Probability की अवधारणा

परिचय

• Probability का अर्थ होता है संभावना।
• यह किसी घटना की होने या ना होने की संभावना को मापने का तरीका है।
• Class 11 में Probability की विभिन्न धारणाओं को समझाया जाता है।

Probability की Theories

1. Classical Theory of Probability
   • सबसे प्राचीन धारणा जिसमें अनुकूल परिणामों की संख्या को कुल संभावित परिणामों की संख्या से विभाजित किया जाता है।
   • उदाहरण: एक die का throw व एक coin का toss।
2. Statistical Approach of Probability
   • अवलोकन पर आधारित डेटा से Probability निकालने का तरीका।
   • उदाहरण: die को कई बार थ्रो कर के Probability निकालना।
3. Axiomatic Approach to Probability
   • नियमों के आधार पर Probability निकालना।
   • Set Theory से संबंधित।

महत्त्वपूर्ण अवधारणाएँ

• Random Experiment: ऐसा प्रयोग जिसके परिणाम ज्ञात नहीं होते।
• Outcome: किसी random experiment का संभावित परिणाम।
• Sample Space: सभी संभावित परिणामों का सेट।
• Event: Sample Space का subset।

Event के प्रकार

• Impossible Event: कभी नहीं हो सकता, Probability = 0
• Sure Event: निश्चित रूप से होगा, Probability = 1
• Simple Event: जिसमें Sample Space का केवल एक Sample Point होता है।
• Compound Event: जिसमें एक से अधिक Sample Points होते हैं।

Events की Operations

• Complementary Event: किसी Event के Complementary outcomes।
• Union of Events (A or B): दोनों Events के सभी outcomes शामिल।
• Intersection of Events (A and B): केवल दोनों Events में common outcomes।
• Mutually Exclusive Events: दो Events जिनमें कोई भी common outcome नहीं होता।
• Exhaustive Events: एक साथ सभी संभावित outcomes शामिल करते हैं।

Axiomatic Approach के Rules

1. किसी भी outcome की Probability 0 और 1 के बीच होती है।
2. सभी outcomes की Probability का sum 1 होता है।
3. किसी Event की Probability = उसके सभी outcomes की Probability का sum।

उदाहरण

• Rigged Coin: एक ऐसा coin जिसमें किसी एक outcome का Probability दूसरे से ज्यादा हो सकता है।
• Axiomatic approach यह सिद्ध करता है कि इस प्रकार के coin के लिए भी Probability के नियम लागू होते हैं।

Event की Probability निकालना

• A or B: Probability(A union B) = P(A) + P(B) - P(A intersection B)
• A and B: Probability(A intersection B)
• Not A: Probability(not A) = 1 - P(A)

प्रश्न अभ्यास

• Letters in "ASSASSINATION" से vowel और consonant की Probability निकालना।
• Class 11th में students के Mathematics या Biology पढ़ने की Probability निकालना।

Conclusion

• Probability के प्रश्नों में permutation combination का भी उपयोग हो सकता है।
• Concepts को समझने के बाद textbook के प्रश्नों का अभ्यास करें।

Probability के ये concepts Class 11 के स्तर पर कवर होते हैं, लेकिन ये निर्णय लेने और daily life में बहुत उपयोगी सिद्ध होते हैं।