Lezione sulle Relazioni di Gauss-Green

Introduzione

• Introduzione alle relazioni di Gauss-Green.
• Rilevanza: collegamento tra un integrale doppio e un integrale di linea di una forma differenziale.

Integrale Doppio vs Integrale di Linea

• Problema: Determinare un integrale doppio di una funzione ( \phi(x, y) ) su un dominio ( \omega ) può essere complesso.
  • Difficoltà nel definire il dominio o sostituire variabili.
• Soluzione: Utilizzare un integrale di linea lungo la frontiera del dominio ( \omega ).
  • L'integrale di linea è più facile da calcolare in certi contesti.

Concetto di Dominio Regolare

• Curva ( \gamma_0 ): deve essere regolare, semplice e chiusa (curva di Jordan).
  • Segue che suddivide il piano in due insiemi: uno limitato (( \omega )) e uno esterno.
• Direzione di percorrenza: anti-oraria è positiva.

Domini Regolari

• Considerazione di curve aggiuntive ( \gamma_1, \gamma_2, \ldots, \gamma_n ).
  • Queste curve devono essere interne a ( \gamma_0 ) e non intersecarsi tra loro.
• Definizione di un dominio regolare con ( n+1 ) curve di Jordan.

Formula di Gauss-Green

• Funzioni: ( f ) e ( g ) devono essere continue in un dominio regolare ( \omega ).
• Relazioni fondamentali:
  • [ \int_{\gamma} g , dy = \int_{\omega} \frac{\partial g}{\partial x} , dx , dy ]
  • [ \int_{\gamma} f , dx = - \int_{\omega} \frac{\partial f}{\partial y} , dx , dy ]
• Somma delle relazioni:
  • [ \int_{\gamma} (f , dx + g , dy) = \int_{\omega} \left( \frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y} \right) , dx , dy ]

Esempi di Calcolo

Esercizio 1: Calcolo di un Integrale di Linea

• Forma differenziale: ( 2xy , dx + (x + y) , dy ).
• Calcolo tramite formula di Gauss-Green su un dominio ( \omega ).
• Risultato finale: ( 1 ).

Esercizio 2: Area mediante Integrale di Linea

• Determinare area delimitata da una curva chiusa usando relazioni di Gauss-Green.
• Scelta delle funzioni ( f ) e ( g ): ( f = -y, g = x ).
• Risultato finale: area = ( \frac{4}{3} ).

Conclusione

• Riflessioni finali sull'importanza delle relazioni di Gauss-Green nella semplificazione di calcoli integrali.
• Invito a seguire ulteriori contenuti sul canale.