अलजेब्रा ऑफ सबस्पेस

परिचय

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• आज का विषय: अलजेब्रा ऑफ सबस्पेस
• सबस्पेस के बीच जोड़, घटाव, यूनियन और इंटरसेक्शन पर चर्चा।

जीरो वेक्टर स्पेस

• जीरो वेक्टर स्पेस में केवल एक ही वेक्टर होता है: जीरो।
• जीरो वेक्टर और वेक्टर स्पेस हमेशा सबस्पेस होते हैं।
• इनको ट्रिवियल सबस्पेस कहा जाता है।
• बाकी सबस्पेस को नॉन-ट्रिवियल सबस्पेस कहा जाता है।

सबस्पेस का इंटरसेक्शन

• दो सबस्पेस का इंटरसेक्शन हमेशा एक सबस्पेस बनेगा।
• उदाहरण:
  • यदि V1 = एक्स-एक्सिस और V2 = एक्स-प्लेन है, तो V1 ∩ V2 = एक्स-एक्सिस।
  • यदि V1 और V2 में केवल जीरो वेक्टर है, तो उनका इंटरसेक्शन जीरो वेक्टर स्पेस होगा।
• इंटरसेक्शन को लार्जेस्ट सबस्पेस कहा जाता है।

प्रूफ

• यदि V1 और V2 दो सबस्पेस हैं, तो V1 ∩ V2 लार्जेस्ट सबस्पेस होगा।
• यह तब सत्य है जब V1 और V2 में कोई वेक्टर A और B हो जो दोनों में मौजूद हों।

यूनियन ऑफ सबस्पेस

• V1 और V2 का यूनियन हमेशा सबस्पेस नहीं बनता।
• उदाहरण:
  • एक्स-एक्सिस और वाई-एक्सिस का यूनियन, एक नया वेक्टर उत्पन्न कर सकता है जो कि दोनों में नहीं होता।
• यूनियन तब सबस्पेस बनेगा जब एक सबस्पेस दूसरे में मौजूद हो।

प्रूफ यूनियन का सबस्पेस होना

• यदि V1 ⊆ V2 और V2 ⊆ V1, तब V1 ∪ V2 सबस्पेस होगा।
• यदि V1 और V2 का कोई एक दूसरे का सबस्पेस है, तो उनका यूनियन भी सबस्पेस होगा।

आर्बिट्रेरी यूनियन ऑफ सबस्पेस

• आर्बिट्रेरी यूनियन ऑफ सबस्पेस भी सबस्पेस होगी जब उनमें से कोई एक सबस्पेस अन्य सभी को कवर करता हो।

समापन

• आज की कक्षा में अलग-अलग सबस्पेस के प्रॉपर्टीज और उनके इंटरसेक्शन और यूनियन पर चर्चा की गई।
• अगली कक्षा में और गहराई से समझाया जाएगा।
• सभी छात्रों से अच्छे से समझने की सलाह दी गई।

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धन्यवाद

• छात्रों का धन्यवाद। कक्षा में भागीदारी के लिए प्रोत्साहित किया गया।
• अगली कक्षा में मिलेंगे।
• गुड नाइट!