Relazioni di Gauss-Green e calcoli integrali

Salve a tutti, ben ritrovati nel mio canale. Con questa lezione vi voglio introdurre le relazioni di Gauss-Green. Le relazioni di Gauss-Green, detto tra virgolette, mettono in relazione un integrale doppio con un integrale di linea di una forma differenziale. Mi spiego meglio, a livello ovviamente intuitivo. Consideriamo di voler determinare il seguente integrale doppio di una funzione, che sto chiamando phi, che dipende da x e y, esteso al dominio omega, un dominio limitato. Il problema è che ci possiamo trovare nelle condizioni in cui determinare direttamente l'integrale doppio è un'impresa abbastanza ardua, molto difficile, magari a causa della struttura del dominio omega. Magari ad esempio non sappiamo come andare a esprimere omega, o come dominio normale rispetto a x, o come dominio normale rispetto a y, né tanto meno con qualche sostituzione. A questo punto ci chiediamo, ma è possibile evitare la risoluzione diretta dell'integrale doppio e in sostituzione andare a determinare un integrale di un integrale? di linea lungo un determinato percorso, percorso che poi scopriremo essere la frontiera dello stesso insieme omega. Ovviamente integrale di linea di una forma differenziale. La risposta è affermativa, quindi sarà difficile magari andare a determinare l'integrale doppio, ma in sostituzione sarà molto facile andare a ricavare il valore di quest'integrale di linea. Viceversa, voglio andare a determinare un integrale di linea lungo un integrale di un determinato percorso chiuso, per esempio in senso anti-orario, che come vedremo sarà il verso positivo. Ma magari andare a risolvere quest'integrale di linea è molto laborioso. Ci chiediamo, anziché andare a risolvere l'integrale di linea, è possibile andare a risolvere un integrale doppio su un dominio omega, dove omega non è altro che il dominio che è racchiuso dalla curva F di omega, cioè dalla stessa curva. frontiera. Anche qui la risposta è affermativa. Non ci resta che andare a vedere la struttura dell'integrale doppio e la struttura dell'integrale di linea. Introdurremo appunto le relazioni di Gauss-Green. Ma prima di introdurvi le formule di Gauss-Green è opportuno introdurre il concetto di dominio regolare. Sia gamma con zero una curva piana che soddisfi le tre condizioni deve essere generalmente regolare, semplice e chiusa. Una curva che soddisfi le tre condizioni è chiamata anche curva di Jordan. In blu ho rappresentato una generica curva di Jordan. Una curva di Jordan suddivide il piano R2 in due aperti connessi, di cui un insieme è limitato, quello indicato in verde. Questo insieme lo sto chiamando omega. Ora, l'insieme dei punti non esterni, quindi mi riferisco ai punti interni e alla frontiera, costituisce un dominio regolare. In questo caso è un dominio regolare. ad un unico contorno. Per quanto riguarda il contorno, ovvero la frontiera di omega, possiamo attribuire un verso di percorrenza positivo e ovviamente un verso di percorrenza negativo. Qual è il verso di percorrenza positivo? In questo caso quello anti-orario, perché un osservatore che percorre la curva in senso anti-orario vede il dominio, ovvero la parte verde, alla sua sinistra. A questo punto osservate questi due disegni. Questo è un dominio normale. rispetto a x. Non vado oltre perché già ne abbiamo parlato in occasione della lezione sugli integrali doppi. Mentre questo è un dominio normale rispetto a y. Anche questi due sono da considerarsi dei domini regolari. In questo caso la frontiera ovviamente è costituita da più curve che si possono benissimo parametrizzare. Ma al di là di questo, qui sto considerando un dominio regolare ad un unico contorno. Ma si può generalizzare a un caso molto più... più complesso. Complesso non vuol dire difficile, lo vediamo immediatamente. Siano gamma con 0, gamma con 1, gamma con 2, gamma con n, n più 1 curve di Jordan. Già sapete il significato di curva di Jordan. Perché n più 1? Perché quelle scritte in rosso sono n, con l'aggiunta di gamma con 0 abbiamo n più 1 curve di Jordan. In figura ho rappresentato solamente gamma con 0. Ora, le curve gamma con 1, gamma con 2, gamma con n, che sono sempre delle curve di Jordan, sono interne a γ con 0. E diamo una rappresentazione intuitiva, ovvero questa è γ con 1, questa è γ con 2, eccetera, eccetera. L'ultima è γ con n. Attenzione, γ con 1, γ con 2 e γ con n devono essere interne a γ con 0. Però attenzione, fissate ad esempio γ con 1, le rimanenti, quelle rosse, γ con 2 e γ con n, con 3 gamma con n devono essere esterne a γ con 1. La stessa cosa ad esempio, fissate γ con 2, le rimanenti uve, quelle rosse, devono essere esterne a γ con 1, γ con 3, γ con n e via dicendo. Cioè non può accadere che γ con 1 sia interna ad esempio a γ con 2. A questo punto definiamo dominio regolare l'insieme dei punti del piano non esterni a γ con 0. e non interni a gamma con 1, gamma con 2, gamma con 3, puntini, puntini, gamma con n. Cioè, chi è la zona da escludere? Tutta questa parte esterna e tutta questa parte interna a γ con 1, γ con 2 e γ con n. In altre parole, questi sono dei buchi che non fanno parte del dominio regolare. Quindi, in altre parole, un dominio costituito da n più 1 curve di Jordan così disposte, non è altro che la chiusura dei punti interni a γ con 0 e dei punti esterni a γ con 1. gamma con 2, gamma con n. Per quanto riguarda gamma con 0 il verso positivo è quello in senso anti-orario come abbiamo visto poco fa. Mentre attenzione per quanto riguarda gamma con 1, gamma con 2, gamma con n il verso è positivo quando la frontiera è percorsa in senso orario. Quindi in questo caso è considerato positivo quando è percorso in senso orario. Questo è importante quando dobbiamo considerare gli integrali curvilinei, quindi in altre parole la frontiera di omega da chi è costituita è costituita dall'unione di tutte queste curve di Jordan, ovvero utilizzo i colori, abbiamo gamma con 0 e poi abbiamo gamma con 1, gamma con 2 eccetera eccetera, gamma con n, quindi qui scrivo gamma con 1, c'è anche gamma con 2, l'ultima è gamma con n. Detto questo passiamo alla cosiddetta formula di Gauss-Grie. che rappresenta la protagonista di questa lezione. Siano f piccolo e g piccolo due funzioni reali di variabile reale x piccolo e y piccolo. Queste due funzioni a due variabili devono essere continue in un dominio omega che è un dominio regolare. Ecco perché poco fa ho parlato di dominio regolare. Inoltre devono essere continue in omega le due funzioni. Chi sono queste? La derivata parziale rispetto a x della funzione g ovvero quella in rosso e la derivata parziale rispetto a y. della funzione f, quella che ho indicato in blu. Sotto queste ipotesi valgono queste due relazioni, sono molto simili. Concentriamoci sulla prima. Cosa abbiamo qui? Un'uguaglianza tra due integrali, però attenzione, al primo membro figura un'integrale di linea della funzione g in the y. Lungo quale percorso? Lungo la frontiera del nostro dominio regolare omega, ovviamente percorsa nel verso positivo. Questo integrale di linea ha che cosa è uguale? È uguale a un integrale doppio di quale funzione? Dobbiamo considerare la derivata parziale rispetto a x della funzione g. Ovviamente integrale doppio quindi in the x e in the y. Chi è il dominio? Ovviamente è il dominio omega che ha per contorno f di omega. Quindi dualmente abbiamo l'altra relazione. È molto simile solamente che al secondo membro dove c'è l'integrale doppio abbiamo la funzione. derivata di f rispetto a y ma con il segno meno. Adesso facciamo una cosa e questo è il punto più importante. Facciamo la somma termine a termine, membro a membro. Allora che cosa abbiamo? Integrale curvilineo di f in dx più l'integrale curvilineo quindi sempre sulla stessa frontiera di g in dy. Quindi cosa abbiamo qui al primo membro? Scrivo lento perché questa è la parte più importante. Abbiamo Abbiamo l'integrale lungo la frontiera di omega, ovviamente percorsa nel senso positivo, della somma di queste due funzioni. Allora abbiamo qui f in dx e poi abbiamo g in dy. Utilizzo i colori perché è importante. Quindi abbiamo f in dx più g piccolo scritto in rosso in dy. Che cos'è questa? Una forma differenziale. Sappiamo che... calcolare gli integrali curvilinei di forme differenziali? Certamente, ho già dedicato delle lezioni a tal proposto, quindi non aggiungo altro. Per quanto riguarda la somma dei secondi membri, invece, che cosa abbiamo? Un integrale doppio. Ovviamente, chi è il dominio di integrazione? Ovviamente, omega. Chi è la funzione integranda? Attenzione, dobbiamo fare, abbiamo visto la somma. Quindi faccio la derivata rispetto a x. della funzione g, dopo la indico con il colore rosso, ovviamente qui abbiamo meno la derivata rispetto a y della funzione, quella che ho chiamato f, indicata in blu, ovviamente in dx, in dy. Quindi qui metto con il colore rosso la funzione g, mentre in blu indico la funzione f. In altre parole, supponiamo di voler calcolare il seguente integrale di linea, ma magari... a calcolare quest'integrale di linea è abbastanza laborioso. Che cosa facciamo? Identifichiamo il dominio omega, perché se conosciamo la frontiera di omega, lo possiamo anche disegnare in certi contesti e quindi identifichiamo anche chi è omega. Con gli esercizi sarà tutto più chiaro. Ma come funzione integranda dell'integrale doppio, cosa devo fare? Molto semplice. La differenza di queste due funzioni. Prendo la funzione g, la derivo rispetto a x e poi faccio meno la derivata parziale. della funzione f ovviamente rispetto a y, quindi avrò a che fare con un integrale doppio, che magari sarà molto più semplice rispetto al corrispondente integrale curvilineo, di questa forma differenziale, ma con gli esercizi sarà tutto più chiaro. Viceversa invece può darsi che abbiamo un integrale doppio, ma risolvere l'integrale doppio può essere abbastanza laborioso. Cosa dobbiamo fare? Dobbiamo cercare due funzioni f piccolo e g piccolo, tali che facendo la derivata di g rispetto a x meno la derivata di f rispetto a y dobbiamo ottenere la funzione integrante a quella di partenza. Faremo due esercizi. Nel primo caso vi chiedo di determinare un integrale curvilineo ma che sarà risolto tramite l'integrale doppio. Viceversa nel secondo esercizio vi chiederò di risolvere un integrale doppio ma essendo abbastanza laborioso vi chiederò di passare... al corrispondente integrale di linea. Iniziamo con il primo esercizio. Desidero calcolare il seguente integrale di linea della forma differenziale che ho scritto qui, ovvero 2xy in dx più x più y in dy. Quella scritta in blu corrisponde a quella che abbiamo sempre chiamato f piccolo. Quella scritta in rosso corrisponde alla funzione a due variabili che abbiamo sempre chiamato g piccolo. Dove la voglio calcolare? Lungo la linea chiusa gamma. La linea chiusa gamma è costituita dall'unione di più curve. Gamma con 1, unione gamma con 2, unione gamma con 3, gamma con 4. Chi è gamma con 1? Gamma con 1 è il tratto di segmento che congiunge il punto A di corda. meno 1, 0 con l'origine 0, 0 che andrà parametrizzata, mentre gamma con 2 non è altro che l'arco di parabola di equazione y uguale a x al quadrato che congiunge l'origine con il punto B di coordinate 1, 1, mentre la curva gamma con 3 non è altro che il segmento che giace sulla retta di equazione y uguale a 1 che congiunge il punto iniziale B di coordinate 1, 1, con il punto finale C di coordinate 0,1 e infine per chiudere la curva detto tra virgolette il segmento CA che corrisponde alla curva gamma con 4 che congiunge appunto il punto C di coordinate 0,1 e il punto A di coordinate meno 1,0. Ovviamente la retta passante per i punti A grande e C grande non è altro che Y uguale a X più 1. Attenzione, se questa forma differenziale fosse stata chiusa in questo caso, contesto sarebbe stata anche esatta, quindi l'integrale lungo una linea chiusa di questa forma differenziale sarebbe risultato uguale a 0 in base a quello che abbiamo detto nelle lezioni precedenti. Ovviamente ometto tutti questi discorsi. Quindi per calcolare quest'integrale dovrei andare a determinare quattro integrali, cioè dovrei parametrizzare la curva gamma 1, ovvero il segmento AO, poi parametrizzare il tratto di parabola, il tratto di segmento B, BC e il tratto di segmento CA. Ma non voglio fare questo, voglio applicare la formula di Gauss-Green. Quindi in base a quello che abbiamo detto poco fa, questo dominio lo sto chiamando al solito omega. Quindi l'integrale lungo la frontiera di omega, che poi non sarebbe altro che la curva gamma. Quindi lo sto chiamando o gamma oppure lo posso chiamare frontiera di omega. Dove frontiera di omega torna a una curva gamma? torno a ripetere, coincide con gamma. Cosa metto qui? La forma differenziale, ovvero qui metto dx, qui metto dy e quindi qui metto f che dipende dalle variabili xy dove f si identifica con 2x per y e in rosso invece scrivo g piccolo, dove g piccolo, come abbiamo detto, si identifica con la funzione x più y, ma in base all'uguaglianza che abbiamo scritto all'inizio, questa è uguale a che cosa? All'integrale doppio. E stesso dove? A quale dominio? Ovviamente al dominio omega. Di che cosa? E va bene, dobbiamo scrivere la relazione scritta poco fa praticamente, ovvero la derivata parziale rispetto a x della funzione g piccolo meno la derivata prima, sempre parziale, rispetto ad y di quale funzione? Ovviamente della funzione, quella scritta in blu, ovvero della funzione f piccolo. Ovviamente in dx e in dy. Metto una bella parentesi e qui metto in dx, in dy. È più comodo andare a determinare questa integrale che andare a calcolare l'integrale di questa forma differenziale lungo questo percorso, perché qui dobbiamo fare quattro integrali. Semplicissimi, ma i calcoli sono più laboriosi rispetto a quelli che troveremo per determinare l'integrale doppio. Quindi, applichiamo questa relazione al nostro contesto, ovvero chi è in questo caso l'integrale doppio? E va bene. dobbiamo andare a determinare l'integrale doppio esteso al dominio omega. Ora, chi è la derivata rispetto a x della funzione g? E va bene, prendiamo la funzione rossa, x più y e deriviamo rispetto a x e otteniamo 1 più 0 e quindi abbiamo semplicemente la funzione costante 1 e poi abbiamo meno, ora dobbiamo fare la derivata parziale rispetto a y della funzione 2x per y. E ovviamente abbiamo 2x e quindi scrivo 2 per x. Ovviamente in dx e in dy. Ora, questo è un semplicissimo integrale. Ma chi è omega? Ora, dobbiamo esprimere omega o come dominio normale rispetto a x o come dominio normale rispetto a y. In questo contesto capite benissimo che conviene esprimere omega come dominio normale rispetto a x. rispetto a y. Infatti, chi è omega? Omega è costituito da tutti i punti del piano, quindi x, y, quindi appartenenti a R2, tale che, se ci fate caso, la y è variabile tra un minimo di 0 e un massimo di 1, mentre la x, tra quali funzioni varia? Allora, inferiormente è limitata dalla retta y uguale a x più 1. ma cosa devo fare? Devo scrivere y meno 1. Ovviamente già queste cose sono state studiate nella lezione inerente gli integrali doppi, ecco perché sto dando molte cose come scontate. Mentre per quanto riguarda la parte superiore, chi sarebbe? Se y è uguale a x al quadrato, ovviamente otteniamo che x è uguale a più radice di y e quindi scrivo radice di y. Non ci resta che andare a determinare questo integrale doppio. Avendo espresso ω come dominio normale rispetto a y, cosa dobbiamo scrivere? Integrale tra, allora y varia tra 0 e 1 e qui scrivo in dy. L'integrale è quello più interno invece, ovvero quello in dx per indenterci. Gli estremi di integrazione chi sono? Abbiamo visto che sono y meno 1 e radice quadrata di y. Ora, la funzione chi sarebbe? 1 meno 2x, quindi 1 meno 2x. in dx. Andiamo a calcolare velocemente quest'integrale. Attenzione, parecchi passaggi vengono messi. Per visionare questa lezione già dovete saper calcolare alla perfezione gli integrali doppi. Quindi scrivo ancora integrale tra 0 e 1 in dy. Qui scrivo x meno x al quadrato, quindi x meno x al quadrato. Gli estremi di integrazione sono y meno 1 e radice di y. Quindi uguale, vado a capo. Integrale. tra 0 e 1 in dy. Allora, cosa faccio? Qui scrivo radice quadrata di y meno y, poi scrivo meno, torno a scrivere adesso, y meno 1, però attenzione, è cambiato disegno, quindi è meno y più 1 e poi più y al quadrato meno 2y più 1, tutto in dy. Attenzione, ho saltato qualche passaggio, perché già... molti passaggi come ho già detto tante volte, li do come scontati. Lo scopo non è andare a spiegare come risolvere gli integrali doppi. Quindi questo è un integrale di una funzione ad una variabile, quindi velocemente. Per quanto riguarda radice quadrata di y, una primitiva, chi sarebbe? Due terzi per y elevato alla tre mezzi. Poi abbiamo meno y, meno y, meno 2y, meno 4y. Una primitiva è meno... 2 per y al quadrato. Poi una primitiva di y al quadrato è y, 3 su 3. E infine una primitiva di 2 non è altro che più 2y. Gli estremi di integrazione sono 2 e 2. sono 0 e 1. Andando a fare tutti i calcoletti otteniamo due terzi, poi meno 2 più un terzo, più 2 e poi tutto 0. Allora, meno 2 e più 2. si possono elidere, 2 terzi più un terzo è uguale a 1. Quindi questa integrale è uguale a 1. Cosa significa? Che l'integrale di linea di questa forma differenziale estesa appunto alla curva chiusa che abbiamo disegnato poco fa è uguale a 1. Se poi volete andare a fare una verifica, ovviamente lascio il compito a voi di andare a calcolare l'integrale di linea con il metodo standard, quindi tramite le parametrizzazioni di tutti i tratti scoprirete che questa integrale è uguale sempre a 1, ma non può essere altrimenti. Quindi svolgendo l'integrale doppio abbiamo fatto meno passaggi. Adesso vi propongo un altro esercizio, però il problema è inverso, ovvero voglio calcolare un integrale doppio, ma non calcolerò l'integrale doppio, ma mi servirò dell'integrale di linea, quello che figura al primo membro. Lo vediamo immediatamente. Come esercizio vi propongo di determinare l'area delimitata da... da questa curva chiusa. Attenzione, ovviamente potete benissimo verificare che questa è una curva chiusa. Infatti, se al posto di ogni t sostituite meno 1 ottenete 0,0, quindi l'origine. Se al posto di t sostituite più 1 ottenete sempre il punto 0,0, quindi il punto iniziale coincide con il punto finale. Vogliamo disegnare così indicativamente questa curva. Al solito, disegniamo gli assi coordinati. Qui abbiamo x e qui abbiamo y. e qui abbiamo y. Allora, quando t è uguale a meno 1, abbiamo detto che coincide con l'origine. Poi, se diamo a t valori crescenti, quindi ad esempio, è un discorso intuitivo, meno un mezzo, ottenete 1 meno un quarto, e quindi tre quarti, e qui ottenete invece meno un mezzo più un trentaduesimo, e va bene, in questo caso siamo nel quarto quadrante, più o meno siamo qui, e così via. Quando t è uguale a zero, se ci siamo, ci fate caso otteniamo 1 e 0, quindi siamo sull'asse delle ascisse. Notate una simmetria rispetto l'asse delle x, quindi intuitivamente si ottiene una cosa del genere, quindi questa forma, una specie di goccia tra virgolette, è una figura ovviamente simmetrica. Cosa voglio determinare? L'area delimitata da questa curva e questo dominio lo chiamo appunto omega. Questa è la frontiera. di omega o se preferite gamma. La frontiera di omega coincide appunto con gamma. Per determinare quest'area dovrei andare a calcolare l'integrale doppio su omega della funzione 1 e poi scrivo in the x in the y. Qualcuno potrebbe pensare ad accordo potrei considerare omega come dominio normale rispetto a x. Infatti potrei benissimo scrivere che x varia tra un minimo di 0 e massimo di 1. Il problema sta in y perché y varia tra che cosa? Tra una funzione h1 che dipende da x e una funzione h2 che dipende da x. Tutto questo è stato spiegato in occasione della lezione sugli integrali doppi, quindi non sto ad approfondire più di tanto. Qual è il problema? Che non riesco ad ottenere y in funzione di x. È molto complicato. Dovrei eliminare il parametro t. È un'impresa abbastanza ardua. Poco importa, alla fine non mi interessa andare a calcolare direttamente l'integrale doppio, ma utilizzo l'uguaglianza di Gauss-Green. Quindi stavolta devo sfruttare l'altro membro, ovvero l'integrale di linea della forma differenziale. Ora, che cosa voglio avere al secondo membro? L'integrale lungo la linea chiusa che corrisponde con la frontiera di omega, ovvero gamma. Di che cosa? Mi piacerebbe determinare la funzione f piccolo e poi scrivo dx, mi piacerebbe determinare la funzione g piccolo e poi scrivo dy. Attenzione, ricordiamoci una cosa. Che cos'è 1? Se ci fate caso, 1 non è altro che la derivata parziale rispetto a x della funzione, quella che ho scritto sempre con il colore rosso, g piccolo. E poi abbiamo meno la derivata. parziale rispetto a y della funzione f piccolo. Ma a questo punto ci chiediamo chi è g e chi è la funzione f in modo che questa differenza sia uguale a 1. Osservate una cosa, se g fosse la funzione x, in questo caso la derivata rispetto a x della funzione x sarebbe uguale a 1. Attenzione, f non può essere la funzione y, altrimenti la derivata di y rispetto a y sarebbe 1, e 1 meno 1 uguale 0. Non può essere, voglio che deve risultare 1. Ma una cosa, se f anziché essere la funzione y fosse la funzione meno y, si può dire che siamo nella giusta strada. Infatti avrei 1 meno meno 1, 2. Niente paura, basta dividere per 2 e otteniamo 1. Quindi, in altre parole, questo primo membro, lo riscrivo qui, quindi l'integrale di 1 in dx, in dx. y su omega è uguale a un mezzo, ora, integrale lungo la frontiera di omega, che chiamo per semplicità gamma. Allora, abbiamo detto che in questo caso, per quanto riguarda f, non è altro che meno y e penso che questo funzionerà. Infatti, qui abbiamo meno y, ovviamente in dx e poi, per quanto riguarda g, Abbiamo la funzione x, quindi scrivo intanto più, con il colore rosso scrivo la funzione x in dy. Se ci fate caso, tutto funziona alla perfezione. E quindi, anziché andare a determinare questo integrale al primo membro, che risulta molto complicato in questo contesto, è molto semplice andare a determinare l'integrale al secondo membro. Infatti... Per quanto riguarda x abbiamo che è 1 meno t al quadrato. Per quanto riguarda invece y non è altro che t meno t alla quinta. Non ci rimane che andare a determinare dx e dy. Quindi chi sarebbe dx? Basta fare il differenziale. dx è uguale a 0 meno 2t in dt, mentre per quanto riguarda dy è uguale a Allora, 1 meno 5 per t alla quarta, tutto in dt. Non ci resta che andare a fare le sostituzioni. Direttamente un mezzo integrale tra meno 1 e 1. Allora, qui abbiamo meno al posto di y, devo mettere t meno t alla quinta, che moltiplica dx, ovvero meno 2t in dt. Ma direttamente meno per meno fa più e quindi scrivo 2 volte t, che moltiplica t meno t. t alla quinta. Il dt lo lascio alla fine. Poi ancora, più, al posto di x metto 1 meno t al quadrato per dy. Dy chi è? 1 meno 5 per t alla quarta, tutto in dt. Allora, non mi resta che andare a fare tutti questi prodotti. Vado veloce. Eseguite tutti i calcoli, se ci fate caso la funzione integrante è una funzione pari. Quindi posso scrivere direttamente l'integrale tra 0 e 1, il dominio. di integrazione simmetrico rispetto all'origine. Quindi metto il 2 a moltiplicare per un mezzo, si semplifica e quindi diventa integrale tra 0 e 1 di 7t alla sesta meno 5t alla quarta più t al quadrato più 1 tutto indetti. Si può dire che abbiamo finito. Allora una primitiva di 7 per t alla sesta è ovviamente t alla settima meno t alla quinta più un terzo per t. alla terza più t. Estremi di integrazione 0 e 1. Si può dire che abbiamo finito perché cosa scriverò? Allora qui abbiamo 1 meno 1 più un terzo più 1, quindi scrivo 1 meno 1 più un terzo e poi più 1. Ovviamente 1 e meno 1 si elidono, un terzo più 1 è uguale a 4 terzi. Questo è il valore dell'area delimitata dalla nostra curva chiusa. A questo punto chiudo qui questa lezione, non mi resta che darvi appuntamento sempre nel mio canale per ulteriori contenuti di matematica. Grazie per l'attenzione, ciao a tutti!

Consideriamo di voler determinare il seguente integrale doppio di una funzione, che sto chiamando phi, che dipende da x e y, esteso al dominio omega, un dominio limitato. Il problema è che ci possiamo trovare nelle condizioni in cui determinare direttamente l'integrale doppio è un'impresa abbastanza ardua, molto difficile, magari a causa della struttura del dominio omega. Magari ad esempio non sappiamo come andare a esprimere omega, o come dominio normale rispetto a x, o come dominio normale rispetto a y, né tanto meno con qualche sostituzione. A questo punto ci chiediamo, ma è possibile evitare la risoluzione diretta dell'integrale doppio e in sostituzione andare a determinare un integrale di un integrale? di linea lungo un determinato percorso, percorso che poi scopriremo essere la frontiera dello stesso insieme omega.

Ovviamente integrale di linea di una forma differenziale. La risposta è affermativa, quindi sarà difficile magari andare a determinare l'integrale doppio, ma in sostituzione sarà molto facile andare a ricavare il valore di quest'integrale di linea. Viceversa, voglio andare a determinare un integrale di linea lungo un integrale di un determinato percorso chiuso, per esempio in senso anti-orario, che come vedremo sarà il verso positivo. Ma magari andare a risolvere quest'integrale di linea è molto laborioso.

Ci chiediamo, anziché andare a risolvere l'integrale di linea, è possibile andare a risolvere un integrale doppio su un dominio omega, dove omega non è altro che il dominio che è racchiuso dalla curva F di omega, cioè dalla stessa curva. frontiera. Anche qui la risposta è affermativa.

Non ci resta che andare a vedere la struttura dell'integrale doppio e la struttura dell'integrale di linea. Introdurremo appunto le relazioni di Gauss-Green. Ma prima di introdurvi le formule di Gauss-Green è opportuno introdurre il concetto di dominio regolare.

Sia gamma con zero una curva piana che soddisfi le tre condizioni deve essere generalmente regolare, semplice e chiusa. Una curva che soddisfi le tre condizioni è chiamata anche curva di Jordan. In blu ho rappresentato una generica curva di Jordan. Una curva di Jordan suddivide il piano R2 in due aperti connessi, di cui un insieme è limitato, quello indicato in verde.

Questo insieme lo sto chiamando omega. Ora, l'insieme dei punti non esterni, quindi mi riferisco ai punti interni e alla frontiera, costituisce un dominio regolare. In questo caso è un dominio regolare. ad un unico contorno.

Per quanto riguarda il contorno, ovvero la frontiera di omega, possiamo attribuire un verso di percorrenza positivo e ovviamente un verso di percorrenza negativo. Qual è il verso di percorrenza positivo? In questo caso quello anti-orario, perché un osservatore che percorre la curva in senso anti-orario vede il dominio, ovvero la parte verde, alla sua sinistra.

A questo punto osservate questi due disegni. Questo è un dominio normale. rispetto a x. Non vado oltre perché già ne abbiamo parlato in occasione della lezione sugli integrali doppi.

Mentre questo è un dominio normale rispetto a y. Anche questi due sono da considerarsi dei domini regolari. In questo caso la frontiera ovviamente è costituita da più curve che si possono benissimo parametrizzare. Ma al di là di questo, qui sto considerando un dominio regolare ad un unico contorno.

Ma si può generalizzare a un caso molto più... più complesso. Complesso non vuol dire difficile, lo vediamo immediatamente. Siano gamma con 0, gamma con 1, gamma con 2, gamma con n, n più 1 curve di Jordan.

Già sapete il significato di curva di Jordan. Perché n più 1? Perché quelle scritte in rosso sono n, con l'aggiunta di gamma con 0 abbiamo n più 1 curve di Jordan.

In figura ho rappresentato solamente gamma con 0. Ora, le curve gamma con 1, gamma con 2, gamma con n, che sono sempre delle curve di Jordan, sono interne a γ con 0. E diamo una rappresentazione intuitiva, ovvero questa è γ con 1, questa è γ con 2, eccetera, eccetera. L'ultima è γ con n. Attenzione, γ con 1, γ con 2 e γ con n devono essere interne a γ con 0. Però attenzione, fissate ad esempio γ con 1, le rimanenti, quelle rosse, γ con 2 e γ con n, con 3 gamma con n devono essere esterne a γ con 1. La stessa cosa ad esempio, fissate γ con 2, le rimanenti uve, quelle rosse, devono essere esterne a γ con 1, γ con 3, γ con n e via dicendo. Cioè non può accadere che γ con 1 sia interna ad esempio a γ con 2. A questo punto definiamo dominio regolare l'insieme dei punti del piano non esterni a γ con 0. e non interni a gamma con 1, gamma con 2, gamma con 3, puntini, puntini, gamma con n.

Cioè, chi è la zona da escludere? Tutta questa parte esterna e tutta questa parte interna a γ con 1, γ con 2 e γ con n. In altre parole, questi sono dei buchi che non fanno parte del dominio regolare. Quindi, in altre parole, un dominio costituito da n più 1 curve di Jordan così disposte, non è altro che la chiusura dei punti interni a γ con 0 e dei punti esterni a γ con 1. gamma con 2, gamma con n. Per quanto riguarda gamma con 0 il verso positivo è quello in senso anti-orario come abbiamo visto poco fa.

Mentre attenzione per quanto riguarda gamma con 1, gamma con 2, gamma con n il verso è positivo quando la frontiera è percorsa in senso orario. Quindi in questo caso è considerato positivo quando è percorso in senso orario. Questo è importante quando dobbiamo considerare gli integrali curvilinei, quindi in altre parole la frontiera di omega da chi è costituita è costituita dall'unione di tutte queste curve di Jordan, ovvero utilizzo i colori, abbiamo gamma con 0 e poi abbiamo gamma con 1, gamma con 2 eccetera eccetera, gamma con n, quindi qui scrivo gamma con 1, c'è anche gamma con 2, l'ultima è gamma con n.

Detto questo passiamo alla cosiddetta formula di Gauss-Grie. che rappresenta la protagonista di questa lezione. Siano f piccolo e g piccolo due funzioni reali di variabile reale x piccolo e y piccolo. Queste due funzioni a due variabili devono essere continue in un dominio omega che è un dominio regolare. Ecco perché poco fa ho parlato di dominio regolare.

Inoltre devono essere continue in omega le due funzioni. Chi sono queste? La derivata parziale rispetto a x della funzione g ovvero quella in rosso e la derivata parziale rispetto a y.

della funzione f, quella che ho indicato in blu. Sotto queste ipotesi valgono queste due relazioni, sono molto simili. Concentriamoci sulla prima. Cosa abbiamo qui? Un'uguaglianza tra due integrali, però attenzione, al primo membro figura un'integrale di linea della funzione g in the y.

Lungo quale percorso? Lungo la frontiera del nostro dominio regolare omega, ovviamente percorsa nel verso positivo. Questo integrale di linea ha che cosa è uguale? È uguale a un integrale doppio di quale funzione? Dobbiamo considerare la derivata parziale rispetto a x della funzione g.

Ovviamente integrale doppio quindi in the x e in the y. Chi è il dominio? Ovviamente è il dominio omega che ha per contorno f di omega. Quindi dualmente abbiamo l'altra relazione. È molto simile solamente che al secondo membro dove c'è l'integrale doppio abbiamo la funzione.

derivata di f rispetto a y ma con il segno meno. Adesso facciamo una cosa e questo è il punto più importante. Facciamo la somma termine a termine, membro a membro.

Allora che cosa abbiamo? Integrale curvilineo di f in dx più l'integrale curvilineo quindi sempre sulla stessa frontiera di g in dy. Quindi cosa abbiamo qui al primo membro? Scrivo lento perché questa è la parte più importante. Abbiamo Abbiamo l'integrale lungo la frontiera di omega, ovviamente percorsa nel senso positivo, della somma di queste due funzioni.

Allora abbiamo qui f in dx e poi abbiamo g in dy. Utilizzo i colori perché è importante. Quindi abbiamo f in dx più g piccolo scritto in rosso in dy. Che cos'è questa? Una forma differenziale.

Sappiamo che... calcolare gli integrali curvilinei di forme differenziali? Certamente, ho già dedicato delle lezioni a tal proposto, quindi non aggiungo altro.

Per quanto riguarda la somma dei secondi membri, invece, che cosa abbiamo? Un integrale doppio. Ovviamente, chi è il dominio di integrazione? Ovviamente, omega. Chi è la funzione integranda?

Attenzione, dobbiamo fare, abbiamo visto la somma. Quindi faccio la derivata rispetto a x. della funzione g, dopo la indico con il colore rosso, ovviamente qui abbiamo meno la derivata rispetto a y della funzione, quella che ho chiamato f, indicata in blu, ovviamente in dx, in dy.

Quindi qui metto con il colore rosso la funzione g, mentre in blu indico la funzione f. In altre parole, supponiamo di voler calcolare il seguente integrale di linea, ma magari... a calcolare quest'integrale di linea è abbastanza laborioso.

Che cosa facciamo? Identifichiamo il dominio omega, perché se conosciamo la frontiera di omega, lo possiamo anche disegnare in certi contesti e quindi identifichiamo anche chi è omega. Con gli esercizi sarà tutto più chiaro.

Ma come funzione integranda dell'integrale doppio, cosa devo fare? Molto semplice. La differenza di queste due funzioni. Prendo la funzione g, la derivo rispetto a x e poi faccio meno la derivata parziale. della funzione f ovviamente rispetto a y, quindi avrò a che fare con un integrale doppio, che magari sarà molto più semplice rispetto al corrispondente integrale curvilineo, di questa forma differenziale, ma con gli esercizi sarà tutto più chiaro.

Viceversa invece può darsi che abbiamo un integrale doppio, ma risolvere l'integrale doppio può essere abbastanza laborioso. Cosa dobbiamo fare? Dobbiamo cercare due funzioni f piccolo e g piccolo, tali che facendo la derivata di g rispetto a x meno la derivata di f rispetto a y dobbiamo ottenere la funzione integrante a quella di partenza. Faremo due esercizi.

Nel primo caso vi chiedo di determinare un integrale curvilineo ma che sarà risolto tramite l'integrale doppio. Viceversa nel secondo esercizio vi chiederò di risolvere un integrale doppio ma essendo abbastanza laborioso vi chiederò di passare... al corrispondente integrale di linea. Iniziamo con il primo esercizio.

Desidero calcolare il seguente integrale di linea della forma differenziale che ho scritto qui, ovvero 2xy in dx più x più y in dy. Quella scritta in blu corrisponde a quella che abbiamo sempre chiamato f piccolo. Quella scritta in rosso corrisponde alla funzione a due variabili che abbiamo sempre chiamato g piccolo. Dove la voglio calcolare? Lungo la linea chiusa gamma.

La linea chiusa gamma è costituita dall'unione di più curve. Gamma con 1, unione gamma con 2, unione gamma con 3, gamma con 4. Chi è gamma con 1? Gamma con 1 è il tratto di segmento che congiunge il punto A di corda.

meno 1, 0 con l'origine 0, 0 che andrà parametrizzata, mentre gamma con 2 non è altro che l'arco di parabola di equazione y uguale a x al quadrato che congiunge l'origine con il punto B di coordinate 1, 1, mentre la curva gamma con 3 non è altro che il segmento che giace sulla retta di equazione y uguale a 1 che congiunge il punto iniziale B di coordinate 1, 1, con il punto finale C di coordinate 0,1 e infine per chiudere la curva detto tra virgolette il segmento CA che corrisponde alla curva gamma con 4 che congiunge appunto il punto C di coordinate 0,1 e il punto A di coordinate meno 1,0. Ovviamente la retta passante per i punti A grande e C grande non è altro che Y uguale a X più 1. Attenzione, se questa forma differenziale fosse stata chiusa in questo caso, contesto sarebbe stata anche esatta, quindi l'integrale lungo una linea chiusa di questa forma differenziale sarebbe risultato uguale a 0 in base a quello che abbiamo detto nelle lezioni precedenti. Ovviamente ometto tutti questi discorsi.

Quindi per calcolare quest'integrale dovrei andare a determinare quattro integrali, cioè dovrei parametrizzare la curva gamma 1, ovvero il segmento AO, poi parametrizzare il tratto di parabola, il tratto di segmento B, BC e il tratto di segmento CA. Ma non voglio fare questo, voglio applicare la formula di Gauss-Green. Quindi in base a quello che abbiamo detto poco fa, questo dominio lo sto chiamando al solito omega. Quindi l'integrale lungo la frontiera di omega, che poi non sarebbe altro che la curva gamma.

Quindi lo sto chiamando o gamma oppure lo posso chiamare frontiera di omega. Dove frontiera di omega torna a una curva gamma? torno a ripetere, coincide con gamma. Cosa metto qui?

La forma differenziale, ovvero qui metto dx, qui metto dy e quindi qui metto f che dipende dalle variabili xy dove f si identifica con 2x per y e in rosso invece scrivo g piccolo, dove g piccolo, come abbiamo detto, si identifica con la funzione x più y, ma in base all'uguaglianza che abbiamo scritto all'inizio, questa è uguale a che cosa? All'integrale doppio. E stesso dove? A quale dominio? Ovviamente al dominio omega.

Di che cosa? E va bene, dobbiamo scrivere la relazione scritta poco fa praticamente, ovvero la derivata parziale rispetto a x della funzione g piccolo meno la derivata prima, sempre parziale, rispetto ad y di quale funzione? Ovviamente della funzione, quella scritta in blu, ovvero della funzione f piccolo. Ovviamente in dx e in dy.

Metto una bella parentesi e qui metto in dx, in dy. È più comodo andare a determinare questa integrale che andare a calcolare l'integrale di questa forma differenziale lungo questo percorso, perché qui dobbiamo fare quattro integrali. Semplicissimi, ma i calcoli sono più laboriosi rispetto a quelli che troveremo per determinare l'integrale doppio.

Quindi, applichiamo questa relazione al nostro contesto, ovvero chi è in questo caso l'integrale doppio? E va bene. dobbiamo andare a determinare l'integrale doppio esteso al dominio omega.

Ora, chi è la derivata rispetto a x della funzione g? E va bene, prendiamo la funzione rossa, x più y e deriviamo rispetto a x e otteniamo 1 più 0 e quindi abbiamo semplicemente la funzione costante 1 e poi abbiamo meno, ora dobbiamo fare la derivata parziale rispetto a y della funzione 2x per y. E ovviamente abbiamo 2x e quindi scrivo 2 per x.

Ovviamente in dx e in dy. Ora, questo è un semplicissimo integrale. Ma chi è omega? Ora, dobbiamo esprimere omega o come dominio normale rispetto a x o come dominio normale rispetto a y.

In questo contesto capite benissimo che conviene esprimere omega come dominio normale rispetto a x. rispetto a y. Infatti, chi è omega? Omega è costituito da tutti i punti del piano, quindi x, y, quindi appartenenti a R2, tale che, se ci fate caso, la y è variabile tra un minimo di 0 e un massimo di 1, mentre la x, tra quali funzioni varia? Allora, inferiormente è limitata dalla retta y uguale a x più 1. ma cosa devo fare?

Devo scrivere y meno 1. Ovviamente già queste cose sono state studiate nella lezione inerente gli integrali doppi, ecco perché sto dando molte cose come scontate. Mentre per quanto riguarda la parte superiore, chi sarebbe? Se y è uguale a x al quadrato, ovviamente otteniamo che x è uguale a più radice di y e quindi scrivo radice di y.

Non ci resta che andare a determinare questo integrale doppio. Avendo espresso ω come dominio normale rispetto a y, cosa dobbiamo scrivere? Integrale tra, allora y varia tra 0 e 1 e qui scrivo in dy. L'integrale è quello più interno invece, ovvero quello in dx per indenterci.

Gli estremi di integrazione chi sono? Abbiamo visto che sono y meno 1 e radice quadrata di y. Ora, la funzione chi sarebbe?

1 meno 2x, quindi 1 meno 2x. in dx. Andiamo a calcolare velocemente quest'integrale. Attenzione, parecchi passaggi vengono messi.

Per visionare questa lezione già dovete saper calcolare alla perfezione gli integrali doppi. Quindi scrivo ancora integrale tra 0 e 1 in dy. Qui scrivo x meno x al quadrato, quindi x meno x al quadrato.

Gli estremi di integrazione sono y meno 1 e radice di y. Quindi uguale, vado a capo. Integrale. tra 0 e 1 in dy. Allora, cosa faccio?

Qui scrivo radice quadrata di y meno y, poi scrivo meno, torno a scrivere adesso, y meno 1, però attenzione, è cambiato disegno, quindi è meno y più 1 e poi più y al quadrato meno 2y più 1, tutto in dy. Attenzione, ho saltato qualche passaggio, perché già... molti passaggi come ho già detto tante volte, li do come scontati. Lo scopo non è andare a spiegare come risolvere gli integrali doppi. Quindi questo è un integrale di una funzione ad una variabile, quindi velocemente.

Per quanto riguarda radice quadrata di y, una primitiva, chi sarebbe? Due terzi per y elevato alla tre mezzi. Poi abbiamo meno y, meno y, meno 2y, meno 4y.

Una primitiva è meno... 2 per y al quadrato. Poi una primitiva di y al quadrato è y, 3 su 3. E infine una primitiva di 2 non è altro che più 2y. Gli estremi di integrazione sono 2 e 2. sono 0 e 1. Andando a fare tutti i calcoletti otteniamo due terzi, poi meno 2 più un terzo, più 2 e poi tutto 0. Allora, meno 2 e più 2. si possono elidere, 2 terzi più un terzo è uguale a 1. Quindi questa integrale è uguale a 1. Cosa significa?

Che l'integrale di linea di questa forma differenziale estesa appunto alla curva chiusa che abbiamo disegnato poco fa è uguale a 1. Se poi volete andare a fare una verifica, ovviamente lascio il compito a voi di andare a calcolare l'integrale di linea con il metodo standard, quindi tramite le parametrizzazioni di tutti i tratti scoprirete che questa integrale è uguale sempre a 1, ma non può essere altrimenti. Quindi svolgendo l'integrale doppio abbiamo fatto meno passaggi. Adesso vi propongo un altro esercizio, però il problema è inverso, ovvero voglio calcolare un integrale doppio, ma non calcolerò l'integrale doppio, ma mi servirò dell'integrale di linea, quello che figura al primo membro. Lo vediamo immediatamente. Come esercizio vi propongo di determinare l'area delimitata da...

da questa curva chiusa. Attenzione, ovviamente potete benissimo verificare che questa è una curva chiusa. Infatti, se al posto di ogni t sostituite meno 1 ottenete 0,0, quindi l'origine.

Se al posto di t sostituite più 1 ottenete sempre il punto 0,0, quindi il punto iniziale coincide con il punto finale. Vogliamo disegnare così indicativamente questa curva. Al solito, disegniamo gli assi coordinati. Qui abbiamo x e qui abbiamo y. e qui abbiamo y.

Allora, quando t è uguale a meno 1, abbiamo detto che coincide con l'origine. Poi, se diamo a t valori crescenti, quindi ad esempio, è un discorso intuitivo, meno un mezzo, ottenete 1 meno un quarto, e quindi tre quarti, e qui ottenete invece meno un mezzo più un trentaduesimo, e va bene, in questo caso siamo nel quarto quadrante, più o meno siamo qui, e così via. Quando t è uguale a zero, se ci siamo, ci fate caso otteniamo 1 e 0, quindi siamo sull'asse delle ascisse.

Notate una simmetria rispetto l'asse delle x, quindi intuitivamente si ottiene una cosa del genere, quindi questa forma, una specie di goccia tra virgolette, è una figura ovviamente simmetrica. Cosa voglio determinare? L'area delimitata da questa curva e questo dominio lo chiamo appunto omega. Questa è la frontiera. di omega o se preferite gamma.

La frontiera di omega coincide appunto con gamma. Per determinare quest'area dovrei andare a calcolare l'integrale doppio su omega della funzione 1 e poi scrivo in the x in the y. Qualcuno potrebbe pensare ad accordo potrei considerare omega come dominio normale rispetto a x.

Infatti potrei benissimo scrivere che x varia tra un minimo di 0 e massimo di 1. Il problema sta in y perché y varia tra che cosa? Tra una funzione h1 che dipende da x e una funzione h2 che dipende da x. Tutto questo è stato spiegato in occasione della lezione sugli integrali doppi, quindi non sto ad approfondire più di tanto.

Qual è il problema? Che non riesco ad ottenere y in funzione di x. È molto complicato. Dovrei eliminare il parametro t. È un'impresa abbastanza ardua.

Poco importa, alla fine non mi interessa andare a calcolare direttamente l'integrale doppio, ma utilizzo l'uguaglianza di Gauss-Green. Quindi stavolta devo sfruttare l'altro membro, ovvero l'integrale di linea della forma differenziale. Ora, che cosa voglio avere al secondo membro?

L'integrale lungo la linea chiusa che corrisponde con la frontiera di omega, ovvero gamma. Di che cosa? Mi piacerebbe determinare la funzione f piccolo e poi scrivo dx, mi piacerebbe determinare la funzione g piccolo e poi scrivo dy. Attenzione, ricordiamoci una cosa.

Che cos'è 1? Se ci fate caso, 1 non è altro che la derivata parziale rispetto a x della funzione, quella che ho scritto sempre con il colore rosso, g piccolo. E poi abbiamo meno la derivata. parziale rispetto a y della funzione f piccolo. Ma a questo punto ci chiediamo chi è g e chi è la funzione f in modo che questa differenza sia uguale a 1. Osservate una cosa, se g fosse la funzione x, in questo caso la derivata rispetto a x della funzione x sarebbe uguale a 1. Attenzione, f non può essere la funzione y, altrimenti la derivata di y rispetto a y sarebbe 1, e 1 meno 1 uguale 0. Non può essere, voglio che deve risultare 1. Ma una cosa, se f anziché essere la funzione y fosse la funzione meno y, si può dire che siamo nella giusta strada.

Infatti avrei 1 meno meno 1, 2. Niente paura, basta dividere per 2 e otteniamo 1. Quindi, in altre parole, questo primo membro, lo riscrivo qui, quindi l'integrale di 1 in dx, in dx. y su omega è uguale a un mezzo, ora, integrale lungo la frontiera di omega, che chiamo per semplicità gamma. Allora, abbiamo detto che in questo caso, per quanto riguarda f, non è altro che meno y e penso che questo funzionerà. Infatti, qui abbiamo meno y, ovviamente in dx e poi, per quanto riguarda g, Abbiamo la funzione x, quindi scrivo intanto più, con il colore rosso scrivo la funzione x in dy.

Se ci fate caso, tutto funziona alla perfezione. E quindi, anziché andare a determinare questo integrale al primo membro, che risulta molto complicato in questo contesto, è molto semplice andare a determinare l'integrale al secondo membro. Infatti... Per quanto riguarda x abbiamo che è 1 meno t al quadrato.

Per quanto riguarda invece y non è altro che t meno t alla quinta. Non ci rimane che andare a determinare dx e dy. Quindi chi sarebbe dx? Basta fare il differenziale. dx è uguale a 0 meno 2t in dt, mentre per quanto riguarda dy è uguale a Allora, 1 meno 5 per t alla quarta, tutto in dt.

Non ci resta che andare a fare le sostituzioni. Direttamente un mezzo integrale tra meno 1 e 1. Allora, qui abbiamo meno al posto di y, devo mettere t meno t alla quinta, che moltiplica dx, ovvero meno 2t in dt. Ma direttamente meno per meno fa più e quindi scrivo 2 volte t, che moltiplica t meno t.

t alla quinta. Il dt lo lascio alla fine. Poi ancora, più, al posto di x metto 1 meno t al quadrato per dy.

Dy chi è? 1 meno 5 per t alla quarta, tutto in dt. Allora, non mi resta che andare a fare tutti questi prodotti.

Vado veloce. Eseguite tutti i calcoli, se ci fate caso la funzione integrante è una funzione pari. Quindi posso scrivere direttamente l'integrale tra 0 e 1, il dominio. di integrazione simmetrico rispetto all'origine. Quindi metto il 2 a moltiplicare per un mezzo, si semplifica e quindi diventa integrale tra 0 e 1 di 7t alla sesta meno 5t alla quarta più t al quadrato più 1 tutto indetti.

Si può dire che abbiamo finito. Allora una primitiva di 7 per t alla sesta è ovviamente t alla settima meno t alla quinta più un terzo per t. alla terza più t. Estremi di integrazione 0 e 1. Si può dire che abbiamo finito perché cosa scriverò? Allora qui abbiamo 1 meno 1 più un terzo più 1, quindi scrivo 1 meno 1 più un terzo e poi più 1. Ovviamente 1 e meno 1 si elidono, un terzo più 1 è uguale a 4 terzi.

Questo è il valore dell'area delimitata dalla nostra curva chiusa. A questo punto chiudo qui questa lezione, non mi resta che darvi appuntamento sempre nel mio canale per ulteriori contenuti di matematica. Grazie per l'attenzione, ciao a tutti!

Transcript for:Relazioni di Gauss-Green e calcoli integrali

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