Catatan Kuliah: Himpunan dan Fungsi

Pendahuluan

• Materi himpunan dan fungsi sebagai pengantar untuk mata kuliah struktur aljabar.
• Penting dalam analisis real.

Himpunan

Definisi

• Himpunan (Set) adalah kumpulan objek.
• Dinotasikan dengan huruf kapital; anggota himpunan ditulis dengan huruf kecil.

Notasi

• X anggota A: Ditulis sebagai X ∈ A.
• Y bukan anggota A: Ditulis sebagai Y ∉ A.

Contoh Himpunan

• Himpunan A: {1, 2, 3}
• Himpunan B: {A, B}
• Anggota A: 1, 2, 3, A, B
• Himpunan semesta (S): mencakup semua yang dibicarakan.
• Komplement (Aᶜ): semua anggota semesta yang bukan anggota A.
• Himpunan kosong: tidak memiliki anggota, dinyatakan dengan {}.

Menyatakan Himpunan

• Notasi jika P adalah pernyataan:
  • A = {X | P(X)}

Notasi Himpunan Bilangan

• Bilangan asli (N), bilangan bulat (Z), bilangan rasional (A/B), bilangan real, bilangan kompleks (A + Bi).
• Himpunan bilangan cacah: ω.

Himpunan Bagian (Subset)

• A ⊆ B jika semua anggota A juga anggota B.
• Himpunan bagian sejati (Proper subset): A ⊂ B jika ada anggota B yang bukan anggota A.

Kesamaan Himpunan

• A = B jika setiap anggota A adalah anggota B dan sebaliknya.

Operasi pada Himpunan

• Gabungan (A ∪ B): anggota A atau B.
• Irisan (A ∩ B): anggota A dan B.
• Komplement (A - B): semua anggota A yang bukan anggota B.

Sifat-sifat Himpunan

• A ∪ ∅ = A
• A ∪ A = A
• A ∪ B = B ∪ A (komutatif)
• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (asosiatif)
• Hukum De Morgan:
  • (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ
  • (A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ

Fungsi

Definisi

• Fungsi F dari A ke B adalah relasi yang mengaitkan setiap anggota A dengan anggota B secara tunggal.
• Notasi: F: A → B, di mana F(x1) = F(x2) jika x1 = x2.

Unsur-unsur Fungsi

• Domain: A (daerah asal)
• Kodomain: B (daerah kawan)
• Daerah hasil (range): F(A)

Contoh Fungsi

• F(x) = 3x - 5 (dari himpunan real ke real)
• Fungsi matrik dari matrik persegi ke bilangan real (determinasi matrik).

Fungsi Injektif dan Surjektif

• Injektif (satu-satu): Jika A ≠ B maka F(A) ≠ F(B).
• Surjektif (onto): Untuk setiap B ∈ B, terdapat A ∈ A sehingga B = F(A).

Fungsi Bijektif

• Fungsi yang injektif dan surjektif, contohnya F(x) = 5x + 1.

Fungsi Komposit

• Jika F: A → B dan G: B → C, maka kompositnya G ∘ F: A → C.

Teorema Inverse

• Fungsi F dari A ke B adalah bijeksi jika dan hanya jika ada fungsi G dari B ke A sehingga G ∘ F = identitas.
• Notasi: G = F⁻¹.

Penutup

• Penting untuk memahami himpunan dan fungsi.
• Pertanyaan dapat diajukan pada sesi Zoom Meeting.