馃搻

Zagadnienia z planimetrii i podobie艅stwa

May 12, 2025

Notatki z lekcji - Planimetria

Tematy om贸wione:

  • Tr贸jk膮ty podobne
  • Twierdzenie Talesa
  • Twierdzenie o dwusiecznej k膮ta
  • Wielok膮ty foremne

Zadania i rozwi膮zania:

Zadanie 1: Przek膮tne wielok膮ta

  • Problem: Ile przek膮tnych ma wielok膮t wypuk艂y, je艣li suma miar jego k膮t贸w wynosi 1440 stopni?
  • Rozwi膮zanie:
    • Suma k膮t贸w w n-k膮cie wypuk艂ym: ((n-2) \times 180^\circ)
    • ((n-2)\times 180 = 1440)
    • Rozwi膮zuj膮c r贸wnanie, otrzymujemy (n = 10)
    • Wz贸r na przek膮tne: (\frac{n(n-3)}{2})
    • Dla n=10, liczba przek膮tnych wynosi 35.

Zadanie 2: Tr贸jk膮ty podobne

  • Dane: Tr贸jk膮t ABC, punkt D dzieli bok AB, tr贸jk膮t ACD jest podobny do tr贸jk膮ta ABC.
  • Rozwi膮zanie:
    • Wykorzystujemy skal臋 podobie艅stwa: (\frac{bok , w , ACD}{bok , w , ABC})
    • (\text{Skala} = \frac{16}{18} = \frac{8}{9})
    • Skala podobie艅stwa wynosi (\frac{8}{9}).

Zadanie 3: Twierdzenie odwrotne do Talesa

  • Problem: Sprawd藕, czy proste zaznaczone czerwonym kolorem s膮 r贸wnoleg艂e.
  • Rozwi膮zanie:
    • Je艣li (\frac{22}{15} = \frac{28}{21}), to proste s膮 r贸wnoleg艂e.
    • Obie proporcje sprowadzaj膮 si臋 do (\frac{4}{3}), wi臋c proste s膮 r贸wnoleg艂e.

Zadanie 4: Wysoko艣膰 w r贸wnoleg艂oboku

  • Dane: R贸wnoleg艂obok ABCD, AB = 2BC, S to 艣rodek AB.
  • Rozwi膮zanie:
    • Obliczamy miar臋 k膮ta DSC, kt贸ry wynosi 90 stopni.

Zadanie 5: Przek膮tne trapezu

  • Problem: Oblicz d艂ugo艣ci przek膮tnych trapezu ABCD.
  • Rozwi膮zanie:
    • Przek膮tne: x i y.
    • D艂ugo艣ci przek膮tnych obliczone za pomoc膮 twierdzenia Pitagorasa wynosz膮 odpowiednio 10 i (2\sqrt{241}).

Zadanie 6: Trapezy i podobie艅stwo

  • Problem: Wyka偶, 偶e trapezy ABCD i AEFG nie s膮 podobne.
  • Rozwi膮zanie:
    • R贸偶ne stosunki d艂ugo艣ci podstaw dowodz膮 braku podobie艅stwa.

Zadanie 7: Dwusieczna w trapezie

  • Problem: Kt贸ry z bok贸w trapezu ma punkt wsp贸lny z dwusieczn膮?
  • Rozwi膮zanie:
    • Obliczenia wykazuj膮, 偶e punkt D le偶y na boku CD, nie na BC.

Podsumowanie

  • Om贸wione tematy planimetrii obejmowa艂y r贸偶ne w艂asno艣ci i twierdzenia dotycz膮ce wielok膮t贸w, szczeg贸lnie tr贸jk膮t贸w i trapez贸w. Kluczowe by艂y zastosowania twierdzenia Talesa oraz o dwusiecznej k膮ta.

Full transcript