पहले क्रम के अवकल समीकरण (Linear Differential Equations)

विषय परिचय

• आज का विषय: पहले क्रम का रैखिक अवकल समीकरण और पहले डिग्री का (Linear Differential Equation of First Order and First Degree)
• आज हम पहले समस्या का समाधान करेंगे।
• पिछले सभी विषयों का अध्ययन करने के लिए वीडियो के विवरण में लिंक उपलब्ध है।

रैखिक अवकल समीकरण का मानक रूप

• मानक रूप:
  [ \frac{dy}{dx} + py = q ]
• यहाँ, p और q x के कार्य हैं।

समस्या का समाधान करने की तकनीक

1. समीकरण को मानक रूप में बदलना।
2. फिर, दो चीजें खोजनी हैं:
   • IF (Integrating Factor)
   • सामान्य समाधान (General Solution)

IF (Integrating Factor) की गणना

• IF का सूत्र:
  [ IF = e^{\int p , dx} ]
• यहाँ p = 2 tan x है।
• IF की गणना:
  [ IF = e^{\int 2 tan x , dx} ]

समस्या का समाधान करना

• सामान्य समाधान का सूत्र:
  [ y(IF) = \int q(IF) , dx + C ]

1. यहाँ q = sin x और IF = sec²x है।
2. समीकरण:
   [ y(IF) = \int (sin x)(sec^2 x) , dx + C ]
3. यह tan x और sec x के रूप में लिखा जा सकता है।

अंतिम समाधान

• यहाँ अंतिम समाधान है:
  [ y = sec^2 x (tan x + C) ]

निष्कर्ष

• पहले क्रम के रैखिक अवकल समीकरण का पहला समस्या सफलतापूर्वक हल किया गया।
• आने वाले वीडियो में इस विषय पर और समस्याएँ हल की जाएँगी।
• पहले के सभी विषयों के अध्ययन के लिए वीडियो लिंक का उपयोग करें।
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