Kali ini kita akan membahas persamaan garis singgung lingkaran jika diketahui gradien garis singgung matematika peminatan kelas 11. Misal A,B adalah titik pusat lingkaran, R adalah jari-jari lingkaran, dan M adalah gradien garis singgung lingkaran. Maka, untuk persamaan lingkaran yang berpusat di 0,0 dan jari-jarinya R, itu adalah Y sama dengan MX plus minus R akar M kuadrat plus 1. Dan untuk persamaan lingkaran yang berpusat di A, B serta jari-jarinya R, ini adalah Y min B sama dengan M kali X min A plus minus R akar M kuadrat plus 1. Simpelnya, untuk mencari persamaan garis singgung jika diketahui gradient, teman-teman cukup tahu koordinat titik pusatnya, jari-jarinya, dan gradientnya. Itu aja, dan rumus yang paling penting sebenarnya adalah rumus yang kedua ini.
Kenapa? Karena dari rumus ini kita bisa mendapatkan rumus persamaan garis singgung untuk persamaan lingkaran yang berpusat di 0,0 dan jari-jarinya R. Tinggal kita ganti aja A sama B-nya dengan 0,0.
Dan bagaimana untuk bentuk umum X² plus Y² plus AX plus BY plus C sama dengan 0? Sama, kita bisa pakai rumus ini juga dengan cara kita mencari koordinat titik pusat lingkarannya, dan kita tentukan jari-jarinya menggunakan rumus akar 1.4a² plus 1.4b² min c. Nah, sedikit catatan yang perlu teman-teman ingat tentang gradient garis.
Untuk persamaan garis y sama dengan a x plus b, gradientnya langsung aja, tinggal koefisien x, yaitu a. Kemudian persamaan garis a x plus b y sama dengan c. Ini bisa kita ubah dulu jadi bentuk Y sama dengan, sehingga nanti kita peroleh persamaan garisnya itu negatif A per B.
Ini yang penting. Kemudian untuk hubungan antar garis dan gradient, apabila suatu garis melalui 2 titik, misal titik yang dilaluinya adalah A, B, ya koordinatnya ini. Maka untuk mencari gradient tinggal delta Y per delta X aja.
Delta Y-nya kita ganti sama Y2-Y1 per X2-X1. Kemudian hubungan antargaris yang saling sejajar berarti gradientnya sama, M1 sama dengan M2. Serta hubungan antargaris yang saling tegak lurus, itu gradientnya kalau kita kalikan harus negatif 1. Ini saja yang penting.
Supaya lebih jelas, langsung saja mari sama-sama kita simak pembahasan contoh-contoh soal berikut ini. Oke, buat contoh soal yang pertama. Persamaan garis singgung lingkaran x² plus y² sama dengan 25 dengan gradient negatif 2 adalah titik-titik.
Nah, untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran bergradient M, kuncinya ingat lagi, cari pusat, cari jari-jari, cari gradient, baru susun persamaan garis singgungnya. Nah, sekarang kita cari dulu pusat dan jari-jari lingkaran. Lingkaran ini adalah lingkaran yang berpusat di 0,0.
Dan jari-jarinya adalah akar 25 ya, jari-jarinya 5 satuan. Nah kemudian gradientnya jelas, udah diketahui ya, negatif 2. Pusat, jari-jari, dan gradientnya kita udah punya. Maka dari itu kita bisa menyusun persamaan garis singgung lingkarannya, menurut rumus Y-B sama dengan M kali X-A plus minus R kali akar M kuadrat plus 1. A, B itu adalah koordinat titik pusatnya ya. Berarti kalau 0,0, A-nya 0, B-nya juga 0. Jadi kita bisa isi aja di sini. B-nya dengan 0, M-nya kita ganti sama min 2, A-nya kita ganti sama 0, dan M yang di sini kita ganti sama min 2. Nah ini kita hitung.
Y kurang 0 jelas ya. Ini Y. Yang ini negatif 2X. Negatif 2X tambah 0. Plus minus, yang ini 5. Yang ini... Akar 4 tambah 1 ya berarti akar 5 ya. Ya jadi jelas Y-nya sama dengan negatif 2X plus minus 5 akar 5. Jadi jawaban yang tepat yang mana tuh?
Ya, yang C. Contoh lagi. Persamaan garis singgung lingkaran X kuadrat plus Y kuadrat, min 2X, min 2Y, min 23, sama dengan 0, dengan gradien negatif 3 per 4 adalah titik-titik. Nah kita cari dulu pusat dan jari-jari lingkaran, karena gradientnya sudah diketahui di sini ya. Dari bentuk umum persamaan lingkaran ini, teman-teman perhatikan bahwa nilai A-nya adalah negatif 2, B-nya negatif 2, dan C-nya adalah negatif 23. Kita tandain di sini ya, ini A, ini B.
Ini C. Nah kemudian, buat cari pusat kan tinggal negatif setengah A, negatif setengah B. Berarti negatif setengah kali negatif 2, hasilnya 1. Yang koordinat Y-nya juga sama. Negatif setengah kali negatif 2, hasilnya 1. Nah buat cari jari-jari, kita pakai persamaan yang ini. A, B, sama C-nya kan kita tahu di sini. Min 2, min 2, sama min 2, 3. Teman-teman masukin ke rumus R yang ini.
Seperti ini. Dan ini tinggal kita hitung saja. Ini kalau kita hitung, 1 per 4 kali 4, 1. Ini juga sama, yang ini jadi 1. Minus minus 23, jadi plus 23. Jadi akar 25, hasilnya 5. Nah, selanjutnya, karena gradientnya sudah diketahui, yaitu negatif 3 per 4, maka di sini kita bisa langsung menentukan persamaan garis lingkungan lingkaran menggunakan rumus yang ini. Karena kita sudah tahu pusat, jari-jari, sama gradient.
Nah, teman-teman perhatikan bahwa A kecil, B kecilnya seperti biasa, ini adalah koordinat titik pusatnya ya. Jadi, A-nya nanti kita ganti sama 1, yang ini. B-nya juga sama, kita ganti sama 1. M-nya kita ganti sama negatif 3 per 4, ya.
Dan R-nya kita ganti sama 5. Teman-teman, substitusi semua ke persamaan ini. Nah, kemudian ini kita kaliin nih. Negatif 3 per 4 kita kali ke dalam, dan yang ini kita hitung.
Jadi negatif 3 per 4 X, yang ini jadi plus 3 per 4, plus minus 5, kali 5 per 4. Jadi ini yang dalam akar kalau kita hitungkan hasilnya 9 per 16 tambah 16 per 16 ya akar 25 per 16. Itu sama aja kayak 5 per 4 ya nilainya. Nah kemudian yang ini jadi 25 per 4 ya. Kemudian kita kali 4 masing-masing ruas, ruas kiri sama ruas kanan. Nah. 4 kali Y berarti 4Y, negatif 1 kali 4, yang min 4, yang ini jadi negatif 3X, plus 3, plus minus 25. Nah, lihat di pilihan ganda, di sini kan 3X-nya positif semua ya.
Berarti ini nanti tinggal kita pindah ruaskan ke sebelah kiri. Jadi seperti ini, min 3X pindah ke kiri, jadi 3X plus 4Y, nah yang min 4-nya pindah ke kanan. Jadi 3 plus 4 itu 7. plus minus 25 nya kita biarin aja, gak usah pindah-pindah. Jadi, opsi yang tepat yang mana tuh? Yang ada di pilihan.
Ya, yang B ya. Contoh ketiga. Persamaan garis singgung lingkaran, x² plus y², min 2x plus 4y, min 21 sama dengan 0, yang sejajar garis x plus 5y sama dengan 15 adalah titik-titik. Nah, kita cari dulu. Pusat dan jari-jari dari lingkaran yang ini, ya, di mana min 2 ini adalah A-nya, seperti biasa, ya.
4 di sini adalah B-nya, dan negatif 21 adalah C-nya. Pusat tinggal negatif setengah A, negatif setengah B. Berarti negatif setengah kali min 2 itu 1, negatif setengah kali 4 itu min 2. Jadi pusatnya punya koordinat 1, negatif 2. Buat cari jari-jari, kita pakai rumus ini.
A, B, sama C-nya kita substitusi ke rumus R, seperti ini. Nah, ini kita hitung aja ya. Akar 1 per 4 dikali 4, itu 1 ya.
1 per 4 kali 16, itu 4. Kemudian minus ketemu minus, ini jadi plus. Plus 21 ya. Jadi R-nya ini sama dengan akar 26. Setelah kita dapat R-nya, kita harus cari gradient dari garis ini.
Ya kan? Karena itu garisnya kan sejajar. Berarti gradiennya nanti sama. Gradien M-nya kita peroleh dari persamaan garis ini ya.
Yang ini kita buat jadi 5Y sama dengan negatif X plus 15. Bagi 5 masing-masing ruas, jadi seperti ini. Kita nyatakan dalam bentuk Y sama dengan, dan min 1 per 5 ini adalah gradiennya. M-nya sama dengan negatif 1 per 5. Nah, karena garisnya sejajar, maka M1 sama dengan M2. Ya sehingga Gradien garis yang sejajar, ini adalah min 1 per 5. Jadi M yang kita pakai yang ini.
Pusat, jari-jari, sama gradientnya kita udah tahu. Dan di sini kita bisa susun persamaan garis singgung lingkarannya menggunakan rumus ini. Tinggal teman-teman substitusi aja nilai pusatnya ya, A, B-nya ini.
R-nya yang ini. Kemudian M-nya yang ini. Seperti ini.
Jadi Y, min-min 2, sama dengan negatif 1 per 5, kali X, min 1. Plus minus akar 26 kali akar negatif 1 per 5 kuadrat plus 1. Ini kita kalikan ke dalam. Nah ini jadi plus ya. Y plus 2, min 1 per 5 X. Ini kali sama min 1 jadi plus 1 per 5. Ini akar 26 yang dalam. Akar ini jadi akar 26 per 25. Nah, 25 yang di bawah ini bisa keluar dari akar.
Dan akar 26 kali akar 26, hilang akarnya. Jadi, yang ini langsung aja jadi 26 per 5. Nah, lihat penyebutnya kan 5 semua. Supaya gampang, kita kaliin 5 masing-masing ruas.
Jadi, 5 kali Y, ya 5Y. 2 kali 5, 10. Yang ini negatif 1X, plus 1, plus minus 26. Nah, di pilihan, koefisien X-nya positif semua. Berarti min X yang ini pindah ruas ke kiri.
Jadi, X plus 5Y, 10 yang ini pindah ke kanan. Jadi, 1 kurang 10 kan negatif 9. Nah, plus minus 26-nya nggak usah kita apapain. Nah, ada kan jawabannya di pilihan? Di sini, opsi yang tepat adalah yang B. X plus 5Y sama dengan min 9 plus minus 26. Contoh soal lagi, yang keempat.
Persamaan garis singgung lingkaran x² plus y² min 26x plus 86y plus 160 sama dengan 0 yang tegak lurus garis 12x plus 5y sama dengan 10 adalah titik-titik. Seperti biasa, prinsipnya cari pusat dan jari-jari, cari gradient, dan baru kita susun persamaan garis singgung lingkarannya. Nah, untuk pusat dan jari-jarinya kita tentuin dulu nilai A, B, sama C-nya. Jelas dari sini nilai A-nya itu negatif 26, B-nya 8, dan C-nya 160. Pusatkan min setengah A, min setengah B.
Berarti min setengah kali min 26, 13. Min setengah kali 8, ya negatif 4. Sehingga koordinat titik pusatnya adalah 13, negatif 4. Jari-jarinya kita substitusi A, B, sama C-nya ke rumus ini. Seperti ini. Dan ini kalau kita hitung jadi akar 169 tambah 16 kurang 160. Berarti ini yang dalam akar jadi akar 9 tambah 16, akar 25 ya.
Akar 25 itu nilainya adalah 5. Dan dari sini kita cari gradien M. Dari persamaan garis ini. Jadi kita nyatakan dulu jadi bentuk Y sama dengan.
Nah, berarti dari 12X plus 5Y sama dengan 10, kita ubah jadi 5Y sama dengan min 12X plus 10. Terus kita bagi 5 masing-masing ruas. Jadi kita peroleh Y-nya sama dengan min 12 per 5X plus 2. Nah, di sini kan gradient-nya jelas ya, coefficient X. Yaitu negatif 12 per 5. Tapi hati-hati, yang ditanya adalah persamaan garis singgung.
Lingkaran yang tegak lurus Artinya disini Syarat tegak lurus adalah M1 x M2 sama dengan Min 1 Jadi kalau M1 nya Min 12 per 5 Maka jelas M2 nya ini adalah 5 per 12 Dan ini yang kita pakai Kita sudah punya pusat Yaitu 13, negatif 4 Dimana 13 adalah A nya Dan Min 4 adalah B nya Jari-jarinya 5 Gradientnya 5 per 12, baru dari sini kita bisa susun persamaan garis singgung lingkaran menggunakan rumus ini. Substitusi A, B, jari-jari dan gradientnya ke rumus ini. Seperti ini. Kemudian ini kita kalikan ke dalam, yang dalam akarnya kita hitung.
Jadi Y plus 4 sama dengan 5 per 12 kali X jadi 5 per 12X. Ini kali negatif 13 jadi 65 per 12 ya, minus tandanya. Plus minus yang ini kalau misalnya kita keluarin dari akar hasilnya adalah 13 per 12. Kan ini kalau kita hitung hasilnya 169 per 144. Kita keluarin dari akar jadi segini. Nah jadi 5 kali 13 per 12 ini kita hitung dulu jadi 65 per 12. Dan penyebutnya kan 12 semua. Jadi kita kali 12 ini masih-masih ruas.
Jadi 12 kali Y, 12Y. 4 kali 12, 48. Yang ini jadi 5X. Min 65 plus minus 65 Di pilihan, koefisien X-nya positif semua Artinya nanti 12Y-nya pindah ruas ke sebelah kanan Jadi 5X-12Y.
Buat yang angkanya, min 65-nya pindah ke kiri saja. Jadi 65 tambah 48, 113. Plus minus 65, kalau pindah ya tetap saja. Dan kalau kita rapikan, kita peroleh nanti hasilnya adalah 5X-12Y sama dengan 113 plus minus 65. Jadi jawaban yang cocok di sini adalah yang D. Untuk soal yang kelima, lingkaran X kuadrat plus Y kuadrat sama dengan 8 menyinggung garis Y sama dengan X plus K, maka nilai K-nya adalah titik-titik.
Nah, untuk penyelesaiannya, Untuk lingkaran yang menyinggung garis, nanti syarat diskriminannya harus 0. Jadi teman-teman substitusikan dulu Y sama dengan X plus K ke persamaan lingkaran. Kita punya persamaan lingkaran seperti ini, dan Y-nya kita ganti sama X plus K. Nah ini kita kuadratkan, jadi seperti ini ya.
Jadi X kuadrat plus 2KX plus K kuadrat. Nah kemudian ini kita terapikan lagi, persamaan ini jadi 2X kuadrat plus 2KX. plus k kuadrat min 8 sama dengan 0. Nah, ini adalah persamaan kuadrat dalam variable x, di mana 2 ini merupakan a-nya, 2k ini merupakan b-nya, dan k kuadrat min 8 merupakan c-nya.
Nah, kemudian syarat dari garis yang menyinggung lingkaran itu diskriminannya harus 0. Diskriminan rumusnya adalah b kuadrat min 4ac, dan ini harus sama dengan 0. a, b, sama c-nya kita ambil dari sini semua. Jadi kita substitusi B-nya dengan 2K, A-nya dengan 2, dan C-nya dengan K kuadrat min 8. Ini kita hitung aja. Yang ini kan jadi 4K kuadrat.
Ini jadi min 8 kali K kuadrat min 8 jadi min 8K kuadrat plus 64 sama dengan 0. Kita bagi 4. Ini kita bisa hitung dulu ya. 4K kuadrat min 8K kuadrat jadi min 4K kuadrat plus 16. 64 bagi 4 kan 16, ini sama dengan 0. baru bagi min 4 masing-masing ruas. Jadi kita peroleh k kuadrat min 16 sama dengan 0. Dari sini kalau kita faktorkan kan, jadi k min 4 kali k plus 4 sama dengan 0, dan kita peroleh nilai k-nya adalah plus minus 4. Sehingga opsi yang tepat di sini adalah yang B. Demikian pembahasan singkat kali ini mengenai persamaan garis singgung lingkaran yang bergradian M, matematika peminatan kelas 11 kali ini.
Sebagai penutup, berikut ini saya sertakan 10 latihan soal yang bisa teman-teman sekalian coba. Silakan dicoba, semoga video ini bermanfaat. Jangan lupa like, share, dan subscribe buat yang belum ya. Terima kasih untuk perhatiannya, sampai jumpa di video saya yang berikutnya.