Auch in diesem Video sprechen wir wieder beschwingt über Schwingungen. Wir zeigen dir den Zusammenhang zwischen einer harmonischen Schwingung und einer Kreisbewegung und fragen uns, wie man harmonische Schwingungen mathematisch korrekt beschreiben kann. Wo viel Licht ist, ist auch viel Schatten.
Und Schatten können durchaus unterschiedlich aussehen. Doch diese beiden hier ähneln sich stark. In beiden Fällen führt die Schattenfigur mit der Form eines amerikanischen Fleischbrötchens eine Schwingung aus. Schattenspiele sind nicht nur Spielerei, man kann sogar einiges über Schwingungen durch sie erfahren.
Ganz besonders, wenn man hinter die Kulissen blickt. Man könnte ja vermuten, dass die gleiche Schattenbewegung auch von der gleichen Bewegung verursacht wird. Dö-düm. Ist aber nicht so.
Verschiedene Bewegungen und doch der gleiche Schatten. Das ist ziemlich mysteriös. Bewegung Nummer 1 ist eine Schwingung.
Der Burger bewegt sich am Haken wirklich nur nach links und rechts. Von daher ist der Schatten auch keine große Überraschung. Aber der Schatten Nummer 2 ist der von einer Kreisbewegung.
Der Burger bewegt sich nicht nur nach links und rechts, sondern er bewegt sich auf einer Kreisbahn. Wenn wir die Kreisbewegung seitlich beleuchten, sodass sie einen Schatten an die Wand wirft, dann nennen wir das die Projektion einer Kreisbewegung. Die Projektion einer Kreisbewegung sieht also genauso aus wie eine Schwingung.
Das nehmen wir noch genauer unter die Lupe und packen noch ein bisschen Matte rein. Der Burger hat immer den gleichen Abstand zum Drehzentrum Z, also zur Kreismitte. Und das ist der Radius klein r.
Jetzt legen wir ein Koordinatensystem in unsere Kreisbewegung und zwar so, dass der Ursprung des Koordinatensystems genau im Punkt z liegt. Hier der Drehwinkel phi, also der Winkel zwischen der Rechtsachse und dem Radius des Burgers. Die Größe des Drehwinkels kann sich schnell ändern oder langsam.
Das beschreiben wir durch die Winkelgeschwindigkeit Omega. Ändert sich die Größe des Drehwinkels schnell, dann ist Omega groß. Ändert sich die Größe des Drehwinkels langsam, dann ist Omega klein.
Zur Erinnerung, die Winkelgeschwindigkeit ist definiert als der überstrichene Drehwinkel geteilt durch die dafür nötige Zeit. Omega ist gleich Phi durch T. Wenn wir aber eine volle Umdrehung berücksichtigen, dann ist der Drehwinkel im Bogenmaß genau 2 Pi und die benötigte Zeit klein T entspricht dann genau der Umlaufzeit Groß T. Omega kann also auch beschrieben werden als 2 Pi geteilt durch Groß T. Jetzt bekommt auch der schwingende Schatten ein Koordinatensystem. Es sieht so aus, als ob der Burger sich nach oben und unten bewegt, also nur auf der Hochachse.
Weil wir auf dieser Achse die Auslenkung y auftragen, nennen wir sie nun y-Achse. In der Mitte der Bewegung legen wir den Nullpunkt von diesem eindimensionalen Koordinatensystem. Eindimensional, weil es nur eine Achse gibt. Ist der Schatten in diesem Nullpunkt, sagen wir auch, er ist in der Nulllage.
Die Nulllage heißt auch Ruhelage. Jetzt vergleichen wir beide Koordinatensysteme und Bewegungen. Die Ruhelage unserer Schwingung ist genau auf der Höhe vom Drehzentrum z. Die Amplitude der Schwingung y-Dach, also die maximale Auslenkung, entspricht dem Radius r der dazu passenden Kreisbewegung. Die Schwingung hat von der Ruhelage immer den gleichen y-Wert wie die dazugehörige Kreisbewegung.
Salopp gesagt, Die Höhe oder Tiefe von unserem Drehburger ist gleich der Höhe oder Tiefe von seinem schwingenden Schatten. Mathematisch genau müsste man sagen, der Abstand zum Nullpunkt ist bei beiden Bewegungen identisch. Bewegung hat ja immer etwas mit Zeit zu tun.
Jetzt schnappen wir uns eine Uhr und schreiben sauber auf, wie der Schatten sich im Laufe der Zeit bewegt. Daraus ergibt sich dann ein Zeit-Ort-Diagramm der Bewegung. Auf der Rechtsachse tragen wir unsere Zeit klein t auf, auf der Hochachse wieder die Auslenkung y unserer Schwingung.
Ein t-y-Diagramm also. Die Kurve, die jetzt herauskommt, sieht komischerweise genauso aus wie eine Sinuskurve. Das ist kein Zufall. Es hat vielmehr etwas mit diesem Ding hier zu tun, einem Geodreieck.
Und um zu verstehen, was es damit auf sich hat, kehren wir zurück zu unserem amerikanischen Brötchen. auf seiner Kreisbahn. Pause! Der Abstand zwischen Drehzentrum und Burger ist der Radius r.
Der Winkel zwischen Rechtsachse und dem Radius ist der Drehwinkel phi. Jetzt zeichnen wir noch die Burgerposition auf der Rechtsachse und auf der Hochachse ein. Und schwupps, wir haben ein Dreieck mit einem rechten Winkel.
In einem rechtwinkligen Dreieck nennen wir die Seite gegenüber vom betrachteten Winkel, also hier dem Drehwinkel phi, Die Gegenkathete. In unserem Fall entspricht die Länge der Gegenkathete der Position auf der y-Achse. Die lange Seite gegenüber vom rechten Winkel ist die Hypotenuse.
In unserem Fall entspricht die Länge der Hypotenuse genau dem Radius r. Die Länge der Gegenkathete und damit y berechnest du, indem du die Länge der Hypotenuse r mit dem Sinus des Drehwinkels phi multiplizierst. In diesem rechtwinkligen Dreieck gilt, die Seite gegenüber vom Winkel ist genauso groß wie der Radius der Kreisbahn mal dem Sinus vom Winkel. y von t ist gleich r mal Sinus von phi. Zwischen dem Drehwinkel phi und der Winkelgeschwindigkeit Omega gilt, Omega ist gleich phi durch t.
Wenn wir das umstellen, bekommen wir, phi ist gleich Omega mal t. Das können wir in unsere Formel für y packen. y von t ist gleich r mal Sinus von Omega mal t.
Und statt dem r können wir auch die Amplitude y'einsetzen. y von t ist gleich y-Dach mal Sinus von Omega mal t. Übrigens wird die Winkelgeschwindigkeit Omega jetzt umgetauft. Da sich bei der Schwingung nichts mehr dreht und keine Winkel mehr überstrichen werden, nennen wir Omega, wenn wir über Schwingungen sprechen, Kreisfrequenz. Wir sehen also eine Sinuskurve im Zeit-Ort-Diagramm und bekommen einen Sinus in der Formel.
Passt also irgendwie. Mithilfe von Burger... und Geodreieck haben wir übrigens eine echt wichtige Formel entdeckt.
Die Auslenkung y von t ist gleich der Amplitude y'mal dem Sinus von der Kreisfrequenz Omega mal der Zeit t. Das ist das Zeit-Orts-Gesetz einer harmonischen Schwingung. Und jetzt, da wir den Zusammenhang zwischen einer Kreisbewegung und einer Schwingung gezeigt haben, fragen wir mal Zen-Meister Simon, wann eine Schwingung harmonisch ist. Ich nehme hier nur harmonische Schwingungen wahr.
Eine Schwingung ist dann harmonisch, wenn sie mit einer entsprechenden Projektion von einer Kreisbewegung übereinstimmt. Denn dann kann sie durch eine Sinus-oder Kosinusfunktion beschrieben werden. So wie diese hier. y von t ist gleich y'mal Sinus von Omega mal t.
Die Amplitude y'gibt die maximale Auslenkung an. Je größer unser y'desto weiter entfernt sich der Burger von der Ruhelage. Wird die Amplitude kleiner, dann wird die Schwingung schwächer. Der Burger schwingt jetzt nur noch in kleinen Abständen um die Ruhelage. Nun zu unserer Kreisfrequenz Omega.
Hier besteht übrigens Verwechslungsgefahr, darum Vorsicht! Die Kreisfrequenz Omega ist nicht gleich der Frequenz f der Schwingung. Die Frequenz ist und bleibt der Kehrwert der Schwingungsdauer T.
f ist gleich 1 durch T. Die Kreisfrequenz Omega einer Schwingung entspricht ja der Winkelgeschwindigkeit der projizierten Kreisbewegung. Die Formel für Omega lautet Omega ist gleich 2 Pi durch T. Bei einer großen Kreisfrequenz Omega zieht sich die Kurve zusammen. Der Burger schwingt zwar immer noch genauso weit, also mit derselben Amplitude, dafür ist die Schwingung jetzt aber viel schneller, das heißt es gibt mehr Schwingungen pro Sekunde.
Wenn wir die Kreisfrequenz wieder kleiner werden lassen, zieht sich die Kurve wieder auseinander. Die Schwingung wird langsamer, bleibt aber genauso groß. Bis jetzt haben wir harmonische Schwingungen nur mit dem Zeit-Orts-Gesetz beschrieben. Das Zeit-Orts-Gesetz gibt uns an, zu welchem Zeitpunkt sich unser Burger oder der schwingende Körper an welchem Ort befindet. Was ist aber, wenn ich wissen will, wie schnell mein Burger ist oder wie stark er beschleunigt wird?
Ich sehe etwas, ich sehe Formeln, ich sehe das Zeitgeschwindigkeitsgesetz. V von T ist gleich Y'mal Omega mal Cosinus von Omega mal T. Und ich sehe auch...
Das Zeitbeschleunigungsgesetz. a von t ist gleich minus y'mal Omega zum Quadrat mal Sinus von Omega mal t. Wie man auf die Formeln kommt, könnt ihr auf unserer Grundwissenseite nachlesen. Das Zeitgeschwindigkeitsgesetz gibt uns für jeden Zeitpunkt an, wie schnell der Burger ist.
Und das Zeitbeschleunigungsgesetz sagt uns für jeden Zeitpunkt die Beschleunigung des Burgers voraus. Wenn wir das Zeit-Ort-Diagramm und das Zeitgeschwindigkeits-Diagramm aufzeichnen, dann sind wir fertig. beide Diagramme in ihrer Form ganz ähnlich. Das rote Zeit-Ort-Diagramm ist aber gegenüber dem grünen Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm verschoben.
Da, wo das rote Zeit-Ort-Diagramm zum ersten Mal den Nullpunkt erreicht, hat das grüne Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm seinen ersten Tiefpunkt. Das heißt, wenn der Burger die Ruhelage passiert, bewegt er sich sehr schnell, um genau zu sein, mit größter Geschwindigkeit in negative Y-Richtung. Etwas weiter erreicht das rote Zeit-Ort-Diagramm seinen tiefsten Punkt und das grüne Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm kreuzt die Achse, ist also 0. Das bedeutet, sobald der Burger den Ort der maximalen Auslenkung erreicht, ist seine Geschwindigkeit gleich 0. Der Burger hält für einen kurzen Moment inne und bewegt sich dann in die andere Richtung weiter.
Wenn wir jetzt noch das blaue Zeitbeschleunigung-Diagramm mit ins Bild nehmen, dann sehen wir etwas ganz ähnliches. Genauso wie das grüne Zeitgeschwindigkeit-Diagramm gegen das rote Zeitort-Diagramm verschoben ist, so ist auch das blaue Zeitbeschleunigung-Diagramm gegen die anderen beiden verschoben. Man könnte sagen, das Zeitbeschleunigung-Diagramm ist genau entgegengesetzt zum roten Zeit-Ort-Diagramm. Spannend ist allerdings der Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Beschleunigung.
Da, wo die Geschwindigkeit ihren kleinsten oder größten Wert erreicht, ist die Beschleunigung 0. Und da, wo die Geschwindigkeit ihren Nullpunkt erreicht, ist die Beschleunigung maximal oder minimal. Wenn wir unseren Burger an eine Feder hängen, dann haben wir ein Federpendel. Je weiter ich den Burger aus der Ruhelage auslenke, desto größer wird auch die Kraft der Feder, mit der sie den Burger wieder zurückzieht.
Die Kraft nennt man rücktreibende Kraft. Das gleiche passiert auch, wenn ich den Burger in die andere Richtung auslenke und die Feder kürzer mache. Genauer gesagt gilt hier beim Federpendel das lineare Kraftgesetz.
Das heißt, die rücktreibende Kraft der Feder ist proportional zur Auslenkung. f von x ist gleich minus d mal x. Eine doppelt so große Auslenkung führt zu einer doppelt so großen Kraft, eine halb so große Auslenkung zu einer halb so großen Kraft.
Wenn ich unseren Hamburger jetzt loslasse, dann beginnt er zu schwingen. Klar, die Bewegung sieht ziemlich vertraut aus. Wenn wir hier auch ein Zeit-Ort-Diagramm aufzeichnen, dann sieht das so aus. Die Bewegung des Federpanels ist eine harmonische Schwingung und wir können sie wieder mit dem Zeit-Orts-Gesetz beschreiben.
A. Lineares Kraftgesetz, B. Harmonische Schwingung. Ähm, ein geradezu genialer Geistesblitz wäre, beide zusammenzubringen.
Wenn beim Federpendel das lineare Kraftgesetz gilt, folgt daraus, dass die Bewegung auch eine harmonische Schwingung sein muss. Wenn A, dann B. Das klingt so simpel, aber gilt das auch umgekehrt?
Treibt bei jeder harmonischen Schwingung auch immer das lineare Kraftgesetz sein Unwesen? Also, wenn B, dann A. Ich habe eine Eingebung.
Es stimmt. Aber das ist nicht ganz so leicht zu sehen. Und da ich der Mensch für gute Schwingungen bin, bleibt der Mathehammer heute im Werkzeugkasten.
Auf der Seite von Leifli könnt ihr das aber ganz genau nachlesen. Und wenn ihr richtig motiviert seid, auch nachrechnen. Meinst du Om wegen Omega oder wegen Omega wegen der Burger?
Sorry, mir brummt leider schon der Schädel von diesem blöden Gong. Falls dir auch der Schädel brummt, dann hau uns deine Fragen in die Kommentare. Und für uns beide gibt's jetzt Burger.
Und für dich da draußen ein... Spitzkette?