हेलो एवरीवन कैसे हैं आप सभी चलिए स्टार्ट हो चुका है हमारा कमेंट सेक्शन मैं एक ब कमेंट सेक्शन ऑन कर लेता हूं हेलो एवरीवन कैसे हैं आप सभी आज हम पढ़ने वाले हैं अलजेब्रा ऑफ सबस्पेस अलजेब्रा सबस्पेस मतलब क्या दो सबस्पेस को जोड़ते हैं घटा हैं यूनियन करते हैं इंटरसेक्शन करते हैं इन दैट केस किस तरह का सब स्पेस बनेगा ठीक है ना अब हम आज वो सीखें अलजेब्रा ऑफ सब स्पेस ठीक है ना सो लेट बी ओवर ए बी ए वेक्टर स्पेस ओवर ए फील्ड ठीक है नंबर वन सबसे पहला इसमें आता है जीरो वेक्टर स्पेस देखो जीरो वेक्टर स्पेस की इसमें जीरो वेक्टर स्पेस में क्या होता है सिर्फ एक ही वेक्टर होगा वो होता है जीरो एंड ओवर ए आर ऑलवेज सब स्पेस ठीक है देखो जीरो वेक्टर और वेक्टर स्पेस इट सेल्फ य हमेशा सब स्पेस होते होते हैं बाकी इनके अलावा जितने मिलेंगे वह आपको ढूंढने पड़ते हैं ठीक है ना और इनको बोलते ट इ कॉल्ड ट्रियल सब स्पेस कॉल्ड टिवि सब स्पेस एंड अदर सब स्पेस कॉल्ड एंड अदर सब स्पेसेस कॉल्ड नॉन ट्रियल सब स्पेस ठीक है ना तोय याद रखना देखो जीरो वेक्टर स्पेस और वेक्टर और वेक्टर स्पेस वेक्टर स्पेस इट सेल्फ ये हमेशा दो सब स्पेस ये तो एजिस्ट करेंगे करेंगे हमेशा कोई और कर ना करें ये जरूर एजिस्ट करते हैं इसीलिए इनको बोलते हैं ट्रिविया सब स्पेस जिनकी एजिस्ट हैंस पे कोई उंगली नहीं उठाई जा सकती है दैट इज कॉल्ड ट्रिविया ठीक है ना एंड अदर सब स्पेस इज कॉल्ड नॉन टिवि सबस्पेस बाकी इनके अलावा अदर और कोई मिलता है दैट इज कॉल्ड नॉन ट्रिविया ठीक है नेक्स्ट सपोज करो अब देखो यहां पे लेट वव अब देखो लेट वव एंड ट ओवर इसलिए लिख रहा हं ताकि कोई बच्चा इस वेक्टर स्पेस ना समझ ले व वेक्टर ना समझ ले सब स्पेस है वव एंड वट दे बोथ आर कंटे इन ओवर बी सब स्पेस ठीक है ना य दोनों क्या सब स्पेस देन वव इंटरसेक्शन व2 देन दोनों की दोनों सब स्पेस का इंटरसेक्शन है इस द लार्जेस्ट सब स्पेस लार्जेस्ट सब स्पेस इन वव एंड ट अब देखो यहां पर दो चीजें समझने वाली है पहली चीज तो ये है कि दो सब स्पेस का इंटरसेक्शन लोगे तो हमेशा सब स्पेस बनेगा ठीक है पहली चीज दूसरी चीज कि मतलब आपके पास कोई वेक्टर स्पेस v था आपने इसके अंदर कोई दो सब स्पेस अजूम कर लिए अगर इ दोनों सब स्पेस कोई भी सब स्पेस हो सकते हैं v ओवर ए के कोई भी दो सब स्पेस हो सकते हैं इन दोनों का इंटरसेक्शन लोगे तो हमेशा सब स्पेस बनेगा मतलब इंटरसेक्शन अपने आप में सब स्पेस होता है यहां तक तो कोई दिक्कत परेशानी थी नहीं समझने में अब ये समझने वाली चीज है कि जो इंटरसेक्शन है इ द लार्जेस्ट सबस्पेस इन वव एंड ट मतलब वव और ट में कंबाइंडली देखा जाए सबसे लार्जेस्ट सबस्पेस मिलेगा इसको ऐसे समझो एग्जांपल के थ्रू सपोज करो आपके पास है आ2 ओवर आ ठीक है ना वेक्टर स्पेस के नाम पर आपके पास क्या है आट अब एक सब स्पेस तो मान लो आपने ले लिया एक्स एक्सिस दूसरा सब स्पेस क्या ले लिया आपने पूरा एक्सवा प्लेन एक्स प्लेन का मतलब हो गया आरट ओवर आ इट ठीक है ना चाहता तोवा एक्सिस भी ले सकता था अब मुझे अच्छे से पता है दोनों का इंटरसेक्शन लूंगा v1 इंटरसेक्शन v21 इंटरसेक्शन v2 में क्या आ जाएगा बताओ एक्सवा प्लेन और एक्स एक्सिस में कॉमन लोगे तो क्या आ जाएगा एक्स एक्सस इट सेल्फ तो यह क्या है अपने आप में सब स्पेस है य एग्जांपल दिया अगर को बच्चा कहे सर v2 की जग मैं तोवा एक्सिस लेना चाहता हूं तो इंटरसेक्शन में जीरो वेक्टर स्पेस आ जाएगा एक्स एक्सिस और वा एक्सिस दोनों में सिर्फ जीरो ही कॉमन होता है ठीक है ये एक्स एक्सिस और येवा एक्सिस तो जी यस है ना जीरो ही कॉमन होगा लेकिन मैंने क्या लिया मैंने x प्लेन लिया तो आपको कुछ यहां पर रिलाइज करवाने के लिए अब नेक्स्ट स्टेटमेंट लिख रहा है कि इंटरसेक्शन इज द लार्जेस्ट सबस्पेस इन v1 एंड v2 मतलब यह आपका v1 है और यह आपका v2 है समझना यह आपका v1 है और यह आपका v2 है अगर दोनों में एट द सेम टाइम लार्जेस्ट कॉमन सब स्पेस देखा जाए तो वो इनका ओबवियस है इंटरसेक्शन पार्ट तो मिलेगा खुद सोचो ना य तो इनका जो इंटरसेक्शन वाला पार्ट है यह क्या है लार्जेस्ट कॉमन सब स्पेस इन वव एंड v2 क्लेरिटी है यहां तक इसका प्रूफ करवाएंगे लेकिन प्रूफ से पहले थोड़ा सा फील ले लो एक बार इसका कि यह लिखा क्या है तो वही लिखा इंटरसेक्शन जो पार्ट है इ द लार्जेस्ट सब स्पेस य लार्जेस्ट सब स्पेस लार्जेस्ट देख रहे हो लार्जेस्ट पार्ट है इन दोनों में एक टाइम में कॉमन इन एंड इसी तरीके से अगर कोई जानना चाहता है कि v1 और v2 में इंटरसेक्शन में क्या है एक्स एक्सिस इसका मतलब य है अगर कोई एक्स एक्सस और एक्सवा प्लेन इन दोनों में लार्जेस्ट सब स्पेस मतलब ऐसा सब स्पेस जो कि इन दोनों में कॉमन हो समझो अब कोई v12 में जो कॉमन सब स्पेस है वो तो जीरो वेक्टर स्पेस भी है समझो इन दोनों में जो कॉमन है व तो जीरो वेक्टर स्पेस भी है लेकिन मैं क्या ढूंढ रहा हूं मैं ढूंढ रहा हूं लार्जेस्ट सब स्पेस इन v1 एंड v2 वो क्या बनेगा वो बनेगा एक्स एक्सिस एक्स एक्सिस से बड़ा सब स्पेस इन दोनों के लिए नहीं मिल सकता इसलिए यह वर्ड लिखा लार्जेस्ट सब स्पेस ठीक यह अंडरस्टैंडिंग वाली चीज अब जरा प्रूफ भी देख लेते वरना कई बच्चे कहेंगे सर जी प्रूफ तो बताया नहीं इतना कुछ आपने फील करवा दियास चलो प्रूफ देख प्रूफ में है लेट वव कमा v2 v12 वेक्टर नहीं है वेक्टर याद रहे मैं वो मिटा देता हूं ना मैंने ऊपर एक गलती कर दी है मैंने यहां पर यह लिख दिया है ठीक है ना v2 दो क्या है ये दो सब स्पेस ठीक है इसी तरीके से मैं यहां ये जो v1 v2 है सब स्पेस है ओके और सब स्पेस किसके है ओ ए के अब इनका लेंगे इंटरसेक्शन दिखाना मुझे तो चलो देन इन नॉन एमटी सेट बनेगा v1 इंटरसेक्शन v2 इज द लार्जेस्ट सब स्पेस इन वव एंड ट ठीक है सो लेट मैं दो वेक्टर अम कि ए और बी कहां से बिलोंग कर रहे हैं दे बिलोंग टू वव इंटरसेक्शन व2 ठीक है ना ट इंप्लाइज एमा बी बिलंग टू एंड एमा बी बिलंग टू ट बताइए भा यहां तक किसी को कोई परेशानी तकलीफ ठीक है ना ओके प्लीज जस्ट वेट मिनट जस्ट जस्ट वेट मिनट जस्ट वेट मिनट सो लेट ए बी बिलंग टूव इंटरसेक्शन v2 ट इला ए बी बिल टूव एंड ए बी बिल टूट एट द सेम टाइम अब मुझे पता है कि जो v1 है और v2 है तो अपने आप में सब स्पेस है अगर य अपने आप में सब स्पेस है तो लडा ए प् बी यह भी बिलोंग करेगा v1 से बिकॉज य सब स्पेस की प्रॉपर्टी है वेक्टर एडिशन है स्केलर मल्टीप्लिकेशन दोनों के दोनों ऑपरेशन एक ही उसमें दिखा दिया ए यहां पर भी सेम लम ए प् बी कहां से बिलोंग कर रहा है से बिलंग करेगा बिकॉज ये यहां से इंस्पायर्ड है अब जब ये v1 और v2 दोनों से बिलोंग कर रहा है तो मैं क्या बोल सकता हूं की लडा ए प्स लडा बी बिलोस टू वव इंटरसेक्शन व2 फ फॉर ल ए बी बिलंग टू वव इंटरसेक्शन v2 एंड लम बिलोस टू फीड इसे क्या हो गया वव इंटरसेक्शन v2 इ सब स्पेस अब कोई लार्जेस्ट सब स्पेस जानना चाहता है तो आप खुद सोचो कि वव और ट के पास जो एलिमेंट्स है व वव के पास भी ट के पास भी है समझ रहे हो इसका मतलब v1 और व2 के मैक्सिमम कॉमन या फिर ल कॉमन एलिमेंट्स किसके पास हैव इंटरसेक्ट के पास है तो यस सी बात है लार्जेस्ट कॉमन सब स्पेस क्या होगा व वट हो जाएगा इसलिए इसका मतलब य लिखा है लार्जेस्ट सब स्पेस ट का क्या होगा उनका इंटरसेक्शन गा उम्मीद करता हूं यहां तक सभी को क्लियर हो गया होगा ट इंप्लाइज अगर इसको कोई यह तो फर्स्ट फर्स्ट पार्ट था इसका ठीक है ना ट वास द फर्स्ट पार्ट अब इसी में सेकंड थिंग अब आप खुद सोचो इसका मतलब क्या है वव इंटरसेक्शन ट किससे कंटें करेगा वव के अंदर से भी कंटेन करेगा और वव इंटरसेक्शन ट टू से भी कंटेन करेगा अब अगर आप यह सोच पा रहे हो देखो डिफरेंट डिफरेंट आप कोई भी दो कोई भी वेक्टर स्पेस ले सकते हो कोई आ3 लेना चाहता आ3 ले सकता है कोई लेना जता है मतलब आट ओवर आ तो उसके आट आ के कोई भी दो वेक्टर स्पेस मान लो और यहां फिट करके देख लो बराबर फिट होंगे ठीक है जैसे वो एक्स एक्सिस और एक्सवा प्लेन वाला जो था ना आप यहां पर इंप्लीमेंट करके देख लो आपको बिल्कुल आईडिया एजेक्ट आईडिया हो जाएगा ओके नेक्स्ट थर्ड ठीक है ना लेट डबल वि द सबस्पेस सब भी कॉमन री जस्ट जस्ट वेट अ मिनट के लेट अ लेट ड बी द सबस्पेस सच दैट w कंटेंड इन v1 एंड w कंटेंड इन v2 दैट इंप्लाइज w कंटेंड इन v1 इंटरसेक्शन v2 आप मुझे आप खुद सोचिए देखो आप कोई भी सब स्पेस लेते हैं जो कि v1 में भी और v2 में भी है तो ऑफकोर्स वो कहां से बिलोंग करेगा वो v1 v2 का भी मतलब ऑफकोर्स है ये कंटेंट होगा किसके अंदर v1 v2 के अंदर तो आप मुझे बताइए अब इससे आपको क्या समझ में आ रहा है आप कोई भी सब स्पेस उठा रहे हो जो v1 v2 के अंदर है तो ऑफकोर्स वो इनके इंटरसेक्शन को यानी कॉमन पार्ट से भी कंटेन कॉमन पार्ट में भी कंटेन करना चाहिए इसका मतलब जो पूरा पूरा लार्जेस्ट कॉमन पार्ट है व क्या इंटरसेक्शन ट इलाव इंटरसेक्शन ट इ द लार्जेस्ट सब स्पेसेस लार्जेस्ट सब स्पेस कंटेंड इन v1 एंड व2 ठीक है यह मैंने प्रूफ कर दिया इंटरसेक्शन लार्जेस्ट सब स्पेस कंटे अब नेक्स्ट है आर्ब इंटरसेक्शन इसी तरीके से आर्बिट्रेरी इंटरसेक्शन ऑफ सब स्पेसेस इ अगेन अ सब स्पेस ओके यहां तक क्लेरिटी ना इसका मतलब देखो क्या है आपने v12 दो सब स्पेस लिए दोनों का इंटरसेक्शन सब स्पेस बन रहा था इसी तरीके सेर आपने आर्बिट इंटर इंटरसेक्शन ले लिए सब स्पेसेस मतलब आपके पास बहुत सारे सब स्पेस है लेकिन याद रहे फाइना इट सब स्पेसेस मतलब नंबर ऑफ सब स्पेस शुड बी फाइट मतलब ए सब स्पेस होने चाहिए पहला सब स्पेस दूसरा सब स्पेस तीसरा चौथा पांचवा इस तरीके से ए सब स्पेस उन सब का इंटरसेक्शन लो बनने वाला नया सब स्पेस जो होगा सॉरी बनने वाली जो बनने वाला जो होगा व भी सब वो भी सब स्पेस होगा कहने का मतलब आर्बिट इंटरसेक्शन ऑफ सब स्पेसेस मतलब ए सब स्पेसेस का इंटरसेक्शन लेने पर बनने वाली न चीज होगी वो भी सब स्पेस की प्रॉपर्टी को सेटिस्फाई करेगी बस इतना ही मतलब है तो इंटरसेक्शन पर तो मुझे लगता यहां तो कोई दिक्कत परेशानी नहीं हुई होगी ठीक है अब य से आगे बढ़ते जरा नंबर फोर अब आते जरा यूनियन प ठीक है अब वव एंड वट आर सब स्पेसेस देखो वव एंड ट आर सब स्पेसेस बट वव यूनियन व2 इज नॉट सब स्पेस ऑ हार्ट अब जैसे कि अब ऑफ कोस की बात है इतनी बड़ी बात लिख दी तो आपको फिर एग्जांपल भी चाहिए होगा तो देखो जैसे कि मैंने मान लिया एक्सस एग्जांपल देखलो वव के नाम पर मान लिया एक्स एक्सिस मतलब वव सब स्पेस ऑफ आट ठीक है और ट के नाम पर मान लिया वा एक्सिस ठीक अब इनका यूनियन लिया जाए सोच के मैं लेल वव य यूनिट यानी की एक्स एक्सिस यूनियन वा एक्सिस इन दोनों का यूनियन लिया जाए इन ट केस जैसे की यह देख लो आपने एक्स एक्सिस के एलिमेंट उठा लिए अपने वा एक्सिस के एलिमेंट उठा लिए अब एक्स एक्सस पर यहां भी कोई एलिमेंट हो सकता है समझना एक्स एक् य एलिमेंट हो सकता मान लो य पर एलिमेंट आ रहा है रोव यहां पर एलिमेंट आ रहा है 0 दोनों का सम करोगे वेक्टर एडिशन की प्रॉपर्टी लगाओगे तो यहां पर क्या मिल जाएगा यहां पर मिलेगा इस तरह का एलिमेंट टव अब 21 तो ना तो एक्स एक्सिस पर आता है ना वा एक्सिस पर आता है इसका मतलब क्या हुआ वेक्टर एडिशन की प्रॉपर्टी फेल हो गई तो इट इज नॉट अ सबस्पेस इट इज नॉट अ सबस्पेस भाई कितने लोगों को क्लेरिटी बताइए बताइए कोई दिक्कत परेशानी तकलीफ यहां तक तो इसका मतलब क्या है कि दो सब स्पेसेस का यूनियन हमेशा सब स्पेस नहीं बनेगा अब समझने वाली बात य है तो सब स्पेस बनेगा तो बनेगा कब ठीक है अब नहीं ब नहीं बनने वाली अब रैंडम दो सब स्पेस उठा लिए जाएंगे दोनों का यूनियन का भी सब स्पेस नहीं बनेगा मतलब दोनों का सब दोनों का यूनियन हो सकता है सब स्पेस ना बने अब ऐसी कौन सी परिस्थितियां होंगी जहां पर इस बात को गारंटीड बोला जाए कि दो सब स्पेस का यूनियन हमेशा सब स्पेस बने तो देखो वव यूनि व2 इ सब स्पेस इफ एंड ली वव कंटेन इन ट और ट कंट इनसाइड ठीक है ना देखो दो सब स्पेस का यूनियन सब स्पेस तब बन सकता है जब में से कोई एक सब स्पेस दूसरे वाले को कंटेन कर रहा हो देखो इस क्वेश्चन को देखो क्वेश्चन से समझ में आएगा आपको यहां दिक्कत कब आई दिक्कत अब आई वेक्टर एडिशन की प्रॉपर्टी फेल हो गई मैंने देखा मैंने दो सब स्पेस ले लिए दोनों में से एक दूसरे को कोई भी कंटेन नहीं कर रहा था ठीक है तो दिक्कत का दिक्कत आई कि भाई साहब यहां पर वेक्टर एडिशन की प्रॉपर्टी फेल हो गई तो अब खुद सोचो इस प्रॉपर्टी को प्रिजर्व कब किया जा सकता है सोचो इस प्रॉपर्टी को प्रिजर्व कब किया जा सकता है इस प्रॉपर्टी को प्रिजर्व तभी किया जा सकता है जब मैं इस वाले पार्ट को भी इसी पूरे मत इसको सब स्पेस के अंदर ले लू और ऐसा कब हो सकता है ऐसा तभी हो सकता है कि जब कोई एक सब स्पेस दूसरे वाले को कंटेन कर जाए अगर कोई एक सबस्पेस दूसरे को कंटेन कर गया ना तो उन दोनों का जो यूनियन होगा वो इन दोनों में से किसी एक के बराबर हो जाए समझिए अब जैसे यहां पर देखो अब जैसे अगर मान लो v व कंटेंट हो रहा है कंटेंड इनसाइड v2 इ v1 कंटेंड इनसाइड v2 और मेरे से कोई कहे भाई साब v1 यिन v2 ले रहा हूं तो मैं कहूंगा जो v1 है कुछ अलग नहीं है व2 को पार्ट है अगर आप v1 यूनिन v2 ले रहे हो तो र्स सी बात है व2 के बराबर हो जाएगा समझ रहे हो अगर कोई कहे कि नहीं v2 क के अंदर तो मैं कहूंगा भाई फर ऐसा है अगर आप v2 यूनियन वव लेते हो तो वो ऑटोमेटिक एक तरीके सेव के इक्वल ही हो जाएगा कोई दिक्कत परेशानी नहीं होगी तो इसलिए कहते हैं कि अगर दो इफ यूनियन ऑफ टू सब स्पेसेस इ सब स्पेस इफ एंड ओनली इफ वन सब स्पेस शुड कंटेन अनदर न मतलब कोई एक सब स्पेस दूसरे वैल्यू को कंटेन करना ही चाहिए ठीक है छुटनी मस्ट न वन वन सब स्पेट मस्ट कंटेन अनदर न ठीक तो हिंदी में समझ लो इसको एक सब एक सब स्पेस दूसरे वाले को कंटन कि बैठा होगा तभी दोनों का यूनियन आंख बंद करके सब स्पेस की प्रॉपर्टी को सेटिस्फाई कर सकता है ठीक है यहां ई दिक्कत परेशानी बताइए ओके नेक्स्ट आगे बढ़ते हैं ठीक है कि लेट अब देखो नेक्स्ट ऑफकोर्स सी बात है इतना बड़ा स्टेटमेंट लिख दि इसका प्रूफ भी तो लिखना पड़ेगा ना चलो इसका प्रूफ देख लो तो सबसे पहले मैं लेट करके चल रहा हूं कि v1 कंटेंड कर रहा है v2 को और ट कंटेंड कर रहा है मव कंटेंड हो रहा है2 के अंदर एंड ट कंटेन इनसाइड मब इन दोनों में को कोई भी कंडीशन देन अगर इस कंडीशन को ध्यान दू तो वव यूनियन व2 किसके बराबर हो जाएगा बताइए ट के बराबर और वव यूनियन व2 किसके बराबर हो जाएगा वव के बराबर ठीक है ट इंप्ला की दोनों ही केसेस में जो यूनियन है व सब स्पेस बन रहा और तो पहले ही सब स्पेस लेके चल रहे हम वव यूनि व2 इ सब स्पेस बताइए यहां तो कोई दिक्कत यह तो बहुत आसान था अब इफ एंड ओनली है तो कन्वर्स पार्ट भी ट्रू करना कन्वर्स पार्ट भी प्रूफ करना पड़ेगा ना अब मैं क्या लेकर चलूंगा कि v1 यूनि v2 इ सब स्पेस ठीक हैई चलो कन्वर्स पार्ट देखते कन्वर्सली लेट v1 य2 इ सबेस ठीक है ना अब मान लोव यूनियन सब स्पेस ठीक है लेट अब देखो मैं मान के चल रहा हूं कि ना तो वव कंटेंड कर रहा है ट के ना तो v2 के अंदर कंटेंट हो रहा है ठीक है ना लेट अस सपोज रुक जाओ थोड़ा अंग्रेजी में अच्छे से लिखने दो ताकि समझ में आने लग जाइए लेटस सपोज और यह लेट नहीं करना ये गिवन है इस बार यह स्टेटमेंट गिवन है प्रूफ तो मुझे यह करना है मतलब पहले वाले में क्या था पहले वाले में यह गिवन था दिस पार्ट ज गिवन प्रूव तो यह किया और इस वाले में वव यूनिन वट इ सब स्पेस य गिवन है और प्रूफ क्या करना प्रूफ य करना है कंटेनमेंट वाला ओके नेक्स्ट लेटस सपोज v व कंटेंड इनसाइड v2 टू कंटेंड इनसाइड स2 मतलब ना तो देखो अब यहां पर अथवा नहीं य और लगाया मतलब मैं क रहा v12 के अंदर कंटेन नहीं हो और टव के अंदर मतलब कोई किसी के अंदर कंटेन नहीं हो रहा है कोई भी के अंदर कंट नहीं ओवरल बात मुद्दे की य है अब नेक्स्ट मैंने मान लिया अब वेक्टर वव मान के चल रहा हूं वेक्टर देखो वेक्टर को मैं हमेशा इस फॉर्म में बनाऊंगा और वेक्टर स्पेस सब स्पेस को पूरा समझ रहे हो अगर ऐसे नंबर डाल के चल रहा ह इसका मतलब सब स्पेस में चल रहा है और य बिना नंबर के काम चल रहा है तो वेक्टर स्पेस और जो वेक्टर होते हैं वेक्टर को क्या छोटा स्मल बना जाताल पूछ निकाल देते इसकी ठीक है अंग्रेजी मीडियम वालों को पता है लेकिन हिंदी मीडियम वाले जो मेरे जैसे लोग हैं उनको एक्सप्लेन कर रहा हू ठीक है ना धो का मत खा जाना नाउ दिस ज फॉम ऑफ वेक्टर तो वव वेक्टर बिलोंग टू वव सब स्पेस सच दैट ववन सट सोचने दो जरा v1 डज नॉट कंटेंड इनसाइड v2 एंड देर एक्सिस्ट v2 बिलोंग टू सच दैट v2 डज नॉट कंटेंड इन v1 देखो इस बात को समझो अब ठीक है ना अगर देखो v1 व2 ना वव ना वव देखो दोनों सब स्पेस में से कोई किसी को कंटेन नहीं कर रहा है ठीक है कोई किसी को जरा सा भी कंटेन नहीं कर रहा है तो यानी कि अगर कोई वेक्टर v11 के अंदर है तो वो v2 के अंदर नहीं होगा और अगर कोई वेक्टर v2 ठीक है ना v2 के अंदर है तो वो के अंदर नहीं होगा बट v1 एंड v2 यह दोनों के दोनों वेक्टर किसके अंदर कंटेंड करेंगे v1 इंटरसेक्शन v2 के अंदर सॉरी v1 यूनियन v2 के अंदर v1 अब देखो ऑफकोर्स सी बात है अगर मैं v1 और v2 का यूनियन लूंगा ठीक है और का यूनियन लूंगा इन ट केस वो उसमें वव भी आ जाएगा ट भी आ जाएगा यहां त किसी को कोई तकलीफ परेशानी हो तो बताओ बताइए और अगर ऐसा है वेक्टर स्पेस की प्रॉपर्टी कहती है कि v1 प्स व2 करने पर यह वव यूनियन व2 से मिलना चाहिए सही बात है ना आप बताइए दो वेक्टर है दोनों के यूनियन से बिलोंग कर रहे इन ट केसव प्वी इन दोनों के यूनियन से बिलोंग करना चाहिए अगर य सब स्पेस बन रहा है तो ठीक है ना बताइए यत कोई दिक्कत परेशानी अब देखो अगर वव प्स व2 व यूनियन बट से बिलोंग कर रहा है ठीक है ना ट इंप्लाइज एक मिनट ट इंप्लाइज अ एक मिनट रुक जाओ जरा सोचने दो कुछ यहां से नेक्स्ट स्टेप आपको कैसे एक्सप्लेन करूं मुझे तो पता है एक्चुअल नेक्स्ट स्टेप क्या है आपके लिए कैसे एक्सप्लेन करू कि आपको एक बार में समझ में आ जाए ओके आगे बढ़ते हैं ट इंप्लाइज वव प्स व2 कंटेंड इनसाइड वव v1 प् v2 कंटेंड इनसाइड ठीक है अच्छा आप खुद सोचो v1 प् व2 अगर बिलोंग कर रहा है ठीक है ना v1 यनि v2 से ट इंप्ला आपका v1 प् v21 से भी तो कंटन करना चाहिए सोच के देखो सब स्पेस की प्रॉपर्टी यही है अब हमने थोड़ी देर पहले ही देखा था थोड़ी देर पहले देखा था यह कब पॉसिबल है अगर वव यूनियन व2 आपका अगर इव यूनिट सब स्पेस ठीक है ना तो इन दोनों में से कोई एटलीस्ट एक प्रॉपर्टी इन दोनों में से कोई एक प्रॉपर्टी तो सेटिस्फाई होनी ही चाहिए इन दोनों में से कोई एक प्रॉपर्टी तो सेटिस्फाई होनी चाहिए मानते हो ना कि v1 प् v2 इन दोनों के यूनियन में मुझे दिख रहा है तो या तो v1 में या v2 में ये दोनों का यूनियन दोनों का एडिशन दिखना तो चाहिए बट अब v1 के पास क्या था v1 के पास स्मल v1 था तो ऑफकोर्स - v1 भी होगा बताइए ना अब v1 के पास स्ल v1 था तो - v1 भी होगा वेक्टर स्पेस की प्रॉपर्टी है उस - v1 को जब मैं यहां ऐड करूंगा तो यह पता है क्या दिखेगा मुझे दिखेगा बिलंग टूव जो कि गलत है मैं स्टार्टिंग में कहके चला था किट मतलब वव के पास ट नहीं है ट इ कांट्रडिक्शन सेम इसी तरह अगर मान लो ट के पासल व2 है ट इंप्ला य लिख लो चाहो तो ट इला माइनस व2 भी होगा टर के पास जब वेक्टर एडिशन की प्रॉपर्टी लगाओगे ना एक इसे पकड़ोगे दूसरा इसे पकड़ोगे तो पता है क्या मिल जाएगा दोनों को एडिशन करोगे तो सिंपल वव मिल जाएगा वव बिलोंग टू ट अब मैं यहां पर ये लेके चला हूं स्टार्टिंग में कांट्रडिक्शन ट इंप्ला अवर सपोजिशन इ रंग ट पपला अवर सपोजिशन इ र मतलब हम जो स्टार्टिंग से सपोज करके चले थे वो सपोजिशन ही गलत हो गया मैं स्टार्टिंग से क्या सपोज करके चला था कि v1 v2 के अंदर कंटेन नहीं करेगा और v21 के अंदर कंटेन नहीं करेगा अब मुझे बताइए अच्छा v1 प् v2 विजुलाइज नहीं हुआ ऐसा क्या अभी करवाते विजुलाइज आप एक बात बताओ सिर्फ वव व2 सिर्फ इतने इतने को विजुलाइज करना सिर्फ इतने इतने को विजुलाइज करना समझना आप आप सिर्फ इतने इतने को विजुलाइज करना सिर्फ इतने इतने को आपने क्या लिया मान लो आपने वव यूनियन व2 ले लिया वव यूनियन v2 ठीक है अब v1 यूनि व2 के नाम प आपने क्या ले यहां पे समझाते हैं समझाते हैं इव ठीक है समझो अब v1 के नाम पर एक्स एक्सिस और v2 के नाम प क्या ले ली मैंने वा एक्सिस ले ली समझना यहां पर मैंने एक्स एक्सिस और वा एक्सिस लेके चल रहा हूं ठीक है अब दोनों का यूनियन लेने पर मुझे दो वेक्टर मिले यहां प एक वेक्टर ये ले लिया मैंने वव ठीक है ना दूसरा वे चलो मैंने यही ले लिए मतलब कहने का मतलब एक वेक्टर उठाया मैंने यह दूसरा वेक्टर उठाया मैंने यह समझना मैंने अब यह उठाया एक वेक्टर पहला वेक्टर उठाया जीव दूसरा वेक्टर उठाया न जीरो ठीक है अभ दोनों के दोनों वेक्टर कहां से बिलोंग कर रहे हैं आपके एक्स एक्सिस यूनियन वा एक्सिस से मानते हो ट इ रो बताओ भाई यहां तक किसी को दिक्कत परेशानी तकलीफ दुख दर्द तकलीफ बता दो कुछ भी हो मानते हो ना अगर आप इनका सम अब देखो ऑफकोर्स स बात है अगर ये दोनों एक्स एक्सिस और वा एक्सिस के यूनियन से बिलोंग कर रहे तो इनका जो सम होगा वो भी कहां से बिलोंग करेगा नमा वन कहां से बिलोंग करेगा नव एक्स एक्सिस यूनियन वा एक्सिस से रुक जाओ सोचना दो मिनट रुको रुको अब देखो अब अब जैसे ही मैंने देखो अब यहां पे क्या है यहां पर मैंने सब स्पेस की प्रॉपर्टी लगाने की स्टार्ट करी है देखो अब देखो यहां पर मैंने सब स्पेस की प्रॉपर्टी लगाने का स्टार्ट किया है मैंने क्या लगा दिया वेक्टर एडिशन यूज किया मैंने यहां प वेक्टर एडिशन इस्तेमाल किया मैंने यहां प मुझे पता है सब स्पेस की प्रॉपर्टी होती है मैं तो इसे सब स्पेस मान के चल रहा हूं भाई मैं तो सब स्पेस मान के चल रहा हूं ना इसको पहले से ही तो बस मुझे तो ये प्रूफ करना है कि ये सब स् नहीं बनेगा ये प्रॉपर्टी फेल कर देगा लेकिन मैं तो सब स्पेस मान के चल रहा हूं इसे अभी आगे चलकर कांट्रडिक्शन आ नाहा है तो अगर ये सब स्पेस की प्रॉपर्टी सेटिस्फाई करता है तो ऑफकोर्स वेक्टर एडिशन लगना चाहिए वेक्टर एडिशन लगेगा तो क्या हो जाएगा v1 प् v2 भी बिलोंग करना चाहिए बिल्कुल लिख दिया मैंने अब जब आप इसको देख रहे हो ना एग्जांपल में यहां तो आपको तुरंत पता दिख जाएगा कि वव डज नॉट बिलोंग टू एक्स एक्सस यियन वा एक्सिस समझो तो आपको डायरेक्ट दिख गया य नव डज नॉट बिलंग टू एक्स एक्सस यूनिन वा एक्सस ठीक है ना लेकिन अभी भी मैं मान के चल रहा हूं थ्योरम में इतना आसानी से नहीं दिखता है अगर एग्जांपल ले रहे होते तो यही समझ में आ जाता आपको तो मैंने यह ले लिया अब उसके बाद अब उसके बाद मैं इसको ले आया कि अगर य ऐसा है तो वव प् व2 या तो वव के पास मिलना चाहिए या ट के पास मिलना चाहिए बताओ अब देखो यस सी बात है ना और v2 दोनों के दोनों सब स्पेस है ठीक है ना तो मैं मान के चल रहा हूं कि भाई v1 प् v2 या तो वव के पास मिलना चाहिए v2 के पास मिलना चाहिए अब यहां पर मुझे देखने को मिल रहा है कि v1 प् v2 मतलब ये समझ लो कि नव या तो एक्स एक्सिस के पास होना चाहिए वा एक्सस के पास होना चाहिए मैं यह मान के चल रहा हूं तो मैंने अगर v1 प् v2 को यहां पर लेकर आया तो v1 प् v21 से बिलोंग करा दिया और फिर देखो ध्यान से कि v1 बिलोंग कर रहा है कैपिटल v1 से इसका मतलब बाय स्केलर मल्टीप्लिकेशन ये तो सब स्पेस है ही ये तो गिवन चीज है तो - v1 भी तो बिलोंग करना चाहिए v1 से और अगर मान लो वेक्टर एडिशन लगाऊ मैं इस पे और इस पे इसमें - v1 ऐड कर दूं बिकॉज मुझे पता है कि - v1 बिलोस टू v1 वेक्टर मतलब स्केलर मल्टीप्लिकेशन की प्रॉपर्टी हो गई ना तो अगर मैं इनको ऐड करूंगा तो क्या बच जाएगा v2 अकेला बच जाएगा और मैं स्टार्टिंग में लेके चला था कि v2 डज नॉट बिलोंग टू v1 एंड v1 डज नॉट बिलोंग टू v2 सो दिस इज द कांट्रडिक्शन मतलब लाइक दिस इज द मतलब मुझे तो ये मिला है कि कंटेनमेंट मुझे कंटेनमेंट मिल गई है समझो मुझे मिली कंटेनमेंट है लेकिन मुझे स्टार्टिंग से पता है कि यह चीज अब गलत आ गई है दैट इज रंग स्टेटमेंट दैट इज रंग तभी तो लिखा कांट्रडिक्शन कंट्रक्शन है इसका मतलब हम जो स्टार्टिंग से सपोज करके चल रहे थे कंट्रक्शन तभी आते है हमारे सपोज जो हम करके चलते हैं वो गलत होता है तो हमने क्या सपोज किया था दिस सपोजिशन इ र अब बताइए वही तो मैं बताना चाह रहा हूं प्रियंका आप खुद देखिए ना यहां पर क्या दे रखा है यहां पर दे रखा है कि v1 कंटेंट नहीं करना चाहिए v2 को v2 कंटें नहीं करना चाहिए v1 को ऑफकोर्स एक्स एक्सिस वा एक्सिस को कंटेन नहीं करती है वा एक्सिस एक्स एक्सिस को कंटेन नहीं करती है आपको एग्जांपल लेना है तो परफेक्ट एग्जांपल एक्स एक्सिस और वा एक्सिस का ही हो सकता है एक्स एक्सिस वा एक्सिस को कंटन नहीं करती है वा एक्सिस एक्स एक्सिस को कंटेन नहीं करती बताइए यहां तक कोई दिक्कत परेशानी तकलीफ ठीक है ना अब इसका मतलब क्या आवर अशन इ रंग ट इंप्ला आदर वव कंटेंट इनसाइड और टू कंटेंड इनसाइड इट थिंग क्लियर अब यही यही बस दिखाना था य पर कन्वर्स प्रूफ करके थोड़ा सा अजीब है लेकिन समझ में धीरे धीरे करके आएगा सर कांट्रडिक्शन के लिए आपने प् बिलंग टू आर क्या कांट्रडिक्शन लेने के लिए कंट्रक्शन का मतलब यह है कि ना तो यह क ना तो यह प्रूव हो रहा है मतलब ना तो यह सच है और ना ही यह सच है मतलब दोनों ही पॉसिबिलिटी गलत हो गई है अथवा का मतलब है कोई एक पॉसिबिलिटी भी सही हो जाती तो चलो मान लेते हैं लेकिन दोनों के दोनों पॉसिबिलिटी गलत हो गई है अब दोनों के दोनों पॉसिबिलिटी देखो दोनों के दोनों पॉसिबिलिटी अगर गलत हो गई है इसका मतलब क्या है हम जो ऊपर लेके चले थे हमारा सपोजिशन इज रॉन्ग ठीक है ना इसलिए लिखा गया आइर v1 कंटेंट इनसाइड v2 और v2 कंटेंट इनसाइड v1 इन दोनों में से कोई एक बात तो पक्का सच होगी या तो वव कंटेंट होगा इनसाइड या2 कंटेंट इनसाइड ठीक है एक को दूसरे मेंहा बिल्कुल तो यही यही तो समझा दोनों में से अगर कोई एक कंटेंट हो रहा है दूसरे के अंदर तो उनका यूनियन 100 पर सब स्पेस बने अब आते हैं पॉइंट नंबर सिक्स प पॉइंट नंबर सिक्स है आर्बिट्रेरी यूनियन ऑफ सब स्पेसेस इज अगेन सब स्पेस इफ एंड ओनली इफ देयर यूनियन बिकम वन ऑफ दीज सब स्पेसेस कहने का मतलब य मान लो आपके पास को बहुत सारे सब स्पेसेस है ठीक और आपसे कोई कहे कि उनका यूनियन करने पर वह सबका यूनियन करने पर मतलब उनका जो यूनियन है व एक सब स्पेस बन रहा है तो ऐसा सिर्फ और सिर्फ एक ही कंडीशन में हो सकता है इ एंड नली के कि उन सब में कोई एक सब स्पेस ऐसा होगा जो उन सब को अपने अंदर कंटेन किए बैठा होगा मतलब अगर मान लो वव वट v3 आपके पास ए सब स्पेसेस आपने उन सबका यूनियन करने पर आप चाहते हो सब स्पेस बन जाए तो ऐसा तभी मुमकिन है जब उन एन सब स्पेस में से कोई एक ऐसा सब स्पेस होगा जो उन सबको अपने अंदर कंटेन किए पहले बैठा हो ठीक है मतलब अगर आपने ये किया ई ठीक है यूनियन मलब आ यूनियन और आई की वैल्यू मान लो आपकी जा रही है वन से लेकर ए तक ठीक है तो इन सबका यूनियन जो बनेगा सब स्पेस बनेगा वो पक्का कोई ना कोई एक v आ ही होगा और जो आ की वैल्यू है जो आ की वैल्यू है व पक्का वन से लेकर ए के बीच में कोई होगा मतलब वव व2 v31 को लेकर मतलब कोई ना कोई एक ऐसा सब स्पेस जरूर होगा जो कि उन सबको अपने अंदर कंटेन किया बैठा होगा इसको आईनी इसको ज लिख दो ज यहां पर जो ज की वैल्यू है पक्का वन से लेकर ए के बीच में हो ठीक है यहां तो कोई दिक्कत परेशानी तकलीफ हो तो बताओ बताइए यहां तक किसी कोई दिक्कत परेशानी तकलीफ है तो बताओ ठीक है ना नहीं जोति वनव वन वन बिलोंग नहीं कर रहा आप समझिए गड़बड़ तो यही हो गई थी यह ये जो एग्जांपल लेके बताया ना मैंने एग्जांपल लेके इसीलिए बताया ताकि आपको ये समझा सक कि गड़बड़ तो यही हो गई थी ये वेक्टर एडिशन की प्रॉपर्टी कायद से सेटिस्फाई होनी चाहिए थी लेकिन अगर आप तो एक्चुअल गड़बड़ तो यही थी यह कंडीशन फेल हो जाएगी अब यह यहां डायरेक्ट थ्योरी में नहीं दिखता यह दिखता है यहां एग्जांपल में तो एग्जांपल में दिखाने पर तो तुरंत दिख गया आपको कि मैंने एक एलिमेंट लिया v1 से दूसरा एलिमेंट लिया v2 से दोनों का सम किया तो वो उनके यूनियन में बिलोंग नहीं कर रहा है लेकिन यहां तो भाई मैं मान के चल रहा हूं कि इतना करने के बाद भी के मतलब v1 यूनियन v2 अगर सब स्पेस है तो उनका सम भी सब स्पेस होगा और जैसे ही मैंने प्रॉपर्टी लगाना स्टार्ट करी तो मुझे जिस बात को पहले से ही मैं नकार के चल रहा था कि आपका जो v1 है वो v2 के अंदर से जैसे ये v1 डज नॉट बिलोंग टू कैपिटल v2 और स्मल v2 डज नॉट कंटेंड इन कैपिटल पर तो वही जो कंडीशन पहले नकार के चल रहे थे वो कंडीशन लट कर आ गई कंट्रक्शन य इसे एक बार खुद से देखोगे ठंडे दिमाग से आपको समझ में आएगा ठीक है अब देखो मान लो आपके पास य चार पाच यूनियन है जैसे यह चार पाच यूनियन है ठीक है ना जैसे अब एग्जांपल देता हूं मा एक्स एक्सिस एग्जांपल दे यूनियन वा एक्सिस यूनियन एक्सवा प्लेन अब हमसे कोई कहे कि भाई साहब इन तीनों का यूनियन करने पर क्या ये सब स्पेस बनेगा तीनों का सब स्पेस तीनों का यूनियन करने पर सब स्पेस बन रहा है कि नहीं बन रहा है तो पहले मुझे देखना पड़ेगा कि क्या इन तीनों में कोई ऐसा सब स्पेस है जो बाकियों को कवर कर रहा हो अब एक्स एक्सिस के अंदर यह दोनों कंटेंट नहीं होते वा एक्सिस के अंदर ये दोनों कंटें नहीं होंगे लेकिन एक्सवा प्लेन के अंदर एक्स एक्सिस और वा एक्सिस दोनों के दोनों कंटेंट होते हैं तो इसलिए तीनों का यूनियन क्या आ जाएगा एक्सवा प्लेन आ जाएगा क्यों क्योंकि यहां पर एक सब स्पेस ऐसा बैठा हुआ था ना जो कि बाकी सब स्पेसेस को अपने अंदर कंटेन किए हु बैठ है सो यही आ गया सामने निकल के तो यही लिखने का मतलब था यहां प आपकी आ की वैल्यू आव से लेकर ए तक जा रही है अच्छी बात है तो इन सबका जब आप यूनियन करते हो तो सामने v1 v2 v3 अप टू ए इन्हीं के बीच का कोई ना कोई सब स्पेस निकल कर आएगा इनके बीच में ये जो ज की वैल्यू है ना वन से लेकर ए तक के बीच में तो और यह जो सब स्पेस बनेगा वो कोई ऐसा सब स्पेस होगा जो कि ऑलरेडी इनमें दिख रहा होगा आपको यूनियन में और लेकिन बाकी अदर सब स्पेसेस को अपने अंदर कंटेन किए बैठा होगा उसी कंडीशन में ये सब स्पेस बनेगा समझ रहे हो क्यों दिखाया वो तो नॉर्मली दिख रहा है उसका सिग्निफिकेंट यह प्रूफ था प्रूफ में काफी चीजें होती है जिनका सिग्निफिकेंट बहुत क्लीयरली दिख रहा होता है बट स्टिल यू हैव टू राइट ऑन पेपर अदर वाइज मार्क्स नहीं मिलते और कई कई लोगों को कई बार क्या होता है ना आपको दिख गया कि लाइक वो बहुत ओबवियस ता सिग्निफिकेंट दिख रहा है बट स्टिल काफी बच्चों को दिक्कत होती है उसको विजुलाइज करने में इसलिए मेरा धर्म है यहां पर हर एक चीज को लिख के दिखाना ताकि अगर आप कभी गलती से कुछ भूल जाओ या फिर आप परेशान हो और आपका प्रोसेसर थोड़ा स्लो चल रहा है उस कंडीशन में भी आप पीछे ना पिछड़ जाओ अब बताओ मुझे यहां तक किसी बच्चों को दिक्कत परेशानी तकलीफ हो तो बताओ बाकी चीज सॉर्ट कर लेंगे अपन यह बताओ यहां तक किसी को कोई तकलीफ तो नहीं है बताइए तो आज की क्लास यही तक ठीक है क्योंकि थोड़ा थोड़ा करवाएंगे क्योंकि अभी एकदम से स्पीड पकड़ना खतरनाक है आप लोगों के लिए अगर मैंने एकदम से स्पीड पकड़ी तो काफी बच्चे पीछे रह जाएंगे क्योंकि यह सब स्पेस पहचानने वाला काम चल रहा है अभी है ना अभी यहां पर अंडरस्टैंडिंग वाले काम चल रहे हैं अभी जैसे लीनियर कॉमिनेशन की तरफ आएंगे ना वहा तो लीनियर कॉमिनेशन तो एकदम कैलकुलेशन वाला काम रहेगा तो वो तो आराम से दो तीन घंटे की गलास खींच लो लेकिन यहां ज्यादा क्लास नहीं खींच सकते ठीक है ना चलिए फिर मिलते हैं आप लोगों से ठीक है ओके थैंक यू सो मच गाइस और आपको अच्छी लगी हो क्लास तो जरूर बताइएगा ओके गुड नाइट सी यू टेक केयर मिलते हैं आपसे थैंक यू