Probability की मूल बातें और सिद्धांत

Hello everyone, मुझे उम्मीद है कि आप सब भी अच्छे हैं और आज मैं लेकर आई हूँ Probability Class 11 Maths हमेशा की तरह खतम करेंगे Probability के Concepts को सिर्फ एक वीडियो में और इस वीडियो को देखने के बाद Probability के Concepts होंगे Crystal सब्सक्राइब करोगे खुद से तो मैं हूं रोशनी फ्रॉम लेनो हाब द फ्री लर्निंग प्लैटफॉर्म जहां पर आप फिजिक्स केमिस्ट्री माथमाटिक्स बायोलॉजी सभी कुछ पढ़ सकते हो एबसॉल्यूटली फॉर फ्री एट लर्नो हव डॉट कॉम तो क्या हम सभी तैयार है प्रॉबिलिटी पढ़ने के लिए लेट्स केट स्टार्टेड अ क्या पढ़ेंगे हम probability में? probability में हम बात करते हैं possibility की, किस तरह की possibility? क्या आज शाम को बारिश होगी? हो भी सकती है, नहीं भी हो सकती है? फिलाल मौसम देखके लग रहा है कि 90% chance है कि आज बारिश होगी, but still 10% की uncertainty है, right? तो जब कभी हम ऐसे किसी situation को गुजरते हैं, जहां पर हम बात करते हैं possibility की, कि ऐसा भी हो सकता है और वैसा भी हो सकता है तो इसी तरह की situations की बात करेंगे हम probability में अब आप सोच रहे होगे तो mathematics में exactly हम क्या पढ़ते हैं probability के बारे में तो यहां हम यह सीखते हैं कि given a situation अगर एक situation दी हुई है तो किसी भी चीज के होने की या ना होने की probability हम निकालते कैसे हैं तो हम mathematically probability find करना सीखते हैं इसके जो है कुल मिला के हम तीन approach के बारे में अभी बात करेंगे आज जो पहला approach है वो है classical theory of probability classical theory जैसे वो हम कहते हैं न classics मतलब है तो बहुत पहले से so one of the oldest theory है लेकिन वो कहते हैं न old is gold तो बिलकुल golden theory of probability है आप देखोगे आगे चलके कि इस वाले rule से इस theory से ही आपके probability के अ जो बाकी भी theories हैं, वो भी कहीं न कहीं इस theory से related है, मतलब at least अभी हम इस level पे जो भी पढ़ने वाले हैं ठीक है, तो classical theory of probability ये कहती है कि probability of any event is given by number of favorable outcomes divided by total number of possible outcomes, समझ आया बहुत से बच्चों को आ गया होगा क्योंकि बहुत से लोगों ने probability junior classes में भी पढ़ रखी है, but tension की कोई बात नहीं है, फिलाल हम discuss एक example और बिल्कुल basic से कराऊंगी मैं तो जिनको याद नहीं भी है उन्हें भी कोई tension नहीं है सबको समझ आएगा मानेते हैं हमने एक die throw किया ठीक है तो अब एक तो सबसे पहले मैं बता दूँ कि ये जो die होती है बेसिकली dice भी कहते हैं इसे तो आजकल जो है dice को ही use करते है singular और plural दोनों के लिए बट पहले जो है singular form के लिए use किया जाता था die और plural form के लिए use किया जाता था dice, ठीक है, तो मानलो हमारे पास एक die है, जिसे हम normally Ludo या साफ CD का game खेलते हैं, उसमें use करते हैं, die को हमने throw किया, ठीक है, अच्छा, अब हम सभी को पता है कि बही इसके कितने faces होते हैं, 6 faces होते हैं, तो 1, 2, 3, 4, 5, 6, कुछ भी आ सकता है, मैं आ ठीक है अब टोटल कितने ऑप्शन है मेरे पास अब इस डाइव को जब मैं थोड़ करूंगी जब मैं इसे रोल करूंगी खुमा के तो मेरे पास कुल मिला के टोटल 6 ऑप्शन है वन आ सकता है टू आ सकता है थ्री आ सकता है फोर आ सकता है फाइव आ सकता है और सिक्स आ सकता है यह सारे पॉसिबिलिटीज है ठीक है तो इसका मतलब जो टोटल नंबर ऑफ आउटकम्स टोटल नंबर ऑफ पॉसिबल आउटकम्स कितने है सिक्स है तो हम क्या कह सकते हैं कि probability of getting 4 is equal to number of favorable outcomes by total number of equally probable outcomes, तो total number of outcomes कितने है 6, अब यहाँ पर एक बार ध्यान दे देते हैं कि equally probable का मतलब क्या है, मतलब एक आने के जितने chances है, दो आने के भी उतने ही chances है, तीन आने के भी उतने ही chances है, तो मतलब 1 से लेकर के 6 तक इन सभी numbers के आने के बरा तो इसलिए they are equally probable outcome, ठीक है, तो यह हो गया, अच्छा, अब मेरा favorable outcome कितने है यहाँ पे, मुझे चाहिए क्या, मुझे चाहिए 4, तो यानि कि जब 4 आएगा, वो मेरा favorable outcome है, क्योंकि वो मैं चाहती हूँ, तो इसलिए कितने है ऐसे favorable outcome, सिर्फ एक है, तो यह हो जाएगा, 1, तो अब मालों मैं एक दूसरा सवाल पूछती हूँ, मैं कहती हूँ कि ये बताओ कि what is the probability of getting a number less than 4, क्या chances है कि मुझे कोई भी एक ऐसा number मिलेगा जो 4 से कम हो, ठीक है, तो अब देखो, मेरे पास options कितने हैं, तो अब मैं बात कर रही हूँ probability of getting a number which is less than 4, ठीक है, total number of possible outcomes तो अभी भी 6 हैं, क्योंकि ये 6 possibilities हैं, 1, 2, 3, 4, 5, 6, कुछ भी आ सकता है, but मेरे favorable outcomes कौन से हैं अब की, वो सारे outcome जो 4 से कम हो, यानि कि अब जो है, मेरा favorable outcome क्या होगा, 1, 2, 3, क्योंकि ये सारे 4 से कम है, है न, तो मतलब मेरे कितने favorable outcomes हैं, 3, तो इसलिए number of favorable outcomes क्या हो जाएगा यहाँ पे 3, तो 3 by 6 को हम लिख सकते हैं 1 by 2, तो इसलिए probability of getting a number less than 4 हो जाएगा 1 by 2, तो जो अगला approach है, यानि कि दूसरा approach वो है statistical approach of probability, statistical approach, मतलब यहाँ पर हम statistics वाला दिमाग लगाएंगे, यहाँ पर क्या होगा, मान लो हमारा वही problem statement है, कि भाई मैंने एक die को throw किया, अब मुझे बताओ कि 4 आने की probability क्या होगी, तो इस approach में हम क्या करेंगे, हम डाई को बहुत बार थ्रो करेंगे, 10 बार, 20 बार थ्रो करेंगे, और हम एक टेबल बना लेंगे, जिसमें हम अपने observations को note करते रहेंगे, तो basically जो statistical theory है, this is based on data, obtained by observation तो observation से हमें जो data मिलता है ना उस data के basis पे हम probability निकालते हैं ठीक है तो इस case में मान लो मैंने die को let's say 20 बार throw किया और मैंने एक इस तरह का table बना लिया तो हर बार 1 आया या 2 आया या 3 आया जो भी आया उसको हम note करते हैं और फिर end में हम कहेंगे कि probability of getting 4 is equal to number of times 4 appeared divided by total number of times the die was thrown यानि कि अगर अगर मैंने उस डाई को 20 बार throw किया और उस 20 बार में let's say 5 बार 4 आया तो probability of getting 4 हम क्या लिखेंगे 5 by 20 ठीक है तो यह है हमारा statistical approach to probability अब यह जो दोनों methods हमने discuss किया इन दोनों methods में कुछ-कुछ issues हैं जैसे पहली चीज तो यह है कि अगर कभी भी हमारे पास कोई ऐसा situation होता है जहांपर infinite number of outcomes होते हैं वहाँ पर हम इन methods को नहीं लगा सकते हैं जैसे फिलाल तो हमने इसे लगाया डाई के case में कि डाई को throw किया तो उस case में कितने possible outcomes है 6 या तो 1 आएगा या 2 या 3, 4, 5 या 6 6 ही possible outcomes है बट अगर कभी ऐसी situation हो जहाँ बहुत जादा हो number of outcomes तो वहाँ पर हम इन methods को नहीं लगा सकते हैं दूसरा problem यह था कि यह जो classical theory है इसके अंदर यह यह theory सिर्फ equally probable outcomes outcomes वाले cases में applicable होती है, अब ये equally probable outcomes का मतलब क्या हुआ, जैसे अगर हम die वाला example ले, तो जब भी हम die को यूँ उच्छाल के फैकते हैं, तो 1 आने के जितनी possibility है, 2 आने के भी उतनी ही possibility है, 3, 4, 5, 6 सभी के आने की उतनी ही possibility है, यानि कि ये जो possible outcomes है, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ये सभी equally probable है, तो इस तरह के situation के लिए classical theory applicable होता है, जैसे आप अगर coin की बात करो, अगर हम सिक्के को उठालते हैं, तो head आने की जितनी possibility है, tail आने की भी उतनी possibility है, तो ये भी क्या हो गया, equally probable outcome, तो ऐसे वाले situation के लिए हमारा classical theory जो है, वो perfect है, but अगर possibility ऐसी नहीं हुई, तो, अब आप पूछोगे, ऐसे भी situation होते हैं क्या, बिल्कुल होते हैं, है आपने वह शोले मूवी देखी होगी मतलब मुझे पता नहीं सब ने देखी है कि नहीं बट है बड़ी पॉपुलर मूवी तो यह भी एक क्लासिकल मूवी है अच्छी तो शोले मूवी जिन्होंने भी देखे उन्होंने देखा होगा कि वह दो दोस्त होते हैं जैय वीरू जब भी वह कॉइन को टॉस करते हैं तो हमेशा जो है क्या आता है हमेशा एक ही साइड आता है क्योंकि वह जो कॉइन होता है वह रिग्ड होता है उसकी जो दोनों साइड है उसमें सेम होता है मतलब जैसे दोनों साइड है तो क्या होगा इस बार उठा लोगे हैट ही आएगा अगर आ दोनों साइड टेल होगा तो जितनी बार उच्छालों के टेल ही आएगा राइट तो इस तरह के जो रिग्ड कॉइन है मतलब जो फेयर नहीं है उसमें आपने कुछ तो घपला कर रखा है जिसकी वज़े से वो आपको इक्वली प्रॉबबल आउटकंस नहीं देता है तो इस तो इसलिए अब हम बात करेंगे एक तीसरे approach की जिसे हम कहते है axiomatic approach to probability भारी भरकम नाम है लेकिन यह जो word है axiomatic यह आया है axiom से axiom क्या होता है अगर proper mathematics की बात करो तो axiom एक ऐसा mathematical statement होता है जो true होता है without any proof मतलब as such उस का कोई proof नहीं होता है, but वो जो statement है ना, वो in itself self-evident होता है, बतलब वो statement को true ही मान लिया जाता है, उन्हें हम कहते हैं axioms, तो ये जो axiomatic approach है, इसके अंदर आपके पास कुछ axioms होंगे, कुछ rules होंगे, और उन rules के basis पे ही हम probabilities find करेंगे, ठीक है, तो हमारा agenda क्या है अब आगे, हमें ये axiomatic approach समझना है. और मैं बता दो कि ये जो axiomatic approach है ये set theory से बहुत ज़ादा closely related है तो जिन बच्चों ने मेरा sets वाला वीडियो देखा है जो कि आपका chapter 1 था मुझे उम्मीद है कि उनके sets के concept तो clear है जिन्होंने नहीं देखा है उपर link दिख रहा होगा आपको sets के वीडियो देख लो क्योंकि अब आगे हम जैसे बढ़ेंगे ना हर जगा मैं sets के साथ compare करती रहूंगी ठीक है लेकिन इस axiomatic theory को समझने से पहले कुछ ऐसे terminologies हैं, कुछ ऐसे terms हैं, जो आपको पता होने चाहिए. तो सबसे पहले हम उन सारे terms को फटा-फट से देखेंगे और समझेंगे. तो हमारा सबसे पहला term है random experiment. क्या होता है ये? अब ये experiment word सुनते ही बहुत से बच्चों को के दिमाग में आ रहा होगा कि हम science lab में बैठके physics या chemistry के experiments कर रहे हैं. But फिलाल मैं उस experiment की बात कर नहीं रही हूँ. लेकिन वो जो experiments आप अपने lab में करते हैं, उसमें क्या होता है? उसमें आपको पता होता है कि output क्या आना है, result क्या आना है, right? In fact, जब chemistry lab में आप होते हो और कुछ बना रहे होते हो कि कुछ crystal बनाना है, कुछ बनाना है कि यार इसके साथ इसे mix करेंगे तो white color का residue रहना चाहिए, तो बस पूछते रहते हो कि यार तेरा आया क्या white color का residue, right? इस तरह के situation होती है, क्यों? क्योंकि हमें पता होता है कि result क्या आ तो इस तरह के experiments को हम कहते हैं deterministic experiments क्योंकि जो output है या जो result है वो already determined है, already हमें पता है। लेकिन फिलाल में जिस experiment की बात कर रही हूँ वो है random experiment, यह होता है दूसरे type का experiment है। जो word है random उसे से पता चल रहा है कि मतलब कुछ fix नहीं है, सब random है। तो मतलब output क्या आएगा वो हमें पता नहीं है। output एक्साइटली यही आएगा पता नहीं कुछ और भी आ सकता है इसका यह मतलब है कि इस केस में जो मेरे पॉसिबल आउटकम्स है वह एक से ज्यादा है तभी तो मुझे डाउट है कि भाई क्या आएगा पता नहीं रहे जब मैं सिक्के को उठालती हूं हेड भी आ सकता है और टेल भी आ सकता है राइट क्योंकि पॉसिबल आउटकम्स दो है हेड भी एक पॉसिबल आउटकम है टेल भी एक पॉसिबल आउटकम है जो कि पॉसिबल आउटकम एक से अधिक है इसलिए तो मुझे doubt है कि क्या आएगा, right? तो कोई भी random experiment के दो features होते हैं, एक तो ये कि इसमें एक से अधिक possible outcomes होते हैं, दूसरा ये कि हम पहले से predict नहीं कर सकते हैं कि exactly कौन सा outcome आएगा, तो उन्हें हम कहते हैं random experiment, तो चाहे आप coin toss करने की बात कर लो, या फिर आप die throw करने की बात कर लो, मतलब जब हम probability पढ़ते हैं ना, तो ये tossing a coin और rolling a dice, यह मतलब आप समझ लो world famous examples हैं और world famous problems भी हैं आपको बहुत सारे questions भी मिलेंगे इनके उपर तो मैं भी आपको यह पूरा topic पढ़ाऊंगी इन ही examples के help से तो probability में हम जब भी experiment की बात कर रहे होंगे हम random experiment की ही बात करेंगे obvious ही बात है क्योंकि possibility की बात हम कब करेंगे जब मेरा experiment random हो अगर experiment deterministic है तब तो हमें पता ही है कि भाई यह result आना है तो जो result आना है उसी के आने की probability 100% है, तो वहाँ तो probability निकालने की ज़रूरती नहीं है, है न, तो ये था हमारा random experiment, अगला term है outcome, इसको तो खैर मैं पहले से कई बार use कर चुकी हूँ, पर फिर भी बता देती हूँ, क्या होता है, कोई भी random experiment का जो possible result है, उसके लिए हम word use करते है outcome, जैसे coin को toss किया, तो उसके possible outcomes क्या है, head, tail, अगर die को throw किया, तो possible outcomes क्या है? 1, 2, 3, 4, 5, 6 तो यह है outcome अब बात करेंगे हम sample space की अब देखो यहां से जो है ना हम धीरे sets के concept में गुशते चले जाएंगे तो sample space क्या होता है? sample space होता है set of all possible outcomes of an experiment ओविस्टी रैंडम एक्सपेरिमेंट तो जैसे मान लो हम बात करते हैं टॉसिंग आफ आइन की कॉइन को टॉस करेंगे तो मेरे पॉसिबल आउटकम्स क्या है हेड और टेल हम क्या करेंगे एक सेट में डाल देंगे ऑल पॉसिबल आउटकम्स तो टॉसिंग आउटकम्स को हमेशा हम कैपिटल से डोनोट करते हैं तो कैपिटल स इग्वल टू सेट में कैसे लिखते हैं सेकंड ब्रेस के अंदर एज कॉम मतलब जितने possible outcomes हैं उसको हम एक set के अंदर डाल देते हैं, जिसे हम कहते हैं sample space. इसी तरह अगर आप die की बात करोगे, तो एक die में possible outcomes क्या है? 1, 2, 3, 4, 5, 6, इन सब को डाल दो second process के अंदर, तो ये बन या इसका sample space. अब मालो एक तीसरा example लेते हैं, मतलब थोड़ा सा different. मालो मैं एक example लेती हूँ कि I toss a coin twice, मतलब एक ही coin है, बट उसे मैं दो बार toss कर रहे हूँ. इस case में मेरे possible outcomes क्या है? तो एक बार, एक बार उस random experiment को किया, मतलब एक बार toss किया, मान लो head आया, फिर से toss किया, मान लो head आया, तो मेरा possible outcome क्या हो गया? head, क्योंकि दो बार कर रहे हैं ना, तो दोनों को लेना पड़ेगा, correct? तो head, ये मेरा एक possible outcome हुआ, एक possible outcome हो सकता है कि पहली बार toss किया, तो head आया, दूसरी बार toss किया, तो tail आया, तो ht. एक आउटकम हो सकता है उसी तरह एक आउटकम हो सकता है टी एच और एक आउटकम हो सकता है टी तो ये फोर पॉसिबल आउटकम्स हो सकते हैं इसका मुझे सैंपल स्पेस लिखना होता है कैसे लिखेंगे सेकंड रेस के अंदर सबको डाल देंगे अब इस सैंपल स्पेस क इन्हें हम कहते हैं sample points, तो ये हर एक, एक-एक element जो है वो एक-एक sample point है, पहला example कहता है कि describe the sample space for the indicated experiment, ठीक हमें सिर्फ इसकी sample space बनानी है, क्या है experiment, a coin is tossed and a die is thrown, मतलब यहाँ पर दो चीज़ें हो रही है, एक coin toss हो रहा है and कि एक डाइट को भी थोड़ा जा रहा है देखो यह एंड पर ध्यान देना है क्योंकि दोनों इवेंट्स हो रही है ठीक है तो पहले तो प्रॉबाबिलिटी के किसी भी क्वेश्चन में सबसे पहला काम क्या है क्वेश्चन को समझना ठीक है तो समझने के लिए थोड़ा से यू लिख लेते हैं आसान रहेगा तो पहला एक तो कॉइन है मेरे पास एक डाई है अच्छा दोनों चीज हम करेंगे अच्छा कॉइन जब हम टॉस करेंगे तो मेरे पॉसिबल आउटकम्स क्या-क्या है क्या-क्या possibilities है उसके outcomes की या तो head आ सकता है या फिर tail आ सकता है यही possibilities है और कोई तीसरा possibility है ही नहीं जब हम die को throw करेंगे तो क्या possibilities है वन आ सकती है टू आ सकती है त्री आ सकती है फोर फाइव या सिक्स यह छह possibilities है और तो कुछ possibility नहीं है ठीक है अब अगर इस पूरे experiment को देखा जाए तो क्या कर रहे हैं हम पहले हम कोई को टॉस कर रहे हैं जिसमें या तो हेड आएगा या फिर टेल आएगा उसके बाद हम die को throw कर रहे हैं जिसमें 1 से लेकर के 6 तक कुछ भी आएगा तो basically एक बार उस पूरे experiment को करेंगे तो क्या आएगा मेरे पास पहले या तो head या tail में से कुछ आएगा मान लो head आया अब head के साथ इन में से कोई सा भी number आ सकता है मतलब h1 भी आ सकता है h2 आ सकता है h3 आ सकता है h4 आ सकता है h5 आ सकता है h6 आ सकता है दूसरा option है कि भी जब coin को toss किया तो head ना आके tail आया, अब tail के साथ उसके बाद जब हम die को throw करेंगे तो मेरा क्या आ सकता है, tail के साथ 1 आ सकता है, tail के साथ 2, 3, 4, 5, 6, कुछ भी आ सकता है, correct, ये सारे क्या है, मेरे possible outcomes है, ठीक है न, तो possible outcomes हम basically कैसे निकालते हैं कि coin को toss करने की यह इनके साथ यह सारे combinations possible है, correct? अच्छा, दूसरी बात है कि हमने H और 1 को multiply क्यों किया? मतलब हमने H1 लिखा है, right? क्यों कि लिखा है? क्योंकि यहाँ पर and है, हमने पढ़ा था न, permutation combination में भी पढ़ा था, जब दोनों ही event होती है, पहला होता है फिर दूसरा होता है, तो उस case में हम क्या करते हैं? multiply. जब हम और की बात करते हैं कि या तो coin को toss किया या फिर die को throw किया, जब वैसी बात करते हैं तब हम use करते है plus, ठीक है न, तो सबको समझ आ गया, तो ये मेरे possibilities हैं, अब इसे हम sample space की तरह लिखेंगे, s is equal to x set के अंदर डाल देंगे, क्या क्या, ये सारे options, h1, h2, h3, sorry, ये 2 ऐसे ही लिखाएगा, ठीक है, h4, h5, h6, T1, T2, T3, T4, T5, T6, तो ये हो जाएगा मेरा sample space, देखते हैं एक और तीसरा example, an experiment consists of tossing a coin and then throwing it second time if a head occurs, if a tail occurs on the first toss, then a die is rolled once, find the sample space, देखो, question go, क्या करना है? समझना है हमेशा की तरफ हम क्या कर रहे हैं एक कोईन को हम टॉस कर रहे हैं ठीक है तो मतलब सबसे पहले हम क्या कर रहे हैं हम कोईन को कर रहे हैं टॉस अब कोईन को टॉस करेंगे तो मेरे पॉसिबल आउटकम्स है कि अगर हैड आया तो हम क्या करेंगे इसको फिर से थोड़े करेंगे तो मतलब अगर मेरा है डाया तो हेड आने के बाद हम क्या करेंगे, and हम फिर से toss करेंगे, अगर मेरा हेड आया, तो हम फिर से toss करेंगे, और जहां हम फिर से toss करेंगे, तो क्या होगा, यहाँ पर या तो हेड आ सकता है, या फिर टेल आ सकता है, है न, लेकिन मान लो, जब पहली बार toss किया, तो question कहता है, कि if a tail occurs on the first toss, then a die is rolled once, इसके बाद हम एक die को roll करेंगे, यानि कि die को throw करेंगे, die throw करेंगे तो क्या हो सकते है possible outcomes, 1, 2, 3, 4, 5, 6 में से कुछ भी number आ सकता है, है ना, तो ये मेरा question है, ठीक है, तो question कहा क्या रहा है, कि सबसे पहले तो हम ये toss करेंगे, तो या तो head आएगा या फिर tail आएगा, ठीक है ना, तो अब चलो sample space लिखते हैं, मान लेते हैं कि पहली बार में head आया, अगर पहली बार में head आया, तो obviously फिर die roll करने का तो कोई scene ही नहीं है, तो मतलब उस case में हम दूबारा toss करेंगे, तो एक option है कि पहली बार head आया, दूसरी बार भी head आया, एक option है कि पहली बार head आया, पर दूसरी बार जो है tail आया, तो head वाला case जो है उसमें यही दो net possibilities है, अगर पहली बार में tail आ गया, तो क्या होगा, उसके बाद हम die roll करेंगे, तो option है कि पहली बार tail आया, और दूसरी बार die roll किया, तो one आ गया, हो सकता है die roll किया तो 2 आ गया, हो सकता है 3 आ गया, हो सकता है 4 आ जाए, या फिर 5, या फिर 6, तो ये सारे मेरे possibilities हैं, और जितने total number of possible outcomes हैं, उन सब को हम डाल देते हैं, किसके अंदर, sample space के अंदर, ठीक है, तो देखो इसमें मुश्किल कुछ भी नहीं है, जो main part है उसका वो है event के बारे में, event एक बहुत important word है probability में, तो यह होता क्या है, तो अभी हमने देखा कि किसी भी random experiment के जितने possible outcomes होते हैं, उसे हम कहां डाल देते हैं, sample space में, तो मतलब यह जो experiment हो रहा है, यह experiment अपने आप में एक दुनिया है, अपने आप में it is the universe, ठीक है, और इसके जितने possible outcomes हैं लाइक द यूनिवर्सल सेट जिसके अंदर सारे पॉसिबल एलिमेंट है ठीक है अब इस सैंपल स्पेस के अंदर हम इवेंट डिफाइन करते हैं एग्जांपल लेते हैं वहीं अपना रोलिंग डाइव एग्जांपल लेते तो डाइव को जब रोल करते हैं तो इन सैंपल स्पेस क्या होगा वन टू थी फॉर 56 ऑल पॉसिबल आउटकम्स ठीक है अब मैंने इवेंट डिफाइन किया ईवन मैंने कहा कि तो नंबर एपियरिंग ऑन द डाइव इस ग्रेटर दैंड टू इसका अब का मतलब है कि जैसे जब हम डाई को ऐसे फेकते हैं तो उसमें जो नंबर हमें दिखता है राइट डाई नंबर इस ग्रेटर थांड टू इसे अगर हम सेट्स के टर्म्स में लिखेंगे तो क्या होगा ईवन विल बी इकुल टू तू से बड़े वाले नंबर सोंगे इवन के अंदर राइट जैसे कि 3456 अब सिक्स बड़ा नंबर तो होगा नहीं क्योंकि डाई में सिक्स तक ही होते हैं नंबर तो यह जो ईवन है ईवन एक इवेंट है जिसे हमने डिफाइन किया है विदिन सैंपल स्पेस तो इसलिए आप देखो ईवन के जो elements है ना, वो सारे elements हमने कहा से लिया है, sample space से ही लिया है, तो हम कह सकते हैं कि कोई भी event जो होता है, that is always a subset of the sample space, मतलब sample space में सारे outcomes होते हैं, उसे ही में से कुछ outcomes को ले करके events बनते हैं, जैसे अगर यहाँ पर मैं एक event E2 define करती हूँ, मैं कहती हूँ कि number appearing on the die is an even number, ठीक है, तो कौन से elements आ जाएंगे, 2, 4, 6, तो ये क्या है, sample space का subset है, तो हमेशा जो event है, वो sample space का एक subset होता है, अब बात करते है occurrence of an event की, मतलब event occur कब होता है, तो कोई भी event E is said to occur if the outcome omega belongs to the event E, अब outcome को हम generally omega से denote करेंगे, जैसे आप आगे बढ़ोगे तो, और अगर outcome doesn't belong to E, तो हम कहेंगे कि event has not occurred, समझ नहीं आया, example से समझेंगे, वही example लेंगे अपना rolling a die, तो इसका sample space क्या है, 1, 2, 3, 4, 5, 6, all possible outcomes, अब मैं एक event E को define कर रही हूँ, कि the number appearing on the die is greater than 2, ठीक है, इसका मतलब इस event E के अंदर कौन से elements होंगे जो 2 से बड़े हैं यानि कि 3, 4, 5, 6 ठीक है? बढ़िया अब जो है मैं die को throw कर रही हूँ ठीक है? die को मैं जैसे ही throw करूँगी तो जो number आएगा वो क्या होगा? वो होगा outcome, right? outcome क्या होता है? कोई भी experiment का जो result आता है, वो होता है outcome, correct? तो अब मैंने die को यू घुमाया, और throw किया, और मेरा number आया 2, ठीक है? तो क्या ये 2, E को belong करता है? नहीं करता है, क्योंकि E के अंदर क्या है? E के अंदर है 3, 4, 5, 6, 2 तो है नहीं. तो चूकि मेरा outcome जो है, that doesn't belong to E, इसका मतलब है event has not occurred. ठीक है लेकिन यही मालो मैंने डाई को रोल किया और आया पांच तो पांच belongs to E तो event has occurred ठीक है यह तो हो गया mathematically हमने समझ लिया अब इसको सीधे तरीके से समझो event event has occurred, event है क्या? event कह रहा है कि भाई 2 से अधिक number आना चाहिए, अगर 2 से अधिक number आया, तो event occurred, 2 से अधिक number नहीं आया, तो event has not occurred, events कई type के होते हैं, तो सबसे पहले बात करेंगे impossible event की, impossible, नाम ही कह रहा है कि यह possible ही नहीं होगा कभी, ठीक है न? तो यह एक ऐसा event है, जिसके अंदर हम कहते हैं कि ऐसा कोई outcome नहीं होगा, जो इस event के condition को satisfy करेगा, तो generally हम इसे denote करते हैं 5 से, ठीक है, example लेते हैं, वही हमारा rolling a die, sample space 1, 2, 3, 4, 5, 6, अब मैंने एक event define किया, कि number appearing on the die is greater than 7, ठीक है, तो मेरे definition के हिसाब से, यह जो event है, इसके अंदर कौन-कौन से elements आएंगे, 7 से उपर वाले number, जैसे कि 8, 9, 10 वगरा, लेकिन क्या ये event कभी possible होगा? कभी भी possible नहीं होगा क्योंकि चाहे जितनी मरजी बार हम die को throw कर लें, 6 से बड़ा number तो आएगा ही नहीं क्योंकि 6 से बड़ा number उसमें होता ही नहीं है, right? तो इसके definition के हिसाब से देखो कि कभी भी आपको ऐसा outcome मिलेगा ही नहीं, जो इस E को belong करेगा, तो इसका मतलब this is an impossible event, ये कभी नहीं होगा, और impossible event की probability क्या होती है? 0, क्या possibility होती है impossible event की, वो तो impossible है भाई, possibility zero होती है, तो probability of an impossible event is zero, दूसरी तरफ बात करते है, sure event की, sure, मतलब sure shot होना ही है, तो ये event को हम कैसे define करते है, हम कहते है, कि उस experiment के जितने भी outcomes होंगे, सारे outcomes जो है, will belong to the event, सारे outcomes, example, वही अपना die वाला example, अब यहाँ पर मैंने event define किया, कि the number appearing on the die is, नाचरल नंबर क्या होते हैं 123 से लेकिन इंफिनिटी तक अब डाइ को आप जितनी मर्जी बार थोड़ों करोगे हर बार आपको क्या आपको मिलेगा या तो वन या टू थ्री फोर फाइव या सिक्स और यह सारे ही क्या है नाचरल नंबर है तो अब हर possibility क्या हो जाएगी? 1. So probability of a sure event is 1. अब बात करेंगे simple event. Simple. कोई complexity नहीं है. ये एक ऐसा event होता है जिसके अंदर sample space का सिर्फ एक sample point होता है. इसे हम elementary event भी कहते हैं. देखते हैं एक example. मान लो हमने एक die को roll किया. तो यह हमारा हो गया क्या रांडम एक्सपेरिमेंट हो गया तो इसका सांपल स्पेस अगर हम लिखेंगे तो कैसा होगा 1 2 3 4 5 6 मतलब डाइ रोल किया तो अब इसलिए उसमें 1 से लेकर 6 तक कुछ भी आ सकता है तो यह इसके सारे possible outcomes है तो यह इसका सांपल स्पेस है ठीक है तो to the sample space और यह सिंपल इवेंट्स क्या है अगर मान लो मैंने एक इवेंट डिफाइन किया कि भाई डाइरोल करेंगे तो आएगा वन ठीक है, तो उस event के अंदर क्या हो जाएगा, क्या आएगा, element एक ही आएगा, which is 1, उसी तरह अगर मैं कोई event define करती हूँ, जिसके अंदर मैं कहती हूँ कि भाई roll किया, तो 2 ही आएगा, तो वो event कुछ यूँ हो जाएगा, उसी तरह कोई event define किया 3 के लिए, तो वो ऐसा होगा, क इनके अंदर क्या है इनके अंदर सिर्फ एक सैंपल पॉइंट है राइट तो जो सैंपल स्पेस के अंदर मल्टिपल सैंपल पॉइंट्स है उनका कोई एक सैंपल पॉइंट अगर किसी इवेंट के अंदर हो तो उसे हम कहेंगे सिंपल इवेंट तो बेसिकली यहाँ पर इस स एक दूसरा एग्जांपल लेते हैं, मान लो हम कहते हैं कि हमने दो कॉइन को टॉस किया, दो कॉइन है हमारे पास, तो इसका साम्पल स्पेस कैसा होगा, चुकी दो कॉइन है, तो possibility है कि पहले वाले कॉइन में head आया, मान लो ये मेरा coin 1 है और ये मेरा coin 2 है, तो इसमें head हो और तो यही मेरी सारी possibilities है, तो इसलिए हमने sample space में इस तरह से डाल दिया है, सारे possibilities, ठीक है, अब अगर मैं यहाँ पर इस sample space को देखूं, तो मैं कह सकती हूँ कि इसके अंदर कितने simple events है, 4 simple events है क्यों, क्योंकि इसके अंदर 4 sample points है, है न, तो और यह 4 simple events को हम कैसे लिख सकते हैं, क तो ये हो गए simple events, simple event तो सीख गए हम लोग, तो compound event क्या होगा, जाहिर से बात है कि अगर simple event में सिर्फ एक sample point होता है, तो compound event में क्या होगा, एक से अधिक sample points, चलो example से clear करते हैं, चलो मान लेते हैं कि भाईया फिर से हमने die को roll किया, ये हो गया हमारा random experiment, और इसका sample space हो जाएगा, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ठीक है, अब जो है मैं एक event define करती हूँ, कि number appearing on the die is greater than 3, ये मैंने event define किया, ठीक है, तो अगर इस event को मैं sets के terms में लिखूं, तो क्या होगा, इसे मैं अगर sets की तरह लिखूं, तो क्या होगा, इसके अंदर कौन-कौन से numbers आएंगे, greater than 3, यानि कि या तो 4, या 5, या फिर 6, क्योंकि die में तो 6 तक ही होते हैं बही numbers, है ना, तो ये जो मेरा event है, इस event के अंदर कितने sample points हैं? एक, दो, तीन, तीन sample points हैं, तो इसलिए ये किस तरह का event हुआ? ये हुआ एक compound event, क्योंकि इसमें more than one sample point है, ठीक है? उसी तरह से अगर मैं एक और event define करती हूँ, कि even number appearing on die, मतलब कि सिर्फ even number आना चाहिए, तो मेरे event के definition के हिसाब से, इसको अगर set form में लिखूं तो इसके अंदर क्या-क्या आना चाहिए, 2, 4, 6, क्योंकि यही event numbers है, यहाँ पर भी हम देखते हैं कि एक से ज्यादा sample points है, तो यह भी एक example है compound event का, types of events देख लिया हमने, अब हम देखेंगे कि कई बार situation के हिसाब से हमें different events को combine करना पड़ता है, और यह जो concept है, it is very similar to your sets, sets में जैसे हम बात करते थे union, intersection वगरा की, उसी तरह से यहाँ पर हम बात करेंगे events के बारे में, तो sets वाले जो वो concept थे, when diagrams, union, intersection, वो अभी बहुत काम आने वाला है, तो सबसे पहले बात करेंगे हम complementary event की, complementary event कहता है, कि for every event A, there exists an event not A, जिसे हम denote करते हैं A dash से, तो चलो देखते हैं क्या है ये, मालो फिर से हम example लेते हैं, वही rolling a die का, die को roll किया, ये हो गया मेरा random experiment, इसके sample space को लिखा, तो sample space में होगा 1, 2, 3, 4, 5, 6, अब मैं यहाँ पर एक event डिफाइन करती हूँ कि number appearing on the die is greater than 3, let us say इसको मैंने डिफाइन किया कोई भी एक event E, तो इसका मतलब अगर इसे set form में लिखूँ तो E के अंदर कौन-कौन से numbers आने चाहिए, 4, 5, 6, जो भी 3 से ज्यादा है, ठीक है यहाँ तक, चलो, अब अगर मै तो event not E क्या होगा, मतलब जो भी numbers E में नहीं है, वो वाले numbers की मैं बात कर रही हूँ, तो उसे हम denote करते है E dash से, और उसे हम कहते है complementary event of E, तो E अगर एक event है, तो not E event को हम कहते है E dash, या फिर complementary event, तो E dash का मतलब हो जाएगा कि number appearing on the die is less than or equal to 3, क्योंकि, इस एवेंट क्या है ग्रेटर दन थ्री तो अब इसे ग्रेटर दन थ्री नहीं चाहिए ग्रेटर दन थ्री के अलावा बाकी सब चलेगा तो इसलिए इडाश में कौन से एलिमेंट आ जाएंगे वन टू थ्री जो कि इमें नहीं है ना तो इसका मतलब कुछ यूँ हुआ कि लेकिन अगर 2 आया, इसका मतलब है कि event not E occur हुआ, समझ रहे हो बात को, E अगर occur नहीं हुआ, इसका मतलब है not E occur हुआ, not E is E dash, ठीक है, तो इसे अगर हम अपने sets वाले concept पे चले जाएं, तो let us suppose कि अगर हम event diagram के terms में देखें, let us suppose this is event E, ये अगर मेरा event E है, तो इस जगह को छोड़ करके, ये event E वाले इस जगा को छोड़ के बाकी सारा जितना जगा है that is my E dash ठीक है that is not E ठीक है ये एक आसान तरीका है इसे याद रखने के लिए तो इसे हम mathematically ऐसा कह सकते हैं कि E dash is equal to sample space minus E मतलब E event के अंदर जो भी है इसको छोड़ के sample space में बाकी जो भी चीज़े हैं वो सब कुछ E dash में आ जाएगा which is quite obvious, right? not E, मतलब E में जो elements हैं, उनको छोड़के बाकी सब कुछ आ जाएगा, ठीक है? So that is complementary event. दूसरा हमारा है, the event A और B, मतलब A और B अगर दो events हैं, तो हम कहना चाहें कि A event के elements, हो या B event के elements हो या फिर अगर कोई ऐसे elements भी हो जो दोनों A और B का हिस्सा है, सब चलेगा, तो यानि कि यह जो A और B है, this is similar to A union B, तो अगर आप Venn diagram, अब अ� and b, जो दोनों में हो, तो यहाँ पर हम बात करेंगे common elements की, जो elements a और b, दोनों का part है, सिर्फ उन elements की हम बात कर रहे हैं, तो यह sets की अगर हम बात करें, तो यह कौन से वाले concept से similar है, a intersection b, exactly, और when diagram में आपको साफ दिख रहा है, कि कौन से वाले elements हैं यह, फिर से लेते हैं rolling and die का example, जो की मेरा random experiment है, इसका sample space हो जाएगा, 1, 2, 3, 4, 5, 6, अब यहाँ पर मैं दो events define करती हूँ, मेरा पहला event है a, जिसे मैं कहती हूँ कि number appearing on die is greater than 3, तो इसका मतलब इसे अगर मैं sets के form में लिखूँगी, तो a के अंदर कौन-कौन से numbers आएंगे, 4, 5 और 6, मैं एक दूसरा event define करती हूँ b, और मैं कहती हूँ कि number appearing on die is even, यानि कि b के अं� either event A and B A and B मतलब event A भी occur हो रहा है और event B भी occur हो रहा है दोनों ही occur हो रहे हैं इसको थोड़ा सा हम लोग देखते हैं Venn Diagram पे तो मैं क्या कह रही हूँ कि जो मेरा set A है उसके अंदर कौन-कौन से elements है 4, 5 और 6 तो set A ये वाला circle है 4, 5 और 6 set B जो है इसके अंदर है 2, 4, 6, तो 4, 6, B के अंदर भी है, और इसमें 2 है, कुछ इस तरीके से है, तो हम क्या देख रहे हैं, कि अगर मैं ये पूछूं कि event A भी हो रहा है, और B भी हो रहा है, मतलब मैं दोनों की common की बात कर रही हूँ, और common कौन से elements है, ये वाला जगा common है, और इस common जगा में कौन से तो हम किस की बात करते हैं? सेट्स के टर्म्स में हम basically A intersection B की बात कर रहे हैं, मतलब दोनों में common क्या है? और common दोनों में क्या है? 4, 6, तो इसलिए event A and B को हम सेट्स के टर्म्स में ऐसे define करेंगे, और अगर die के टर्म्स में बात करें, तो हम ये कहना चाह रहे हैं कि जो number appearing on the die है, that is even and that is greater than 3. तो 4 और 6 जो है, ये 3 से greater भी है, और ये even भी है, अब बात करेंगे the event A, but not B, यानि कि इसके अंदर हम वैसे elements की बात कर रहे है��, जो event A का तो part है, लेकिन B का part नहीं है, तो mathematically इसे कैसे लिखेंगे हम, A minus B, तो अगर आप Venn Diagram वापिस से देखोगे, तो A minus B मतलब, जो A का part है, लेकिन B का part नहीं है, तो ये shaded region जो है, that is A minus B, यहाँ भी हम वही same example को repeat करेंगे, rolling a die, sample space 1, 2, 3, 4, 5, 6, हम दो events define कर रहे हैं, पहला event A, जो कहता है कि number appearing on the die is greater than 3, यानि कि A के अंदर कौन-कौन से elements है, 4, 5, 6, B एक दूसरा event define किया है, हमने पहले की तरह, जो कहता है कि number appearing on die is even, तो इसमें रहेगा 2, 4, 6, तो अगर इसे Venn diagram में बनाए, तो A में है 4, 5, 6, और B में है 2, 4, 6, ठीक है न, तो अगर मुझे define करना हो, the event A बी, यानि कि जो elements ए में है, लेकिन वो बी में नहीं है, हम वैसे elements की बात कर रहे हैं, तो अब Venn डायग्राम को देख कर बताओ, ऐसा कौन सा element है, जो ए में है, बट बी में नहीं है, 4 और 6 तो भी दोनों में common है, तो ए में बचा क्या, 5, 5 एक लोता ऐसा element है, जो ए में है, ले तो हम basically क्या define कर रहे हैं? हम define कर रहे हैं, हम define कर रहे हैं a minus b, जो कि यहाँ पर क्या है? जो कि यहाँ पर है 5, तो इसका मतलब क्या हुआ अगर हम die के terms में बात करें, तो हम कहना चाह रहे हैं ऐसा एक number जो greater than 3 है, यानि कि a को belong कर रहा है, but वो even नहीं है, यानि कि वो b को belong नहीं जो 3 से बड़ा तो है, लेकिन वो even number नहीं है, तो देखो, चीज़ें, इकदम simple-simple सी चीज़ें, अगर आपको sets याद है, तो समझ लो, ये सब बिल्कुल आपको इकदम आसान लगेगा, mutually exclusive events, क्या मतलब है इसका, exclusive जो word है, ये आया है exclude से, मतलब A ने B को exclude कर दिया है, B ने A को exclude कर दिया है, आ और बी जो दोनों events हैं दोनों के बीच में कुछ भी common नहीं होगा, अगर आ event होगा तो बी नहीं, बी होगा तो आ नहीं, मतलब कुछ भी common नहीं होगा, तो चलो example के साथ देखते हैं, same example repeat करेंगे, rolling a die, sample space 1, 2, 3, 4, 5, 6, यहाँ पर हम दो event फिर से define करते हैं, पहला event ए, जो क दूसरा event कहता है कि number appearing on die is less than 3, तो यानि कि B के अंदर कौन से elements हो जाएंगे, 1, 2, ठीक है, तो ये जो दो events हैं, ये mutually exclusive event है, क्यों, exclusive, word जो है ये कहां से आया है exclude, include का opposite, यानि कि ना तो A में B included है और ना ही B में A included है, दोनो excluded है, दोनो बिल्कुल separate है, दोनो में कोई connection नहीं है, ठीक है ना, तो इस तरह के case में हम देखते हैं कि A और B के अगर तुम elements पे ध्यान दो, तो दोनों में कुछ भी common नहीं है, A के अंदर है 4, 5, 6, तो B के अंदर है 1, 2, कुछ भी common नहीं है, ठीक है, इस तरह की चीजों को हमने sets में भी पढ़ा था, और sets में हम इस तरह के sets को क्य तो ऐसे cases में इस तरह के events को हम कहते हैं mutually exclusive event, मतलब हम दो ऐसे events की बात कर रहे हैं, जिसके बीच में कुछ भी common नहीं है, ठीक है, तो ऐसे events के case में क्या होता है, A intersection B, अगर A और B दो events हैं, इन दोनों का intersection क्या हो जाता है, 0, exhaustive events, अगर हमारे पास कुछ events हैं, माल लो E1, E2, E3, E4 कुछ events हैं, उन्हें हम exhaustive events तब कहेंगे, जब experiment को हम जब कभी भी perform करें, उस random experiment को हम जब भी perform करेंगे, इन में से कोई ना कोई event जरूर occur होगा, लेकिन हर situation में at least कोई ना कोई event जरूर occur होगा, तो हम कहेंगे इन्हे exhaustive events, इस उसी example से समझेंगे rolling a die वाले example से, तो यहाँ पर हम 3 events define करते हैं, पहला event A, जो कहता है कि number appearing on the die is greater than 3, यानि कि A के अंदर क्या है, 4, 5, 6, दूसरा event B, जो कहता है कि number appearing on the die is less than 3, यानि कि B के अंदर क्या है, 1, 2, और तीसरा एक और event हमने define किया C, जो कहता है कि number appearing on the die is 3, तो इस case में, इसको हम sets के form में ऐसे लिख सकते हैं, है ना, तो exhaustive events के case में हम क्या देखते हैं, कि जब आप इन तीनों को साथ में कर लोगे, साथ में कैसे कर लेते हैं हम, sets की बात करूँ, तो sets की तरह सोचो, sets में जब हम सबके elements को include कर लेते हैं, तो उसे हम क्या कहते हैं, उसे हम कहते हैं union of sets, है ना, तो अगर मैं a union b union c की बात करूँ, तो कौन-कौन से elements आ जाएंगे, 1, 2, B का 1, 2 आजाएगा, C का 3 आजाएगा, और A का 4, 5, 6 आजाएगा, तो basically जो बना मेरा वो क्या है, वो मेरा और कुछ नहीं, बलकि sample space है, है न, तो मतलब इस तरह के events, जिन events को, अगर हम, उन सारे events को अगर साथ में ले लें, तो हमें अपना sample space वापिस मिल जाता है, यानि कि इस कि जब कभी भी आप die को roll करोगे, no matter what, तीनों में से कोई ना कोई एक event occur जरूर होगा, ठीक है, अब जैसे मैंने die को roll किया, कोई ना कोई number तो आएगा, 1 से लेकर कि 6 तक, कोई ना कोई number तो आएगा, अगर 1 आया, तो मैं क्या कहूँगी, event B has occurred, अगर 2 आया, तो मैं कहूँगी, event B has occurred, 3 आया, तो मैं कहूँगी, event C has occurred, अगर 4 आया, तो मैं क्या कहूँगी, event A has occurred तो मतलब कोई सावी number आए कोई ना कोई event occur होगा तो इस तरह के events को हम क्या कहते हैं exhaustive events तो बच्चा पाटी एक question try किया जाए बिल्कुल कर सकते हैं try तो question कहता है कि two dice are thrown the events A, B and C are as follows A getting an even number on first die B getting an odd number on the first die सबसे पहले हम क्या करेंगे, question को बिल्कुल line by line समझेंगे, पहला line क्या कह रहा है, कि two dice are thrown, तो मतलब मेरे पास एक dice one है, और दूसरा dice two है, तो जब इन दोनो dice को हम throw करेंगे, तो मेरी possibilities क्या होंगी, possibility है कि dice one में 1, 2, 3, 4, 5, 6 में से कुछ भी आ सकता है, डाइस टू में भी 1, 2, 3, 4, 5, 6 में से कुछ भी आ सकता है, ठीक है, बढ़िया है, अब देखते हैं, तो अब इस सिचुएशन में, कुछ चुछ बार आगे पढ़ने से पहले, इस सिचुएशन में मेरा सैंपल स्पेस क्या हो जाएगा, तो ये हो जाएगा मेरा सैंपल स्पे तो event A क्या कहता है? event A कह रहा है getting an even number on the first die यानि कि जो पहला die है उसमें even number आना चाहिए यानि कि पहला die में 2, 4 या 6 यही आ सकता है बट दूसरा die में कुछ भी आ सकता है तो यानि कि अगर मैं event A के elements को लिखना चाहूँ तो यह कुछ ऐसा होगा correct? अब इसी तरीके से हम event B को लिख सकते हैं चलो लिखते हैं Event B कहता है Getting an odd number on the first die. यानि कि first die पे odd numbers आ सकते हैं. यानि कि 1, 3 या 5 ही आ सकता है. तो हम event B को कैसे लिख सकते हैं? Event B हो जाएगा. ठीक है? अब बात करते हैं event C की. Event C कहता है Getting the sum of the numbers on the dice less than equal to 5. यानि कि दोनों dice में जो भी number आएगा उनका sum जो है वो 5 से कम या 5 के बराबर होना चाहिए, मतलब 5 से ज्यादा नहीं होना चाहिए, तो C को हम कैसे define कर सकते हैं, अब C को define करने के लिए न, ये sample space पे ध्यान दो, easy रहेगा, 1 plus 1, 2, तो मतलब 1 plus 1 जो है, ये C का part हो सकता है, 1 plus 2, 3, ये भी 5 से कम है, 3 plus 1, 4, ये भी 5 से कम है, 4 plus 1, 5, 1 plus 5, 6, सकता है वन प्लस सिक्स सेवन भी इसका पार्ट नहीं हो सकता है उसी तरह नीचे वाले रो में देखेंगे तो टू प्लस वन टू प्लस टू प्लस थ्री यही तक इसका पार्ट हो सकता है उसके नीचे देखेंगे तो थ्री प्लस वन थ्री प्लस टू यही दो पार्ट हो सकते हैं और उसके नीचे सिर्फ फॉर प्लस वन इसका पार्ट हो सकता है तो इतने जो है यह सीएलिमेंट के पार्ट हो सकते हैं मतलब सीएवेंट के पार्ट हो सकते हैं तो अब देखो पहला पार्ट क्या कह रहा है कि हमें क्या निकालना है हमें निकालना है a dash यानि की event not a हम A dash कैसे निकालते हैं, A dash हम निकालते हैं कि पूरे sample space में से A को हटा दो, A के अलावा बाकी जो कुछ भी है पूरे sample space में, वो सब आ जाएगा A dash में, ठीक है न, तो आप देखो, पूरे sample space में से, अगर आप A को हटा दोगे, तो क्या बचेगा, ध्यान से देखो, इस पूरे sample space में से, क्या हट जाएगा, जैसे हम A को हटाएंगे, तो मेरा ये वाला row हट जाएगा, 4 वाला row हट जाएगा, 6 वाला row हट जाएगा, तो बचेगा क्या, 1, 3 और 5 वाला row, 1, 3 और 5 वाला row क्या है, b है, तो basically s minus a करेंगे, तो हमें b मिल जाएगा, तो a dash क्या हो जाएगा, b, तो इस पूरी की पूरी b की value लिख दो, वो ही हो गई a dash, ठीक है न, अब second वाला देखते ह अब S में से जैसे A को हटा दिया तो हमें B मिल गया, उसी तरह S में से जैसे या B को हटा दोगे, तो क्या हटेगा, ये 1, 3 और 5 वाली row हट जाएगी, तो बच जाएगी 2, 4 और 6 वाली row, यानि कि क्या बच जाएगा, A, तो S-B ये हो जाएगा A, ठीक है, उसके बाद, तीसरा question साथ ही साथ जो कुछ B में भी है, तो जब A और B का union कर देंगे, A और B दोनों के सारे elements को मिला लेंगे, तो हमें क्या मिल जाएगा, हमें मिल जाएगा sample space S, ठीक है, इसे यू ही लिख के मत छोड़ देना, S is equal to फिर लिख देना, जो भी sample space है, ठीक है न, चौथा वाला देखत तो A और B में अगर हम common elements ढूंढने निकलें, तो हम क्या देखते हैं, यहाँ पर कुछ भी common element नहीं है, तो zero common element है, तो इस set को हम क्या कह सकते हैं, null set, इसके अंदर कोई element नहीं आएगा, पाँचवा question, A but not C, यानि कि A में हो, but C में ना हो, तो इसे हम कैसे निकालते हैं, A minus C से, तो A में से C वाले elements को गायब कर दो, ठीक है, तो अगर हम ऐसे गायब करेंगे, तो इसमें से क्या-क्या गायब होगा, जैसे देखो, 1, 2, ये सब तो कहरे में है ही नहीं, जो A में है, लेकिन C में नहीं है, ठीक है, तो देख लो, A के जितने elements हैं, इसमें कौन-कौन से वो elements हैं, जो C में भी है, सिर्फ उनको गायब क तो कुल मिला के देखा जाए तो ये चार ही ऐसे element है जो C में है और A में भी है तो हमें वो नहीं चाहिए हमें क्या चाहिए A के वैसे elements जो C में ना हो तो ये क्या हो जाएगा इसके अंदर आ जाएगा 2,4,2,5,2,6 उसके बाद 4,2,4,3,4,4,5 4, 6, फिर 6, 1, 6, 2, 6, 3, 6, 4, 6, 5, 6, तो यह हो जाएगा A minus C, या फिर A but not C, ठीक है, उसके बाद देखो, बाद 6th नमबर पे पूछा गया है, B or C, यानि कि B union C, B में जितने हैं, और C में जितने हैं, सब साथ में रहेंगे, उसके बाद 7th नमर में बोल रहा है B and C यानि कि B intersection C की बात कर रहा है B और C में common elements कौन से हैं तो B और C के अगर compare करो तो common elements कौन से हैं एक तो 1 1, 1 2, 1 3, 1 4 ये कुछ common elements हैं इसके अलावा 3 1, 3 2 इतने ही common elements हैं यह total 6 ordered pairs ही रहेंगे, B intersection C में, finally, जो last वाला है, वो क्या कह रहा है निकालने के लिए, वो कह रहा है कि निकालो, A intersection B dash, intersection C dash, अब देखो, हमने starting में ही prove कि, बी डाश क्या है, A है, तो बी डाश की जग़ा, अगर हम A लिख दें, तो यह हो जाएगा, A intersection C dash, अब A और A में तो सारे elements common हैं, तो A intersection A, A ही हो जाएगा, तो बेसिकली यहाँ पर हमें निकालना होगा A intersection C dash, तो सबसे पहले हम C dash निकालेंगे, पूरे sample space में से C subtract कर दो, तो इसे जो है आप खुद से कर सकते हो, so do it yourself, ठीक है? तो समझ आ गया किस तरह से हम इन properties का, इन algebra, तो बच्चा पाटी हमने सारे terms सीख लिये हैं, जो भी हमें सीखने थे, तो अब हम पूरी तरह से तयार हैं समझने के लिए axiomatic approach to probability, तो फिर देर किस बात की? Let's get started. axiomatic approach ये कहता है कि अगर S हमारे पास एक sample space है, जिसके अंदर जो possible outcomes हैं, वो है omega 1, omega 2, omega 3, up to omega n, तो ये जो axioms हैं, ये सारे true होने चाहिए, यानि कि ये कुछ rules हैं, जो true होंगे इनके लिए, तो पहला rule क्या कहता है, पहला rule कहता है, कि probability of omega i, मतलब कि इन में से किसी भी outcome की जो probability है, that will lie between 0 and 1, मतलब ये 0 से कम नहीं हो सकती है, और ना ही one से ज्यादा हो सकती है, ठीक है, अब आप कहोगे कि मितला कुछ समाज नहीं आया, तो इसलिए हम क्या करेंगे, जैसे हम ये rules बताएंगे, हम साथ ही साथ examples भी लेते रहेंगे, ठीक है, तो यहाँ पर मैंने दो examples लिए, एक है rolling a die, और एक है tossing a coin twice, ठीक है, औ दो बार उसको toss कर रहे हैं, तो इनके possible outcomes क्या होंगे, head-head, head-tail, tail-head, और tail-tail, ठीक है, तो हमने sample space दोनों का लिख दिया, अब हम देखते हैं कि पहले वाले axiom की बात करते हैं, ठीक है, तो यहाँ पर हम क्या देखते हैं, probability of each of these outcomes क्या होगा, probability of getting 1 क्या होगा, probability of getting 2 क्या होगा, तो total possible outcomes है 6, उसमें 1 आने की possibility क्या है? 1, तो number of favorable by total outcomes, तो 1 by 6, इसकी भी possibility 1 by 6, इसकी भी 1 by 6, ठीक इसी तरीके से अगर हम probability निकाले 4, 5 या 6 आने की, तो इनकी भी जो values हैं, ये आएंगी 1 by 6, तो हम क्या देखते हैं, कि ये 1 by 6 जो है, ये 0 और 1 के बीच में lie करता है, correct? तिक उसी तरीके से, तो यानि कि ये true है, पहला rule true है, उसी तरह से अगर हम tossing a coin twice की बात करें, तो यहाँ पर जो मेरा probability है, हर एक outcome का, वो कितना है, मतलब probability of getting head head, probability of getting head tail, इनकी values क्या है, probability of getting tail head, और probability of getting tail tail, ठीक है, निकाल के देखते हैं, अच्छा, यहाँ पर क्या हो रहे है एक ही coin है जिसको हम दो बार toss करें तो पहली बार जब toss करेंगे तो head आने की probability कितनी होगी 1 by 2 क्योंकि head की probability 1 by 2 tail की probability 1 by 2 लेकिन यहाँ पर हम दो बार toss करें तो जब अगली बार toss करेंगे तो फिर से head की probability क्या होगी 1 by 2 दोनों को multiply करेंगे क्योंकि coin को and दूसरी बार toss किया, तो दोनो event एक के बाद एक हो रहे हैं, इसलिए ये multiply होंगे, तो ये probability आजाएगी 1 by 4, तिक उसी तरीके से पहले toss में head आने की probability 1 by 2, second toss में tail आने की probability भी 1 by 2, तो ये भी हो जाएगा 1 by 4, तिक उसी तरीके से ये भी होगा 1 by 4, तो यहाँ भी हम देखते हैं कि 1 by 4 जो है वो 0 और 1 के बीच में lie करता है, चलो पहला axiom तो हो गया, देखते हैं दूसरा एक्जियोम, यह कहता है कि probability of omega 1 plus probability of omega 2 up to probability of omega n is equal to 1, करके देखते हैं, इस case में सबकी probability 1 by 6 है, और यहाँ पर कितने है, 1, 2, 3, 4, 5, 6, मतलब 1 by 6 को हम 6 बार add करेंगे, यानि कि इसको हम 6 से multiply कर देंगे, तो कितना आएगा, 1, सही है, बिल्कुल सही है, उसी एक-एक की probability 1 by 4 है, इनको 4 बार add करेंगे, यानि कि 4 से multiply कर देंगे, कितना आएगा, 1, तो हमने दूसरा वाला axiom भी proof कर दिया, अब तीसरे वाली की बारी है, वो कहता है कि for any event E, probability of E is equal to sum of probability of omega I, यानि कि इस case में, जो probability of the sample space है, वो क्या हो जाएगा, probability of 1 plus probability of getting 2 plus probability of getting 3, ऐसे करते plus probability of getting 6, अब इन सब की values क्या है, 1 by 6, तो जब इसे हम 6 बार add करेंगे, तो हमें क्या मिलेगा, हमें मिलेगा 1, right, तो इससे हमने दो चीज़े proof कि, एक तो हमने यह भी proof कर दिया कि probability of the sample space is equal to 1, ठीक उसी तरीके से इस वाले scenario में भी वही होगा, probability of sample space क्या हो जाए� tail plus probability of getting tail head plus probability of getting tail tail, तो ये सारे क्या हो जाएंगे, 1 by 4 को हम 4 बार add करेंगे, तो हमें क्या मिलेगा, हमें मिल जाएगा 1. यहाँ पर यह table दिया हुआ है और हमें बताना है कि क्या यह axiomatic approach को satisfy करेगा, यानि कि क्या यह axiomatic approach के जो यह rules हैं, इन्हें satisfy करेगा, पहले वाले को देखते हैं, इसमें हम क्या देखते हैं कि सभी p of omega 1, p of omega 2, मतलब हर एक की probability जो है वो 0 और 1 के बीच में लाई कर रही है, इन outcome की probability है that is 1, यानि कि पूरी probability है, तो this is a sure shot outcome, और उसी वज़े से जितने बाकी possible outcomes हैं, उनकी probability जीरो है, तो यानि कि इस वाले case में, this is a sure shot outcome, और बाकी सारे जो हैं, वो impossible outcomes हैं, but सब को sum करेंगे तो 1 आएगा, और इन सब की values 0 और 1 के बीच में ही हैं, ये satisfy करती है, तीसरे case को देखे तो ये satisfy नहीं करती है, क्यों? क्योंकि किसी भी outcome की probability जो है that cannot be negative, तो basically हम कह सकते हैं कि omega 5 और omega 6 can't be negative. अगले वाले को अगर हम देखे, तो यहाँ पे अगर हम ध्यान दे, तो हम देखे कि यह वाला जो term है, यानि कि probability of omega 6 जो है, that is greater than 1, जो की possible नहीं है, तो omega 6 जो है, can't be greater than 1, क्योंकि probability हमेशा 0 और 1 के बीच में lie करती है, तो ये भी satisfy नहीं करता है, finally अगर आखरी वाले को देखें, तो ऐसे तो individual terms को देखके लग रहा है, कि 0 to 1 के बीच में lie करता है, but एक चीज ये भी देखना है हमें, कि इनका sum जो है, that should be 1, तो अगर इनका sum देखें, तो 0.1 plus 0.2 plus 0.3, प्लस 0.4, यही तक मेरा 1 हो चुका है, उसके बाद भी 0.5 और 0.6 है, तो इनका सम कितना हो जा रहा है, इसका जो सम है, उमेगा N का जो सम है, that is not equal to 1, in fact it is more than 1, तो इसलिए ये भी जो है, satisfy नहीं करता है तो बच्चों इस वीडियो के शुरुवात में मैंने बताया था कि जो classical theory of probability है वो सरफ equally probable outcomes के लिए applicable होती है ठीक है तो अभी हम देखेंगे कुछ ऐसे examples लेंगे जहां पर not equally probable outcomes होंगे और वहाँ पर हम क्या axiomatic approach को लगा सकते हैं तो अब not equally probable outcomes कहां होगा एक तो हो सकता है rigged coin, rigged coin मतलब कोई ऐसा coin जो fair ना हो आपने कई बार देखा होगा probability के question में लिखा रहता है a fair coin, fair coin मतलब गोरा होता है coin, नहीं fair coin का मतलब है कि वो coin जो है वो बिल्कुल fair है वो किसी के तरफ biased नहीं है, ऐसा नहीं है कि वो head की तरफ biased है, ऐसा भी नहीं है कि वो tail की तरफ biased है, तो वो बिलकुल बराबरी से head या tail देता है, लेकिन अगर हम उस coin में कुछ घपला कर दे, तो क्या होने लगता है, कई बार वो head जादा देता है, कई बार वो tail जादा देता अंदर जो tail है उसके आने की probability head के आने की probability से double है यानि कि अगर उस coin में head एक बार आता है तो tail दो बार आता है तो यहाँ पर जो outcomes है वो equally probable नहीं है तो हम यह देखेंगे कि इस rigged coin के लिए क्या हमारे axiomatic approach के जो axioms हैं वो satisfy होंगे चलो देखते हैं तो सबसे पहले तो समझते हैं कि इस rigged coin के case में head और tail की probability कितनी है तो let us suppose कि हमने इस coin को toss किया अगर तीन बार अगर इसे तीन बार toss किया तो हमें क्या बताए कि head आने की probability अगर one है तो tail आने की probability कितनी है two है क्योंकि tail occurs twice as head occurs तो हम कह सकते हैं कि probability of getting head is equal to 1 by 3 मतलब तीन बार toss किया तो उसमें से एक बार head आता है and probability of getting a tail is 2 by 3 तीन बार toss किया तो दो बार tail आएगा अच्छा अब इस case में जो हमारा sample space होगा उसमें क्या लिखते हैं हम all possible outcomes possible outcomes क्या है यहाँ पे head or tail ही तो है यही possible outcomes है but यहाँ पर मज़दार बात यह है कि यह जो outcomes है they are not equally likely outcomes जो की हमें साफ दिख रहा ह क्योंकि head आने की probability है 1 by 3, tail आने की probability है 2 by 3, तो obvious बात है कि they are not equally likely outcomes, ठीक है? अब चलो देखते हैं इन axioms को, पहला वाला axiom देखेंगे हम, तो हम क्या देखते हैं? probability of head है 1 by 3, जो कि 0 और 1 के बीच में lie करता है, probability of tail है 2 by 3, और वो भी जो है 0 और 1 के बीच में ही lie करता है, correct? तो इसलिए हमारा पहला axiom तो satisfy हो गया, दूसरे को देखते हैं, जो कि कहता है कि इन सब का sum जो है that should be equal to 1, तो यहाँ पर probability of head plus probability of tail क्या आएगा, 1 by 3 plus 2 by 3 which is equal to 3 by 3, यानि कि 1, तो यानि कि दूसरा भी हमारा satisfy हो गया, तीसरा देखते हैं, for any event E, probability of E is equal to sum of probability of omega i, तो यहाँ पर जो हमारा event है, that is basically this experiment, so probability of S क्या हो जाएगा, probability of head plus probability of tail, which is equal to 1, क्योंकि 1 by 3 plus 2 by 3 हो जाएगा 1, तो यानि कि इससे हमें क्या पता चलता है, कि ये जो rigged coin है, जिसमें tail occurs twice as head occurs, it satisfies the axiomatic approach. तो चलो अब हम ये देखते हैं कि ये axiomatic approach के axioms के help से फिर हम probabilities कैसे निकालते हैं events की, ठीक है, तो सबसे पहले बात करते है probability of event A और B, यानि कि अगर हमारे पास दो events हैं A और B, हम कह रहे हैं कि A भी हो और B भी हो, तो मतलब हम जो भी elements A में हैं, वो भी हमें चाहिए, जो B में तो इसका actually मतलब होता है probability of A union B ना की probability of A plus B इसका यह मतलब नहीं होता है अब आप पूछोगे तो इसका मतलब होता क्या है सेट्स के concept को याद करो probability of A union B जो है यह actually होता है probability of A plus probability of B minus probability of A intersection B ठीक है क्यों क्योंकि A union B का मतलब क्या होता है जो कुछ A में है जो कुछ B में है और जो कुछ दोनों में है, यह सब चलेगा हमें, ठीक है, तो अगर हम सीधा probability of A plus probability of B कर देंगे, तो यह जो common वाला जग़ा है, यह तो दो बार जुड़ जाएगा, है न, तो इसलिए हम क्या करते है, probability of A plus probability of B, उसमें से यह common वाला जग़ा को एक बार तो probability वाला scenario का कभी भी example लेने के लिए ना coin, dice यही सब चलता है best, तो हम अब example लेते हैं कि यार हमने एक coin को toss किया twice, अगर एक coin को twice toss किया तो मेरा sample space क्या हो जाएगा, hh, ht, th, tt, ठीक है, यह मेरा हो जाएगा क्या, sample space, अब मुझे जो है, दो events define करने हैं, ठीक है, तो चलो यही पर जो है ना, क्योंकि जग़र बहुत ज़ादा नहीं है, तो यहाँ पर हम दो events define करते हैं, एक event A और एक event B, ठीक है, तो मैं कहती हूँ कि event A को मैंने ऐसा define किया, कि मुझे at least one head चाहिए, कम से कम एक head होना चाहिए, तो event A में क्या आजाएगा, HH आजाएगा, क्योंकि इसमें दो head है, चलेगा, HT भी आएगा और TH भी आएगा, क्योंकि इनमें भी एक head है, बट TT नहीं आएगा, क्योंकि उसमें एक भी head नहीं है, और event B को मैंने ऐसा define किया कि at least एक tail होना चाहिए, तो यहाँ पर HH नहीं आएगा, लेकिन HT, TH और TT, यह सब ही आएंगे, ठीक है, तो यह मेरे दो event हो गए, ठीक है, अब अगर मैं पूछूं कि what will be the probability of A union B, इसकी probability क्या होगी, तो चलो निकाल के देखते हैं, कि इसे हम कैसे निकालेंगे, तो हमने यह चीज़ें पढ़ी थी, पहले भी, यार अगर A ये है, B अगर ये है, तो A union B क्या हो जाएगा, जो इसमें है, plus जो इसमें है, सब कुछ आ जाएगा इसमें, तो A union B basically हो जाएगा, HH, HT, TH, और TT, है न, ये पूरा हो जाएगा A union B, तो probability of A union B क्या हो जाएगा, अभी थोड़ी दिर पहले axiom में हमने पढ़ा था, कि कोई भी इसका पूरे event का जो probability है, that is equal to some of the probabilities of the outcomes, यानि कि probability of HH plus probability of HT plus probability of TH plus probability of TT, तो ये हमने axiom से लिया है, ये वाला concept, अब probability of HH क्या हो जाएगा, पहला head आने का, हम दो बार toss करें, तो पहला head आने का possibility क्या है, 1 by 2, फिर से एक बार toss करेंगे, तो फिर से head आने की possibility 1 by 2, तो basically 1 by 4 हो जाएगा, उसी तरह HT की probability भी 1 by 4 है, TH की probability भी 1 by 4 है, और TT की probability भी 1 by 4 है, तो ये probability of A union B कितना आ जाएगा, 1. ठीक है अब देखो अगर मुझे probability of event A निकालना हो तो क्या हो जाएगा यह है मेरा event A तो यहाँ पर भी probability of event A क्या हो जाएगा probability of getting HH plus probability of getting HT plus probability of getting TH है ना तो HH का क्या हो जाएगा 1 by 4 plus 1 by 4 यानि कि यह आ जाएगा 3 by 4 इसी तरीके से अगर आप probability of event B निकालोगे, तो ये भी कितना आजाएगा, probability of HT plus probability of TH plus probability of TT, तो ये भी कितना आजाएगा, 1 by 4 plus 1 by 4, यानि कि 3 by 4, अब आप खुदी देख लो, probability of A plus probability of B अगर आप करोगे, तो क्या आएगा, 3 by 4 plus 3 by 4, यानि कि 3 by 2, तो क्या वो probability of A union B के बराबर है, नहीं है, है ना, तो इसलिए अब आपको क्या निकालना होगा probability of A intersection B, तो उससे पहले देखना पड़ेगा भी A intersection B होगा क्या, तो यहाँ पर लिख लेते हैं, A intersection B जो set होगा, इसमें दोनों के common elements होगे, तो दोनों में common क्या है, HT और TH, है न, तो probability of A intersection B हो जाएगा, probability of getting HT plus probability of getting TH, तो यह हो जाए तो अब आप देखो जब आप probability of A plus probability of B करोगे तो क्या आएगा 3 by 2 उसमें से जब आप minus कर दोगे 1 by 2 that is probability of A intersection B तो आपको क्या मिलेगा 1 तो यानि कि probability of A union B is equal to probability of A plus probability of B minus probability of A intersection B ठीक है तो ये example से थोड़ा और clarify हो गया कि किस तरह से axiomatic approach से ये आया है, ठीक है, अब बात करते हैं दूसरे event की, अगर कभी हम यह ऐसा निकालना हो कि probability of A and B, मतलब event A और event B के common चीज़े होनी चाहिए, तो इसका मतलब हम बात कर रहे हैं इस common area की सरव, तो हम बात कर रहे हैं probability of A intersection B की तीसरा चीज़ जो है, वो होता है probability of not A, या फिर A dash, मतलब ये A का जो event है न, मतलब A वाला circle को छोड़ के बाकी सब कुछ, तो A वाले circle को छोड़ के, ये dot same है, बाकी सब कुछ को include कर लूँगी, not A में, तो not A कैसे निकालते हैं, 1 minus probability of A, 1 क्यों, क्योंकि पूरे sample space की probability होती probability of not A, ठीक है, जैसे कि यहाँ पर, probability of A कितनी निकली थी, 3 by 4 निकली थी, तो इसी case में अगर probability of not A निकालना चाहो, तो सबसे पहले तो देखो not A क्या होगा, जो A में, जो A के अंदर है, उनको छोड़के, बाकी elements, तो देखो sample space तो यह है, अब sample space का यह, A में है टी रहेगा, तो probability of टी, a dash क्या हो जाएगा, probability of टी टी, यानि कि 1 by 4, ठीक है, तो ये 1 by 4 कहां से आया, अगर आप देखो, तो 1 minus probability of a, ये क्या है, 1 minus probability of a कितना निकला था, 3 by 4, इसकी value भी 1 by 4 है, है न, तो इसका मतलब है, probability of a dash को हम कैसे निकाल सकते हैं, 1 minus probability of a, आप एक interesting but बहुत आसान सा question देखते हैं, a letter is chosen at random from the word assassination, find the probability that the letter is a vowel, that the letter is a consonant, इस तरह के questions आपने permutation combination वाले chapter में भी किये थे, है न, but यहाँ पर चीजों को कुछ भी complicate करने की ज़रूरत है ही नहीं, ठीक है, तो यहाँ चुपचाप आप यह देखो कि यह मेरा word है, ठीक है न, तो sample space में अगर कोई भी letter मैं choose कर सकती हूँ तो इन में से कोई सा भी letter आ सकता है, है ना, कोई सा भी letter आ सकता है, तो चुपचाब ये देखो कि यहाँ पे total number of letters कितने है, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, तीके, तो मतलब इन 13 में से कोई सा भी आ सकता है मेरा, है ना, तो मतलब म अब देखो इसमें वाविल्स कितने हैं, ये एक वाविल है, ये भी एक वाविल है, ये भी है, तो एक, दो, तीन, चार, पाँच 6, total इसमें कितने vowels हैं? total इसमें 6 vowels हैं, और बाकी जो है 7, वो क्या है? consonants, ठीक है? तो हम कह सकते हैं कि probability of getting a vowel जो है, वो क्या हो जाएगा? 6 by 13, and probability of getting a consonant जो है, वो हो जाएगा 7 by 13, यह जो word दिया गया था, यहाँ इस बात से कुछ फर्क नहीं पड़ता है कि A कितनी बार है, S कितनी बार है, right, क्योंकि हम उन letters को arrange नहीं कर रहे हैं, जैसे permutation में हम कहते हैं ना कि इसे कितने तरीके से arrange कर सकते हैं, तो उस case में कहा है कि A के बाद A आ गया, तो वो अलग तरह का combination बन गया, मतलब A के बा वो vowel होगा या consonant होगा, इतना ही बताना है, तो इसमें जितने vowels हैं, वो सारे मेरे favorable condition हो जाएंगे, जब vowel निकाल रहे हैं तो, और जितने total number of letters हैं, वो मेरे total possible outcomes हैं, तो इस तरह से हम इसे solve कर सकते हैं, एक और आखरी question देखते हैं अब इस topic का, In class 11th of a school, 40% of the students study mathematics, 30% study biology, 10% study both. इस तरह के question को वो sets के style से सोचो, तो अगर set के style से सोचोगे, तो उस class के अंदर कुछ बच्चे हैं, जो सिर्फ maths पढ़ रहे हैं, कुछ सिर्फ bio पढ़ रहे हैं, और कुछ जो हैं वो दोनों पढ़ रहे हैं, तो मान लो ये maths वाले हैं, ये bio वाले हैं, और ये दोनों वाले है तो question में हम सब कुछ percentage में दिया हुआ है, तो let us suppose हम मान लेते हैं कि जो मेरा sample space है उसके अंदर hundred elements हैं, क्यों हम ये मान रहे हैं कि class 11th में total hundred students हैं, अगर total hundred students हैं इसका मतलब है number of students studying mathematics कितना हो जाएगा 40, number of students studying biology कितना हो जाएगा 30, or number of students studying both mathematics and biology यानि कि M intersection B यह हो जाएगा 10 यह मुझे दिया हुआ है, but मुझे निकालना क्या है, मुझे निकालना तो है probability ठीक है, तो अब यहां से हम निकाल सकते हैं कि यार probability of student, मतलब किसी को भी अगर मैं select करूँ तो probability of a student studying mathematics क्या हो जाएगा जितने बच्चे mathematics पढ़ रहे हैं out of total जितने बच्चे हैं उसी तरह से probability of a student studying biology क्या हो जाएगा, जितने बच्चे bio पढ़ रहे हैं, divided by total number of बच्चे, है न, उसी तरीके से probability of जो दोनों पढ़ रहे हैं, यानि कि M intersection B, ये क्या हो जाएगा, जितने बच्चे दोनों पढ़ रहे हैं, divided by total बच्चे, ठीक है, अब हमें निकालना क्या है, हम Find the probability that he will be studying mathematics or biology, यानि कि या तो वो maths पड़े या bio पड़े या दोनों पड़े कोई दिक्कत नहीं है, तो मतलब mathematics और biology का मतलब है, हम बात कर रहे हैं M intersection B की, कि या तो वो maths या bio कुछ ना कुछ तो पढ़ रहा हो भाई, ठीक है न, तो हम ये निकालना क्या है, probability of M union B, अब हमें क्या पता है probability of M union B क्या होता है probability of M plus probability of B minus probability of M intersection B तो ये सारी values तो हमने निकाली ली है ये हो जाएगा 40 by 10 plus 30 by 100 minus 10 by 100 तो ये हो जाएगा 60 by 100 तो ये हो जाएगा 3 by 5 तो बच्चों probability के concept तो इतने ही थे अभी आपके level पर, but probability से related जो है ना questions तरह के बन सकते हैं। कई बार probability के questions ऐसे भी frame किये जा सकते हैं, जिसमें आपको permutation combination के भी concepts लगाने पड़ें, है न, तो इसलिए probability के questions करने से पहले, एक बार अपने permutation combination के concept को भी refresh कर लेना, उसकी भी वीडियो की link आपको उपर दिख रही होगी, फिलहाल हमारी probability की कहानी यहाँ पर पूरी तरह से खतम नहीं होती है, लेकिन concept wise खतम हो जाती है, जाएंगे क्वेश्चन सॉल्व तो फिलहाल के लिए आपको क्या करना है फिलहाल के लिए आपको इस पूरे वीडियो को देखने के बाद अपने टेक्स्ट बुक के क्वेश्चन सॉल्व करने शुरू करने हैं कहीं अटक गए तो आप हमेशा हमसे के साथ भी शेयर करना मैं आपको जल्दी मिलूंगी एक नए वीडियो ��े साथ एक नए टॉपिक के साथ तब तक के लिए stay home, stay safe, take care, bye bye

हो भी सकती है, नहीं भी हो सकती है? फिलाल मौसम देखके लग रहा है कि 90% chance है कि आज बारिश होगी, but still 10% की uncertainty है, right? तो जब कभी हम ऐसे किसी situation को गुजरते हैं, जहां पर हम बात करते हैं possibility की, कि ऐसा भी हो सकता है और वैसा भी हो सकता है तो इसी तरह की situations की बात करेंगे हम probability में अब आप सोच रहे होगे तो mathematics में exactly हम क्या पढ़ते हैं probability के बारे में तो यहां हम यह सीखते हैं कि given a situation अगर एक situation दी हुई है तो किसी भी चीज के होने की या ना होने की probability हम निकालते कैसे हैं तो हम mathematically probability find करना सीखते हैं इसके जो है कुल मिला के हम तीन approach के बारे में अभी बात करेंगे आज जो पहला approach है वो है classical theory of probability classical theory जैसे वो हम कहते हैं न classics मतलब है तो बहुत पहले से so one of the oldest theory है लेकिन वो कहते हैं न old is gold तो बिलकुल golden theory of probability है आप देखोगे आगे चलके कि इस वाले rule से इस theory से ही आपके probability के अ जो बाकी भी theories हैं, वो भी कहीं न कहीं इस theory से related है, मतलब at least अभी हम इस level पे जो भी पढ़ने वाले हैं ठीक है, तो classical theory of probability ये कहती है कि probability of any event is given by number of favorable outcomes divided by total number of possible outcomes, समझ आया बहुत से बच्चों को आ गया होगा क्योंकि बहुत से लोगों ने probability junior classes में भी पढ़ रखी है, but tension की कोई बात नहीं है, फिलाल हम discuss एक example और बिल्कुल basic से कराऊंगी मैं तो जिनको याद नहीं भी है उन्हें भी कोई tension नहीं है सबको समझ आएगा मानेते हैं हमने एक die throw किया ठीक है तो अब एक तो सबसे पहले मैं बता दूँ कि ये जो die होती है बेसिकली dice भी कहते हैं इसे तो आजकल जो है dice को ही use करते है singular और plural दोनों के लिए बट पहले जो है singular form के लिए use किया जाता था die और plural form के लिए use किया जाता था dice, ठीक है, तो मानलो हमारे पास एक die है, जिसे हम normally Ludo या साफ CD का game खेलते हैं, उसमें use करते हैं, die को हमने throw किया, ठीक है, अच्छा, अब हम सभी को पता है कि बही इसके कितने faces होते हैं, 6 faces होते हैं, तो 1, 2, 3, 4, 5, 6, कुछ भी आ सकता है, मैं आ ठीक है अब टोटल कितने ऑप्शन है मेरे पास अब इस डाइव को जब मैं थोड़ करूंगी जब मैं इसे रोल करूंगी खुमा के तो मेरे पास कुल मिला के टोटल 6 ऑप्शन है वन आ सकता है टू आ सकता है थ्री आ सकता है फोर आ सकता है फाइव आ सकता है और सिक्स आ सकता है यह सारे पॉसिबिलिटीज है ठीक है तो इसका मतलब जो टोटल नंबर ऑफ आउटकम्स टोटल नंबर ऑफ पॉसिबल आउटकम्स कितने है सिक्स है तो हम क्या कह सकते हैं कि probability of getting 4 is equal to number of favorable outcomes by total number of equally probable outcomes, तो total number of outcomes कितने है 6, अब यहाँ पर एक बार ध्यान दे देते हैं कि equally probable का मतलब क्या है, मतलब एक आने के जितने chances है, दो आने के भी उतने ही chances है, तीन आने के भी उतने ही chances है, तो मतलब 1 से लेकर के 6 तक इन सभी numbers के आने के बरा तो इसलिए they are equally probable outcome, ठीक है, तो यह हो गया, अच्छा, अब मेरा favorable outcome कितने है यहाँ पे, मुझे चाहिए क्या, मुझे चाहिए 4, तो यानि कि जब 4 आएगा, वो मेरा favorable outcome है, क्योंकि वो मैं चाहती हूँ, तो इसलिए कितने है ऐसे favorable outcome, सिर्फ एक है, तो यह हो जाएगा, 1, तो अब मालों मैं एक दूसरा सवाल पूछती हूँ, मैं कहती हूँ कि ये बताओ कि what is the probability of getting a number less than 4, क्या chances है कि मुझे कोई भी एक ऐसा number मिलेगा जो 4 से कम हो, ठीक है, तो अब देखो, मेरे पास options कितने हैं, तो अब मैं बात कर रही हूँ probability of getting a number which is less than 4, ठीक है, total number of possible outcomes तो अभी भी 6 हैं, क्योंकि ये 6 possibilities हैं, 1, 2, 3, 4, 5, 6, कुछ भी आ सकता है, but मेरे favorable outcomes कौन से हैं अब की, वो सारे outcome जो 4 से कम हो, यानि कि अब जो है, मेरा favorable outcome क्या होगा, 1, 2, 3, क्योंकि ये सारे 4 से कम है, है न, तो मतलब मेरे कितने favorable outcomes हैं, 3, तो इसलिए number of favorable outcomes क्या हो जाएगा यहाँ पे 3, तो 3 by 6 को हम लिख सकते हैं 1 by 2, तो इसलिए probability of getting a number less than 4 हो जाएगा 1 by 2, तो जो अगला approach है, यानि कि दूसरा approach वो है statistical approach of probability, statistical approach, मतलब यहाँ पर हम statistics वाला दिमाग लगाएंगे, यहाँ पर क्या होगा, मान लो हमारा वही problem statement है, कि भाई मैंने एक die को throw किया, अब मुझे बताओ कि 4 आने की probability क्या होगी, तो इस approach में हम क्या करेंगे, हम डाई को बहुत बार थ्रो करेंगे, 10 बार, 20 बार थ्रो करेंगे, और हम एक टेबल बना लेंगे, जिसमें हम अपने observations को note करते रहेंगे, तो basically जो statistical theory है, this is based on data, obtained by observation तो observation से हमें जो data मिलता है ना उस data के basis पे हम probability निकालते हैं ठीक है तो इस case में मान लो मैंने die को let's say 20 बार throw किया और मैंने एक इस तरह का table बना लिया तो हर बार 1 आया या 2 आया या 3 आया जो भी आया उसको हम note करते हैं और फिर end में हम कहेंगे कि probability of getting 4 is equal to number of times 4 appeared divided by total number of times the die was thrown यानि कि अगर अगर मैंने उस डाई को 20 बार throw किया और उस 20 बार में let's say 5 बार 4 आया तो probability of getting 4 हम क्या लिखेंगे 5 by 20 ठीक है तो यह है हमारा statistical approach to probability अब यह जो दोनों methods हमने discuss किया इन दोनों methods में कुछ-कुछ issues हैं जैसे पहली चीज तो यह है कि अगर कभी भी हमारे पास कोई ऐसा situation होता है जहांपर infinite number of outcomes होते हैं वहाँ पर हम इन methods को नहीं लगा सकते हैं जैसे फिलाल तो हमने इसे लगाया डाई के case में कि डाई को throw किया तो उस case में कितने possible outcomes है 6 या तो 1 आएगा या 2 या 3, 4, 5 या 6 6 ही possible outcomes है बट अगर कभी ऐसी situation हो जहाँ बहुत जादा हो number of outcomes तो वहाँ पर हम इन methods को नहीं लगा सकते हैं दूसरा problem यह था कि यह जो classical theory है इसके अंदर यह यह theory सिर्फ equally probable outcomes outcomes वाले cases में applicable होती है, अब ये equally probable outcomes का मतलब क्या हुआ, जैसे अगर हम die वाला example ले, तो जब भी हम die को यूँ उच्छाल के फैकते हैं, तो 1 आने के जितनी possibility है, 2 आने के भी उतनी ही possibility है, 3, 4, 5, 6 सभी के आने की उतनी ही possibility है, यानि कि ये जो possible outcomes है, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ये सभी equally probable है, तो इस तरह के situation के लिए classical theory applicable होता है, जैसे आप अगर coin की बात करो, अगर हम सिक्के को उठालते हैं, तो head आने की जितनी possibility है, tail आने की भी उतनी possibility है, तो ये भी क्या हो गया, equally probable outcome, तो ऐसे वाले situation के लिए हमारा classical theory जो है, वो perfect है, but अगर possibility ऐसी नहीं हुई, तो, अब आप पूछोगे, ऐसे भी situation होते हैं क्या, बिल्कुल होते हैं, है आपने वह शोले मूवी देखी होगी मतलब मुझे पता नहीं सब ने देखी है कि नहीं बट है बड़ी पॉपुलर मूवी तो यह भी एक क्लासिकल मूवी है अच्छी तो शोले मूवी जिन्होंने भी देखे उन्होंने देखा होगा कि वह दो दोस्त होते हैं जैय वीरू जब भी वह कॉइन को टॉस करते हैं तो हमेशा जो है क्या आता है हमेशा एक ही साइड आता है क्योंकि वह जो कॉइन होता है वह रिग्ड होता है उसकी जो दोनों साइड है उसमें सेम होता है मतलब जैसे दोनों साइड है तो क्या होगा इस बार उठा लोगे हैट ही आएगा अगर आ दोनों साइड टेल होगा तो जितनी बार उच्छालों के टेल ही आएगा राइट तो इस तरह के जो रिग्ड कॉइन है मतलब जो फेयर नहीं है उसमें आपने कुछ तो घपला कर रखा है जिसकी वज़े से वो आपको इक्वली प्रॉबबल आउटकंस नहीं देता है तो इस तो इसलिए अब हम बात करेंगे एक तीसरे approach की जिसे हम कहते है axiomatic approach to probability भारी भरकम नाम है लेकिन यह जो word है axiomatic यह आया है axiom से axiom क्या होता है अगर proper mathematics की बात करो तो axiom एक ऐसा mathematical statement होता है जो true होता है without any proof मतलब as such उस का कोई proof नहीं होता है, but वो जो statement है ना, वो in itself self-evident होता है, बतलब वो statement को true ही मान लिया जाता है, उन्हें हम कहते हैं axioms, तो ये जो axiomatic approach है, इसके अंदर आपके पास कुछ axioms होंगे, कुछ rules होंगे, और उन rules के basis पे ही हम probabilities find करेंगे, ठीक है, तो हमारा agenda क्या है अब आगे, हमें ये axiomatic approach समझना है.

और मैं बता दो कि ये जो axiomatic approach है ये set theory से बहुत ज़ादा closely related है तो जिन बच्चों ने मेरा sets वाला वीडियो देखा है जो कि आपका chapter 1 था मुझे उम्मीद है कि उनके sets के concept तो clear है जिन्होंने नहीं देखा है उपर link दिख रहा होगा आपको sets के वीडियो देख लो क्योंकि अब आगे हम जैसे बढ़ेंगे ना हर जगा मैं sets के साथ compare करती रहूंगी ठीक है लेकिन इस axiomatic theory को समझने से पहले कुछ ऐसे terminologies हैं, कुछ ऐसे terms हैं, जो आपको पता होने चाहिए. तो सबसे पहले हम उन सारे terms को फटा-फट से देखेंगे और समझेंगे. तो हमारा सबसे पहला term है random experiment. क्या होता है ये?

अब ये experiment word सुनते ही बहुत से बच्चों को के दिमाग में आ रहा होगा कि हम science lab में बैठके physics या chemistry के experiments कर रहे हैं. But फिलाल मैं उस experiment की बात कर नहीं रही हूँ. लेकिन वो जो experiments आप अपने lab में करते हैं, उसमें क्या होता है? उसमें आपको पता होता है कि output क्या आना है, result क्या आना है, right? In fact, जब chemistry lab में आप होते हो और कुछ बना रहे होते हो कि कुछ crystal बनाना है, कुछ बनाना है कि यार इसके साथ इसे mix करेंगे तो white color का residue रहना चाहिए, तो बस पूछते रहते हो कि यार तेरा आया क्या white color का residue, right?

इस तरह के situation होती है, क्यों? क्योंकि हमें पता होता है कि result क्या आ तो इस तरह के experiments को हम कहते हैं deterministic experiments क्योंकि जो output है या जो result है वो already determined है, already हमें पता है। लेकिन फिलाल में जिस experiment की बात कर रही हूँ वो है random experiment, यह होता है दूसरे type का experiment है। जो word है random उसे से पता चल रहा है कि मतलब कुछ fix नहीं है, सब random है। तो मतलब output क्या आएगा वो हमें पता नहीं है। output एक्साइटली यही आएगा पता नहीं कुछ और भी आ सकता है इसका यह मतलब है कि इस केस में जो मेरे पॉसिबल आउटकम्स है वह एक से ज्यादा है तभी तो मुझे डाउट है कि भाई क्या आएगा पता नहीं रहे जब मैं सिक्के को उठालती हूं हेड भी आ सकता है और टेल भी आ सकता है राइट क्योंकि पॉसिबल आउटकम्स दो है हेड भी एक पॉसिबल आउटकम है टेल भी एक पॉसिबल आउटकम है जो कि पॉसिबल आउटकम एक से अधिक है इसलिए तो मुझे doubt है कि क्या आएगा, right? तो कोई भी random experiment के दो features होते हैं, एक तो ये कि इसमें एक से अधिक possible outcomes होते हैं, दूसरा ये कि हम पहले से predict नहीं कर सकते हैं कि exactly कौन सा outcome आएगा, तो उन्हें हम कहते हैं random experiment, तो चाहे आप coin toss करने की बात कर लो, या फिर आप die throw करने की बात कर लो, मतलब जब हम probability पढ़ते हैं ना, तो ये tossing a coin और rolling a dice, यह मतलब आप समझ लो world famous examples हैं और world famous problems भी हैं आपको बहुत सारे questions भी मिलेंगे इनके उपर तो मैं भी आपको यह पूरा topic पढ़ाऊंगी इन ही examples के help से तो probability में हम जब भी experiment की बात कर रहे होंगे हम random experiment की ही बात करेंगे obvious ही बात है क्योंकि possibility की बात हम कब करेंगे जब मेरा experiment random हो अगर experiment deterministic है तब तो हमें पता ही है कि भाई यह result आना है तो जो result आना है उसी के आने की probability 100% है, तो वहाँ तो probability निकालने की ज़रूरती नहीं है, है न, तो ये था हमारा random experiment, अगला term है outcome, इसको तो खैर मैं पहले से कई बार use कर चुकी हूँ, पर फिर भी बता देती हूँ, क्या होता है, कोई भी random experiment का जो possible result है, उसके लिए हम word use करते है outcome, जैसे coin को toss किया, तो उसके possible outcomes क्या है, head, tail, अगर die को throw किया, तो possible outcomes क्या है? 1, 2, 3, 4, 5, 6 तो यह है outcome अब बात करेंगे हम sample space की अब देखो यहां से जो है ना हम धीरे sets के concept में गुशते चले जाएंगे तो sample space क्या होता है?

sample space होता है set of all possible outcomes of an experiment ओविस्टी रैंडम एक्सपेरिमेंट तो जैसे मान लो हम बात करते हैं टॉसिंग आफ आइन की कॉइन को टॉस करेंगे तो मेरे पॉसिबल आउटकम्स क्या है हेड और टेल हम क्या करेंगे एक सेट में डाल देंगे ऑल पॉसिबल आउटकम्स तो टॉसिंग आउटकम्स को हमेशा हम कैपिटल से डोनोट करते हैं तो कैपिटल स इग्वल टू सेट में कैसे लिखते हैं सेकंड ब्रेस के अंदर एज कॉम मतलब जितने possible outcomes हैं उसको हम एक set के अंदर डाल देते हैं, जिसे हम कहते हैं sample space. इसी तरह अगर आप die की बात करोगे, तो एक die में possible outcomes क्या है? 1, 2, 3, 4, 5, 6, इन सब को डाल दो second process के अंदर, तो ये बन या इसका sample space.

अब मालो एक तीसरा example लेते हैं, मतलब थोड़ा सा different. मालो मैं एक example लेती हूँ कि I toss a coin twice, मतलब एक ही coin है, बट उसे मैं दो बार toss कर रहे हूँ. इस case में मेरे possible outcomes क्या है? तो एक बार, एक बार उस random experiment को किया, मतलब एक बार toss किया, मान लो head आया, फिर से toss किया, मान लो head आया, तो मेरा possible outcome क्या हो गया?

head, क्योंकि दो बार कर रहे हैं ना, तो दोनों को लेना पड़ेगा, correct? तो head, ये मेरा एक possible outcome हुआ, एक possible outcome हो सकता है कि पहली बार toss किया, तो head आया, दूसरी बार toss किया, तो tail आया, तो ht. एक आउटकम हो सकता है उसी तरह एक आउटकम हो सकता है टी एच और एक आउटकम हो सकता है टी तो ये फोर पॉसिबल आउटकम्स हो सकते हैं इसका मुझे सैंपल स्पेस लिखना होता है कैसे लिखेंगे सेकंड रेस के अंदर सबको डाल देंगे अब इस सैंपल स्पेस क इन्हें हम कहते हैं sample points, तो ये हर एक, एक-एक element जो है वो एक-एक sample point है, पहला example कहता है कि describe the sample space for the indicated experiment, ठीक हमें सिर्फ इसकी sample space बनानी है, क्या है experiment, a coin is tossed and a die is thrown, मतलब यहाँ पर दो चीज़ें हो रही है, एक coin toss हो रहा है and कि एक डाइट को भी थोड़ा जा रहा है देखो यह एंड पर ध्यान देना है क्योंकि दोनों इवेंट्स हो रही है ठीक है तो पहले तो प्रॉबाबिलिटी के किसी भी क्वेश्चन में सबसे पहला काम क्या है क्वेश्चन को समझना ठीक है तो समझने के लिए थोड़ा से यू लिख लेते हैं आसान रहेगा तो पहला एक तो कॉइन है मेरे पास एक डाई है अच्छा दोनों चीज हम करेंगे अच्छा कॉइन जब हम टॉस करेंगे तो मेरे पॉसिबल आउटकम्स क्या-क्या है क्या-क्या possibilities है उसके outcomes की या तो head आ सकता है या फिर tail आ सकता है यही possibilities है और कोई तीसरा possibility है ही नहीं जब हम die को throw करेंगे तो क्या possibilities है वन आ सकती है टू आ सकती है त्री आ सकती है फोर फाइव या सिक्स यह छह possibilities है और तो कुछ possibility नहीं है ठीक है अब अगर इस पूरे experiment को देखा जाए तो क्या कर रहे हैं हम पहले हम कोई को टॉस कर रहे हैं जिसमें या तो हेड आएगा या फिर टेल आएगा उसके बाद हम die को throw कर रहे हैं जिसमें 1 से लेकर के 6 तक कुछ भी आएगा तो basically एक बार उस पूरे experiment को करेंगे तो क्या आएगा मेरे पास पहले या तो head या tail में से कुछ आएगा मान लो head आया अब head के साथ इन में से कोई सा भी number आ सकता है मतलब h1 भी आ सकता है h2 आ सकता है h3 आ सकता है h4 आ सकता है h5 आ सकता है h6 आ सकता है दूसरा option है कि भी जब coin को toss किया तो head ना आके tail आया, अब tail के साथ उसके बाद जब हम die को throw करेंगे तो मेरा क्या आ सकता है, tail के साथ 1 आ सकता है, tail के साथ 2, 3, 4, 5, 6, कुछ भी आ सकता है, correct, ये सारे क्या है, मेरे possible outcomes है, ठीक है न, तो possible outcomes हम basically कैसे निकालते हैं कि coin को toss करने की यह इनके साथ यह सारे combinations possible है, correct?

अच्छा, दूसरी बात है कि हमने H और 1 को multiply क्यों किया? मतलब हमने H1 लिखा है, right? क्यों कि लिखा है? क्योंकि यहाँ पर and है, हमने पढ़ा था न, permutation combination में भी पढ़ा था, जब दोनों ही event होती है, पहला होता है फिर दूसरा होता है, तो उस case में हम क्या करते हैं?

multiply. जब हम और की बात करते हैं कि या तो coin को toss किया या फिर die को throw किया, जब वैसी बात करते हैं तब हम use करते है plus, ठीक है न, तो सबको समझ आ गया, तो ये मेरे possibilities हैं, अब इसे हम sample space की तरह लिखेंगे, s is equal to x set के अंदर डाल देंगे, क्या क्या, ये सारे options, h1, h2, h3, sorry, ये 2 ऐसे ही लिखाएगा, ठीक है, h4, h5, h6, T1, T2, T3, T4, T5, T6, तो ये हो जाएगा मेरा sample space, देखते हैं एक और तीसरा example, an experiment consists of tossing a coin and then throwing it second time if a head occurs, if a tail occurs on the first toss, then a die is rolled once, find the sample space, देखो, question go, क्या करना है? समझना है हमेशा की तरफ हम क्या कर रहे हैं एक कोईन को हम टॉस कर रहे हैं ठीक है तो मतलब सबसे पहले हम क्या कर रहे हैं हम कोईन को कर रहे हैं टॉस अब कोईन को टॉस करेंगे तो मेरे पॉसिबल आउटकम्स है कि अगर हैड आया तो हम क्या करेंगे इसको फिर से थोड़े करेंगे तो मतलब अगर मेरा है डाया तो हेड आने के बाद हम क्या करेंगे, and हम फिर से toss करेंगे, अगर मेरा हेड आया, तो हम फिर से toss करेंगे, और जहां हम फिर से toss करेंगे, तो क्या होगा, यहाँ पर या तो हेड आ सकता है, या फिर टेल आ सकता है, है न, लेकिन मान लो, जब पहली बार toss किया, तो question कहता है, कि if a tail occurs on the first toss, then a die is rolled once, इसके बाद हम एक die को roll करेंगे, यानि कि die को throw करेंगे, die throw करेंगे तो क्या हो सकते है possible outcomes, 1, 2, 3, 4, 5, 6 में से कुछ भी number आ सकता है, है ना, तो ये मेरा question है, ठीक है, तो question कहा क्या रहा है, कि सबसे पहले तो हम ये toss करेंगे, तो या तो head आएगा या फिर tail आएगा, ठीक है ना, तो अब चलो sample space लिखते हैं, मान लेते हैं कि पहली बार में head आया, अगर पहली बार में head आया, तो obviously फिर die roll करने का तो कोई scene ही नहीं है, तो मतलब उस case में हम दूबारा toss करेंगे, तो एक option है कि पहली बार head आया, दूसरी बार भी head आया, एक option है कि पहली बार head आया, पर दूसरी बार जो है tail आया, तो head वाला case जो है उसमें यही दो net possibilities है, अगर पहली बार में tail आ गया, तो क्या होगा, उसके बाद हम die roll करेंगे, तो option है कि पहली बार tail आया, और दूसरी बार die roll किया, तो one आ गया, हो सकता है die roll किया तो 2 आ गया, हो सकता है 3 आ गया, हो सकता है 4 आ जाए, या फिर 5, या फिर 6, तो ये सारे मेरे possibilities हैं, और जितने total number of possible outcomes हैं, उन सब को हम डाल देते हैं, किसके अंदर, sample space के अंदर, ठीक है, तो देखो इसमें मुश्किल कुछ भी नहीं है, जो main part है उसका वो है event के बारे में, event एक बहुत important word है probability में, तो यह होता क्या है, तो अभी हमने देखा कि किसी भी random experiment के जितने possible outcomes होते हैं, उसे हम कहां डाल देते हैं, sample space में, तो मतलब यह जो experiment हो रहा है, यह experiment अपने आप में एक दुनिया है, अपने आप में it is the universe, ठीक है, और इसके जितने possible outcomes हैं लाइक द यूनिवर्सल सेट जिसके अंदर सारे पॉसिबल एलिमेंट है ठीक है अब इस सैंपल स्पेस के अंदर हम इवेंट डिफाइन करते हैं एग्जांपल लेते हैं वहीं अपना रोलिंग डाइव एग्जांपल लेते तो डाइव को जब रोल करते हैं तो इन सैंपल स्पेस क्या होगा वन टू थी फॉर 56 ऑल पॉसिबल आउटकम्स ठीक है अब मैंने इवेंट डिफाइन किया ईवन मैंने कहा कि तो नंबर एपियरिंग ऑन द डाइव इस ग्रेटर दैंड टू इसका अब का मतलब है कि जैसे जब हम डाई को ऐसे फेकते हैं तो उसमें जो नंबर हमें दिखता है राइट डाई नंबर इस ग्रेटर थांड टू इसे अगर हम सेट्स के टर्म्स में लिखेंगे तो क्या होगा ईवन विल बी इकुल टू तू से बड़े वाले नंबर सोंगे इवन के अंदर राइट जैसे कि 3456 अब सिक्स बड़ा नंबर तो होगा नहीं क्योंकि डाई में सिक्स तक ही होते हैं नंबर तो यह जो ईवन है ईवन एक इवेंट है जिसे हमने डिफाइन किया है विदिन सैंपल स्पेस तो इसलिए आप देखो ईवन के जो elements है ना, वो सारे elements हमने कहा से लिया है, sample space से ही लिया है, तो हम कह सकते हैं कि कोई भी event जो होता है, that is always a subset of the sample space, मतलब sample space में सारे outcomes होते हैं, उसे ही में से कुछ outcomes को ले करके events बनते हैं, जैसे अगर यहाँ पर मैं एक event E2 define करती हूँ, मैं कहती हूँ कि number appearing on the die is an even number, ठीक है, तो कौन से elements आ जाएंगे, 2, 4, 6, तो ये क्या है, sample space का subset है, तो हमेशा जो event है, वो sample space का एक subset होता है, अब बात करते है occurrence of an event की, मतलब event occur कब होता है, तो कोई भी event E is said to occur if the outcome omega belongs to the event E, अब outcome को हम generally omega से denote करेंगे, जैसे आप आगे बढ़ोगे तो, और अगर outcome doesn't belong to E, तो हम कहेंगे कि event has not occurred, समझ नहीं आया, example से समझेंगे, वही example लेंगे अपना rolling a die, तो इसका sample space क्या है, 1, 2, 3, 4, 5, 6, all possible outcomes, अब मैं एक event E को define कर रही हूँ, कि the number appearing on the die is greater than 2, ठीक है, इसका मतलब इस event E के अंदर कौन से elements होंगे जो 2 से बड़े हैं यानि कि 3, 4, 5, 6 ठीक है? बढ़िया अब जो है मैं die को throw कर रही हूँ ठीक है? die को मैं जैसे ही throw करूँगी तो जो number आएगा वो क्या होगा?

वो होगा outcome, right? outcome क्या होता है? कोई भी experiment का जो result आता है, वो होता है outcome, correct?

तो अब मैंने die को यू घुमाया, और throw किया, और मेरा number आया 2, ठीक है? तो क्या ये 2, E को belong करता है? नहीं करता है, क्योंकि E के अंदर क्या है?

E के अंदर है 3, 4, 5, 6, 2 तो है नहीं. तो चूकि मेरा outcome जो है, that doesn't belong to E, इसका मतलब है event has not occurred. ठीक है लेकिन यही मालो मैंने डाई को रोल किया और आया पांच तो पांच belongs to E तो event has occurred ठीक है यह तो हो गया mathematically हमने समझ लिया अब इसको सीधे तरीके से समझो event event has occurred, event है क्या?

event कह रहा है कि भाई 2 से अधिक number आना चाहिए, अगर 2 से अधिक number आया, तो event occurred, 2 से अधिक number नहीं आया, तो event has not occurred, events कई type के होते हैं, तो सबसे पहले बात करेंगे impossible event की, impossible, नाम ही कह रहा है कि यह possible ही नहीं होगा कभी, ठीक है न? तो यह एक ऐसा event है, जिसके अंदर हम कहते हैं कि ऐसा कोई outcome नहीं होगा, जो इस event के condition को satisfy करेगा, तो generally हम इसे denote करते हैं 5 से, ठीक है, example लेते हैं, वही हमारा rolling a die, sample space 1, 2, 3, 4, 5, 6, अब मैंने एक event define किया, कि number appearing on the die is greater than 7, ठीक है, तो मेरे definition के हिसाब से, यह जो event है, इसके अंदर कौन-कौन से elements आएंगे, 7 से उपर वाले number, जैसे कि 8, 9, 10 वगरा, लेकिन क्या ये event कभी possible होगा? कभी भी possible नहीं होगा क्योंकि चाहे जितनी मरजी बार हम die को throw कर लें, 6 से बड़ा number तो आएगा ही नहीं क्योंकि 6 से बड़ा number उसमें होता ही नहीं है, right?

तो इसके definition के हिसाब से देखो कि कभी भी आपको ऐसा outcome मिलेगा ही नहीं, जो इस E को belong करेगा, तो इसका मतलब this is an impossible event, ये कभी नहीं होगा, और impossible event की probability क्या होती है? 0, क्या possibility होती है impossible event की, वो तो impossible है भाई, possibility zero होती है, तो probability of an impossible event is zero, दूसरी तरफ बात करते है, sure event की, sure, मतलब sure shot होना ही है, तो ये event को हम कैसे define करते है, हम कहते है, कि उस experiment के जितने भी outcomes होंगे, सारे outcomes जो है, will belong to the event, सारे outcomes, example, वही अपना die वाला example, अब यहाँ पर मैंने event define किया, कि the number appearing on the die is, नाचरल नंबर क्या होते हैं 123 से लेकिन इंफिनिटी तक अब डाइ को आप जितनी मर्जी बार थोड़ों करोगे हर बार आपको क्या आपको मिलेगा या तो वन या टू थ्री फोर फाइव या सिक्स और यह सारे ही क्या है नाचरल नंबर है तो अब हर possibility क्या हो जाएगी? 1. So probability of a sure event is 1. अब बात करेंगे simple event.

Simple. कोई complexity नहीं है. ये एक ऐसा event होता है जिसके अंदर sample space का सिर्फ एक sample point होता है.

इसे हम elementary event भी कहते हैं. देखते हैं एक example. मान लो हमने एक die को roll किया.

तो यह हमारा हो गया क्या रांडम एक्सपेरिमेंट हो गया तो इसका सांपल स्पेस अगर हम लिखेंगे तो कैसा होगा 1 2 3 4 5 6 मतलब डाइ रोल किया तो अब इसलिए उसमें 1 से लेकर 6 तक कुछ भी आ सकता है तो यह इसके सारे possible outcomes है तो यह इसका सांपल स्पेस है ठीक है तो to the sample space और यह सिंपल इवेंट्स क्या है अगर मान लो मैंने एक इवेंट डिफाइन किया कि भाई डाइरोल करेंगे तो आएगा वन ठीक है, तो उस event के अंदर क्या हो जाएगा, क्या आएगा, element एक ही आएगा, which is 1, उसी तरह अगर मैं कोई event define करती हूँ, जिसके अंदर मैं कहती हूँ कि भाई roll किया, तो 2 ही आएगा, तो वो event कुछ यूँ हो जाएगा, उसी तरह कोई event define किया 3 के लिए, तो वो ऐसा होगा, क इनके अंदर क्या है इनके अंदर सिर्फ एक सैंपल पॉइंट है राइट तो जो सैंपल स्पेस के अंदर मल्टिपल सैंपल पॉइंट्स है उनका कोई एक सैंपल पॉइंट अगर किसी इवेंट के अंदर हो तो उसे हम कहेंगे सिंपल इवेंट तो बेसिकली यहाँ पर इस स एक दूसरा एग्जांपल लेते हैं, मान लो हम कहते हैं कि हमने दो कॉइन को टॉस किया, दो कॉइन है हमारे पास, तो इसका साम्पल स्पेस कैसा होगा, चुकी दो कॉइन है, तो possibility है कि पहले वाले कॉइन में head आया, मान लो ये मेरा coin 1 है और ये मेरा coin 2 है, तो इसमें head हो और तो यही मेरी सारी possibilities है, तो इसलिए हमने sample space में इस तरह से डाल दिया है, सारे possibilities, ठीक है, अब अगर मैं यहाँ पर इस sample space को देखूं, तो मैं कह सकती हूँ कि इसके अंदर कितने simple events है, 4 simple events है क्यों, क्योंकि इसके अंदर 4 sample points है, है न, तो और यह 4 simple events को हम कैसे लिख सकते हैं, क तो ये हो गए simple events, simple event तो सीख गए हम लोग, तो compound event क्या होगा, जाहिर से बात है कि अगर simple event में सिर्फ एक sample point होता है, तो compound event में क्या होगा, एक से अधिक sample points, चलो example से clear करते हैं, चलो मान लेते हैं कि भाईया फिर से हमने die को roll किया, ये हो गया हमारा random experiment, और इसका sample space हो जाएगा, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ठीक है, अब जो है मैं एक event define करती हूँ, कि number appearing on the die is greater than 3, ये मैंने event define किया, ठीक है, तो अगर इस event को मैं sets के terms में लिखूं, तो क्या होगा, इसे मैं अगर sets की तरह लिखूं, तो क्या होगा, इसके अंदर कौन-कौन से numbers आएंगे, greater than 3, यानि कि या तो 4, या 5, या फिर 6, क्योंकि die में तो 6 तक ही होते हैं बही numbers, है ना, तो ये जो मेरा event है, इस event के अंदर कितने sample points हैं? एक, दो, तीन, तीन sample points हैं, तो इसलिए ये किस तरह का event हुआ? ये हुआ एक compound event, क्योंकि इसमें more than one sample point है, ठीक है? उसी तरह से अगर मैं एक और event define करती हूँ, कि even number appearing on die, मतलब कि सिर्फ even number आना चाहिए, तो मेरे event के definition के हिसाब से, इसको अगर set form में लिखूं तो इसके अंदर क्या-क्या आना चाहिए, 2, 4, 6, क्योंकि यही event numbers है, यहाँ पर भी हम देखते हैं कि एक से ज्यादा sample points है, तो यह भी एक example है compound event का, types of events देख लिया हमने, अब हम देखेंगे कि कई बार situation के हिसाब से हमें different events को combine करना पड़ता है, और यह जो concept है, it is very similar to your sets, sets में जैसे हम बात करते थे union, intersection वगरा की, उसी तरह से यहाँ पर हम बात करेंगे events के बारे में, तो sets वाले जो वो concept थे, when diagrams, union, intersection, वो अभी बहुत काम आने वाला है, तो सबसे पहले बात करेंगे हम complementary event की, complementary event कहता है, कि for every event A, there exists an event not A, जिसे हम denote करते हैं A dash से, तो चलो देखते हैं क्या है ये, मालो फिर से हम example लेते हैं, वही rolling a die का, die को roll किया, ये हो गया मेरा random experiment, इसके sample space को लिखा, तो sample space में होगा 1, 2, 3, 4, 5, 6, अब मैं यहाँ पर एक event डिफाइन करती हूँ कि number appearing on the die is greater than 3, let us say इसको मैंने डिफाइन किया कोई भी एक event E, तो इसका मतलब अगर इसे set form में लिखूँ तो E के अंदर कौन-कौन से numbers आने चाहिए, 4, 5, 6, जो भी 3 से ज्यादा है, ठीक है यहाँ तक, चलो, अब अगर मै तो event not E क्या होगा, मतलब जो भी numbers E में नहीं है, वो वाले numbers की मैं बात कर रही हूँ, तो उसे हम denote करते है E dash से, और उसे हम कहते है complementary event of E, तो E अगर एक event है, तो not E event को हम कहते है E dash, या फिर complementary event, तो E dash का मतलब हो जाएगा कि number appearing on the die is less than or equal to 3, क्योंकि, इस एवेंट क्या है ग्रेटर दन थ्री तो अब इसे ग्रेटर दन थ्री नहीं चाहिए ग्रेटर दन थ्री के अलावा बाकी सब चलेगा तो इसलिए इडाश में कौन से एलिमेंट आ जाएंगे वन टू थ्री जो कि इमें नहीं है ना तो इसका मतलब कुछ यूँ हुआ कि लेकिन अगर 2 आया, इसका मतलब है कि event not E occur हुआ, समझ रहे हो बात को, E अगर occur नहीं हुआ, इसका मतलब है not E occur हुआ, not E is E dash, ठीक है, तो इसे अगर हम अपने sets वाले concept पे चले जाएं, तो let us suppose कि अगर हम event diagram के terms में देखें, let us suppose this is event E, ये अगर मेरा event E है, तो इस जगह को छोड़ करके, ये event E वाले इस जगा को छोड़ के बाकी सारा जितना जगा है that is my E dash ठीक है that is not E ठीक है ये एक आसान तरीका है इसे याद रखने के लिए तो इसे हम mathematically ऐसा कह सकते हैं कि E dash is equal to sample space minus E मतलब E event के अंदर जो भी है इसको छोड़ के sample space में बाकी जो भी चीज़े हैं वो सब कुछ E dash में आ जाएगा which is quite obvious, right? not E, मतलब E में जो elements हैं, उनको छोड़के बाकी सब कुछ आ जाएगा, ठीक है?

So that is complementary event. दूसरा हमारा है, the event A और B, मतलब A और B अगर दो events हैं, तो हम कहना चाहें कि A event के elements, हो या B event के elements हो या फिर अगर कोई ऐसे elements भी हो जो दोनों A और B का हिस्सा है, सब चलेगा, तो यानि कि यह जो A और B है, this is similar to A union B, तो अगर आप Venn diagram, अब अ� and b, जो दोनों में हो, तो यहाँ पर हम बात करेंगे common elements की, जो elements a और b, दोनों का part है, सिर्फ उन elements की हम बात कर रहे हैं, तो यह sets की अगर हम बात करें, तो यह कौन से वाले concept से similar है, a intersection b, exactly, और when diagram में आपको साफ दिख रहा है, कि कौन से वाले elements हैं यह, फिर से लेते हैं rolling and die का example, जो की मेरा random experiment है, इसका sample space हो जाएगा, 1, 2, 3, 4, 5, 6, अब यहाँ पर मैं दो events define करती हूँ, मेरा पहला event है a, जिसे मैं कहती हूँ कि number appearing on die is greater than 3, तो इसका मतलब इसे अगर मैं sets के form में लिखूँगी, तो a के अंदर कौन-कौन से numbers आएंगे, 4, 5 और 6, मैं एक दूसरा event define करती हूँ b, और मैं कहती हूँ कि number appearing on die is even, यानि कि b के अं� either event A and B A and B मतलब event A भी occur हो रहा है और event B भी occur हो रहा है दोनों ही occur हो रहे हैं इसको थोड़ा सा हम लोग देखते हैं Venn Diagram पे तो मैं क्या कह रही हूँ कि जो मेरा set A है उसके अंदर कौन-कौन से elements है 4, 5 और 6 तो set A ये वाला circle है 4, 5 और 6 set B जो है इसके अंदर है 2, 4, 6, तो 4, 6, B के अंदर भी है, और इसमें 2 है, कुछ इस तरीके से है, तो हम क्या देख रहे हैं, कि अगर मैं ये पूछूं कि event A भी हो रहा है, और B भी हो रहा है, मतलब मैं दोनों की common की बात कर रही हूँ, और common कौन से elements है, ये वाला जगा common है, और इस common जगा में कौन से तो हम किस की बात करते हैं? सेट्स के टर्म्स में हम basically A intersection B की बात कर रहे हैं, मतलब दोनों में common क्या है?

और common दोनों में क्या है? 4, 6, तो इसलिए event A and B को हम सेट्स के टर्म्स में ऐसे define करेंगे, और अगर die के टर्म्स में बात करें, तो हम ये कहना चाह रहे हैं कि जो number appearing on the die है, that is even and that is greater than 3. तो 4 और 6 जो है, ये 3 से greater भी है, और ये even भी है, अब बात करेंगे the event A, but not B, यानि कि इसके अंदर हम वैसे elements की बात कर रहे है��, जो event A का तो part है, लेकिन B का part नहीं है, तो mathematically इसे कैसे लिखेंगे हम, A minus B, तो अगर आप Venn Diagram वापिस से देखोगे, तो A minus B मतलब, जो A का part है, लेकिन B का part नहीं है, तो ये shaded region जो है, that is A minus B, यहाँ भी हम वही same example को repeat करेंगे, rolling a die, sample space 1, 2, 3, 4, 5, 6, हम दो events define कर रहे हैं, पहला event A, जो कहता है कि number appearing on the die is greater than 3, यानि कि A के अंदर कौन-कौन से elements है, 4, 5, 6, B एक दूसरा event define किया है, हमने पहले की तरह, जो कहता है कि number appearing on die is even, तो इसमें रहेगा 2, 4, 6, तो अगर इसे Venn diagram में बनाए, तो A में है 4, 5, 6, और B में है 2, 4, 6, ठीक है न, तो अगर मुझे define करना हो, the event A बी, यानि कि जो elements ए में है, लेकिन वो बी में नहीं है, हम वैसे elements की बात कर रहे हैं, तो अब Venn डायग्राम को देख कर बताओ, ऐसा कौन सा element है, जो ए में है, बट बी में नहीं है, 4 और 6 तो भी दोनों में common है, तो ए में बचा क्या, 5, 5 एक लोता ऐसा element है, जो ए में है, ले तो हम basically क्या define कर रहे हैं? हम define कर रहे हैं, हम define कर रहे हैं a minus b, जो कि यहाँ पर क्या है?

जो कि यहाँ पर है 5, तो इसका मतलब क्या हुआ अगर हम die के terms में बात करें, तो हम कहना चाह रहे हैं ऐसा एक number जो greater than 3 है, यानि कि a को belong कर रहा है, but वो even नहीं है, यानि कि वो b को belong नहीं जो 3 से बड़ा तो है, लेकिन वो even number नहीं है, तो देखो, चीज़ें, इकदम simple-simple सी चीज़ें, अगर आपको sets याद है, तो समझ लो, ये सब बिल्कुल आपको इकदम आसान लगेगा, mutually exclusive events, क्या मतलब है इसका, exclusive जो word है, ये आया है exclude से, मतलब A ने B को exclude कर दिया है, B ने A को exclude कर दिया है, आ और बी जो दोनों events हैं दोनों के बीच में कुछ भी common नहीं होगा, अगर आ event होगा तो बी नहीं, बी होगा तो आ नहीं, मतलब कुछ भी common नहीं होगा, तो चलो example के साथ देखते हैं, same example repeat करेंगे, rolling a die, sample space 1, 2, 3, 4, 5, 6, यहाँ पर हम दो event फिर से define करते हैं, पहला event ए, जो क दूसरा event कहता है कि number appearing on die is less than 3, तो यानि कि B के अंदर कौन से elements हो जाएंगे, 1, 2, ठीक है, तो ये जो दो events हैं, ये mutually exclusive event है, क्यों, exclusive, word जो है ये कहां से आया है exclude, include का opposite, यानि कि ना तो A में B included है और ना ही B में A included है, दोनो excluded है, दोनो बिल्कुल separate है, दोनो में कोई connection नहीं है, ठीक है ना, तो इस तरह के case में हम देखते हैं कि A और B के अगर तुम elements पे ध्यान दो, तो दोनों में कुछ भी common नहीं है, A के अंदर है 4, 5, 6, तो B के अंदर है 1, 2, कुछ भी common नहीं है, ठीक है, इस तरह की चीजों को हमने sets में भी पढ़ा था, और sets में हम इस तरह के sets को क्य तो ऐसे cases में इस तरह के events को हम कहते हैं mutually exclusive event, मतलब हम दो ऐसे events की बात कर रहे हैं, जिसके बीच में कुछ भी common नहीं है, ठीक है, तो ऐसे events के case में क्या होता है, A intersection B, अगर A और B दो events हैं, इन दोनों का intersection क्या हो जाता है, 0, exhaustive events, अगर हमारे पास कुछ events हैं, माल लो E1, E2, E3, E4 कुछ events हैं, उन्हें हम exhaustive events तब कहेंगे, जब experiment को हम जब कभी भी perform करें, उस random experiment को हम जब भी perform करेंगे, इन में से कोई ना कोई event जरूर occur होगा, लेकिन हर situation में at least कोई ना कोई event जरूर occur होगा, तो हम कहेंगे इन्हे exhaustive events, इस उसी example से समझेंगे rolling a die वाले example से, तो यहाँ पर हम 3 events define करते हैं, पहला event A, जो कहता है कि number appearing on the die is greater than 3, यानि कि A के अंदर क्या है, 4, 5, 6, दूसरा event B, जो कहता है कि number appearing on the die is less than 3, यानि कि B के अंदर क्या है, 1, 2, और तीसरा एक और event हमने define किया C, जो कहता है कि number appearing on the die is 3, तो इस case में, इसको हम sets के form में ऐसे लिख सकते हैं, है ना, तो exhaustive events के case में हम क्या देखते हैं, कि जब आप इन तीनों को साथ में कर लोगे, साथ में कैसे कर लेते हैं हम, sets की बात करूँ, तो sets की तरह सोचो, sets में जब हम सबके elements को include कर लेते हैं, तो उसे हम क्या कहते हैं, उसे हम कहते हैं union of sets, है ना, तो अगर मैं a union b union c की बात करूँ, तो कौन-कौन से elements आ जाएंगे, 1, 2, B का 1, 2 आजाएगा, C का 3 आजाएगा, और A का 4, 5, 6 आजाएगा, तो basically जो बना मेरा वो क्या है, वो मेरा और कुछ नहीं, बलकि sample space है, है न, तो मतलब इस तरह के events, जिन events को, अगर हम, उन सारे events को अगर साथ में ले लें, तो हमें अपना sample space वापिस मिल जाता है, यानि कि इस कि जब कभी भी आप die को roll करोगे, no matter what, तीनों में से कोई ना कोई एक event occur जरूर होगा, ठीक है, अब जैसे मैंने die को roll किया, कोई ना कोई number तो आएगा, 1 से लेकर कि 6 तक, कोई ना कोई number तो आएगा, अगर 1 आया, तो मैं क्या कहूँगी, event B has occurred, अगर 2 आया, तो मैं कहूँगी, event B has occurred, 3 आया, तो मैं कहूँगी, event C has occurred, अगर 4 आया, तो मैं क्या कहूँगी, event A has occurred तो मतलब कोई सावी number आए कोई ना कोई event occur होगा तो इस तरह के events को हम क्या कहते हैं exhaustive events तो बच्चा पाटी एक question try किया जाए बिल्कुल कर सकते हैं try तो question कहता है कि two dice are thrown the events A, B and C are as follows A getting an even number on first die B getting an odd number on the first die सबसे पहले हम क्या करेंगे, question को बिल्कुल line by line समझेंगे, पहला line क्या कह रहा है, कि two dice are thrown, तो मतलब मेरे पास एक dice one है, और दूसरा dice two है, तो जब इन दोनो dice को हम throw करेंगे, तो मेरी possibilities क्या होंगी, possibility है कि dice one में 1, 2, 3, 4, 5, 6 में से कुछ भी आ सकता है, डाइस टू में भी 1, 2, 3, 4, 5, 6 में से कुछ भी आ सकता है, ठीक है, बढ़िया है, अब देखते हैं, तो अब इस सिचुएशन में, कुछ चुछ बार आगे पढ़ने से पहले, इस सिचुएशन में मेरा सैंपल स्पेस क्या हो जाएगा, तो ये हो जाएगा मेरा सैंपल स्पे तो event A क्या कहता है? event A कह रहा है getting an even number on the first die यानि कि जो पहला die है उसमें even number आना चाहिए यानि कि पहला die में 2, 4 या 6 यही आ सकता है बट दूसरा die में कुछ भी आ सकता है तो यानि कि अगर मैं event A के elements को लिखना चाहूँ तो यह कुछ ऐसा होगा correct? अब इसी तरीके से हम event B को लिख सकते हैं चलो लिखते हैं Event B कहता है Getting an odd number on the first die.

यानि कि first die पे odd numbers आ सकते हैं. यानि कि 1, 3 या 5 ही आ सकता है. तो हम event B को कैसे लिख सकते हैं?

Event B हो जाएगा. ठीक है? अब बात करते हैं event C की.

Event C कहता है Getting the sum of the numbers on the dice less than equal to 5. यानि कि दोनों dice में जो भी number आएगा उनका sum जो है वो 5 से कम या 5 के बराबर होना चाहिए, मतलब 5 से ज्यादा नहीं होना चाहिए, तो C को हम कैसे define कर सकते हैं, अब C को define करने के लिए न, ये sample space पे ध्यान दो, easy रहेगा, 1 plus 1, 2, तो मतलब 1 plus 1 जो है, ये C का part हो सकता है, 1 plus 2, 3, ये भी 5 से कम है, 3 plus 1, 4, ये भी 5 से कम है, 4 plus 1, 5, 1 plus 5, 6, सकता है वन प्लस सिक्स सेवन भी इसका पार्ट नहीं हो सकता है उसी तरह नीचे वाले रो में देखेंगे तो टू प्लस वन टू प्लस टू प्लस थ्री यही तक इसका पार्ट हो सकता है उसके नीचे देखेंगे तो थ्री प्लस वन थ्री प्लस टू यही दो पार्ट हो सकते हैं और उसके नीचे सिर्फ फॉर प्लस वन इसका पार्ट हो सकता है तो इतने जो है यह सीएलिमेंट के पार्ट हो सकते हैं मतलब सीएवेंट के पार्ट हो सकते हैं तो अब देखो पहला पार्ट क्या कह रहा है कि हमें क्या निकालना है हमें निकालना है a dash यानि की event not a हम A dash कैसे निकालते हैं, A dash हम निकालते हैं कि पूरे sample space में से A को हटा दो, A के अलावा बाकी जो कुछ भी है पूरे sample space में, वो सब आ जाएगा A dash में, ठीक है न, तो आप देखो, पूरे sample space में से, अगर आप A को हटा दोगे, तो क्या बचेगा, ध्यान से देखो, इस पूरे sample space में से, क्या हट जाएगा, जैसे हम A को हटाएंगे, तो मेरा ये वाला row हट जाएगा, 4 वाला row हट जाएगा, 6 वाला row हट जाएगा, तो बचेगा क्या, 1, 3 और 5 वाला row, 1, 3 और 5 वाला row क्या है, b है, तो basically s minus a करेंगे, तो हमें b मिल जाएगा, तो a dash क्या हो जाएगा, b, तो इस पूरी की पूरी b की value लिख दो, वो ही हो गई a dash, ठीक है न, अब second वाला देखते ह अब S में से जैसे A को हटा दिया तो हमें B मिल गया, उसी तरह S में से जैसे या B को हटा दोगे, तो क्या हटेगा, ये 1, 3 और 5 वाली row हट जाएगी, तो बच जाएगी 2, 4 और 6 वाली row, यानि कि क्या बच जाएगा, A, तो S-B ये हो जाएगा A, ठीक है, उसके बाद, तीसरा question साथ ही साथ जो कुछ B में भी है, तो जब A और B का union कर देंगे, A और B दोनों के सारे elements को मिला लेंगे, तो हमें क्या मिल जाएगा, हमें मिल जाएगा sample space S, ठीक है, इसे यू ही लिख के मत छोड़ देना, S is equal to फिर लिख देना, जो भी sample space है, ठीक है न, चौथा वाला देखत तो A और B में अगर हम common elements ढूंढने निकलें, तो हम क्या देखते हैं, यहाँ पर कुछ भी common element नहीं है, तो zero common element है, तो इस set को हम क्या कह सकते हैं, null set, इसके अंदर कोई element नहीं आएगा, पाँचवा question, A but not C, यानि कि A में हो, but C में ना हो, तो इसे हम कैसे निकालते हैं, A minus C से, तो A में से C वाले elements को गायब कर दो, ठीक है, तो अगर हम ऐसे गायब करेंगे, तो इसमें से क्या-क्या गायब होगा, जैसे देखो, 1, 2, ये सब तो कहरे में है ही नहीं, जो A में है, लेकिन C में नहीं है, ठीक है, तो देख लो, A के जितने elements हैं, इसमें कौन-कौन से वो elements हैं, जो C में भी है, सिर्फ उनको गायब क तो कुल मिला के देखा जाए तो ये चार ही ऐसे element है जो C में है और A में भी है तो हमें वो नहीं चाहिए हमें क्या चाहिए A के वैसे elements जो C में ना हो तो ये क्या हो जाएगा इसके अंदर आ जाएगा 2,4,2,5,2,6 उसके बाद 4,2,4,3,4,4,5 4, 6, फिर 6, 1, 6, 2, 6, 3, 6, 4, 6, 5, 6, तो यह हो जाएगा A minus C, या फिर A but not C, ठीक है, उसके बाद देखो, बाद 6th नमबर पे पूछा गया है, B or C, यानि कि B union C, B में जितने हैं, और C में जितने हैं, सब साथ में रहेंगे, उसके बाद 7th नमर में बोल रहा है B and C यानि कि B intersection C की बात कर रहा है B और C में common elements कौन से हैं तो B और C के अगर compare करो तो common elements कौन से हैं एक तो 1 1, 1 2, 1 3, 1 4 ये कुछ common elements हैं इसके अलावा 3 1, 3 2 इतने ही common elements हैं यह total 6 ordered pairs ही रहेंगे, B intersection C में, finally, जो last वाला है, वो क्या कह रहा है निकालने के लिए, वो कह रहा है कि निकालो, A intersection B dash, intersection C dash, अब देखो, हमने starting में ही prove कि, बी डाश क्या है, A है, तो बी डाश की जग़ा, अगर हम A लिख दें, तो यह हो जाएगा, A intersection C dash, अब A और A में तो सारे elements common हैं, तो A intersection A, A ही हो जाएगा, तो बेसिकली यहाँ पर हमें निकालना होगा A intersection C dash, तो सबसे पहले हम C dash निकालेंगे, पूरे sample space में से C subtract कर दो, तो इसे जो है आप खुद से कर सकते हो, so do it yourself, ठीक है? तो समझ आ गया किस तरह से हम इन properties का, इन algebra, तो बच्चा पाटी हमने सारे terms सीख लिये हैं, जो भी हमें सीखने थे, तो अब हम पूरी तरह से तयार हैं समझने के लिए axiomatic approach to probability, तो फिर देर किस बात की? Let's get started. axiomatic approach ये कहता है कि अगर S हमारे पास एक sample space है, जिसके अंदर जो possible outcomes हैं, वो है omega 1, omega 2, omega 3, up to omega n, तो ये जो axioms हैं, ये सारे true होने चाहिए, यानि कि ये कुछ rules हैं, जो true होंगे इनके लिए, तो पहला rule क्या कहता है, पहला rule कहता है, कि probability of omega i, मतलब कि इन में से किसी भी outcome की जो probability है, that will lie between 0 and 1, मतलब ये 0 से कम नहीं हो सकती है, और ना ही one से ज्यादा हो सकती है, ठीक है, अब आप कहोगे कि मितला कुछ समाज नहीं आया, तो इसलिए हम क्या करेंगे, जैसे हम ये rules बताएंगे, हम साथ ही साथ examples भी लेते रहेंगे, ठीक है, तो यहाँ पर मैंने दो examples लिए, एक है rolling a die, और एक है tossing a coin twice, ठीक है, औ दो बार उसको toss कर रहे हैं, तो इनके possible outcomes क्या होंगे, head-head, head-tail, tail-head, और tail-tail, ठीक है, तो हमने sample space दोनों का लिख दिया, अब हम देखते हैं कि पहले वाले axiom की बात करते हैं, ठीक है, तो यहाँ पर हम क्या देखते हैं, probability of each of these outcomes क्या होगा, probability of getting 1 क्या होगा, probability of getting 2 क्या होगा, तो total possible outcomes है 6, उसमें 1 आने की possibility क्या है? 1, तो number of favorable by total outcomes, तो 1 by 6, इसकी भी possibility 1 by 6, इसकी भी 1 by 6, ठीक इसी तरीके से अगर हम probability निकाले 4, 5 या 6 आने की, तो इनकी भी जो values हैं, ये आएंगी 1 by 6, तो हम क्या देखते हैं, कि ये 1 by 6 जो है, ये 0 और 1 के बीच में lie करता है, correct?

तिक उसी तरीके से, तो यानि कि ये true है, पहला rule true है, उसी तरह से अगर हम tossing a coin twice की बात करें, तो यहाँ पर जो मेरा probability है, हर एक outcome का, वो कितना है, मतलब probability of getting head head, probability of getting head tail, इनकी values क्या है, probability of getting tail head, और probability of getting tail tail, ठीक है, निकाल के देखते हैं, अच्छा, यहाँ पर क्या हो रहे है एक ही coin है जिसको हम दो बार toss करें तो पहली बार जब toss करेंगे तो head आने की probability कितनी होगी 1 by 2 क्योंकि head की probability 1 by 2 tail की probability 1 by 2 लेकिन यहाँ पर हम दो बार toss करें तो जब अगली बार toss करेंगे तो फिर से head की probability क्या होगी 1 by 2 दोनों को multiply करेंगे क्योंकि coin को and दूसरी बार toss किया, तो दोनो event एक के बाद एक हो रहे हैं, इसलिए ये multiply होंगे, तो ये probability आजाएगी 1 by 4, तिक उसी तरीके से पहले toss में head आने की probability 1 by 2, second toss में tail आने की probability भी 1 by 2, तो ये भी हो जाएगा 1 by 4, तिक उसी तरीके से ये भी होगा 1 by 4, तो यहाँ भी हम देखते हैं कि 1 by 4 जो है वो 0 और 1 के बीच में lie करता है, चलो पहला axiom तो हो गया, देखते हैं दूसरा एक्जियोम, यह कहता है कि probability of omega 1 plus probability of omega 2 up to probability of omega n is equal to 1, करके देखते हैं, इस case में सबकी probability 1 by 6 है, और यहाँ पर कितने है, 1, 2, 3, 4, 5, 6, मतलब 1 by 6 को हम 6 बार add करेंगे, यानि कि इसको हम 6 से multiply कर देंगे, तो कितना आएगा, 1, सही है, बिल्कुल सही है, उसी एक-एक की probability 1 by 4 है, इनको 4 बार add करेंगे, यानि कि 4 से multiply कर देंगे, कितना आएगा, 1, तो हमने दूसरा वाला axiom भी proof कर दिया, अब तीसरे वाली की बारी है, वो कहता है कि for any event E, probability of E is equal to sum of probability of omega I, यानि कि इस case में, जो probability of the sample space है, वो क्या हो जाएगा, probability of 1 plus probability of getting 2 plus probability of getting 3, ऐसे करते plus probability of getting 6, अब इन सब की values क्या है, 1 by 6, तो जब इसे हम 6 बार add करेंगे, तो हमें क्या मिलेगा, हमें मिलेगा 1, right, तो इससे हमने दो चीज़े proof कि, एक तो हमने यह भी proof कर दिया कि probability of the sample space is equal to 1, ठीक उसी तरीके से इस वाले scenario में भी वही होगा, probability of sample space क्या हो जाए� tail plus probability of getting tail head plus probability of getting tail tail, तो ये सारे क्या हो जाएंगे, 1 by 4 को हम 4 बार add करेंगे, तो हमें क्या मिलेगा, हमें मिल जाएगा 1. यहाँ पर यह table दिया हुआ है और हमें बताना है कि क्या यह axiomatic approach को satisfy करेगा, यानि कि क्या यह axiomatic approach के जो यह rules हैं, इन्हें satisfy करेगा, पहले वाले को देखते हैं, इसमें हम क्या देखते हैं कि सभी p of omega 1, p of omega 2, मतलब हर एक की probability जो है वो 0 और 1 के बीच में लाई कर रही है, इन outcome की probability है that is 1, यानि कि पूरी probability है, तो this is a sure shot outcome, और उसी वज़े से जितने बाकी possible outcomes हैं, उनकी probability जीरो है, तो यानि कि इस वाले case में, this is a sure shot outcome, और बाकी सारे जो हैं, वो impossible outcomes हैं, but सब को sum करेंगे तो 1 आएगा, और इन सब की values 0 और 1 के बीच में ही हैं, ये satisfy करती है, तीसरे case को देखे तो ये satisfy नहीं करती है, क्यों? क्योंकि किसी भी outcome की probability जो है that cannot be negative, तो basically हम कह सकते हैं कि omega 5 और omega 6 can't be negative. अगले वाले को अगर हम देखे, तो यहाँ पे अगर हम ध्यान दे, तो हम देखे कि यह वाला जो term है, यानि कि probability of omega 6 जो है, that is greater than 1, जो की possible नहीं है, तो omega 6 जो है, can't be greater than 1, क्योंकि probability हमेशा 0 और 1 के बीच में lie करती है, तो ये भी satisfy नहीं करता है, finally अगर आखरी वाले को देखें, तो ऐसे तो individual terms को देखके लग रहा है, कि 0 to 1 के बीच में lie करता है, but एक चीज ये भी देखना है हमें, कि इनका sum जो है, that should be 1, तो अगर इनका sum देखें, तो 0.1 plus 0.2 plus 0.3, प्लस 0.4, यही तक मेरा 1 हो चुका है, उसके बाद भी 0.5 और 0.6 है, तो इनका सम कितना हो जा रहा है, इसका जो सम है, उमेगा N का जो सम है, that is not equal to 1, in fact it is more than 1, तो इसलिए ये भी जो है, satisfy नहीं करता है तो बच्चों इस वीडियो के शुरुवात में मैंने बताया था कि जो classical theory of probability है वो सरफ equally probable outcomes के लिए applicable होती है ठीक है तो अभी हम देखेंगे कुछ ऐसे examples लेंगे जहां पर not equally probable outcomes होंगे और वहाँ पर हम क्या axiomatic approach को लगा सकते हैं तो अब not equally probable outcomes कहां होगा एक तो हो सकता है rigged coin, rigged coin मतलब कोई ऐसा coin जो fair ना हो आपने कई बार देखा होगा probability के question में लिखा रहता है a fair coin, fair coin मतलब गोरा होता है coin, नहीं fair coin का मतलब है कि वो coin जो है वो बिल्कुल fair है वो किसी के तरफ biased नहीं है, ऐसा नहीं है कि वो head की तरफ biased है, ऐसा भी नहीं है कि वो tail की तरफ biased है, तो वो बिलकुल बराबरी से head या tail देता है, लेकिन अगर हम उस coin में कुछ घपला कर दे, तो क्या होने लगता है, कई बार वो head जादा देता है, कई बार वो tail जादा देता अंदर जो tail है उसके आने की probability head के आने की probability से double है यानि कि अगर उस coin में head एक बार आता है तो tail दो बार आता है तो यहाँ पर जो outcomes है वो equally probable नहीं है तो हम यह देखेंगे कि इस rigged coin के लिए क्या हमारे axiomatic approach के जो axioms हैं वो satisfy होंगे चलो देखते हैं तो सबसे पहले तो समझते हैं कि इस rigged coin के case में head और tail की probability कितनी है तो let us suppose कि हमने इस coin को toss किया अगर तीन बार अगर इसे तीन बार toss किया तो हमें क्या बताए कि head आने की probability अगर one है तो tail आने की probability कितनी है two है क्योंकि tail occurs twice as head occurs तो हम कह सकते हैं कि probability of getting head is equal to 1 by 3 मतलब तीन बार toss किया तो उसमें से एक बार head आता है and probability of getting a tail is 2 by 3 तीन बार toss किया तो दो बार tail आएगा अच्छा अब इस case में जो हमारा sample space होगा उसमें क्या लिखते हैं हम all possible outcomes possible outcomes क्या है यहाँ पे head or tail ही तो है यही possible outcomes है but यहाँ पर मज़दार बात यह है कि यह जो outcomes है they are not equally likely outcomes जो की हमें साफ दिख रहा ह क्योंकि head आने की probability है 1 by 3, tail आने की probability है 2 by 3, तो obvious बात है कि they are not equally likely outcomes, ठीक है? अब चलो देखते हैं इन axioms को, पहला वाला axiom देखेंगे हम, तो हम क्या देखते हैं?

probability of head है 1 by 3, जो कि 0 और 1 के बीच में lie करता है, probability of tail है 2 by 3, और वो भी जो है 0 और 1 के बीच में ही lie करता है, correct? तो इसलिए हमारा पहला axiom तो satisfy हो गया, दूसरे को देखते हैं, जो कि कहता है कि इन सब का sum जो है that should be equal to 1, तो यहाँ पर probability of head plus probability of tail क्या आएगा, 1 by 3 plus 2 by 3 which is equal to 3 by 3, यानि कि 1, तो यानि कि दूसरा भी हमारा satisfy हो गया, तीसरा देखते हैं, for any event E, probability of E is equal to sum of probability of omega i, तो यहाँ पर जो हमारा event है, that is basically this experiment, so probability of S क्या हो जाएगा, probability of head plus probability of tail, which is equal to 1, क्योंकि 1 by 3 plus 2 by 3 हो जाएगा 1, तो यानि कि इससे हमें क्या पता चलता है, कि ये जो rigged coin है, जिसमें tail occurs twice as head occurs, it satisfies the axiomatic approach. तो चलो अब हम ये देखते हैं कि ये axiomatic approach के axioms के help से फिर हम probabilities कैसे निकालते हैं events की, ठीक है, तो सबसे पहले बात करते है probability of event A और B, यानि कि अगर हमारे पास दो events हैं A और B, हम कह रहे हैं कि A भी हो और B भी हो, तो मतलब हम जो भी elements A में हैं, वो भी हमें चाहिए, जो B में तो इसका actually मतलब होता है probability of A union B ना की probability of A plus B इसका यह मतलब नहीं होता है अब आप पूछोगे तो इसका मतलब होता क्या है सेट्स के concept को याद करो probability of A union B जो है यह actually होता है probability of A plus probability of B minus probability of A intersection B ठीक है क्यों क्योंकि A union B का मतलब क्या होता है जो कुछ A में है जो कुछ B में है और जो कुछ दोनों में है, यह सब चलेगा हमें, ठीक है, तो अगर हम सीधा probability of A plus probability of B कर देंगे, तो यह जो common वाला जग़ा है, यह तो दो बार जुड़ जाएगा, है न, तो इसलिए हम क्या करते है, probability of A plus probability of B, उसमें से यह common वाला जग़ा को एक बार तो probability वाला scenario का कभी भी example लेने के लिए ना coin, dice यही सब चलता है best, तो हम अब example लेते हैं कि यार हमने एक coin को toss किया twice, अगर एक coin को twice toss किया तो मेरा sample space क्या हो जाएगा, hh, ht, th, tt, ठीक है, यह मेरा हो जाएगा क्या, sample space, अब मुझे जो है, दो events define करने हैं, ठीक है, तो चलो यही पर जो है ना, क्योंकि जग़र बहुत ज़ादा नहीं है, तो यहाँ पर हम दो events define करते हैं, एक event A और एक event B, ठीक है, तो मैं कहती हूँ कि event A को मैंने ऐसा define किया, कि मुझे at least one head चाहिए, कम से कम एक head होना चाहिए, तो event A में क्या आजाएगा, HH आजाएगा, क्योंकि इसमें दो head है, चलेगा, HT भी आएगा और TH भी आएगा, क्योंकि इनमें भी एक head है, बट TT नहीं आएगा, क्योंकि उसमें एक भी head नहीं है, और event B को मैंने ऐसा define किया कि at least एक tail होना चाहिए, तो यहाँ पर HH नहीं आएगा, लेकिन HT, TH और TT, यह सब ही आएंगे, ठीक है, तो यह मेरे दो event हो गए, ठीक है, अब अगर मैं पूछूं कि what will be the probability of A union B, इसकी probability क्या होगी, तो चलो निकाल के देखते हैं, कि इसे हम कैसे निकालेंगे, तो हमने यह चीज़ें पढ़ी थी, पहले भी, यार अगर A ये है, B अगर ये है, तो A union B क्या हो जाएगा, जो इसमें है, plus जो इसमें है, सब कुछ आ जाएगा इसमें, तो A union B basically हो जाएगा, HH, HT, TH, और TT, है न, ये पूरा हो जाएगा A union B, तो probability of A union B क्या हो जाएगा, अभी थोड़ी दिर पहले axiom में हमने पढ़ा था, कि कोई भी इसका पूरे event का जो probability है, that is equal to some of the probabilities of the outcomes, यानि कि probability of HH plus probability of HT plus probability of TH plus probability of TT, तो ये हमने axiom से लिया है, ये वाला concept, अब probability of HH क्या हो जाएगा, पहला head आने का, हम दो बार toss करें, तो पहला head आने का possibility क्या है, 1 by 2, फिर से एक बार toss करेंगे, तो फिर से head आने की possibility 1 by 2, तो basically 1 by 4 हो जाएगा, उसी तरह HT की probability भी 1 by 4 है, TH की probability भी 1 by 4 है, और TT की probability भी 1 by 4 है, तो ये probability of A union B कितना आ जाएगा, 1. ठीक है अब देखो अगर मुझे probability of event A निकालना हो तो क्या हो जाएगा यह है मेरा event A तो यहाँ पर भी probability of event A क्या हो जाएगा probability of getting HH plus probability of getting HT plus probability of getting TH है ना तो HH का क्या हो जाएगा 1 by 4 plus 1 by 4 यानि कि यह आ जाएगा 3 by 4 इसी तरीके से अगर आप probability of event B निकालोगे, तो ये भी कितना आजाएगा, probability of HT plus probability of TH plus probability of TT, तो ये भी कितना आजाएगा, 1 by 4 plus 1 by 4, यानि कि 3 by 4, अब आप खुदी देख लो, probability of A plus probability of B अगर आप करोगे, तो क्या आएगा, 3 by 4 plus 3 by 4, यानि कि 3 by 2, तो क्या वो probability of A union B के बराबर है, नहीं है, है ना, तो इसलिए अब आपको क्या निकालना होगा probability of A intersection B, तो उससे पहले देखना पड़ेगा भी A intersection B होगा क्या, तो यहाँ पर लिख लेते हैं, A intersection B जो set होगा, इसमें दोनों के common elements होगे, तो दोनों में common क्या है, HT और TH, है न, तो probability of A intersection B हो जाएगा, probability of getting HT plus probability of getting TH, तो यह हो जाए तो अब आप देखो जब आप probability of A plus probability of B करोगे तो क्या आएगा 3 by 2 उसमें से जब आप minus कर दोगे 1 by 2 that is probability of A intersection B तो आपको क्या मिलेगा 1 तो यानि कि probability of A union B is equal to probability of A plus probability of B minus probability of A intersection B ठीक है तो ये example से थोड़ा और clarify हो गया कि किस तरह से axiomatic approach से ये आया है, ठीक है, अब बात करते हैं दूसरे event की, अगर कभी हम यह ऐसा निकालना हो कि probability of A and B, मतलब event A और event B के common चीज़े होनी चाहिए, तो इसका मतलब हम बात कर रहे हैं इस common area की सरव, तो हम बात कर रहे हैं probability of A intersection B की तीसरा चीज़ जो है, वो होता है probability of not A, या फिर A dash, मतलब ये A का जो event है न, मतलब A वाला circle को छोड़ के बाकी सब कुछ, तो A वाले circle को छोड़ के, ये dot same है, बाकी सब कुछ को include कर लूँगी, not A में, तो not A कैसे निकालते हैं, 1 minus probability of A, 1 क्यों, क्योंकि पूरे sample space की probability होती probability of not A, ठीक है, जैसे कि यहाँ पर, probability of A कितनी निकली थी, 3 by 4 निकली थी, तो इसी case में अगर probability of not A निकालना चाहो, तो सबसे पहले तो देखो not A क्या होगा, जो A में, जो A के अंदर है, उनको छोड़के, बाकी elements, तो देखो sample space तो यह है, अब sample space का यह, A में है टी रहेगा, तो probability of टी, a dash क्या हो जाएगा, probability of टी टी, यानि कि 1 by 4, ठीक है, तो ये 1 by 4 कहां से आया, अगर आप देखो, तो 1 minus probability of a, ये क्या है, 1 minus probability of a कितना निकला था, 3 by 4, इसकी value भी 1 by 4 है, है न, तो इसका मतलब है, probability of a dash को हम कैसे निकाल सकते हैं, 1 minus probability of a, आप एक interesting but बहुत आसान सा question देखते हैं, a letter is chosen at random from the word assassination, find the probability that the letter is a vowel, that the letter is a consonant, इस तरह के questions आपने permutation combination वाले chapter में भी किये थे, है न, but यहाँ पर चीजों को कुछ भी complicate करने की ज़रूरत है ही नहीं, ठीक है, तो यहाँ चुपचाप आप यह देखो कि यह मेरा word है, ठीक है न, तो sample space में अगर कोई भी letter मैं choose कर सकती हूँ तो इन में से कोई सा भी letter आ सकता है, है ना, कोई सा भी letter आ सकता है, तो चुपचाब ये देखो कि यहाँ पे total number of letters कितने है, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, तीके, तो मतलब इन 13 में से कोई सा भी आ सकता है मेरा, है ना, तो मतलब म अब देखो इसमें वाविल्स कितने हैं, ये एक वाविल है, ये भी एक वाविल है, ये भी है, तो एक, दो, तीन, चार, पाँच 6, total इसमें कितने vowels हैं?

total इसमें 6 vowels हैं, और बाकी जो है 7, वो क्या है? consonants, ठीक है? तो हम कह सकते हैं कि probability of getting a vowel जो है, वो क्या हो जाएगा? 6 by 13, and probability of getting a consonant जो है, वो हो जाएगा 7 by 13, यह जो word दिया गया था, यहाँ इस बात से कुछ फर्क नहीं पड़ता है कि A कितनी बार है, S कितनी बार है, right, क्योंकि हम उन letters को arrange नहीं कर रहे हैं, जैसे permutation में हम कहते हैं ना कि इसे कितने तरीके से arrange कर सकते हैं, तो उस case में कहा है कि A के बाद A आ गया, तो वो अलग तरह का combination बन गया, मतलब A के बा वो vowel होगा या consonant होगा, इतना ही बताना है, तो इसमें जितने vowels हैं, वो सारे मेरे favorable condition हो जाएंगे, जब vowel निकाल रहे हैं तो, और जितने total number of letters हैं, वो मेरे total possible outcomes हैं, तो इस तरह से हम इसे solve कर सकते हैं, एक और आखरी question देखते हैं अब इस topic का, In class 11th of a school, 40% of the students study mathematics, 30% study biology, 10% study both.

इस तरह के question को वो sets के style से सोचो, तो अगर set के style से सोचोगे, तो उस class के अंदर कुछ बच्चे हैं, जो सिर्फ maths पढ़ रहे हैं, कुछ सिर्फ bio पढ़ रहे हैं, और कुछ जो हैं वो दोनों पढ़ रहे हैं, तो मान लो ये maths वाले हैं, ये bio वाले हैं, और ये दोनों वाले है तो question में हम सब कुछ percentage में दिया हुआ है, तो let us suppose हम मान लेते हैं कि जो मेरा sample space है उसके अंदर hundred elements हैं, क्यों हम ये मान रहे हैं कि class 11th में total hundred students हैं, अगर total hundred students हैं इसका मतलब है number of students studying mathematics कितना हो जाएगा 40, number of students studying biology कितना हो जाएगा 30, or number of students studying both mathematics and biology यानि कि M intersection B यह हो जाएगा 10 यह मुझे दिया हुआ है, but मुझे निकालना क्या है, मुझे निकालना तो है probability ठीक है, तो अब यहां से हम निकाल सकते हैं कि यार probability of student, मतलब किसी को भी अगर मैं select करूँ तो probability of a student studying mathematics क्या हो जाएगा जितने बच्चे mathematics पढ़ रहे हैं out of total जितने बच्चे हैं उसी तरह से probability of a student studying biology क्या हो जाएगा, जितने बच्चे bio पढ़ रहे हैं, divided by total number of बच्चे, है न, उसी तरीके से probability of जो दोनों पढ़ रहे हैं, यानि कि M intersection B, ये क्या हो जाएगा, जितने बच्चे दोनों पढ़ रहे हैं, divided by total बच्चे, ठीक है, अब हमें निकालना क्या है, हम Find the probability that he will be studying mathematics or biology, यानि कि या तो वो maths पड़े या bio पड़े या दोनों पड़े कोई दिक्कत नहीं है, तो मतलब mathematics और biology का मतलब है, हम बात कर रहे हैं M intersection B की, कि या तो वो maths या bio कुछ ना कुछ तो पढ़ रहा हो भाई, ठीक है न, तो हम ये निकालना क्या है, probability of M union B, अब हमें क्या पता है probability of M union B क्या होता है probability of M plus probability of B minus probability of M intersection B तो ये सारी values तो हमने निकाली ली है ये हो जाएगा 40 by 10 plus 30 by 100 minus 10 by 100 तो ये हो जाएगा 60 by 100 तो ये हो जाएगा 3 by 5 तो बच्चों probability के concept तो इतने ही थे अभी आपके level पर, but probability से related जो है ना questions तरह के बन सकते हैं। कई बार probability के questions ऐसे भी frame किये जा सकते हैं, जिसमें आपको permutation combination के भी concepts लगाने पड़ें, है न, तो इसलिए probability के questions करने से पहले, एक बार अपने permutation combination के concept को भी refresh कर लेना, उसकी भी वीडियो की link आपको उपर दिख रही होगी, फिलहाल हमारी probability की कहानी यहाँ पर पूरी तरह से खतम नहीं होती है, लेकिन concept wise खतम हो जाती है, जाएंगे क्वेश्चन सॉल्व तो फिलहाल के लिए आपको क्या करना है फिलहाल के लिए आपको इस पूरे वीडियो को देखने के बाद अपने टेक्स्ट बुक के क्वेश्चन सॉल्व करने शुरू करने हैं कहीं अटक गए तो आप हमेशा हमसे के साथ भी शेयर करना मैं आपको जल्दी मिलूंगी एक नए वीडियो ��े साथ एक नए टॉपिक के साथ तब तक के लिए stay home, stay safe, take care, bye bye

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