Sziasztok! Alterekről fogok beszélni, alterek egyétemi megadásáról. A következő tételt szeretném illusztrálni, az azt mondja, hogy tetszeges altéret veszek egy tetszeges vektortélben, akkor ha van annak az altének két különböző generátorrendszere, vagy két különböző bázisa, akkor azok egymásba alakíthatóak elemi átalakításokkal.
Azt tudtuk, ugye eddig is mondtam többször is, hogy egy altélnek a bázisa nem egyértelmű. A generátorrendszere sem egyértelmű, tehát ugyanazt az altéret különböző féleképpen is. meg lehet adni. Tehát az teljesen természetes igény, hogy eldöntsük, hogy mondjuk két bázis vagy két generátorrendszer mikor generálja ugyanazt az alteret.
És ezzel az állítás segítségével, legalábbis a bizonyítás segítséggel lehetni fogjuk, hogy ez megoldható. Csinált egy példát, betten mondjuk a Z3, a Horváth Iponban két alteret. mind a kettőt generátorokkal adtam meg, ezek valószínűleg kétdimenziós alterek, mert kettő generátorban is ezek úgy néz ki, hogy lényegesen függetlenek.
A kérdés az, hogy ezek tényleg ugyanazt az alteret generálják egyelőkkel. A Pandemic Chart nem semmi más, mint a bal oldalt, a két generátor vekolt be, itt van egy matrixba, az elemi átalakítások ugyanazok, amiket a sor átalakítások, a káoszerminációs szorán szoktunk csinálni, tehát főleg cserény dolgokat, nem nulla skalára megszokozni. egyik sorból a hány szorosát hozzáad a másikhoz. Elkezdtem klausz-reminálni és kaptam valami matrixot, ezt az 1, 0, 2, 0, 1, 0-t.
A másikat is ugyanazt megcsinálom, klausz-reminálom és kapok egy alakot, az első lépésnél az első sor kétszereset hozzáad a másikhoz, és kapok egy alakot, ami már lépcsős alak, mert lépcsői vannak, de nem ugyanazt mint a... ott a jobb oldalt, mert itt van egy vezéregy, és iskölötte nincsen kinullázva, tehát még egy lépést csinálok, hogy tényleg kinullázom a vezéregyesek fölött is az elemeket, és akkor látom azt, hogy ugyanazt a matrixot kapunk. Tehát a bal oldalt, abból a generátorrendszerből, gauss-eleminálban, teljes gauss-eleminációt megvalósítva, meg a jobb oldalból is, ugyanazt a matrixot kapunk, és ugye minden elemi átalakítás inverse-es elemi átalakítás.
Tehát ha bal oldalból eljutok ide, utána ezeket visszafele megcsinálom, és eljutok a jobb oldalba. Tehát tényleg ez a két altér, vagy a két generátorrendszer ugyanazt az altereget generálja, és egymásba alakítatok elemi átalakításokkal. Tehát azt láttuk, hogy ha mindenkit ilyen lépcsős alakra hozok, és ugyanaz a lépcsős alakat kapom, akkor ugyanaz az altérről van szó, de könnyen megoldóan, hogyha azok után, hogy a vezéregyen... és fölött is lenullázunk, akkor ez egyértelmű. Ha nem ott lennének a lépcsők, ahol vannak, akkor lehetne látni, hogy az a plusz lépcső vagy nem ott lévő lépcső a másikból nem az a putilinás kombináció.
tehát tényleg megmutatható, hogy az a két altér akkor különböző. És akkor ebből már megvan a következő definíció, hogy egy bázis attól lesz altér, vagy egyértelmű, hogyha ezeket a bázis vektorkat bírom egy mátris sorba, akkor egy ilyen redukált lépcsős alapot kapok, attól lesz redukált lépcsős alap, hogy a vezéregyesek fölött is le van nullázva. Tehát például ez egy redukált lépcsős alap, ez nem redukált lépcsős, mert vezéregyesek fölött nincsen le nullázva.
Itt is van két példa. hogy az egyik az lépcsős alak, mert itt a vezérenges működő nincsen, de egy lépéssel, mondjuk, mínusz háromszor hozzáadom a torsót, könnyen teljesen tudom renyükálni ezt a lépcsős alakat. Ez az egyértelmű bázis, tehát ezt a tétet úgy lehet kimondani, hogy két alté vagy két generátorrendszer akkor és csak akkor generálja ugyanazt az alteret, hogyha a generátorrendszerek vektoraik egy mártai soroiba bejövőben és elvégezve a Gauss eliminációt úgy, hogy redukált lépcsés alakot kapjunk, mind a két oldalt ugyanazt a redukált lépcsés alakot kell kapnunk, akkor egyenlő ezek a két alté.
Egy olyan különösebben... Ezt szeretnék eljutatni. A feladat az, hogy számoljuk ki, hogy mondjuk Z3 a negyedik ember, egy négydimenziós vector térben, hány 0, 1, 2, 3 és 4 dimenziós altér van.
Ez nem teljesen egyértelmű, hogyha ezt a tételt nem tudjuk, viszont ezek tételseink is könnyű meg tudjuk oldani. Ugye 0 dimenziós az egy van. A 0 dimenziós altér az csak a... A nulla vektor tartalmazza, abból csak egy van, a bázis az egy nulla emő vektorrendszer, megsormozni előtte. Az egydimenziós, az már érdekesebb, ugye minden nem nulla vektor, az egy egydimenziós.
és hány nem nulla vektorom van? Hát ugye 3 nem ül a testem, akkor összesen ebben a vektortérben 3 a 4-en, azaz 81 darab vektor van, abból 1 a nulla vektor, tehát 80 nem nulla vektorom van, de vegyük észre, hogy például az 1, 2, 3 és a 4 az ugyanazt generálja, Egyre jobb, mint ha minden elemet megszólom kettőbe. Kettő, négy, három, szóval kettő az hat, az én hárommal vagyok.
Akkor ez inkább nulla. És egyreveszem. 1, 0, 2. Tehát ugye ez a két vektor ugyanazt az alteret generálja, mert ennek kétszeres a másik, és ennek kétszeres az első.
Tehát egymásba vihetők egy nem nulla skalára való szorzással. Azaz itt is párbe lehet állni. minden vektort, ami ugyanazt az altere-t generálja, ezért osztottam el e kettővel.
Ezt meg lehet gondolni. Tetszőges testben is, ha az összees nem nulla elemmel elosztom, akkor éppen megkapom ezt az altere-t. Számára tudom, hogy pontosan 40 db alterem lesz, de az emlőző tételre lesz jobban, hogy meg is tudom számolni.
Talán egyszerűbben, vagy talán szemléletesebb, vagy miért is ennyi van. Ha veszek egy egymenziós altere-t, annak van egy bázisa, ami redukált lépcsős alap. a lábam van feléve egy mátrixban, és ugye egydimenziós, tehát ez a mátrixnak egy sora van, és a lépés alatt van egy vezéregyes, az a vazéregyes valahol van.
Ha legerényében van a vezéregyes, akkor a maradék három helyet tetszőlegesen ki tudom tölteni, ugye három nő testben van, akkor háromszor háromszor háromszor, háromszor húszonhét, húszonhét esetben olyan, amikor a vezéregyesen mit kezdik, és utána várjuk. És a vezéregyesen kezdődhet a második helyen, de akkor előtte már nullának kell lennie, mert attól ő vezéregyes. és az előtte csak nullák vannak, és itt már 9 eset van, kövekező lépen csak 3, és utolsó esetben csak 1 eset van, összedom az eseteket, 27, meg 3, az 39, meg 1, az 10, összesen 40, de ramban tényleg ugyanazt kérdküntött.
És ez a módszer, nem ez, hanem ezt is meg lehetne csinálni, de ez a módszer könnyen általánosodható mondjuk két dimenziós esetben. Nézzük meg, két dimenzióban ugye két vezér egyesen van. Hol lehet az a két vezér egyes? Hát elképzelhető, hogy a vezér egyesem az első vezér egyesem, az első sorban levő vezéregyesem az első pozícióban van, vagy lehet a második pozícióban, vagy lehet a harmadikban. Ha eldöntöttem, hogy az első vezéregyesem hol van, akkor ugye a másik vezéregyesem ugye úgy, mint egy egységmátrix, hogy ez vagy a második oszlopban van, vagy a harmadikban, vagy a negyedikben.
De hogyha mondjuk tudom, hogy itt van a másik vezéregyesem, akkor ez a maradék négy tetszőlegesen kitöltető. Ha ide teszem a másik vezéregyesemet, ő ide, ugye, akkor ő tetszőlegesen kitöltető, neki nullának. a keletben, mert le volt nullázva az évedes fölött, ezek meg tetsző égessen kitöltetők. Tehát az összes lehetségeset így fölírom, az összes lehetséges alakot, ahogy egy redukált lépés alak lehetséges, és azok a pozíciókban, ahol tetsző égessen, amit íratok, X-et írok, akkor megkapom az összes lehetséges alterek számát, és így számoltam, most nem fogom végignévenni, de ezek jönnek ki 81 plusz 27 plusz 9 plusz 9 plusz 3 plusz 1. Nyomták vissza sem 130 darabra.
A háradimenzíós hasonlóval megint csak egy egységmátrixnak az oszlopait kell valahogy elrendezni. Itt is egységmátrix az oszlopai úgy volt, hogy ide, ide, vagy ide, ide, vagy ide, ide. Tehát ugye itt vannak az egységmátrixnak az oszlopai itt is. Első oszlop, második oszlop.
és ha megvan a hol van az egységmátrix oszlopai, akkor az összes többi az vagy 0 lehet, mert vezéregyes előtt van, vagy x mert tetsző vezéregyes utána. Itt is ugye legjobb, ha megvan az egységmátrix oszlopai, az lehet lesz, háromoszlopai, az első, kettő, meg az utolsó és így tovább. És mindesetben az előbbi szabályok szerint vannak olyan esetek, ahol tetsző eredményes értéklet van, ahol a vezéregyes érdek megcsupa nulla van. És kiszámolom, itt is kijön a 40 darab.
Amúgy ezen a 40 darabban látjuk azt, hogy ün az midint. És ez nem véletlen. Tanultuk, hogy minden altér megadható egyrészt bázissal, meg megadható együttrendszerrel.
Ugye? Tehát ez a háromdimenziós haltegek száma. Ezek a minden 3D-ös altérmelyek adható egyetlen egy darab dináris egyenlettel, és az egyetlen egy darabot is ugyanúgy lehetne kezelni, mint egy generátorrendszer.
Ugyanúgy egyértelműen fel lehet nézni minden egyenletrendszerre, mert ott balteret adtak az egyenleteket is normálakra lehetne hozni, és ezért van az, hogy pontosan ugyanannyi egydimenziós van, mint 3D-s. A negyedik dimenzió, ezt én sem értem, ugye a negyedik dimenzió az a teljes tér lesz, ott is egy darab szintén megjegyezik az egy darabbal. Egy darab. 4 dimenziós alter lesz a megtörténet.
Köszönöm.