1, Z2 y Z3 sean, respectivamente, W1, W2 y W3.
W3. Simplemente como ejemplo, no pretendo estar demostrando nada con esto que les estoy mostrando ahora, si la transformación de Mobius toma una forma bastante particular, que es decir que en el numerador tenemos Z menos una constante compleja Z0, cuyo módulo sea menor a 1, y en el denominador... lo que multiplica a la Z es el conjugado del Z0 que teníamos arriba, y luego le restamos 1, la transformación que vamos a obtener nos permite transformar los puntos de este disco en los puntos de este otro en el plano W. Insisto, no pretendo estar demostrando eso, para nada, es simplemente un ejemplo que les estoy dando, que podríamos verificar que si efectivamente hacemos esta transformación, que se puede hacer un punto de la Z, eligiendo como Z0, insisto, cualquier número cuyo módulo sea menor a 1, en el ejemplo que ustedes tienen acá graficado, el Z0 se adoptó igual a 05. Y la transformación que se produce es esta que ustedes están viendo en este caso particular. Vamos a terminar el tema de transformaciones hablando un poquitito de lo que se conoce como transformaciones conformes.
Supongamos que yo tengo en el plano Z una curva cualquiera que identificamos con la letra C mayor. Esa curva está dada en el plano Z a través de una función de cierto parámetro real T, que varía entre A y B. Esto puede confundirlos un poco y yo creo que podemos aclararlo bastante. Hemos hablado bastante, ya a esta altura del curso, de una circunferencia en el plano complejo. Se imagina una circunferencia en el plano complejo que, para hacerla más sencilla, piensen en una circunferencia de radio 1 y centrada en el origen.
La ecuación de esa circunferencia en el plano complejo sería... Z igual coseno de tita más I seno de tita. Si tita, el parámetro de esa circunferencia, el ángulo, yo lo hago variar entre 0 y 2pi, la expresión Z igual coseno de tita más I seno de tita me describe una circunferencia completa. Por supuesto, si ese parámetro tita, en lugar de hacerlo variar entre 0 y 2pi, yo lo hago variar entre 0 y cualquier otro ángulo, estaré describiendo un arco de circunferencia, ya no la circunferencia completa.
Bueno, es un muy buen ejemplo de esto que podemos expresar acá. Yo puedo decir, una circunferencia se expresa a través de una función coseno de t más y seno de t. Con t. con el parámetro t, variando entre dos valores a y b, dependiendo de cuáles sean los valores de a y de b, estaré describiendo un arco diferente de esa circunferencia.
Muy bien, de eso estamos hablando aquí. De una curva cualquiera, no necesariamente una circunferencia, por supuesto, el ejemplo que yo les he dado simplemente es para que vean que efectivamente, si yo construyo una función de ese tipo, de cierto parámetro real t, que... estaré describiendo una curva en el plano Z.
Por supuesto, la curva que tenemos acá no es una circunferencia, yo puedo hacer que esta función sea tan complicada como me dé la gana, pero en cualquier caso estaré describiendo un conjunto de puntos en el plano Z que constituyen una curva. Un ejemplo de eso sería un arco de circunferencia. Perfecto.
Vamos a imaginar una función f de Z decimos acá, definida en todos los puntos de la curva C. ¿Qué queremos decir con esto? Queremos decir que vamos a calcular esa función exclusivamente para los valores de Z que se encuentren sobre esta curva. Es decir, no vamos a calcular f de Z para cualquier valor de la variable independiente Z.
Yo podría calcular f de Z para un punto, por ejemplo, que esté ubicado en este lugar, del plano Z. No, nosotros vamos a restringir el dominio de la función f de z, diciendo que únicamente nos van a interesar los valores de z que se encuentren sobre la curva c. Vamos a restringir el dominio de la función, diciendo que únicamente vamos a tomar los z, no que estén en el plano complejo en cualquier lugar, sino ubicados únicamente sobre la curva c. Imaginen que ahora...
a F de Z, le aplicamos cierta transformación. Es decir, perdón, disculpen, me expresé mal. Imaginen que ahora entonces, a los puntos que se encuentran sobre la curva C, les aplicamos la transformación F de Z.
Es decir, a todos los puntos que se encuentran sobre la curva C, les aplicamos la transformación F. que nos va a dar para todos esos puntos un cierto conjunto de puntos en el plano W. Si ustedes quieren pensarlo de manera más sencilla, sería, bueno, tomemos un punto cualquiera, un único punto sobre la curva C, apliquémosle la función f de z, ¿cuál puede ser la función f de z?
No importa, cualquiera, si ustedes quieren un ejemplo concreto, imaginen que f de z es e a la z. Entonces, a cada punto que pertenecía, que pertenece a la curva C, le encuentro su imagen, aplicándole f de z. E de Z si quieren pensar en un ejemplo, y encuentro una imagen en el plano W. Es decir, en el plano W voy a encontrar otra curva, esta letra griega, esta letra sigma mayúscula, voy a encontrar otra curva sigma que no va a ser más que la imagen de los puntos Z que pertenecían a esta curva. Formalmente yo obtengo W aplicando la función F.
a la variable z, pero la variable z sabíamos que se obtenía a través de este parámetro t que variaba entre a y b. Vamos a imaginar que nuestra curva c, que teníamos en el plano z, pasaba por un cierto punto particular z0. Ese punto particular z0 se obtenía asignándole a la variable t un valor especial t sub 0. estamos hablando de un punto cualquiera sobre la curva, que por supuesto se obtenía cuando t valía un cierto valor particular t sub cero.
Vamos a imaginar que nuestra función f de z, la que origina la transformación al plano W, es una función que cumple dos características en el punto z cero. Por un lado es analítica, es decir, tiene derivada. en el punto Z0, existe la derivada en el punto Z0.
Pero además, pedimos que la derivada en el punto Z0, que debe existir para que la función sea analítica, no sea cero. Vamos a suponer que la derivada existe, pero que además el valor de la derivada de la función en Z0 no es cero. ¿Está bien? Analicemos entonces la derivada de W. Calculemos la derivada W', en particular en el punto Z0, es decir, para un valor T0 del parámetro T.
Tenemos que derivar esta función que está acá arriba. Y sabemos que para derivarla, como es función de función, lo que hay que aplicar simplemente es la regla de la cadena. Es la derivada de la función F, valorizada en el punto T0, multiplicado por la derivada de Z, Z', también valorizada en el punto T0.
Ahora, si observamos esta igualdad que tenemos aquí, lo que tenemos a la izquierda es un número complejo, la función W'valorizada en el parámetro T0, un número complejo, un resultado numérico de una función, pero como W es una función en general de variable compleja, nos va a dar un número complejo, y a la derecha tenemos... exactamente lo mismo, tenemos el producto de dos funciones, en general dos funciones complejas. Número complejo a la izquierda, producto de dos números complejos a la derecha. Para que lo que tenemos a la izquierda coincida con lo que tenemos a la derecha, se tiene que cumplir que el módulo de lo que está a la izquierda sea igual al módulo total de lo que tenemos a la derecha, es decir, al producto del módulo de la primera por el módulo de la segunda.
o de la segunda, y además se tiene que cumplir que el argumento de lo que tenemos a la izquierda coincida con el argumento de lo que tenemos a la derecha. Cuando teníamos producto de funciones, los argumentos se sumaban, y ahí surge esta igualdad que ustedes ven aquí. El argumento de W'valorizado en T0 tiene que ser igual al argumento de F'valorizada en todo esto que tenemos acá, que es Z0. más el argumento de Z'valorizado en el punto T0. Le vamos a llamar a este argumento de W'valorizado en T0, Fi0, y geométricamente no nos está indicando más que cuál es la pendiente de esta curva en el punto particular W0.
La derivada de esta función, la derivada de la función W, no es más que la pendiente que toma en ese punto. Por lo tanto, este es el ángulo Φ0 del que estamos hablando. De manera análoga, en el plano Z, el ángulo θ0 que estamos indicando, no es más que, geométricamente, esta pendiente que constituye la de la curva C en el punto Z0.
Vamos a llamar Φ0 a este ángulo. Y por lo tanto, si lo escribimos en función de los ángulos, nos queda que el ángulo fi cero, este que tenemos acá, resulta ser el ángulo original que formaba la curva C en el punto Z0, más lo que llamamos el ángulo de rotación. El dado fi cero, el dado por la derivada primera de la función que transforma el plano Z en el plano W, valorizada en Z0.
o en el valor del parámetro t sub cero. ¿Qué significa todo esto? ¿Qué importancia tiene todo esto?
A ver, estamos reproduciendo acá la misma igualdad que teníamos recién, con la única diferencia que estamos diciendo que acá tenemos un ángulo phi1 y acá tenemos un ángulo theta1. ¿Por qué motivo? Porque...
Estamos pensando acá en una curva C1 que se transforma en una curva sigma 1 y vamos a considerar una segunda curva. Vamos a suponer que en el plano Z yo tenía una segunda curva C2 que también pasaba por el punto ZZ. Esa curva C2, de la misma manera que la curva C1, se transforma en otra curva en el plano W que llamamos sigma 2. Y de la misma manera que lo hemos establecido recién, vamos a tener que el ángulo phi2 que forma la curva 2 en el punto W0 está relacionado con el ángulo theta2 que formaba su preimagen en el plano Z, la curva C2, está relacionado, decimos, con el ángulo phi2 a través del mismo ángulo de rotación C0. Porque fíjense, el ángulo de rotación de lo único que depende es de la función que transforma un plano en el otro.
Y la función que transforma un plano en el otro es idéntica para ambas curvas. Yo estoy transformando todo lo que tengo en el plano Z al plano W a través de esta función F. Es decir, le aplico a ambas curvas la misma función de transformación. Y el ángulo Z0...
está dado por la derivada de esa función de transformación valorizada en el punto donde el parámetro t toma el valor específico t sub c. ¿Qué nos dice esto? Si restamos estas dos expresiones, nos encontramos con que la diferencia entre los ángulos phi2 y phi1, acá en el plano W, es idéntica a la diferencia entre los ángulos... tita 2 y tita 1 acá en el plano Z.
Las transformaciones que se van a llamar conformes son estas transformaciones que presentan esta característica, que conservan los ángulos. El nombre conforme significa que mantiene la forma, porque precisamente si yo... aplico una transformación conforme a alguna figura en el plano Z, en el plano W voy a obtener una figura que va a estar girada, pero que va a tener aproximadamente la misma forma que tenía en el plano Z.
Un ejemplo que yo quiero que ustedes luego recuperen, que vayan a algunas de las... filminas que vimos anteriormente como para que les sirva de ejemplificación de esto, una de las transformaciones conformes, tal vez la más sencilla, sea la transformación E a la Z. Recordemos, ¿qué características tenía que cumplir la transformación conforme? Lo dijimos hace un ratito, tiene que ser analítica en el punto Z0, la función E a la Z es analítica en cualquier punto, tiene derivada en...
todos los puntos y la derivada no tiene que ser cero. La función e a la z, tienen por derivada e a la z y no vale cero. para ningún valor especial de Z. Denle a Z cualquier valor, y E a la Z va a ser distinto de 0. Quiere decir que E a la Z es un ejemplo de transformación conforme. Si ustedes recuerdan lo que vimos hace algunas, en la clase anterior, ¿se acuerdan cuando transformamos una T?
Teníamos en el plano Z algo con una forma de T, y al transformarnos en el plano W, esa T aparecía deformada, aparecía en otro lugar, pero seguía pareciéndose a una T. O sea, el aspecto que tenía la T transformada al plano W, seguía siendo el de una T. Estaba un poquito curvadita, estaba girada, pero seguía pareciéndose a una T.
Bueno, esa es una característica de las transformaciones conformes. Cambian lo que teníamos en el plano Z, no es lo mismo lo que veíamos en el plano Z, en el plano W, pero el aspecto no se pierde. Si era una T, se sigue pareciendo a una T en el plano W, aunque ha resultado de algún modo girada, transformada, pero no pierde la forma. Esa es la característica de las transformaciones conformes.
Ahora bien, ¿qué ocurre si no se cumple? algunos de los requisitos que dijimos de la transformación conforme. Si la función f de z que provoca la transformación es analítica en z0, no es constante, pero se cumple que la derivada vale 0, es decir, este requisito no cumplido, la derivada vale 0, hace que la transformación no sea una transformación conforme.
Y en tal caso decimos que el punto Z0 es un punto crítico de esa transformación. ¿Está bien? En tal caso de esa transformación, en ese punto no va a ser una transformación conforme. La última aclaración que quería hacer al respecto es que, del mismo modo que cuando hablamos de una función, si tiene derivada o no, es algo que uno debe responder punto a punto, es decir, yo para... determinar si una función es derivable, si puedo derivarla en todos los puntos.
Tengo que hacer un análisis en definitiva punto a punto. La respuesta es punto a punto. Por supuesto, yo me puedo dar cuenta de que voy a poder derivar una función en todos los puntos.
Perfecto, pero digo, el análisis es punto a punto. Hay funciones que no tienen derivada en un punto en particular, pero sí lo tienen en cualquiera de los otros puntos. Bueno, lo mismo podemos decir en las transformaciones conformes.
Para determinar si una transformación es o no conforme, se debe analizar punto a punto. Hay muchas transformaciones que no son conformes en un punto en particular, pero sí lo son en cualquier otro punto. Y tenemos un ejemplo muy a la mano. Piensen en la transformación Z cuadrado.
La transformación Z cuadrado... Para ser conforme tenemos que ver si cumple con los dos requisitos que mencionamos. ¿Es una transformación que es analítica?
¿La función es analítica? ¿Z cuadrado es una función analítica? Sí, tiene derivada.
En todos los puntos del plano complejo. ¿Cuánto vale la derivada? Deriva en Z cuadrado. La derivada es 2Z. Y se puede calcular para cualquier valor de la variable Z.
Ahora, la derivada 2Z. ¿Vale 0 en algún punto? Sí. Cuando z vale 0, la derivada es 0. Ahora únicamente en ese punto es 0. Para cualquier otro valor de la variable z, la derivada 2z no vale 0. Quiere decir que para la transformación z cuadrado, el punto z igual 0 es un punto crítico, porque su derivada vale 0 en ese punto. Dicho de otra manera, la transformación z cuadrado es una transformación conforme.
en todos los puntos, salvo en el punto z igual 0. Una cosita más que queremos mencionar de las transformaciones conformes, es lo que se conoce como el factor de escala. Fíjense qué ocurre si calculamos el módulo de la derivada primera de la función que constituye la transformación en el punto z0. Por definición, ese valor de la derivada primera en Z0 es este límite para cuando Z tiende a Z0. Si tomamos el...
estamos calculando el módulo de ese límite, es el límite de los módulos, y es el límite del cociente del módulo de lo que teníamos arriba, dividido el módulo de lo que teníamos abajo. Geométricamente, el módulo de Z menos Z0 es la longitud de un segmento que está uniendo los puntos Z0 y Z en el plano Z. Y lo que tenemos acá, en el numerador, es decir, el módulo de fz menos fz0 es la longitud de otro segmento que une los puntos f de z0 y f de z, es decir, une los puntos que son las imágenes de z y de z0 en el plano W.
Quiere decir que ese valor de la derivada primera valorizada en z0 tomada en módulo, me va a estar diciendo de alguna manera en cuánto se amplía o en cuánto se reduce, se amplía si el módulo de esta derivada primera resulta ser mayor a 1, se reduce si el módulo de esta derivada primera resulta ser menor a 1, en cuánto se amplía o en cuánto se reduce las longitudes de segmentos en el plano Z cuando pasan al plano W a través de la transformación F de Z. Y es por eso que decimos que esto constituye un factor de escala, porque me está midiendo en cuánto se agranda o en cuánto se achica la imagen que yo tenía en el plano Z, al llevarla al plano W a través de la transformación F de Z. Lo último que vamos a ver de transformaciones conformes es cómo aplica una transformación que vamos a llamar conforme, en el caso de funciones armónicas. Vamos a tratar de demostrar este teorema, es un poquitito largo, no demasiado complicado, pero sí un poquito largo de manejar. Fíjense, lo que decimos es, supongamos que tengo una función analítica, una función W, función de Z, con parte real u, parte imaginaria b, que transforma cierto dominio de sub z del plano z, cierta forma que tenemos en el plano z, un cuadrado, un círculo, lo que ustedes quieran, en otro dominio de w del plano w.
Y supongamos que tengo una función en el plano w, que resulta armónica, tengo una función h minúscula de u y b en el plano W, que es una función armónica. La función h mayúscula de x y, que resulta de reemplazar u y b aquí, en la función h minúscula, quiero decir, u y b recuerden, son las partes reales y las partes imaginarias de esta función f de z. esa función H mayúscula también es armónica en el plano Z.
Entonces, tenemos una función armónica en el plano W, función de las variables U y B, y si reemplazamos esas funciones U y B por su equivalente en las funciones X y Y, obtenemos otra función que llamamos H mayúscula, ahora ya no de U y B, sino de X y de Y, y lo que tenemos que demostrar... es que esta función H mayúscula es una función armónica en el plano Z, por supuesto, porque las variables intervinientes son X e Y que están en el plano Z. A ver, la demostración de que esta función H mayúscula es una función armónica, equivale a decir que yo tengo que calcular la derivada segunda de la función H grande, respecto a X dos veces, más la derivada segunda de la función H grande respecto a Y dos veces, tendré que encontrar que finalmente esa derivada segunda me va a dar cero. Si se cumple eso, esa función H grande efectivamente será una función armónica. Para calcular esas derivadas segundas vamos a tener que renegar un poquitito, porque fíjense.
Acá tenemos la expresión de la función H. La derivada primera... de la función h con respecto a x, es, si aplicamos regla de la cadena, la derivada de h minúscula con respecto a u, por la derivada de u con respecto a x.
Es lo que tenemos acá. Pero al mismo tiempo, a eso hay que sumarle, la derivada de h minúscula con respecto a b, por la derivada de b con respecto a x. Y nos queda todo esto. De manera análoga, hacemos la derivada primera de h con respecto a y. Ahora, ¿qué pasa para hallar la derivada segunda de H?
Bueno, a ver, miremos esto con un poquitito de cariño. A ver, fíjense, ocupémonos primero del primer término que tenemos acá. Con el segundo vamos a hacer exactamente lo mismo. Ocupémonos del primer término.
Es la derivada del primero por el segundo sin derivar. Perfecto, miren. Acá está el segundo sin derivar.
¿Qué hacemos con la derivada del primero? ¿Qué es h minúscula sub u? Es la derivada de h minúscula respecto a u. Es una nueva función que depende de u y de b. Y entonces, para encontrar la derivada con respecto a x de esto, tenemos que hacer la derivada...
de h derivada ya con respecto a u, nuevamente derivada con respecto a u, por la derivada de u con respecto a f. Y la derivada de h derivada con respecto a u, derivada ahora en segunda instancia con respecto a b, por la derivada de b con respecto a f. Y todo eso multiplicado por el segundo sin derivar. Ahora es el primero, hu, por la derivada del segundo, la derivada de...
Esta expresión que tenemos acá, esto que tenemos acá es la derivada de u con respecto a x. Y nuevamente lo volvemos a derivar con respecto a x. La derivada segunda de u con respecto a x dos veces. Todo esto lo hemos obtenido del primer término.
Con el segundo hacemos exactamente lo mismo y obtenemos estos dos términos adicionales. De manera muy similar. obtenemos a partir de este término que tenemos, de esto que tenemos acá, de la derivada de H grande con respecto a I, obtenemos la derivada segunda, de manera análoga a lo que le hemos explicado acá. Tenemos que sumar estas dos expresiones, que como ustedes ven nos va a quedar algo bastante largo, pero podemos empezar a hacer algunas... simplificaciones.
Fíjense, nosotros partimos del hecho de que W es función de Z, parte real U, parte imaginaria B, en una función analítica. Y por lo que hemos estudiado anteriormente, si esa condición se cumple, de que las funciones analíticas, tanto la parte real U como la parte imaginaria B son funciones armónicas. Por lo tanto, cumplen estas igualdades, u minúscula y b minúscula, cada una por su lado, son funciones armónicas y por lo tanto cumplen estas identidades que tenemos acá. ¿Para qué nos sirve eso?
Miren, cuando sumemos, vamos a estar sumando este término y este, que ambos tienen el factor común. H U, quiere decir que yo tendría que sacar factor común H U de U XX más U Y Y, pero U XX más U Y Y es 0. Y lo mismo ocurre acá, quiere decir que ya podemos cancelar esos cuatro términos y nuestra suma nos queda, entre comillas, solamente esto que tenemos acá. Muy bien.
Al mismo tiempo... Las funciones u y b, como forman parte, como constituyen la parte real y la parte imaginaria de una función analítica, cumplen con las ecuaciones de Cauchy real. Por lo tanto, ux igual a bi y ui igual a menos bx. Entonces, fíjense, si ahora multiplicamos, ¿sí?
Acá tenemos ui por bi, o sea, estoy multiplicando este por este. Bueno. Es lo mismo que multiplicar este por este. Y entonces me queda que ui bi es igual a menos ux bx.
O, si lo pasamos para el otro miembro, que uxbx más uibi es cero. Y si lo miramos allá con un poquito de cariño, todo eso se anula, porque lo que teníamos precisamente entre paréntesis era esta expresión que tenemos acá. Y por último nos queda esto, nos han quedado estos dos términos. Y ahora, de nuevo, usando estas mismas igualdades, fíjense.
Elevo al cuadrado acá, por supuesto, elevo al cuadrado acá, y lo mismo con la segunda igualdad. Y luego sumo. ux elevado al cuadrado más ui elevado al cuadrado es bi elevado al cuadrado, más esto elevado al cuadrado, donde el signo menos, cuando lo elevo al cuadrado, se transforma en un signo más.
Y entonces me queda que ux cuadrado más ui cuadrado coincide con bx cuadrado y bi cuadrado. Quiere decir que... esto que tenemos aquí es idéntico a esto que tenemos acá.
Quiere decir entonces que yo puedo reemplazar este paréntesis que tenemos aquí por esto que tenemos acá. Y por lo tanto me queda esta expresión, donde estos dos factores que aparecen en ambos términos son iguales. Por lo tanto...
los puedo sacar factor común. Y como la función H minúscula, según la hipótesis de nuestro teorema, era una función armónica, H minúscula derivada dos veces con respecto a U, más la derivada de H minúscula dos veces con respecto a B, da cero, porque H minúscula es función armónica. Conclusión, la función H mayúscula también es una función armónica. ¿Qué nos dice esto? Que cuando yo transformo el plano Z en el plano W, a través de una función analítica y que cumpla los requisitos, voy a conseguir que todo lo que sea armónico de un lado sea armónico del otro.
Y eso me sirve para asegurar... que no van a pasar cosas raras con las formas que voy a tener de un lado y del otro. Eso se puede utilizar para analizar ciertos fenómenos físicos que no resultan fáciles de analizar en el plano Z, analizarlos con una geometría un poco más sencilla en el plano W, eligiendo correctamente la transformación para llevar una geometría de cierta complejidad en el plano Z. el plano Z, algo un poco más sencillo en el plano W, y saber que la función que era armónica en un lado, sigue siendo armónica en el otro. No quiero extenderme en ejemplos con esto que estamos viendo, tal vez si las condiciones fueran las habituales en clase podríamos verlo, prefiero en este caso dejarlo acá y terminar el tema de transformación de esta manera.
Con esto entonces terminamos transformaciones, vamos a hacer algunos problemas relacionados con este tema para tratar de cerrarlo, y ya en las próximas clases comenzaremos con el tema que sigue, que va a ser integración en variable compleja. Hasta este tema incluido vamos a dejar para tomarlo en el primer parcial de la materia. Muchas gracias por escuchar y por supuesto vamos a seguir viéndonos de esta manera.