Hareket Problemleri ve Çözüm Stratejileri

Canlarım benim, selamlar, merhabalar. 70 günde TET Matematik kampımızda geldik 45. güne. Hareket problemlerini konuşacağız. Bazı kaynaklarda hız problemleri diye de geçer. Şimdi, problem türleri içerisinde en zorlandığınız, en böyle ön yargılı olduğunuz problem türlerinden bir tanesi olduğunu düşünüyorum hareket problemlerinin. Aslında hareket problemlerinin sayı problemleri gibi çözüldüğünü gördükçe, buradaki ön yargılarınız da tamamen kırılacak. Yani hareket problemleriyle işimiz bittiği zaman, Çıkmış sorularını da gördüğünüz zaman ya gerçekten hani bu kadar benim önyargılı yaklaştığım kadar da böyle zor bir şey değilmişi sizlere söyletme hedefindeyim. İnşallah hareket problemlerini ödevleriyle beraber bitirdiğimizde de bunu beraber konuşuyor olacağız diye düşünüyorum. Ve arkadaşlar hemen 70 günde TET Matematik video ders kitabımızdan kamp programını şöyle beraber bir açalım. 45. gün güzel. Hareket problemleri 1 sayfa 204, 205, 206'yı. Video ders kitabından konuşuyor olacağız. Peki ödevimiz var mı? Var. Bakın problemlerde nadirdir. Temel tanım testinde iki ödev verdiğim. Bugün fazla kazanım konuşacağımız için iki test ödeviniz var soru bankasında. Sayfa 228 ile 231 arasındaki hareket problemleri. Temel tanım testi 1. Temel tanım testi 2. İki teste ödeviniz var sadece bu ders için. Bundan sonraki derste yani 45. günün ikinci dersinde de. Hareket problemlerinin konu anlatımına devam edeceğim ve buradan bir temel tanım testi daha ödev vereceğim. Yani 45. gün yoğun geçen bir gün olacak. 2 ders toplamda video ders kitabından 5 sayfa konu anlatımı konuşacağız. Soru bankasından da 3 temel tanım testi ödevi konuşacağız. Yani sağlam bir gün sizi bekliyor arkadaşlar. Bugün böyle sindire sindire bitirdiğiniz takdirde... Yarın zaten soru çözümünde işe noktayı koymuş olacağız. İsterseniz hiç vakit kaybetmeden ben hemen hareket problemlerinin format metodunda nasıl uygulanışını sizlere göstermeye başlayacağım. Her problem türünü formatladığımız gibi hareket problemlerini de 4 adımda formatlayacağız. Haydi bakalım problemimiz neymiş? Problemimiz şuymuş. Bir araç bir yol boyunca 2 saat 3 veya hızla, 3 saat 4 veya hızla hareket ediyor. Gittiği yol 360 km olduğuna göre bu araç aynı yolu saatte ve hızla kaç saatte gider? Şimdi arkadaşlar ne yapıyoruz? Modelliyoruz. Bilinmeyenlere değişken veriyoruz. Denklem kuruyoruz ve denklemi çözüyoruz. Adımlarımız yine aynı. Hareket problemlerinde modelleme yaparken genelde böyle yolu modelleriz. Hani bize genelde yol verilir. Yolu modelleriz ve yol genelde işte böyle doğrusal bir çizgiyle gösterilir. Karşılaşma noktalarını ya da hızının değiştiği noktaları ya da... yolun türünün değiştiği noktaları falan böyle gösteririz. Şimdi bakın modelleme yaparken yolumuzu çizdik ve buraya bir tane çizik attık. Bu çizik ne biliyor musun? Bir araç bir yol boyunca 2 saat 3V hızla gidip sonra belli bir yerde hızını değiştiriyor. 4V hıza çıkıyor. Dolayısıyla şuradaki çizgi neyi ifade ediyor aslında? Hızını 3V'den 4V'ye değiştirdiği yeri ifade ediyor. Dolayısıyla biz şöyle yapacağız. Diyeceğiz ki bu sol tarafta yani yolun onu başka bir renkle göstereyim. Yolun bu parçasında hızımız farklı olacak. Bunu da şöyle başka bir renkle göstereyim. Hatta şöyle yapalım. Bu yolun bu kısmında da farklı bir hızla gideceğiz. Tamam mı? Modellememiz bu. Hatta buraya birinci kısım diyebilirsiniz. Buraya da ikinci kısım diyebilirsiniz. Tamam modellememizi yaptık. Şimdi bilinmeyenlere değişken veriyoruz. Birinci kısımda arkadaşlar zaten soru bize 3V ile hareket ettiğini. İkinci kısımda da 4V ile hareket ettiğini söylemiş. 3V ile hareketi 2 saat sürmüş. 4V ile hareketi de 3 saat sürmüş. Çok güzel. Bak bilinmeyenlere zaten soru kendi başına değişkenini vermiş. Vermeseydi ben 3V, 4V falan 3X, 4X bir şeyler verirdim. Buraya kadar da her şey okey. Buraya kadar da her şey tamam. Şimdi denklem kurma adımına geçiyoruz. Denklem kurma adımında hareket problemlerinde diğer problemlere nazaran bir tane formül var arkadaşlar. Bakın. Problemler boyunca size hiçbir tane formül vermedim. Sayı, kesir, yaş, yüzde, kar zarar, karışım. Hiçbirisinde bu formülü kullanıyorsunuz demedik. Hiçbir formül ve hiçbir kural kullanmadık. Birkaç tane dikkat notunun dışında dikkatimiz, özellik notumuz bile yoktu. Hareket problemlerinde de kullanacağımız ÖSYM'nin sorularında karşımıza çıkacak tek bir tane formül var. X eşittir V çarpı T. Yani yol eşittir. Hız çarpı zaman. Bu hareket problemlerinde kullanılan tek formüldür. Bunun dışında herhangi bir formül kullanmayacağız. Ama bu formülü de hareket problemlerinde sık sık kullanacağız. Bunu bilmeniz yeterli. X yolla ifade ediliyor. V hızla, T'de zamanla. X eşittir V çarpı T. Yani yol eşittir hız çarpı zaman. Bu formülden yola çıkarak bir anahtar kelime grubu bulacağız. Bak, aracın toplam gittiği yol 360 km. İşte bizim anahtar cümlemiz bu. Bunu kullanacağız. Aracın toplam gittiği yol. Şimdi yol diyor değil mi? Yani x. Şimdi aslında biz aracın toplam gittiği yolu şöyle ifade edeceğiz. Birinci kısım artı ikinci kısım değil mi? Birinci kısımla ikinci kısmı toplamamız lazım. Şimdi birinci kısma bakıyorum. 3 ve hızla 2 saat. Yani bu hız, bu da süre. Yani zaman. Hızla zamanın çarpımı yol. Demek ki birinci kısma tekabül eden yer 3V çarpı 2. Artı ikinci kısma denk gelen yer ikinci kısımdaki hızı çarpı zaman. Yani 4V çarpı 3. İşte bu toplam yolu verecek bize. Toplam aldığı yolu da anahtar cümlede 360 ile aldığından bahsediyordu. Bunu da 360'a eşitledim. 12V burası. 6V'de burası. 10 artık... Sık denklemi çözeceğiz. İsterseniz denklemi şu satırda çözelim. 6V, 12V daha 18V eşittir 360 yaptı. Buradan da arkadaşlar V eşittir 20 yaptı. Yalnız soru size V'yi sormuyor. Soru size diyor ki aynı yolu V hızla kaç saatte gider? Şimdi denklemi çözdük. V'yi 20 bulduk. O zaman araç birinci kısımda 3V yani 60 hızla gidiyor. İkinci kısımda da 80 hızla gidiyor. Soru bize diyor ki aynı yolu yani... 360 km'lik yolu V hızla yani 20 ile kaç saatte gider? Yolumuz X'imiz 360. Hızımızın 20 olmasını istiyor. Süreyi soruyor. Süreye de T diyelim. Her iki tarafı 20'ye bölersek T eşittir. 18 saatte gideceğini söyleyebiliriz. Tamam mı? İşte modellemeyi, değişken vermeyi, anahtar kelime grubunu ve denklemi çözmeyi bu şekilde kullanıyoruz ve 4 maddede işi bitiriyoruz. Şimdi gel bakalım soru çözelim. Yavaş yavaş gideceğim. Sizi ürkütmeyeceğim, korkutmayacağım. Yavaş yavaş tane tane anlatacağım. Tane tane. Çok mu yakınlaştık oğlum? Ne oldu ya? Dur bakayım. Yo iyi. Heh. Evet. Birinci soru ne diyor bakalım? Diyor ki saatte 110 km hızla 4 saat yol alan bir hareketlinin gittiği yol kaç kilometredir? Şimdi bir yol var. Hasret bitiren yollar, dosta götüren yollar. Şöyle bir yol var. Bu yolun arkadaşlar saatte 110 km hızla yani v eşittir 110 ile kaç saatte gidildiğini biliyoruz? 4 saatte gidildiğini biliyoruz. Bu yolu soruyor bize. Yola eğer x dersek kullandığımız tek formül neydi? x eşittir v çarpı t. Buradaki x zaten aradığımız x. Buradaki v hızımız yani 110. Buradaki t de süremiz yani 4. 110 çarpı 4'ten 440. Ne? Kilometre. 440 kilometre bu yolun tamamı arkadaşlar. Tamam mı? X eşittir, V çarpı T. İkinci soruyla devam ediyorum. Bak şimdi. Bir hareketli bir yolu saatte 40 kilometre hızla 8 saatte gidebiliyor. Bing! Hemen kafada bir şey canlandı. Bir yol var, hızımız 40, süremiz 8. Hocam, V belli, T belli. Yapmayın, gözünüzü seveyim. Ben bu yolu bulurum. Bu yolun ne kadar olduğunu hesaplarım. Hesapla hadi. Hadi hesapla. Bu yol ne kadarlık bir yol? Bu yol V'si 40 süresi yani T'si de 8. O zaman X eşittir V çarpı T'den. V'si 40, T'si de 8. 40 çarpı 8'den 320. Yani hareketli bir yolu diyor ya işte bu yol dediği yol 320 kilometrelik bir yolmuş. At cebe şimdi bunu. Bu hareketlinin aynı yolu yani... Bu hareketlinin 320 kilometrelik yolu evet 5 saatte gidebilmesi için T'nin 5 olabilmesi için kaç hızını saatte kaç kilometre arttırması lazım. Şimdi yolu 40 ile 40 ile giderken arabayla düşünün 8 saatte alıyorsunuz 40 ile giderken. Ama 5 saatte daha az sürede almak istiyorsunuz. Ne yapmanız lazım? Yol değişmediğine göre hızınızı arttırmalısınız. Soru da onu soruyor size. Diyor ki 320 kilometrelik bir yolu. Siz 40 km hızla 8 saatte alıyorsanız bu 320 km'lik yolu 8 saatte değil 5 saatte almak için hızınızı kaça çıkarmalısınız diyor. Daha doğrusu kaç arttırmalısınız diyor. Şimdi ben şöyle yapacağım. Bizim yolumuz yine 320 mi? Evet. Peki bu 320 km'lik yolu 5 saatte alabileceğimiz hıza V hızı diyelim. O zaman hızımız V süremiz 5. 5V 320 ise V buradan kaçtır? 64. O zaman cevap 64 mu? Hayır. Bak 64 bizim... 320 kilometrelik yolu 5 saatte almamızı sağlayan hız. Bizim hızımız 40'tı ama 64 ile giderek 5 saatte alabiliriz. Hızımızı 64'e çıkarmamız lazım. Peki kaç arttırmamız lazım? 64-40'dan 24 kilometre bölü saat arttırmamız lazım. Tamam mı? O zaman ne diyoruz arkadaşlar? Bas gaza yavrum bas gaza. Kim tutar seni bas gaza. Bizim zaman gençliğimde benim İsmail YK diye bir gerçek vardı ya. Yani tuhaf bir tipti gerçekten ya. Var mı hala acaba? Yoktur ya. İsmail YK mı kaldı abi? Peki 3 ile devam ediyorum. Bir araç bir yolu 12 saatte gitmiştir. Eğer hızı saatte 20 km daha fazla olsaydı, aynı yolu 9 saatte gidecekti. Buna göre bu yolun uzunluğu kaç kilometredir? Şimdi şöyle düşünün arkadaşlar. Bir yol var, tamam mı? Bak yine modelliyorum. Burada da aynı şeyi yaptım. Önce modelledim. Ondan sonra bilinmeyenlere değişken verdim. Ondan sonra denklemi çözdüm. Ondan sonra denklemi kurdum, sonra da denklemi çözdüm. Bak şimdi, önce modellememizi yapalım. 1-Yap bakalım modellemeni. Hemen yapıyorum. Bu yol. O yol. Bu yol. Şimdi bu yolu biz 12 saatte gitmişiz. Peki hangi hızla gitmişiz? Bilmiyorum ki. Bu yola x diyelim. Hızımıza da v diyelim. Gittiğimiz sürede 12 saat. Peki bana buradan bir en azından denklem kurabilir misin? Hocam burada kuracağım tek denklem şu olur. Yol eşittir. Hız çarpı zamandan 12 çarpı v. 12 v yani. Bunu kurabilirim. Peki tamam. Tamam. Şimdi. Eğer hızı saatte yine aynı yol, aynı yol yine, x yol değişmiyor. Hızını saatte 20 km daha fazla olsaydı, hızını v değil de v artı 20 yapsaydık, bu sefer de aynı yolu 9 saatte gidecekti. 12 saat değil, 9 saat olacakmış. Hocam bana buradan bir denklem daha kurabilir misin? Tabii ki kurarım kardeşim. Yol eşittir, hız çarpı zaman. Yani 9 çarpı v artı 20. Anam! Arkadaşlar bakın bu da x, bu da x. O zaman bunların eşit olduğu şeyler de birbirine eşit olmalı. Yani 12V eşittir. İçeri dağıtırsam 9V artı 180 olmalı. At 9V'yi karşı tarafa. 3V eşittir 180 olmalı. Her iki tarafı 3'e bölünce de V eşittir 60 olmalı. V'miz 60'mış. Yani başlangıçta 60'la gidiyormuşuz. Sonra da 80'e çıkmışız. 60'la giderken 12 saatte alıyormuşuz. 80'le giderken 9 saatte alıyormuşuz. Bu yolun uzunluğunu soruyor. Yani x'i soruyor. E şuradan yaparız arkadaşlar. X eşittir. V 12 çarpı V. V'de 60 zaten. 12 çarpı 60'dan 720. Hocam ben şuradan yapacağım. Allah cezanı vermesin. Oradan yap. Ne fark eder? 9 çarpı V yerine 60 yaz. 80. 60 artı 20'den. 9 çarpı 80 kaçayıştı arkadaşlar? Yine 720'ye. Değişen herhangi bir şey olmaz. Tamam mı? Yolumuzun uzunluğu kaçmış? 720 kilometreymiş. İşte böyle. Bazen yolu verecek. Bazen süreyi verecek. Bazen zamanı verecek. Bazen onu verip onu soracak. Bazen ikisini verip birini soracak. Bazen birini verip ikisiyle ilgili iki denklem verip bir tanesini soracak. Bunları sadece x'eştir veya çarpı t'yi bilir. Ve sakin kalırsak soruyu doğru değerlendirirsek halledeceğiz. Şimdi dörtle devam ediyorum. Bak şimdi gel. Diyor ki A'dan B'ye doğru hareket eden bir araç toprak yolda saatte 30 km hızla 30 km hızla asfalt yolda saatte 45 km hızla hareket ederek 7 saat sonra B'ye varıyor. A ve B noktaları arası 300 km olduğuna göre toprak yol kaç kilometredir? Hmm. Şimdi. Şimdi biz şurada zaten modellememiz yapılmış. Burada hazır modellememiz. Modelleme üstüne verilenleri bir yerleştirelim. Şimdi biz toprak yolda 30 ile gidiyoruz. Asfalt yolda da 30 ile gidiyoruz diyeyim de sanki oranın 30 olduğu anlaşılmasın. Asfalt yolda da 40 ile gidiyoruz. Şöyle göstereyim bunları. Burası tamam. Şimdi. Toprak yolda saatte 30 ile asfalt yolda saatte 45 ile gidiyormuşuz. Özür dilerim 45'miş burası. Hareket ettikten 7 saat sonra B'ye varıyoruz. Haa toplamda 7 saat. Buna göre toprak yol kaç kilometredir? Şimdi toprak yolu bulabilmek için toprak yola mesela X desek toprak yolu bulabilmek için burada geçirdiği süreyi bulmamız lazım. Çünkü buradaki hızımız 30 ama X seçtir V çarpı T ya V belli ama T belli değil. Dolayısıyla toprak yolda geçirdiği süreye T saat. diyelim. Peki toplamda kaç saatte A'dan B'ye varmış? 7 saatte. T saatini toprak yolda geçirdiyse 7-T saatini de nerede geçirmiş olacak? Asfalt yolda geçirmiş olacak. Toplayınca 7'yi versin diye. Tamam mı buraya kadar? Peki bak şimdi. Bu yolun tamamını vermiş aslında. A ve B arasını 300 olarak vermiş. Şimdi toprak yolu nasıl buluruz? Toprak yolu V çarpı T ile buluruz. V'si 30, T'si T zaten. Artı. Asfalt yolu nasıl buluruz? 45 çarpı 7 eksi t. 45 hız 7-t de zaman. Bu ikisinin bak bu toprak yolun uzunluğu. Bu asfalt yolun uzunluğu. İkisi toplam A ile B arasındaki mesafedir. Yani 300'dür. Bak buradan t'yi bulacağız. T'yi bulduktan sonra toprak yolun uzunluğunu da buluruz. Asfalt yolun uzunluğunu da buluruz. Gayet rahat bir şekilde çıkar. Peki ne yapalım? Şöyle yapalım. 5'e bölelim. Burası 60. 5'e bölelim 9. 5'e bölelim 6. 3'e bölelim 2, 3'e bölelim 3, 3'e bölelim 20. Artık biter. 2T artı 3 kere 7, 21 eksi 3T eşittir 20 yaptı. T'yi karşı tarafa atarsam T eşittir 1 yaptı. T eşittir 1 ne demek biliyor musun? Toprak yolda 1 saat, asfalt yolda da 7 eksi 1'den 6 saat geçirmişiz. Toprak yolun uzunluğunu soruyor. Toprak yola T top dersek, toprak diyelim hadi. Toprak eşittir. Oradaki hızımız 30. Oradaki süremiz 1. 30 çarpı 1'den toprak yolumuz 30 km. Peki asfalt yol kaç? İster şuradan yaparsın 45 çarpı 6. İster de tamamı 300. 30 burası ise 300-30'dan asfalt yolunda 270 km olduğunu söyleyebiliriz arkadaşlar. Tamam mı? Peki bak bunu da hallettik. Güzel güzel hallettik. Ne yaptık? Modelleme verilmişti zaten. Modellemedeki değişkenlerimizi yazdık. Denklememizi kurduk. Denklememizi çözdük, olayı bitirdik. 5 ile devam ediyorum. Bak şimdi, yine böyle topraklı asfaltlı. Bu sefer farklı bir şey vermiş, farklı bir şey soruyor. Okuyalım beraber. Diyor ki, 500 km uzunluğundaki bir yolun 100 km uzunluğundaki kısmı toprak, geri kalanı asfalttır. Bu sefer modellemeyi biz yapalım. Burası toprak yolu olsun, burası da asfalt olsun. Şimdi şurası 100 km toprak, 400 km asfalt. Şöyle. Peki. Bu sefer vermiş bak. Bir önceki soruda vermemişti. Toprağa asfaltın mesafesini kendimiz bulmuştuk. Burada vermiş. Burada da hızları vermemiş. Orada da hızları vermişti. Bir önceki soruda. Şimdi diyor ki asfalt kısımdaki hızı toprak kısımdaki hızının iki katı. Hee. O zaman buradaki toprak kısımındaki hızına V dersek bu aracın. Yani bu buradan V ile gidiyorsa. Bu buradan 2V ile gidecek. Asfaltta tabii ki daha hızlı gider bir araç. O da tamam. Peki. Güzel. Ben bunu biraz küçük mü yapmışım? Şöyle daha iyi görün. Peki şimdi olan araç yolun tamamını 6 saatte gittiğine göre. Anahtar cümleyi görüyorsunuz değil mi? Sırıtıyor. Yolun tamamını 6 saatte gittiğine göre. Bak modellememizi yaptık. Değişkenimizi verdik. Şimdi artık denklememizi kuruyoruz. Nedir bu denklem? Yolun tamamını 6 saatte gittiğine göre. Şimdi x eşittir v çarpı t mi? Soru da bize bu verilmiş. Bu da nispeten verilmiş. Aralarındaki kat verilmiş. Bu soruluyor. O yüzden t'yi yalnız bırakırsak t eşittir x bölü v olur mu? Her iki tarafı v'ye bölersek. Yani toprak kısmı gittiği süre 100 bölü v değil midir? 100 bölü v. Güzel. 100 bölü v sürede gitmiş. Yol bölü hız zamanı verir. Artı asfalt yolu gittiği sürede 400 bölü 2 v değil mi? Burada da 400 bölü 2 v de gitmiş. Bu ikisi, bak bu toprak yolu aldığı süre. Bu da asfalt yolu aldığı süre. Bu ikisi toplam yolu aldığı süreye eşittir. E soru toplam yolu aldığı süreyi 6 saatte gittiğine göre diyor. Anahtar cümle 6 saat diyor ona. Yani bunun cevabı kaça eşit? 6'ya. İşte denklemimizi de kurduk. Buradan sonra denklemi çözüp olayı bitireceğiz. Şimdi burayı 2 ile genişleteyim. 200, 400 daha 600. 600 bölü 2 ve eşittir 6. Bunlar sadeleşir 100. İçler dışlar çarpımı yaparsam 2V eşittir 100 yapar. 2V 100 ise V buradan 50 yapar. Şimdi bana ne soruyor soru ona bakayım ben. Soru bana diyor ki yolun toprak kısmını kaç saatte gitmiştir? Toprak kısmını gittiği süreye 100 bölü V demiştik. Çünkü toprak kısmın 100 mesafesi orada gittiği hız V. Hatta V'yi de 50 bulduk. Geçen süreye de T diyelim. Buna da T diyelim. 50T 100'den T eşittir. Toprak yolu 2 saatte gitmiş. Peki asfalt yolu tamamına 6 saatte gittiğine göre, toprak yolu 2 saatte gittiğine göre burayı 2 saatte gidiyorsa asfalt yolu da ne kadar saatte gitmiştir? 4 saatte gitmiştir. Tamam mı? Güzel bunu da hallettik. Peki 6 ile devam ediyorum. Ondan önce bir özelliğimiz var. Şimdi aynı yönlü harekette yani bir araç buraya gidiyor, diğer araç da buraya gidiyor. Bunların hızlarını birbirinden... Çıkarırız. Çıkarılır. Ama bunlar zıt yönlü hareket yapıyorlarsa zıt yönlü harekette arkadaşlar hızlar ne yapılacak? Top-la-nır. Bunun sebebi şu aslında. Bakın zıt yönlü hareketli hızların toplanmasının sebebi. Şimdi bir araç A noktasından belli bir noktaya gittiği zaman tek hızla, A'nın hızıyla gidiyor. Ama A noktasından bir araçla B noktasından bir araç birbirlerine doğru zıt yönlü hareket yapıp belli bir noktada karşılaştıkları zaman bu aradaki mesafeyi aslında iki hızla eritiyorlar. Yani bir tanesi, iki araba var gibi düşün. A'nın ve B'nin hızları süratle birbirlerinin... arasındaki mesafeyi kapatıyor. Dolayısıyla zıt yönde toplayarak buradaki mesafeyi çok daha çabuk kapatıyoruz gibi aklınızda tutun. Aynı yönlü harekette de arkadaşlar belli bir yerde biri birini geçecekse aralarındaki farktan gideriz aslında. Yani birisi 100 ile birisi 60 ile gidiyorsa aslında birisi 40 ile gidiyormuş gibi muamele ederiz değil mi? Yani hızları da çıkartarak birbirlerini yakalama sürelerinde buluruz. Yani aynı yönlü harekette zaten yakalamadan bahsedilir yakalama. Biri de birini yakalayacak. Zıt yönlü harekette de karşılaşmadan bahsedir. Karşılaşma. İşte karşılaşma süresini bulurken zıt yönlülerde toplama yaparız. Aynı yönlü harekette yakalama süresini bulurken aynı yönlü hareketlerin hareketli hızlarını çıkartarak işlem yaparız. Sebebi de bundan kaynaklanıyor. Şimdi 6. örnekte bunu net bir şekilde görelim. Gel. Diyor ki A ve B'den birbirlerine doğru aynı anda şekildeki yönlere hareket eden 2 araç kaç saat sonra karşılaşırlar? Bak birbirlerine zıt hareket ediyorlar. Aradaki mesafe bak nerede karşılaşacaklar? Mesafeler nerede karşılaşır? Hızlı olan bak burası orta nokta gibi düşünelim. Şuraya orta nokta gibi düşünelim. Yavaş olana doğru olan yerde değil mi? Çünkü hızlı olan orta noktanın biraz yavaş olana tarafa doğru gelir. Yani örneğin şurada karşılaştıklarını düşünelim. Buraya ben k noktası diyeyim. Bu bizim karşılaşma noktamız olsun. Şimdi bu karşılaşma noktası burası ya. Biz şöyle yapacağız. Diyeceğiz ki. Diyeceğiz ki A'dan hareket eden 40 ile B'den hareket eden 30 ile sanki bir araç hareket ediyor da bu mesafeyi 70 ile kat ediyor gibi düşüneceğiz. Yani bütün yolumuz 350 eşittir. Süremiz karşılaşma süremiz T. Hızımız da 70. 40 artı 30'dan dolayı. Çünkü birbirlerine de hareket ediyorlar. Buradan her iki tarafı 70'e bölersem T eşittir 5 saat. Yani kaç saat sonra karşılaşırlar? 5 saat. Bunu şunu sorabilir soru bize. Karşılaşma noktasına A, A daha doğrusu şöyle. Karşılaşma noktasıyla A arasındaki mesafe. Şimdi A'dan hareket eden de buradaki mesafeyi 5 saatte alıyor. 5 saat. B'den hareket eden de buradaki mesafeyi 5 saatten alıyor. Dolayısıyla 40 hız 5 süre. 40 çarpı 5'ten burası 200. Burası da 30 çarpı 5'ten 150. Gördün mü tamamı 350. A'dan... 200 metre sonra karşılaşıyorlarmış. Bunu da sorabiliyor bazen sorular. E biz karşılaşma süresini bulduktan sonra zaten hepsini yaparız. Tamam. Bir makas alayım ve devam edelim. Şimdi örnek 7. Bak şimdi. Diyor ki az önce söylediğimin aynısı sorduğumun aynısı yani verdiğim en son bilginin aynısı. 20 ile ve 30 ile birbirlerine doğru hareket ediyorlar. Aralarındaki mesafede 600 kilometre. İki hareketli A ve B noktasından aynı anda birbirlerine doğru hareket ediyorlar. A noktasından kaç kilometre uzakta karşılaşırlar? Şimdi 30 daha hızlı olduğu için şuraya mesela orta nokta dersek şurada bir yerde karşılaşacaklar. Karşılaşma yerlerine K diyelim. O zaman 600 kilometre mesafe. Bunların hızları 30 artı 20'den 50. Çünkü birbirlerine doğru hareket ediyorlar. Karşılaşma sürelerine de T diyelim. Her iki tarafı 50'ye bölersek T eşittir 12 saat. Yani bunlar A'dan ve B'den zıt yönde hareket eden araçlar 12 saat sonra karşılaşıyorlarmış. A'dan ne diyor? A noktasından kaç kilometre uzakta karşılaşırlar? Yani aslında bize AK mesafesini soruyor. AK mesafesini aldığı hızı biliyoruz 20 kilometre. Buradaki süreyi de biliyoruz 12 saat. O zaman 12 çarpı yani biz aslında AK uzunluğunu buluyoruz. Yolu buluyoruz yani. Yol eşittir. Geçen süre yani zaman... Çarpı oradaki hız. Yani 12 çarpı 20'den 240 olacak arkadaşlar. 240 kilometre AK. BK mesafesi de 600'den 240'ü çıkartırsak 360 kilometre de orası olur. Tamam mı? Anlaştık mı? Onu da sorabilirdi. Onu sorsaydı ya AK'yı bulup çıkartırdık ya da bu sefer 30 ile 12'yi çarpardık. 30 hız 12 süre tamam mı? Karşılaşmanın mantığı aslında bu. Şimdi buraya gel. Yavaş yavaş değiştiriyoruz soruyu. Bir tık daha zorlaştırıyoruz. Burada aslında bir şey yok. Burada karşılaşmayla ilgili de çok bir şey yapmayacağız. Bak şimdi güzel bir şekilde okuyalım soruyu. Diyor ki, soru bize diyor ki, A ve B şehirlerinden, şehirlerinden, saatteki hızları 80 km ve 70 km olan iki araç, aynı anda birbirlerine doğru hareket ettikten... 3 saat sonra aralarında ilk kez 110 kilometre kalıyor. Hımm. Buna göre yavaş olan araç bu yolun tamamını kaç saatte alır? Şimdi yolun tamamını bilseydik, zaten yavaş olan aracın 70 ile giden araç olduğunu bildiğimiz için soruyu direkt çözerdik. Mesela AB mesafesinin 700 olduğunu bilseydik 700 kilometre, 70 ile giden orayı 10 saatte alır der ve bitirirdik. Ama bilmiyoruz, zaten bunu bulduracak bize. Şimdi bunlar aynı anda birbirlerine doğru hareket ettikten 3 saat sonra. Bir tanesi buraya gelir karşılaşırlar demiyor bak. 3 saat sonra bu arkadaş buraya gelir. Bu arkadaş buraya gelir. Ve aralarında 110 kilometre mesafe kalıyormuş. Şöyle. Peki buraya mesela x noktası diyelim. Buraya da y noktası diyelim. A x arasındaki mesafeyi nasıl hesaplarız? 3 saatte gelmiş bak. Bu buraya 3 saatte gelmiş. A x'e 3 saatte gelmiş. B de y'ye 3 saatte gelmiş abi. O zaman 80 ile giden 3 saatte ne kadar yol alır? 80 hız, 3 de süre, zaman. 80 çarpı 3'den 240. Yani bu arası 240 kilometreymiş. Peki 70 ile giden 3 saatte ne kadar yol alır? 210 kilometre. Bak bulduk aradaki mesafeyi. 240, 210 daha kaç yapar? 450. 110 daha kaç yapar? 560. Yani aradaki mesafe, AB, toplam mesafe kaçmış? 560. Soru bize diyor ki, 560 km'lik yolu. Yavaş olan 70 km hızla giden araç ne kadar sürede alır? X eşittir. V çarpı T. Her iki tarafı 70'e bölersem T eşittir. 8 saatte alır diyebiliriz. Anlaştık mı? Tamam değil mi? Bunu da halletmiş olduk. 11 ile devam ediyorum. Bak şimdi bu da böyle biraz çetrefilli gibi duruyor ama aslında değil. Şimdi böyle beni tane tane, beni dikkatli bir şekilde dinliyorsun. Şimdi diyor ki, soruyu da güzel okuyalım. Şimdi A ve B noktalarında bulunan iki aracın hızları sırasıyla 100 km bölü saat ve 80 km bölü saattir. Tamam. Araçlar aynı anda birbirlerine doğru hareket ederlerse 2 saat sonra karşılaşıyorlar. Mükemmel bilgi. Bak çok güzel bilgi. Biz buradan AB arasındaki mesafeyi bulabiliriz. Nasıl bulabiliriz? Şu ilk paragraftan bunu bir bulalım isterseniz. Arkadaşlar AB arasındaki mesafe AB diyelim. AB arasındaki mesafe. Bunlar birbirlerine doğru hareket ettikleri zaman hızları toplanacak. Karşılaşma sürelerine de 2 saat demiş. 2 çarpı 180'den 360. AB arasındaki mesafe 360 kilometreymiş. Harika. Unutulduk. Sonra diyor ki bu iki araç aynı anda aynı yöne hareket ederlerse yani bu 100 ile sağa doğru bu 80 ile sağa doğru hareket ederse A'dan hareket eden D'den hareket edene kaç saat sonra yetişir? Yani bu sefer de yakalamayı sormuş. Peki yakalama nasıl yapılıyordu? Aralarındaki mesafe 360 eşittir. Bu sefer aynı yöne hareket ettikleri için hızlarını birbirinden çıkartıyoruz. Yani 100'den 80'i çıkartıyoruz. Aslında hız 20'ymiş gibi davranıyoruz. Peki süremiz ne? Onu da soruyor bize işte. Yakalama süresine de T diyelim. Her iki tarafı 20'ye bölersek T eşittir. 18 saatte yakalar diyeceğiz. Anlaştık mı? Tamam. İlk bilgiyle bize aralarındaki mesafeyi buldurdu. İkinci bilgiyle de yakalama süresini buldurdu. Arayan bulur. Peki devam ediyorum. 10. soru. 10. soruyla devam ediyorum. Şimdi diyor ki yine rahat ol. Çok rahat ol. Bak şimdi dinle beni. Diyor ki A noktasından hızları saatte 60 km ve 40 km olan iki araçtan... Hızlı olan diğerinden bir saat önce hareket ediyor ve B'ye varıp beklemeden geri dönüyor. Diğer araçla B'den 150 kilometre uzaklıkta olan C noktasında karşılaşıyorlar. Buna göre A, B kaçtırır. Soruyu anlarsan yaparsın, soruyu anlamazsan hareket problemlerinde yapma şansın çok düşer. Onu onunla çarpıp bölüp bir şeyler yaparsın. A aynı yönde hareket ediyorlar. Hızlarını çıkarayım 20, 150, 20'yi 150'ye böleyim 7,5 falan. Sonra onu bir 40'la çarpayım falan gibi böyle saçma zaman şeyler olur. Bak şimdi. Şöyle oluyormuş. Hızlı olan araç, bak hızlı olan yani 60 ile giden araç diğerinden 1 saat önce hareket ediyor ve buradan başlıyor. Hatta izlediği yolu beraber konuşalım. Buradan başlıyor arkadaşlar. Başlıyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor Buradan başlayan andaval da C'ye gelmiş oluyor. Yani bu buraya gelip buraya döndüğünde bu da buraya geldiğinde burada karşılaşıyorlar. Mevzu bu aslında. Bundan ibaret. Tamam mı? Şimdi bakalım. A'cı arasındaki mesafeyi bilmiyoruz. Buraya x kilometre diyelim. Şimdi bana 60'la hareket edenin toplam aldığı yolu söyler misiniz? Tamam 60'la hareket edenin aldığı yolu söyleyin. Bir daha bakın. Geldim başladım. Böyle buraya B'ye geldim. Beklemeden buraya döndüm. Bak x kilometre aldım. 150 daha aldım. Bir 150 daha aldım. Kaç? X artı 300. Bakın X artı 300 nedir? Hızlı olanın aldığı yoldur. Peki hızlı olanın bu yol eşittir. Hız çarpı zaman. Peki hızlı olanın hızı kaç? 60. Peki hızlı olan bu yolu yani A'dan B'ye B'den tekrar C'ye yol var ya bu yolu ne kadar saatte alsın? Vermiş mi soru onu? Hayır. T saat olarak verelim. T saat de alsın. Güzel. Bu cepte. Şimdi bana yavaşla hareket edenin aldığı yolu söyler misiniz? Hocam yavaşla hareket eden zaten buraya geliyor C'ye. C ile karşılaşıyorlar. Yani yavaş olan hareketlinin aldığı yol zaten sadece ve sadece X. Tamam çok güzel. Peki bana yavaş olanın hızını söyler misiniz? Hocam 40. Tamam bu da çok güzel. Peki bana yavaş olanın... Burayı aldığı süreyi söyler misiniz? Şimdi burada dur. Bak burada şöyle bir durum var. Burada hızlı olan 1 saat önce hareket ediyor. Yani hızlı olanın bu A'dan B'ye B'den C'ye gittiği yol var ya. O yolun içerisinde kalma o yolu alma süresi diğerine göre yavaş olana göre 1 saat daha fazla. Çünkü bir saat daha önce hareket ediyor. Biri 10'da çıkıyorsa, yavaş olan 10'da çıkıyorsa, hızlı olan 9'da çıkıyor. Dolayısıyla hızlı olan bu yolu t saatte aldıysa ve daha fazla, bir saat daha fazla sürede aldıysa, yavaş olan bu yolu bir saat eksik sürede almıştır. Yani t-1'de. Soru bitti. Niye bitti? Yukarıda x yerine bunu yazarsanız t'yi bulursunuz. Bak x yerine... 40T-40 yazalım. İçeri de dağıttım bak. 40T-40 artı 300 eşittir. 60T diyelim. 40T'yi bu tarafa attım. 20T eşittir. 300'den 40 çıktığı zaman 260. Buradan T eşittir. Kaç yapar? 13. Yani hızlı olan 13 saatte, yavaş olan da 12 saatte alıyormuş. Bak, 1 saat önce hareket ettiği oradan yola anlaşılıyor. Daha fazla süre gitmiş, 1 saat daha fazla. Buna göre AB arasındaki mesafe kaçtır diyor. AB arasındaki mesafe arkadaşlar x artı 150. Biz önce x'i bulalım. x'i nasıl bulacağız? Aha şuradan bulacağız işte. x eşittir 40 çarpı t yerine 13 yazarsam 12. 40 çarpı 12'de 480. Yani bu aradaki mesafe 480. 150'de yanında 480 artı 150'den AB arasındaki mesafe 630 kilometredir. Mevzuyu umarım güzel bir şekilde anlamışsınızdır diye ümit ediyorum. Tamam mı? Peki. 13 ile devam ediyorum. Yine tane tane beraber okuyalım. Bakalım ne diyormuş. Şimdi bu sefer A'dan 60 ve 40 ile aynı yöne hareket eden 2 araç var. 2 araç. Bak şunu da söyleyeyim. Hocam burada niye hızlarını birbirinden çıkartmadık? Çünkü yakalama süresiyle ilgili falan bir şey sormuyor. Hızlar toplanır çıkarılır muhabbeti. Karşılaşma süreleri ve yakalama süreleriyle alakalı bir şey. Burada karşılaşma süreleriyle ilgili bir şey söylememiş. Burada da mesela. Yakalama süresiyle ilgili bir şey söylediğini zannetmiyorum. Bir bakayım. Sanki söylemiyor. Okuyalım soruyu. İki araç A'dan B'ye doğru aynı anda hareket ediyorlar. Bu sefer aynı anda hareket ediyorlarmış. Biri diğerinden erken geç falan çıkmıyor. Hızlı olan araç B'ye varıp 2 saat mola verdikten sonra aynı hızla geri dönüyor. Bu araç diğer araçla C noktasında karşılaştığına göre B, C kaç kilometre? Bir öncekine çok benziyor. O yüzden bu soruyu bir denemenizi, bir şans vermenizi istiyorum. Ama yapamazsanız canınızı sıkmayın. Çünkü daha başlangıçtayız. Ben şimdi yapacağım. Ama bir denemekten zarar gelmez. Onu güzel şekilde, bir önceki soruyu güzel şekilde anladıysanız denemekten zarar gelmez. Şimdi gel. Gel şimdi. BC arasındaki mesafe x kilometre diyerek başlayalım. Şimdi bana 60 ile hareket edenin aldığı yolu söyler misiniz? Hızlı olan araç. buraya kadar geliyor şöyle 400'ü alıyor, X'i alıyor, geri dönüyor, C'de karşılaşıyorlar. Yani X, 2X artı 400. 2X artı 400 hızlı giden aracın aldığı yol. 60 zaten hızı, süresine de yine T diyelim. Şimdi yerine gelelim. Yavaş olan aracın aldığı yol dörttü zaten. A'dan C'ye gidiyor o direkt. Yavaş olan aracın hızı zaten 40. Şimdi burada kafan karışıyorsa bunun yolda kalma süresini düşün. Şimdi A'dan hareket eden araç, hızlı olan araç B'ye gidip sonra C'ye gidip karşılaşıyorlar ya bunlar. Şimdi A'dan hareket eden aracın önce B'ye, B'den de C'ye gidişine T saat dedik. Ama burada 2 saat mola vermiş. Yani... Yani 2 saat hiç yol almamış. Mola vermek ne demek? 2 saatlik bir kayıp var. Hiç mola vermemiş. Diğeriyle aynı anda oraya vardıklarına göre demek ki arkadaşlar diğeri bundan 2 saat daha fazla yolda kalmış. Çünkü mola verdiğini söylemiyor. Mola veren birinci hızlı olan araç. Hızlı olan araç mola vererek T saatte gittiyse 2 saatte molası var. Demek ki T artı 2 saat sürmüş oraya gitmesi. Diğerinin de T artı 2 saat sürmüş. O zaman T artı 2 ile gittiğini anlayabiliriz. söyleyebiliriz. Şimdi buradan t'yi bulalım isterseniz. Bunlar sadeleşti. 10 yaptı. 2'yi de karşı tarafa attım. t buradan 8 yaptı. t 8 ise burada 8'i yerine yazarak da x'i bulalım. 2x artı 400 eşittir. 8 6 kere 8 48 480 buradan 2x eşittir 80 yapar. Buradan da x eşittir 40 yapar. x 40 ise bize bc'yi soruyor. Zaten ona biz x demiştik. Cevabımız 40 olarak bulunmuş olacak. Tamam mı? Bitti. Yavaş yavaş sakin sakin değerlendirdiğimiz zaman bir problem olmuyor. Şimdi gelelim buraya. Okuyalım. Okuyalım. A şehrinden B şehrine bir otomobil ve bir kamyonet hareket ediyorlar. Otomobilin hızı saatte 80'miş. Kamyonetin hızı da saatte 60'miş. Güzel. Kamyonet otomobilden 2 saat önce yola çıkıp otomobil B şehrine vardıktan 1 saat sonra B şehrine vardığına göre A ve B arasındaki mesafe. Yine sakin kalacağız arkadaşlar. Sakin sakin yapacağız. Bakın şimdi bir yolumuz var. Bu yolumuzun başında A şehri var. Bu yolunun solunda da B şehri var. Şimdi buradan 60 kilometre, 80 kilometre ile hareket eden bir aracımız var. Aynı şekilde 60 kilometre ile hareket eden bir aracımız var. Bu aracın otomobil olduğunu söylemiş. Bu aracın da kamyonet olduğunu söylemiş. Yavaş olan kamyonet. Şimdi kamyonet otomobilden... 2 saat önce yola çıkıp diyor. Şimdi bu aradaki mesafeyi bilmiyorum. Bu aradaki mesafeyi hemen x kilometre diyorum. Zaten soru da onu soruyor bize. Şimdi öncelikle isterseniz biz otomobilin aldığı yolu bulalım. Yani otomobilin aldığı yol ve süreyle bağlantısını bulalım. Şimdi otomobil x kilometre yol almış ve otomobil hızı 80. Ve arkadaşlar otomobilin t sürede buraya yol aldığını düşünelim. 80 t tamam mı? Şimdi aynı yolu Kamyonet 60 hızla alıyor. Sürede nasıl bir şey var? Kamyonet otomobilden 2 saat önce yola çıkıyor. Demek ki otomobilden 2 saat daha fazla yolda kalıyor. O zaman T, T artı 2 oldu bile şimdiden. Bir de B'ye otomobil vardıktan 1 saat sonra varıyor. Ooo 1 saatte orada gecikme var. Toplamda otomobilin A-B arasında yolda kaldığı süreden 3 saat daha fazla yolda kalıyor. Yani... T artı 3 ile orayı aldığını söyleyebiliriz. Soru bitti. İkisi de X olduğu için soru bitti. 80T eşittir. 60T artı 180 diyebiliriz. Buradan 20T eşittir. 180 diyeceğiz. Buradan da T eşittir. 9. Bize AB arasındaki mesafeyi yani X'i soruyor. T yerine burada 9 yazarsanız 9 çarpı 80'den cevabımız 720 km olarak bulunmuş olacak. Tamam mı? Tamam güzel. Şimdi 13. Ne vermiş? AB BC'ye eşit demiş. BC de CD'ye. Harika harika muhteşem. Şimdi A'dan saatte V kilometre hızla hareket eden bir araç. B ve CD mevcut hızını 2 kat arttırarak. Bak 2 kat arttırarak ne demek hızını? Hızını 2 katına çıkararak demiyor. Hızını 2 kat arttırıyormuş. Yani V hızını 2 ve arttırıyormuş. arttırıyor. V'nin iki katı 2V. 2V arttırıyor ve 3V yapıyor. Sonra B ve C'de, bak B'de hızını iki kat arttırdı, 3V yaptı. C'de de hızını iki kat arttırıyormuş. 3V'nin iki katı 6V. 6V arttırırsa burada da 9V ile gidiyor. Çok güzel. Şimdi C ve D arasını iki saatte alan bu araç. Şimdi buraya x kilometre, buraya x kilometre, buraya x kilometre derseniz C ve D arasını yani x yolunu 9 ve hızla 2 saatte alıyormuş. Yani x eşittir 18 v imiş. Tamam burası 18V imiş. Burası da 18V imiş. Burası da 18V imiş. Çok güzel. Peki diyor ki A ile C arasını V hızıyla hareket ederek A ile C arasını kaç saatte alır? Şimdi A ile C arası A burası, C burası. A ile C arasındaki mesafe gördüğüm kadarıyla 2X. Yani 36V. Peki 36V'lik yolu V hızla... Ne kadar sürede alırız? Yol eşittir, hız çarpı zaman. V'ler birbirini götürür, t eşittir 36. 36 saatte alırmışız. Tamam mıdır? Tamam, güzel. Peki devam ediyorum. Çembersel hareket. Arkadaşlar eskiden bunun çok değişik kazanımları vardı yani. Buna özel formüller vardı vesaire falan. Şu anda öyle bir şey kalmadı. Çembersel hareketi aynı doğrusal hareket gibi çözüyoruz. Sadece birkaç böyle çevreyle alakalı bazı dinamikler oluyor. Onu da zaten sorularda, mor sorularda falan da göstereceğim. Ama hiç önyargıya kapılmayın. Buraya kadar iyiydi de işte buradan sonra benim zorunum başlıyor falan demeyin. Burası da aynı öyle çözülüyor. Bak şimdi bunu çözeceğim sonra size şunu soracağım. Bu çözdüğümün acaba normal doğrusal yolda çözdüğümden herhangi bir farkı var mı? Bak şimdi çevresi 600 km olan dairesel pistte 2 araç A noktasından aynı anda aynı yönde hareket ediyorlar. Buna göre bu 2 araç hareket ettikten kaç saat sonra ilk kez yan yana gelir. Yani yakalama sorusu. Yani hızlı yavaşı yakalar ya da yan yana gelirler diye soruyor. Şimdi bunu da ne yapacağız arkadaşlar? Yine aynı, aynı yöne hareket edenlerin hızlarını ne yapıyorduk? Çıkartıyorduk. O zaman yolumuz 600. Aynı yöne hareket ettikleri için 30-10'dan 20'den sanki 10'la hareket eden bir araç varmış gibi düşüneceğiz. Yakalama süresine de t diyeceğiz. Buradan t eşittir. At bir saat yapacak. Bitti. Bu kadar. Tamam mı? Tamam. Yani bir farkı yoktu. Bak bunun da yok. Gel. Çevresi 150 km olan dairesel pistteki iki araç aynı noktadan, aynı yönde ve aynı anda sırasıyla 40 ve 35 km hızla harekete başlıyorlar. Buna göre bu iki araç hareket ettikten kaç saat sonra üçüncü kez yan yana gelir. Tabii dairesel yollarda böyle bir durum var. Sürekli döndükleri için ikinci, üçüncü, beşinci kez yan yana gelme durumları var. Doğrusal yolda böyle bir şey yok. Onlar gidiyorlar. Peki o zaman şöyle yapalım. Diyelim ki... 150 km yol aynı yönde ve aynı anda hareket ettikleri için 40'dan 35'i çıkar. 5 hızımız. T'de süremiz. T eşittir 30. Yani 30 saatte birinci kez yan yana geliyorlar. 60 saatte ikinci kez yan yana gelirler. 90 saatte de üçüncü kez yan yana gelirler. Bu kadar basit. Tamam. Bir kere yan yana geldikten sonra hızlarının sabit olduğunu bildiğimiz için bir 30 saatte bir daha yan yana gelirler. bir 30 saatte bir daha yan yana gelirler. Yani cevap 90. Anlaştık mı? Gel şimdi buraya 16. Vay maşallah. Bursalılara buradan selamımızı gönderiyoruz. Ve bütün bunları yaparak Bursa sporumuza destek olabilir. Hızları dakikada 20 metre ve 12 metre olan iki hareketli çember üzerinde A noktasından aynı anda ters yönde hareket ettikten 6 dakika sonra karşılaşıyorlar. Abağğğ. Buna göre yavaş olan hareketli karşılaşmadan kaç dakika sonra A noktasına ulaşır? Şimdi bak bunlar A noktasından hareket edip bir yerde karşılaşıyorlar. Tabi hızlı olan 20 ile gittiği için 12'ye göre şurada bir yerde karşılaşacaklar. Yani yarısı şurasıysa yolun şurada bir yerde karşılaşacaklar. Buraya karşılaşma noktaları diyelim tamam mı? Şimdi bu karşılaşma noktalarına bu arkadaşlar 6 dakikada gidiyorlarmış. Peki biz bunları nasıl yapıyorduk? Yani buradaki olay neydi? Buradaki olay şuydu. Bu... Pistin çevresi buna X diyelim eşittir. Aynı yönde zıt hareket yaptıkları için hızları toplanıyor. 32 çarpı karşılaşma süreleri de 6 dakika. Yani 192 metreymiş. Kilometre değil burada dakika ve metre cinsinden vermiş. Peki 192 metre bu pistin tamamen çevresi. Şimdi bakın bu A'dan hareket eden de bu K'ya yani şu yol var ya bu yol. Bu karşılaştıkları noktaya kadar yol. Bu 6 dakikada alıyor. Aynı şekilde buradan hareket eden 12'lik de burayı 6 dakikada alıyor. Orada karşılaşıyorlar. Peki 20 ile hareket eden 6 dakikada ne kadar yol alır? 120. Peki 12 ile hareket eden 6 dakikada kaç yol alır? 772. Yani bak şöyle aynı renklerle göstereyim. Burasının 120 olduğunu bulduk. Başka bir renkle gösteriyorum. Burasının da 72 olduğunu bulduk. Zaten toplayınca 192 yapıyor. Yavaş olan hareketli. Bak artık yavaş olan buradan 12 ile böyle devam ediyor. Hızlı olan da buradan 20 ile böyle devam ediyor. Yavaş olan hareketli A'ya kaç dakikada ulaşır diyor. Şimdi K'da ya yavaş olan. A'ya gitmesi için 120 metre yol alması lazım. 120. Peki bu yolu ne kadar hızlı alıyor? 12 ile alıyor. Ne kadar süreyle alsın? T. Her iki tarafı 12'ye bölün. 10 dakikada alırmış. Tamam mı? Bitti. Hareket problemleri soruları bir anda bitiyor değil mi? Yani böyle devamı var zannediyorsun ama lap diye bitiyor. Peki 16'yı da hallettik. Güzel bunu da çözdük. Bu da tamam. Şimdi 17 ile devam ediyoruz. Hocam korkutucu ya. Dersin son sorusu ama korkutucu değil. Vallahi değil. Kur'an çarpsın değil. Gel. O merkezli dairesel pistin A ve B noktalarından aynı anda oklar yönünde birbirlerine doğru hareket eden iki araç ilk kez 5 dakika sonra karşılaşıyorlarmış. Yani bak buradan A'dan ve B'den birbirlerine doğru hareket ediyorlar. Karşılaştıkları yer. Yani bilmiyorum orta gibi olmasın ama şuralarda bir yerde karşılaşıyorlar. Karşılaştıkları yer burası ve 5 dakikada karşılaşıyorlarmış. Bu araçlar kaç dakika sonra 4. kez karşılaşırlar. Şimdi şöyle düşüneceğiz. Diyeceğiz ki bunlar 60 derecelik mesafede 5 dakikada karşılaşıyorlar. Pistin tamamı kaç derecedir? 360 derece. O zaman bunlar 360 derecede. Yani birinci karşılaşma anlarından sonra bütün çemberi düşünürsek. O bütün çember olan 360 dereceyi 5 katı 6 katı olduğu için 30 dakikada karşılaşırlar. Yani birinci karşılaşmaları 5 dakika sürer. İkinci karşılaşmaları 30. Üçüncü karşılaşmaları 30. Dördüncü karşılaşmaları 30. Dördüncü kez karşılaştıklarında toplamda 95 dakikanın geçtiğini söyleyebiliriz. Ve bu soruyla bu dersi bitirmiş oluyoruz. Şimdi bana şunu söyleyin arkadaşlar. Gerçekten... hareket problemlerinden korktuğunuz kadar zor bir ders miydi? Bunu söyleyin. Hani size şunu sormuyorum hocam ama sonraki dersler sonraki derslere sonra bakarız. Bir dakika. Şimdi öncelikle şu işlediğimiz bir dersi konuşalım. Şimdi bu derste gerçekten çok mu zorlandın? Bunlar ne ya? Ben bunları nasıl akıl edeyim falan mı dedin? Hayır. Bu dersi anladın mı? Bu dersi anladıysan bu iş bitti. Çünkü tamamen hareket problemleri bunların üzerine kurulu. Bundan sonraki derslerde de yapacağımız şeyler farklı olmayacak. Evet. bazılarının metinleri daha karışık olacak. Hikayeleri daha karışık olacak. Anlamakta biraz daha zorlanacağız ama anladığımız anda soru yine bunlara dönecek. Çözüm haritaları yine bunlara dönecek. Kullanacağımız tek formül yine bu. X'eştir, V'ye çarptı olacak. O yüzden ne olursunuz ön yargılı davranmayın. Bizi matematikte bitiren, problemlerde bitiren en önemli şey ön yargıdır. Soru çok uzun yani zordur. Aa grafik vermiş demek ki çözülemez bir soru. Ya bu ne? Hiç sayı yok içerisinde demek ki çok zor. Bunların hepsi... aşılması gereken ve beraber tek tek aştığımız önyargılar hareket problemlerinde de bu önyargıyı aşacağız. Ha ÖSYM bazı yıllarda çok zor hareket problemleri soruları sordu geçmişte. Biraz önyargılar aslında onlardan kaynaklanıyor. Yani çok geçmiş sorulara bakmayan öğrencilerde aslında önyargı bile yoktur çok fazla. Geçmiş yılların sorularına biraz bakan özellikle mezun öğrencilerde önyargı biraz oluyor hareket problemlerinde ama o yıllar geride kaldı bir kere arkadaşlar. Yani artık ÖSYM'de öyle bir hareket problemi... Tarzında bir soru bile görmüyoruz. Genelde soruları şeye bağlıyorlar birazcık. Sayı problemlerine bağlıyorlar. Biz zaten şu anda hareket problemlerinin temel mantığını oturttuktan sonra ÖSM seviyesi sorularda da yani ÖSM tarzı sorularda da ne yapmamız gerektiğini hep beraber görmüş olacağız. Yani kısacası endişelenmeyin ya. Hani onu söylüyorum yani. Şimdi bu soruyu yıldızlıyorum. Güzel bir soruydu. Bunu yıldızlamıyorum. Bunlar temel sorulardı. Bunu da yıldızlamıyorum. Bunu da yıldızlamıyorum. Bunu da yıldızlamıyorum. Bunu yıldızlayayım. Bir tanesini yıldızlayacağım. Ya 10'u ya 11'i. Ben 10'u yıldızlamayı seçtim. Peki. Bunu da yıldızlıyorum arkadaşlar. Süreden gittiğimiz bir soruydu. Önemli. Bunu da yıldızlıyorum. Daha da yıldızlamayacağım. Gerisi zaten temel sorular. Lütfen. Lütfen. Öyle bir sahne var ya. İbrahim Tatlıses'in filminden. İbrahim. Lütfen. Biliyor musunuz onu? Şimdi anlarım. Kamp programını benimle beraber bir açın lütfen. 40. 4. gündeyiz. 44. gündeyiz değil mi? Aynen. 45. gündeyiz lan. Ne 44'ü? 45. günün birinci dersini hallettik. İki tane ödevin var. Sana zahmet. Bu iki tane ödevi de güzel bir şekilde yap, hallet, bitir. Hareket problemlerinin ikinci dersinde de az bir kısmımız kaldı. Mor soru da çözeceğiz orada. Sonra bir testte ödeviniz olacak. İkinci derste. Sonra hareket problemlerinin konu anlatım kısmını beraber tamamlamış olacağız. Gelin şöyle Şafak Sayarımızdan da 44. Niye ben 44 deyip duruyorum ya? 44 bitti hocam. 45. güne geçtik artık. Sen de geçmişi geride bırak. Canlarım hepinizi çok seviyorum. Güzel bir dersti. İştirak eden arkadaşlarımızın ellerine, emeklerine sağlık, zihinlerine sağlık. Bir sonraki derste görüşmek üzere. Kendinize iyi bakın. Hoşçakalın.

Canlarım benim, selamlar, merhabalar. 70 günde TET Matematik kampımızda geldik 45. güne. Hareket problemlerini konuşacağız. Bazı kaynaklarda hız problemleri diye de geçer.

Şimdi, problem türleri içerisinde en zorlandığınız, en böyle ön yargılı olduğunuz problem türlerinden bir tanesi olduğunu düşünüyorum hareket problemlerinin. Aslında hareket problemlerinin sayı problemleri gibi çözüldüğünü gördükçe, buradaki ön yargılarınız da tamamen kırılacak. Yani hareket problemleriyle işimiz bittiği zaman, Çıkmış sorularını da gördüğünüz zaman ya gerçekten hani bu kadar benim önyargılı yaklaştığım kadar da böyle zor bir şey değilmişi sizlere söyletme hedefindeyim.

İnşallah hareket problemlerini ödevleriyle beraber bitirdiğimizde de bunu beraber konuşuyor olacağız diye düşünüyorum. Ve arkadaşlar hemen 70 günde TET Matematik video ders kitabımızdan kamp programını şöyle beraber bir açalım. 45. gün güzel.

Hareket problemleri 1 sayfa 204, 205, 206'yı. Video ders kitabından konuşuyor olacağız. Peki ödevimiz var mı?

Var. Bakın problemlerde nadirdir. Temel tanım testinde iki ödev verdiğim. Bugün fazla kazanım konuşacağımız için iki test ödeviniz var soru bankasında. Sayfa 228 ile 231 arasındaki hareket problemleri.

Temel tanım testi 1. Temel tanım testi 2. İki teste ödeviniz var sadece bu ders için. Bundan sonraki derste yani 45. günün ikinci dersinde de. Hareket problemlerinin konu anlatımına devam edeceğim ve buradan bir temel tanım testi daha ödev vereceğim.

Yani 45. gün yoğun geçen bir gün olacak. 2 ders toplamda video ders kitabından 5 sayfa konu anlatımı konuşacağız. Soru bankasından da 3 temel tanım testi ödevi konuşacağız.

Yani sağlam bir gün sizi bekliyor arkadaşlar. Bugün böyle sindire sindire bitirdiğiniz takdirde... Yarın zaten soru çözümünde işe noktayı koymuş olacağız. İsterseniz hiç vakit kaybetmeden ben hemen hareket problemlerinin format metodunda nasıl uygulanışını sizlere göstermeye başlayacağım. Her problem türünü formatladığımız gibi hareket problemlerini de 4 adımda formatlayacağız.

Haydi bakalım problemimiz neymiş? Problemimiz şuymuş. Bir araç bir yol boyunca 2 saat 3 veya hızla, 3 saat 4 veya hızla hareket ediyor.

Gittiği yol 360 km olduğuna göre bu araç aynı yolu saatte ve hızla kaç saatte gider? Şimdi arkadaşlar ne yapıyoruz? Modelliyoruz.

Bilinmeyenlere değişken veriyoruz. Denklem kuruyoruz ve denklemi çözüyoruz. Adımlarımız yine aynı. Hareket problemlerinde modelleme yaparken genelde böyle yolu modelleriz.

Hani bize genelde yol verilir. Yolu modelleriz ve yol genelde işte böyle doğrusal bir çizgiyle gösterilir. Karşılaşma noktalarını ya da hızının değiştiği noktaları ya da... yolun türünün değiştiği noktaları falan böyle gösteririz. Şimdi bakın modelleme yaparken yolumuzu çizdik ve buraya bir tane çizik attık.

Bu çizik ne biliyor musun? Bir araç bir yol boyunca 2 saat 3V hızla gidip sonra belli bir yerde hızını değiştiriyor. 4V hıza çıkıyor.

Dolayısıyla şuradaki çizgi neyi ifade ediyor aslında? Hızını 3V'den 4V'ye değiştirdiği yeri ifade ediyor. Dolayısıyla biz şöyle yapacağız.

Diyeceğiz ki bu sol tarafta yani yolun onu başka bir renkle göstereyim. Yolun bu parçasında hızımız farklı olacak. Bunu da şöyle başka bir renkle göstereyim. Hatta şöyle yapalım. Bu yolun bu kısmında da farklı bir hızla gideceğiz.

Tamam mı? Modellememiz bu. Hatta buraya birinci kısım diyebilirsiniz.

Buraya da ikinci kısım diyebilirsiniz. Tamam modellememizi yaptık. Şimdi bilinmeyenlere değişken veriyoruz. Birinci kısımda arkadaşlar zaten soru bize 3V ile hareket ettiğini.

İkinci kısımda da 4V ile hareket ettiğini söylemiş. 3V ile hareketi 2 saat sürmüş. 4V ile hareketi de 3 saat sürmüş. Çok güzel.

Bak bilinmeyenlere zaten soru kendi başına değişkenini vermiş. Vermeseydi ben 3V, 4V falan 3X, 4X bir şeyler verirdim. Buraya kadar da her şey okey.

Buraya kadar da her şey tamam. Şimdi denklem kurma adımına geçiyoruz. Denklem kurma adımında hareket problemlerinde diğer problemlere nazaran bir tane formül var arkadaşlar. Bakın. Problemler boyunca size hiçbir tane formül vermedim.

Sayı, kesir, yaş, yüzde, kar zarar, karışım. Hiçbirisinde bu formülü kullanıyorsunuz demedik. Hiçbir formül ve hiçbir kural kullanmadık. Birkaç tane dikkat notunun dışında dikkatimiz, özellik notumuz bile yoktu. Hareket problemlerinde de kullanacağımız ÖSYM'nin sorularında karşımıza çıkacak tek bir tane formül var.

X eşittir V çarpı T. Yani yol eşittir. Hız çarpı zaman. Bu hareket problemlerinde kullanılan tek formüldür. Bunun dışında herhangi bir formül kullanmayacağız.

Ama bu formülü de hareket problemlerinde sık sık kullanacağız. Bunu bilmeniz yeterli. X yolla ifade ediliyor. V hızla, T'de zamanla.

X eşittir V çarpı T. Yani yol eşittir hız çarpı zaman. Bu formülden yola çıkarak bir anahtar kelime grubu bulacağız.

Bak, aracın toplam gittiği yol 360 km. İşte bizim anahtar cümlemiz bu. Bunu kullanacağız. Aracın toplam gittiği yol.

Şimdi yol diyor değil mi? Yani x. Şimdi aslında biz aracın toplam gittiği yolu şöyle ifade edeceğiz. Birinci kısım artı ikinci kısım değil mi? Birinci kısımla ikinci kısmı toplamamız lazım.

Şimdi birinci kısma bakıyorum. 3 ve hızla 2 saat. Yani bu hız, bu da süre.

Yani zaman. Hızla zamanın çarpımı yol. Demek ki birinci kısma tekabül eden yer 3V çarpı 2. Artı ikinci kısma denk gelen yer ikinci kısımdaki hızı çarpı zaman. Yani 4V çarpı 3. İşte bu toplam yolu verecek bize.

Toplam aldığı yolu da anahtar cümlede 360 ile aldığından bahsediyordu. Bunu da 360'a eşitledim. 12V burası. 6V'de burası.

10 artık... Sık denklemi çözeceğiz. İsterseniz denklemi şu satırda çözelim.

6V, 12V daha 18V eşittir 360 yaptı. Buradan da arkadaşlar V eşittir 20 yaptı. Yalnız soru size V'yi sormuyor. Soru size diyor ki aynı yolu V hızla kaç saatte gider? Şimdi denklemi çözdük.

V'yi 20 bulduk. O zaman araç birinci kısımda 3V yani 60 hızla gidiyor. İkinci kısımda da 80 hızla gidiyor.

Soru bize diyor ki aynı yolu yani... 360 km'lik yolu V hızla yani 20 ile kaç saatte gider? Yolumuz X'imiz 360. Hızımızın 20 olmasını istiyor. Süreyi soruyor. Süreye de T diyelim.

Her iki tarafı 20'ye bölersek T eşittir. 18 saatte gideceğini söyleyebiliriz. Tamam mı?

İşte modellemeyi, değişken vermeyi, anahtar kelime grubunu ve denklemi çözmeyi bu şekilde kullanıyoruz ve 4 maddede işi bitiriyoruz. Şimdi gel bakalım soru çözelim. Yavaş yavaş gideceğim. Sizi ürkütmeyeceğim, korkutmayacağım.

Yavaş yavaş tane tane anlatacağım. Tane tane. Çok mu yakınlaştık oğlum?

Ne oldu ya? Dur bakayım. Yo iyi.

Heh. Evet. Birinci soru ne diyor bakalım?

Diyor ki saatte 110 km hızla 4 saat yol alan bir hareketlinin gittiği yol kaç kilometredir? Şimdi bir yol var. Hasret bitiren yollar, dosta götüren yollar. Şöyle bir yol var.

Bu yolun arkadaşlar saatte 110 km hızla yani v eşittir 110 ile kaç saatte gidildiğini biliyoruz? 4 saatte gidildiğini biliyoruz. Bu yolu soruyor bize. Yola eğer x dersek kullandığımız tek formül neydi?

x eşittir v çarpı t. Buradaki x zaten aradığımız x. Buradaki v hızımız yani 110. Buradaki t de süremiz yani 4. 110 çarpı 4'ten 440. Ne?

Kilometre. 440 kilometre bu yolun tamamı arkadaşlar. Tamam mı? X eşittir, V çarpı T.

İkinci soruyla devam ediyorum. Bak şimdi. Bir hareketli bir yolu saatte 40 kilometre hızla 8 saatte gidebiliyor. Bing!

Hemen kafada bir şey canlandı. Bir yol var, hızımız 40, süremiz 8. Hocam, V belli, T belli. Yapmayın, gözünüzü seveyim. Ben bu yolu bulurum.

Bu yolun ne kadar olduğunu hesaplarım. Hesapla hadi. Hadi hesapla.

Bu yol ne kadarlık bir yol? Bu yol V'si 40 süresi yani T'si de 8. O zaman X eşittir V çarpı T'den. V'si 40, T'si de 8. 40 çarpı 8'den 320. Yani hareketli bir yolu diyor ya işte bu yol dediği yol 320 kilometrelik bir yolmuş. At cebe şimdi bunu.

Bu hareketlinin aynı yolu yani... Bu hareketlinin 320 kilometrelik yolu evet 5 saatte gidebilmesi için T'nin 5 olabilmesi için kaç hızını saatte kaç kilometre arttırması lazım. Şimdi yolu 40 ile 40 ile giderken arabayla düşünün 8 saatte alıyorsunuz 40 ile giderken.

Ama 5 saatte daha az sürede almak istiyorsunuz. Ne yapmanız lazım? Yol değişmediğine göre hızınızı arttırmalısınız.

Soru da onu soruyor size. Diyor ki 320 kilometrelik bir yolu. Siz 40 km hızla 8 saatte alıyorsanız bu 320 km'lik yolu 8 saatte değil 5 saatte almak için hızınızı kaça çıkarmalısınız diyor. Daha doğrusu kaç arttırmalısınız diyor. Şimdi ben şöyle yapacağım.

Bizim yolumuz yine 320 mi? Evet. Peki bu 320 km'lik yolu 5 saatte alabileceğimiz hıza V hızı diyelim.

O zaman hızımız V süremiz 5. 5V 320 ise V buradan kaçtır? 64. O zaman cevap 64 mu? Hayır.

Bak 64 bizim... 320 kilometrelik yolu 5 saatte almamızı sağlayan hız. Bizim hızımız 40'tı ama 64 ile giderek 5 saatte alabiliriz.

Hızımızı 64'e çıkarmamız lazım. Peki kaç arttırmamız lazım? 64-40'dan 24 kilometre bölü saat arttırmamız lazım.

Tamam mı? O zaman ne diyoruz arkadaşlar? Bas gaza yavrum bas gaza.

Kim tutar seni bas gaza. Bizim zaman gençliğimde benim İsmail YK diye bir gerçek vardı ya. Yani tuhaf bir tipti gerçekten ya.

Var mı hala acaba? Yoktur ya. İsmail YK mı kaldı abi?

Peki 3 ile devam ediyorum. Bir araç bir yolu 12 saatte gitmiştir. Eğer hızı saatte 20 km daha fazla olsaydı, aynı yolu 9 saatte gidecekti.

Buna göre bu yolun uzunluğu kaç kilometredir? Şimdi şöyle düşünün arkadaşlar. Bir yol var, tamam mı?

Bak yine modelliyorum. Burada da aynı şeyi yaptım. Önce modelledim.

Ondan sonra bilinmeyenlere değişken verdim. Ondan sonra denklemi çözdüm. Ondan sonra denklemi kurdum, sonra da denklemi çözdüm.

Bak şimdi, önce modellememizi yapalım. 1-Yap bakalım modellemeni. Hemen yapıyorum.

Bu yol. O yol. Bu yol.

Şimdi bu yolu biz 12 saatte gitmişiz. Peki hangi hızla gitmişiz? Bilmiyorum ki. Bu yola x diyelim. Hızımıza da v diyelim.

Gittiğimiz sürede 12 saat. Peki bana buradan bir en azından denklem kurabilir misin? Hocam burada kuracağım tek denklem şu olur. Yol eşittir.

Hız çarpı zamandan 12 çarpı v. 12 v yani. Bunu kurabilirim. Peki tamam. Tamam.

Şimdi. Eğer hızı saatte yine aynı yol, aynı yol yine, x yol değişmiyor. Hızını saatte 20 km daha fazla olsaydı, hızını v değil de v artı 20 yapsaydık, bu sefer de aynı yolu 9 saatte gidecekti. 12 saat değil, 9 saat olacakmış. Hocam bana buradan bir denklem daha kurabilir misin?

Tabii ki kurarım kardeşim. Yol eşittir, hız çarpı zaman. Yani 9 çarpı v artı 20. Anam!

Arkadaşlar bakın bu da x, bu da x. O zaman bunların eşit olduğu şeyler de birbirine eşit olmalı. Yani 12V eşittir.

İçeri dağıtırsam 9V artı 180 olmalı. At 9V'yi karşı tarafa. 3V eşittir 180 olmalı.

Her iki tarafı 3'e bölünce de V eşittir 60 olmalı. V'miz 60'mış. Yani başlangıçta 60'la gidiyormuşuz.

Sonra da 80'e çıkmışız. 60'la giderken 12 saatte alıyormuşuz. 80'le giderken 9 saatte alıyormuşuz.

Bu yolun uzunluğunu soruyor. Yani x'i soruyor. E şuradan yaparız arkadaşlar.

X eşittir. V 12 çarpı V. V'de 60 zaten. 12 çarpı 60'dan 720. Hocam ben şuradan yapacağım. Allah cezanı vermesin. Oradan yap.

Ne fark eder? 9 çarpı V yerine 60 yaz. 80. 60 artı 20'den. 9 çarpı 80 kaçayıştı arkadaşlar?

Yine 720'ye. Değişen herhangi bir şey olmaz. Tamam mı? Yolumuzun uzunluğu kaçmış? 720 kilometreymiş.

İşte böyle. Bazen yolu verecek. Bazen süreyi verecek. Bazen zamanı verecek.

Bazen onu verip onu soracak. Bazen ikisini verip birini soracak. Bazen birini verip ikisiyle ilgili iki denklem verip bir tanesini soracak. Bunları sadece x'eştir veya çarpı t'yi bilir. Ve sakin kalırsak soruyu doğru değerlendirirsek halledeceğiz.

Şimdi dörtle devam ediyorum. Bak şimdi gel. Diyor ki A'dan B'ye doğru hareket eden bir araç toprak yolda saatte 30 km hızla 30 km hızla asfalt yolda saatte 45 km hızla hareket ederek 7 saat sonra B'ye varıyor. A ve B noktaları arası 300 km olduğuna göre toprak yol kaç kilometredir?

Hmm. Şimdi. Şimdi biz şurada zaten modellememiz yapılmış. Burada hazır modellememiz.

Modelleme üstüne verilenleri bir yerleştirelim. Şimdi biz toprak yolda 30 ile gidiyoruz. Asfalt yolda da 30 ile gidiyoruz diyeyim de sanki oranın 30 olduğu anlaşılmasın.

Asfalt yolda da 40 ile gidiyoruz. Şöyle göstereyim bunları. Burası tamam.

Şimdi. Toprak yolda saatte 30 ile asfalt yolda saatte 45 ile gidiyormuşuz. Özür dilerim 45'miş burası. Hareket ettikten 7 saat sonra B'ye varıyoruz.

Haa toplamda 7 saat. Buna göre toprak yol kaç kilometredir? Şimdi toprak yolu bulabilmek için toprak yola mesela X desek toprak yolu bulabilmek için burada geçirdiği süreyi bulmamız lazım.

Çünkü buradaki hızımız 30 ama X seçtir V çarpı T ya V belli ama T belli değil. Dolayısıyla toprak yolda geçirdiği süreye T saat. diyelim. Peki toplamda kaç saatte A'dan B'ye varmış?

7 saatte. T saatini toprak yolda geçirdiyse 7-T saatini de nerede geçirmiş olacak? Asfalt yolda geçirmiş olacak. Toplayınca 7'yi versin diye. Tamam mı buraya kadar?

Peki bak şimdi. Bu yolun tamamını vermiş aslında. A ve B arasını 300 olarak vermiş.

Şimdi toprak yolu nasıl buluruz? Toprak yolu V çarpı T ile buluruz. V'si 30, T'si T zaten. Artı.

Asfalt yolu nasıl buluruz? 45 çarpı 7 eksi t. 45 hız 7-t de zaman.

Bu ikisinin bak bu toprak yolun uzunluğu. Bu asfalt yolun uzunluğu. İkisi toplam A ile B arasındaki mesafedir.

Yani 300'dür. Bak buradan t'yi bulacağız. T'yi bulduktan sonra toprak yolun uzunluğunu da buluruz. Asfalt yolun uzunluğunu da buluruz. Gayet rahat bir şekilde çıkar.

Peki ne yapalım? Şöyle yapalım. 5'e bölelim.

Burası 60. 5'e bölelim 9. 5'e bölelim 6. 3'e bölelim 2, 3'e bölelim 3, 3'e bölelim 20. Artık biter. 2T artı 3 kere 7, 21 eksi 3T eşittir 20 yaptı. T'yi karşı tarafa atarsam T eşittir 1 yaptı.

T eşittir 1 ne demek biliyor musun? Toprak yolda 1 saat, asfalt yolda da 7 eksi 1'den 6 saat geçirmişiz. Toprak yolun uzunluğunu soruyor. Toprak yola T top dersek, toprak diyelim hadi.

Toprak eşittir. Oradaki hızımız 30. Oradaki süremiz 1. 30 çarpı 1'den toprak yolumuz 30 km. Peki asfalt yol kaç?

İster şuradan yaparsın 45 çarpı 6. İster de tamamı 300. 30 burası ise 300-30'dan asfalt yolunda 270 km olduğunu söyleyebiliriz arkadaşlar. Tamam mı? Peki bak bunu da hallettik. Güzel güzel hallettik.

Ne yaptık? Modelleme verilmişti zaten. Modellemedeki değişkenlerimizi yazdık.

Denklememizi kurduk. Denklememizi çözdük, olayı bitirdik. 5 ile devam ediyorum.

Bak şimdi, yine böyle topraklı asfaltlı. Bu sefer farklı bir şey vermiş, farklı bir şey soruyor. Okuyalım beraber.

Diyor ki, 500 km uzunluğundaki bir yolun 100 km uzunluğundaki kısmı toprak, geri kalanı asfalttır. Bu sefer modellemeyi biz yapalım. Burası toprak yolu olsun, burası da asfalt olsun. Şimdi şurası 100 km toprak, 400 km asfalt.

Şöyle. Peki. Bu sefer vermiş bak.

Bir önceki soruda vermemişti. Toprağa asfaltın mesafesini kendimiz bulmuştuk. Burada vermiş.

Burada da hızları vermemiş. Orada da hızları vermişti. Bir önceki soruda. Şimdi diyor ki asfalt kısımdaki hızı toprak kısımdaki hızının iki katı. Hee.

O zaman buradaki toprak kısımındaki hızına V dersek bu aracın. Yani bu buradan V ile gidiyorsa. Bu buradan 2V ile gidecek.

Asfaltta tabii ki daha hızlı gider bir araç. O da tamam. Peki. Güzel. Ben bunu biraz küçük mü yapmışım?

Şöyle daha iyi görün. Peki şimdi olan araç yolun tamamını 6 saatte gittiğine göre. Anahtar cümleyi görüyorsunuz değil mi?

Sırıtıyor. Yolun tamamını 6 saatte gittiğine göre. Bak modellememizi yaptık. Değişkenimizi verdik.

Şimdi artık denklememizi kuruyoruz. Nedir bu denklem? Yolun tamamını 6 saatte gittiğine göre. Şimdi x eşittir v çarpı t mi? Soru da bize bu verilmiş.

Bu da nispeten verilmiş. Aralarındaki kat verilmiş. Bu soruluyor. O yüzden t'yi yalnız bırakırsak t eşittir x bölü v olur mu?

Her iki tarafı v'ye bölersek. Yani toprak kısmı gittiği süre 100 bölü v değil midir? 100 bölü v. Güzel. 100 bölü v sürede gitmiş.

Yol bölü hız zamanı verir. Artı asfalt yolu gittiği sürede 400 bölü 2 v değil mi? Burada da 400 bölü 2 v de gitmiş.

Bu ikisi, bak bu toprak yolu aldığı süre. Bu da asfalt yolu aldığı süre. Bu ikisi toplam yolu aldığı süreye eşittir.

E soru toplam yolu aldığı süreyi 6 saatte gittiğine göre diyor. Anahtar cümle 6 saat diyor ona. Yani bunun cevabı kaça eşit? 6'ya.

İşte denklemimizi de kurduk. Buradan sonra denklemi çözüp olayı bitireceğiz. Şimdi burayı 2 ile genişleteyim.

200, 400 daha 600. 600 bölü 2 ve eşittir 6. Bunlar sadeleşir 100. İçler dışlar çarpımı yaparsam 2V eşittir 100 yapar. 2V 100 ise V buradan 50 yapar. Şimdi bana ne soruyor soru ona bakayım ben.

Soru bana diyor ki yolun toprak kısmını kaç saatte gitmiştir? Toprak kısmını gittiği süreye 100 bölü V demiştik. Çünkü toprak kısmın 100 mesafesi orada gittiği hız V. Hatta V'yi de 50 bulduk.

Geçen süreye de T diyelim. Buna da T diyelim. 50T 100'den T eşittir.

Toprak yolu 2 saatte gitmiş. Peki asfalt yolu tamamına 6 saatte gittiğine göre, toprak yolu 2 saatte gittiğine göre burayı 2 saatte gidiyorsa asfalt yolu da ne kadar saatte gitmiştir? 4 saatte gitmiştir. Tamam mı? Güzel bunu da hallettik.

Peki 6 ile devam ediyorum. Ondan önce bir özelliğimiz var. Şimdi aynı yönlü harekette yani bir araç buraya gidiyor, diğer araç da buraya gidiyor. Bunların hızlarını birbirinden...

Çıkarırız. Çıkarılır. Ama bunlar zıt yönlü hareket yapıyorlarsa zıt yönlü harekette arkadaşlar hızlar ne yapılacak?

Top-la-nır. Bunun sebebi şu aslında. Bakın zıt yönlü hareketli hızların toplanmasının sebebi.

Şimdi bir araç A noktasından belli bir noktaya gittiği zaman tek hızla, A'nın hızıyla gidiyor. Ama A noktasından bir araçla B noktasından bir araç birbirlerine doğru zıt yönlü hareket yapıp belli bir noktada karşılaştıkları zaman bu aradaki mesafeyi aslında iki hızla eritiyorlar. Yani bir tanesi, iki araba var gibi düşün. A'nın ve B'nin hızları süratle birbirlerinin...

arasındaki mesafeyi kapatıyor. Dolayısıyla zıt yönde toplayarak buradaki mesafeyi çok daha çabuk kapatıyoruz gibi aklınızda tutun. Aynı yönlü harekette de arkadaşlar belli bir yerde biri birini geçecekse aralarındaki farktan gideriz aslında. Yani birisi 100 ile birisi 60 ile gidiyorsa aslında birisi 40 ile gidiyormuş gibi muamele ederiz değil mi? Yani hızları da çıkartarak birbirlerini yakalama sürelerinde buluruz.

Yani aynı yönlü harekette zaten yakalamadan bahsedilir yakalama. Biri de birini yakalayacak. Zıt yönlü harekette de karşılaşmadan bahsedir.

Karşılaşma. İşte karşılaşma süresini bulurken zıt yönlülerde toplama yaparız. Aynı yönlü harekette yakalama süresini bulurken aynı yönlü hareketlerin hareketli hızlarını çıkartarak işlem yaparız. Sebebi de bundan kaynaklanıyor. Şimdi 6. örnekte bunu net bir şekilde görelim.

Gel. Diyor ki A ve B'den birbirlerine doğru aynı anda şekildeki yönlere hareket eden 2 araç kaç saat sonra karşılaşırlar? Bak birbirlerine zıt hareket ediyorlar. Aradaki mesafe bak nerede karşılaşacaklar?

Mesafeler nerede karşılaşır? Hızlı olan bak burası orta nokta gibi düşünelim. Şuraya orta nokta gibi düşünelim.

Yavaş olana doğru olan yerde değil mi? Çünkü hızlı olan orta noktanın biraz yavaş olana tarafa doğru gelir. Yani örneğin şurada karşılaştıklarını düşünelim. Buraya ben k noktası diyeyim.

Bu bizim karşılaşma noktamız olsun. Şimdi bu karşılaşma noktası burası ya. Biz şöyle yapacağız.

Diyeceğiz ki. Diyeceğiz ki A'dan hareket eden 40 ile B'den hareket eden 30 ile sanki bir araç hareket ediyor da bu mesafeyi 70 ile kat ediyor gibi düşüneceğiz. Yani bütün yolumuz 350 eşittir.

Süremiz karşılaşma süremiz T. Hızımız da 70. 40 artı 30'dan dolayı. Çünkü birbirlerine de hareket ediyorlar. Buradan her iki tarafı 70'e bölersem T eşittir 5 saat. Yani kaç saat sonra karşılaşırlar?

5 saat. Bunu şunu sorabilir soru bize. Karşılaşma noktasına A, A daha doğrusu şöyle. Karşılaşma noktasıyla A arasındaki mesafe.

Şimdi A'dan hareket eden de buradaki mesafeyi 5 saatte alıyor. 5 saat. B'den hareket eden de buradaki mesafeyi 5 saatten alıyor. Dolayısıyla 40 hız 5 süre.

40 çarpı 5'ten burası 200. Burası da 30 çarpı 5'ten 150. Gördün mü tamamı 350. A'dan... 200 metre sonra karşılaşıyorlarmış. Bunu da sorabiliyor bazen sorular.

E biz karşılaşma süresini bulduktan sonra zaten hepsini yaparız. Tamam. Bir makas alayım ve devam edelim.

Şimdi örnek 7. Bak şimdi. Diyor ki az önce söylediğimin aynısı sorduğumun aynısı yani verdiğim en son bilginin aynısı. 20 ile ve 30 ile birbirlerine doğru hareket ediyorlar.

Aralarındaki mesafede 600 kilometre. İki hareketli A ve B noktasından aynı anda birbirlerine doğru hareket ediyorlar. A noktasından kaç kilometre uzakta karşılaşırlar? Şimdi 30 daha hızlı olduğu için şuraya mesela orta nokta dersek şurada bir yerde karşılaşacaklar.

Karşılaşma yerlerine K diyelim. O zaman 600 kilometre mesafe. Bunların hızları 30 artı 20'den 50. Çünkü birbirlerine doğru hareket ediyorlar. Karşılaşma sürelerine de T diyelim. Her iki tarafı 50'ye bölersek T eşittir 12 saat.

Yani bunlar A'dan ve B'den zıt yönde hareket eden araçlar 12 saat sonra karşılaşıyorlarmış. A'dan ne diyor? A noktasından kaç kilometre uzakta karşılaşırlar? Yani aslında bize AK mesafesini soruyor.

AK mesafesini aldığı hızı biliyoruz 20 kilometre. Buradaki süreyi de biliyoruz 12 saat. O zaman 12 çarpı yani biz aslında AK uzunluğunu buluyoruz.

Yolu buluyoruz yani. Yol eşittir. Geçen süre yani zaman... Çarpı oradaki hız. Yani 12 çarpı 20'den 240 olacak arkadaşlar.

240 kilometre AK. BK mesafesi de 600'den 240'ü çıkartırsak 360 kilometre de orası olur. Tamam mı? Anlaştık mı?

Onu da sorabilirdi. Onu sorsaydı ya AK'yı bulup çıkartırdık ya da bu sefer 30 ile 12'yi çarpardık. 30 hız 12 süre tamam mı?

Karşılaşmanın mantığı aslında bu. Şimdi buraya gel. Yavaş yavaş değiştiriyoruz soruyu. Bir tık daha zorlaştırıyoruz. Burada aslında bir şey yok.

Burada karşılaşmayla ilgili de çok bir şey yapmayacağız. Bak şimdi güzel bir şekilde okuyalım soruyu. Diyor ki, soru bize diyor ki, A ve B şehirlerinden, şehirlerinden, saatteki hızları 80 km ve 70 km olan iki araç, aynı anda birbirlerine doğru hareket ettikten...

3 saat sonra aralarında ilk kez 110 kilometre kalıyor. Hımm. Buna göre yavaş olan araç bu yolun tamamını kaç saatte alır? Şimdi yolun tamamını bilseydik, zaten yavaş olan aracın 70 ile giden araç olduğunu bildiğimiz için soruyu direkt çözerdik.

Mesela AB mesafesinin 700 olduğunu bilseydik 700 kilometre, 70 ile giden orayı 10 saatte alır der ve bitirirdik. Ama bilmiyoruz, zaten bunu bulduracak bize. Şimdi bunlar aynı anda birbirlerine doğru hareket ettikten 3 saat sonra.

Bir tanesi buraya gelir karşılaşırlar demiyor bak. 3 saat sonra bu arkadaş buraya gelir. Bu arkadaş buraya gelir. Ve aralarında 110 kilometre mesafe kalıyormuş. Şöyle.

Peki buraya mesela x noktası diyelim. Buraya da y noktası diyelim. A x arasındaki mesafeyi nasıl hesaplarız?

3 saatte gelmiş bak. Bu buraya 3 saatte gelmiş. A x'e 3 saatte gelmiş.

B de y'ye 3 saatte gelmiş abi. O zaman 80 ile giden 3 saatte ne kadar yol alır? 80 hız, 3 de süre, zaman. 80 çarpı 3'den 240. Yani bu arası 240 kilometreymiş.

Peki 70 ile giden 3 saatte ne kadar yol alır? 210 kilometre. Bak bulduk aradaki mesafeyi.

240, 210 daha kaç yapar? 450. 110 daha kaç yapar? 560. Yani aradaki mesafe, AB, toplam mesafe kaçmış? 560. Soru bize diyor ki, 560 km'lik yolu. Yavaş olan 70 km hızla giden araç ne kadar sürede alır?

X eşittir. V çarpı T. Her iki tarafı 70'e bölersem T eşittir. 8 saatte alır diyebiliriz.

Anlaştık mı? Tamam değil mi? Bunu da halletmiş olduk.

11 ile devam ediyorum. Bak şimdi bu da böyle biraz çetrefilli gibi duruyor ama aslında değil. Şimdi böyle beni tane tane, beni dikkatli bir şekilde dinliyorsun. Şimdi diyor ki, soruyu da güzel okuyalım.

Şimdi A ve B noktalarında bulunan iki aracın hızları sırasıyla 100 km bölü saat ve 80 km bölü saattir. Tamam. Araçlar aynı anda birbirlerine doğru hareket ederlerse 2 saat sonra karşılaşıyorlar. Mükemmel bilgi. Bak çok güzel bilgi.

Biz buradan AB arasındaki mesafeyi bulabiliriz. Nasıl bulabiliriz? Şu ilk paragraftan bunu bir bulalım isterseniz. Arkadaşlar AB arasındaki mesafe AB diyelim.

AB arasındaki mesafe. Bunlar birbirlerine doğru hareket ettikleri zaman hızları toplanacak. Karşılaşma sürelerine de 2 saat demiş. 2 çarpı 180'den 360. AB arasındaki mesafe 360 kilometreymiş. Harika.

Unutulduk. Sonra diyor ki bu iki araç aynı anda aynı yöne hareket ederlerse yani bu 100 ile sağa doğru bu 80 ile sağa doğru hareket ederse A'dan hareket eden D'den hareket edene kaç saat sonra yetişir? Yani bu sefer de yakalamayı sormuş.

Peki yakalama nasıl yapılıyordu? Aralarındaki mesafe 360 eşittir. Bu sefer aynı yöne hareket ettikleri için hızlarını birbirinden çıkartıyoruz. Yani 100'den 80'i çıkartıyoruz.

Aslında hız 20'ymiş gibi davranıyoruz. Peki süremiz ne? Onu da soruyor bize işte.

Yakalama süresine de T diyelim. Her iki tarafı 20'ye bölersek T eşittir. 18 saatte yakalar diyeceğiz. Anlaştık mı? Tamam.

İlk bilgiyle bize aralarındaki mesafeyi buldurdu. İkinci bilgiyle de yakalama süresini buldurdu. Arayan bulur.

Peki devam ediyorum. 10. soru. 10. soruyla devam ediyorum. Şimdi diyor ki yine rahat ol.

Çok rahat ol. Bak şimdi dinle beni. Diyor ki A noktasından hızları saatte 60 km ve 40 km olan iki araçtan...

Hızlı olan diğerinden bir saat önce hareket ediyor ve B'ye varıp beklemeden geri dönüyor. Diğer araçla B'den 150 kilometre uzaklıkta olan C noktasında karşılaşıyorlar. Buna göre A, B kaçtırır. Soruyu anlarsan yaparsın, soruyu anlamazsan hareket problemlerinde yapma şansın çok düşer.

Onu onunla çarpıp bölüp bir şeyler yaparsın. A aynı yönde hareket ediyorlar. Hızlarını çıkarayım 20, 150, 20'yi 150'ye böleyim 7,5 falan. Sonra onu bir 40'la çarpayım falan gibi böyle saçma zaman şeyler olur.

Bak şimdi. Şöyle oluyormuş. Hızlı olan araç, bak hızlı olan yani 60 ile giden araç diğerinden 1 saat önce hareket ediyor ve buradan başlıyor. Hatta izlediği yolu beraber konuşalım.

Buradan başlıyor arkadaşlar. Başlıyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor, geliyor Buradan başlayan andaval da C'ye gelmiş oluyor. Yani bu buraya gelip buraya döndüğünde bu da buraya geldiğinde burada karşılaşıyorlar. Mevzu bu aslında. Bundan ibaret.

Tamam mı? Şimdi bakalım. A'cı arasındaki mesafeyi bilmiyoruz.

Buraya x kilometre diyelim. Şimdi bana 60'la hareket edenin toplam aldığı yolu söyler misiniz? Tamam 60'la hareket edenin aldığı yolu söyleyin.

Bir daha bakın. Geldim başladım. Böyle buraya B'ye geldim. Beklemeden buraya döndüm.

Bak x kilometre aldım. 150 daha aldım. Bir 150 daha aldım. Kaç?

X artı 300. Bakın X artı 300 nedir? Hızlı olanın aldığı yoldur. Peki hızlı olanın bu yol eşittir.

Hız çarpı zaman. Peki hızlı olanın hızı kaç? 60. Peki hızlı olan bu yolu yani A'dan B'ye B'den tekrar C'ye yol var ya bu yolu ne kadar saatte alsın?

Vermiş mi soru onu? Hayır. T saat olarak verelim. T saat de alsın. Güzel.

Bu cepte. Şimdi bana yavaşla hareket edenin aldığı yolu söyler misiniz? Hocam yavaşla hareket eden zaten buraya geliyor C'ye.

C ile karşılaşıyorlar. Yani yavaş olan hareketlinin aldığı yol zaten sadece ve sadece X. Tamam çok güzel.

Peki bana yavaş olanın hızını söyler misiniz? Hocam 40. Tamam bu da çok güzel. Peki bana yavaş olanın...

Burayı aldığı süreyi söyler misiniz? Şimdi burada dur. Bak burada şöyle bir durum var. Burada hızlı olan 1 saat önce hareket ediyor. Yani hızlı olanın bu A'dan B'ye B'den C'ye gittiği yol var ya.

O yolun içerisinde kalma o yolu alma süresi diğerine göre yavaş olana göre 1 saat daha fazla. Çünkü bir saat daha önce hareket ediyor. Biri 10'da çıkıyorsa, yavaş olan 10'da çıkıyorsa, hızlı olan 9'da çıkıyor.

Dolayısıyla hızlı olan bu yolu t saatte aldıysa ve daha fazla, bir saat daha fazla sürede aldıysa, yavaş olan bu yolu bir saat eksik sürede almıştır. Yani t-1'de. Soru bitti.

Niye bitti? Yukarıda x yerine bunu yazarsanız t'yi bulursunuz. Bak x yerine... 40T-40 yazalım.

İçeri de dağıttım bak. 40T-40 artı 300 eşittir. 60T diyelim. 40T'yi bu tarafa attım.

20T eşittir. 300'den 40 çıktığı zaman 260. Buradan T eşittir. Kaç yapar? 13. Yani hızlı olan 13 saatte, yavaş olan da 12 saatte alıyormuş. Bak, 1 saat önce hareket ettiği oradan yola anlaşılıyor.

Daha fazla süre gitmiş, 1 saat daha fazla. Buna göre AB arasındaki mesafe kaçtır diyor. AB arasındaki mesafe arkadaşlar x artı 150. Biz önce x'i bulalım.

x'i nasıl bulacağız? Aha şuradan bulacağız işte. x eşittir 40 çarpı t yerine 13 yazarsam 12. 40 çarpı 12'de 480. Yani bu aradaki mesafe 480. 150'de yanında 480 artı 150'den AB arasındaki mesafe 630 kilometredir.

Mevzuyu umarım güzel bir şekilde anlamışsınızdır diye ümit ediyorum. Tamam mı? Peki.

13 ile devam ediyorum. Yine tane tane beraber okuyalım. Bakalım ne diyormuş.

Şimdi bu sefer A'dan 60 ve 40 ile aynı yöne hareket eden 2 araç var. 2 araç. Bak şunu da söyleyeyim. Hocam burada niye hızlarını birbirinden çıkartmadık? Çünkü yakalama süresiyle ilgili falan bir şey sormuyor.

Hızlar toplanır çıkarılır muhabbeti. Karşılaşma süreleri ve yakalama süreleriyle alakalı bir şey. Burada karşılaşma süreleriyle ilgili bir şey söylememiş. Burada da mesela. Yakalama süresiyle ilgili bir şey söylediğini zannetmiyorum.

Bir bakayım. Sanki söylemiyor. Okuyalım soruyu.

İki araç A'dan B'ye doğru aynı anda hareket ediyorlar. Bu sefer aynı anda hareket ediyorlarmış. Biri diğerinden erken geç falan çıkmıyor.

Hızlı olan araç B'ye varıp 2 saat mola verdikten sonra aynı hızla geri dönüyor. Bu araç diğer araçla C noktasında karşılaştığına göre B, C kaç kilometre? Bir öncekine çok benziyor.

O yüzden bu soruyu bir denemenizi, bir şans vermenizi istiyorum. Ama yapamazsanız canınızı sıkmayın. Çünkü daha başlangıçtayız. Ben şimdi yapacağım. Ama bir denemekten zarar gelmez.

Onu güzel şekilde, bir önceki soruyu güzel şekilde anladıysanız denemekten zarar gelmez. Şimdi gel. Gel şimdi. BC arasındaki mesafe x kilometre diyerek başlayalım.

Şimdi bana 60 ile hareket edenin aldığı yolu söyler misiniz? Hızlı olan araç. buraya kadar geliyor şöyle 400'ü alıyor, X'i alıyor, geri dönüyor, C'de karşılaşıyorlar.

Yani X, 2X artı 400. 2X artı 400 hızlı giden aracın aldığı yol. 60 zaten hızı, süresine de yine T diyelim. Şimdi yerine gelelim.

Yavaş olan aracın aldığı yol dörttü zaten. A'dan C'ye gidiyor o direkt. Yavaş olan aracın hızı zaten 40. Şimdi burada kafan karışıyorsa bunun yolda kalma süresini düşün.

Şimdi A'dan hareket eden araç, hızlı olan araç B'ye gidip sonra C'ye gidip karşılaşıyorlar ya bunlar. Şimdi A'dan hareket eden aracın önce B'ye, B'den de C'ye gidişine T saat dedik. Ama burada 2 saat mola vermiş.

Yani... Yani 2 saat hiç yol almamış. Mola vermek ne demek? 2 saatlik bir kayıp var. Hiç mola vermemiş.

Diğeriyle aynı anda oraya vardıklarına göre demek ki arkadaşlar diğeri bundan 2 saat daha fazla yolda kalmış. Çünkü mola verdiğini söylemiyor. Mola veren birinci hızlı olan araç.

Hızlı olan araç mola vererek T saatte gittiyse 2 saatte molası var. Demek ki T artı 2 saat sürmüş oraya gitmesi. Diğerinin de T artı 2 saat sürmüş.

O zaman T artı 2 ile gittiğini anlayabiliriz. söyleyebiliriz. Şimdi buradan t'yi bulalım isterseniz. Bunlar sadeleşti.

10 yaptı. 2'yi de karşı tarafa attım. t buradan 8 yaptı. t 8 ise burada 8'i yerine yazarak da x'i bulalım.

2x artı 400 eşittir. 8 6 kere 8 48 480 buradan 2x eşittir 80 yapar. Buradan da x eşittir 40 yapar.

x 40 ise bize bc'yi soruyor. Zaten ona biz x demiştik. Cevabımız 40 olarak bulunmuş olacak. Tamam mı?

Bitti. Yavaş yavaş sakin sakin değerlendirdiğimiz zaman bir problem olmuyor. Şimdi gelelim buraya. Okuyalım. Okuyalım.

A şehrinden B şehrine bir otomobil ve bir kamyonet hareket ediyorlar. Otomobilin hızı saatte 80'miş. Kamyonetin hızı da saatte 60'miş.

Güzel. Kamyonet otomobilden 2 saat önce yola çıkıp otomobil B şehrine vardıktan 1 saat sonra B şehrine vardığına göre A ve B arasındaki mesafe. Yine sakin kalacağız arkadaşlar.

Sakin sakin yapacağız. Bakın şimdi bir yolumuz var. Bu yolumuzun başında A şehri var. Bu yolunun solunda da B şehri var.

Şimdi buradan 60 kilometre, 80 kilometre ile hareket eden bir aracımız var. Aynı şekilde 60 kilometre ile hareket eden bir aracımız var. Bu aracın otomobil olduğunu söylemiş. Bu aracın da kamyonet olduğunu söylemiş. Yavaş olan kamyonet.

Şimdi kamyonet otomobilden... 2 saat önce yola çıkıp diyor. Şimdi bu aradaki mesafeyi bilmiyorum.

Bu aradaki mesafeyi hemen x kilometre diyorum. Zaten soru da onu soruyor bize. Şimdi öncelikle isterseniz biz otomobilin aldığı yolu bulalım. Yani otomobilin aldığı yol ve süreyle bağlantısını bulalım.

Şimdi otomobil x kilometre yol almış ve otomobil hızı 80. Ve arkadaşlar otomobilin t sürede buraya yol aldığını düşünelim. 80 t tamam mı? Şimdi aynı yolu Kamyonet 60 hızla alıyor.

Sürede nasıl bir şey var? Kamyonet otomobilden 2 saat önce yola çıkıyor. Demek ki otomobilden 2 saat daha fazla yolda kalıyor.

O zaman T, T artı 2 oldu bile şimdiden. Bir de B'ye otomobil vardıktan 1 saat sonra varıyor. Ooo 1 saatte orada gecikme var.

Toplamda otomobilin A-B arasında yolda kaldığı süreden 3 saat daha fazla yolda kalıyor. Yani... T artı 3 ile orayı aldığını söyleyebiliriz. Soru bitti. İkisi de X olduğu için soru bitti.

80T eşittir. 60T artı 180 diyebiliriz. Buradan 20T eşittir. 180 diyeceğiz. Buradan da T eşittir.

9. Bize AB arasındaki mesafeyi yani X'i soruyor. T yerine burada 9 yazarsanız 9 çarpı 80'den cevabımız 720 km olarak bulunmuş olacak. Tamam mı?

Tamam güzel. Şimdi 13. Ne vermiş? AB BC'ye eşit demiş.

BC de CD'ye. Harika harika muhteşem. Şimdi A'dan saatte V kilometre hızla hareket eden bir araç. B ve CD mevcut hızını 2 kat arttırarak.

Bak 2 kat arttırarak ne demek hızını? Hızını 2 katına çıkararak demiyor. Hızını 2 kat arttırıyormuş.

Yani V hızını 2 ve arttırıyormuş. arttırıyor. V'nin iki katı 2V. 2V arttırıyor ve 3V yapıyor.

Sonra B ve C'de, bak B'de hızını iki kat arttırdı, 3V yaptı. C'de de hızını iki kat arttırıyormuş. 3V'nin iki katı 6V. 6V arttırırsa burada da 9V ile gidiyor. Çok güzel.

Şimdi C ve D arasını iki saatte alan bu araç. Şimdi buraya x kilometre, buraya x kilometre, buraya x kilometre derseniz C ve D arasını yani x yolunu 9 ve hızla 2 saatte alıyormuş. Yani x eşittir 18 v imiş. Tamam burası 18V imiş.

Burası da 18V imiş. Burası da 18V imiş. Çok güzel. Peki diyor ki A ile C arasını V hızıyla hareket ederek A ile C arasını kaç saatte alır?

Şimdi A ile C arası A burası, C burası. A ile C arasındaki mesafe gördüğüm kadarıyla 2X. Yani 36V.

Peki 36V'lik yolu V hızla... Ne kadar sürede alırız? Yol eşittir, hız çarpı zaman. V'ler birbirini götürür, t eşittir 36. 36 saatte alırmışız. Tamam mıdır?

Tamam, güzel. Peki devam ediyorum. Çembersel hareket.

Arkadaşlar eskiden bunun çok değişik kazanımları vardı yani. Buna özel formüller vardı vesaire falan. Şu anda öyle bir şey kalmadı.

Çembersel hareketi aynı doğrusal hareket gibi çözüyoruz. Sadece birkaç böyle çevreyle alakalı bazı dinamikler oluyor. Onu da zaten sorularda, mor sorularda falan da göstereceğim. Ama hiç önyargıya kapılmayın.

Buraya kadar iyiydi de işte buradan sonra benim zorunum başlıyor falan demeyin. Burası da aynı öyle çözülüyor. Bak şimdi bunu çözeceğim sonra size şunu soracağım.

Bu çözdüğümün acaba normal doğrusal yolda çözdüğümden herhangi bir farkı var mı? Bak şimdi çevresi 600 km olan dairesel pistte 2 araç A noktasından aynı anda aynı yönde hareket ediyorlar. Buna göre bu 2 araç hareket ettikten kaç saat sonra ilk kez yan yana gelir. Yani yakalama sorusu. Yani hızlı yavaşı yakalar ya da yan yana gelirler diye soruyor.

Şimdi bunu da ne yapacağız arkadaşlar? Yine aynı, aynı yöne hareket edenlerin hızlarını ne yapıyorduk? Çıkartıyorduk. O zaman yolumuz 600. Aynı yöne hareket ettikleri için 30-10'dan 20'den sanki 10'la hareket eden bir araç varmış gibi düşüneceğiz. Yakalama süresine de t diyeceğiz.

Buradan t eşittir. At bir saat yapacak. Bitti.

Bu kadar. Tamam mı? Tamam. Yani bir farkı yoktu.

Bak bunun da yok. Gel. Çevresi 150 km olan dairesel pistteki iki araç aynı noktadan, aynı yönde ve aynı anda sırasıyla 40 ve 35 km hızla harekete başlıyorlar. Buna göre bu iki araç hareket ettikten kaç saat sonra üçüncü kez yan yana gelir. Tabii dairesel yollarda böyle bir durum var.

Sürekli döndükleri için ikinci, üçüncü, beşinci kez yan yana gelme durumları var. Doğrusal yolda böyle bir şey yok. Onlar gidiyorlar. Peki o zaman şöyle yapalım. Diyelim ki...

150 km yol aynı yönde ve aynı anda hareket ettikleri için 40'dan 35'i çıkar. 5 hızımız. T'de süremiz. T eşittir 30. Yani 30 saatte birinci kez yan yana geliyorlar. 60 saatte ikinci kez yan yana gelirler.

90 saatte de üçüncü kez yan yana gelirler. Bu kadar basit. Tamam.

Bir kere yan yana geldikten sonra hızlarının sabit olduğunu bildiğimiz için bir 30 saatte bir daha yan yana gelirler. bir 30 saatte bir daha yan yana gelirler. Yani cevap 90. Anlaştık mı? Gel şimdi buraya 16. Vay maşallah. Bursalılara buradan selamımızı gönderiyoruz.

Ve bütün bunları yaparak Bursa sporumuza destek olabilir. Hızları dakikada 20 metre ve 12 metre olan iki hareketli çember üzerinde A noktasından aynı anda ters yönde hareket ettikten 6 dakika sonra karşılaşıyorlar. Abağğğ. Buna göre yavaş olan hareketli karşılaşmadan kaç dakika sonra A noktasına ulaşır? Şimdi bak bunlar A noktasından hareket edip bir yerde karşılaşıyorlar.

Tabi hızlı olan 20 ile gittiği için 12'ye göre şurada bir yerde karşılaşacaklar. Yani yarısı şurasıysa yolun şurada bir yerde karşılaşacaklar. Buraya karşılaşma noktaları diyelim tamam mı? Şimdi bu karşılaşma noktalarına bu arkadaşlar 6 dakikada gidiyorlarmış. Peki biz bunları nasıl yapıyorduk?

Yani buradaki olay neydi? Buradaki olay şuydu. Bu... Pistin çevresi buna X diyelim eşittir. Aynı yönde zıt hareket yaptıkları için hızları toplanıyor.

32 çarpı karşılaşma süreleri de 6 dakika. Yani 192 metreymiş. Kilometre değil burada dakika ve metre cinsinden vermiş.

Peki 192 metre bu pistin tamamen çevresi. Şimdi bakın bu A'dan hareket eden de bu K'ya yani şu yol var ya bu yol. Bu karşılaştıkları noktaya kadar yol. Bu 6 dakikada alıyor.

Aynı şekilde buradan hareket eden 12'lik de burayı 6 dakikada alıyor. Orada karşılaşıyorlar. Peki 20 ile hareket eden 6 dakikada ne kadar yol alır? 120. Peki 12 ile hareket eden 6 dakikada kaç yol alır? 772. Yani bak şöyle aynı renklerle göstereyim.

Burasının 120 olduğunu bulduk. Başka bir renkle gösteriyorum. Burasının da 72 olduğunu bulduk. Zaten toplayınca 192 yapıyor.

Yavaş olan hareketli. Bak artık yavaş olan buradan 12 ile böyle devam ediyor. Hızlı olan da buradan 20 ile böyle devam ediyor. Yavaş olan hareketli A'ya kaç dakikada ulaşır diyor. Şimdi K'da ya yavaş olan.

A'ya gitmesi için 120 metre yol alması lazım. 120. Peki bu yolu ne kadar hızlı alıyor? 12 ile alıyor.

Ne kadar süreyle alsın? T. Her iki tarafı 12'ye bölün. 10 dakikada alırmış. Tamam mı?

Bitti. Hareket problemleri soruları bir anda bitiyor değil mi? Yani böyle devamı var zannediyorsun ama lap diye bitiyor. Peki 16'yı da hallettik. Güzel bunu da çözdük.

Bu da tamam. Şimdi 17 ile devam ediyoruz. Hocam korkutucu ya.

Dersin son sorusu ama korkutucu değil. Vallahi değil. Kur'an çarpsın değil. Gel.

O merkezli dairesel pistin A ve B noktalarından aynı anda oklar yönünde birbirlerine doğru hareket eden iki araç ilk kez 5 dakika sonra karşılaşıyorlarmış. Yani bak buradan A'dan ve B'den birbirlerine doğru hareket ediyorlar. Karşılaştıkları yer.

Yani bilmiyorum orta gibi olmasın ama şuralarda bir yerde karşılaşıyorlar. Karşılaştıkları yer burası ve 5 dakikada karşılaşıyorlarmış. Bu araçlar kaç dakika sonra 4. kez karşılaşırlar.

Şimdi şöyle düşüneceğiz. Diyeceğiz ki bunlar 60 derecelik mesafede 5 dakikada karşılaşıyorlar. Pistin tamamı kaç derecedir?

360 derece. O zaman bunlar 360 derecede. Yani birinci karşılaşma anlarından sonra bütün çemberi düşünürsek.

O bütün çember olan 360 dereceyi 5 katı 6 katı olduğu için 30 dakikada karşılaşırlar. Yani birinci karşılaşmaları 5 dakika sürer. İkinci karşılaşmaları 30. Üçüncü karşılaşmaları 30. Dördüncü karşılaşmaları 30. Dördüncü kez karşılaştıklarında toplamda 95 dakikanın geçtiğini söyleyebiliriz.

Ve bu soruyla bu dersi bitirmiş oluyoruz. Şimdi bana şunu söyleyin arkadaşlar. Gerçekten... hareket problemlerinden korktuğunuz kadar zor bir ders miydi?

Bunu söyleyin. Hani size şunu sormuyorum hocam ama sonraki dersler sonraki derslere sonra bakarız. Bir dakika. Şimdi öncelikle şu işlediğimiz bir dersi konuşalım.

Şimdi bu derste gerçekten çok mu zorlandın? Bunlar ne ya? Ben bunları nasıl akıl edeyim falan mı dedin? Hayır.

Bu dersi anladın mı? Bu dersi anladıysan bu iş bitti. Çünkü tamamen hareket problemleri bunların üzerine kurulu.

Bundan sonraki derslerde de yapacağımız şeyler farklı olmayacak. Evet. bazılarının metinleri daha karışık olacak. Hikayeleri daha karışık olacak. Anlamakta biraz daha zorlanacağız ama anladığımız anda soru yine bunlara dönecek.

Çözüm haritaları yine bunlara dönecek. Kullanacağımız tek formül yine bu. X'eştir, V'ye çarptı olacak.

O yüzden ne olursunuz ön yargılı davranmayın. Bizi matematikte bitiren, problemlerde bitiren en önemli şey ön yargıdır. Soru çok uzun yani zordur.

Aa grafik vermiş demek ki çözülemez bir soru. Ya bu ne? Hiç sayı yok içerisinde demek ki çok zor.

Bunların hepsi... aşılması gereken ve beraber tek tek aştığımız önyargılar hareket problemlerinde de bu önyargıyı aşacağız. Ha ÖSYM bazı yıllarda çok zor hareket problemleri soruları sordu geçmişte.

Biraz önyargılar aslında onlardan kaynaklanıyor. Yani çok geçmiş sorulara bakmayan öğrencilerde aslında önyargı bile yoktur çok fazla. Geçmiş yılların sorularına biraz bakan özellikle mezun öğrencilerde önyargı biraz oluyor hareket problemlerinde ama o yıllar geride kaldı bir kere arkadaşlar. Yani artık ÖSYM'de öyle bir hareket problemi...

Tarzında bir soru bile görmüyoruz. Genelde soruları şeye bağlıyorlar birazcık. Sayı problemlerine bağlıyorlar. Biz zaten şu anda hareket problemlerinin temel mantığını oturttuktan sonra ÖSM seviyesi sorularda da yani ÖSM tarzı sorularda da ne yapmamız gerektiğini hep beraber görmüş olacağız. Yani kısacası endişelenmeyin ya.

Hani onu söylüyorum yani. Şimdi bu soruyu yıldızlıyorum. Güzel bir soruydu.

Bunu yıldızlamıyorum. Bunlar temel sorulardı. Bunu da yıldızlamıyorum.

Bunu da yıldızlamıyorum. Bunu da yıldızlamıyorum. Bunu yıldızlayayım.

Bir tanesini yıldızlayacağım. Ya 10'u ya 11'i. Ben 10'u yıldızlamayı seçtim.

Peki. Bunu da yıldızlıyorum arkadaşlar. Süreden gittiğimiz bir soruydu.

Önemli. Bunu da yıldızlıyorum. Daha da yıldızlamayacağım. Gerisi zaten temel sorular.

Lütfen. Lütfen. Öyle bir sahne var ya.

İbrahim Tatlıses'in filminden. İbrahim. Lütfen.

Biliyor musunuz onu? Şimdi anlarım. Kamp programını benimle beraber bir açın lütfen. 40. 4. gündeyiz. 44. gündeyiz değil mi?

Aynen. 45. gündeyiz lan. Ne 44'ü?

45. günün birinci dersini hallettik. İki tane ödevin var. Sana zahmet.

Bu iki tane ödevi de güzel bir şekilde yap, hallet, bitir. Hareket problemlerinin ikinci dersinde de az bir kısmımız kaldı. Mor soru da çözeceğiz orada. Sonra bir testte ödeviniz olacak.

İkinci derste. Sonra hareket problemlerinin konu anlatım kısmını beraber tamamlamış olacağız. Gelin şöyle Şafak Sayarımızdan da 44. Niye ben 44 deyip duruyorum ya?

44 bitti hocam. 45. güne geçtik artık. Sen de geçmişi geride bırak. Canlarım hepinizi çok seviyorum. Güzel bir dersti.

İştirak eden arkadaşlarımızın ellerine, emeklerine sağlık, zihinlerine sağlık. Bir sonraki derste görüşmek üzere. Kendinize iyi bakın. Hoşçakalın.

Transcript for:Hareket Problemleri ve Çözüm Stratejileri

Transcript for:
Hareket Problemleri ve Çözüm Stratejileri