[Musique] bonjour dans cette vidéo je te propose de revoir tout le cours sur le chapitre des vecteurs dans un repaire l'objet de cette séquence est de te rappeler et de t'expliquer les éléments les plus importants de ce chapitre plus précisément et bien on commencera par définir ce que c'est qu'un repère ensuite on parlera des coordonnées de vecteurs du critère de co linéarité et on finira par les formules du milieu et de la distance pour préparer un contrôle ou même un examen ceci ne suffira pas évidemment il te faudra encore t'entraîner en faisant de nombreux exercices pour cela tu peux rejoindre la paix liste tu en trouveras de très nombreux pour le court c'est parti commençons donc rapidement par parler de repères du plan on va définir ce que c'est un repère et on va voir des repères particulier des cas particuliers alors un repère du plan c'est un triplé donc trois objets géométriques aux é j chacun joue son rôle oh c'est l'origine c'est là où on va trouver le point de coordonner 0-0 et j&j c'est eux qui vont nous donner l'unité quand je représente iiji au niveau de l' origine et bien à partir de là je peut en déduire quelle est la longueur 1 sur l'axé des abscisses et quelle est la longueur 1 sur l'axé des ordonnées alors si on a un gain bien évidemment après il suffit de reporter pour avoir deux trois quatre cinq et ses appuis les négatifs sur les deux axes alors attention pour obtenir un repère à deux dimensions il faut nécessairement que les vecteurs y est j'y sois non colinéaires ils ne peuvent pas aller dans la même direction sinon on aura des axes qui vont se superposer en quelque sorte un repère eddy orthogonale ci y est j ont des directions qui sont perpendiculaires 6 et j sont orthogonale alors en gros bien cela signifie du coup que les deux axes sont perpendiculaires et là on a un repère orthogonale mieux encore un repère et 10 orthonormé si les orthogonale donc ce qu'on vient de voir avant et en plus si j sont de normes 1 cela signifie en fait que i et j ont donc toutes les deux la norme 1 et on va avoir une graduation identique de même longueur sur chacun des deux axes on peut maintenant s'attaquer aux coordonnées de vecteurs dans le plan alors pour comprendre comment ça marche et bien j'ai justement placé un vecteur eu dans un repère j'ai donc choisi un repère orthonormé donc on voit ici que ces axes sont perpendiculaires vu que les vecteurs unitaire iiji son orthogonaux et ensuite j'ai la même graduation ici la même unité sur les deux axes j'ai là donc un repère qui est énorme et donc un repère orthonormé je voudrais dans ce repaire dans ce repaire au figés pouvoir lire graphiquement les coordonnées du vecteur eut noté ici alors ben la définition nous dit que pour comprendre pour lire les coordonnées du vecteur eu il suffit d'en construire un représentant d'origine l'origine du repaire justement donc je prends ce vecteur et au lieu de le représenter ici je vais leur présenter ici et je vais lui donner un nom je vais l'appeler om donc extrémités m point m que j'introduis voilà donc j'ai remporté mon vecteur eu ici comme j'ai introduit un point m là à l'extrémité bien du coup le vecteur eu je peux également la plaie au m bon ce n'est pas nécessaire mais enfin voila c'est pour simplement comprendre le passage de l'un à l'autre la géo la gm donc au m est égal a eu les deux vecteurs sont égaux on est d'accord ils ont la même direction le même sens et la même longueur eh bien on dira que les coordonnées du vecteur eu ici sont les mêmes que les coordonnées du vecteur om forcément puisque c'est le même vecteur qui sont les mêmes que les coordonnées du point m autrement dit les coordonnées de u c'est les coordonnées de m et les coordonnées du m ça c'est facile à déterminer les coordonnées m son 2 1 ici et bien si les coordonnées de m son 2 1 les coordonnées de u sont également 2 1 alors ceux ci sont les coordonnées je ne dis pas que eu c'est m attention une est un vecteur eu c'est pareil que le vecteur wayne mais elle est un point c'est pas le même objet géométrique par contre les coordonnées de lin sont les coordonnées de l'autre d'accord c'est pas la même chose mais en fin de compte dans la pratique on fait pas comme ça c'est un peu comme ça qu'on définit les coordonnées d'un vecteur mais c'est pas comme ça qu'on fait dans la pratique dans la pratique on va construire un petit chemin qui s'appuie à la fois sur l'axé abscisses et solex désordonnée et c'est ce petit chemin qui va nous permettre directement de lire les coordonnées de notre vecteur eu on va recommencer donc une nouvelle fois sans passer par le point en lisant directement les coordonnées de u et le voici ce petit chemin j'ai dit que c'est un petit chemin qui s'appuie sur les axes de notre père c'est à dire c'est un petit chemin qui est fait de vecteurs en fait parallèle ici on dirait plutôt qu'aux linéaire mais bon peu importe ils sont dans la même direction aux axes de notre père donc je commence par partir de l'origine de mon vecteurs et j'arrive à la fin son extrémité je fais déjà une première flèche dans le sens de l'axé abscisses et je remarque ici que la longueur de cette flèche qui je le répète en fait est un vecteur et de deux donc ici j'ai deux et ensuite je continue mon petit chemin maintenant pour remonter et rejoindre l'autre extrémité et cette fois ci je monte de 1 2 1 eh bien on retrouve de la même manière les coordonnées notre vecteur u2 et 1 2 et 1 c'est bien ce qu'on avait établi tout à l'heure en passant par l'origine du repère on veut voir un deuxième exemple pour être sûr que tu as compris voilà donc un nouveau vecteur v dont on aimerait déterminer les coordonnées et bien on va faire de même un petit chemin qui part de ce point pour arriver à celui ci en s'appuyant sur les axes on va donc commencer par les verts la gauche dans le sens de lax des abscisses et remonter vers le haut en suivant l'axé des ordonnées alors on commence par l'axé des abscisses on voit qu'on s'est déplacé d'une unité mais attention on s'est déplacé d'une unité dans le sens contraire de celui donné par l'axé abscisse ce qui veut dire que ici on n'a pas fait un mais on a fait moins donc le vecteur v aura pour première coordonnées - et ensuite et bien qu'est-ce qui se passe 1 2 on remonte de 2 cette fois ci dans le même sens que l'axé des ordonnées donc c'est bien plus de 1 ou 2 to court 2 v a donc pour coordonner - 1 2 à noter qu'on peut si on le souhaite noter les coordonnées en colonne et kirk ev a pour coordonner moins-12 c'est souvent plus pratique lorsqu'on a des calculs à faire et justement ça permet d'enchaîner avec la suite parce que là on a travaillé graphiquement mais on peut agréer également travaillé en faisant des calculs obtenir les coordonnées d'un vecteur en faisant des calculs si on nous donne les coordonnées de heide bay away pour coordonnées x à y a et b opérés pour cordonner guidées y b eh bien il est possible d'obtenir directement les coordonnées du vecteur à b en faisant ça se retourne xb - axa pour la première il y b - y a pour la deuxième un petit exemple on a donc deux points points à 2 coordonnées 2 - 3 et un point b de coordonner moins 1,5 et on voudrait les coordonnées du vecteur un bel et bien la formule nous dit je fais xb - ic ça c'est à dire la deuxième abscisse - la première donc moins 1 - 2 est pareil au niveau des ordonnées 5 - moins 3 et là je me tiens les coordonnées de ab et bien pour obtenir les coordonnées de ab il suffit d'effectuer moins en moins de ça fait moins 3 et 5 - moins trois ça fait 5 + 3 8 et ensuite trois petites propriétés qui sont assez faciles à comprendre et à appliquer également si tu as un vecteur u2 coordonnées x y est un vecteur v2 coordonnées exprime y primes et bien dire que les deux vecteurs usb sont égaux ça revient à dire que leurs coordonnées sont égales ce ce qu'on disait avant en fait donc ici une égale v ça équivaut à x égale exprime y égale y prime ensuite si tu as effectué la somme de deux vecteurs là c'était également assez sympa car cela revient à effectuer la somme des coordonnées respectives donc les coordonnées de eu plus v seront xp s'exprime y puisse y prime sympa et la suite reste sympa également si tu as le produit d'un nombre réel cas pas un vecteur eu et bien le vecteur qu'a eue est égal au produit des coordonnées donc tu vas juste faire qu'à fois xk fois y tu auras les coordonnées de ton vecteur carrure du coup si on a un vecteur u2 coordonnées x y et qu'on voudrait sont opposés donc le vecteur - u et bien il suffira de faire - 6 - y c'est un cas particulier mais ici ça revient tout simplement quand j'ai moins eu c'est un cas qui est égal à -1 c'est comme moins 1 fois eu donc là ça serait moins 1 x x notre cas x et moins 1 fois y notre cas y ce qui donne bien moins x - y alors poursuivons avec l'aco linéarité de deux vecteurs on rappelle déjà ce que ces deux vecteurs collinaires et bien c'est tout simplement deux vecteurs qui ont la même direction pas forcément le même sens pas forcément la même longueur mais juste la même direction on retrouve l'idée du parallélisme et on a dit que deux vecteurs sont colinéaires si il existe un réel qu'à tel qu une vecteur u égal cas fois vecteur vais là j'ai deux vecteurs colinéaires alors si en plus je connais les coordonnées de huê v xy pour u et exprime y prime pour eh bien je peut en déduire à partir de ça que ses coordonnées sont proportionnelles on a vu tout à l'heure que cas fois le vecteur vais juste avant eh bien ça revenait ses coordonnées c'était qu'à fois donc ici exprime eca fois y prime donc on comprend bien que pour passer de xy à exprime y prime qu'il suffit juste de multiplier par cas donc les coordonnées de xy les coordonnées x y sont bien proportionnelle aux coordonnées exprime y prime ça c'est le premier élément la première propriété de co linéarité de deux vecteurs mais on peut la simplifier encore et la rendre plus calculatoire parce que si on considère ici qu'on a un tableau de proportionnalité et bien on sait gérer un tableau de proportionnalité à l'aide du produit en croit vu que ça c'est un tableau proportionnalité jeu peut en déduire que x x y prime est égal à y x exprime et si je ramène tout à gauche saint félix il dirait de primes - y x exprime égal à zéro eh bien c'était exactement ce qui est écrit ici et c'est ça qu'on appelle le critère de collinée arrêté j'ai envie de dire dans tout ça ce qu'il faut surtout se souvenir c'est ça c'est en fait l'idée du produit en croix c'est ça qui servira le plus souvent mais bon voilà cette formule c'est un peu l'un formule officielle que l'on peut encore écrire autrement d'ailleurs si on introduit ce qui s'appelle le déterminant de deux vecteurs car justement le 2 et le déterminant de deux vecteurs hu avait donc toujours avec les mêmes coordonnées et bien c'est xy primes - y exprime on retrouve le membre de gauche de votre formule et on peut le noter se déterminant on dit que le déterminant de utv est égal à entre deux barres x y exprime y prime alors c'est une notation c'est une formule mais qui a le gros avantage de retrouver notre petit tableau de proportionnalité celui que j'avais voulu faire apparaître tout à l'heure et de coûts si je parle de déterminant eh bien on comprend bien que 6e déterminant il est égal à zéro qu'est-ce qui se passe eh bien on a xy primes - y exprime qui est égal à zéro et bien dans ce cas nos deux vecteurs sont collinaires donc on a là une nouvelle propriété une troisième forme on va dire de ce même critère de proportion 2 co linéarité qui nous dit que dire qu et besson collinaires ça revient à dire que le déterminant de l'uvéite égal à zéro ça fait beaucoup de choses ça fait beaucoup d'informations mais je le répète encore moi je trouve que c'est cette formule là qui est directement la conséquence du produit en croix qui est peut-être la plus simple à utiliser et on va d'ailleurs tout de suite a testé sur un exemple alors voilà donc deux vecteurs uv cette fois ci avec des vraies coordonnées la question est de savoir est ce que ces deux vecteurs sont collinaires ou non et bien ce qu'on va faire c'est qu'on va faire notre petit produit en croit et on va commencer ici pour faire 3 x 3 qui donne neuf et on va faire ensuite dans l'autre sens - 1 x - 9 - par - + 1 x 9 qui donne neuf on a donc bien ici x/y prime qui est égal à x y exprime notre critère de collinée arrêté est vérifiée on peut donc en déduire qu'au nom de vecteurs sont collinaires et on pouvait le voir directement ici c'était assez facile parce que quand on regarde dans les coordonnées du u etc on les multiplie par trois on arrive ici à neuf et là à moins 3 c'est à dire juste créé signe opposé autrement dit c'est pas par trois qu'il faut multiplier mais c'est par -3 du coup trois fois moins 3,2 -9 et moins un fois moins 3 donne 3 ce qui veut dire qu'il existe bien un réel cas qui est moins 3 et qui fait que v est égal à quinze fois qu on a bien ici l'un qui est égal à 4 fois l'autre en prenant qu'à égal à moins trois lots de vecteurs sont bien collinaires passons au milieu alors voilà une petite formule qui n'est pas directement en rapport avec les coordonnées de vecteurs d'ailleurs ce qu'on va voir ensuite non plus ce sont des conséquences mais en tout cas qu'ils sont bien pratiques en géométrie analytique c'est à dire en géométrie dans des repères on ne dit que si on a deux points a et b de coordonnées respectives icsa y as et xb il y b eh bien on peut obtenir les coordonnées du milieu on va appeler m du segment ab eh bien il suffit de faire x à +6 b sur deux ouf on a un demi c'est pareil y a plus y b sur deux ouf on est demi c'est toujours pareil un petit exemple soit deux points a et b dont on connaît les coordonnées alors dans ce cas là les coordonnées du milieu m du segment b seront je fais la somme 5 + - 1 / 2 et 3 + 2 / 2 c'est bien x a plus xb sur deux fois un demi je me répète y a plus y b sur deux ou x 1,2 mais ça dépend la version que tu as dans ton corps c'est strictement la même chose bien après reste plus qu'à effectuer sa le plus - 1 ça fait 4 / de 2,3 plus de 5 / 2,20 2.5 ou 5 2 me c'est comme on veut et bien voilà on a obtenu les coordonnées du point m milieu du segment ab on peut passer à la distance et on finira par ça d'ailleurs c'est une formule qui nous donne la distance entre deux points deux points dont on connaît les coordonnées et cette formule est la suivante alors elle fait un peu peur mais là également c'est une conséquence plus précisément du théorème de pythagore mais bon je vais pas revenir sur la démonstration et fait l'objet d'une autre vidéo que je t'invite à regarder ici on va simplement comprendre la formule et puis surtout savoir l'appliquer alors ceci ça se passe dans un repère orthonormé ces serments il faut un repère orthonormé sinon le résultat ne sera pas juste puisque on parle bien ici de distance donc il faut avoir la même unité sur les deux at il faut avoir des axes qui sont orthogonaux qui sont perpendiculaires donc les coordonnées sont les mêmes x ou y ait bihi grippe b dans ce cas là et bien là longueur ab la distance de a à b est égale à la racine carrée 2 x b - axa au carré plus y b - y a au carré on retrouve un peu la formule du vecteur à on se souvient que c'était on faisait la différence à l'envers xb - axa y b - y a alors appliquons cette formule pour finir sur un exemple voilà donc deux points a et b dont on connaît les coordonnées calculons la distance ab eh bien on a dit on fait le carré de la différence de x b - ic ça je vais donc faire 0 - 3 que j'élève au carré plus le carré de la différence également maintenant sont les ordonner nous je vais faire 5 - moins de cinq jeux détails à fond 1 - - 2 le tout aux caries et tout ça est sous une racine alors et si on veut simplifier au maximum - 3 au carré ça fait moins trois fois moins trois douilles +9 + 5 - moins de ça fait 7 7 au carré car et tout ça est toujours sous une racine 9 + 49 58 soit racine carrée de 58 alors on s'arrêtera là dans certains exercices évidemment il serait intéressant d'en donner une valeur approché c'est pas l'objet de cette séquence qui d'ailleurs est terminée