Előadás az alterekről

Alapfogalmak

• Az altér és generátorrendszerek kapcsolata.
• Minden altérnek több bázisa és generátorrendszere is lehet.
• Két bázis vagy generátorrendszer akkor generálja ugyanazt az alteret, ha elemi átalakításokkal egymásba alakíthatók.

Példa: Z3

• Két kétdimenziós altér generátorai.
• A generátorok függetlenek.
• A kérdés: generálják-e ugyanazt az alteret.

Gauss-elimináció

• Elemi átalakítások: sorcserék, skalárszorzás, sorok összeadása.
• Két különböző generátorrendszer esetén, ha a redukált lépcsős alak azonos, akkor az alterek is azonosak.
• Vezéregyensek nullázása fontos lépés.

Definíciók

• Redukált lépcsős alap: Ha a vezéregyensek fölött is nulla elemek vannak.
• Két generátorrendszer akkor és csak akkor generálja ugyanazt az alteret, ha a Gauss-elimináció után azonos redukált lépcsős alakot kapunk.

Altérek számítása Z3-ban

• 0 dimenziós altér: Csak a nulla vektor, 1 van belőle.
• 1 dimenziós altér: Minden nem nulla vektor, 80 nem nulla vektor.
• Az azonos altér generátorai közötti kapcsolatok, például skáláris szorzás.

Egydimenziós altér

• 3 dimenziós testben 81 vektor, 80 nem nulla.
• Az azonos altér generátorai párba állíthatók.

Két dimenziós altér

• Két vezéregyenség elhelyezése.
• Lehetséges helyzetek számítása.

Harmadik dimenzió

• Egységmátrix oszlopainak elrendezése.
• Vezéregyensek helyzete és tetszőleges kitöltés.
• Összes eset kiszámítása, 40 darab altér.

Negyedik dimenzió

• Teljes tér, 1 darab altér.

Összegzés

• Az altérek bázisai és generátorrendszerei közötti kapcsolatok fontosak a dimenziók és altérek számának meghatározásában.