अजय को और आज हम first order differential equation unit में से first topic start करेंगे जो कि है linear differential equation of first order and first degree और आज हम इसका first problem cover करेंगे वैसे इसके पहले अलड़ी हमने mathematics के number of other topic study किये थे तो इसके पहले के सभी topic study करने के लिए आज के वीडियो के description में जाएगे वहाँ पे आपको इसके पहले के सभी topics के playlist का link मिल जाएगा वो तो चलिए आज का लिक्षण स्टार्ट करते हैं आज हमें टॉपिक लिनियर डिफरेंशियल एक्वेशन और फर्स्ट ओडर और फर्स्ट डिग्री के उपर फर्स्ट प्रॉडेम सॉल करना है तो देखिए जो प्रॉडेम हमें सॉल करना है वो आपके सामने है ये प्रॉडेम हमें सॉल करना है और ये एक लिनियर डिफरेंशियल एक्वेशन है अब सबसे पहले तो ये problem solve कने की technique क्या रहेंगी और इसका standard form क्या है वो देखिए आपको यहाँ पे कुछ यहाँ पे देखे ये हमने इसका pattern लिखे रखा है आपको यही pattern के हिसाब से इसको solve करना है बहुत ही आसान है सबसे पहले तो linear differential equation of first order and first degree का standard form दिखे क्या है आपके सामने standard form यह है dy by dx plus py equals to q यह एक linear differential equation का एक standard form है और यह standard form में हमें इसको convert करना है अगर यह equation हम यह standard form में convert कर लेते हैं तो अब हम इसका solution find out करेंगे, solution find out करते समय आपको दो चीज़े find out करना है, सबसे पहले आपको find out करना है IF, IF माने integrating factor और second चीज़ आपको general solution find out करना है, तो देखें कैसे find out करेंगे, उसकी भी हमने यहाँ steps लिखे रखे है, सबसे पहले आपको integrating factor find out करना है, तो integrating factor जो है उसको IF स और then after आपको solution find out करेंगा, और solution find out करने के लिए आप यही integrating factor का use करेंगे, तो solution find out करने के लिए देखो, solution is given by y of if equals to integral q of ix dx plus c, यह solution find out करने के लिए आपका standard form रहेंगा, तो चलो सबसे पहले हम यह equation को linear differential equation के standard form में convert करेंगे, सबसे पहले यहाँ पे p और q जो आपको दिख रहा है वो क्या है, पी एंड क्यू आर फंक्शन ऑफ एक्स तो जाहिर सी बात है अगर वह फंक्शन ऑफ एक्स है तो चलो यहां पर हमें यहां पी और क्यों क्या है वह हमें सेट करना पड़ेगा तो उसके लिए हम इसको अगर यह फॉर्मिट करना है तो थोड़ा सा टी एक्स प्लस हम इसको थोड़ा सा चेंज करेंगे यहां पर हम टू टैन एक्स इन टू वाइ ऐसा लिखेंगे अ equals to sin x, हमने इसको ऐसा लिखे, ऐसा हमने क्यों लिखे, क्योंकि यह इसके standard form में आना चाहिए, इसलिए, देखे standard form में dy by dx यहां भी है, यहां भी देखे dy by dx, इसका मतलब first term हमें मिल गया, second में यहां आना चाहिए p into y, p into y आना चाहिए, तो देखे यहां पे p into y के form में आ गया क्योंकि P और Q क्या है, तो हमने जैसा बताये थे, P and Q are the function of X, जो P और Q जो है, वो X के form में होना चाहिए, तो देखें, यहाँ पर P और Q जो है, वो X के form में हो गया, यह जो है, यह 2 tan x, यह actually P हो गया, और यह sin x, यह आपका Q हो गया, इसका मतलब हम इसको, इसके standard form के साथ compare कर this linear differential equation with its standard form standard form के साथ हमें इसको compare करना है ऐसा हमने statement लिखना है तो standard form क्या है dy by dx plus p into y equals to यहाँ पे q तो यह जो हमने standard form है यही हमने यहाँ लिखा है तो यह पूरी equation को यह linear differential equation को हम यह इसके standard form के साथ compare कर रहे हैं, तो standard form के साथ compare करने के बाद, P का हमें क्या मिल रहे है, देखो, P के जगह यहाँ पे 2 tan x है, तो P हमें मिल गया, 2 of tan x, तो हमें P यहाँ पे मिल गया, that is P in the form of x, और Q, Q भी हमें मिल गया, यहाँ पे है sin x, तो जैसा हमने कहा था, कि P and Q are the function of x, in the form of x, अब इसका solution find out कर सकते हैं, solution find out करने के लिए, जैसा हमने कहा था, सबसे पहले आपको integrating factor find out करना है, then after उसका solution find out करना है, तो integrating factor को if से show करेंगे, और integrating factor find out करने के लिए आपको p का use करना है, तो देखिए, integrating factor if का यहाँ पर क्या formula है, integrating factor if equals to e to the power, that is integral p dx, तो वही हम यहाँ पर करेंगे, तो हम यहाँ लिखेंगे, now the integrating factor, now integrating factor, य क्योंकि आपको step 5 चलना है, if जो है वो हमें find out करना है, तो हम यहां लिखेंगे, if equals to जो formula है उसी का use करना है, that is e to the power integral यहां पे लिखा है pdx, तो हम पहले तो step 5 लिखेंगे pdx, और अब यहां पे p का value लिखेंगे, e to the power integral p का value है, that is 210x, तो हम यहां लिखेंगे, लिखेंगे 2 tan x into dx, इसका मतलब यहाँ पे integration with respect to x है, अब हम इसको थोड़ा सा step by solve करेंगे, 2 जो है वो हम बाहर ले लेंगे, तो हम इसको ऐसा लिखेंगे, e to the power 2 into integration of tan x into dx, और अब आपको integration of tan x का formula पता होना चाहिए, integration of tan x का standard formula होता है, log of sec x, तो चलो हम यहाँ पे वही इसके सेक एक्स, तो यहाँ पे जो हमने फार्मूला लगाया है, वो हम यहाँ पे लिख देता है, that is the integration of tan x dx equals to, that is the log of सेक एक्स, यह एक standard फार्मूला है, हमने यही standard फार्मूले का use किये है, और यहाँ पे integration of 10x किये है, formula जो कुछ भी हम पढ़ाते समय जब कभी भी कोई formula हम लिखके देते है, वो formula आप अपने notepad में जरूर लिखके रखा करो, ताकि सभी formulas आपके पास आ जाए, और एक formulas की list create हो जाए, तो finally हमने यह formula का use करके यहाँ पे integration तो ले लिये, E log of sec x यहाँ पे E log of sec x का यहाँ पे whole square हो गया और यहाँ पे E और log यह cancel हो जाएगा तो यह बचेगा sec x का that is a whole square यह हम sec x का whole square ऐसा लिख सकते हैं लेकिन sec x का whole square लिखने के बज़े अब हम इसको sec square x ऐसा लिखेंगे तो भी चलेंगा तो finally हमें IF that is integrating factor हमें यहाँ मिल गया that is sec square x sec x का whole square यहाँ नहीं ही sec square x यह होता है तो देखे हमने यहाँ पर 2 को हमने यहाँ पावर में लेके गए क्योंकि यहाँ पर भी हमने एक फर्मूला लगाया है, फर्मूला क्या लगाया है, देखो हमने यहाँ पर वो भी लिख देते हैं, तो यह फर्मूला कुछ ऐसा होता है, log of a to the power b, that is b log a होता है, तो यह फर्म� तो वही जो बाहर का power है यह जो सामने इसकी coefficient जो 2 है वो हम power में लेके गए तो जाहिर सी बात है यहाँ पर हमने यह formula apply करके यह हमने IF that is integrating factor find out कर लिए, it means हमने ये step solve कर लिए, अब हमें इसका solution find out करना है, that is complete solution, तो complete solution find out करने के लिए, ये देखे, ये आपके पास equation है, y of i f equals to integral q of i f, that is dx plus c, ये equation का use करके, हम complete solution find out कर सकते हैं, तो चलो हम यहाँ पे solution find out करेंगे, that is the solution will be as the solution, the solution is as below तो हमें solution find out करना है by using that integrating factor तो y of if जो हमने formula लिखा है बस उसी का use करेंगे equals to integration that is q of if Q of IF, that is DX plus C, तो जो हमने आपको फार्मूला वो लिखे दिया है, बस यही फार्मूले का यूज़ कर रहे है, यह देखें, यही फार्मूला हमने यहां लिखा है, बस यहाँ पे IF का value यहाँ पे put करो, Q का value यहाँ पे put करो, और इसको integrate करो, और देखते हैं ऐसे में Y का value क्या आ Q माने क्या है, तो देखें Q का value sin x है, तो यहाँ पे हम लिखेंगे sin x, then IF माने क्या, तो IF माने यही 6 square x, तो यह हम लिखेंगे 6 square x, dx plus C, C जो है वो यहाँ पे as a constant रहेंगा, तो C को हम यहाँ पे use करेंगे, because C जो है वो integrating constant है, फिलाल हम इसको as it is रखे है, आगे बढ़ेंगे, इसको solve करना है जब तक हमें y नहीं मिलता तो इसको solve करने के लिए देखें सबसे पहले तो यहाँ पर sex के और x है sex के और x के जगह 1 by cos k और x लिख सकते हैं यहाँ पर y of sex के और x यह as it is रहने दो और यहाँ पर sin x into यहाँ जो sex के और x है उसको 1 by cos k और x लिख सकते हैं यहाँ कॉस के और एक्स ऐसा हम लिख देंगे इंटू डी एक्स प्लस सी ठीक है हमने इसको ऐसा लिखे अब ऐसा लिखने का फाइदा क्या हुआ फाइदा यह हुआ कि यह जो कॉस के और एक्स है उसमें से एक कॉस यहाँ पे दे देंगे और एक कॉस अलग रखेंगे इट मिस य sex square x equals to integration of, देखिए, sin x by cos x into 1 by cos x into dx plus c, देखिए हमने क्या किये, यह जो cos square x है, cos square x में से एक cos x यहां लिख दिये, और एक cos x जो है, वो हमने यहां लिखे, ऐसा करने से क्या हुआ, ऐसा करने से यहां देखिए, sin x by cos x यह हो जाएगा tan x, और यहां 1 by cos x हो जाएगा sec x, और बाद में हम इसको integrate करेंगे, तो integration के formula में यह आ जाएगा, तो अब हम यहां लिखेंगे y of that is 6 square x, यह left side में जो है वो तो as it is रहेंगा, उसको हमें change नहीं करना है, बस right side में यहां integration of, अब हम यहां लिखेंगे integration of, यह sin x by cos x होता है tan x, यह एक standard formula है, that is tan x equals to sin x by cos x होता है, इसलिए हमने यहां लिखे, और 1 by cos x के जगा, that is sec x रहने देंगे, 1 by cos x के जगा हमने sec x लिखे, then dx plus c, तो हम लिखेंगे dx plus c, और अब यहां पे सीधा सीधा formula बनता है, यहां पे दिखें, सबसे में बात आपको sin x by cos x, that is sin x by cos x tan x, tan x equals to sin x by cos x यह बहुत ही आसान सरल सा trigonometry का formula है तो यह formula का हमने use किये है वहाँ पे और formulas अगर कुछ आते है तो आपको लिखते चलना है तो आगे बढ़ेंगे तो आगे यहाँ पे देखे हमने यहाँ पे इसके जगा tan x लिखे और 1 by cos x के जगा हमने यहाँ पे sec x लिखे और अब यहाँ पे इसका integration करना है और integration करने के पहले y of यहाँ पे हो गया sec square x यह तो as it is है इसको हम change नहीं कर रहे है लिखिए है integration of tan x into sec x ये भी एक standard formula है और integration of tan x into sec x directly sec x होता है तो यहाँ पे हम लिखेंगे sec x plus c ये देखिए ये भी एक standard formula है वो भी हम formula यहाँ पे लिख देते है that is a integration of tan x integration of tan x into एक minute just a minute integration of that is a tan x into तो यह एक स्टैंडर्ड फार्मूला है तो यहां पर यह फार्मूला फिट बाइटता है तो यहां पर आ गया लेकिन हम यहां पर जो सेक्स क्योर एक्स है उसको इधर डिवाइड करो तो यहां वाइट पोस्ट हम सेक्स क्योर एक्स डिवाइड करेंगे तो यह हो जाएगा वन बाइसेक एक्स प्लस सी बाइट तो फाइनली आप इसको और सॉल करने सकते हैं तो यह हो गया हमारा Y का सॉलूशन तो यही है वो सॉलूशन तो यही है वो सॉलूशन जो हमें चाहिए था तो फाइनली यह प्रॉब्लम हमने कंप्लीट कर लिये क्वेश्चन में जो प्रॉब्लम सॉल करने के लिए कहा था y equals to ये y का equation in the form of x, यही हमारा last solution है, कोई भी linear differential equation का problem solve करते समय, आपको जो steps का use करना होता है, वो steps यह है, यही steps से आप हर एक problem solve कर सकते हैं, सबसे पहले कोई भी equation को उसके standard form के साथ compare करना है, standard form के साथ compare करने के बाद आपको p और q मिलता है, p का use करके आप integrating factor find out करेंगे, और I F that is integrating factor और Q का use करके आप solution find out करेंगे, तो देखें हमने solution find out कर लिये, तो उम्मीद करते हैं कि problem आपको समझ में आया होगा, ये था linear differential equation of first order and first degree का first problem, इसके आने वाले videos में हम इसके और भी कई number of problem solve करने वाले हैं, ताकि इसकी अच्छी काई practice हो जाए, इसके पहले अल्रेटी हमने mathematics के और भी कई number of topic study किये थे, तो इसके पहले के सब ही topic study करने के लिए आज के video के description में जाएए, वहाँ पे आपको इसके पहले के सबी टॉपिक्स के प्लेलिस्ट का लिंक मिल जाएगा, वो लिंक पे क्लिक करके आप आसानी से इसके पहले के सबी वीडियो देख सकते हैं, आपको अगर आज का वीडियो पसंद आया है तो आप इसे लाइक करिए, अपने फ्रेंड्स जिनक