Salut à toutes et à tous ! Donc, les deux prochaines sections, c'est des sections plus sur de la terminologie et de la notation, mais on a terminé avec les opérations, donc on sait comment déterminer si deux matrices sont égales, on sait comment additionner deux matrices, soustraire deux matrices, on sait comment multiplier une matrice par un nombre, donc la multiplication scalaire, et maintenant, on sait aussi multiplier deux matrices en... Donc, avec la multiplication matricielle et aussi, c'est vrai, la fameuse transposition. OK, donc, mais lorsqu'on a des opérations en mathématiques, on aime savoir s'il y a des objets qui sont neutres par rapport aux opérations. Donc, y a-t-il un 0, y a-t-il un 1 ?
Puis, pour les matrices, il y a l'équivalent du 0 et du 1. C'est donné par les matrices 0 ou les matrices nulles et les matrices identité, donc les 1, si on veut. Donc, on va passer au travers de cette terminologie-là et de cette notation. Donc, y a... pas grand-chose en tant que calcul, donc c'est vraiment plus des remarques, puis bien apprendre la terminologie et la notation.
Donc, une matrice, donc la première définition, une matrice dont toutes les entrées sont nulles. C'est ce qu'on appelle une matrice nulle, qui n'est pas rien de spécial. Donc j'ai des exemples pour vous, une matrice 2x2 qui est nulle, on va la dénoter 0 2x2. Une matrice 3x3, on va la noter 0 3x3. Donc si j'ai une 2x4, ça va s'appeler 0 2x4.
Haha, 2x4. Et si j'ai une matrice ici, 5x1, 1x1. Donc si j'ai une matrice nulle, en général, de dimension mxn, donc avec m, ligne et n, colonne, on la dénote 0 m.
par N. Donc, je m'attends juste que si je vous demandais d'écrire la matrice 0 2 7, que tu m'écrives une matrice avec deux lignes puis sept colonnes, puis avec des zéros partout. Donc, couple de remarques qui sont relativement directes des définitions. Si tu prends une matrice quelconque, A plus la matrice 0, OK, A plus 0, bien c'est la même chose que 0 plus A, qui est A, donc ça ne change rien.
Si tu fais A moins A, donc A, la matrice A moyenne même, bien ça va donner bien sûr la matrice de 0. Un 0 moins A, ça va donner la matrice moins une fois A. Si tu multiplies à gauche, il faut faire attention ici, les matrices nulles, il faut s'assurer que les produits soient bien définis, donc si on multiplie à gauche... de A, bien illustré, donc si on multiplie à gauche de A, puis je ne veux pas changer le format, je vais utiliser une matrice N par N, si je multiplie, ça va me donner la matrice qui va être remplie de 0 au complet, puis si tu multiplies à droite, mais là j'ai besoin d'une M par N pour que ce soit bien défini, je vais retrouver la matrice de 0, donc une M par N.
Donc c'est bien voir la distinction, pourquoi j'ai utilisé N par N ici, et pourquoi j'ai utilisé M par N là, donc juste pour que le produit matriciel soit bien défini. Un autre fameux que j'ai oublié d'écrire, c'est que si tu multiplies A par le chiffre 0, bien sûr, toutes les entrées vont être multipliées par 0, donc ça va nous redonner la matrice 0, la matrice nulle M par N. Donc vraiment, la matrice nulle ou les matrices nulles, dépendamment des dimensions, sont considérées comme étant l'élément neutre pour l'addition. Donc ces matrices-là jouent le même rôle que le 0 pour les nombres réels.
Le prochain exemple, c'est un exemple qui est intéressant dans le sens que je veux vraiment vous montrer que les opérations matricielles, c'est différent des opérations sur les nombres. Donc, il y a vraiment des trucs qui ne marchent plus. Par exemple, si j'ai deux matrices, j'ai trois matrices, j'ai quatre matrices. Oh my God !
A, B, C, D. Puis, on va calculer A fois B, A fois C et A fois D. Puis, je vais faire des remarques en même temps. Donc, si vous prenez la matrice A fois B, donc encore une fois, j'ai pour vous toujours encerclé les matrices, les lignes des matrices de gauche et les colonnes de matrices de droite.
J'ai fait les opérations. Je vais vraiment juste commenter, je vous conseille fortement de passer à l'opération, mais je vais quand même commenter sur le résultat. Donc, j'ai fait A fois B et A fois C, donc j'ai fait le produit matriciel, et dans les deux cas, j'ai obtenu deux matrices.
Ces deux matrices-là, donc A fois B ou A fois C, ces deux matrices-là sont les mêmes. Donc, j'ai obtenu la même chose, mais une grosse remarque ici, et ça, encore une fois, c'est juste pour voir qu'il y a des choses qui sont différentes. Donc, j'ai vu que A fois B est égal à A fois C.
Par contre, si tu cancels, entre guillemets, le A, donc si tu fais diviser par A, donc si tu diviserais par A de chaque côté, Ça me dirait que B devrait être égal à A, mais quand, excuse, que B devrait être égal à C, mais bien sûr, lorsque je regarde B et C, ces deux matrices-là ne sont pas égales. Donc, on ne peut pas canceller par A de chaque côté en général. Donc, c'est vraiment weird parce qu'on est habitué que si tu as X, Y, si on fait ça pour les nombres réels, si je sais que X, Y est égal à X, Z, Tant et aussi longtemps que x n'est pas égal à 0, tu peux canceller de chaque côté, puis que tu as y qui est égal à z. Mais ce n'est plus vrai maintenant pour les matrices.
Donc, on ne peut pas simplifier à gauche en général. Donc, ça, c'est une remarque que je veux faire, la distinction entre les chiffres et les matrices. Le prochain produit, lui aussi, est intéressant. J'ai fait a fois d. Et qu'est-ce que j'ai obtenu ?
J'ai obtenu une matrice de 0. J'ai obtenu la matrice 2 par 2 remplie de 0. Donc, j'ai obtenu la matrice 0 2 par 2. Donc, ça, c'est étrange parce que les deux matrices A et D ne sont pas des matrices nulles. Donc, j'ai vraiment le produit de deux matrices non nulles qui me donne la matrice nulle. Donc, ça, encore une fois, c'est étrange parce que lorsqu'on fait le produit de deux chiffres, si je dis que x, y est égal à 0, tu n'as pas le choix. Soit que x est égal à 0 ou... Y est égal à 0. Donc, ça, c'est pour, bien sûr, les nombres réels.
Donc, ça, c'est une propriété sur les nombres réels, comme la précédente ici, mais qui n'est plus vraie. Donc, tu peux avoir un produit de deux matrices non nulles qui donne une matrice nulle. Puis ça, c'est vraiment... Ça suce pour les matrices, parce que ce que ça veut dire, en général, c'est une équation, parce que les variables, c'est des matrices.
Normalement, une des raisons pourquoi on factorise lorsqu'on résout des équations, c'est qu'on peut dire, si j'ai le produit de deux facteurs linéaires qui me donnent zéro, je peux vraiment juste me centrer sur un facteur linéaire à la fois. Quand tu as des matrices, tu ne peux plus faire ça. Donc, le principe de factorisation est complètement ruiné pour les matrices, parce que parfois, le produit de deux matrices non nulles va nous donner une matrice. nul, ok, ça sort tight, ok, donc, comme je l'ai écrit, j'ai mis en remarque ici, donc remarque, donc quand j'ai des matrices, donc la première remarque, c'est qu'on ne peut pas simplifier, ok, on ne peut pas simplifier à droite, je ne peux pas simplement dire je cancelle, ok, de chaque côté, ok, par A, puis dire que B est égal à C, donc A, B est égal à AC n'implique pas, ok, que B est égal à C, ça c'est quelque chose qu'on peut.
pas dire, c'est pas vrai. Puis a fois b est égal à 0, la matrice 0, la matrice nulle, ça n'implique pas que la matrice a ou b, c'est les matrices nulles. C'est vraiment, c'est too weird, c'est vraiment vraiment weird.
Too weird vraiment. Ça chuche. Donc ça c'est pour une courbe de propriété avec la multiplication matricielle qui fait intervenir le 0. Donc le produit de deux trucs qui donne 0, ça ne veut pas dire que la matrice originale est 0. Donc, les dernières matrices qui sont importantes, donc les matrices nul, c'est les zéros, les matrices identité, c'est l'équivalent du 1, OK, pour la mode. la multiplication matricielle. Donc, une matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et des 0 partout.
Donc, par exemple, I2, c'est une matrice 2 par 2, est-ce que j'ai des 1 sur la diagonale ? I3, matrice 3 par 3, est-ce que j'ai des 3 ? Non, est-ce que j'ai des 3 ? Est-ce que j'ai des 1 sur la diagonale ? Et I4, matrice 4 par 4, est-ce que j'ai des 1 sur la diagonale ?
Mais des 0 partout ailleurs. Donc, ça, c'est les matrices identités qu'on dénote typiquement juste par I. S'il faut spécifier la dimension, on peut aussi utiliser IN.
Donc, quand j'écris I3, je sais que c'est une 3. 3 par 3 remplie de 0, sauf que j'ai des 1 sur la diagonale. Donc, j'ai fait un petit exemple pour illustrer pourquoi la matrice identité agit comme un 1. Donc, si j'ai pris la matrice A, j'ai pris des chiffres juste pour simplifier les trucs, mais sinon j'ai la matrice 1, 1, 3, moins 5, 2, 4, 6, puis je la multiplie par... I2 à gauche, ici, c'est important de voir pourquoi je choisis I2, parce que je veux que la multiplication matricielle soit définie, puis je veux que le résultat reste de la même grandeur. Donc, si je multiplie par 1 à la droite, j'ai besoin d'une 3 par 3 pour que les dimensions intérieures soient les mêmes, puis que le résultat reste une 2 par 3. Donc, si je fais I2 fois A, c'est le calcul que j'ai fait ici, vous pouvez le remarquer. Quand le 1 et le 2 se couchent, ça va être 1 fois 1 plus 0 fois 2, qui va me donner 1. Puis ensuite, quand je couche sur la deuxième ligne, 1 fois 0 plus 2 fois 1, ça va me donner 2. Même chose pour 3, 4, ça va me donner 3, 4. Même chose pour moins 5, 6, ça va me donner moins 5, 6. Donc, je retrouve la matrice A.
Donc, mon résultat ici, c'est A à nouveau. Puis lorsque je fais A fois I3, je ferai faire le calcul, mais vous retrouvez A à nouveau. Donc, vraiment, les matrices identité, ça agit comme 1. Donc, c'est... Vous savez ce que j'ai mis dans mes remarques suivantes. Dans mes remarques suivantes, si vous avez une matrice générale M par N, si tu fais A fois IN, ça va donner A.
Encore une fois, je veux vraiment stresser que les dimensions sont choisies par exprès. Donc, si je n'ai pas le choix, si je veux que le produit soit défini, si A est une matrice M par N, j'ai besoin de la multiplier à droite par une N par N, tandis qu'à gauche, il faut que je la multiplie par une M par M. Puis, je n'ai pas le choix, puisque les matrices identité sont carrées.
Puis, le résultat, bien sûr, c'est une M par N. Puis, peu importe la matrice M par N, I1 fois IN ou IM fois A vont toujours vous donner A. Donc, la matrice identité, c'est vraiment la matrice qui agit comme un 1. Donc, matrice nulle, c'est les zéros.
Matrice identité, c'est les 1. Donc, matrice nulle, on sait que c'est simplement une boîte remplie de zéros. Mais faites attention, matrice identité, ce n'est pas une boîte remplie de 1, c'est une boîte carrée qui est remplie de zéros. Donc, sauf le long de la diagonale, on a des 1. All right, that's it, that's all pour ces deux petites sections-là et aussi pour le chapitre 2. Bye-bye, là.