In questa lezione analizzeremo alcune proprietà dei poligoni e alcune proprietà della circonferenza Cominciamo con il dare la definizione di poligono: Il poligono è una parte del piano delimitata da una linea spezzata chiusa. È composto da lati e da angoli. Per essere considerata un poligono, una figura deve avere un minimo di tre angoli. E una figura di questo tipo è un triangolo . Per iniziare poniamoci la seguente domanda: Presi tre segmenti di lunghezza qualsiasi, facendo combaciare gli estremi a due a due è sempre possibile costruire un triangolo? In realtà la risposta è NO. Infatti è facile capire che se si hanno come misure dei lati 2 cm, 2 cm e 6 cm la spezzata rimane aperta… Per costruire un triangolo date tre misure occorre conoscere una relazione importante che ci permette di avere un criterio per rispondere con certezza alla domanda precedente. Sì oppure No. In ogni triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due e maggiore della differenza. Considerando questa figura si nota che: AB<BC+AC BC<AC+AB CA<BC+AB Inoltre in ogni triangoli il lato maggiore è opposto all’angolo maggiore e viceversa, cioè il lato minore è opposto all’angolo minore. E’ molto importante questa disuguaglianza per rispondere correttamente ai test che vi propongono di stabilire con quali misure è possibile,e con quali invece non è possibile, costruire un triangolo. Nei test occorre sempre leggere bene come è posta la domanda. Per quanto riguarda i triangoli è importante conoscere anche i quattro punti notevoli. ORTOCENTRO: punto di incontro delle altezze BARICENTRO: punto di incontro delle mediane CIRCOCENTRO: punto di incontro degli assi dei lati di un triangolo INCENTRO: punto di incontro delle bisettrici Per la definizione di altezze, mediane, assi del segmento e bisettrici vi consigliamo di far riferimento ai manuali di matematica. Consideriamo ora un’altra proprietà importante per i triangoli, riguardante gli angoli interni. La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a un angolo piatto. Questa importante proprietà ci servirà per ricavare la relazione della somma degli angoli interni dei poligoni con n lati. Infatti i poligoni si possono suddividere in triangoli e da questa proprietà ricavare la somma degli angoli interni. Ad esempio se considero un ottagono posso, partendo da un vertice, suddividere il poligono in 6 triangoli . Da questo esempio si nota che i triangoli sono due in meno rispetto ai lati del poligono, questa regola fondamentale da ricordare ci dice che la misura degli angoli interni di un poligono è: (n-2)*180°. Quindi per il nostro ottagono la somma degli angoli interni è: 6*180° = 1080° Facendo riferimento allo stesso disegno si può ragionare anche sul numero delle diagonali di un poligono. Se volessimo sapere quante diagonali ha un poligono possiamo moltiplicare (n-3) per il numero dei vertici dividendo il risultato per 2 visto che ogni diagonale è conteggiata due volte. Otteniamo così la seguente relazione: numero diagonali : ((n-3)*n)/2 Attenzione a come viene posta la domanda nei test. Talvolta viene chiesto il numero totale delle diagonali, altre volte solo quello delle diagonali uscenti da un solo vertice. Nel primo caso le diagonali nel nostro esempio sono: (8-3)*8/2=20 Mentre le diagonali uscenti da un vertice sono (8-3) =5 Ripassiamo ora i criteri di congruenza dei triangoli. Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due lati e l’angolo tra essi compreso, allora sono congruenti Se due triangoli hanno un lato e gli angoli adiacenti congruenti, allora sono congruenti Se due triangoli hanno i lati rispettivamente congruenti, allora sono congruenti Passiamo ora ai quadrilateri sui quali si possono fare molte osservazioni. Qui ci limitiamo a riportare una rappresentazione insiemistica che ben rappresenta la situazione e che permette di rispondere immediatamente a domande come: un parallelogramma è un rettangolo? un trapezio è un parallelogramma? Dalla figura ad esempio si capisce che tutti i rettangoli sono anche parallelogrammi e trapezi, mentre i rombi non sono rettangoli. Per tutte le proprietà dei quadrilateri si consiglia di utilizzare un testo delle scuole superiori del biennio. Passiamo ora alla circonferenza e al cerchio. La CIRCONFERENZA è l’insieme di tutti e soli i punti del piano aventi distanza r da un punto fisso O : r è il raggio, e O è il centro. L’insieme di tutti e soli i punti del piano aventi distanza dal centro MINORE O UGUALE del raggio è il CERCHIO. Una relazione molto importante tra angoli al centro e angoli alla circonferenza è la seguente: Un angolo al centro è il doppio del corrispondente angolo alla circonferenza. Inoltre esistono infiniti angoli alla circonferenza corrispondenti a uno stesso angolo al centro. Un importante caso particolare è quello dell’angolo piatto al centro al quale corrisponde un angolo retto alla circonferenza. Questa proprietà è utile per sapere che gli angoli inscritti in una semicirconferenza sono tutti retti. Spesso nei test occorre osservare bene i disegni e riconoscere tale proprietà per rispondere alle domande. Vediamo ora le proprietà delle TANGENTI A UNA CIRCONFERENZA DA UN PUNTO ESTERNO Osserviamo questo disegno, in cui sono disegnate le rette tangenti a una circonferenza condotte da un punto esterno: Si possono notare tantissime relazioni: i segmenti PA e PB, detti segmenti di tangenza, sono tra loro congruenti OA e OB sono raggi di una stessa circonferenza e l’angolo PAO e l’angolo PBO sono congruenti e retti, per cui il triangolo PAO e il triangolo PBO sono congruenti. Chiudiamo questa lezione con un'ultima osservazione che riguarda il cerchio e i poligoni Un poligono che ha tutti i vertici su una circonferenza si dice inscritto in una circonferenza, oppure si dice che la circonferenza è ad esso circoscritta. Se invece un poligono ha i lati tutti tangenti a una circonferenza allora è detto circoscritto alla circonferenza, oppure si dice che la circonferenza è in esso inscritta. Inoltre si può notare che se è vero che ogni TRIANGOLO è inscrittibile e circoscrittibile, lo stesso NON si può dire per gli altri poligoni. In geometria si stabiliscono dei criteri per decidere se un quadrilatero è inscrittibile o circoscrivibile a opportune circonferenze. Occorre ricordare che: UN QUADRILATERO E’ SEMPRE INSCRITTIBILE IN UNA CIRCONFERENZA SE E SOLO SE GLI ANGOLI OPPOSTI SONO SUPPLEMENTARI. UN QUADRILATERO E’ SEMPRE CIRCOSCRITTO AD UNA CIRCONFERENZA SE E SOLO SE LA SOMMA DEI LATI OPPOSTI E’ UGUALE. Ad esempio, un rettangolo è sempre inscrittibile, ma solo il quadrato è anche circoscritto. Infine ogni poligono regolare è sia inscrittibile sia circoscrittibile a una circonferenza. In esso circocentro e incentro coincidono in un unico punto che è il centro della circonferenza inscritta sia della circonferenza circoscritta e si chiama CENTRO DEL POLIGONO. Il raggio della circonferenza circoscritta è il raggio del poligono. Il raggio della circonferenza inscritta è l’apotema del poligono.