Chapitre des Vecteurs dans un Repère

Introduction

• Revue complète du chapitre des vecteurs.
• Définition d'un repère.
• Coordonnées de vecteurs.
• Critère de colinéarité.
• Formules du milieu et de la distance.
• Importance de l'entrainement via exercices.

Repère du Plan

• Définition : Un repère est un triplé d'objets géométriques ( O, I, J ).
  • ( O ) : origine (point de coordonnées ( 0, 0 )).
  • ( I, J ) : unité sur axes des abscisses et ordonnées.
• Conditions : Vecteurs ( I ) et ( J ) doivent être non colinéaires.
• Types de Repères :
  • Orthogonal : ( I ) et ( J ) perpendiculaires.
  • Orthonormé : Orthogonal avec ( I ) et ( J ) de norme 1.

Coordonnées de Vecteurs

• Exemple : Placement d'un vecteur ( \vec{u} ) dans un repère orthonormé.
• Méthode Pratique : Utilisation d'un chemin basé sur axes pour déterminer coordonnées directement.
• Calculs :
  • Coordonnées obtenues par différence entre points.
  • Exemple : ( A (2, -3), B (-1, 5) ) donne ( \vec{AB} = (-3, 8) ).

Propriétés de Calcul

• Égalité de vecteurs : Coordonnées égales.
• Somme : Addition des coordonnées.
• Produit par un scalaire : Multiplication par scalaire de chaque coordonnée.
• Opposé : Inversion des signes.

Colinéarité de Deux Vecteurs

• Définition : Même direction, pas nécessairement même sens ou longueur.
• Critère de Proportionnalité : Coordonnées proportionnelles.
• Produit en Croix : ( x \cdot y' = y \cdot x' ).
• Déterminant : Notation et critère de colinéarité si déterminant est zéro.

Milieu d'un Segment

• Formule : Coordonnées du milieu ( M ) de ( AB ) sont ((x_a + x_b)/2, (y_a + y_b)/2).
• Exemple : ( A (5, 3), B (-1, 2) ) donne milieu ( (2, 2.5) ).

Distance entre Deux Points

• Formule : ( AB = \sqrt{(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2} ).
• Exemple : ( A (0, 5), B (3, -2) ) donne ( AB = \sqrt{58} ).

Conclusion

• Importance de savoir appliquer ces concepts dans un repère orthonormé pour des résultats précis.
• Encouragement à pratiquer et maîtriser les formules à travers exercices.